集合论与图论课件 第九章(旧)
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《康托尔的集合论》课件
康托尔的思想和方法对数学基础研究 产生了深远的影响，推动了数学的发 展。
02
集合论的起源
集合论的背景
数学基础的探讨
19世纪数学界开始对数学的基础 进行深入探讨，寻求数学知识的 内在一致性和完备性。
数学逻辑的兴起
数学逻辑的兴起为集合论的创立 提供了重要的思想基础，为数学 的发展提供了更加严谨的框架。
图论等。
数据结构和算法
集合论中的概念如并集、交集、 差集等，在数据结构和算法设计
中有着重要的应用。
形式化方法
在计算机科学中，形式化方法是 一种基于数学的证明和推理技术 ，而集合论为其提供了数学基础
。
06
康托尔集合论的影响与评 价
对数学发展的影响
革命性的概念引入
康托尔首次提出了无穷集合的概念，打破了传统数学对无穷的限 制，为后续数学理论的发展奠定了基础。
在物理学领域的应用
测度论
在物理学中，测度论是描 述物理量大小和变化的数 学工具，而集合论为其提 供了数学基础。
概率论
物理学中的随机现象可以 通过概率论来描述，而集 合论则为概率论提供了数 学框架。
量子力学
量子力学中的波函数和状 态空间都可以用集合论的 语言来描述。
在计算机科学领域的应用
离散数学
集合论在离散数学中有着广泛的 应用，如集合运算、集合划分、
集合论的应用
集合论不仅在纯粹数学领域有广泛应用，还涉及到物理学、计算机科学、经济 学等多个领域。
03
康托尔的集合论
集合论的基本概念
01
02
03
04
集合
由确定的、不同的部分组成的 整体。
元素
集合中的一个具体部分。
子集
离散数学教程(集合论与图论)-FudanUniversity
离散数学教程（集合论与图论）离散数学：计算机科学与技术的数学基础课内容：集合论，图论，组合数学，代数结构，数理逻辑集合论:（第1-4章）组合数学初步:（第5-7章）图论:（第8-11章）教师介绍⏹教师：吴永辉博士副教授⏹简历：⏹1984-1988 上海科技大学计算机系本科⏹1988-1991 复旦大学计算机系硕士⏹1991-2003 华东师范大学计算机系工作⏹1998-2001 复旦大学计算机系博士⏹2003-复旦大学计算机系工作⏹答疑E-mail: yhwu@《集合论与图论》课件制作软件⏹Microsoft PowerPoint⏹MathType Equation《集合论与图论》课程大纲⏹课程性质与目的⏹教学内容与要求⏹使用教材、参考书籍⏹命题说明和题型课程性质、目的与基本要求⏹课程性质本课程讲授计算机科学与技术的数学基础课《离散数学》的部分主要内容：集合论、图论与组合数学初步，是计算机专业的主干课程之一。
本课程前行课程为线性代数，数学分析(上)。
⏹课程目的使学生掌握集合论、图论与组合数学初步的基本内容，并对证明的思想和方法深入理解和体会，初步培养学生的思维过程的数学化。
⏹基本要求：⏹掌握集合论、组合学和图论的基本概念，清楚了解引入基本概念的实际背景、各概念间相互关系；掌握基本定理以及有关理论题的证明技巧；掌握解决计数问题的基本方法和技巧；掌握图论中各算法设计的思想、正确性证明以及算法的应用。
为进一步学习计算机其他课程打下坚实的基础。
教学方式本课程以课堂讲授为主。
考核方式⏹平时作业；⏹集合论、组合数学和图论3次课堂练习；⏹期中，期末的两次笔试考试。
教学内容与要求----集合论⏹第一章集合的基本概念掌握：集合的基本概念，集合的运算。
了解：集合论的悖论。
掌握证明两个集合相等的基本法和公式法。
⏹第二章关系掌握：关系的性质、运算和关系的闭包，以及等价关系和偏序关系。
了解：关系在关系数据库中的应用。
掌握证明的类型。
离散数学(集合论)ppt课件
0 1 n n C C ... C 2 n n n
15
幂 集 定义
P(A) = { B | BA }
设 A={a,b,c},则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}
计数: 6
2.真子集： A B A B A B
真包含
3.集合相等： A B A B 且 B A
14
n元集，m元子集
含有n个元素的集合简称n元集,它的含有m 个(m≤n)元素的子集称为它的m元子集. 例题3.2:A={a,b,c},求A的全部子集. 0元子集,即空集,只有1个. 1 1元子集,即单元集, c 个 {a},{b},{c} 3 2 元子集 个 {a,b},{a,c}{b,c} 2 3元子集1个c 3 {a,b,c} n元集的集合个数为:
2
当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量 的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个 圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段 上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上 的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对 这些问题的研究就产生了集合论。
3
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论 是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名 的罗素悖论。 可以说，这一悖论就象在平静的数 学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反 响导致了第三次数学危机。
19
集合基本运算的定义
并
交 相对补 对称差
AB = { x | xA xB }
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA) = (AB)(AB)
绝对补
15
幂 集 定义
P(A) = { B | BA }
设 A={a,b,c},则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}
计数: 6
2.真子集： A B A B A B
真包含
3.集合相等： A B A B 且 B A
14
n元集，m元子集
含有n个元素的集合简称n元集,它的含有m 个(m≤n)元素的子集称为它的m元子集. 例题3.2:A={a,b,c},求A的全部子集. 0元子集,即空集,只有1个. 1 1元子集,即单元集, c 个 {a},{b},{c} 3 2 元子集 个 {a,b},{a,c}{b,c} 2 3元子集1个c 3 {a,b,c} n元集的集合个数为:
2
当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量 的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个 圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段 上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上 的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对 这些问题的研究就产生了集合论。
3
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论 是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名 的罗素悖论。 可以说，这一悖论就象在平静的数 学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反 响导致了第三次数学危机。
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集合基本运算的定义
并
交 相对补 对称差
AB = { x | xA xB }
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA) = (AB)(AB)
绝对补
[工学]SG09离散数学大全 集合与图论
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第9讲 函数
内容提要 函数,偏函数,全函数,真偏函数 单射,满射,双射,计数问题 象,原象 常数函数,恒等函数,特征函数,单调函数,
自然映射 合成(复合),反函数,单边逆(左逆,右逆) 构造双射(有穷集,无穷集)
2020/11/14
h
1
函数(function)
函数: F是函数 F是单值的二元关系
FAB FdomFB
2020/11/14
h
8
三者关系
AB = AB AB
偏函数AB domFA
全函数AB domF=A
真偏函数AB domFA
2020/11/14
h
9
全函数性质
设 F:AB, 单射(injection): F是单根的 满射(surjection): ranF=B 双射(bijection): F既是单射又是满射, 亦
2020/11/14
h
32
方法1: f:NNN
f:NNN, f -1:NNN, <i,j>NN, f(<i,j>)=2i(2j+1)-1,
f -1(n)=f -1(2i(2j+1)-1)=<i,j>. 例: f(<0,0>)=0, f(<0,1>)=2,
f(<1,0>)=1,… f -1(5)=<1,1>, f -1(101)=<1,25>, f -1(200)=<0,100>,…
g○f
f○g
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h
29
构造双射及求反函数
|A|=m, |B|=n, AB存在双射 n=m
|A|=, |B|=, BA, AB存在双射, 如 f: NN-{0,1,2}, f(n)=n+3
内容提要 函数,偏函数,全函数,真偏函数 单射,满射,双射,计数问题 象,原象 常数函数,恒等函数,特征函数,单调函数,
自然映射 合成(复合),反函数,单边逆(左逆,右逆) 构造双射(有穷集,无穷集)
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函数(function)
函数: F是函数 F是单值的二元关系
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三者关系
AB = AB AB
偏函数AB domFA
全函数AB domF=A
真偏函数AB domFA
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全函数性质
设 F:AB, 单射(injection): F是单根的 满射(surjection): ranF=B 双射(bijection): F既是单射又是满射, 亦
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方法1: f:NNN
f:NNN, f -1:NNN, <i,j>NN, f(<i,j>)=2i(2j+1)-1,
f -1(n)=f -1(2i(2j+1)-1)=<i,j>. 例: f(<0,0>)=0, f(<0,1>)=2,
f(<1,0>)=1,… f -1(5)=<1,1>, f -1(101)=<1,25>, f -1(200)=<0,100>,…
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构造双射及求反函数
|A|=m, |B|=n, AB存在双射 n=m
|A|=, |B|=, BA, AB存在双射, 如 f: NN-{0,1,2}, f(n)=n+3
集合论与图论PPT资料(正式版)
k 0
在(x+y)2的展开式中令x=y=1得：
5、集合的运算
x∈A (x∈ A x∈ B)) (x∈A x∈ A) (x∈A x∈ B)）
定义1 设Ａ、Ｂ为两个集合，则Ａ与Ｂ的交集Ａ∩Ｂ、并 A-B=A-(A∩B)
定义１ 给定集合Ａ和Ｂ，如果Ａ中每个元素都是Ｂ中的元素，则称Ａ为Ｂ的子集，记作 Ａ Ｂ或Ｂ Ａ，读作“Ａ包含于Ｂ”或“
定理２ 空集是任意集合的子集。
证明：任给集合Ａ，Φ是空集。则（x)(x∈Φ→x∈A) 永
真。这是因为条件式的前件(x∈Φ)永假，所以该条件式对
一切ｘ皆为真。按子集的定义，ΦA为真。
8
3、集合间的关系（续2）
例1 证明对于任何集合A、B、C都有 (AB)∧(BC)(AC)
证：(AB)∧(BC) (x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈C) (x)（(x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C)） (x)(x∈A→x∈C) AC
如果ａ是集合Ｓ的元素,记作ａ∈Ｓ,读作“ａ属于 Ｓ”。如ｂ不是Ｓ的元素，记作 bＳ，读作“ｂ不属于 Ｓ”，它等价于 （b∈s）。若一个集合的元素个数是 有限的，则称为有限集，否则称为无限集。
4
2、集合的表示
列举法：列出集合的所有元素，并用花括号括起来，元素 之间用逗号隔开。例如： S={e1 ,e2 ,…,en} (具有n个元素的有限集) Ａ＝{a,{b,c},{{d}}} （ a,{b,c},{{d}}是该集合的元素）
7
3、集合间的关系（续1）
定理１ 设Ａ、Ｂ为两个集合，Ａ＝Ｂ当且仅当 ＡＢ 且ＢＡ。即 (A＝B)AB∧BA。
证明：两个集合相等，则它们有相同的元素。 (A＝B)(x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈A) (AB)∧(BA)。
在(x+y)2的展开式中令x=y=1得：
5、集合的运算
x∈A (x∈ A x∈ B)) (x∈A x∈ A) (x∈A x∈ B)）
定义1 设Ａ、Ｂ为两个集合，则Ａ与Ｂ的交集Ａ∩Ｂ、并 A-B=A-(A∩B)
定义１ 给定集合Ａ和Ｂ，如果Ａ中每个元素都是Ｂ中的元素，则称Ａ为Ｂ的子集，记作 Ａ Ｂ或Ｂ Ａ，读作“Ａ包含于Ｂ”或“
定理２ 空集是任意集合的子集。
证明：任给集合Ａ，Φ是空集。则（x)(x∈Φ→x∈A) 永
真。这是因为条件式的前件(x∈Φ)永假，所以该条件式对
一切ｘ皆为真。按子集的定义，ΦA为真。
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3、集合间的关系（续2）
例1 证明对于任何集合A、B、C都有 (AB)∧(BC)(AC)
证：(AB)∧(BC) (x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈C) (x)（(x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C)） (x)(x∈A→x∈C) AC
如果ａ是集合Ｓ的元素,记作ａ∈Ｓ,读作“ａ属于 Ｓ”。如ｂ不是Ｓ的元素，记作 bＳ，读作“ｂ不属于 Ｓ”，它等价于 （b∈s）。若一个集合的元素个数是 有限的，则称为有限集，否则称为无限集。
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2、集合的表示
列举法：列出集合的所有元素，并用花括号括起来，元素 之间用逗号隔开。例如： S={e1 ,e2 ,…,en} (具有n个元素的有限集) Ａ＝{a,{b,c},{{d}}} （ a,{b,c},{{d}}是该集合的元素）
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3、集合间的关系（续1）
定理１ 设Ａ、Ｂ为两个集合，Ａ＝Ｂ当且仅当 ＡＢ 且ＢＡ。即 (A＝B)AB∧BA。
证明：两个集合相等，则它们有相同的元素。 (A＝B)(x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈A) (AB)∧(BA)。
集合论与图论课件 第九章(旧)
这与平面图满足q≤3p-6矛盾
因此,超过5的度数不可能有p-3个
21
4、最大(极大)平面图的性质
3(P281)、若G是顶点数p>11的平面图，试证 Gc不是平面图。 证明： 设G的顶点数是p 则G与Gc的边数是p(p-1)/2。 因为G与Gc都是平面图 应该：p(p-1)/26p-12 解不等式： p>11时上式不成立 所以：若G是顶点数p>11的平面 图，则Gc不是平面图。
如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的。
4
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
平面图的内部面与外部面
f3
f2 v
f1
u
f4
灰色环不是单连通区域
定义9.1.2 平面图把平面分成了若干个区域，这些区
域都是单连通的，称之为G的面，其中无界的那个连
通区域称为G的外部面，其余的单连通区域称为G的内
证明
v
设G是最大平面图,其最小度顶点为v, 设G-v也是一个平面图,v在G-v的一个面内, 在这个面内,边界上至少有三个顶点, 由极大性,v必然与这些顶点都相连, 因此, (G)≥3。
20
4、最大(极大)平面图的性质
1(P281)、设G是一个有p个顶点的平面图,p≥4, 证明:G中有4个度不超过5的顶点 只要证明最大平面图有4个度不超过5的顶点即可 用反证法:若不成立,则至少有p-3个顶点≥6 顶点度数和≥(p-3)×6+9=6p-9 2q≥6p-9 q≥3p-4.5
定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图 有p个顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
11
3、最大(极大)可平面图
一个图称为最大可平面图，如果这个可平面图再 加入一条边，新图必然是不可平面的。
因此,超过5的度数不可能有p-3个
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4、最大(极大)平面图的性质
3(P281)、若G是顶点数p>11的平面图，试证 Gc不是平面图。 证明： 设G的顶点数是p 则G与Gc的边数是p(p-1)/2。 因为G与Gc都是平面图 应该：p(p-1)/26p-12 解不等式： p>11时上式不成立 所以：若G是顶点数p>11的平面 图，则Gc不是平面图。
如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的。
4
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
平面图的内部面与外部面
f3
f2 v
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u
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灰色环不是单连通区域
定义9.1.2 平面图把平面分成了若干个区域，这些区
域都是单连通的，称之为G的面，其中无界的那个连
通区域称为G的外部面，其余的单连通区域称为G的内
证明
v
设G是最大平面图,其最小度顶点为v, 设G-v也是一个平面图,v在G-v的一个面内, 在这个面内,边界上至少有三个顶点, 由极大性,v必然与这些顶点都相连, 因此, (G)≥3。
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4、最大(极大)平面图的性质
1(P281)、设G是一个有p个顶点的平面图,p≥4, 证明:G中有4个度不超过5的顶点 只要证明最大平面图有4个度不超过5的顶点即可 用反证法:若不成立,则至少有p-3个顶点≥6 顶点度数和≥(p-3)×6+9=6p-9 2q≥6p-9 q≥3p-4.5
定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图 有p个顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
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3、最大(极大)可平面图
一个图称为最大可平面图，如果这个可平面图再 加入一条边，新图必然是不可平面的。
SG00离散数学大全 集合与图论
进度安排
第1周 第2--7周 第8--17周 第8、15周 第18周 预备知识（数理逻辑） 集合论（6周） 图论（10周） 测验（2次） （机动）
成绩评定
书面作业占10%，4--5题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
作业
时间：每周日交上周作业，下周日发回 顺序：每次交一个班，1、2、3班轮流 讲解：每次作业都有课上讲解 要求：正确、完全、简洁、清楚 Correct，Complete，Concise，Clear 提示：独立完成作业，可以讨论，但要 杜绝抄袭
内容介绍
《集合论与图论》
第一部分 集合论
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 集合 二元关系 函数 自然数 基数
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章 图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
答疑
时间： （待定） 地点： 理科楼群#1，1625室 电话： 62765818 Email：
liu_tian@ liutian@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田 北京大学计算机系 2001年2月
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册， ， 耿素云，北大出版社，1998年2月
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 ， 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
内容介绍
《离散数学》
离散数学-第9章 图
2023/11/27
例9.2.2 分析
分析 由于V中有5个结点，因此要用5个小圆圈 分别表示这5个结点，点的具体摆放位置可随意 放。而对E中的6条边，圆括号括起的结点对表示 无向边，直接用直线或曲线连接两个端点，尖括 号括起的结点对表示有向边，前一个是始点，后 一个始终点，用从始点指向终点的有向直线或曲 线连接。
ai
j
1 ， 0 ，
若 ( vi,vj ) 否则
E
或
vi,vj
E
i,j 1,2,3, ,n
2023/11/27
例9.2.4
试写出下图所示图G的邻接矩阵。
分解析 若首结先点将排图序中为的v16v个2v结3v4点v5排v6，序则， v1 然其邻后接利矩用v1阵定v义2 9.v23.2写v4出其v5邻接v6矩阵。 初按结学vv点时21 0排可1 序先01标在上0矩01结阵1 点的000，行0若与1第01列i1前行01分前别的 v5 结在否则可邻点则vvvv标接到为6543 记矩第00011。A如阵jG列若下0001的前结：第11100的点0111i10000行结排第点序111100111j有为11100列边v11000元00111v相2素11100v连30111为v4，v15则，v6，
2023/11/27
例9.2.5
试写出下图所示图G的所有结点的邻接点、所有边
的邻接边，并指出所有的孤立结点和环。
v3
v4
v5
e4 e5 v2
e6 e1
e2 v6 e7
v1 e3
2023/11/27
例9.2.5 分析
根据定义9.2.4，如果两个结点间有边相连，那 么它们互为邻接点；如果两条边有公共结点，那 么它们互为邻接边。需要注意的是，只要当一个 结点处有环时，它才是自己的邻接点；由于一条 边有两个端点，在计算邻接边时要把这两个端点 都算上，例如e2和e4都是e1的邻接边。所有边都 是自己的邻接边。
例9.2.2 分析
分析 由于V中有5个结点，因此要用5个小圆圈 分别表示这5个结点，点的具体摆放位置可随意 放。而对E中的6条边，圆括号括起的结点对表示 无向边，直接用直线或曲线连接两个端点，尖括 号括起的结点对表示有向边，前一个是始点，后 一个始终点，用从始点指向终点的有向直线或曲 线连接。
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j
1 ， 0 ，
若 ( vi,vj ) 否则
E
或
vi,vj
E
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例9.2.4
试写出下图所示图G的邻接矩阵。
分解析 若首结先点将排图序中为的v16v个2v结3v4点v5排v6，序则， v1 然其邻后接利矩用v1阵定v义2 9.v23.2写v4出其v5邻接v6矩阵。 初按结学vv点时21 0排可1 序先01标在上0矩01结阵1 点的000，行0若与1第01列i1前行01分前别的 v5 结在否则可邻点则vvvv标接到为6543 记矩第00011。A如阵jG列若下0001的前结：第11100的点0111i10000行结排第点序111100111j有为11100列边v11000元00111v相2素11100v连30111为v4，v15则，v6，
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例9.2.5
试写出下图所示图G的所有结点的邻接点、所有边
的邻接边，并指出所有的孤立结点和环。
v3
v4
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e4 e5 v2
e6 e1
e2 v6 e7
v1 e3
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例9.2.5 分析
根据定义9.2.4，如果两个结点间有边相连，那 么它们互为邻接点；如果两条边有公共结点，那 么它们互为邻接边。需要注意的是，只要当一个 结点处有环时，它才是自己的邻接点；由于一条 边有两个端点，在计算邻接边时要把这两个端点 都算上，例如e2和e4都是e1的邻接边。所有边都 是自己的邻接边。
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29
2、图的色数的定义
定义9.4.2 图G的色数是使G为n—着色的数的最小值, 图G的色数记为(G),(G)n,则称G是n—可着色的，若 (G)=n,则称G是n色的。
若G是偶数个顶点圈C2n,则(C2n)=2, 若G是奇数个顶点圈C2n+1,则(C2n+1)=3。
30
2、图的色数的定义
定义9.4.2 图G的色数是使G为n—着色的数的最小 值,图G的色数记为(G),(G)n,则称G是n—可着色 的，若(G)=n,则称G是n色的。
定理9.4.5 每个可平面图是5—可着色的 [证]对可平面图的顶点数进行归纳证明； 当p≤5时,定理显然成立； 假设对一切有p个顶点的可平面图都是5—可着色 的,证明对一切有p+1个顶点的可平面图也是5—可 着色的； 设G是一个有p+1个顶点可平面图,由推论9.1.6知 G中有一个顶点v使degv≤5,于是,G-v是一个有p个 顶点的可平面图,由归纳假设,G-v是5可着色的；
34
9.4 图的顶点着色
定理9.4.3 如果G是一个连通图且不是完全图 也不是奇数长的圈,则G是(G)—可着色的。
35
9.4 图的顶点着色
定理9.4.4 每个平面图都是6可着色的 [证] 对平面图的顶点数p用归纳法; 如果顶点数小于7,显然是6—可着色的; 假设对p-1个顶点的平面图是6—可着色的,只需证对 有p个顶点的平面图也是6—可着色的即可; 设G是一个有p个顶点的平面图;
G-x有p个顶点，q-1条边，f-1个面 由归纳假设 p-(q-1)+(f-1)=2 p-q+f=2 因此面数是f时也成立。
f3
x
f1
f2 v
u
f4
f3
f2 v
f1
u
f4
9
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
推论9.1.1 若平面连通图G有p个顶点q条边且每个面 都是由长为n的圈围成的，则
2、若G是2-连通的且没有三角形,则G中任意顶点 都在一个圈上, 已知没有三角形,所以圈的长都是4时边数最多,
所以q≤2p-4
16
4、最大(极大)平面图的性质
推论9.1.5 K5与K3,3都不是可平面图 证：
利用推论9.1.4,任意(p,q)平面图都满足
q≤3p-6,这里p≥3
对于k5来说： p=5, q=10;
*22
9.1 平面图及欧拉公式
定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p 个顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
推论9.1.4 若G是任一有p个顶点q条边的可 平面图p≥3,则q≤3p-6,若G是2-连通的且没 有三角形,则q≤2p-4
推论9.1.6 每个平面图G中顶点度的最小值不超 过5,即(G)≤5
图1 推论9.1.4 若G是任一有p个顶点q条边的可平面图 p≥3,则q≤3p-6,若G是2-连通的且没有三角形,则 q≤2p-4
15
4、最大(极大)平面图的性质
推论9.1.4 若G是任一有p个顶点q条边的可平面图 p≥3,则q≤3p-6,若G是2-连通的且没有三角形,则 q≤2p-4
1、因为当平面图中每个面都是三角形时其边数最 多，由推论9.1.2,则q≤3p-6,
仍然用推论9.1.4,q≤3p-6 如果G的每个顶点的度大于5,也就是≥6 那么所有顶点的度数和大于或等于6p 由欧拉定理,2q≥6p,即q≥3p
不满足推论9.1.4,q≤3p-6
每个平面图G中顶点度的最小值不超过5, 即(G)≤5
19
4、最大(极大)平面图的性质
例题:顶点数p≥4的最大平面图,(G)≥3
V-E+F=2 定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p个 顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
f3
f2 v
f1
u
f4
如图：顶点数4 边数6 面数4
7
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p个顶点、 q条边、f个面，则：p-q+f=2
第九章：平面图与图的着色
9.1 平面图及其欧拉公式
9.2 非哈密顿平面图
9.3 库拉托斯基定理、对偶图
9.4 图的顶点着色
9.5 图的边着色
v
u
平面图
1
第九章：平面图与图的着色
平面图的定义，性质，顶点着色和 边着色。
内容
除了顶点外，其他位 置边不相交的图
建模 电路图，地图，各种建筑平面图的建 模。本章对平面图的一般性质进行讨论。 图的顶点着色应用广泛。
证明
v
设G是最大平面图,其最小度顶点为v, 设G-v也是一个平面图,v在G-v的一个面内, 在这个面内,边界上至少有三个顶点, 由极大性,v必然与这些顶点都相连, 因此, (G)≥3。
20
4、最大(极大)平面图的性质
1(P281)、设G是一个有p个顶点的平面图,p≥4, 证明:G中有4个度不超过5的顶点 只要证明最大平面图有4个度不超过5的顶点即可 用反证法:若不成立,则至少有p-3个顶点≥6 顶点度数和≥(p-3)×6+9=6p-9 2q≥6p-9 q≥3p-4.5
38
9.4 图的顶点着色
1、如果degv≤4,则必有一种颜色,在G-v的一种 5-着色时,对与v邻接的顶点着色中未用此色,
于是,用此色对顶点v着色便得到G的5-着色； 2、degv=5且对G-v的5-着色中,与v邻接的5 个顶点v1,v2,v3,v4,v5分别着5种颜色 c1,c2,c3,c4,c5。
*24
4、最大(极大)平面图的性质
2(P281)、设G是一个有k个支的平面图，若G的 顶点数、边数、面数分别为p、q和f,试证：
p-q+f=k+1。
25
第九章：平面图与图的着色
9.1 平面图及其欧拉公式 9.2 非哈密顿平面图 9.3 库拉托斯基定理、对偶图 9.4 图的顶点着色 9.5 图的边着色
如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的。
4
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
平面图的内部面与外部面
f3
f2 v
f1
u
f4
灰色环不是单连通区域
定义9.1.2 平面图把平面分成了若干个区域，这些区
域都是单连通的，称之为G的面，其中无界的那个连
通区域称为G的外部面，其余的单连通区域称为G的内
q=n(p-2)/(n-2)
f1
f2 f3
f4
图G
如图有4个长为4的面，边数为8，顶点数为6 8=4(6-2)/(4-2)
10
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
推论9.1.1 若平面连通图G有p个顶点q条边且 每个面都是由长为n的圈围成的，则
q=n(p-2)/(n-2) 证： 因为G的每个面都是长为n的圈围成的 并且G的每条边都在G的两个面上 q=fn/2 f=2q/n p-q+2q/n=2 q=n(p-2)/(n-2)
(Kp)=p, (Kpc)=1, (Km,n)=2,
K6
K6c
K2,4
31
9.4 图的顶点着色
定理9.4.1 一个图是可双色的当且仅当它没 有奇数长的圈。
偶图
一个图是可双色的当且仅当是偶图。 偶图的充分必要条件是它的圈的长度都是偶数。
32
9.4 图的顶点着色
定理9.4.2 设=(G)为图G的顶点度的最大值,则 G是(+1)—可着色的.
部面。
单连通区域是指能够收缩到一个点的区域
5
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
f3
f2 v
f1
u
f4
0
1
3
2
4
5
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连通区 域。
没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。
6
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
如果用V表示多面体的顶点,用E表示棱，用F表示 面数。
定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图 有p个顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
11
3、最大(极大)可平面图
一个图称为最大可平面图，如果这个可平面图再 加入一条边，新图必然是不可平面的。
观察下面两个图，他们是不是最大可平面图
图1
图2
图1不是最大可平面图 图2是最大可平面图
12
4、最大(极大)平面图的性质
这与平面图满足q≤3p-6矛盾
因此,超过5的度数不可能有p-3个
21
4、最大(极大)平面图的性质
3(P281)、若G是顶点数p>11的平面图，试证 Gc不是平面图。 证明： 设G的顶点数是p 则G与Gc的边数是p(p-1)/2。 因为G与Gc都是平面图 应该：p(p-1)/26p-12 解不等式： p>11时上式不成立 所以：若G是顶点数p>11的平面 图，则Gc不是平面图。
证：对面数用归纳法
当f=1时，G没有内部面
所以G中无圈，G是树； p假如对q一+f切=1不+超1=过f-1个面 的平面连2 通图欧拉公式成立， 现证f个面时的情况。
0
1
3
2
4
5
只有一个面的平面 连通图（树）
8
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
f≥2,G至少有一个内部面，从而G中有一个圈，
从这个圈上去掉一条边x， 则打通了两个面，
[证] 对顶点数p用归纳法 当p=1成立, 假设对顶点数为p-1的图定理成立,(+1)可着色 今设G是一个有p个顶点的图,
图G
33
9.4 图的顶点着色
图G
从G中任意去掉一个顶点v,则G-v有p-1个顶点, (G-v)≤(G) 由归纳假设G-v是(+1)—可着色的, 但在G中与v邻接的顶点最多有个,与v邻接的 顶点最多用去种颜色,剩下一种给顶点v着色即 可。
2、图的色数的定义
定义9.4.2 图G的色数是使G为n—着色的数的最小值, 图G的色数记为(G),(G)n,则称G是n—可着色的，若 (G)=n,则称G是n色的。
若G是偶数个顶点圈C2n,则(C2n)=2, 若G是奇数个顶点圈C2n+1,则(C2n+1)=3。
30
2、图的色数的定义
定义9.4.2 图G的色数是使G为n—着色的数的最小 值,图G的色数记为(G),(G)n,则称G是n—可着色 的，若(G)=n,则称G是n色的。
定理9.4.5 每个可平面图是5—可着色的 [证]对可平面图的顶点数进行归纳证明； 当p≤5时,定理显然成立； 假设对一切有p个顶点的可平面图都是5—可着色 的,证明对一切有p+1个顶点的可平面图也是5—可 着色的； 设G是一个有p+1个顶点可平面图,由推论9.1.6知 G中有一个顶点v使degv≤5,于是,G-v是一个有p个 顶点的可平面图,由归纳假设,G-v是5可着色的；
34
9.4 图的顶点着色
定理9.4.3 如果G是一个连通图且不是完全图 也不是奇数长的圈,则G是(G)—可着色的。
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9.4 图的顶点着色
定理9.4.4 每个平面图都是6可着色的 [证] 对平面图的顶点数p用归纳法; 如果顶点数小于7,显然是6—可着色的; 假设对p-1个顶点的平面图是6—可着色的,只需证对 有p个顶点的平面图也是6—可着色的即可; 设G是一个有p个顶点的平面图;
G-x有p个顶点，q-1条边，f-1个面 由归纳假设 p-(q-1)+(f-1)=2 p-q+f=2 因此面数是f时也成立。
f3
x
f1
f2 v
u
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f3
f2 v
f1
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2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
推论9.1.1 若平面连通图G有p个顶点q条边且每个面 都是由长为n的圈围成的，则
2、若G是2-连通的且没有三角形,则G中任意顶点 都在一个圈上, 已知没有三角形,所以圈的长都是4时边数最多,
所以q≤2p-4
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4、最大(极大)平面图的性质
推论9.1.5 K5与K3,3都不是可平面图 证：
利用推论9.1.4,任意(p,q)平面图都满足
q≤3p-6,这里p≥3
对于k5来说： p=5, q=10;
*22
9.1 平面图及欧拉公式
定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p 个顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
推论9.1.4 若G是任一有p个顶点q条边的可 平面图p≥3,则q≤3p-6,若G是2-连通的且没 有三角形,则q≤2p-4
推论9.1.6 每个平面图G中顶点度的最小值不超 过5,即(G)≤5
图1 推论9.1.4 若G是任一有p个顶点q条边的可平面图 p≥3,则q≤3p-6,若G是2-连通的且没有三角形,则 q≤2p-4
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4、最大(极大)平面图的性质
推论9.1.4 若G是任一有p个顶点q条边的可平面图 p≥3,则q≤3p-6,若G是2-连通的且没有三角形,则 q≤2p-4
1、因为当平面图中每个面都是三角形时其边数最 多，由推论9.1.2,则q≤3p-6,
仍然用推论9.1.4,q≤3p-6 如果G的每个顶点的度大于5,也就是≥6 那么所有顶点的度数和大于或等于6p 由欧拉定理,2q≥6p,即q≥3p
不满足推论9.1.4,q≤3p-6
每个平面图G中顶点度的最小值不超过5, 即(G)≤5
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4、最大(极大)平面图的性质
例题:顶点数p≥4的最大平面图,(G)≥3
V-E+F=2 定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p个 顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
f3
f2 v
f1
u
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如图：顶点数4 边数6 面数4
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2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p个顶点、 q条边、f个面，则：p-q+f=2
第九章：平面图与图的着色
9.1 平面图及其欧拉公式
9.2 非哈密顿平面图
9.3 库拉托斯基定理、对偶图
9.4 图的顶点着色
9.5 图的边着色
v
u
平面图
1
第九章：平面图与图的着色
平面图的定义，性质，顶点着色和 边着色。
内容
除了顶点外，其他位 置边不相交的图
建模 电路图，地图，各种建筑平面图的建 模。本章对平面图的一般性质进行讨论。 图的顶点着色应用广泛。
证明
v
设G是最大平面图,其最小度顶点为v, 设G-v也是一个平面图,v在G-v的一个面内, 在这个面内,边界上至少有三个顶点, 由极大性,v必然与这些顶点都相连, 因此, (G)≥3。
20
4、最大(极大)平面图的性质
1(P281)、设G是一个有p个顶点的平面图,p≥4, 证明:G中有4个度不超过5的顶点 只要证明最大平面图有4个度不超过5的顶点即可 用反证法:若不成立,则至少有p-3个顶点≥6 顶点度数和≥(p-3)×6+9=6p-9 2q≥6p-9 q≥3p-4.5
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9.4 图的顶点着色
1、如果degv≤4,则必有一种颜色,在G-v的一种 5-着色时,对与v邻接的顶点着色中未用此色,
于是,用此色对顶点v着色便得到G的5-着色； 2、degv=5且对G-v的5-着色中,与v邻接的5 个顶点v1,v2,v3,v4,v5分别着5种颜色 c1,c2,c3,c4,c5。
*24
4、最大(极大)平面图的性质
2(P281)、设G是一个有k个支的平面图，若G的 顶点数、边数、面数分别为p、q和f,试证：
p-q+f=k+1。
25
第九章：平面图与图的着色
9.1 平面图及其欧拉公式 9.2 非哈密顿平面图 9.3 库拉托斯基定理、对偶图 9.4 图的顶点着色 9.5 图的边着色
如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的。
4
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
平面图的内部面与外部面
f3
f2 v
f1
u
f4
灰色环不是单连通区域
定义9.1.2 平面图把平面分成了若干个区域，这些区
域都是单连通的，称之为G的面，其中无界的那个连
通区域称为G的外部面，其余的单连通区域称为G的内
q=n(p-2)/(n-2)
f1
f2 f3
f4
图G
如图有4个长为4的面，边数为8，顶点数为6 8=4(6-2)/(4-2)
10
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
推论9.1.1 若平面连通图G有p个顶点q条边且 每个面都是由长为n的圈围成的，则
q=n(p-2)/(n-2) 证： 因为G的每个面都是长为n的圈围成的 并且G的每条边都在G的两个面上 q=fn/2 f=2q/n p-q+2q/n=2 q=n(p-2)/(n-2)
(Kp)=p, (Kpc)=1, (Km,n)=2,
K6
K6c
K2,4
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9.4 图的顶点着色
定理9.4.1 一个图是可双色的当且仅当它没 有奇数长的圈。
偶图
一个图是可双色的当且仅当是偶图。 偶图的充分必要条件是它的圈的长度都是偶数。
32
9.4 图的顶点着色
定理9.4.2 设=(G)为图G的顶点度的最大值,则 G是(+1)—可着色的.
部面。
单连通区域是指能够收缩到一个点的区域
5
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
f3
f2 v
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平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连通区 域。
没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。
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2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
如果用V表示多面体的顶点,用E表示棱，用F表示 面数。
定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图 有p个顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
11
3、最大(极大)可平面图
一个图称为最大可平面图，如果这个可平面图再 加入一条边，新图必然是不可平面的。
观察下面两个图，他们是不是最大可平面图
图1
图2
图1不是最大可平面图 图2是最大可平面图
12
4、最大(极大)平面图的性质
这与平面图满足q≤3p-6矛盾
因此,超过5的度数不可能有p-3个
21
4、最大(极大)平面图的性质
3(P281)、若G是顶点数p>11的平面图，试证 Gc不是平面图。 证明： 设G的顶点数是p 则G与Gc的边数是p(p-1)/2。 因为G与Gc都是平面图 应该：p(p-1)/26p-12 解不等式： p>11时上式不成立 所以：若G是顶点数p>11的平面 图，则Gc不是平面图。
证：对面数用归纳法
当f=1时，G没有内部面
所以G中无圈，G是树； p假如对q一+f切=1不+超1=过f-1个面 的平面连2 通图欧拉公式成立， 现证f个面时的情况。
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只有一个面的平面 连通图（树）
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2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
f≥2,G至少有一个内部面，从而G中有一个圈，
从这个圈上去掉一条边x， 则打通了两个面，
[证] 对顶点数p用归纳法 当p=1成立, 假设对顶点数为p-1的图定理成立,(+1)可着色 今设G是一个有p个顶点的图,
图G
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9.4 图的顶点着色
图G
从G中任意去掉一个顶点v,则G-v有p-1个顶点, (G-v)≤(G) 由归纳假设G-v是(+1)—可着色的, 但在G中与v邻接的顶点最多有个,与v邻接的 顶点最多用去种颜色,剩下一种给顶点v着色即 可。