1-《运筹学》-第一章-2010-至第3节

第一章 线性规划与单纯形法§1 线性规划问题及其数学模型[例] 利用现有机器台时及原料A 、B 生产两种产品，已知如下：求达最大利润的生产方案。

解：设生产产品一、二的数量分别为x 1, x 2 相应线性规划问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,1241648232max 21212121x x x x x x x x z线性规划问题的特点：1） 一组控制变量表示某一方案2） 关于控制变量线性的约束条件（等式或不等式） 3） 关于控制变量线性的目标函数线性规划问题的一般形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≥=≤+++≥=≤++++++=++free x x x x x x x b x a x a xa b x a x a x a x c x c x c z n t t s s m n mn m m n n n n ,0,0,,),(),(max(min)11212211112121112211两个变量的线性规划问题的图解法 [例1]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,1241648232max 21212121x x x x x x x x z唯一最优解（4，2），最优值=14 [例2]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,1241648242max 21212121x x x x x x x x z无穷多最优解（4，2），（2，3）及其中间点，最优值=16 [例3]⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+-+=0,242max 21212121x x x x x x x x z无界解，+∞=z m ax [例4]⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+-+=0,242max 21212121x x x x x x x x z 无可行解，约束矛盾，可行域φ=D由两个变量的线性规划问题的图解法得出的直观结论： 1． 可行域D 及相应最优解与最优值的可能情况：φ=D ：无可行解φ≠D 且D 有界：有有限的最优值（有唯一最优解或无穷多最优解） φ≠D 且D 无界：1） 有有限的最优值（有唯一最优解或无穷多最优解） 2） 无界解(+∞=z m ax 或-∞=z m in )2． 若φ≠D ,则可行域D 为有界凸多边形或无界凸区域3． 若有最优解，必可以在可行域D 的某个顶点达到4． 若在两个顶点同时达到最优值，则其连线之间任一点都是最优解，即为无穷多最优解情形。

线性规划问题的标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++++++=0,,m a x 212211112121112211n m n mn m m n n nn x x x b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z 矩阵形式：⎩⎨⎧≥==0max x bAx cxz其中：),(21n c c c c = 为价值向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯mn m m n n m a a a a a a A 2111211 为约束条件的系数矩阵，n m m A R ≤=,)(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x 1为决策变量向量，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 1为资源向量，且满足0≥b将一般线性规划问题化为标准型的方法1． 若目标函数为cx z =m in ，令z z -='，⇒x c z )(max -='2． 若某一约束0≤i b ，将此约束化为：i n in i i b x a x a x a -=---- 2211 3． 若某一约束为i nj j ijb x a≤∑=1，加非负松弛变量1i x 化为等式：i i nj j ij b x x a =+∑=11若某一约束为i nj j ijb x a≥∑=1，减非负松弛变量1i x 化为等式：i i nj j ij b x x a =-∑=114． 若某一决策变量0≤j x ，令j j x x -='，则0≥'j x若某一决策变量j x 无约束，令j j j x x x ''-'=，则0,≥'''j j x x[例] 将如下线性规划问题化为标准型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=+--≥+++≤+++-+-=无约束34214321432143214321,0,0,6231022184326325min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z其标准形式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥''''='+''-'++-=-'-''-'++=+'-''-'++'-''+'-+-='0,,,,,622310*************max 65433214332164332154332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 其中z z -='，333x x x ''-'=，44x x -='线性规划问题解的概念 对标准型：⎩⎨⎧≥==0max x bAx cxz （0≥b m A R =)(）[定义]可行域：}0,,|{≥=∈=x b Ax R x x D n可行解：D x ∈最优解：cx cx z D x Dx ∈***==∈max ,最优值：**=Ax z基B ：B 为系数矩阵A 的m 阶非奇异子矩阵基变量： 与基B 的列对应的决策变量，常记为向量B x非基变量：与A 中除基B 外的列对应的决策变量，常记为向量N x 基解：对某一基B ，令非基变量0=N x 后，求出基变量B x 的值，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0B x x 为与此基B 对应的基解，若基变量B x 中有分量为零，则为退化的基解。

基可行解：若某基B 对应的基解满足0≥x ，则称为基可行解 可行基：与基可行解对应的基称为可行基[例] 对线性规划模型:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,1241648232max 21212121x x x x x x x x z讨论其基、基解、基可行解等有关基本概念。

解：首先化为标准型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+=+=+++=0,,,,1241648232max 54321524132121x x x x x x x x x x x x x x z系数矩阵),,,,(10040010040012154321P P P P P A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=下图中标出了基解与基可行解对应的几何点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，O ，其中基可行解对应可行域的顶点。

[例] 退化的基解的情形：修正上例的第二个约束，考虑如下线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,1241628232max 21212121x x x x x x x x z其标准型为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+=+=+++=0,,,,1241628232max 54321524132121x x x x x x x x x x x x x x z系数矩阵),,,,(10040010020012154321P P P P P A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=基),,(5211P P P B =对应的基解为：)12,0,0,0,8()1(=x ，其中043==x x 为非基变量，02=x 为退化的基变量。

基),,(5312P P P B =对应的基解为：)12,0,0,0,8()2(=x ，其中042==x x 为非基变量，03=x 为退化的基变量。

基),,(5413P P P B =对应的基解为：)12,0,0,0,8()3(=x ，其中032==x x 为非基变量，04=x 为退化的基变量。

这里)3()2()1(,,x x x 是与不同基对应的退化的基解，它们是同一个解，对应可行域的同一个顶点)0,8(§2 线性规划问题的几何意义几何上的几个基本概念 1． 凸集：10,,,,1)2()1(≤≤∈∀∈∀⊂λλR K xx R K n若，总有K x x ∈-+)2()1()1(λλ，则称K 为凸集 2． 凸组合：)(111)(,1,10,,,2,1,i ki i k i i i i ni x x R k i R x∑∑====≤≤∈∃=∈μμμμ使若 ，则称))2()1(,k xx x x （，为 的凸组合 3． 凸集的顶点： 设K 为凸集，K x ∈，若x 不能用K 中不同的两点)2()1(,xx 的线性组合表示为：)10(,)1()2()1(<<-+λλλx x，则称x 为K 的一个顶点线性规划问题的基本定理[定理1] 线性规划问题的可行域为凸集[定理2] 线性规划问题的基可行解对应于可行域的顶点[定理3] 若线性规划问题的可行域有界，其目标函数一定可以在可行域的顶点达到最优 [定理4] 若线性规划问题有最优解，则一定存在一个基可行解是最优解[推论] 若线性规划问题的最优解在两个以上的顶点处达到，则有无穷多最优解定理的证明]：直接根据凸集的定义设D xx ∈∀)2()1(,，则有0,)2()1(≥x x ，且b Ax Ax ==)2()1(对10,1≤≤∈∀λλR ，令)2()1()1(x x x λλ-+=，则有：b b b Ax Ax x xA Ax =-+=-+=-+=)1()1())1(()2()1()2()1(λλλλλλ又显然有0≥x ，则D x ∈。

证毕。

[定理2证明]：利用引理1[引理1] 线性规划问题的可行解是基可行解的充分必要条件是其正分量所对应的系数列向量是线性独立的设D 为(LP)的可行域，D x x x x Tn ∈=),,,(21 ，系数矩阵),,,(21n P P P A =，其中n 维列向量j P 与决策变量j x 对应。

Tn x x x x ),,,(21 =是(LP)的可行解，则满足：0,≥=x b Ax 不妨设0,,,,0,,,2121=>++n k k k x x x x x x必要性证明：若Tn x x x x ),,,(21 =是(LP)的基可行解，则k x x x ,,,21 必为基变量，且正分量个数m k ≤。

设x 与基B 对应，由B 非奇异，其中x 的正分量k x x x ,,,21 对应的列k P P P ,,,21 必线性无关。

充分性证明：若可行解x 的正分量k x x x ,,,21 对应的列k P P P ,,,21 线性无关，由系数矩阵A 的秩m A R =)(，必有m k ≤。

若m k =，则令),,,(21m P P P B =，构成A 的一个非奇异m 阶子矩阵。

则x 为与B 对应的基可行解。