正四面体性质及其应用审批稿
正四面体的性质
正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积S全= 2a；(2)体积V=312a；(3)对棱中点连线段的长d= a；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。
)(4)相邻两面所成的二面角α=1 arccos3(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为β=1 arccos3(7)外接球半径R=4a；(8)切球半径r=12a.(9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则①不含直角的底面ABC是锐角三角形；②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；③体积V= 16a b c；④底面面积S△ABC⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC；ABCDOH⑥S 2△BOC+S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC⑦22221111OH a b c=++; ⑧外接球半径 R=⑨切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的(1)全面积 S 全= 2a ； (2)体积 3； (3)对棱中点连线段的长 d=a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。
)(4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3(7)外接球半径 R=4a ； (8)切球半径 r=a . (9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；AO H②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；③体积 V=16a b c ；④底面面积S △ABC⑤S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC⑦22221111OH a b c=++;⑧外接球半径 R=⑨切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的(1)全面积 S 全= 2a ；(2)体积 3；(3)对棱中点连线段的长 d=2a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。
几何体的正四面体
几何体的正四面体正四面体是一种特殊的几何体，具有很多独特的性质和特点。
在本文中，我将介绍正四面体的定义、属性以及一些有趣的应用。
一、正四面体的定义正四面体是一种具有四个等边等角面的多面体。
它的四个面都是等边三角形，每两个面之间的夹角都是一样的，也都是等于70.53°。
在正四面体中，任意两条边的长度和相等。
这些特点使得正四面体在几何学中有着重要的地位。
二、正四面体的性质1. 对称性：正四面体具有很高的对称性。
它有24个对称操作，包括旋转和翻转等。
这些对称性使得正四面体在立体几何中有广泛的应用，例如建筑设计和立体模型制作等。
2. 共面性：正四面体的四个顶点共面。
这意味着可以通过这四个顶点构成一个平面。
而且在这个平面上，正四面体可以被视为一个等边三角形。
3. 体积和表面积：正四面体的体积和表面积可以通过简单的公式计算得到。
其中，体积公式为V = (a³√2) / 12，表面积公式为S = a²√3，其中a表示正四面体一个面的边长。
4. 空间分割：正四面体可以将三维空间分割成四个完全相同的四面体。
这种空间分割在某些科学领域中非常有用，例如晶体结构的研究和分子模拟等。
三、正四面体的应用1. 立体几何学研究：正四面体是立体几何学中的一个基本概念，它的研究可以帮助我们理解和解决各种与几何学相关的问题，例如立体投影、体积计算等。
2. 建筑设计：正四面体的对称性和美观性使得它成为建筑设计中的常用元素。
例如，一些摩天大楼的外形可以采用正四面体的结构，使得建筑物更加稳定和美观。
3. 教育和娱乐：正四面体的独特性质和形状可以作为教学和娱乐的工具。
通过搭建正四面体模型或者使用虚拟现实技术，人们可以更直观地了解和体验正四面体的一些特点和性质。
总结：正四面体作为一种特殊的几何体，具有对称性、共面性以及特定的体积和表面积等性质。
它在几何学研究、建筑设计和教育娱乐等领域有着广泛的应用。
通过深入研究和探索正四面体，我们可以进一步拓展对几何学的理解和应用。
正四面体的性质
正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的
(1)全面积 S 全
2a ；
(2)体积
3； (3)对棱中点连线段的长
d=
2a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。
)
(4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3
(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3
(7)外接球半径
R= 4
a ； (8)内切球半径
a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.
如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则
①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；
②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；
③体积 V= 16
a b c ； ④底面面积S △ABC
； ⑤S
2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S
2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦ 2222
1111OH a b c =++; ⑧外接球半径
⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c
∆∆∆∆++-++ A B C D O H。
小谈正四面体的一些性质及其应用
分析：连接SE、SF延长分别交AB、BC 于G、H，易知
EF= GH= AB，故只需求出正四面体的棱长即可，本题若直接由体积求棱长有一定的难度，若根据习题结论①②，先把正四面体补成正方体，则V正方体=3V正四面体=216，故正方体的棱为6，而正四面体的棱长为6 ，所以EF= AB=2 .
例4.半径为R的球的内接正四面体的体积等于___________. (第十一届“希望杯”高一培训题)
分析:由上述结论①②③可知,半径为R的球的内接正方体的对角线长为2R,故其棱长为 ,其体积为V正方体=( )3= ,V正四面体= .
正四面体与正方体是立几中较特殊、内涵较丰富的几何体,且两者有着密不可分的关系.我们在解题时若注意运用两者的特殊关系,往往会达到“山穷水复疑无路,柳暗花明又一村.”的效果
例2.棱长为2的正四面体的体积为_____________.(98年上海高考题)
本题若直接计算,有一定的难度与计算量,若利用上述习题结论,将其补成正方体,可取得事半功倍之效.
解: 将该正四面体补成正方体,由正四面体的棱长为2,易知正方体的棱长为 .故V正方体=( )3=2 ∴V正四面体= V正方体= 。
(3)正四面体的高为正方体对角线长的三分之二。
2．正四面体的三个球的有关性质
正四面体的三个球：一个正四面体有一个外接球，一个内切球和一个与各棱都相切的球。那么这三个球的球心及半径与正四面体有何关系呢？为了研究这些关系，我们利用正四面体的外接正方体较为方便。
正方体 的内接球即是正方体的内切球，此两球的球心都在正方体的中心。
例1.正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果 E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等( ) (90年全国高考试题)
正四面体性质及其应用
正四面体性质及其应用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT正四面体的性质及其应用正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则 （1） 全面积S 全= 3 a 2； （2） 高h = 63a ；（3） 体积V = 212 a 3；（4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 22a（5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 13； （6） 棱与其相交的面所成的角 β=arctan 2 ；（7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 612a ，外接球半径R＝ 64a ，r ︰R =1︰3； （8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。
将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。
考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π3，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3π===⌒⌒⌒CA BC AB ，球的半径r =1∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π3，则AB=BC=CA =1所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC的距离即其高为 63，答案B 。
例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 612a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 612a ，因此选C 。
正四面体的性质
(1)全面积 S 全2a ； (2)体积3； (3)对棱中点连线段的长d=2a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。
)(4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3(7)外接球半径a ； (8)内切球半径r=12a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；③体积 V= 16a b c ；④底面面积S △ABC⑤S 2△BOC=S △BHC ·S △ABC ；⑥S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC⑦22221111OH a b c =++; ⑧外接球半径⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++ABCDO H(1)全面积 S 全2a ； (2)体积3； (3)对棱中点连线段的长d=2a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。
)(4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3(7)外接球半径a ； (8)内切球半径r=12a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；③体积 V= 16a b c ；④底面面积S △ABC⑤S 2△BOC=S △BHC ·S △ABC ；⑥S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC⑦22221111OH a b c =++; ⑧外接球半径⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++ABCDO H(1)全面积 S 全2a ； (2)体积3； (3)对棱中点连线段的长d=2a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。
正四面体的性质及应用
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载正四面体的性质及应用地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容正四面体的性质及应用正四面体是立体几何中的基本几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系．在近年来各类考试中，正四面体倍受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考察学生的数学思维能力和思维品质．因此，一线师生在教学过程中，应对这个几何体引起足够的重视．笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论．下面给出正四面体的相关结论，并利用这些结论解决问题，以期能对同学们学习立体几何有所启示．一、理顺正四面体性质——固本清源不妨设正四面体ABCD的棱长为a，则存在着以下定理：定理1．正四面体的3对异面棱均互相垂直，任意一对异面棱之间的距离均为；定理2．正四面体的高为；定理3．正四面体的内切球半径为，外接球半径为，且有；略证：如图1，易知正四面体的外接球心与内切球心重合为点O，并且位于正四面体的高AH上，连结BO、CO、DO，易知，且，从而AO、BO、CO、DO两两所确定的平面将正四面体分割成四个形状相同的正三棱锥：，，且每一个小正三棱锥的高都是内切球的半径，于是有，即，亦即有，所以，．故定理4．正四面体的全面积为，体积为；定理5．正四面体底面内任一点O到三个侧面的距离的之和；正四面体内任意一点到四个侧面的距离之和(仿定理3利用体积分割法易证)．定理6．正四面体的侧棱与其底面所成的线面角大小为；定理7．正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为；略证：设相邻两个侧面所成的角为，由于四个侧面的面积均相等，所以由射影面积公式知．定理8．设正四面体的侧棱与底面所成的角为，相邻两个侧面所成的二面角记为，则有略证：如图1所示，易知，，由H为的中心，易知，从而．定理9．正四面体的外接球的球心与内切球的球心O重合且为正四面体的中心；中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角．略证：如图1，在三角形AOB中，，，由余弦定理可求得，于是．同理可得．定理10．正四面体内接于一正方体，且它们共同内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线．二、运用正四面体性质——化繁为易1．巧算空间距离例1．一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积．分析一：由定理10知，将正四面体嵌于正方体的内部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的内切半径相等进行求解．解法一．如图2所示，将正四面体补成正方体，易知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球．∵ 正四面体的棱长为a，∴ 正方体的棱长为．∴ 正方体的内切球半径．∴ ．分析二：根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离．解法二．∵ 正四面体的棱长为a，∴ 由定理1可知，相对棱间的距离为．即该球的半径为．∴ ．例2．在棱长为2的正四面体木块ABCD的棱AB上有一点P（），过P点要锯出与棱AB垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上锯痕，在面ABC上的锯缝，求锯缝MN的值．解：如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知∠MPN也是正四体相邻两面的二面角的平面角，即∠NPM＝∠CED，由定理7可知，于是，在中，由余弦定理得，∴2．妙求空间角例3．设P为空间一点，PA、PB、PC、PD是四条射线，若PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，则这些角的余弦值为．解：如图4，构造正四面体ABCD，设P为四面体的中心，则PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，设，由正四面体的性质，可知余弦值为例4．如图5，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连结AF、CE．⑴求异面直线直线AF和CE所成的角；⑵求CE与面BCD所成的角．解：⑴连结FD，在平面AFD内，过点E作EG∥AF交DF于点G．则是异面直线AF与CE所成的角（或其补角）．设正四面体ABCD的棱长为a，可得，，．由余弦定理可求得．故异面直线AF与CE所成的角为．⑵由已知易知平面AFD⊥平面BCD，在平面AFD内，过点E作EH⊥FD于点H，连结CH，则∠ECH为CE与平面BCD所成的角．∵ EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知．∴ ．∴ CE 与底面BCD所成的角为．例5．如图6，正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC1和DD1是该球的直径，求面ABC与面AC1D1所成角的正弦值．解：由正四面体性质定理10知正四面体内接于一球，该正方体也内接于此球，且正方体的对角线为此球的直径，如图所示，即CC1、DD1为该球的直径．连结C1D1，交AB于点M，连结MC．∵ MC⊥AB，MD1⊥AB，∴ ∠CMD1为平面ABC与平面AC1D1所成的角．设正方体棱长为a，在中，．∴ 平面ABC与平面ACD所成的角的正弦值为．归纳反思：正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升．1.在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中不成立的是②．①面；②面面；③面；④面面．2.正四面体中，与平面所成角的余弦值为．3.如图，正四面体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则的值为A．4 B．C．D．2选：．44.以下说法①三个数，，之间的大小关系是；②已知：指数函数过点，则；③已知正四面体的边长为，则其外接球的体积为；④已知函数的值域是，，则的值域是，；⑤已知直线平面，直线在内，则与平行．其中正确的序号是①③．555555555.在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．选：．6.在正四面体中，、分别为棱、的中点，连接、，则异面直线和所成角的正弦值为A．B．C．D．选：．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线和所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答案．7.如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是A．B．C．D．选：．8.棱长为1的正四面体中，为棱上一点（不含，两点），点到平面和平面的距离分别为，，则的最小值为．【考点】：基本不等式及其应用【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：不等式【分析】设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点，则点为的中点．设．，，．由，可得．同理可得：．代入利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点，则点为的中点．设．，．，．同理可得：．，当且仅当时取等号．故答案为：．9.已知是正四面体棱的中点，是棱上异于端点，的任一点，则下列结论中，正确的个数有（1）；（2）若为中点，则与所成角为；（3）平面平面；（4）存在点，使得过的平面与垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】：异面直线及其所成的角；：空间中直线与直线之间的位置关系；：直线与平面垂直；：平面与平面垂直【专题】14：证明题【分析】连接、，可证明出平面，从而，得（1）正确；取中点，连接、，利用三角形中位线定理证明出、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角，再通过余弦定理，可以求出与所成角为，故（2）正确；根据（1）的正确结论：，结合平面与平面垂直的判定定理，得到（3）正确；对于（4），若存在点，使得过的平面与垂直，说明存在的一个位置，使．因此证明出“不论在线段上的何处，都不可能有”，从而说明不存在点，使得过的平面与垂直．【解答】解：（1）连接、正中，为的中点同理，结合平面，而平面，故（1）是正确的；（2）取中点，连接、中，、分别是、的中点，．、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角设正四面体棱长为，在中，则中在中，，即异面直线、所成的角是，故（2）正确；（3）由（1）的证明知：平面平面平面平面，故（3）正确；（4）若有，根据（1）的结论，因为、相交于点，所以平面中，，可得是锐角，说明点在线段上从到运动过程中，的最大值是锐角，不可能是直角，因为平面，与不能垂直，以上结论与平面矛盾，故不论在线段上的何处，都不可能有．因此不存在点，使得过的平面与垂直．综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）故选：．10.棱长为的正四面体中，给出下列命题：①正四面体的体积为；②正四面体的表面积为；③内切球与外接球的表面积的比为；④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值．上述命题中真命题的序号为②③④．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】①正四面体的高，体积为，计算即可判断出正误；②正四面体的表面积为，即可判断出正误；③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；，解得，即可判断出正误；④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则，化简即可判断出正误．【解答】解：①正四面体的高，体积为，因此不正确；②正四面体的表面积为，正确；③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；，解得．，因此表面积的比为，正确；④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则，化简可得：，即为正四面体的高，均为定值，正确．上述命题中真命题的序号为②③④．。
正四面体的性质
正四面体的外角和为360度
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每个三角形的内角和为180度
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正四面体的每个面都是直角三角 形
正四面体的面积和体积
面积公式：S=√3a^2/4，其中a 为正四面体的边长
面积和体积的计算方法：通过正 四面体的边长和几何关系进行计 算
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体积公式：V=√2a^3/12，其中 a为正四面体的边长
面积和体积的性质：正四面体的 面积和体积与其边长成正比，与 其他参数无关
正四面体的对称性
正四面体具有高度 的对称性，其四个 面都是等边三角形。
正四面体的对称轴 是三条过相对顶点 的中垂线，它们交 于一点，即正四面 体的中心。
正四面体的所有顶 点都是对称的，即 任意两个相对的顶 点都是关于对称轴 对称的。
成
性质：正四面 体的所有面都 是等边三角形， 且所有边长度
相等
特性：正四面 体的高与底面 边长的比值为
√3:2
03
正四面体的性质
正四面体的边长关系
正四面体的边长相等 正四面体的所有面都是等边三角形 正四面体的所有棱长都相等 正四面体的所有内角都相等
正四面体的角度关系
正四面体的每个面都是等边三角 形
建筑学：正四面 体结构在建筑学 中也有着广泛的 应用，如金字塔、 教堂的建筑设计。
正四面体在化学中的应用
甲烷的结构：正四面体结构，碳原子位于正四面体的顶点，氢原子位于正四面体的棱上 分子形状：正四面体结构决定了甲烷分子的形状为正四面体 分子稳定性：正四面体结构使得甲烷分子更加稳定，不易发生化学反应
正四面体的发展历程
起源：古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中首次定义了正四面体 应用：正四面体在几何、物理和工程等领域有广泛应用 扩展：正四面体的性质和结构可以推广到其他多面体 现代研究：正四面体的研究在数学和物理学中仍然是一个重要的课题
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正四面体性质及其应用 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】
正四面体的性质及其应用
正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则 （1） 全面积S 全= 3 a 2； （2） 高h = 6
3a ；
（3） 体积V = 2
12 a 3；
（4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2
2a
（5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 1
3； （6） 棱与其相交的面所成的角 β=arctan 2 ；
（7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6
12a ，外接球半径R ＝
6
4a ，r ︰R =1︰3；
（8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。
将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。
考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：
例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π
3，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7
解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3
π
=
==⌒
⌒
⌒
CA BC AB ，球的半径r =1
∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π
3，则AB=BC=CA =1
所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的
距离即其高为 6
3，答案B 。
例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a
解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6
12a ，中截面到底面的距离为高
的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6
12a ，因此选C 。
例3：（06年陕西卷）将半径为R
的球心到桌面的距离为 。
解析A 、B 、C 、D
，因为四个球两两相切，则ABCD 2R 的正四面体，A 到面BCD 的距离为
2 6
3R ，则上面一个球的球心A 到桌面的距
离为R +2 6 3R =（1+2 6
3）R 。
例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60○，E 为AC 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（ ）
A 4 3 27π
B 6 2π
C 6 8π
D 解析：三棱锥P -DC
E 实质上是棱长为1的正四面体， 则其外接球的体积为 V = 43πR 3= 43π( 6 4)3= 6 8π。
例5：（06年湖南卷）棱长为2球心的一个截面如图1
A
2 2
B
3 2
C 2
D 3
解析：由截面图形可知，正四面体恰好有两个顶点在球面上， 且截面圆经过其外接球的球心（正四面体的中心），由 正四面体的对称性可知M 为AB 对棱CD 的中点，M 到AB 的距离即为正四面体对棱公垂线的长 2
2a ，所以
S △ABC = 1
2×2× 2 ×2＝ 2 。
例6：(07年安徽卷)半径为1的球面上的四点A 、B 、C 、D 是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ）
A )3
3
arccos(-
B )36arccos(-
C )31arccos(-
D )4
1arccos(- 解析：由题意可知，此球O 为正四面体的外接球，且外接球的半径为1，则正四面体的棱长为2 6 3，根据余弦定理得cos ∠AOB =1+1－(2 6
3)2
2×1×1=－1
3,所以∠AOB =arccos(－
13)，因此A 与B 两点间的球面距离为l =αR = arccos(－13)×1= arccos(－13)。