【成功新学案】2012高三数学一轮复习 1.2《含绝对值不等式与一元二次不等式的解法》课件
解下列绝对值不等式： 解下列绝对值不等式： (1)1＜|x－2|≤3； (1)1＜|x－2|≤3； (2)|2x＋1|＋|x－ (2)|2x＋1|＋|x－2|>4.
解析： 解析：
已知一次函数f(x) [变式训练] 1.已知一次函数f(x)＝ax－2. 变式训练] 1.已知一次函数f(x)＝ax－ (1)当 (1)当a＝3时，解不等式|f(x)|<4. 解不等式|f(x)|<4. (2)解关于x的不等式|f(x)|<4. (2)解关于x的不等式|f(x)|<4. 解关于 解析： (1)若 f(x)＝3x－ 解析： (1)若a＝3，则f(x)＝3x－2. ∴|f(x)|<4|3x－2|<4 4<3x－ ∴|f(x)|<4|3x－2|<4－4<3x－2<4
4．不等式|x－1|＜x的解集为________． 不等式|x－1|＜ 的解集为________． |x ________ 解析： x≤0时无解 时无解． 解析： 当x≤0时无解． 2x＋ 当x＞0时，两边平方得：x2－2x＋1＜x2， 两边平方得：
答案： 答案：
解析： 解析：
答案： 答案：
1．解绝对值不等式的关键是正确去掉绝对值等号，转化为一般不等 解绝对值不等式的关键是正确去掉绝对值等号， 式求解．去掉绝对值符号常用的方法是定义法和平方法． 式求解．去掉绝对值符号常用的方法是定义法和平方法． 2．记关于变量x的代数式为f(x)， 记关于变量x的代数式为f(x)， f(x) |f(x)|≥a(a>0)f(x)≥a或f(x)≤－ |f(x)|≥a(a>0)f(x)≥a或f(x)≤－a； |f(x)|≤a(a>0) a≤f(x)≤a. |f(x)|≤a(a>0)－a≤f(x)≤a. 3．含两个以上的绝对值的不等式，欲去掉绝对值符号，需先找出零 含两个以上的绝对值的不等式，欲去掉绝对值符号， 点，划分区间，利用零点分段讨论，从而去掉绝对值符号． 划分区间，利用零点分段讨论，从而去掉绝对值符号．
1．不等式|x－4|＋1>0的解集是( 不等式|x－4|＋1>0的解集是( |x 的解集是 A．{x|x>5或x<3} x|x>5或 >5 C ．R 答案： 答案： C 的解集为( 2．不等式3＋2x－x2>0的解集为( 不等式3 2x－ >0的解集为
)
B．{x|3<x<4} D． D．
)
ห้องสมุดไป่ตู้
B． x|x< A．{x|－1<x<3} B．{x|x<－1，或x>3} {x|－ D． x|x< C．{x|－3<x<1} D．{x|x<－3，或x>1} {x|－ 解析： 2x－ >0 2x－3<0(x＋1)(x－3)<0 解析： 3＋2x－x2>0x2－2x－3<0(x＋1)(x－3)<0－1<x<3. 答案： 答案： A
解含绝对值不等式和一元二次不等式是每年高考必考的内容， 解含绝对值不等式和一元二次不等式是每年高考必考的内容，通过对 近三年高考试题的统计分析，整个命题有以下的规律： 近三年高考试题的统计分析，整个命题有以下的规律： 1．考查热点：解两种类型的不等式． 考查热点：解两种类型的不等式． 2．考查形式：选择题、填空题和解答题均可能出现，作为工具在解 考查形式：选择题、填空题和解答题均可能出现， 答题中经常出现． 答题中经常出现． 3．考查角度： 考查角度： 一是对各类不等式的解法的考查．求函数的定义域， 一是对各类不等式的解法的考查．求函数的定义域，判断集合间的关 系或解不等式时，往往几个不等式综合在一起考查． 系或解不等式时，往往几个不等式综合在一起考查． 二是对含参数的不等式的解法的考查． 二是对含参数的不等式的解法的考查． 4．命题趋势：不等式同集合相结合仍是高考的热点． 命题趋势：不等式同集合相结合仍是高考的热点．
[阅后报告] 本题考查了绝对值不等式和集合间的关系，方法一是几 阅后报告] 本题考查了绝对值不等式和集合间的关系， 何法，把绝对值问题转化为距离，方法二是利用计算法， 何法，把绝对值问题转化为距离，方法二是利用计算法，若AB，a，b 存在吗？ 存在吗？
1．(2009·山东卷)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足 (2009·山东卷) 上定义运算⊙ a⊙b＝ab＋2a＋ 山东卷 x⊙(x－2)＜ 的实数x的取值范围为( x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( B． A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2) ，－2)∪(1，＋∞ D． 2)∪(1，＋ 解析： x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋ 解析： ∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0， 0.∴－ ∴x2＋x－2＜0.∴－2＜x＜1. 答案： 答案： B )
第2课时 含绝对值不等式与一元二次不等式的解法
1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 含绝对值的不等式|x|<a
(2)|ax＋b|>c(c>0)或|ax＋b|<c(c>0)的解法 (2)|ax＋b|>c(c>0)或|ax＋b|<c(c>0)的解法 ①|ax＋b|>cax＋b>c或ax＋b<－c； |ax＋b|>c ax＋b>c或ax＋b<－ ②|ax＋b|<c－c<ax＋b<c. |ax＋b|<c c<ax＋ (3)|f(x)|<g(x)或|f(x)|>g(x)的解法 (3)|f(x)|<g(x)或|f(x)|>g(x)的解法 ①|f(x)|<g(x)－g(x)<f(x)<g(x)； |f(x)|<g(x) g(x)<f(x)<g(x)； ②|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)． |f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)．
解析： 解析：
原函数可化为y＝－x 其图象为选项C. 原函数可化为y＝－x2＋x＋2，其图象为选项C. 答案： 答案： C
1．解含有绝对值不等式的关键，就是依据绝对值概念和等价不等式， 解含有绝对值不等式的关键，就是依据绝对值概念和等价不等式， 将其转化为不含绝对值的整式不等式(或不等式组)来解． 将其转化为不含绝对值的整式不等式(或不等式组)来解． 2．解一元二次不等式时，应当考虑相应的二次方程，根据二次项系数 解一元二次不等式时，应当考虑相应的二次方程， 的符号确定不等式解集的形式，当然还要考虑相应的二次方程根的大小， 的符号确定不等式解集的形式，当然还要考虑相应的二次方程根的大小， 当二次项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为零的情形． 当二次项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为零的情形．
1．一元二次不等式的形式为ax2＋bx＋c>0(<0)(a≠0)． 一元二次不等式的形式为ax bx＋c>0(<0)(a≠0)． 2．一元二次不等式的解题步骤： 一元二次不等式的解题步骤： (1)将二次项系数化为正数； (1)将二次项系数化为正数； 将二次项系数化为正数 (2)看判别式Δ的符号； (2)看判别式Δ的符号； 看判别式 (3)求出相应一元二次方程的根(若根存在) (3)求出相应一元二次方程的根(若根存在)； 求出相应一元二次方程的根 (4)根据二次函数图象、一元二次方程的根与不等式解集的关系， (4)根据二次函数图象、一元二次方程的根与不等式解集的关系，结 根据二次函数图象 合不等号定解集． 合不等号定解集． 3．有时通过因式分解，直接求出方程的根． 有时通过因式分解，直接求出方程的根．
(2010·天津卷)设集合A {x||x－a|<1，x∈R} (2010·天津卷)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若 天津卷 {x||x－b|>2，x∈R} AB，则实数a，b必满足( 则实数a 必满足( A．|a＋b|≤3 |a＋ C．|a－b|≤3 |a－ )
解析： (1)∵Δ＝42－4×2×3＝16－24＝－8<0. 解析： (1)∵Δ＝ 16－24＝－8<0. ＝－ ∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根． 方程2x 4x＋ 没有实根．
解析： (1)两边都乘以 两边都乘以－ 6x＋2<0，因为3>0 3>0， 解析： (1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0，因为3>0，
4x＞0}， {x||x－1|≤2}， 3．已知集合A＝{x|x2－4x＞0}，B＝{x||x－1|≤2}，那么集合 已知集合A A∩B等于( A∩B等于( 等于 )
B．{x|3≤x＜ A．{x|－1≤x＜0} B．{x|3≤x＜4} {x|－1≤x＜ D．{x|－1≤x＜ 3≤x＜ C．{x|0＜x≤3} D．{x|－1≤x＜0或3≤x＜4} {x|0＜ 解析： ∵A＝{x|x＜0或x＞4}，B＝{x|－1≤x≤3}， x|x＜ 4}， {x|－1≤x≤3}， 解析： ∴A∩B＝{x|－1≤x＜0}，选择A. A∩B＝{x|－1≤x＜0}，选择A. 答案： 答案： A
这类问题主要是将一元二次方程的根， 这类问题主要是将一元二次方程的根，一元二次不等式的解集以及二 次函数的图象结合起来，来解决问题． 次函数的图象结合起来，来解决问题．即一元二次方程根的分布转化 为一元二次不等式求解， 为一元二次不等式求解，一元二次不等式转化为二次函数的值域问题 来求解． 来求解． 已知二次函数y bx＋ 的图象与x轴相交于(1,0) (1,0)与 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(1,0)与 (3,0)两点，则不等式ax bx＋ 的解集是否确定？若确定， (3,0)两点，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是否确定？若确定，求 两点 其解集；若不确定，请给出一个条件，使其解集为确定的． 其解集；若不确定，请给出一个条件，使其解集为确定的．
高考数学一轮总复习名师精讲 第2讲含绝对值的不等式及一元二次不等式课件
[点评] 本题考查二次不等式的解集与相应的二次方程之间的 关系和转化思想的运用．二次方程 ax2＋bx＋c＝0 与 cx2＋bx＋a＝0 的根互为倒数关系，不等式 ax2＋bx＋c＞0 与 ax2＋bx＋c≤0 的解集 为互补关系．
一般地，若不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|m＜x＜n,0＜m＜ n}，则 cx2＋bx＋a＜0 的解集是x|x＜1n或x＞m1 ；若 m＜n＜0、m＜0 ＜n，解集可以类比写出．
v 一般情况下，选取的基本原则是设法消去变量(如本题中的x)保 留常量，而且|a|±|b|＞c恒成立往往使(|a|±|b|)min＞c，而|a|±|b| ＜c恒成立，则是使(|a|±|b|)max＜c.
v |x－x1|－|x－x2|∈[－|x1－x2|，|x1－x2|]，是利用几何意义推断 出来的．
可变为(2x＋5)(x＋a)＜0. 当－a＝－52时，x∈∅； 当－a<－52时，－a<x<－52不成立． 当－a＞－52时，－52＜x＜－a. 要使原不等式组的解集中只有单元素－2， －2<－a≤3 ∴－3≤a<2.
v 点评：本题可利用数轴辅助求解．
快速解题 技法 若关于 x 的不等式 ax2＋ax＋a－1<0 的解集为 R，则 a 的 取值范围是( ) A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(43，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，0)∪[43，＋∞)
Δ＞0
x1，x2＝－b2±a Δ
不等式的解集 为：{x|x<x1 或
x>x2}
Δ＝0 Δ＜0
x1＝x2＝－2ba
不等式的解集 为：{x|x∈R 且
x≠－2ba}
方程无解
不等式的解集 为：R
高中数学复习学案含绝对值的不等式及一元二次不等式
高中数学复习学案含绝对值的不等式及一元二次不等式高考要求1把握c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法，并能熟练地应用它解决咨询题；把握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式；2．明白得一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，把握图象法解一元二次不等式的方法；把握把握简单的分式不等式和专门的高次不等式的解法3．把握用韦达定明白得决含参二次方程的实根分布的差不多方法知识点归纳1绝对值不等式a x <与)0(>>a a x 型不等式cb ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法与解集：不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-; 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ; 不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或 2解一元一次不等式)0(≠>a b ax①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0 ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0 3韦达定理：方程02=++c bx ax 〔0≠a 〕的二实根为1x 、2x ，那么240b ac ∆=-≥且⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121 ①两个正根，那么需满足⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ，②两个负根，那么需满足1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩，③一正根和一负根，那么需满足⎩⎨⎧<>∆0021x x4．一元二次不等式的解法步骤关于一元二次不等式()22000ax bx c ax bx c a ++>++<>或，设相应的一元二次方程()200ax bx c a ++=>的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，那么不等式的解的各种情形如下表：方程的根→函数草图→观看得解，关于的情形能够化为的情形解决注意：含参数的不等式ax 2＋bx ＋c>0恒成立咨询题⇔含参不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是R ；其解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a ≠0〔a<0且△<0〕两种情形 题型讲解例1 解不等式〔1〕923<-≤x ；〔2〕x x 2143+>-解：〔1〕原不等式化为：⎩⎨⎧<<-≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-117519232x x x x x 或}115,17{<≤-≤<-∴x x x 或原不等式的解为：〔2〕原不等式化为：⎩⎨⎧->-<-⎩⎨⎧->-≥-xx x x x x 21340432143043或 解得 535<>x x 或 }5,53{><∴x x x 或不等式的解集为：例2 解不等式46522-<+-x x x解：〔1〕当042≤-x 时，不等式的解集为∅ 〔2〕当042≤-x 即22>-<x x 或时，有⎪⎩⎪⎨⎧>><⇔⎩⎨⎧<+->+-⇔-<+-<--222101050252465)4(2222x x x x x x x x x x 或综上所述，原不等式的解集为}2{>x x例3 解不等式：|x-3|-|x+1|<1分析：关键是去掉绝对值方法1：零点分段讨论法〔利用绝对值的代数定义〕 ①当1-<x 时，01,03<+<-x x∴1)1()3(<++--x x ∴ 4<1 φ∈⇒x ②当31<≤-x 时∴1)1()3(<+---x x ⇒21>x ，∴}321|{<<x x ③当3≥x 时1)1()3(<+--x x ⇒-4<1R x ∈⇒ ∴}3|{≥x x综上，原不等式的解集为}21|{>x x也能够如此写： 解：原不等式等价于 ①⎩⎨⎧<++---<1)1()3(1x x x 或②⎩⎨⎧<+---<≤-1)1()3(31x x x或 ③⎩⎨⎧<+--≥1)1()3(3x x x ，解①的解集为φ，②的解集为{x|21<x<3}，③的解集为{x|x ≥3}, ∴原不等式的解集为{x|x>21} 方法2：数形结合从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点∴原不等式的解集为{x|x>21} 例4 不等式210{51}ax bx x x ++≥-≤≤的解集为a b 求、的值解：由题意可知 0<a 且－5和1是方程012=++bx ax 的两根⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=-∴54515141)5(b a a a b故b a ,的值分不为54,51--例5解关于x 的不等式)(,)]1([)1(222b a x b ax x b x a ≠-+≥-+ 解：原不等式化为2222222222()()2()()()0()0001a b x b a b x a b bx b a b x x a b a b x x x -+≥-+-+⇒--≤≠∴->∴-≤≤≤则{01}x x ≤≤故原不等式的解集为例6假设不等式13642222<++++x x kkx x 关于x 取任何实数均成立，求k 的取值范畴解：∵13642222<++++x x k kx x ⇔013642222<-++++x x k kx x ⇔03643)3(2222>++-+--x x kx k x ⇔ 03)3(222>-+--k x k x (∵4x2+6x+3恒正)，∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式2x 2-2(k-3)x+3-k>0对x 取任何实数均成立∴∆=[-2(k-3)]2-8(3-k)<0⇔k2-4k+3<0⇔1<k<3∴k 的取值范畴是〔1，3〕逆向思维题目，告诉解集反求参数范畴，即确定原不等式，待定系数法的一部分例7方程2(k+1)2x +4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k 的取值范畴解：要原方程有两个负实根，必须:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><+≥∆≠+0000)1(22121x x x x k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤--≠⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-<+-≤-+≠+132101210)1(2230)1(2402012k k k k k k k k k k k k k 或或 13212<<-<<-⇔k k 或∴实数k 的取值范畴是{k|-2<k<-1或32<k<1} 小结：1含绝对值不等式的解法：解含绝对值不等式，既要明确不等式的差不多性质，又要依照绝对值的代数及几何意义，去掉绝对值符号，将其转化为一样的不等式〔组〕来解2一元二次不等式的解法：将一元二次不等式与相应的一元二次方程和二次函数结合起来，要紧是依照二次函数的图像来解二次方程假如不等式的系数含有字母，那么应该依照情形予以讨论，如开口方向，两根的大小等等，这是数学中的分类讨论思想 学生练习1不等式038>-x 的解集是〔 〕A ∅B RC 8{|}3x x ≠ D }38{2设}3{},2{<=>=x x N x x M ，那么以下结论正确的选项是〔 〕A M N M =B }32{<<=x x NC R N M =D }2{-<=x x N M3绝对值大于2且不大于5的最小整数是A 3B 2C －2D －54 不等式0412>+-x x 的解集是〔 〕 A R B 1{|}2x x < C 1{|}2x x > D 1{|}2x x ≠5设等于则B A x x B x x A },11{},32{>-=<-= 〔 〕A }5201<<<<-x x x 或B }51{<<-x xC }01<<-x xD }20{><x x x 或6 假设0)1)((,10>--<<ax x a a 则不等式的解是〔 〕 A a x a <<1 B a x a 1<< C a x a x 1><或 D a x ax ><或17 不等式0)1)(2(>-+x x 的解集是〔 〕A }12>-<x x x 或B }21{>-<x x x 或C }12<<-x xD }21{<<-x x8 >+-)1)(1(x x 0的解集为〔 〕A }11<<-x xB }11{>-<x x x 或C }1{<x xD }11{-≠<x x x 且9 不等式32>x的解集是 10不等式02≤+-n mx x 的解集为}15{≤≤-x x ,那么m ＝ ，n ＝11不等式9531≤-<x 的解集为12不等式02>++k x x 恒成立，那么k 的取值范畴是13方程0432242=-+-a a x x 有一正根，一负根，那么实数a 的取值范畴是14解不等式：221>-+-x x15解不等式：12217522>-+---x x x x 16解关于x 的不等式31<-mx17假设a a ax x x 恒成立，求实数时，不等式02212<+-≤<的取值范畴18解以下不等式:(1)7522≤-<x (2)1122+<-x x19．不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值20解关于的不等式a x <-+132)(R a ∈参考答案：1C 2C 3D 4D 5A 6B 7C 8D 922,0)(0,)33- 10 4,5m n =-=- 11414[,1)(2,]33- 1214>13 323((0,)33-14 15(,)(,)22-∞+∞ 153(,5)2- 1624420;0;0m x R m x m x m m m m=⇒∈>⇒-<<<⇒<<- 1743a >18 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤-∈627231|x x R x 或(2) {}0|≠∈x R x19 3,5213a c a c ==⇒+=201a x ≤-⇒∈∅，421(,)22a a a x ++>-⇒∈-课前后备注1．不等式|x －4|＋1>0的解集是〔 〕 A {x | x >5或x <3} B {x | 3<x <4} C R D ο/答案：C2．不等式|1－2x |<3的解集是〔 〕A {x | x <－1}B {x | －1<x <2}C {x | x >2}D {x | x <－1或x >2} 答案：B3．不等式1<|x |<2的解集是〔 〕A {x | －2<x <2}B {x | x <－1或x >1}C {x | －2<x <－1或1<x <2}D {x | 1<x <2} 答案：C4．一元二次不等式x 2－7x ＋12<0, －2x 2＋x －5>0, x 2＋2>－2x 的解集分不是M 、N 、P ，那么有〔 〕A N ⊆M ⊆PB M ⊆N ⊆PC N ⊆P ⊆MD M ⊆P ⊆N答案：A 提示：M ＝{x | 3<x <4}, N =ο/, P =R , ∴N ⊆M ⊆P5．抛物线y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点为(－2, 0), (2, 0)，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集是〔 〕A －2<x <2B x >2或x <－2C x ≠±2D 不确定，与a 的符号有关答案：D 提示：当a >0时, x ∈{x | x >2或x <－2}, 当a <0时, x ∈{x | －2<x <2}, ∴选D6．假设不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x | －7<x <－1}，那么a 的值是〔 〕 A 1 B 2 C 3 D 4答案：C 提示：a21=7, ∴a =3 7．不等式(2―a )x 2―2(a ―2)x ＋4>0关于一切实数x 都成立，那么〔 〕 A {a | －2<a <2} B { a | －2<a ≤2} C {a | a <－2} D {a | a >2}答案：B 提示：当a =2时, 不等式成立，当2－a >0且△<0时,解得－2<a <0 8．假设二次方程2(kx －4)x －x 2＋6＝0无实根，那么k 的最小整数值是〔 〕 A －1 B 2 C 3 D 4答案：B 提示：二次方程2(kx －4)x －x 2＋6＝0无实根，那么△<0, 解得k >611, ∴k 的最小整数值是29．不等式|x －a |>b (b <0)的解集是〔 〕A {x | x ∈R 且x ≠a }B RC {x | x <b }D {x | x <a －b 或x >a ＋b } 答案：B10．不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于〔 〕 A －3 B 1 C －1 D 3答案：A 提示：A ={x | －1<x <3}, B ={x | －3<x <2}, ∴ A ∩B ={x | －1<x <2}, ∴a =－1, b =－2, a ＋b =－311．以下不等式中无解的一个是〔 〕A 2x 2－3x ＋2>0B x 2＋4x ＋4≤0C 4－4x －x 2<0D －2＋3x －2x 2>0 答案：D12．不等式组⎩⎨⎧><+-520342x x x 的解集是〔 〕A 1<x <3 B25<x <3 C x <1或x >3 D x <1或x >25 答案：B13．假设|3x －1|<3，化简41291624922++++-x x x x 的结果是〔 〕 A 6x －2 B －6 C 6 D 2－6x答案：C 提示：∵|3x －1|<3，∴ －32<x <34, 41291624922++++-x x x x =|3x －4|＋|3x ＋2|=4－3x ＋3x ＋2=614．假设x =a 是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++<+->--1365)2(22)3)(12(x x x x 的解，那么P (a ＋2, a －2)在〔 〕A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限答案：C 提示：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++<+->--1365)2(22)3)(12(x x x x 的解是x <－3, ∴a ＋2<0, a－2<0, P (a ＋2, a －2)在第三象限15．使4123-+-x x 有意义的x 的取值范畴是〔 〕 A －3≤x <23 B －25<x ≤3 C －3≤x <－25或23<x ≤3 D －3≤x ≤3 答案：C 提示：由3－|x |≥0, |2x ＋1|－4>0，解得－3≤x <－25或23<x ≤3 16．不等式4x 243-－1≥0的解集是 答案： {x | x ≤41或x ≥21} 17．假设直角坐标系内的点P (2a －1, a 2－1)在第四象限，那么a 的取值范畴是答案：21<a <1 18．假设不等式2x 2＋px ＋q <0的解集为－2<x <1，那么p = ；q = 答案： p =2, q =－4 提示：－2p =－2＋1， 2q =(－2)·1 19．不等式3≤|2－x |<9的解集是答案： －7<x ≤－1或5≤x <120．不等式x 2＋5x ＋m <0的解集是{x | －7<x <2}，那么m = 答案： m =－1421．假设方程组⎩⎨⎧=+=+b y x y x 2522有实数解，那么b答案： －52≤b ≤提示：将y =b －x 代入x 2＋y 2=25, 得2x 2－2bx ＋b 2－25=0, △≥0, 解得－52≤b ≤5222．解不等式：x 2＋3<4|x |答案： {x | 1<x <3或－3<x <－1}提示：x >0时，x 2＋3<4x , 解得1<x <3；x <0时，解得－3<x <－123．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x | x <α或x >β}, (α<β<0)，求不等式ax 2－bx ＋c >0的解集答案：{x | －β<x <－α}提示：∵不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x | x <α或x >β},∴a <0, 且方程ax 2＋bx ＋c =0的两根为x =α, x =β, α＋β=－a b , αβ=a c , 设方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根为 m , n ，那么m ＋n =a b , mn =ac , ∴m , n 分不为－α,－β,∴不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为{x | －β<x <－α}24．一元二次方程x 2＋4x －m =0的两个实根之积的平方不大于36，试求m 的取值范畴答案： －4≤m ≤6提示：设方程x 2＋4x －m =0的两个实根为α,β, 那么△≥0且(αβ)2≤36, ∴16＋4m ≥0, m 2≤36, 解得－4≤m ≤625．k 取何值时，不等式(k ＋1)x 2―2(k ―1)x ＋3(k －1)≥0关于任何x ∈R 都成立？答案： k ≥1提示：∵不等式(k ＋1)x 2―2(k ―1)x ＋3(k －1)≥0关于任何x ∈R 都成立，∴k ＋1>0且△≤0,∴ k >－1且k 2＋k －2≥0解得k ≥126．要使关于x 的二次方程x 2－2mx ＋m 2－1=0的两个实数根介于－2与4之间, 求m 的取值范畴答案： －1<m <3 提示：令f (x )= x 2－2mx ＋m 2－1,由函数的图象知，f (－2)>0, f (4)>0,且－2<m <4, 整理得m 2＋4m ＋3>0, m 2－8m ＋15>0且－2<m <4,解得－1<m <327．解关于x 的不等式2＋a <a |x －1|答案： (I ) 当a =0时, 解集是ο/ (II ) 当a >0时，解集是x <－a 2或x >2＋a2 (III )当－2≤x <0时，解集为ο/ (I V) 当a <－2时，解集为－a 2<x <a 2＋2 提示：(I ) 当a =0时, 解集是ο/(II ) 当a >0时，|x －1|>1＋a 2, ∴x －1>1＋a 2或x －1<－1－a 2，解得x <－a 2或x >2＋a2 (III )当－2≤x <0时，解集为ο/ (I V) 当a <－2时，|x －1|<1＋a 2, ∴ －1－a 2<x －1<1＋a 2， 解得－a 2<x <a 2＋2。
高考数学一轮复习 一元二次不等式及其解法 理PPT课件
考点探究
(2)原不等式等价于xx22－－xx－－22＞≤04，⇒xx22－－xx－－26＞≤00，， ⇒（ （xx－ －23） ）（ （xx＋ ＋12） ）＞ ≤00，⇒x－＞22≤或xx≤＜3－. 1， 所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1 或 2＜x≤3}． 点评：(1)解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法(如 本例第(1)题)，注意，不等式的解要写成集合或区间的形式；(2) 解不等式的基础是解一元一次不等式和一元二次不等式，熟练掌握一 元二次不等式的解法是解各类不等式的基础，所以应当熟练记住形如 ax2 ＋bx＋c＞0(＜0)(其中 a＞0)的不等式在各种情况下的解集的形式．
2a＋3 高考总复习数学（理科） 解析：由题意得 ≥1， 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 5a＋2 考点2 解含参数的一元二次不等式
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2a＋3 考点3 解分式不等式
考点探究
考点1 解一元二次不等式
【例 1】 解下列不等式： (1)19x－3x2≥6； (2)0＜x2－x－2≤4. 自主解答： 解析：(1)方法一 原不等式可化为 3x2－19x＋6≤0， 方程 3x2－19x＋6＝0 的解为 x1＝13，x2＝6.
考点探究
函数 y＝3x2－19x＋6 的图象开口向上且与 x 轴有两个交点13，0 和(6，0)．
考点探究
考点3 解分式不等式
2012高考数学文一轮复习(北师大)精品学案2一元二次不等式
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（2）由f（x）=ax2-2（1+2a）x+3a=a ( x - 1 + 2a )2
- a2 + 4a + 1 及a＜0,
a
a
可得f（x）的最大值为 - a2 + 4a + 1 .
{ - a2 + 4a +1＞0,
a
由
a a＜0, 解得a＜-2- 3 或-2+ 3 ＜a＜0.
故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围 是（-∞,-2- 3）∪(-2+ 3,0).
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1.关于一元二次不等式的求解,主要是研究当二次项 的系数为正值时的一种情形(当二次项的系数为负值时, 可先化为正值来解决).对于一元二次不等式的解集,有的 学生因为理解不够而死记硬背,常常将对应的一元二次不 等式应该是空集还是全集混淆,要解决这个问题,最好的 办法就是将一元二次不等式与对应的一元二次方程、一 元二次函数的图象真正的联系起来，时刻注意数形结合， 这样就不会出现那样的错误，要注意真正理解不等式解 集的含义.
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【分析】三个“二次”（二次函数、二次方程、二次 不等式）把初中数学与高中数学紧密地联系在一起，因 而也是高考命题的热点，解决三个“二次”问题的关键 在于数形结合思想的运算，也就是要利用图象来分析、 解决问题.
(1)∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,
∴(a+y1)(a+y2)=0,得y1=-a或y2=-a.
二次函数
y=ax2+bx+c (a>0)
Δ的情况 一元二次方程
一元二次不等式解集
Δ=b24ac
ax2+bx+c=0 ax2+bx+c>0 ax2+bx+c
高考数学一轮复习第6章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案含解析理
高考数学一轮复习第6章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案含解析理[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a－b＞0⇔a＞b a，b∈R，a－b＝0⇔a＝b a，b∈R，a－b＜0⇔a＜b a，b∈R；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a＞b a∈R，b＞0，ab＝1⇔a＝b a∈R，b＞0，ab＜1⇔a＜b a∈R，b＞0.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性)(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性)(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)(7)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n≥2，n∈N)；(单向性)(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb n≥2，n∈N)；(单向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx＋c >0ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠x 1}R (a >0)的解集 {x |x 1<x <x 2}∅∅[常用结论] 1．有关分数的性质若a ＞b ＞0，m ＞0，则 (1)b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －ma －m(b －m ＞0)；(2)a b ＞a ＋mb ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m ＞0)．2．有关倒数的性质a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b.3．a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd. 4．简单的分式不等式(1)f xg x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0，g x ≠0；(2)f xg x ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ＞0，g x ≠0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a>b ⇔ac 2>bc 2. ( )(2)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0. ( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )①a >b，c<d⇒a－c>b－d；②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒3a>3b；④a>b>0⇒1a2>1b2.A．①② B．②③ C．①④ D．①③D[利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac<bd，故②不正确；因为函数y＝x13是单调递增的，所以③正确；对于④，由a>b>0可知a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以④不正确．]3．(教材改编)设a，b，c∈R，且a＞b，则( )A．ac＞bc B.1a＜1bC．a2＞b2D．a3＞b3D[取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D.]4．(教材改编)不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为( )A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜2}C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2}A[方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A.]5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．(－∞，－4]∪[4，＋∞)[由题意知Δ＝a2－42≥0，解得a≥4或a≤－4.]不等式的性质及应用1．若a＞b＞0A.ad＞bcB.ad＜bcC.ac＞bdD.ac＜bdB[由c＜d＜0得1d＜1c＜0，则－1d＞－1c＞0，∴－ad＞－bc，∴ad＜bc，故选B.]2．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．]3．若a ＝20.6，b ＝log π3，c ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π5，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [因为a ＝20.6＞20＝1，又log π1＜log π3＜log ππ，所以0＜b ＜1，c ＝log 2sin 2π5＜log 21＝0，于是a ＞b ＞c .故选A.]4．已知角α，β满足－π2＜α－β＜π2，0＜α＋β＜π，则3α－β的范围是________．(－π，2π) [设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，从而3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)， 又－π＜2(α－β)＜π，0＜α＋β＜π， ∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.][规律方法] 利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法1利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法：,一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.2比较大小常用的方法 ①作差商法：作差商⇒变形⇒判断，②构造函数法：利用函数的单调性比较大小，,③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量.3由a <f x ，y<b ，c <gx ，y <d 求F x ，y 的取值范围，要利用待定系数法性质求得F x ，y 的取值范围.一元二次不等式的解法【例1】 (1)不等式2x 2－x －3＞0的解集为________． (2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1(2)(－4,1) [(1)方程2x 2－x －3＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝32，则不等式2x 2－x －3＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1. (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]►考法2 含参数的一元二次不等式【例2】 (1)解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0. [解] 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0， 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a,1)． (2)解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0， 解得x ＞1.若a ＜0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0，解得x ＜1a或x ＞1.若a ＞0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0无解；②当a ＞1时，1a＜1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，得1a＜x ＜1；③当0＜a ＜1时，1a＞1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1. [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： 1使一端为0且把二次项系数化为正数；2先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； 3写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式的步骤：1二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；2判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.(1)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎭⎬x | －2<x <－3，则不等式x 2－bx－a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.] (2)解不等式x 2＋ax ＋1＜0(a ∈R )． [解] Δ＝a 2－4.①当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，原不等式无解．②当Δ＝a 2－4＞0，即a ＞2或a ＜－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1＝－a ＋a 2－42，x 2＝－a －a 2－42，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－a －a 2－42 ＜x ＜－a +a 2－42. 综上所述，当－2≤a ≤2时，原不等式无解．当a ＞2或a ＜－2时，原不等式的解集为x ⎪⎪⎪－a -a 2－42＜x ＜－a +a 2+42一元二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)当m ＝0时，f (x )＝－1＜0恒成立． 当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，即－4＜m ＜0.综上，－4＜m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]． (2)不等式f (x )＜5－m ，即(x 2－x ＋1)m ＜6， ∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数，则g (x )在[1,3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.[规律方法] 与二次函数有关的不等式恒成立的条件,1ax 2＋bx ＋c ＞0a ≠0恒成立的条件是2ax 2＋bx ＋c ＜0a ≠0恒成立的条件是(1)若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0](2)若不等式x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．(1) D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)当k ＝0时，显然成立； 当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立．则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．(2)由题意得，函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝m 2＋m 2－1＜0，f m ＋1＝m ＋12＋m m ＋1－1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1＜0，2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.] 一元二次不等式的应用【例4】 1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[解] (1)根据题意， 得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y m ax ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．[规律方法] 求解不等式应用题的四个步骤：1阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；2引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型；3解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义； 4回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2，问：甲、乙两车有无超速现象？[解] 由题意知，对于甲车， 有0.1x ＋0.01x 2＞12， 即x 2＋10x －1 200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(不合实际意义，舍去)， 这表明甲车的车速超过30 km/h. 但根据题意刹车距离略超过12 m ， 由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车，有0.05x ＋0.005x 2＞10， 即x 2＋10x －2 000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(不合实际意义，舍去)， 这表明乙车的车速超过40 km/h ，超过规定限速．自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
高三数学第一轮复习一元二次不等式及基本解法导学案理
课题：一元二次不等式及基本解法编制人： 审核： 下科行政：学习目标:1、会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2、通过图象了解一元二次不等式与相应二次函数，一元二次方程的联系3、会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式会设计求解的程序框图【课前预习案】一、基础知识梳理1、一元一次不等式的解法：(0)ax b a >≠的方程为（1）当0a >时，解集为（2）当0a <时，解集为3、用程序框图一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >的求解的算法过程为开始输入a,b,c24b ac ∆=-计算12x x ==12x x =结束二、练一练1、已知集合A=2{230}x x x --<，B=1{21}x x +>，则B C A =（ ）(A) [3,)+∞ (B) (3,)+∞ (C) (,1][3,)-∞-+∞ (D)(,1)(3,)-∞-+∞2、不等式1021x x -≤+的解集为（ ） (A) ]1(,12- (B) ]1[,12- (C) 1(,)[1,)2-∞-+∞ (D) 1(,][1,)2-∞-+∞3、若0a <，则关于x 的不等式22450x ax a -->的解集是（ ） (A) {5}x x a x a ><-或 (B) {-5}x x a x a ><或 (C) 5}x a x a <<-｛ (D) 5}x a x a -<<｛4、若关于x 的不等式21-22x x mx +>的解集是{02}x x <<，则m=【课内探究案】一、讨论、展示、点评、质疑探究一 一元二次不等式解法例1、 解下列不等式（1）22430x x ++> （2）2-3-280x x +≥ （3）2212-()x ax a a R >∈高考链接（10江苏）已知函数21()1x f x ⎧+=⎨⎩ 00x x ≥<，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是探究二、一元二次不等式恒成立问题例2、若函数2()1f x mx mx =--（1）若对于一切实数,()0x f x <恒成立，求m 的取值范围（2）若对于[1,3]x ∈,()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围拓展二、已知不等式2220mx x m -+-<（1） 若对于所有实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围（2） 设不等式对于2m ≤的一切实数m 恒成立，求x 的取值范围高考链接（11中山模拟）在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则（ ）（A ）11a -<< （B ）02a << （C ）3122a -<< （D ）1322a -<<探究三、解不等式的综合应用例3（10山东22题摘选）已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-，其中1a ≤，讨论()f x 的单调性例4（12广东21题）设1a <，设集合A={0}x R x ∈>，B=2{23(1)60}x R x a x a ∈-++>，D A B =（1）求集合D （用区间表示）（2）*求函数32()22(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点总结提升1、 知识方面2、 数学思想方面。
《高考数学第一轮复习课件》第2讲 含绝对值的不等式和一元二次不等式
理数
第一单元
集合与常用逻辑用语
第2讲
含绝对值的不等式 和一元二次不等式
1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型 的不等式： |ax+b|≤c;|ax+b|≥c;
|x-a|+|x-b|≥c;|x-a|+|x-b|≤c.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式.
对于一元二次不等式的解集,有的
点评 一元二次不等式的求解步骤：(1)
学生因为理解不够而死记硬背，常常将 对应的二次不等式应该是空集还是实数 集相混淆，要解决这个问题，最好的办 法就是将二次不等式与对应的二次方程、 二次函数的图象真正联系起来，时时注 意数形结合，这样就不会出现那样的错 误了，要注意真正理解不等式解的含义. 对于含有参数的不等式,在求解过程
（方法一）由代数式|x+3|、|x-3|知，-3和3把 实 数 集 分 为 三 个 区 间 ： x<-3 ； -3≤x<3 ； x≥3. 当x<-3时，得-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不 等式的解集为{x|x<-4}.① 当-3≤x<3时，得x+3-x+3>8，此时不等式无 解.② 当x≥3时，得x+3+x-3>8，即x>4，此时不等 式的解集为{x|x>4}.③
解析
则 f(x)=-4(x≤-3)
2x+2(-3<x≤1)
4(x>1).
当-3<x≤1时，-4<f(x)≤4，故函数f(x)的 最大值为4. 只要a2-3a≥4，即(a+1)(a-4)≥0， 所以a≤-1或a≥4.故选A.
高三数学第一轮复习 第3课时-含绝对值的不等式的解法教案
一．课题：含绝对值的不等式的解法二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．四．教学过程：（一）主要知识：1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．（二）主要方法：1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；2．去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．（三）例题分析：例1．解下列不等式：（1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->．解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,)(,5]22-- ． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤-时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞ ．例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞；（2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞． 解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <；（2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或2()2a b x x a b+≤⇒≤+②，当0a b >>时，由①得2x a b ≥-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或2x a b≤+； 当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+； 当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+． 综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b-∞+∞+- ， 当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b-∞+． 例4．已知{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，求实数a 的取值范围． 解：当0a ≤时，A φ=，此时满足题意；当0a >时，33|23|22a a x a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102a a a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩，综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）在一条公路上，每隔100km 有个仓库（如下图），共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？ 解：以一号仓库为原点建立坐标轴，则五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ，设货物集中于点:B x ，则所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-，当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =；当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<；当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．综上可得，当400x =时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．（四）巩固练习：1．||11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5-∞； 2．不等式||1||||a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a ∈(7,)+∞； 4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，则x ∈(1,)+∞ ．五．课后作业：《高考A 计划》考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．。
新高考数学一轮复习第七章不等式2第2讲一元二次不等式及其解法教学案
第2讲 一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集(1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >b a ； (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ．2．一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两个相异 实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等 实根x 1＝x 2 ＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1 或x >x 2} {x |x ≠x 1}Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1 <x <x 2}∅ ∅[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ [教材衍化]1．(必修5P80A 组T4改编)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪4－x x ＋1≤0，那么集合A ∩(∁U B )＝________．解析：因为A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x ≥4}，故∁U B ＝{x |－1≤x <4}，所以A ∩(∁UB )＝{x |－1≤x ≤3}．答案：[－1，3]2．(必修5P80A 组T2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________．解析：由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，所以3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞[易错纠偏](1)解不等式时，变形必须等价； (2)忽视二次项系数的符号；(3)对系数的讨论，忽视二次项系数为0的情况； (4)解分式不等式时，忽视分母的符号．1．不等式2x (x －7)>3(x －7)的解集为________．解析：2x (x －7)>3(x －7)⇔2x (x －7)－3(x －7)>0⇔(x －7)(2x －3)>0，解得x <32或x >7，所以，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >7. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >72．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 解析：由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0. 得－4<x <1. 答案：(－4，1)3．对于任意实数x ，不等式mx 2＋mx －1<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，mx 2＋mx －1＝－1<0，不等式恒成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，解得－4<m <0.综上，m 的取值范围是(－4，0]． 答案：(－4，0]4．不等式2x ＋1<1的解集是________． 解析：2x ＋1<1⇒2－（x ＋1）x ＋1<0 ⇒x －1x ＋1>0⇒x >1或x <－1. 答案：{x |x >1或x <－1}一元二次不等式的解法(高频考点)一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．主要命题角度有：(1)解不含参数的一元二次不等式； (2)解含参数的一元二次不等式； (3)已知一元二次不等式的解集求参数． 角度一 解不含参数的一元二次不等式解下列不等式： (1)－x 2－2x ＋3≥0；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，解不等式f (x )>3. 【解】 (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1. 故原不等式的解集为{x |x >1}． 角度二 解含参数的一元二次不等式(分类讨论思想)解关于x 的不等式：12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 【解】 因为12x 2－ax >a 2，所以12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； ③当a <0时，－a 4>a3， 解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a3，或x >－a 4.综上所述：当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.角度三 已知一元二次不等式的解集求参数已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．【解析】 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5. 即不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.【答案】 {x |x ≥3或x ≤2}(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．1．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0，B ＝{x |x 2<2x }，则A ∩B ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0≤x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选A.因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0＝{x |0≤x <1}， B ＝{x |x 2<2x }＝{x |0<x <2}，所以A ∩B ＝{x |0<x <1}，故选A.2．不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________． 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． 答案：[－2，－1)∪(2，3]3．已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }． (1)求a ，b ； (2)解不等式x －cax －b＞0(c 为常数)． 解：(1)由题知1，b 为方程ax 2－3x ＋2＝0的两根， 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，1＋b ＝3a .所以a ＝1，b ＝2.(2)不等式等价于(x －c )(x －2)＞0，当c ＞2时，解集为{x |x ＞c 或x ＜2}；当c ＜2时，解集为{x |x ＞2或x ＜c }；当c ＝2时，解集为{x |x ≠2}．一元二次不等式恒成立问题(高频考点)一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．主要命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围；(3)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围． 角度一 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝22－4×2a ＜0，解得a ＞12. 综上，所求实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞角度二 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0，2]恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32【解析】 因为x ∈(0，2]， 所以a 2－a ≥xx 2＋1＝1x ＋1x .要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0，2]时恒成立， 则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12. 故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.【答案】 C角度三 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为________．【解析】 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，联立方程解得x ＜1或x ＞3.【答案】 {x |x ＜1或x ＞3}(1)不等式恒成立问题的求解方法①一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．②一元二次不等式f (x )≥0在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．③一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)三个“二次”间的转化二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题．1．若函数y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 的定义域为R ，则m 的取值范围是________． 解析：要使y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 有意义，即mx 2－(1－m )x ＋m ≥0对∀x ∈R 恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，（1－m ）2－4m 2≤0，解得m ≥13.答案：m ≥132．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：因为不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，所以4x－2x ＋1≥a 在[1，2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]一元二次不等式的应用某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为12万元辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？【解】 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000(1＋0.6x )(0<x <1)， 整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 必须有⎩⎪⎨⎪⎧y －（12－10）×10 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1， 解得0<x <13，所以投入成本增加的比例应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13范围内．解不等式应用题的步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)将文字语言转化为符号语言，用不等式(组)表示不等关系； (3)解不等式(组)，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义； (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解：(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎪⎫1－x10－80≥0，得x≤2.所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得12≤x≤134.所以x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.思想方法系列5 转化与化归思想在不等式中的应用(2020·嘉兴模拟)不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为( )【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1，c＝－2，则函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，结合选项可知选C.【答案】 C本例利用了转化思想，其思路为(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根(如本例)，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x 的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．设a，b是关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个实根，则(a －1)2＋(b－1)2的最小值是( )A ．－494B ．18C ．8D ．－6解析：选C.因为关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个根为a ，b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2m ，ab ＝m ＋6，且Δ＝4(m 2－m －6)≥0，解得m ≥3或m ≤－2.所以y ＝(a －1)2＋(b －1)2＝(a ＋b )2－2ab －2(a ＋b )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －342－494.由二次函数的性质知，当m ＝3时，函数y ＝4m 2－6m －10取得最小值，最小值为8.故选C.[基础题组练]1．设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )A ．(1，2)B ．[1，2]C ．[1，2)D ．(1，2]解析：选D.A ＝[－1，2]，B ＝(1，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]．2．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >13，则a －b a 的值为( )A.56 B.16 C ．－16D ．－56解析：选A.由题意得ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12与13，所以－b a ＝－12＋13＝－16，则a －b a＝1－b a ＝1－16＝56.3．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1，1]B ．[－2，2]C ．[－2，1]D ．[－1，2]解析：选A.法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， 所以－1≤x ≤0；① 当x >0时，－x ＋2≥x 2，所以0<x ≤1.②，由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1，1]．4．(2020·宁波效实中学模拟)不等式x 2＋2x ＜a b ＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4，2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.不等式x 2＋2x ＜a b＋16b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋16b a min，由于a b ＋16b a ≥2 a b ·16b a＝8(当且仅当a ＝4b 时等号成立)，所以x 2＋2x ＜8，解得－4＜x ＜2.5．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，5)B ．(－3，－2)∪(4，5)C ．(4，5]D ．[－3，－2)∪(4，5]解析：选D.原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5，当a <1时得a <x <1，则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．6．(2020·台州联考)在R 上定义运算：＝ad －bc .若不等式≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32C.13D.32解析：选D.原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32，故选D.7．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}8．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，化为(2[x ]－3)(2[x ]－15)＜0，解得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)．答案：[2，8)9．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，如果使f (x )≤kx 对任意实数x ∈(1，m ]都成立的m 的最大值是5，则实数k ＝________．解析：设g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由题意知g (x )≤0对任意实数x ∈(1，m ]都成立的m 的最大值是5，所以x ＝5是方程g (x )＝0的一个根，将x ＝5代入g (x )＝0，可以解得k ＝365(经检验满足题意)．答案：36510．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，3x －2，x ＞0，若|f (x )|≥ax 在x ∈[－1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是____________．解析：当x ＝0时，|f (x )|≥ax 恒成立，a ∈R ；当0＜x ≤1时，|f (x )|≥ax 转化为a ≤|f （x ）|x ＝|3x －2|x ＝|3－2x |.因为|3－2x|的最小值为0，所以a ≤0；当－1≤x ＜0时，|f (x )|≥ax 转化为a ≥|f （x ）|x ＝－|x 2－2x |＝－|x －2x |.因为－|x －2x|的最大值为－1，所以a ≥－1，综上可得a ∈[－1，0]．答案：[－1，0]11．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0， 即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.12．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c . (1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n 求|m －n |的取值范围．解：(1)证明：由题意知a ＋b ＋c ＝0，且－b2a ＞1.所以a ＜0且ca＞1，所以ac ＞0. 对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2＋4ac ＞0.所以函数y ＝f (x )必有两个不同零点．(2)|m －n |2＝(m ＋n )2－4mn ＝（b －a ）2＋4ac a 2＝（－2a －c ）2＋4ac a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋4. 由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t ＞1)，由根与系数的关系知c a＝t ，所以|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)． 所以|m －n |＞13，所以|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．[综合题组练]1．(2020·金华市东阳二中高三调研)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A.由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C.由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.3．(2020·杭州模拟)若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是________．解析：原不等式即(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.答案：[－4，3]4．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8，4]5．(2020·杭州高级中学质检)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .6．(2020·丽水市高考数学模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |x 2＋1(a ∈R )．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)对任意的b ∈(0，1)，当x ∈(1，2)时，f (x )>bx恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x ＋1|x 2＋1>1⇔x 2＋1<|x ＋1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x 2＋1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x 2＋1<－（x ＋1）⇔0<x <1.故不等式的解集为{x |0<x <1}．(2)f (x )＝|x ＋a |x 2＋1>b x ⇔|x ＋a |>b (x ＋1x )⇔x ＋a >b (x ＋1x )或x ＋a <－b (x ＋1x)⇔a >(b －1)x＋b x 或a <－[(b ＋1)x ＋b x ]对任意x ∈(1，2)恒成立．所以a ≥2b －1或a ≤－(52b ＋2)对任意b ∈(0，1)恒成立．所以a ≥1或a ≤－92.。
山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-不等关系与不等式的性质及一元二次不等式含答案解析
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2．能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2021年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值范围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1.两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a□01＞b.(2)a－b＝0⇔a□02＝b.(3)a－b＜0⇔a□03＜b.2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔□01b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒□02a＞c.(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒□03ac＞bc；a＞b，c＜0⇒□04ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒□05a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒□06ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒□07a n＞b n(n∈N，n≥1)．(8)开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b . (2)a <0<b ⇒1a <1b . (3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a . (5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －mb －m (b －m >0)．4．一元二次函数的三种形式 (1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2 (x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集□01(－∞，x 1) ∪(x 2，＋∞)□02⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2a □03Rax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集□04(x1，x2)□05∅□06∅1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx ＋c＝0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于()A．(0,4] B．[0,4)C．[－1,0) D．(－1,0]答案 B解析因为M＝{x|－1<x<4}，N＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝[0,4)．(2)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)<0C．cb2<ab2D．ac(a－c)>0答案 A解析因为c<b<a，且ac<0，所以a>0，c<0，b的符号不确定，b－a<0，a －c>0，据此判断A成立，B，D不成立，C不一定成立．(3)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有()A．M >N B．M≥NC．M<N D．M≤N答案 A解析M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，故M >N.(4)已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0， 须有⎩⎨⎧a 2－4×a ×(－1)≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值范围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．(2020·辽宁省鞍山一中高三上学期期末)已知条件甲：a >0，条件乙：a >b 且1a >1b ，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a >0不能推出a >b 且1a >1b ，故甲不是乙的充分条件．若a >b 且1a >1b ，即a >b 且b －a ab >0，则ab <0，所以a >0，b <0.所以由a >b 且1a >1b 能推出a >0.故甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必要不充分条件．2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案 S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5.当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数m ，n ，使得4a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(m －n )b ， 所以⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3， 所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6， 所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值范围是[6,10]．1.判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2.比较两个数(式)大小的两种方法3.求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1.若1a<1b<0，给出下列不等式：①1a＋b<1ab；②|a|＋b>0；③a－1a>b－1b；④ln a2>lnb2.其中正确的不等式是()A.①④B．②③C．①③D．②④答案 C解析因为1a<1b<0，所以b<a<0，|b|>|a|，所以|a|＋b<0，ln a2<ln b2，由a>b，－1a>－1b可推出a－1a>b－1b，显然有1a＋b<0<1ab，综上知，①③正确，②④错误.2.若a>0，且a≠7，则()A.77a a<7a a7B.77a a＝7a a7C.77a a>7a a7D.77a a与7a a7的大小不确定答案 C解析显然77a a>0,7a a7>0，因为77a a7a a7＝⎝⎛⎭⎪⎫7a7·⎝⎛⎭⎪⎫a7a＝⎝⎛⎭⎪⎫7a7·⎝⎛⎭⎪⎫7a－a＝⎝⎛⎭⎪⎫7a7－a.当a>7时，0<7a<1,7－a<0，⎝⎛⎭⎪⎫7a7－a>1，当0<a<7时，7a>1,7－a>0，⎝⎛⎭⎪⎫7a7－a>1.综上知77a a>7a a7.3.若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．答案(－3,3)解析∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.题型二不等式的解法1.(2019·黄冈模拟)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是()A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)C.(1,2) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 C解析 因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，所以a >0，且－ba ＝1，所以关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b a (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}.2.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a <－1，即－2<a <0，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a 或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .1.解一元二次不等式的四个步骤 一化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判 计算对应方程的判别式三求 求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根四写利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2.分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎨⎧f (x )·g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 3.解含参数的一元二次不等式的一般步骤1.(2019·江西省重点中学协作体联考)已知命题p ：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －21－x ≤0，命题q ：B ＝{x |x －a <0}．若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.(－∞，1) D ．(－∞，1]答案 D解析 由x －21－x ≤0，得x －2x －1≥0，∴⎩⎨⎧(x －2)(x －1)≥0，x －1≠0，解得x <1或x ≥2，∴A ＝{x |x <1或x ≥2}．又B ＝{x |x －a <0}＝{x |x <a }，命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴B A ，利用数轴(如图)可得a ≤1.2.已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a ＋2.(1)若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a >0，解关于x 的不等式f (x )>0.解 (1)由题意，知x ＝－1，x ＝3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两个根， 代入方程有⎩⎨⎧ －b ＋2＝0，8a ＋3b ＋2＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.(2)当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(ax －a ＋2)(x ＋1)，∵a >0， ∴f (x )>0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a (x ＋1)>0， ①当a －2a ≥－1，即a ≥1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <－1或x >a －2a ；②当a －2a <－1，即0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <a －2a 或x >－1.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性 1.已知函数f (x )＝x 2－a2x ＋1.(1)若f (x )≥0，在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若∃x ∈[1,2]，f (x )≥2成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意得f (x )＝x 2－a2x ＋1≥0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 24－4≤0，解得－4≤a ≤4，∴实数a 的取值范围为[－4,4]．(2)由题意得∃x ∈[1,2]，x 2－a2x ＋1≥2成立， ∴∃x ∈[1,2]，a 2≤x －1x 成立． 令g (x )＝x －1x ，x ∈[1,2]，则g (x )在区间[1,2]上单调递增， ∴g (x )max ＝g (2)＝32， ∴a 2≤32，解得a ≤3，∴实数a 的取值范围为(－∞，3]. 角度2 给定区间上的任意性问题2.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析 要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立， 只需⎩⎨⎧ f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎨⎧2m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0， 解得－22＜m ＜0.3.设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即 m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67， 所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧ m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m的取值范围是⎩⎨⎧ m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数范围的恒成立问题4.已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1,3) 答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数， 记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，要使f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 只需f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组 ⎩⎨⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．如举例说明1(1)．(2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求范围．如举例说明2,3.(3)已知参数m∈[a，b]的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．如举例说明4.1.若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．答案⎝⎛⎭⎪⎫－235，＋∞解析由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－235，故a的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.2.函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．解(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴实数a的取值范围是[－6,2]．(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.②如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x＝－a2≤－2，g(－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a2－4(3－a)≥0，－a2≤－2，4－2a＋3－a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a≥2或a≤－6，a≥4，a≤73，解得a∈∅.③如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x＝－a2≥2，g(2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a2－4(3－a)≥0，－a2≥2，7＋a≥0，可得⎩⎨⎧a≥2或a≤－6，a≤－4，a≥－7.∴－7≤a≤－6.综上，实数a的取值范围是[－7,2]．(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需⎩⎨⎧h(4)≥0，h(6)≥0，即⎩⎨⎧x2＋4x＋3≥0，x2＋6x＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋ 6.∴实数x的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞).组基础关1.(2019·潍坊模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B ＝()A.[－2，－1] B．[－1,2]C.[－1,1] D．[1,2]答案 A解析 A ＝{x |x 2－2x －3≥0}＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥3}，又B ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}.2.若正实数a ，b 满足a >b ，且ln a ·ln b >0，则( ) A.1a >1b B ．a 2<b 2 C.ab ＋1>a ＋b D ．lg a ＋lg b >0答案 C解析 由已知得a >b >1或0<b <a <1，因此必有1a <1b ，a 2>b 2，所以A ，B 错误；又ab >1或0<ab <1，因此lg a ＋lg b ＝lg (ab )>0或lg (ab )<0，所以D 错误；而ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，即ab ＋1>a ＋b ，所以C 正确.3.若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 答案 B解析 ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0.4.设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A.A ≤B B ．A ≥B C.A <B D ．A >B 答案 B解析 因为a ，b ∈[0，＋∞)，所以A ＝a ＋b >0，B ＝a ＋b >0，所以A 2－B 2＝a ＋b ＋2ab －(a ＋b )＝2ab ≥0，所以A 2≥B 2，所以A ≥B .5.(2020·广东清远一中月考)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1,3)C.(－1,3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞) 答案 C解析 关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b ＜0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.6.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A.(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞) C.(－1,1)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1,3)答案 A解析 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎨⎧x <0，x ＋6>3或⎩⎨⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.7.已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 答案 A解析 由f (x )＝(ax －1)(x ＋b )>0的解集是(－1,3)，则a <0，故有1a ＝－1，－b ＝3，即a ＝－1，b ＝－3，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，解得x >12或x <－32，故不等式f (－2x )<0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.8.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－3，＋∞)解析 对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立．等价于x 2＋2x ＋a >0，即a >－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝－(x ＋1)2＋1，则g (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，所以a >－3.9.若存在x ∈[－2,3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 设f (x )＝2x －x 2，则当x ∈[－2,3]时，f (x )＝－(x －1)2＋1∈[－8,1]，因为存在x ∈[－2,3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，所以a ≤f (x )max ，所以a ≤1.10.设不等式mx 2－2x －m ＋1<0对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，则x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32解析 记f (m )＝mx 2－2x －m ＋1＝(x 2－1)m ＋1－2x (|m |≤2)， 则f (m )<0恒成立等价于 ⎩⎨⎧f (－2)＝－2x 2－2x ＋3<0，f (2)＝2x 2－2x －1<0， 解得－1＋72<x <1＋32.组 能力关1.(2019·天津市新华中学模拟)已知命题p ：1a >14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 求解不等式1a >14可得0<a <4，对于命题q ，当a ＝0时，命题明显成立；当a ≠0时，有⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0， 解得0<a <4，即命题q 为真时0≤a <4，故p 成立是q 成立的充分不必要条件. 2.若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A.[－4,1] B ．[－4,3] C.[1,3] D ．[－1,3]答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.3.某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，则t 的取值范围是( )A.[1,3] B ．[3,5] C ．[5,7] D ．[7,9] 答案 B解析 由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t 万亩，则税收收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×24000×t %万元，由题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×24000×t %≥9000，整理得t 2－8t ＋15≤0，解得3≤t ≤5，∴当耕地占用税税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9000万元．∴t 的取值范围是3≤t ≤5，故选B.4.(2019·江西临川一中高考模拟)已知函数f (x )＝x ln (3－x )，则不等式f (lg x )>0的解集为________．答案 (1,100)解析 因为f (x )＝x ln (3－x )，则⎩⎨⎧ x ≥0，3－x >0，解得0≤x <3，所以定义域为[0,3)，因为f (x )＝x ln (3－x )>0等价于⎩⎨⎧x >0，ln (3－x )>0，解得0<x <2，因为f (lg x )>0，所以⎩⎨⎧0≤lg x <3，0<lg x <2，x >0，解得1<x <100，所以解集为(1,100).5.不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．答案 [－8,4]解析 因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.。