高等数学上第八讲
高等数学与工程数学课件第八章多元函数积分学基础.ppt
第一节 二重积分的概念与性质
一、实例
1.曲顶柱体的体积 在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为 底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以z f (x, y)]表示的曲面S为顶[这里f (x, y) 0且在D上连续]的几何体称 为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图8-1)
f (x, y)d | f (x, y) | d
D
D
性质6 设M 和m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,
是D的面积,则有不等式
m f (x, y)d M D
性质7 (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续,
是D的面积,则在D内至少存在一点( ,)使得下列等式成立
1 4
y4
1
0
dx
y
1 0
计算从1(x)到2 (x)的定积分,然后把计算结果(关于x的函数)再
对x计算从a到b的定积分.从而得到把二重积分化为先对y, 再对x 的二次积分公式为
b
2 ( x)
f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy
a
1 ( x )
D
类似地,若底面区域D为1( y) x 2 ( y), c y d, (见图8 6)
x
P(xi yi )
图8-2 曲顶柱体划分
n
(3)把n个小平顶柱体体积相加得 f (xi , yi )i ,它就是曲顶 i1
柱体体积V的近似值,即
n
V f (xi , yi )i i1
n
(4)对闭区域D的分割不断加细加密, f (xi , yi )i就越来越 i1
近曲顶柱体的体积V .当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域
高等数学：第八讲 空间两平面的夹角
A2 B2 C 2
因为
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C 2
P1
——点到平面的距离公式
n P0
d
谢谢
23
例题讲解
例2. 一平面通过两点 M1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且垂直于平面1：
x + y + z = 0，求其方程 .
解 假设平面有一法向量为
则
，
n
M1
n1 1
M2
故取
所以该平面方程为
即
例题讲解
例3. 设
是平面
P0 到平面的距离d .平面的夹角
设平面1的方程为 A1x B1 y C1z D1 0
则其法向量为
n1
A1 ,
B1, C1
设平面 2的方程为 A2 x B2 y C2 z D2 0
则其法向量为
n2
A2 ,
B2 , C2
n1
n2
2
1
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
n1 // n2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2
1
n1
2
n1
1
n2
2
例题讲解
例1. 求平面 2x y z 3 和平面 x y 2z 9 夹角。
解
根据空间两个平面的夹角公式
cos | 211 (1) 1 2 |
22 12 12 12 (1)2 22
31 62
所以
arccos 1
解
设平面法向量为
n
A, B, C ,
在平面上取一点
P1 ( x1 , y1 , z1 ), 则P0 到平面的距离为
高等数学课件第8章 线性代数基础
DnT
a12
a22
an2
a1n a2n ann
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即：
DnT Dn ➢ 凡是对行成立的性质对列也成立。
8.1.2 行列式的性质与计算(续一)
例8-6 证明上三角行列式
a11 a12 a1n
0 Dn a22 Fra biblioteka2n
a11a22 ann（8-9）
0 0 ann
某校机电系各 专业2004年 在校学生人 数：
2002级 2003级 2004级
制冷工程
96
98
98
机电设备维修 52
55
64
数控与模具
56
52
92
汽车维修
64
92
99
如果用矩形数 表可以简洁 地表示为 ：
96 98 98 52 55 64
56 64
52 92
92 99
8.2.1 矩阵的概念(续一)
x2
2
a11b2 b1a21 a11a22 a12 a21
（8-2）
8.1.1 行列式的概念(续二)
二阶行列式 展开式 元素 行 列 三阶行列式
a11 a12 a21 a22
a11a22 a12a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
8.1.1 行列式的概念(续二)
证明
8.1.2 行列式的性质与计算(续二)
性质2 互换行列式的任意两行，行列式仅改变符号。 推论 如果行列式有两行（或两列）的对应元素相等，
则这个行列式等于0。 性质3 将行列式某一行（列）所有元素都乘以相同
的数k，其结果就等于用k乘这个行列式。
高等数学：第八讲 复合函数微分法 二
u
x
zv
w
y
复合函数中全是中间变量，且中间变量中有多个自变量
如果 u f (v, w), v v(x, y, z)，w w(x, y, z)
且上述函数满足定理的相应条件，则
u u v u w x v x w x u u v u w y v y w y u u v u w z v z w z
x u x v x
变量是非常重要
z z u z v 8yvuv1 8yuv ln u y u y v y
的，往往关系到 运算的难易程度.
例题2：
设
z
e3x2 4 y2
ln(2x
y2 ),
求
z , z . x y
u
x
z
v
y
解 设 u 3x2 4 y2 , v 2x y2 , z eu ln v, 则
复合函数微分法（二）
复合函数中全是中间变量，且中间变量中有多个自变量
对于有两个以上的中间变量和两个以上的自变量的形式，有相类似
的链导法则.
如果 z f (u, v, w), u u(x, y)，v v(x, y)，w w(x, y)
且上述函数满足定理的相应条件，则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
v
x
u
y
w
z
复合函数中既有中间变量，又有自变量
如果 z f (u, v, x, y), u u(x, y)，v v(x, y)，
且上述函数满足定理的相应条件，则
z f u f v f x u x v x x z f u f v f y u y v y y
高等数学：第八讲 函数的单调性 一
谢谢
函数的单调性 （一）
引例
y ' 0, y
y ' 0, y
函数单调性的判定法
定理 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导. （1）若在 (a,b) 内 f '(x) 0 ，则函数 y f (x) 在 [a,b] 上 单调增加； （2）若在 (a,b) 内 f '(x) 0 ，则函数 y f (x) 在 [a,b] 上 单调减少.
例题：
例1 讨论函数 f(x)=ex-x-1 的单调性.
解 函数的定义域为(-,+)； y =ex-1，
驻点—— y’=0的根.
当x>0时，y>0,函数在[0,+)上单调增加;
当x<0时， y<0,函数在(-, 0]上单调减少.
当x=0时 y=0；x=0为单调区间的分界点.
例题：
例2
2
讨论函数 f x x3 的单调性.
（2）求出函数在考察范围内的全部驻点和不可导点（除指 定范围外，考察范围一般是指函数定义域）； （3）用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干个子区
间，确定f (x)在各部分区间的符号； （4）据判定定理得出f (x)的单调性.
例题：
例3 讨论函数y=x3的单调性.
解 y= x3的定义域为(-,+)；
解
函数的定义域为(-,+)；
y 2 , 33 x
当x>0时，y >0,函数在[0,+)上单调增加;
当x<0时，y <00时 y不存在; x=0为单调区间的分界点.
注意（一）
单调区间的分界点为驻点和不可导点！
高数大一第八章知识点
高数大一第八章知识点近年来，数学在大学教育中的地位越来越重要，尤其是高等数学这门课程。
高等数学作为一门综合性的数学课程，不仅为学生提供了数学基础知识，也对他们培养了逻辑思维和解决问题的能力。
在大一的课程中，第八章是高等数学的重要一环。
本文将介绍高数大一第八章的知识点。
第八章主要内容为无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。
首先，我们来看无穷级数的概念。
无穷级数是由一连串的数相加（或相减）所得到的无穷和。
其中，部分和是指对级数中的前n 项（n是一个整数）进行求和。
当部分和的极限存在时，我们称此无穷级数是收敛的；当部分和的极限不存在或正负无穷大时，我们称此无穷级数是发散的。
接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性判别法。
在第八章中，我们学习了几种常见的判别法，比如比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。
这些判别法可以帮助我们判断一个无穷级数是收敛还是发散，并且有时还可以估计出它的收敛域。
在学完无穷级数之后，我们来了解一下幂函数的泰勒展开。
泰勒展开是一种用无穷级数表示函数的方法，通过将一个函数表示成一系列的多项式来近似描述函数的行为。
泰勒展开的核心思想是将函数在某个点x=a处展开为幂级数。
通过求导和求导数值的换元，我们可以推导出求幂函数的泰勒展开的方法，并运用它来计算函数的近似值。
除了以上介绍的知识点，第八章还包括对数函数和指数函数的性质以及它们的图像、对数级数和指数级数等内容。
这些内容都是为了加深对高等数学的理解和应用。
总结来说，高数大一第八章是无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。
通过研究这些知识点，我们可以理解数列的收敛性质，掌握无穷级数的收敛性判别法，学会求解幂函数的泰勒展开，进而提高数学推理和解题的能力。
这些知识点不仅对高等数学的学习有帮助，也对其他数学学科的学习有重要意义。
在实际应用中，第八章的知识点在物理学、工程学和经济学等学科中起着重要作用。
通过无穷级数的理论，我们可以对物理学中的波动和振动进行分析；通过幂函数的泰勒展开，我们可以在工程学中进行精确计算；通过收敛性的判别法，我们可以在经济学中对收益和成本进行预测和分析。
高等数学：第八讲 复合函数微分法 一
z z u z v xeusin v eucos v y u y v y
内容小结
1.复合函数中全是中间变量，且中间变量中只有一个自变量
u
z
t
v
2.复合函数中全是中间变量，且中间变量中有多个自变量
u
x
z
v
y
谢谢
导，且其导数为 全导数公式
dz z du z dv dt u dt v d t
其中 z,u, v,t 之间的关系可用右图表示.
u
z
t
v
01 复合函数中全是中间变量，且中间变量中只有一个自变量 如果复合函数的中间变量多于两个，也有同样的微分法则.
设函数 z f (u, v, w), u u(t)，v v(t)，w w(t)，
而函数 z f (u, v) 在对应点 (u, v) 处具有连续的偏导数，则复合函数
z f (u(x, y),v(x, y)) 也一定在 (x, y) 处可导，且其偏导数为
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
u
x
其中 z,u, v, x, y 之间的关系可用右图表示.
u
则
d z z du z dv z dw
dt u dt v dt w dt
zv
t
w
例题1：
已知
z sin u , u et, v t 2 , v
求 dz . dt
解
因为 z cos u 1 ,
u
vv
z v
cos
u v
(
u v2
),
d u et, dv 2t，
dt
dt
u z
t
高等数学第八章知识点总结
高等数学第八章知识点总结第八章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
本文将对数列和级数的基本概念、极限、收敛性以及常见的数列和级数进行总结和归纳。
1. 数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列可以有界，也可以无界。
数列的性质包括有界性、单调性和有界单调性。
1.1 有界性：如果存在一个正数M，对于数列的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么称数列是有界的。
1.2 单调性：如果对于数列的每一项a_n，都有a_n≤a_(n+1)（或a_n≥a_(n+1)），那么称数列是递增的（或递减的）。
1.3 有界单调性：如果数列既是递增的又是有界的，那么称数列是有界递增的；如果数列既是递减的又是有界的，那么称数列是有界递减的。
2. 数列的极限数列的极限是数列中的数值趋于无穷时的极限值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无限的。
2.1 数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|a_n-a|<ε，那么称数列{a_n}收敛于a。
反之，如果不存在这样的实数a，则称数列{a_n}发散。
2.2 数列的极限存在唯一性：如果数列{a_n}收敛于a，并且又收敛于b，那么a=b。
3. 数列的运算数列的运算包括数列的加法、数列的乘法和数列的数乘。
3.1 数列的加法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n + b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的和。
3.2 数列的乘法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n * b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的乘积。
3.3 数列的数乘：若{a_n}是一个数列，k是一个实数，定义数列{b_n} = {k * a_n}，则称{b_n}为{a_n}的数乘。
4. 级数的概念和性质级数是数列的和，级数的性质包括收敛性、发散性和级数的收敛域。
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1 lim , x1 x1
例2：3. 根据定义证明: 函数 y 1 2x 为当x0时的无穷大.
x
问x应满足什么条件, 能使|y|>104？
习题1—4—3
证明 M0
|y|12x 2112
x
x |x|
要使|y|M,
只须|
1 x
|
2
M,
即 | x| 1
M 2
取 1 ,
M2
使当0|x0| 时, 有
12x M x
如：lim1 . 则lim (x1)0
x 1x1
x1
又如l： im ex. x
则lim x
1 ex
0
limn.
n
则lim 1 0 n n
注意： 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
课堂练习
例2: 试从函数图形判断下列极限.
(1)
x l i 2m tg x, xl i 2 m tg x,
高等数学（上） 第八讲
第一章
第四节
无穷大与无穷小
注1：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极
限过程谈无穷小量, 如sinx是x0时的无穷
小量, 但
limsin
x
x
1.因
此它 ，
不
是 x
2
2
时的无穷小量.
注2： 由于limC = C(常数),所以,
除0外的任何常数（即使其绝对值很小）不是无穷小
注3：0是任何极限过程的无穷小量.
x
y x
x x+
从图上li看 mex出 , x
limex 0.
x
பைடு நூலகம்
y
ylnx
0
x
(3) lim ln x,limlnx .
x
x0
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数 混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
定理3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
在同一过程中
注意！ 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证
o
设 函u数 在U(x0,1)内 有 界 ，
则 M 0,10, 使得 0当 xx0 1时, 恒有u M.
又设 是当 xx0时的无穷小,
0 2 0, 使得 0x当 x02时 ,
所以当x0时, 函数 y 1 2x 是无穷大. x
取M104, 则
1
104 2
当0|x0| 1
1 042
时,
|y|>104.
三、无穷小与无穷大量的关系
定理2：在某极限过程中, 若f (x)为无穷大量, 则
1 为无穷小量反. 之, 若f (x)为无穷小量 f (x)
(f(x)0),则 1 为无穷大量. f(x)
lim tg x,
x 2
(2 ) lim ex, x
lim ex,
x
(3 ) lilm x n ,
x
lilm x n ,
x 0
解： (1)
从图上可看出
y
y = tgx
limtgx,
x
2
lim tgx .
x
2
2
yx
0
x y
2
3 2
x
limtgx ,
x
2
(2)
y
y ex
y xo
恒有 .
M
取 mi1n ,2{ }则 , 0 当 xx0 时恒 , 有
uu M , M
当xx0时u,为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例,当 如 x 0时 ,xsi1n ,x2arc1t都a是n 无穷小
即 (x)是无穷小量.
充分性 " " , 若 f ( x ) A ( x ) 其 . ( x ) 0 中 ( x x o 时 ) ，
则 0, 0, 当0|xxo|时有 ，|(x)|.
即 | f(x)A|. 由极限： 定 lim义 f(x)知 A. xx0 类似可证x时情形.
2、无穷小的运算性质:
定理1. lif( m x ) A f( x ) A ( x )其.中 (x)
是该极限过程中的无穷小量. A为常数.
证：“ ” ,设 lim f(x)A, 令 (x)f(x)A x x0
必要性 >0, >0, 当0<|x – x0|< 时, 有|f (x) –A|<
即|(x)|, 故 lim (x)0. x x0
x
x
lim lim 因为 xsin10,
x0
x
x2arcta1n0
x0
x
二、无穷大量
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义2：若 >0(无论多么大), >0 (或X>0), 当0<|x–xo|< (或|x|>X) 时，有|f (x)|>M,
则称f (x)是x x0 (或x )时的无穷大量. 记作：
lim f (x)
x x0
( x)
例1： 证明 lim 1 x1 x1
证：M0,
要使 1 x 1
M,
只须 | x1| 1 即可, M
取
1, M
则0当 |x1|时 ，
有 1 M, x 1
故 lim1 x1 x1
1
x1– x y 0 1x y x1+
-1
从函数图形上， 还 lim可1 看 出 , x1 x1