北京市昌平区2020届高三第二次统一练习(二模)数学试题

北京市昌平区2020届高三第二次统一练习(二模)数

学试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 已知集合，，则集合（）A．B．C．D．

2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数（）A．1 B．C．2 D．

3. 在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为（）

A．﹣40 B．40 C．﹣80 D．80

4. 已知向量，.若，则实数的值为（）

A．－2 B．2

C．D．

5. 设，则（）

A．B．C．D．

6. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）

A．4 B．8 C．D．

7. 已知点P是双曲线C：x21的一条渐近线y＝kx（k＞0）上一点，F是双曲线C的右焦点，若△OPF的面积为5，则点P的横坐标为（）A．B．C．D．

8. 已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），则“函数f（x）在上单调递增”是“0＜ω≤2”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

9. 点P在函数y＝e x的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）

A．B．C．3 D．4

10. 一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m

题号

学生1 2 3 4 5 6 7 8

得

分

甲╳√╳√╳╳√╳30 乙╳╳√√√╳╳√25 丙√╳╳╳√√√╳25 丁╳√╳√√╳√√m A．35 B．30 C．25 D．20

二、填空题

11. 已知，则的最小值为_____．

12. 设{a n}是等差数列，且a1＝3，a n+1＝a n﹣2，则数列{a n}的前n项和S n＝

_____．

13. 已知点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，则点M到其顶点O的距离为_____．

三、双空题

14. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点在角β的终边上．若，则＝_____；x＝

_____．

四、填空题

15. 曲线C：，点P在曲线C上．给出下列三个结论：

①曲线C关于y轴对称；

②曲线C上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]；

③若A（﹣1，0），B（1，0），则存在点P，使△PAB的面积大于．

其中，所有正确结论的序号是_____．

五、解答题

16. 在△ABC中，a cos B＝b sin A．

（1）求∠B；

（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．

17. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，

，E为PB中点，_____，

求证：四边形ABCD是直角梯形，并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．

从①CD⊥BC；②BC∥平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答．

18. 为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．

（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；

（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）

19. 已知椭圆离心率为，椭圆M与y轴交于A，B 两点（A在下方），且过点直线l与椭圆M交于C，D两点（不与A重合）.

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.

20. 已知函数f（x）ax+a，a∈R．

（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；

（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调区间；

（Ⅲ）当x∈（0，2）时，比较f（x）与的大小．

21. 已知有限数列{a n}，从数列{a n} 中选取第i1项、第i2项、……、第i m项（i1＜i2＜…＜i m），顺次排列构成数列{a k}，其中b k＝a k，1≤k≤m，则称新数列{b k}为{a n} 的长度为m的子列．规定：数列{a n} 的任意一项都是{a n} 的长度为1的子列．若数列{a n} 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{a n} 为完全数列．设数列{a n}满足a n＝n，1≤n≤25，n∈N*．

（Ⅰ）判断下面数列{a n} 的两个子列是否为完全数列，并说明由；

数列（1）：3，5，7，9，11；数列（2）：2，4，8，16．

（Ⅱ）数列{a n} 的子列{a k}长度为m，且{b k}为完全数列，证明：m的最大值为6；

（Ⅲ）数列{a n} 的子列{a k}长度m＝5，且{b k}为完全数列，求

的最大值．