FIR滤波器论文

FIR数字滤波器设计指导老师：赵春雨老师专业：测控技术与仪器姓名：张志斌（1301190048）刘凤媛（1301190049）郑开放（1301190047）摘要21世纪是数字化的时代，纵观当代通信的发展趋势，已成为引领通信变革的主潮流。

通信是在数字化浪潮的背景下，在计算机技术的应用和信息技术的发展的结果。

数字信号滤波器在各种数字信号处理中发挥着重要的作用，数字信号设计一直是数字信号处理领域的重要研究课题。

近年来，数字信号技术在我国也得到迅速发展，不论是在科学技术研究，还是在开发等发面，其应用越来越广泛，并取得了丰硕的成果。

本文主要介绍如何用窗函数法设计FIR滤波器的的具体步骤与方法，以及相关数字信号处理的一些具体算法，并在MATLAB环境下进行仿真。

根据仿真运行的结果来说明各项运行指标均达到设计要求。

关键词：FIR数字滤波器线性相位MATLAB仿真窗函数绪论随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理己成为当今一门极其重要的学科和技术领域，数字信号处理在通信、雷达、军事、航空航天、语音、图像、自动控制、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。

数字滤波器是数字信号处理的重要基础，在对信号的滤波、检测及参数的估计等信号应用中，数字滤波器是使用最为广泛的一种线性系统，在研究信号的时候，首先必须考虑噪声的干扰对信号的传输影响，噪声是一切干扰信号的泛指，有的仅希望最大限度地去除噪声而已，有的希望在去除噪声时能让滤波器具有线形相位，有的则是强调滤波的实时性，在设计时针对一些情况，制定有针对性的滤波器，来改善信号的质量。

数字滤波器从功能上分为低通滤波器(LPF)、高通滤波器(HPF)、带通滤波器(BPF)、带阻滤波器(BSF)。

我们可以得出第一类线性相位滤波器可以用于实现低通、高通、带通和带阻等各种滤波特性；通过数据和图形分析得出在相同的滤波器抽样响应长度下，如果在一个频带内赋予了大的加权，那么这个频带内将获得大的衰减。

因此，通过调整加权值，可得到不同的衰减，在通带和阻带都具有较好的性能。

1.数字滤波器的简介1.1数字滤波器的介绍数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响应（FIR）滤波器。

IIR系统易取得较好的通带和阻带衰减特性，一般要求H（z）阶次要高，即M要大。

FIR系统有自己突出的优点：系统总是稳定的，易实现线性相位，允许设计多通带（或多阻带）滤波器，后两项都是IIR系统不易实现的。

FIR数字滤波器的设计方法有多种，如窗函数设计法、频率采样法和Chebyshev逼近法等。

随着MATLAB软件尤其是MATLAB的信号处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以使设计实现最优化。

1.2数字滤波器的原理数字滤波器可分为FIR（有限脉冲响应）和IIR（无限脉冲响应）两种。

IIR滤波器的系统函数是两个Z的多项式的有理分式，而FIR滤波器的分母为1，即只有一个分子多项式。

数字滤波器的理想幅频特性如图1所示。

在0到π的全部频段上，其幅值为1的区域为通带，其余为阻带，即其幅值为0。

根据wc1和wc2取值不同可分为4种类型：（1）低通滤波器，当wc1=0时；（2）高通滤波器，当wc2=π时；（3）带通滤波器，当wc1及wc2如图1所示时；（3）带阻滤波器，当[0,wc1]及[wc2,1]区间幅度为1，[wc1,wc2]区间幅度为0时。

图1 理想幅频特性有些情况下，还对滤波器的相位特性提出要求，理想的是线性相位特性，即相移与频率成线性关系。

实际的滤波器不可能完全实现理想幅频特性，必有一定误差，因此要规定适当的指标。

低通滤波器在[0，p w ]的通带区，幅频特性会在1附近波动1δ±；在s w ～1的阻带区，幅频特性不会真等于零是一个大于零的2δ值；在[p w , s w ]之间，为过渡区；这三个与理想特性的不同点就构成了滤波器的指标体系。

即通带频率p w 和s w 通带波动1δ，阻带频率和阻带衰减2δ。

在许多情况下，人们习惯用分贝为单位，定义通带波动为p R （分贝）阻带衰减为s R （分贝）。

(1-1) （1.1）对于带通滤波器，p w 范围为[1p w ,2p w ]；对于带阻滤波器，s w 应表为[]12,s s w w 。

其他复杂形状的预期特性通常也可由若干理想的幅频特性叠合构成。

FIR 数字滤波器最大的优点是容易设计成线性相位特性，并且具有稳定性。

01log 20,011log 2012101110>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=δδδδs p R R1.3数字滤波器的设计(1) 确定技术指标在设计一个滤波器之前，必须首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标。

在很多实际应用中，数字滤波器常被用来实现选频操作。

因此指标的形式一般在频域中给出幅度和相位响应。

幅度指标主要以两种方式给出。

第一种是绝对指标。

他提供对幅度响应函数的要求，一般应用于FIR 滤波器的设计。

第二种指标是相对指标。

他以分贝值的形式给出要求。

(2) 逼近确定了技术指标后，就可以建立一个目标的数字滤波器模型（通常采用理想的数字滤波器模型）。

之后，利用数字滤波器的设计方法（窗函数法、频率采样法等），设计出一个实际滤波器模型来逼近给定的目标。

(3) 性能分析和计算机仿真上两步的结果是得到以误差或系统函数或冲激响应描述的滤波器。

根据这个描述就可以分析其频率特性和相位特性，以验证设计结果是否满足指标要求；或者利用计算机仿真实现设计的滤波器，再分析滤波结果。

1.3.1数字滤波器的设计过程（1）按照实际需要，确定滤波器的性能要求。

通常是在频域中给定数字滤波器的性能要求。

通带截止频率在通带内幅度响应以1δ±的误差接近于1，即（1.2）s ω为阻带起始频率，在阻带内幅度响应小于2δ的误差接近于零，即2()j H e ωδ≤s ωωπ≤≤ （1.3） c ωω≤111()1j H e ωδδ-≤≤+为了使逼近理想低通滤波器的方法成为可能，还必须提供一宽度为s c ωω-的不为零的过滤频带。

在这个频带内，幅度响应从通带平滑地下落到阻带。

这里ω（,c s ωω）指的是数字域频率，或者说ω是沿单位圆周的相角变化。

相位特性受到稳定性和因果性要求的限制（即要求系统函数的极点必须位于单位圆内部）。

（2）寻找满足预定性能要求的离散时间线性系统。

IIR 函数是1z -的有理函数。

FIR 滤波器的系统函数是1z -的多项式。

这样，滤波器的设计问题，变成了一个数字逼近问题，即用一个因果稳定系统函数去逼近给定的性能要求，以确定滤波器系数。

（3）用有限精度的运算来实现设计的系统。

包括选择运算结构，滤波器的系数，输入变量，中间变量，和输出变量。

（4）通过模拟，验证所设计的系统是否符合给定性能要求。

根据这步的结果决定是否对第二步和第三步作修改，以满足技术的要求。

1.3.2数字滤波器的设计方法设计FIR 数字滤波器的基本方法有窗函数法、频率取样法和等波动最佳逼近法，这些方法主要是针对选频型滤波器（低通、高通、带通和带阻滤波器）的设计，这种滤波器的设计指标是类似的，典型的指标为通带波动和阻带衰减。

数字滤波器的设计方法很多，大多数方法都在计算的复杂性和满足设计滤波器的指标两个问题间取得折衷。

FIR 滤波器的设计法方法可以分为以下几种：（1）频率采样法，（2）窗函数法。

2.线性相位FIR 数字滤波器2.1线性相位的概念 数字滤波器的频率响应可以由幅值()H ω表示。

如果数字滤波器的相位响应满足条件，那么称该数字滤波器是线性相位。

式中α是一个常量。

如果α是正数，那么该系统延迟信号；否则就是一个超前系统，此时相位是频率的线性方程，可以归为y mx b =+的形式，其中斜率为α-，截距0b =。

假设正弦曲线的频率为0ω，即周期为0T ，其中 因为一个周期对应于2π，所以相位改变0rad φ对应于延迟。

同样 , 如果00φαω=-，那么对应的延迟时间为 ，可见延迟时间和频率无关。

因此如果数字滤波器满足线性相位条件，那么所有频率分成的延迟量是一样的。

这意味着滤波后的输出只是输入信号的一个简单的延迟信号。

从另一方面来讲，如果滤波器不具有线性相位，那么输入信号的不同频率成分延迟量是不同的，这将会导致输出信号的失真，在实际设计中通常要回避这种情况。

如果系统的频率响应为()j H E αωω-=.那么其幅值响应是1,相位响应是()rad αω-,表明是线性相位的。

假设2()H z z -=,那么它只是起到延迟的作用，其相位响应只画出了(,)ππ-区间内的相位，这也导致了原本是线性的相位出现了弯折。

下面考虑给出了频率响应的情况，给定()()j H e G αωωω-= （2.1） 式中()G ω是实数。

既然()G ω是实数，所以它只会影响输入信号的幅值大小，而j e αω-仅仅使输入信号产生相移。

如果()0G ω>。

相位()φωαω=-，那么系统是一个线性想一系统。

如果()0G ω<，相位()φωαωω=-+，那么这种情况下，延迟时间和频率是有关的。

从上面给出的线性相位的定义的角度来说，该系统不是严格意义上的线性相位系统。

但是可以将上面的式子写成()[()]j H e G αωωω-=-。

这样一来中括号里的函数就变成了线性相位，此时波纹不再失真，负号只要将波纹沿纵轴反转即可。

但是如果()G ω会改变符号，那么波纹就可能失真。

()G ω只改变水平轴附近的符号，即阻带内的符号，此时阻带内的信号极大地衰减。

所以信号通过一个频率响应系统时，通带内信号没有产生任何失真。

这样的系统也常常称为线性相位系统。

这里顺便要指出的是模拟滤波器不可能有线性相位特性，只可能在很小的一个频带内近似地认为是线性相位。

0002T T φπ=0002T T αωαπ==002T πω=2.2线性相位FIR 数字滤波器的设计方法最优设计就是充分利用技术指标来进行设计。

误差容限设计低通滤波器，要求在频带0c ωω≤≤内以最大误差1δ逼近1，在频带s ωωπ≤≤内以最大误差2δ逼近零位。

我们将一要求表示为加权逼近误差函数的形式。

并且使用最大误差最小化准则将其描述为切比雪夫逼近问题。

最优线性相位FIR 数字滤波器的设计就是要设法求得切比雪夫逼近的最优解的滤波器的系数。

人们在寻求最优化设计上做了大量的工作。

1970年发表了非线性方程的方法求解切比雪夫逼近的最优解。

1971年出现了更好的拉格朗日内插多项式求解法。

到了1973年又找到了雷米兹算法求解加权误差的方法。

非线性方程解法及多项式内插法，之适用于设计那些误差极值点数目为最大可能性的滤波器，也即最多波纹滤波器。