北师大版八年级数学不等式的基本性质教案

“不等式的根本性质〞教学设计
一、教学目标
1．通过计算和比拟一系列运算的结果，归纳不等式的根本性质；
2．通过解决根据条件推理判断给定代数式间不等关系的问题，经历并掌握不等式的根本性质在不等式推导变形中的应用；
3．通过经历根据不等式的根本性质对不等式进行变形的推理过程，提升逻辑推理的数学素养．
二、目标解析
1．学生在本节课之前，已经有对整式的运算、不等关系和不等式的定义等的认知，能按照文字描述列出对应的不等式，但还没有将不等式应用于解决问题，如求某个变量的取值范围，求某个值的最大最小值等问题的经验；
2．经过本节课的学习，学生应记忆和理解不等式的根本性质，以便后续课程中经历解不等式等问题的解决过程时，能对不等式进行正确的推导变形；
3．本节课的重点有两个：一是学生要正确记忆不等式的根本性质；二是学生要知道如何参照不等式的根本性质，对不等式进行推导变形；
4．本节课的难点有一个：学生在应用不等式的根本性质3时，忘记不等号要变号．
三、学情分析
1．针对不同情况的学生，建议教师对教学过程中的活动，进行适当的取舍；2．对于计算能力强、根底扎实、接受知识快的学生，教师可适当压缩归纳不等式的根本性质和练习不等式的推导变形这两项教学活动所用时间，以便使学生接触更多不等式的根本性质的应用类型，如利用恒成立不等式求最值、作差法判断两个代数式的值的大小关系等的实例，以增加课堂容量，提升课堂效率；3．对于根底不扎实，接受能力较弱的学生，教师应给在课堂上给予学生一些时间对知识进行记忆，如集体朗读背诵等；教师还应针对不等式的推导变形进行操练，对每一步的变形所依据的性质进行解析，加深学生记忆；
4．学生在七年级学习过等式的根本性质，在归纳不等式的根本性质时，可引导学生参考等式的根本性质中的语言表述．
四、教学过程
问题一：如下图，1、2在数轴上对应的点分别为A，B，请利用数轴分情况讨论a
1、a
+
2的对应点C、D的位置，并确定它们的大小关系．
+
设计：通过数轴，学生能直观判断两个数的大小关系，从而引出不等式的根本性质1．
师生活动：完成以下填空，可由教师点学生答复，填出下面几个空，
①当0>a 时，a a ++2_______1；〔答案：>〕
②当0<a 时，a a ++2_______1；〔答案>〕
③当0=a 时，a a ++2_______1．〔答案：>〕
问题二：根据问题一的结论填空，尝试简要说明理由．
①a a --2_______1
②222_______1a a ++
③b a b a +-+-334_______1
设计：通过类比，学生能对问题的结论进行迁移，并观察到不等式两边同时加上同一个整式，不等号方向不变是一个一般性的规律．
师生活动：本问题引导学生进行结论的迁移，需要学生自己去思考并得出结论．因此可以给学生三到五分钟的时间进行小组合作讨论，最终由一到两个小组给出结论，
三个空的答案均为“<〞
问题三：由问题一和问题二的结论，你能总结出不等式怎样的规律？
提示：等式的两边同时加〔或减〕同一个代数式，所得结果仍是等式． 填空：不等式的两边都加〔或减〕同一个整式，不等号的方向不变．
设计：归纳得到不等式的根本性质1，标明重点．
师生活动：教师可继续要求学生答复填空，必要时给出一定的引导．当学生给出正确的结论后，给出“不等式的根本性质1〞的结论名称，并要求学生在教材相
应位置上做标记，并立即识记．
问题四：我们已经得到了不等式的一个性质了，不等式还会有其他性质吗？我们将继续探索，请填空：
32<
53_______52⨯⨯
2
13_______212⨯⨯ ()()13_______12-⨯-⨯
()()53_______52-⨯-⨯
)2
1(3_______)21(2-⨯-⨯ 你发现了什么？请再举几例试一试．
设计：通过实例，帮助学生理解和归纳不等式的根本性质2和3．
师生活动：本问题可给予学生三到五分钟进行小组讨论，并由小组代表来答复；本问题的小组讨论活动可以和下一个问题一起进行．
问题五：由问题四，你能得到怎样的规律性的结论？
提示：不等式的两边都加〔或减〕同一个整式，不等号的方向不变．
填空：不等式的两边都乘〔或除〕同一个正数，不等号的方向不变．
不等式的两边都乘〔或除〕同一个负数，不等号的方向改变．
设计：归纳得到不等式的根本性质2和3，标明重点．
师生活动：教师可继续要求学生答复填空，必要时给出一定的引导．当学生给出正确的结论后，给出结论名称，并要求学生在教材相应位置上做标记，并立即识记．
问题六：将以下不等式化成“a x >〞或“a x <〞的形式，并简述理由． 〔1〕15->-x ； 〔2〕21<+x ；
〔3〕32>-x ； 〔4〕321
<x ； 〔5〕6
532
<-x ．
设计：学生经历根据不等式的根本性质推导变形的过程，同时进一步帮助学生识记和理解不等式的根本性质．
师生活动：教师可以给学生五分钟的时间进行简单思考，并要求一到两名学生尝试答复，假设学生能正确给出结果，则可直接展示答案并进入下个问题；如果学生并不能正确给出结果，或在简述理由时遇到困难，则教师应给予相应的指导和示范，并要求学生再次答复．
示范：
〔1〕根据不等式的根本性质1，两边都加5，得
51+->x ，
即
4>x ；
〔2〕1<x ；
〔3〕根据不等式的根本性质3，两边都除以2-，得
23
-<x ；
〔4〕6<x ；〔5〕4
5->x ．
问题七：y x >，以下不等式一定成立吗？
〔1〕66-<-y x ；
〔2〕y x 33<； 〔3〕y x 22-<-； 〔4〕1212+>+y x ．
设计：学生继续经历不同形式的不等式推导变形，加深对不等式的根本性质的理解和掌握．
师生活动：教师可以给学生三到五分钟进行思考，并要求学生给出结论，并简述理由．如果学生能顺利给出正确答复，则可直接展示答案并进入下一个问题；如果学生在答复时遇到困难，教师应给出相应的提示或示范．
〔1〕不成立；〔2〕不成立；〔3〕成立；〔4〕成立．
示范：〔4〕根据不等式的根本性质2，不等式y x >的两边都乘2，得
y x 22>，
再根据不等式的根本性质1，两边都加1，得
1212+>+y x ．
问题八〔选用〕：
〔1〕1______322++x x ；
〔2〕322++x x 有最大值或最小值吗？给出你的结论，并简述理由．
设计：完全平方数的性质是阶段非常重要的一个恒成立的不等式，应用面非常广，需要学生掌握．
师生活动：本问题教师应给学生三五分钟的时间思考，并要求学生答复．根据学
生的答复，教师再给予相应的指导．需要注意的是，应选择不是班级中数学学习能力最强的学生答复以下问题，以便保证更多学生能接受教师的讲解和指导．
〔1〕>；
〔2〕()2213222≥++=++x x x ，所以有最小值2．
问题九〔选用〕：
〔1〕填空：
假设0>-b a ，则b a ____；
假设0=-b a ，则b a ____；
假设0<-b a ，则b a ____．
〔2〕参考〔1〕并填空：2322+-+b b a _____232b b a -+．〔填“>〞或“=〞或“<〞〕
设计：作差法比拟大小是比拟两个代数式的大小关系的一个核心方法，需要学生掌握．
师生活动：本问题教师可以先要求学生直接答复〔1〕，然后再给学生三五分钟的时间思考〔2〕，并要求学生答复．根据学生的答复，教师再给予相应的指导．需要注意的是，应选择不是班级中数学学习能力最强的学生答复以下问题，以便保证更多学生能接受教师的讲解和指导．
〔1〕>，=，<；
〔2〕-+-+2322b b a ()()0112232222>+-=+-=-+a a a b b a ．
课堂小结：
教师下课前应再次强调本节课的核心内容为不等式的根本性质，要求学生大声朗读教材上相应的文字．。