第一章 管理运筹学——线性规划
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运筹学第一章线性规划
0
X1
约束条件所组成的可行 域为空集，无可行解。
《运筹学》 第一章 线性规划
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二、线性规划的标准形式
1、目标函数：max z c1x1 c2x2 cnxn
a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 a x21 1 a x22 2 a x2n n b2
《运筹学》 第一章 线性规划
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方案 根数
ABC
下料
3m 2 3 0
4m 1 0 2
合计 (m)
10
9
8
料头 (m)
0
1
2
P70 习题1－1： 设按这三种方案下料的原材料
根数分别为x1、x2、x3 。 min x1+x2+x3 S.t. 2x1+3x2>=90 x1+2x3>=60 Xi>=0
minz=2X1＋3X2＋5X3
s.t. X1＋X2－X3>=－5 －6X1＋7X2－9X3=15 ︱19X1－7X2＋5X3︱<=13
X1>=0, X2>=0
令X3=X3`－X3`` -X1－X2＋X3 `－X3`` ＋X4=5 －6X1＋7X2－9X3`＋9X3``=15 19X1－7X2＋5X3`－5X3``+X5=13 －19X1＋7X2－5X3 `＋5X3``＋X6=13 maxz=－2X1－3X2－5X3 `＋5X3`` ＋0X4+0X5+0X6 X1,X2,X3`,X3``,X4,X5,X6>=0 三、线性规划的解的概念（参考P12例1.7） 1、可行解和最优解：满足约束条件的解（X1，X2， …，Xn）T称为线性规划的可行解。而使得目标函数达到 最优值的可行解称为最优解。 2、基：（注意课本P15的定义对“基”的定义有误） 设A是约束方程组m×n维的系数矩阵，其秩为m，B是 矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵（B的行列式│B│≠0），则 称B是线性规划问题的一个基。
管理运筹
管理运筹学（一）管理运筹学绪论线性规划（运输问题）整数规划动态规划存储论排队论对策论决策分析第一章绪论运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
运筹学有广泛应用运筹学的产生和发展§1 决策、定量分析与管理运筹学决策过程（问题解决的过程）：1）提出问题：认清问题2）寻求可行方案：建模、求解3）确定评估目标及方案的标准或方法、途径4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等5）选择最优方案：决策6）方案实施：回到实践中7）后评估：考察问题是否得到完满解决1）2）3）：形成问题；4）5）分析问题：定性分析与定量分析。
构成决策。
§2 运筹学的分支线性规划非线性规划整数规划图与网络模型存储模型排队论排序与统筹方法决策分析动态规划预测§3运筹学在工商管理中的应用生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、配料问题、物料管理等库存管理：多种物资库存量的管理，库存方式、库存量等运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择等人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、人员合理分配，建立人才评价体系等市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售计划制定等财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现金管理等*** 设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等运筹学方法使用情况(美1983)运筹学的推广应用前景据美劳工局1992年统计预测: 运筹学应用分析人员需求从1990年到2005年的增长百分比预测为73%,增长速度排到各项职业的前三位.结论:运筹学在国内或国外的推广前景是非常广阔的工商企业对运筹学应用和需求是很大的在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做第二章线性规划的图解法在管理中一些典型的线性规划应用合理利用线材问题：如何下料使用材最少配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小线性规划的组成：目标函数 Max f 或 Min f约束条件 s.t. (subject to) 满足于决策变量用符号来表示可控制的因素§1问题的提出例1. 某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源的限制，如下表：问题：工厂应分别生产多少单位甲、乙产品才能使工厂获利最多？线性规划模型一般形式目标函数： Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤（ =, ≥）b1a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤（ =, ≥）b2…………am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn≤（ =, ≥）bmx1 ，x2 ，…，xn ≥ 0标准形式目标函数： Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2…………am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bmx1 ，x2 ，…，xn ≥ 0§2 图解法例1.目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2约束条件：s.t.x1 + x2 ≤ 300 (A)2 x1 + x2 ≤ 400 (B)x2 ≤ 250 (C)x1 ≥ 0 (D)x2 ≥ 0 (E)得到最优解：x1 = 50， x2 = 250最优目标值 z = 27500进一步讨论线性规划的标准化内容之一：——引入松驰变量（含义是资源的剩余量）例1 中引入 s1， s2， s3 模型化为目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3约束条件：s.t. x1 + x2 + s1 = 3002 x1 + x2 + s2 = 400x2 + s3 = 250x1 , x2 , s1 ,s2 , s3 ≥ 0对于最优解 x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0说明：生产50单位甲产品和250单位乙产品将消耗完所有可能的设备台时数及原料B，但对原料A则还剩余50千克。
天津大学管理运筹学课件第一章管理运筹学——线性规划.ppt
4
x1 x2 3 x12x12 x2 2 画出可行域 x1 , x2 0
标准化
A 3D
2C
F
1
E
B
0 1 2 3 4 x1
x1 x1
x2 x3
3 2
2x1 x2 x4 2
基本解的个数≤
C
3 4
4。
令x1=0，得基本解 X1=(0, 3, 2, -1)T, 对应于A点；
资源限制 360 200 300
返回
LP模型的一般形式 Max （Min） Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1
…… s.t.
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm
注：标准型中
s.t.
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn =bm 要求bi≥ 0
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
矩阵表示
Max Z = CX
AX=b s.t.
X ≥0
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
X X
B N
CB XB CN XN
CB (B1b B1 NX N ) C N X N
CB B1b (CN CB B1 N )X N
检验数向量，记为σ。当σ ≤0时，当前解为最优解。
x1 x2 3 x12x12 x2 2 画出可行域 x1 , x2 0
标准化
A 3D
2C
F
1
E
B
0 1 2 3 4 x1
x1 x1
x2 x3
3 2
2x1 x2 x4 2
基本解的个数≤
C
3 4
4。
令x1=0，得基本解 X1=(0, 3, 2, -1)T, 对应于A点；
资源限制 360 200 300
返回
LP模型的一般形式 Max （Min） Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1
…… s.t.
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm
注：标准型中
s.t.
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn =bm 要求bi≥ 0
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
矩阵表示
Max Z = CX
AX=b s.t.
X ≥0
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
X X
B N
CB XB CN XN
CB (B1b B1 NX N ) C N X N
CB B1b (CN CB B1 N )X N
检验数向量，记为σ。当σ ≤0时，当前解为最优解。
《管理运筹学》教学课件-第1章线性规划
要求至少应增加出油能力500桶/天，但又不得超过1100桶/天，试确定该公司总经济效益最大的
投资方案。
表 1.5
方 案 序 号
投资方案内容
技改方案内容
决
投资（万元）
策
年收益
变 量
第一年 第二年 （万元）
1 更新旧装置，提高炼油能力 500 桶/ X1
200
200
100
天
2 建造新装置， 提高炼油能力 1000 X2
2 、数学模型中系数的含义:
Max Z = 70x1＋30x2 s.t. 3x1 + 9x2 ≤ 540
5x1 + 5x2 ≤ 450 9x1 + 3x2 ≤ 720 x1 , x2 ≥0
…① …② …③ …④ …⑤
①.目标函数中决策变量的系数70,30 ------ 叫价值系数，表单位产品提供的利润(元/件)；
1946年，世界上第一台计算机问世，使单纯形法处理大规模L.P.数模成为可能。
三、 L.P.问题的求解过程
1、将实际问题转化为数学模型(数学公式)：建模。 2、求解数学模型：
• 图解法： 适合于 2 个变量的 L.P. 数学模型。 • 单纯形法：适合于任意个变量的 L.P. 数学模型。 3、利用数学模型的最优解获得原问题的最优决策方案。
解: ① 设甲、乙产品产量分别为x1、x2 公斤——— 决策变量，简称变量 ② 设总利润为Z，则
Max Z = 70x1＋30x2 ③ 设备可用工时数限制
——— 目标函数 ——— 约束条件
s.t. 3x1 + 9x2 ≤ 540 A 设备可用工时约束
5x1 + 5x2 ≤ 450 B 设备可用工时约束
运筹学基础-线性规划(方法)
问题描述
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
《运筹学》第一章 线性规划
③
约束方程②的系数矩阵
2 2 1 0 0 0
A 1 4
2 0
0 0
1 0
0 1
0 0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
0 4 0 0 0 1
确定初始基B
1 0 0 0
产量分别为 x1、x2
项目
Ⅰ
设备 A（h） 0
设备 B（h） 6 调试工序（h） 1 利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
2.目标函数：设总利润为z，则
max z = 2 x1 + x2 3.约束条件：
5x2 ≤ 15
s.t.
6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1， X2，使X成为这两个点连线上的一个点。
（三）基本定理
定理1 若线性规划问题存在可行解，则问题的 可行域是一个凸集。
定理2 线性规划的基可行解对应线性规划问题 可行域（凸集）的顶点。
定理3 若线性规划问题有最优解，一定存在一个 基可行解是最优解。
(2)常数项bi＜0的转换：约束方程两边乘以（－1）。 (3) 约束方程的转换：由不等式转换为等式 。
aij xj bi aij xj bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
(4) 变量的变换
若存在取值无约束的变量 x，j可令
2x1
运筹学第1章-线性规划
凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
管理运筹学线性规划
(2)约束条件。生产这两种产品受到现有生产能力的
制约，原料用量也受限制。
设备的生产能力总量为300台时，则约束条件表述为 x1 +x2 ≤300 A、B两种原材料约束条件为 2x1 + x2 ≤400 x2 ≤250
7
经济管理学院
第一节 线性规划一般模型
(3)目标函数。目标是利润最大化，用Z表示利润，则
目标函数极大化， 约束条件为等式， 右端常数项bi≥0， 决策变量非负。
19
经济管理学院
第三节 线性规划的标准型
二、标准型的表达方式 有代数式、矩阵式： 1. 代数式
maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm x1,x2,…,xn ≥0 maxZ= c jx j aijxj＝bi
max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤(≥,＝)b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤(≥,＝)b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤(≥,＝)bm x1,x2,…,xn ≥(≤)0
11
经济管理学院
第二节 线性规划的图解法
• 决策变量xk没有非负性要求
令xk=xk′-x k〃， xk=xk′，x k〃 ≥0 ，用xk′、x k〃 取代模型中xk
22
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标准化
2C 1 0
E 2
B 3 4
x1
x1 x 2 3 x1 x 3 2 2 x x x 2 1 2 4
3 基本解的个数≤ C 4 4 。
令x1=0，得基本解 X1=(0, 3, 2, -1)T, 对应于A点； 令x2=0，得基本解 X2=(3, 0, 1, -8)T, 对应于B点； 基 令x3=0，得基本解 X3=(2, 1, 0, 5)T, 对应于F点； 可 令x4=0，得基本解 X4=(1/3, 8/3, 5/3, 0)T, 对应于D点； 行 解
X*=（20，24）， Z*=428
40
7x1+12x2=168 20
7x1+12x2=84
x1
0
20
40
60
80
100
课堂练习 图解法求解线性规划 (1)
4 x 2
(2)
min z 2 x1 3 x2 x1 x2 4 (1) 2 x1 x2 2 ( 2) st x1 2 x2 2 ( 3) x1 , x2 0
管理运筹学
Operational Research
天津大学管理学院 郭均鹏
教师简介：
郭均鹏：博士，副教授， 硕士生导师。 主要研究领域： 运筹决策技术； 信息管理与企业信息化； 绩效考核与薪酬体系设计 联系方式：天津大学管理学院，300072 guojp@
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
2 3 4 1 2x2 + x3 + 3x5 + 2x6 + x7 = 100 s.t. x1 + x3+ 3x4 + 2x6 + 3x7 + 4x8 = 100 x 1, x 2, x 3, x4, x 5, x6, x 7, x 8 ≥ 0
2x + x + x + x
最优解为： x1=10,x2=50,x3=0,x4=30,x5=0,x6=0,x7=0,x8=0
-2 -1
3
2 1 O 0 1 2 3
(3)
4
x 1
最优解： x1 = 0， 最优目标值 z = 3
x2 = 1
2. LP 解的几种情况
（1）唯一解 （2）多重最优解
（3）无可行解
（4）无有限最优解
注：出现（3）、（4）情况时，建模有问题
图解法的结论：
●
线性规划的可行域是凸集
极 点
凸集
不是凸集
● ●
§2 单纯形法 一、线性规划的标准型
1、标准形式
பைடு நூலகம்
Max Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn =b1 s.t. …… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn =bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 矩阵表示
线性规划的最优解若存在，必在可行域的在极点获得 若在两个极点同时获得，则有无穷多最优解
三、
线性规划应用举例与软件求解
例1 （下料问题） 某工厂要做100 套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每 根长7.4 m，问：应如何下料，可使 所用原料最省？
例1 （下料问题） 某工厂要做100套钢架，每套用 长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每 根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？ 7.4 m 2.1m
40
60
80
100
（2）作目标函数的等值线 ①给z不同的值，作相应直线，判断出z 增大时，直线的移动方向
x2
如：令7 x1 +12x2=84
100 80
7 x1 +12x2=168
②将直线向增大方向移动，直至可行域 边界，交点X*即为最优解。
9x1+4x2=360
60
4x1+5x2=200 3x1+10x2=300
B [ P1 ,, Pm ] 非奇异，则BX=b有唯一解，设为 X B ( x1 ,, xm )T 。
称 X ( x1 ,, xm ,0,,0)T 为基本解，简称基解。
m 结论：基本解的个数≤ C n
其余部分称为非基子阵，记为N。 基：A中m阶可逆子阵，记为B。
基向量：B中的列。 基变量：和基向量相对应的决策变量。
可行解的集合
例：煤电油例 Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0
公共部分，即为可行域
x2
100
s.t.
9x1+4x2=360
80
60
4x1+5x2=200
3x1+10x2=300
40 20
x1
0
20
s.t.
返回
LP模型的一般形式 Max （Min） Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1
……
s.t. am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
（3）自由变量xj 进行变量替换： xj= xj ' - xj ' ' ，其中xj ' 、 xj ' ' ≥0
二、LP解的基本概念
考虑标准型：
1. 可行解 2. 基本解
Max Z = CX AX=b （1） s.t. X ≥ 0 （2） 满足（1）、（2）的解
a11 a1n A [ P1 , , Pn ] ， 设r(A)=m， 且不妨设 a m 1 a mn
注：标准型中 要求bi≥ 0
Max Z = CX AX=b s.t. X ≥0
2、非标准型 （1）Min Z = CX （2）约束条件
标准型 Max Z' = -CX 松弛变量
• •
“≤”型约束，加松弛变量；
例如： 9 x1 +4x2≤360
“≥”型约束，减松弛变量；
9 x1 +4x2+ x3=360
三、单纯形法的基本方法
基本方法：
确定初始基可行解
检验是否最优？
N
Y
停
转到另一更好的 基可行解 方法前提：模型化为标准型
1. 初始可行基B0的确定
若A中含有I：B0=I
若A中不含I：人工变量法
2. 最优性检验
把目标函数用非基变量表示： 矩阵 ( B , N ) X B b X B B 1b B 1 NX N AX b 分块 X N XB ∴ Z CX (C B , C N ) X CB X B C N X N N
资源
产品
甲 9 4 3
乙 4 5 10
资源限制 360 200 300
煤 电 油
单价
7
12
线性规划模型三要素：
（1）决策变量
意为“使其满 （2）目标函数
足”
（3）约束条件
Subject To， 设甲产品生产x1，乙产品生产x2
Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0
每头日需
10
5
8
7
答案：设购买M饲料x1，N饲料x2 Min Z=300 x1 +200x2 0.5 x1 +0.1x2≥10 0.2x1 +0.3x2 ≥5 0.3x1 +0.4x2 ≥8 0.2x2 ≥7 x1 , x2≥0
s.t.
二、线性规划的图解法
1. 步骤
（1）作约束的图形——可行域 ①先作非负约束 ②再作资源约束
矩阵表示
Max Z = CX AX ≤ b s.t. X ≥0
其中: X= (x1,x2, …, xn) T 为决策变量 C=(c1,c2, …, cn) 称为价格系数 A=(aij)m×n 称为技术系数 b= (b1,b2, …, bm) T 称为资源系数
课堂练习 某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其 获取所需的A、B、C、D四种养分。有关数据 如下表，现饲料可从市场上出售的M、N两种饲 料中选择，试决定总花费最小的购买方案。 （列出模型） 饲料 养分 A M 0.5 N 0.1 每头 日需 B 0.2 0.3 C 0.3 0.4 D 0 0.2 价格 300 200
A 1/2
X1=(1/2, 0, 0)T, X2=(0, 1, 0)T, X3=(0, 0, 1/3)T,
对应于A点； 对应于B点； 对应于C点；
x2
例、研究约束集合
4 3 A D F 1
x1 x 2 3 x 2 画出可行域 1 2 x1 x 2 2 x1 , x 2 0
10
5
8
7
课堂练习
某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其获取所需的A、B、C、D四 种养分。有关数据如下表，现饲料可从市场上出售的M、N两种饲料中选 择，试决定总花费最小的购买方案。（列出模型）
养分
饲料 M N A 0.5 0.1 B 0.2 0.3 C 0.3 0.4 D 0 0.2 价格 300 200
2C 1 0
E 2
B 3 4
x1
x1 x 2 3 x1 x 3 2 2 x x x 2 1 2 4
3 基本解的个数≤ C 4 4 。
令x1=0，得基本解 X1=(0, 3, 2, -1)T, 对应于A点； 令x2=0，得基本解 X2=(3, 0, 1, -8)T, 对应于B点； 基 令x3=0，得基本解 X3=(2, 1, 0, 5)T, 对应于F点； 可 令x4=0，得基本解 X4=(1/3, 8/3, 5/3, 0)T, 对应于D点； 行 解
X*=（20，24）， Z*=428
40
7x1+12x2=168 20
7x1+12x2=84
x1
0
20
40
60
80
100
课堂练习 图解法求解线性规划 (1)
4 x 2
(2)
min z 2 x1 3 x2 x1 x2 4 (1) 2 x1 x2 2 ( 2) st x1 2 x2 2 ( 3) x1 , x2 0
管理运筹学
Operational Research
天津大学管理学院 郭均鹏
教师简介：
郭均鹏：博士，副教授， 硕士生导师。 主要研究领域： 运筹决策技术； 信息管理与企业信息化； 绩效考核与薪酬体系设计 联系方式：天津大学管理学院，300072 guojp@
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
2 3 4 1 2x2 + x3 + 3x5 + 2x6 + x7 = 100 s.t. x1 + x3+ 3x4 + 2x6 + 3x7 + 4x8 = 100 x 1, x 2, x 3, x4, x 5, x6, x 7, x 8 ≥ 0
2x + x + x + x
最优解为： x1=10,x2=50,x3=0,x4=30,x5=0,x6=0,x7=0,x8=0
-2 -1
3
2 1 O 0 1 2 3
(3)
4
x 1
最优解： x1 = 0， 最优目标值 z = 3
x2 = 1
2. LP 解的几种情况
（1）唯一解 （2）多重最优解
（3）无可行解
（4）无有限最优解
注：出现（3）、（4）情况时，建模有问题
图解法的结论：
●
线性规划的可行域是凸集
极 点
凸集
不是凸集
● ●
§2 单纯形法 一、线性规划的标准型
1、标准形式
பைடு நூலகம்
Max Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn =b1 s.t. …… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn =bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 矩阵表示
线性规划的最优解若存在，必在可行域的在极点获得 若在两个极点同时获得，则有无穷多最优解
三、
线性规划应用举例与软件求解
例1 （下料问题） 某工厂要做100 套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每 根长7.4 m，问：应如何下料，可使 所用原料最省？
例1 （下料问题） 某工厂要做100套钢架，每套用 长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每 根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？ 7.4 m 2.1m
40
60
80
100
（2）作目标函数的等值线 ①给z不同的值，作相应直线，判断出z 增大时，直线的移动方向
x2
如：令7 x1 +12x2=84
100 80
7 x1 +12x2=168
②将直线向增大方向移动，直至可行域 边界，交点X*即为最优解。
9x1+4x2=360
60
4x1+5x2=200 3x1+10x2=300
B [ P1 ,, Pm ] 非奇异，则BX=b有唯一解，设为 X B ( x1 ,, xm )T 。
称 X ( x1 ,, xm ,0,,0)T 为基本解，简称基解。
m 结论：基本解的个数≤ C n
其余部分称为非基子阵，记为N。 基：A中m阶可逆子阵，记为B。
基向量：B中的列。 基变量：和基向量相对应的决策变量。
可行解的集合
例：煤电油例 Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0
公共部分，即为可行域
x2
100
s.t.
9x1+4x2=360
80
60
4x1+5x2=200
3x1+10x2=300
40 20
x1
0
20
s.t.
返回
LP模型的一般形式 Max （Min） Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1
……
s.t. am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
（3）自由变量xj 进行变量替换： xj= xj ' - xj ' ' ，其中xj ' 、 xj ' ' ≥0
二、LP解的基本概念
考虑标准型：
1. 可行解 2. 基本解
Max Z = CX AX=b （1） s.t. X ≥ 0 （2） 满足（1）、（2）的解
a11 a1n A [ P1 , , Pn ] ， 设r(A)=m， 且不妨设 a m 1 a mn
注：标准型中 要求bi≥ 0
Max Z = CX AX=b s.t. X ≥0
2、非标准型 （1）Min Z = CX （2）约束条件
标准型 Max Z' = -CX 松弛变量
• •
“≤”型约束，加松弛变量；
例如： 9 x1 +4x2≤360
“≥”型约束，减松弛变量；
9 x1 +4x2+ x3=360
三、单纯形法的基本方法
基本方法：
确定初始基可行解
检验是否最优？
N
Y
停
转到另一更好的 基可行解 方法前提：模型化为标准型
1. 初始可行基B0的确定
若A中含有I：B0=I
若A中不含I：人工变量法
2. 最优性检验
把目标函数用非基变量表示： 矩阵 ( B , N ) X B b X B B 1b B 1 NX N AX b 分块 X N XB ∴ Z CX (C B , C N ) X CB X B C N X N N
资源
产品
甲 9 4 3
乙 4 5 10
资源限制 360 200 300
煤 电 油
单价
7
12
线性规划模型三要素：
（1）决策变量
意为“使其满 （2）目标函数
足”
（3）约束条件
Subject To， 设甲产品生产x1，乙产品生产x2
Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0
每头日需
10
5
8
7
答案：设购买M饲料x1，N饲料x2 Min Z=300 x1 +200x2 0.5 x1 +0.1x2≥10 0.2x1 +0.3x2 ≥5 0.3x1 +0.4x2 ≥8 0.2x2 ≥7 x1 , x2≥0
s.t.
二、线性规划的图解法
1. 步骤
（1）作约束的图形——可行域 ①先作非负约束 ②再作资源约束
矩阵表示
Max Z = CX AX ≤ b s.t. X ≥0
其中: X= (x1,x2, …, xn) T 为决策变量 C=(c1,c2, …, cn) 称为价格系数 A=(aij)m×n 称为技术系数 b= (b1,b2, …, bm) T 称为资源系数
课堂练习 某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其 获取所需的A、B、C、D四种养分。有关数据 如下表，现饲料可从市场上出售的M、N两种饲 料中选择，试决定总花费最小的购买方案。 （列出模型） 饲料 养分 A M 0.5 N 0.1 每头 日需 B 0.2 0.3 C 0.3 0.4 D 0 0.2 价格 300 200
A 1/2
X1=(1/2, 0, 0)T, X2=(0, 1, 0)T, X3=(0, 0, 1/3)T,
对应于A点； 对应于B点； 对应于C点；
x2
例、研究约束集合
4 3 A D F 1
x1 x 2 3 x 2 画出可行域 1 2 x1 x 2 2 x1 , x 2 0
10
5
8
7
课堂练习
某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其获取所需的A、B、C、D四 种养分。有关数据如下表，现饲料可从市场上出售的M、N两种饲料中选 择，试决定总花费最小的购买方案。（列出模型）
养分
饲料 M N A 0.5 0.1 B 0.2 0.3 C 0.3 0.4 D 0 0.2 价格 300 200