量子力学习题解答第2章
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第二章
定态薛定谔方程
本章主要内容概要:
1. 定态薛定谔方程与定态的性质:
在势能不显含时间的情况下,含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程(能量本征值方程)
2
22.2d V E m dx
ψψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件(连续、有限、单值等)。能量本征函数n ψ具有正交归一性
(分立谱)
*
()()m n mn x x dx ψψδ∞
-∞
=⎰
或δ函数正交归一性(连续谱)
'
*'
()()()q q
x x dx q q ψψδ∞
-∞
=-⎰ 由能量本征函数
n ψ可以得到定态波函数
/
(,)
()n
iE t n n x t x e
ψ-ψ=
定态波函数满足含时薛定谔方程。
对分立谱,定态是物理上可实现的态,粒子处在定态时,能量具有确定值n E ,其它力学量(不显含时间)的期待值不随时间变化。对连续谱,定态不是物理上可实现的态(不可归一化),但是它们可以叠加成物理上可实现的态。
含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成,在分离谱情况下为 (,)(,)n n n
x t c x t ψ=ψ∑
系数n c 由初始波函数确定
(,0)()n n n
x c x ψψ=∑ ,
*
()(,0)n n c x x dx ψ∞
-∞
=ψ⎰
由波函数(,)x t ψ的归一性,可以得到系数n c 的归一性
2
1n
n
c
=∑
对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值,得到n E
的几率是2
n c ,能量的期待值可由
2
n n n
H c E =∑
求出。这种方法与用
*ˆ
(,)(,)
H x t H x t dx
∞
-∞
=ψψ
⎰
方法等价。
2. 一维典型例子:
(a)一维无限深势阱(分立谱,束缚态)
0, 0
()
,
x a
V x
<<
⎧
=⎨
∞
⎩其它地方
能量本征函数和能量本征值为
222
2
(), 0;1,2,3,...
2
n
n
n x
x x a n
a
n
E
ma
π
ψ
π
⎛⎫
=<<=
⎪
⎝⎭
=
若
0,
()
,
a x a
V x
-<<
⎧
=⎨
∞
⎩其它地方
则能量本征函数和能量本征值为
222
2
()(), ;1,2,3,...
2
2(2)
n
n
n
x x a a x a n
a
n
E
m a
π
ψ
π
⎛⎫
=+-<<=
⎪
⎝⎭
=
1
n=是基态(能量最低),2
n=是第一激发态。波函数相对于势阱的中心是奇偶交替
的:
1
ψ是偶函数,
2
ψ是奇函数,
3
ψ是偶函数,依次类推。
(b )一维简谐振子(分立谱,束缚态):
22
1
(),
2
V x m x x
ω
=-∞<<∞
能量本征函数和能量本征值为
2
1/4
/2
()(), ;
2!
1
, 1,2,3,...
2
n n
n
n
m m
x H e x
n
E n n
ξ
ωω
ψξξ
π
ω
-
⎛⎫
=≡
⎪
⎝⎭
⎛⎫
=+=
⎪
⎝⎭
其中()
n
Hξ厄米多项式,可由母函数
2
eξ-生成
2
2
()(1)n
n n d H e e d ξξξξ-⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
厄米多项式多项式满足递推关系
111()2()2()
()
2()
n n n n
n H H nH dH
nH d ξξξξξξξ
+--=-=
定义产生算符ˆa
+与湮灭算符ˆa - ()ˆˆˆa m x
ip ωω
±
= 则有
()()ˆˆ
ˆˆˆˆ,
2m x a a p
i a
a ω
+-+-=+=-
)1100ˆˆ, , 1ˆˆ, 0.n n n n n
n
a a
a
a ψψψψψ+
+--+
-====
当处于能量本征态时
2220, 0
111122222n x p p T V m x E n m ωω
==⎛⎫=====+ ⎪⎝⎭
(c)一维自由粒子(连续谱,散射态):
定态薛定谔方程为
2
22
, 2d E x m dx
ψ
ψ-=-∞<<∞ 能量本征函数和本征值为
22(), ; 2ikx k k x k k k E m
ψ=≡-∞<<∞
=
能量本征函数满足δ函数正交归一性
''*()'
1()2i k k x k k
dx e dx k k ψψδπ∞∞
--∞
-∞
==-⎰⎰ 定态波函数为