正四面体性质及其应用
正四面体的性质ppt课件
E
F
A
C
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课堂小结
同学们都掌握这些性质了吗？ 你还有什么疑问呢？ 在解答问题是你需要注意一些什么的球的内接正四面体的体积等于_ __________. 2. 棱长为2的正四面体的体积为___________ _.
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谢谢观赏！ 再见！
4
R
A
B
C
12
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教学过程
(8)内切球半径？ P
r= 6 a
12
B
rA
C
13
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教学过程
（9）正四面体内任意一点到四个面的距 离之和为什么？
和为定值(等于正四面体的 高).
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课堂练习
1.正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果 E、 F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所 成的角等( )
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（A）90° （B）60° （C）45° （D）30°
S
分析：本题若仔细观察已知条件， 易知S-ABC为正四面体。而正四面 体必可补成正方体，显然，EF在正 方体的两底面的中心连线上， B F 与正方体的侧棱SD平行，由 ∠ASD=45°，知选(C).
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E
A C
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课堂练习
2.如图，四面体S-ABC体积为72，连接两面的重 心E、F，则EF的长度是（ ）
切，则此线段就是该球的直径。)
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教学过程
(4)相邻两面所成的二面角呢？
正四面体结构的物质
正四面体结构的物质
正四面体结构是指一种由四个六面体组成的特殊空间结构，可以被看作由六个正四边形和四个八边形组成的一个更大的正八边形结构，而这种正四面体结构可以被用在各种物质中。
一种常见的正四面体结构可以在金属硅中找到，金属硅是一种金属元素和硅元素的结合物，其中的硅原子以一种特殊的正四面体结构来构成自己的晶格，这种晶格模式与金属离子反应并结合形成一个特殊的结构，从而使金属硅具有了独特的物理性质。
此外，正四面体结构也可以被发现在页岩石和固体分子中，页岩石主要由铁、氧和碳组成，其中碳原子以一种正四面体晶格结构排布，这种晶格模式起着关键的作用，既可以保持页岩石物理性质的稳定，又可以增强页岩石的耐腐蚀性和减少它的暴露于外界环境中条件下的腐蚀。
而在固体分子中，此类晶格结构被用来维持分子结构的稳定性，并维护不同化学物质之间的平衡性。
正四面体结构也能被用于石墨烯的制备，石墨烯是一种非常新兴的材料，它以一种非常特殊的正四面体结构来构成自己的晶格，这种晶格不仅可以使石墨烯具有非常高的弹性和伸缩性，而且还使它具有非常好的电子导电性，因此，它是一种非常有用的材料，可用于制造各种新型电子设备。
总之，正四面体结构可以被用于多种不同的物质中，这种结构不仅能够改善物质的物理性质，而且还可以作为增强许多材料性能的基础。
正四面体,—个不能被忽视的模型
÷ 了 ’ ｓ 龇 ｉ — ｎ ｏ ｔ
ｘ ／６
一
平 面 Ｃ 所 以 △ Ｄ 中ＡＤ边 上 的
以
高Ｐ 日也 是 三 棱 锥 Ｐ ． Ｂ Ｃ的 高 ． 只要
求 出册 和 底 面 Ａ ＢＣ 的 面积 ．由棱 锥
果 能 熟 练地 掌 握 正 四面 体 模 型 的 相 关性质 ， 并 加 以“ 巧用 ” “ 妙用” ， 肯定
会 有 意想 不到 的效 果．
已知 三棱 锥Ｐ － ＡＢ Ｃ， 其 中 ＝ ４，
ＰＢ＝ Ｐ Ｃ＝ ２． ／ ＿ＡＰ Ｂ＝ ／ ＿ＡＰＣ＝ Ｂ ＰＣ＝
藏玄 机 ” ． 解 答如 下 （ 如 图２ ） ：
１
４
三 棱 锥 ， 两 者 的 体 积 比 就 是 底 面 三 角形 的 面积 比 ． 而 ＡＰ Ｂ Ｃ和 △甩 Ｆ 的
性 质 ２ 正 四面 体 内 接 于 一 正 方体 ， 且 它 们 内接 于 同 一个 球 ， 球 的
直径 等 于正方 体 的对 角线 ．
体 积 公 式 ： 跏 ．即得 三 棱 锥 Ｐ 一
正四面体 ， —个不能被忽视的模型
ｏ 江苏华罗庚 中学 马 驰
在立体 几何 的教学过程 中， 有
学 生 曾问 过笔 者一 道题 目：
有更 好 的 方 法．经 过 一 番 思 考 与 讨 论 以后 ， 笔 者 发现 原 来 这道 题 还 “ 暗
握 及灵 活 运用 ．所 以 ，笔 者认 为 ， 如
６ ０ 。 ． 求 三棱 锥Ｐ ＿ Ｂ Ｃ 的体 积． 当时 ．笔 者 给他 的解 答 过 程 是
下 面 笔 者 谈 一谈 “ 正 四面 体模
型” 对解 题 的二 次思 考．
第二十三章特殊四面体的性质及应用
第二十三章 特殊四面体的性质及应用【基础知识】特殊四面体包括垂心四面体（四条高线交于一点的四面体），直角四面体（有一个三面焦是直三面角的四面体，或过同一顶点的三条棱互相垂直的四面体），拟腰四面体（两对对棱相等的四面体），等面四面体（三对对棱相等的四面体），正四面体（六条棱长相等的四面体）等．特殊四面体除了具有一般四面体的性质外，还具有各自独特的性质． 1．垂心四面体性质1垂心四面体的对棱互相垂直．反之亦然．事实上，若四面体ABCD 为垂心四面体，垂心为H ，则AH ，BH 均与CD 垂直，从而AB CD ⊥． 同理，AC BD ⊥，AD BC ⊥．反之，由AB CD ⊥，过AB 作CD 的垂面交CD 于E ，设H 为ABE △的垂心，则AH BE ⊥，AH CD ⊥，所以AH 是面BCD 的垂线．同样，BH 是面ACD 的垂线，四面体ABCD 的每两条高交于一点，每三条高不共面，所以四条高必交于同一点．于是H 为四面体的垂心，即四面体为垂心四面体． 性质2垂心四面体的高过底面的垂心，反之亦然． 事实上，由性质1，设顶点A 在底面BCD 上的射影为F ，由于AB CD ⊥，所以AB 的射影BF CD ⊥．同样CF BD ⊥，即F 为BCD △的垂心．性质3垂心四面体对棱的平方和相等．反之亦然．事实上，由性质2，知A 在面BCD 上的射影F 为BCD △的垂心．设BF 交CD 于E ，则 22222222AC AD CF DF CE DE BC BD --==-=-，即有2222AC BD AD BC +=+． 同理，2222AC BD AB CD +=+．性质4垂心四面体连接对棱中点的线段相等．反之亦然． 事实上，由性质3，设E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则()22222222222114222EF AF BF AB AC AD CD BC BD CD AB =+-=+-++--()222222AC BD BC AD AB CD =+=+=+．即证．反之，考察过对棱的相互平行的六个平面构成的平行六面体，六面体的棱长恰好等于连结四面体对棱中点的线段，因此，六面体的棱均相等，各面为菱形，菱形对角线（即四面体的对棱）互相垂直． 由于从性质1⇒性质2⇒性质3⇒性质4⇒性质1，从而性质2，3，4的反之亦然． 上述性质中的反之亦然，其实也是垂心四面体的四条判定定理．由性质4的证明中可知有 性质5垂心四面体的外接平行六面体（四面体的棱为平行六面体的侧面对角线）各面是菱形． 性质6平行于四面体任一组对棱的平面截其余四条棱的截口面为矩形． 性质7垂心四面体对棱之公垂线共点于垂心．性质8垂心四面体的外心、重心、垂心共线，且外心到重心的距离等于重心到垂心的距离． 2．直角四面体直角四面体有如下判定定理和性质：判定定理对棱都垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体．事实上，在四面体ABCD 中，若90DAC ∠=︒，则由AD BC ⊥，知AC ⊥面ABC ，从而AD AB ⊥，即90DAB ∠=︒．又由AB CD ⊥，知AB ⊥面ACD ，有90BAC ∠=︒．即证． 推论1两组对棱垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体．推论2四面体一顶点到对面的射影是该面的垂心，且该顶点的三面角的面角中有一个为直角，那么这个四面体是直角四面体．显然，上述判定定理及推论的逆命题也是直角四面体的性质．为了方便讨论直角四面体的一系列性质引进一些记号：设直角四面体PABC 的直三面角是三面角P ABC -，其体积为V ，棱PA a =，PB b =，PC c =．顶点x 所时的面的面积记为x S ；以棱y 为二面角棱的二面角大小记为y θ；四面体PABC 的内切球、外接球的半径分别记为x r ．由于直角四面体是垂心四面体，因此，可得 性质1直角四面体具有垂心四面体的所有性质．性质2三对对棱中点的连线共点（设为G ，且此点称为四面体的重心）且互相平分；三对对棱中点的性质3不含直角的侧面三角形是锐角三角形，且这每一个面角的正切值等于这个面的面积的2倍与该面角所对的棱长平方之比；这每一面角的余弦值等于与此面共顶点的另两个面角余弦值之积． 性质4（1）cos cos cos P A BC B AC C AB S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅； （2）cos A P BC S S θ=⋅，cos B P AC S S θ=⋅，cos C P AB S S θ=⋅； （3）222cos cos cos 1BC AC AB θθθ++=；（4）34AB BC AC θθθπ<++<π． 下面只给出（4）式的证明思路： 由（3）式有222cos cos cos cos cos cos cos 0BC AC AB AB AC AB AC θθθθθθθ---⋅+>==（）（）． 又cos cos 0AB AC θθ->，则cos cos 0AB AC θθ+<，故2AB AC θθπ<+．同理还有两式，相加即证（4）式左端．又()()cos cos AB AC AB AC θθθθ⎡⎤π++=-+⎣⎦，在[]0,π内余弦函数递减，有cos[]cos[]cos AB AC AB AC AB AC θθθθθθπ-+π--<-（）=（）（），即有()22cos cos BC AB AC θθθ⎡⎤>π-+⎣⎦，由此 即证得（4）式右端．由性质4（3）及幂平均、算术一几何平均值不等式，我们有推论（1）cos cos cos AB BC AC θθθ++（2）cos cos cos AB BC AC θθθ⋅⋅ （3）cos cos cos cos cos cos 1AB BC BC AC AB AC θθθθθθ⋅+⋅+⋅≤；（4）sin sin sin AB BC AC θθθ++；（5）sin sin sin AB BC AC θθθ⋅⋅； （6）sin sin sin sin sin sin 2AB BC BC AC AB AC θθθθθθ⋅+⋅+⋅≤．性质5含直角的侧面面积是它在不含直角的侧面上的射影面积与这不含直角的侧面面积的比例中项．性质62222P A B C S S S B =++．性质7二面角大小为θ（90θ≠︒）的两侧面中，含直角的侧面面积S 与不含直角的侧面面积P S 之比为cos θ．特别地，60θ=︒时，12P S S =∶∶；45θ=︒时，2P S S ∶；30θ=︒时，2P S S =∶；θ=P S S =∶ 性质P ABBCACS ==．性质916V abc ==性质10设S 为直角四面体的全面积，L 为6条棱长的乘积，则SL ≥． 性质11直角四面体的四顶点与其所对侧面重心的四条连线共点，共点于三对对棱中点连线的交点．亦即七线共点于直角四面体重心．性质12直角四面体的四顶点与其所对的侧面垂心的四条连线共点，共点于其直三面角顶点P ，此点为直角四面体的垂心．由此也可知直角四面体是垂心四面体．性质13非直三面角体的三顶点与其所对的侧面外心的三条连线共点，共点于不含直角的侧面三角形的重心．性质14过含直角的侧面三角形的外心，且与该侧面垂直的三直线共点，共点于直角四面体的外心． 性质15设A m 、B m 、C m 、P m 分别为直角四面体四顶点与所对面的重心的连线长（或称四面体的4条中线长），则()222222243A B C P m m m m a b c +++=++． 分析如图23-1，设1G 为侧面ABC △的重心，设1PG E α∠=．由三角线中线长公式，有()22214PE b c =+，()2222144AE a b c =++．又 图23-1ABEPG 1()2222222211222222cos 2cos 333333P P P P P PE PA AE m AE m AE m AE m m AE αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由此即有()222219P m a b c =++．类似可求()2222199A m a b c =++，()2222199B m a b c =++，()2222199C m a b c =++，由此即获结论． 性质16R =，且与对棱中点的连线长相等；外接球的球心是分别过直三面角的三条棱与其所对棱中点的三个平面的公共点．性质17()2AB C P A B C P S S S S abcr S S S S a b c ++-==+++++；内切球的球心是其棱不共顶点的三个二面角平分面的公共点． 性质18()2AB C P P A B C P S S S S abcr S S S S a b c+++==++-++； ()2AP B C A B C P A S S S S abcr S S S S b c a +--==++-+-； ()2BP A C B A C P B S S S S abcr S S S S a c b+--==++-+-； ()2CP A B C A B P C S S S S abcr S S S S a b c+--==++-+-． 旁切球的球心是其相切侧面与另三个延展切面所成二面角平分面（其中只须其棱不共顶点的三个二面角的平分面即可）的公共点． 证明思路只推证A r ，其余类似推证．作外切于侧面PBC 的旁切球的外切三棱台B C P BCP '''-，得新四面体AB C P '''，如图23-2．图23-2A'由()22C A B P AB C P A S S S S aS S S S a r ====''''+及()()()3313123A B C P ABCD AB C P A A A B C P r S S S S V a V a r r S S S S '''''''+++=='++++． 并注意到性质6、性质17，即可推证A r 的关系式． 推论1r 最小，P r 最大，且11112A B C P r r r r r+++=或 2A B C PA B C A B P A C P B C P r r r r r r r r r r r r r r r r r⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=推论2()32P V abc r r a b c a b c ⋅==++++或1111P A B C r r S S S =++⋅．推论3记()1122A B C P S S S S S S '==+++，则()()()()2222233333A AB BC C P P V S r S S r S S r S S r S S r '''''==-⋅=-⋅=-⋅=-⋅．推论4记四顶点到所对面的距离为A h 、B h 、C h 、P h ，则11111A B C P h h h h r +++=；11111A B C P Ph h h h r ++-=． （*）还有类似（*）式的三式．此略． 推论5令l 为四面体六条棱长之和，()12A B C P S S S S S '=+++，则)2l ≤；2S '；(39V r +≥；32V ． 性质19设am S 、bm S 、cm S 是分别过棱PA 及BC 的中点，过棱PB 及AC 的中点，过棱PC 及AB 的中点的截面面积，则am Sbm Scm S ，且222212am bm cm PS S S S ++=． 性质20设maS '、mb S '，mc S '是分别过棱BC 及PA 的中点，过棱AC 及PB 的中点，过棱AB 及PC 的中点的截面面积，则maS '=mb S '=mc S '222232ma mb mc P S S S S '''++=． 性质21设ad S 、bd S 、cd S 分别为过棱PA 与BC 垂直、过棱PB 与AC 垂直、过棱PC 与AB 垂直的截面面积，则/ad B C S S S =⋅bd A C S S S =⋅，cd A B S S S =⋅ 2222221111112ad bd cd AB C S S S S S S ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． 性质22设at S 、bt S 、ct S 分别为过棱PA 及BPC ∠的平分线，过棱PB 及APC ∠的平分线，过棱PC 与APB ∠的平分线的截面面积，则B C at B C S S S S ⋅=+，A C bt A C S S S S ⋅=+，A Bct A BS S S S ⋅=+，且111111a t b t c t AB CS S S SSS⎫++=++⎪⎭． 性质23在直角四面体中，（1）斜面上任一点与直角顶点的连线和三条直角棱所成角的余弦的平方和等于1； （2）斜面上任一点与直角顶点的连线和三个直角面所成的角的余弦的平方和等于2； （3）斜面上每一条棱与三条直角棱所成角的余弦的平方和等于1； （4）斜面上每一条棱与三个直角面所成的角的余弦的平方和等于2； （5）三条直角棱与斜面所成角的余弦的平方和等于2；（6）三条直角棱的平方的倒数和等于直角顶点到斜面的距离的平方的倒数． 性质24直角四面体的外接平行六面体，（1）当四面体的六条棱均成为平行六面体的侧面对角线时，平行六面体是菱形六面体； （2）当四面体的直三面角的三条棱成为平行六面体的棱，其余三条棱成为平行六面体的侧面对角线时，平行六面体是长方体． 3．直棱四面体三条相连棱形成三边直角折线（即空间直角四边形）的四面体，称为直棱四面体． 显然，直棱四面体每个面都是直角三角形，若令1ADC β∠=，2ADB β∠=，3BDC β∠=， 则（1）123cos cos cos βββ⋅=； （2）321sin sin sin sin sin CD AD βββθθ==； （3）3sin cos sin ADCDθβθ=； （4）1tan tan sec AD CD θθβ⋅=．直角四面体和直棱四面体，都可以看作从长方体上截下的一部分，在部分多面体过程中，在棱、锥、台的计算中，它们经常出现．由于它有多方面的垂直关系和比较多的等量关系，有人称之为基本四面体．它们可以看作直角三角形在空间的自然推广，是工具性的四面体． 4．等腰四面体从某一顶点出发的三条棱（称为腰）相等的四面体称为等腰四面体，这一顶点称为腰顶点． 性质1等腰四面体的腰顶点在所对的面的射影为该面的外心．反之亦然． 性质2等腰四面体的腰顶点出发的三条棱与该点所对的面成等角．反之亦然． 性质3等腰四面体的底面为正三角形时，则该四面体为垂心四面体．性质4等腰四面体的底面为正三角形，且其边长为腰的压时，则该四面体是等腰直角四面体． 5．拟腰四面体两组对棱分别相等的四面体称为拟腰四面体．性质1两对对棱分别相等的四面体的充要条件是它的棱均成为侧面对角线的外接平行六面体为直平行六面体．证明设四面体ABCD 的外接平行六面体为1111ACB D AC BD -，AD BC =，AC BD =⇔侧面11A DD A 与侧面11CB BC 为全等矩形，侧面11A CC A 与侧面11DB BD 为全等矩形1111ACB D AC BD -为直平行六面体． 推论1两对对棱分别相等的四面体的充要条件是另一对对棱中点的连接线段垂直于此二棱．推论2两对对棱分别相等的四面体的充要条件是这两对对棱中点的连接线段均与第三对对棱中点的连接线段垂直．推论3两对对棱分别相等的四面体的充要条件是四面体在平行于这两对对棱中的每一对对棱的每一个平面上的射影为矩形．性质2两对对棱分别相等的四面体的充要条件是两侧面面积相等，且另两侧面面积也相等，或四侧面分成等面积的两组．证明此定理即为：在四面体ABCD 中，AD BC =，ACD BCD AC BD S S =⇔=△△，ABC ABD S S =△△． 必要性（⇒）：显然．充分性（⇐）：如图23-3，作四面体ABCD 的外接平行六面体1111ACB D AC BD -．此时A 、B 到底面11A CB D 的距离1AH 、2BH 相等，作AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，连1H E ，2H F ．图23-321则由ACD BCD S S =△△，有A E B F=，从而12AEH BFH ∠∠=，即二面角1A CD A --等于二面角1B CD B --，此时二面角A CD B --的平分面α垂直于底面11A CB D ，也就垂直于面11AC BD ，且面α交AB 于其中点1O ．又可证A 、B 两点到此平分面α的距离相等． 设此平分面α交AB 于1O ，则1O 为上底面中心．同理，由ABC ABD S S =△△，有二面角C AB D --的平分面β也垂直于两底面，也交CD 于其中点2O ．此时12O O αβ=∩且垂直于两底面，故平行六面体1111ACB D AC BD -为直平面六面体．由性质1即证得了充分性．性质3两对对棱分别相等的四面体的充要条件是另一对对棱每条棱所张的二个面角分别相等．证明此性质即为：在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD CAD CBD =⇔∠=∠，ACB ADB ∠=∠． 必要性（⇒）：显然． 充分性（⇐）：如图23-3，作四面体ABCD 的外接平行六面体1111ACB D AC BD -．由题设CAD CBD ∠=∠，又A 、B 、C 、D 四点共球O ，则ACD △和BCD △所在的平面截球O 的截面圆是等圆．而A 、B 两点到面11A CB D 的距离相等，则过CD 及AB 中点1O 的截面圆必是球O 的大圆．从而1O 、O 及CD 的中点2O 在过CD 的球O 的大圆面内．同理，1O 、O 、2O 也在过棱AB 的球O 的大圆面内．故1O 、O 、2O 三点共线于这两个大圆面的交线上．又1OO AB ⊥，2OO CD ⊥，则111OO A B ⊥，211OO C D ⊥，从而12O O 垂直于平行六面体的两底面11A CB D 、11AC BD ，故知此平行六面体为直平行六面体，由性质1，充分性获证．此性质的充分性也可以这样证：设CAD CBD α∠=∠=，ACB ADB β∠=∠=，令AC a =，AD b =，BC c =，BD d =，CD x =，AB y =．对ADC △和BDC △应用余弦定理可得()()()22222222cos a b x c d y ab cd x bc ad ac bd ab cd α+-+-==⇒-=--．① 同理，得()()()2ad bc y cd ab ac bd ---=．②由①、②可知，若0ab cd -=，则0ad bc a c -=⇒=，b d =．因此论断获证．若0ab cd -≠，则0ad bc -≠，0ac bd -≠，于是由①、②推得()222x y ac bd =-⇒或xy bd ac +=，或0xy ac by +-=．③由托勒密定理及③式，可知A 、B 、C 、D 四点共圆，与题设矛盾．因此充分性获证． 性质4两对对棱分别相等的四面体的充要条件是其外心（外接球球心）在另一对对棱中点的连线上（重心亦在此连线上）． 必要性（⇒）：设在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD =，作四面体ABCD 的外接平行六面体如图23-3．由性质1，即知此平行六面体为直平行六面体，从而上、下底面中心1O 、2O 的连线既是AB 、CD 中点的连线，又是AB 、CD 的公垂线，亦即既是AB 的中垂线，又是CD 的中垂线，因而四面体ABCD 的外心在12O O 上．充分性（⇐）：由题设，四面体的外心在一对对棱AB 、CD 的中点1O '、2O '的连线上，则12O O ''是AB 、CD 的中垂线，从而12O O ''：垂直于四面体ABCD 的外接平行六面体1111ACB D AC BD -的两底面，故此外接平行六面体是直平行六面体．由性质1，充分性获证． 性质5两对对棱分别相等的四面体的充要条件是其内心（内切球球心）在另一对对棱中点的连线上（重心亦在此连线上）． 证明必要性（⇒）：设在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD =．作四面体ABCD 的外接平行六面体如图23-3，则此平行六面体为直平行六面体，故11A DC B CD S S =△△．又AD C BD C S S =△△，则二面角1A DC A --等于二面角1B DC B --．而上、下底面中心1O 、2O 所在直线与DC 两相交线所在对角面垂直于两底面，即知此对角面平分二面角A DC B --．同理，12O O 与AB 所在对角面也平分二面角C ABD --．故四面体内心I 在12O O 上．充分性（⇐）：设四面体ABCD 的内心I 在12O O 上，则1O 到面ACD 、BCD 的距离相等，从而A 到面BCD 的距离与B 到面ACD 的距离相等（都等于点1O 到这两个面的距离的两倍）．由13V Sh =得BCD ACD S S =△△．同理ABD ABC S S =△△．由性质2即证．性质6四面体有两对对棱相等的充要条件是，以这两对对棱为棱的二面角，分别相等．证明在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD =的充要条件是二面角B AD C --等于二面角D BC A --，二面角B AC D --等于二面角A BD C --．必要性（⇒）：设AD θ、BC θ分别表示二面角B AD C --、二面角D BC A --的平面角的大小，由AD BC =、AC BD =，有DAC DBC △≌△，ABC BAD △≌△，如图23-4．图23-4H GI DABCEFMN于是DAC DBC ∠=∠，BAC ABD ∠=∠，BAD ABC ∠∠=．由三面角余弦公式（如cos cos cos cos sin sin AD BAC BAD DACBAD DACθ∠-∠⋅∠=∠⋅∠）或三面角全等定理，有AD BC θθ=，即二面角B AD C --等于二面角D BC A --．同理，可证二面角B AC D --等于二面角A BD C --． 充分性（⇐）：记I 为四面体ABCD 的内心，从I 向各侧面引垂线，垂足为E 、F 、G 、H ，如图23-4，设过IE 、IF 的平面交AC 于M ，过IG 、IH 的平面交BD 于N ，则EMF ∠，GNH ∠分别为二面角B AC D --、二面角A BD C --的平面角，由题设有EMF GNH ∠=∠． 在Rt IMF △和Rt ING △中，IF IG =，1122IMF EMF GNH ING ∠=∠=∠=∠，从而IM IN =．故I 在对棱AC 、BD 的公垂线段的中垂面α内．同理，I 又在对棱AD 、BC 的公垂线段的中垂面β内，故I 在α与β的交线上．作四面体ABCD 的外接平行六面体如图23-3，知α与β的交线就是平行六面体上、下底面中心1O 、2O 的连线．由性质5即证得充分性．性质7两对对棱分别相等，则四面体的内切球切侧面于第三对对棱的中垂线上． 证明此性质即为：在四面体ABCD 中，若AD BC =，AC BD =，则四面体ABCD 的内切球I 切ACD △、BCD △于CD 的中垂线上，切ACB △、ADB △于AB 的中垂线上．如图23-5，由性质6的充分性证明中可推知12O M O N =，①其中1O 、2O 为球I 切侧面ACD △、BCD △的切点，M 、N 为I 在棱AC 、BD 上的射影．图23-5O 1O 2DABCEFMNI设过1IO 、2IO 的平面交CD 于E ，连1O E 、2O E ，则由球的切线长定理，知12O E O E =．②又由ACD BDC △≌△有MCE NDE ∠∠=，而1O E CD ⊥，2O E CD ⊥，则M 、C 、E 、1O 共圆，E 、D 、N 、2O 共圆．故12MOE EO N ∠=∠．③由①、②、③知ME EN =，从而12sin sin ME ENO C O D MCE EDN===∠∠，∴12Rt Rt CO E DO E CE ED ⇒=△≌△． 故1O E ，2O E 均是CD 的中垂线段．同理，球I 切侧面ACB △，ADB △于AB 的中垂线上． 6．等面四面体我们称三组对棱分别相等的四面体为等面四面体．为了讨论问题的方便，先引进一些记号：等腰四面体ABCD 中，设BC AD a ==，AC BD b -=，AB CD c ==；设()12p a b c =++，()222212k a b c =++；以BC 、BD 、CD 为棱的两侧面所成二面角的大小依次为α、β、γ；四面体的体积记为V ，其内切、外接球半径分别记为r 、R ；顶点x 所对的面的面积记为x S ；外切于顶点x 所对的面，且与其余侧面的延展面相切的旁切球的半径记为x r ． 性质1等面四面体对棱所成角的余弦值可表示为()222cos ,b c a a a -=，()222,cos b c a b b -=，()222cos ,a b c c c -=．性质2等面四面体中，对棱中点的连线共点（此点为四面体的重心），且互相平分；连结对棱中点的每一线段均垂直于此二棱，或者说，当四面体绕这样的线段旋转180︒则与本身重合；连结对棱中点的三线段彼此互相垂直．且后两个结论的逆命题也是成立的．推论四面体为等面四面体的充要条件是三对对棱的公垂线两两相互垂直．性质3设a d 、b d 、c d 分别为等面四面体对棱中点连线的长，则a d =，b d =，c d =性质4四面体为等面四面体的充要条件是四面体各面为全等的三角形． 性质5等面四面体所有的面角均为锐角，或者说各侧面是锐角三角形．（见本章练习题A 第7题） 性质6四面体为等面四面体的充要条件是过四面体的每一顶点的三条棱长的m （m ∈R 且0m ≠）次方之和相等．分析只证充分性：令BC a =，AC b =，AB c =，AD x =，BD y =，CD z =，由m m m m m m m m m m m m b c x c a y a b z x y z ++=++=++=++，即推得a x =，b y =，c z =．推论四面体为等面四面体的充要条件是四面体的每一顶点的三条棱长之和相等．性质7四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面三角形边长的m （m 为非零实数）次方之和相等．推论四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面三角形的周长相等．性质8四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面三角形的三条中线长的平方和相等． 性质9四面体为等面四面体的充要条件是四面体每一顶点处的三个面角之和为180︒．性质10四面体为等面四面体的充要条件是过每对对棱的二面角相等（即三对二面角分别相等）．性质11cos cos cos 1αβγ++=．性质1222sin sin sin 3x S a b cVαβγ===（其中x 可表示A 、B 、C 、D ，后面亦同）． 性质13()()()22222222222224cos cos cos 222xa k ab k bc k c S αβγ---===． 性质14在等面四面体ABCD 中，A B C D S S S S ==== 性质15四面体为等面四面体的充分必要条件是各面的面积相等．分析四面体的各二面角的大小分别用α、β、γ、α'、β'、γ'表示，如图23-6．图23-6β'γ'α'γβαDOAB由cos cos cos D C B A S S S S αβγ⋅+⋅+⋅=及D C B A S S S S ===有cos cos cos 1αβγ++=．同理，有cos cos cos 1γβα''++=，cos cos cos 1αβγ''++=，cos cos cos 1βαγ''++=． 由上推出，cos cos αα'=，cos cos ββ'=，cos cos γγ'=，而0α<，β，γ，α'，β'，γ'<π，所以αα'=，ββ'=，γγ'=，由此即证． 性质16等面四面体的体积V =()222212k a b c =++． 分析作四面体ABCD 的外接平行六面体，使四面体的棱成为平行六面体的侧面对角线，如图23-7．由四面体对棱相等，可证得平行六面体侧面均为矩形，即为长方体，于是列方程组求得长方体共顶点的图23-7DABC性质17记等面四面体共顶点的三个面角分别为1θ、2θ、3θ，则V =分析如图23-8，设1B D Cθ∠=，2ADC θ∠=，3ADB θ∠=．又设A 点在面BCD 内的射影为E ，作A H C D⊥于H ，连EH ，则AHE γ∠=．由12B S CD AH =⋅，有2B AH S c =⋅，则2sin sin B AE AH S cγγ=⋅=⋅⋅．图23-8γabc D ABCEH注意到31212cos cos cos cos sin sin θθθγθθ-⋅=⋅，有1233A A B V S AE S S c=⋅=⋅123θθθ++=π及()222123123121cos cos cos 2cos cos cos cos θθθθθθθθ---+⋅⋅=-+()()()212312123cos cos cos cos cos θθθθθθθθ⋅--+++-⋅=⎡⎤⎣⎦1234cos cos cos θθθ⋅⋅，11sin 2A S bc θ=⋅，21sin 2B S ac θ=⋅，由此即证．性质18等面四面体的体积为 222222sin sin sin 333x x x V S S S c b a γβα=⋅=⋅=⋅；或43x V S r =⋅． 性质1912R k ==． 性质20r =性质21四面体为等面四面体的充要条件是四面体的外心（外接球球心）与重心重合（见本章例13证明部分）．或者，四面体各顶点和外心的连线与对面的交点为该面的重心．性质22四面体为等面四面体的充要条件是四面体的外心与内心（内切球球心）重合．（见本章例12） 性质23四面体为等面四面体的充要条件是四面体的内心与重心重合．或者，各顶点和内心的连线与对面的交点为该面的重心．推论若四面体的外心、内心、重心中任意两个相重合，则第三个也必和它们重合． 性质24在等面四面体中，2A B C D r r r r r =====．（提示：设顶点x 到所对面的距离为x h ，则可证2x x x h rr h r⋅=-，由此即推得）性质25四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条高长之和等于内切球半径的16倍（即16A B C D h h h h r +++=）．分析充分性：由以3x x Vh S =及16A B C D h h h h r +++=有1111316A B C D V r S S S S ⎛⎫⋅+++= ⎪⎝⎭．注意到()13A B C D V S S S S r =+++⋅， 则()111116A B C D AB C D S S S S S S S S ⎛⎫++++++= ⎪⎝⎭． 而()111116A B C D AB C D S S S S S S S S ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭≥，取等号是当且仅当A B C D S S S S ===．由此即证． 推论42x x h r r ==．注对外接球半径也有一条性质见本章例13．性质26四面体为等面四面体的充要条件是它的切点四面体（内切球切侧面的切点）为等腰四面体． 分析充分性：设O 为四面体ABCD 的内心，亦即它是切点四面体A B C D ''''的外心．当A B C D ''''为等腰四面体时，由性质2的推论推之．性质27四面体为等面四面体的充要条件是四面体的内切球与各侧面的切点为该面的外接圆圆心． 性质28四面体为等面四面体的充要条件是四面体的重心（或外心）在各侧面内的射影为该面的外接圆圆心．性质29四面体为等面四面体的充要条件是各侧面都具有相等外接圆半径的锐角三角形． 性质30四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面外接圆半径与内切圆半径之积相等． 分析充分性：在四面体ABCD 中，设BC a =，AC b =，AB c =，1DA a =，1DB b =，1DC c =，R '，r '分别为侧面三角形外接、内切圆半径，则2abcR r a b c''=++．同理，1111111111112ab c a bc a b cR r a b c a b c a b c''===++++++．由此得()()()()11110c a c b b b b a c c +-++-=， ()()()()11110c c b a a a b a c c +-++-=， ()()()()11110b b c a a a a c b b +-++-=．将上述三式看作1a a -，1b b -，1c c -为未知数的三元一次方程组，它只有唯一的一个零解．即证． 性质31四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条中线长相等（中线长即为四面体的每一顶点和对面重心的连结线段长）．分析充分性：注意到中线长相等及四面体重心性质，推得重心与外心重合． 性质32性质33四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条中线长的平方和等于2649R ． 分析由性质31及25推导．性质34四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条高线长相等（即A B C D h h h h ===）．性质35等面四面体的过某棱及所对棱中点的截面，就是过此棱及与所对棱垂直的截面，也就是过此棱且平分此棱所在二面角的截面．性质36在等面四面体ABCD 中，设分别过棱BC 、BD 、CD 且平分α、β、γ的截面面积为a S 、S β、S γ，则cos2x S S αα=⋅，cos2x S S ββ=⋅，cos 2x S S γγ=⋅，且22222x S S S S αβγ++=．性质37四面体为等面四面体的充要条件是其棱均作为外接平行六面体的侧面对角线时，平行六面体为长方体．性质38四面体为等面四面体的充要条件是四面体在平行于两对棱的每一个平画上的射影为矩形． 性质39四面体为等面四面体的充要条件是四面体的展开图是一个引出了三条中位线的锐角三角形． 性质40四面体为等面四面体的充要条件是四面体内任意一点到各侧面的距离之和为定值．分析充分性：设定值为l ，取点为内心时有4l r =，再取点为重心时有4A B C D h h h h l +++=，再由性质25即证． 7．正四面体称六条棱相等的四面体为正四面体．性质1正四面体的每个面是正三角形．反之亦然． 性质2正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体． 推论正四面体是两组对棱垂直的等面四面体．性质3倍，反之亦真． 性质4正四面体的各棱的中点是正八面体的六顶点． 性质5正四面体的每个三面角均是面角为60︒的三面角，因而都是全等的三面角，且每个三面角的特征，即()2S x ==．性质6正四面体的六个二面角都相等．若记其大小为θ，则1arccos 3θ=或．其逆命题亦成立．性质712倍，即2S 全=，3V =． 推论设S △为侧面三角形面积，则4228cos 2a S θ=⋅⋅△；22sin 3S a V θ=⋅⋅△；V S ⋅全．性质8正四面体的内切球与其外接球是同心球，内切球半径r =（等于高线的14）；外接球半径R =；两球面面积之比为1∶9． 性质9在各类四面体的比值R r ∶中，以正四面体的比值3R r =∶为最小． 性质10正四面体的体积与其内切球的内接正四面体的体积之比为27．且若内切球半径为r ，则其体积为3．性质11正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，即x r =，或等于正四面体高线的一半．性质12正四面体的内切球与各侧面的切点是侧面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心．除外心外，其逆命题均成立．性质13正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和．分析利用正四面体的外接球球心O 是过四面体的一棱AB 与对棱CD 中点N 的平面（共有六个这样的平面）的交点的特性，我们将指出，如果点P （空间中任一点）不在这些平面之一上即如果它不是O ，则和S PA PB PC PD =+++不是最小．由此得出结论：使S 最小的点位于所有这些平面上，因此最小值只可能在点O 达到．假定P 不在平面ABN 上，设l 为过P 平行于CD 的直线，因此垂直于平面ABN ，且设P '为l 和ABN 的交点，则PC PD P C P D ''+>+．①事实上，CPD △和CP D '△有相同的底和高，但后者是等腰三角形，它有较小的周长．又PA P A '>，PB P B '>．② 因为PA 是Rt APP '△的斜边，PB 是Rt BPP '△的斜边，把①和②中三个不等式加起来，得PA PB PC PD P A P B P C P D ''''+++>+++，这就是我们要证的．性质14四面体为正四面体的充要条件是，存在五个球与四面体的六条棱或其延长线相切． 此性质的充分性证明见本章例14．性质15正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高．性质16对于四个相异的平行平面，总存在一个正四面体，其顶点分别在这四个平面上．性质17以正四面体的每条棱为直径作球，设S 是所作六个球的交集，则S 中含有两点，它们的距离为性质18 性质19四面体为正四面体的充要条件是，其棱均作为外接平行六面体的侧面对角线时，平行六面体为正方体．性质20四面体为正四面体的充要条件是，其共顶点三棱作为外接平行六面体的棱时，平行六面体为一个三面角面角均为60︒的菱形六面体．性质21囚面体为正四面体的充要条件是，四面体在平行于两棱的每一个平面上的射影是正方形． 性质22四面体为正四面体的充要条件是，四面体的展开图是一个引出了三条中位线的正三角形． 性质23正四面体每条高的中点与底面三角形三顶点均构成直角四面体的四顶点，且高的中点为直三面角顶点．性质24正四面体是垂心四面体（四条高共点的四面体），且四面体的垂心、重心、内心、外心这四心合一．性质25设P 为正四面体1234A A A A 的外接球面上任一点，R 为该球的半径． （I ）42218i i PA R ==∑；（Ⅱ）若1B ，2B ，…，6B 分别为23A A ，34A A ，24A A ，12A A ，13A A ，14A A 的中点，则42218i i PB R ==∑；（Ⅲ）若i O 为i A 所对面的中心（1,2,3,4i =），则22409i PO R =∑． 证明（I ）设i O 为正四面体1234A A A A 的中心，则。
几何体的正四面体
几何体的正四面体正四面体是一种特殊的几何体，具有很多独特的性质和特点。
在本文中，我将介绍正四面体的定义、属性以及一些有趣的应用。
一、正四面体的定义正四面体是一种具有四个等边等角面的多面体。
它的四个面都是等边三角形，每两个面之间的夹角都是一样的，也都是等于70.53°。
在正四面体中，任意两条边的长度和相等。
这些特点使得正四面体在几何学中有着重要的地位。
二、正四面体的性质1. 对称性：正四面体具有很高的对称性。
它有24个对称操作，包括旋转和翻转等。
这些对称性使得正四面体在立体几何中有广泛的应用，例如建筑设计和立体模型制作等。
2. 共面性：正四面体的四个顶点共面。
这意味着可以通过这四个顶点构成一个平面。
而且在这个平面上，正四面体可以被视为一个等边三角形。
3. 体积和表面积：正四面体的体积和表面积可以通过简单的公式计算得到。
其中，体积公式为V = (a³√2) / 12，表面积公式为S = a²√3，其中a表示正四面体一个面的边长。
4. 空间分割：正四面体可以将三维空间分割成四个完全相同的四面体。
这种空间分割在某些科学领域中非常有用，例如晶体结构的研究和分子模拟等。
三、正四面体的应用1. 立体几何学研究：正四面体是立体几何学中的一个基本概念，它的研究可以帮助我们理解和解决各种与几何学相关的问题，例如立体投影、体积计算等。
2. 建筑设计：正四面体的对称性和美观性使得它成为建筑设计中的常用元素。
例如，一些摩天大楼的外形可以采用正四面体的结构，使得建筑物更加稳定和美观。
3. 教育和娱乐：正四面体的独特性质和形状可以作为教学和娱乐的工具。
通过搭建正四面体模型或者使用虚拟现实技术，人们可以更直观地了解和体验正四面体的一些特点和性质。
总结：正四面体作为一种特殊的几何体，具有对称性、共面性以及特定的体积和表面积等性质。
它在几何学研究、建筑设计和教育娱乐等领域有着广泛的应用。
通过深入研究和探索正四面体，我们可以进一步拓展对几何学的理解和应用。
30.四面体
四面体与平行六面体一、一般四面体的性质性质1.任意四面体六个二面角的平分面交于一点，这点到四面体四个面的距离相等，称该点为四面体内切球球心（简称四面体的内心）。
内切球与四面体四个面内切。
若四面体ABCD 的体积为V ，顶点A 所对的侧面面积为A S ，类似的有,,B C D S S S ,则内切球半径3A B C DVr S S S S =+++.性质2.任意四面体六条棱的垂直平分面交于一点，这点到四面体顶点的距离相等，该点称为四面体外接球球心（简称四面体外心）。
外接球通过四面体四顶点。
性质3.任意四面体的四条中线（每一顶点与其对面重心的连线）交于一点，而且该点是中线的四等分点。
性质4.四面体体积公式一：11113333A A B B C C D D V S h S h S h S h ==== 性质5.四面体体积公式之二：1||||sin ,6V AB CD d AB CD =⋅⋅⋅<> （其中d 为AB 、CD 距离）性质6.四面体体积公式二：2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 333333C D AB A D BC A B CD B C DA B D AC A C BDS S S S S S S S S S S S V AB BC CD DA AC BDθθθθθθ======二、特殊四面体的性质（1） 正四面体：各边均相等；（2） （3） 等腰四面体：三组对边分别相等。
三、平行面体像平行四边形是平面图几何的基础一样， 平行六面体是立体几何的基本图形。
性质1.平行六面体的四条体对角线交于一点，且在这一点互相平分，称该点为平行六面体的中心； 性质2.平行六面体的所有体对角线的平方和等于所有棱的平方和。
推论1:平行六面体的所有侧面对角线的平方和等于其所有体对角线平方和的两倍。
推论2：平行六面体的每一侧棱的平方和等于等于与这一侧共面的两侧面四条对角线的平方减去与这一侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的14。
小谈正四面体的一些性质及其应用
分析：连接SE、SF延长分别交AB、BC 于G、H，易知
EF= GH= AB，故只需求出正四面体的棱长即可，本题若直接由体积求棱长有一定的难度，若根据习题结论①②，先把正四面体补成正方体，则V正方体=3V正四面体=216，故正方体的棱为6，而正四面体的棱长为6 ，所以EF= AB=2 .
例4.半径为R的球的内接正四面体的体积等于___________. (第十一届“希望杯”高一培训题)
分析:由上述结论①②③可知,半径为R的球的内接正方体的对角线长为2R,故其棱长为 ,其体积为V正方体=( )3= ,V正四面体= .
正四面体与正方体是立几中较特殊、内涵较丰富的几何体,且两者有着密不可分的关系.我们在解题时若注意运用两者的特殊关系,往往会达到“山穷水复疑无路,柳暗花明又一村.”的效果
例2.棱长为2的正四面体的体积为_____________.(98年上海高考题)
本题若直接计算,有一定的难度与计算量,若利用上述习题结论,将其补成正方体,可取得事半功倍之效.
解: 将该正四面体补成正方体,由正四面体的棱长为2,易知正方体的棱长为 .故V正方体=( )3=2 ∴V正四面体= V正方体= 。
(3)正四面体的高为正方体对角线长的三分之二。
2．正四面体的三个球的有关性质
正四面体的三个球：一个正四面体有一个外接球，一个内切球和一个与各棱都相切的球。那么这三个球的球心及半径与正四面体有何关系呢？为了研究这些关系，我们利用正四面体的外接正方体较为方便。
正方体 的内接球即是正方体的内切球，此两球的球心都在正方体的中心。
例1.正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果 E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等( ) (90年全国高考试题)
材料四面体
材料四面体四面体是指由四个平面所围成的立体，它是最简单的立体之一，也是几何学中的重要概念之一。
下面将向大家介绍四面体的定义、性质以及它在生活中的应用。
首先，四面体是由四个三角形面所组成的立体。
这四个三角形面中，任意两个面不在同一个平面内，而且它们的交线构成四面体的棱。
四面体还有四个顶点，每个顶点连接着三个棱。
根据四面体的面数，我们可以将它分为正四面体和非正四面体两种情况。
接下来，我们来看四面体的一些性质。
首先，四面体的任意两个面的交线都在四面体的一条棱上。
其次，四面体的棱数、面数和顶点数之间满足一个简单的关系，即棱数加上顶点数等于面数加2。
此外，正四面体的底面和高都是等边三角形，它的每个内角为70.5度。
非正四面体的性质则根据具体的形状而定，但它们都具有共同的特点：四面体的任意两个面都不平行，即它们的法向量不共线。
四面体在生活中有着广泛的应用。
首先，它被广泛应用于几何学和数学的研究中。
通过对四面体的分析和计算，我们可以推导出许多定理和公式，在解决实际问题时起到重要的作用。
其次，四面体的结构也被用于建筑和工程设计中。
在建筑设计中，四面体结构可以提供稳定性和坚固性，同时还可以创造出独特而美观的建筑形态。
此外，四面体结构还可以应用于光学和电子学等领域，用于制造镜片和电子器件等。
总结起来，四面体是一个由四个三角形面组成的立体，具有一些特殊的性质。
它在几何学和数学研究中起到重要的作用，并广泛应用于建筑和工程设计以及光学和电子学等领域。
通过深入研究四面体的性质和应用，我们可以更好地理解几何学的基本概念，并将它们运用到实际生活中。
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正四面体性质及其应用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
正四面体的性质及其应用
正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则 （1） 全面积S 全= 3 a 2； （2） 高h = 6
3a ；
（3） 体积V = 2
12 a 3；
（4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2
2a
（5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 1
3； （6） 棱与其相交的面所成的角 β=arctan 2 ；
（7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6
12a ，外接球半径R
＝ 6
4a ，r ︰R =1︰3； （8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。
将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。
考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：
例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π
3
，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7
解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3
π
=
==⌒
⌒
⌒
CA BC AB ，球的半径r =1
∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π
3，则AB=BC=CA =1
所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC
的距离即其高为 6
3，答案B 。
例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a
解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6
12a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6
12a ，因此选C 。
例3：（06年陕西卷）将半径为R
球的球心到桌面的距离为 。
解析A 、B 、C 、D ，因为四个球两两相切，则
ABCD 2R 的正四面体，A 到面BCD 的距离为
2 6
3
R ，则上面一个球的球心A 到桌面的距离为R +2 6 3R =（1+2 6
3）R 。
例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60
○
，E 为AC 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿重合于点
P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（ ）A 4 3 27π B 6 2π C 6 8π D 解析：三棱锥P -DCE 实质上是棱长为1的正四面体， 则其外接球的体积为 V = 43πR 3= 43π( 6 4)3= 6 8π。
例5：（06年湖南卷）棱长为2球球心的一个截面如图1
A 2 2
B 3 2
C 2
D 3
解析：由截面图形可知，正四面体恰好有两个顶点在球面上， 且截面圆经过其外接球的球心（正四面体的中心），由 正四面体的对称性可知M 为AB 对棱CD 的中点，M 到AB 的距离即为正四面体对棱公垂线的长 2
2a ，所以
S △ABC = 1
2×2× 2 ×2＝ 2 。
例6：(07年安徽卷)半径为1的球面上的四点A 、B 、C 、D 是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ）
A )3
3
arccos(-
B )36arccos(-
C )31arccos(-
D )4
1arccos(- 解析：由题意可知，此球O 为正四面体的外接球，且外接球的半径为1，则正四面体的棱长为2 6 3，根据余弦定理得cos ∠AOB =1+1－(2 6
3)2
2×1×1=－1
3,所以∠
AOB =arccos(－13)，因此A 与B 两点间的球面距离为l =αR = arccos(－1
3)×1= arccos(－13)。