2020年1月江苏省常州市教育学会高2021届高2018级高二第一学期期末学业水平监测数学试题及参考答案
江苏省常州市教育学会2018-2019学年高一上学期期末学业水平监测数学试题(解析版)
������ ������
；
∴ 3������������������������ = 2������������������������；
∴
������������������������
=
3
2．
3
故答案为：2．
⃗⊥⃗
⃗⋅⃗=0
根据������ ������即可得出������ ������ ，进行数量积的坐标运算即可得出3������������������������ = 2������������������������，从而可求
江苏省常州市教育学会 2018-2019 学年高一上学期期末
学业水平监测数学试题
一、填空题（本大题共 14 小题，共 56.0 分）
1. 已知集合������ = {−1,0，1，2，3}，������ = {������|������ < 2}，则������ ∩ ������中元素的个数为______．
������������������������ = ������ = 4
若
9 + ������2 5，则实数������ = 4，
江苏省常州市高级中学分校2020-2021学年高二数学理上学期期末试题含解析
江苏省常州市高级中学分校2020-2021学年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ( )(A)x-y=0 (B)x+y=0(C)x+2y-2=0 (D)2x-3y-l=0参考答案：A2. 已知三点（2，3），（6，5），（4，b）共线，则实数b的值为（）A．4 B．﹣C．D．﹣2参考答案：A【考点】三点共线．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】直接利用两点的斜率公式相等，即可判定三点共线，求出a的值．【解答】解：∵三点（2，3），（6，5），（4，b）共线，∴=，解得：b=4，故选：A．【点评】本题考查三点共线的应用，斜率相等是求解三点共线的方法之一，必须掌握．3. 若的展开式中的系数为80，则的展开式中各项系数的绝对值之和为A．32 B．81 C．243 D．256参考答案：C4. 若，则等于（A）（B）（C）（D）参考答案：A5. 直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2－2x＝0的位置关系是（A）相离（B）相切（C）相交（D）无法判断参考答案：B6. 设是一个等比数列，它的前3项的和为10，前6项的和为30，则它的前9项的和为( ) A．50 B．60 C．70 D．90欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
高考资源网（），您身边的高考专家参考答案：C7. 不等式的解集为（）A． B．C． D．参考答案：C8. 设函数，则的定义域为A. B. [2,4] C. [1,+∞) D.参考答案：B【分析】由函数解得，再由函数，得到且，即可求解．【详解】由题意，函数满足，即，所以函数满足且，解得，即函数的定义域为，故选B．9. 设集合，，，则图中阴影（（）部分所表示的集合是A. B. C. D.参考答案：B10. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调递减区间为▲.参考答案：（0，2）略12. 在直角三角形ABC中，AB=AC=1，若一个椭圆经过A、B点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为_________。
江苏省2021年1月常州市教育学会学业水平测试高一数学期末试题(解析版)
常州市教育学会学业水平测试高一数学 2021 年 1月注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题 卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将答题卡交回.一、选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. 命题“112>>∀x x ，”的否定是 A. 112≤>∀x x ， B. 112≤≤∃x x ， C. 112≤≤∀x x ， D. 112≤>∃x x ， 【答案】D【考点】全称量词命题的否定【解析】由题意，全称量词命题的否定需要将“∀”改为“∃”，结论否定即可，所以答案选D.2. 已知集合()(){}02|=--=a x x x M ，{}31，=N ，若∅=N M ，{}321，，=N M ，则实数a 的值为A. 1B. 2C. 3D.4 【答案】B【考点】集合的运算【解析】由题意可知当集合M 为双元素集合时，{}a M ，2=，因为{}31，=N ，∅=N M ，{}321，，=N M ，则不符合题意，所以集合M 为单元素集合，即2=a ，故答案选B.3. 学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度 为约6米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为 A. rad 6.0 B. rad 6 C. rad 06 D. rad 006 【答案】A【考点】弧度制与角度制、扇形的弧长【解析】由题意可知弧长6=l ，且10=R ，所以rad R l 6.0106===α，故答案选A. 4. 若函数()3lg -+=x x x f 的零点所在的区间为()1+a a ，，则整数a 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C【考点】函数的零点概念及零点存在性定理的应用【解析】由题意可知()021<-=f ，()012lg 2<-=f ，()03lg 3>=f ，所以满足()()032<⋅f f ，所以零点所在的区间为()32，，故答案选C. 5. 函数()541xx x f -=的图象大致为【答案】D【考点】函数的图象识别与判断【解析】由题意可知该函数()541x x x f -=，满足()()()()x f x x x x x f -=--=---=-545411，则函数为奇函数，所以选项A 、C 错误，可排除；因为()3215221254-=-=f ，()43280331354-=-=f ，显然()()32f f <，所以排除选项B ，故答案选D.6. 已知a ，b 都是正数，则“4≥ab ”是“ab b a =+”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B【考点】逻辑用语中条件的判断【解析】由题意可知当4≥ab 时，可取41==b a ，，显然不满足ab b a =+；当ab b a =+时，且00>>b a ，，所以ab ab b a 2≥=+，即()ab ab 42≥，解得04≤≥ab ab 或，所以“4≥ab ”是“ab b a =+”的必要不充分条件，故答案选B.7. 17 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了叉数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”. 已知3010.02lg ≈，4771.03lg ≈，设105274⨯=N ，则N 所在的区间为A. ()16151010，B. ()17161010， C. ()18171010， D. ()19181010，【答案】C【考点】指对数的运算【解析】由题意对N 取常用对数，得27lg 104lg 527lg 4lg 274lg lg 105105+=+=⨯=N =323.173lg 302lg 103lg 102lg 532≈+=+，则()181717.323101010，∈=N ，故答案选C.8.已知()x f 是定义在[]11，-上的奇函数，且()11-=-f ，当[]11，，-∈b a 且0≠+b a 时，()()0>++b a b f a f .已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππθ，，若()θθ2cos 2sin 34-+<x f 对[]11，-∈∀x 恒成立，则θ的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-26ππ， B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--32ππ， C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23ππ， D. ⎪⎭⎫⎝⎛-62ππ，【答案】A【考点】函数的性质综合【解析】由题意()x f 是在[]11，-上的奇函数，且当[]11，，-∈b a 且0≠+b a 时，即b a -≠，()()0>++b a b f a f 可化为()()()()0>--=--+b a b f a f b a b f a f ，则()x f 在[]11，-上单调递增，又()11-=-f ，所以()11=f ，所以()()11max ==f x f ，则⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππθ，时，()θθ2max cos 2sin 34-+<x f 对[]11，-∈∀x 恒成立，即θθ2cos 2sin 341-+<对⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππθ，恒成立，此时()11sin ，-∈θ，则化简为01sin 3sin 22>++θθ对⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππθ，恒成立，即()()01sin 1sin 2>++θθ，因为()11sin ，-∈θ，所以21sin ->θ解得⎪⎭⎫⎝⎛-∈26ππθ，，故答案选A. 二、选择题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 下列命题中，正确的有 A. 若0>>b a ，则22bc ac >B. 若0<<b a ，则22b ab a >>C. 若0>>b a 且0>c ，则abc a c b >++ D. 若0<<b a 且0<c ，则22bca c < 【答案】BC【考点】不等式的基本性质 【解析】法一：由题意可取特殊值验证，对于A 选项，取12==b a ，，当0=c 时，不能推出22bc ac >，故选项A 错误；对于选项B ，取12-=-=b a ，，则22b ab a >>，故选项B 正确；对于选项C ，取212===c b a ，，，可得2143=>=++a b c a c b ，故选项C 正确；对于选项D ，取112=-=-=c b a ，，，可得114122=<=b c a c ，故选项D 正确；所以答案选BC.法二：由题意，对于A 选项，由不等式的基本性质可得，当0=c 时，不22bc ac >能推出，故选项A 错误；对于选项B ，因为0<<b a ，所以ab a >2且2b ab >，则22b ab a >>，故选项B正确；对于选项C ，因为0>>b a 且0>c ，所以()()()()()0>+-=++-+=-++c a a b a c c a a c a b c b a a b c a c b ，所以abc a c b >++，故选项C 正确；对于选项D ，因为0<<b a 且0<c ，所以022>>b a ，所以22110b a <<，所以22bca c >，故选项D 正确；所以答案选BC.10. 某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行价就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为 A. 2.5元 B. 3元 C. 3.2元 D. 3.5元 【答案】BC【考点】解决实际问题【解析】由题意可设杂志最高定价为x 元，总销售收入为y 元，则x x x x y 150002500050002.021000002+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--=，因为销售收入不少于22.4万元时，可得到22400015000250002≥+-=x x y ，解得2.38.2≤≤x ，所以答案选BC.11. 对于函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6cos πωx x f (其中0>ω)，下列结论正确的有 A. 若()⎪⎭⎫⎝⎛≤12πf x f 恒成立，则ω的最小值为2 B. 当21=ω时，()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛034，π中心对称 C. 当2=ω时，()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π，上是单调函数D. 当1=ω时，()x f 的图象可由()x x g sin =的图象向左平移3π个单位长度得到 【答案】ABD【考点】三角函数的图象与性质及变换 【解析】由题意，对于选项A ，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤12πf x f 恒成立，则1612cos 12=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πωππf ，则Z k k ∈=-，ππωπ2612，解得Z k k ∈+=，242ω，因为0>ω，所以ω的最小值为2，故选项A 正确；对于选项B ，当21=ω时，函数解析式为()⎪⎭⎫⎝⎛-=62cos πx x f ，且02cos 63421cos 34==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππf ，所以()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛034，π中心对称，故选项B 正确；对于选项C ，当2=ω时，函数解析式为()⎪⎭⎫⎝⎛-=62cos πx x f ，因为⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，x ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-65662πππ，x ，则函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62cos πx x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-06，π上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛650π，上单调递减，故选项C 错误；对于选项D ，当1=ω时，函数解析式为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 26sin 6cos ππππx x x x f ，所以()x f 的图象可由()x x g sin =的图象向左平移3π个单位长度得到，故选项D 正确；所以答案选ABD. 12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著, 狄利克雷函数就以其名命名，其解析 式为()⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 01关于函数()x D 有以下四个命题，其中真命题有A.()x D 既不是奇函数也不是偶函数B. ()()x D r x D Q r =+∈∀，C. ()()1=∈∀x D D R x ，D. ()()()y D x D y x D R y x +=+∈∃，， 【答案】BCD【考点】新定义函数的性质及应用【解析】由题意，对于选项A ，当x 为有理数时，x -为有理数，则()()1==-x D x D ，同理当x 为无理数时，x -为无理数，则()()0==-x D x D ，所以当R x ∈时，()()x D x D =-，所以函数为偶函数，故选项A 错误；对于选项B ，当x 为有理数时，r x +为有理数，所以()()1==+x D r x D ，x 为无理数时，r x +为无理数，()()0==+x D r x D ，所以()()x D r x D Q r =+∈∀，，故选项B 正确；对于选项C ，当x 为有理数时，()()()11==D x D D ，当x 为无理数时，()()()10==D x D D ，所以()()1=∈∀x D D R x ，，故选项C 正确；对于选项D ，当x 、y 均为无理数，可令32==y x ，时，y x +为无理数，则()0=+y x D ，()()000=+=+y D x D 满足()()()y D x D y x D +=+，所以()()()y D x D y x D R y x +=+∈∃，，，故选项D 正确；所以答案选BCD.三、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 若角α的终边经过点()43，-P ，则()=+πα2021sin 【答案】54-【考点】三角函数的概念、诱导公式 【解析】由题意()54434sin 22=+-=α，则()()54sin sin 2021sin -=-=+=+απαπα，故答案为54-. 14. 计算:()=+⎪⎭⎫⎝⎛--326log 125.0212【答案】10【考点】指对数运算【解析】由题意，原式()104686868123232326log 2=+=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-，故答案为10.15. 已知函数()()mm xm m x f 42222---=是幂函数，且()∞+∈，0x 时，()x f 单调递减，则 m 27log 的值为【答案】31【考点】幂函数的概念及性质【解析】由题意可得1222=--m m ，解得13-==m m 或，当3=m 时，()3-=x x f 在()∞+，0上单调递减，满足题意，所以313log 313log log 33273===m ；当1-=m 时，()5x x f =在()∞+，0上单调递增，不满足题意，故舍去，综上，3=m ，31log 27=m . 16. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤=11102x xx x x f ，，若关于x 的方程()()02=--m f x f 在[0，4]上有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范固是 .【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛2141，【考点】用数形结合思想解决函数的零点问题【解析】由题意()212=f ，则原方程可化为()021=--m x f 在[0，4]上有3个不相等的实数根，即函数()()2f x f -的图象与函数m y =的图象在[0，4]上有三个交点，所以()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=-12111021221x x x x x f ，，，可作出函数()()2f x f -的图象，由图像可知在[0，4]上有三个交点，得到⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2141，m .或函数()()2f x f -的图象可先作出函数()x f 的图象，再向下平移21个单位长度，最后再把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到.四、解答题: 本大题共 6 小题，共 70 分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
江苏省常州市2020届高三上学期期末学业水平监测数学答案
常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ参考答案2020年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.1,12.13.104.0，5.26.71017.8.5129.6410.2211.212.1413.1 217,011714.1,25 1326二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）解：（1）在ABC中，0B ，则sinB 0，因为B3，所以sin1cos21(3)2 6cos B B．…………………………3分33 3在ABC中，A B C ，所以sinC sin((A B))sin(A B)，…………5分33163 6所以sinC sin(B)sin cosB cos sin B ．3332323 6……………………………8分3（2）由余弦定理得b2a22accosB c2，则(2)212c c2，…………10分3所以223103c c ，(c 3)(c )0，……………………………12分3 3因为3c 0，所以c 30，即c 3． (14)分316．（本小题满分14分）证明：（1）取PC，BC的中点E,F，连结ME，EF，FN，三角形PCD中，M，E为PD，PC的中点，所以EM∥CD，1EM CD；三角形ABC中，F，N为BC,AC的中点，2所以FN∥AB，1FN AB，2因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，AB CD，高三数学Ⅰ答案第1页（共7页）从而EM∥FN，EM=FN，所以四边形EMNF是平行四边形.……………………4分所以MN∥EF，又EF 平面PBC，MN 平面PBC，所以MN∥平面PBC.……………………………6分（2）因为PA平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA CD.因为四边形ABCD是矩形，所以AD CD.……………………………8分又因为PA AD A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，所以CD 平面PAD.又AM 平面PAD，所以CD AM.……………………………10分因为AP AD，M为PD的中点，所以AM PD，又因为PD CD D，PD平面PCD，CD平面PCD，所以AM 平面PCD．……………………………12分又PC 平面PCD，所以PC AM．……………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）圆A:(x 2)y 1的圆心A(2,0)，半径r 1，与x轴交点坐标为(1,0),(3,0)2 2点F2在圆A:(x 2)2y21上，所以F2(1,0)，从而a 2，c 1，2 2x y所以b a2c222123，所以椭圆C的标准方程为 1.……4分4 3（2）由题，设点M(x1,y1)，0x12,y10；点N(x2,y2)，x20,y20.则AM (x 2,y)，1 1AN (x 2,y)，由2 213AM AN知点A，M，N共线.……5分2直线AM的斜率存在，可设为k（k>0），则直线AM的方程为y k(x 2)，由y k(x 2)，，得(x 2)y 12 21k2x 21k2k 1ky221k，，或1k2x 2，1k2，k 1ky221k所以1k k 1k2 2N(2，)，……………………………7分1k 1k2 2高三数学Ⅰ答案第2页（共7页）8k 2 6 y k(x2)，x，x 2，3 4k2由22，得 (3 4k 2 )x 2 16k 2 x 16k 2 12 0，解得，或，x y1y 012ky 4 323 4k所以 8k6 12k 2M( ， ) ， ……………………………10 分3 4k 34k22代入13AMAN 得28k6 12k 13 1k k 1k222( 2 )( )， ，，3 4k3 4k 21k 1k22223 (4k9)(52k51) 0 ，又 k>0，得 k， ……………………………13 分2223 2 3所以 M ) ，又 F 1(1,0) ，可得直线 F 1M 的斜率为(1,21(1)3 4．…………………14 分 18．（本小题满分 16 分）（图1）（图2）解：（1）在图1中连结AC,BD交于点O，设BD与FG交于点M，在图2中连结OP，因为ABCD是边长为102cm的正方形，所以OB=10（cm)，x x由FG=x，得OM，PM BM10，……………………………2分2 2x x因为PM OM,即10,所以0x10．……………………………4分2 21x因为S4FG PM2x(10)20x x2，……………………………6分2 2由20x x275，得5≤x15，所以5x10．答：x的取值范围是5x10．……………………………8分高三数学Ⅰ答案第3页（共7页）（2）因为在 RT OMP 中，OM 2 OP PM ，22x x 所以 OP OM)( ) 100 10x ， PM 22(102 22 2 11 1 VFG 2 OP x 100 10x100x10x ，0 x10 ，…………10 分245333 设 f (x) 100x 410x 5 ， 0 x10 ，所以 f (x) 400x 3 50x 450x 3 (8 x) ，令 f(x) 0，得 x 8或x 0 （舍去）．……………………………12 分列表得，x (0，8) 8 (8，10) f'(x) ＋ 0 － f(x)↗极大值↘所以当 x ＝8 时，函数 f (x) 取得极大值，也是最大值， ……………………………14 分128 所以当 x ＝8 时，V 的最大值为35 ．128 答：当 x ＝8 cm 时，包装盒容积 V 最大为35 （cm 3 ）． ………………………16 分19．（本小题满分 16 分） （1）函数 f (x) 的定义域为 (0,) ， 21 f (x) (2ax 2) l n x (ax2x)ax 2(ax 1) l n x 2ax 2 2(ax 1)(l n x 1)，……2 分x 则 f (1) 2(a 1) 2 ，所以 a 0 ， ……………………………3 分此时 f (x) 2xln x1，定义域为 (0,) , f (x) 2(ln x 1)，令f (x)0，解得1x ；令f (x)0，解得e1x ；e高三数学Ⅰ答案第4页（共7页）所以函数f(x)的单调增区间为1(,)，单调减区间为e1(0,)e．…………………6分（2）函数af(x)(ax22x)ln x x21在区间[1,e]上的图象是一条不间断的曲线．2由（1）知f (x)2(ax 1)(l n x 1)，1）当a≥0时，对任意x(1,e)，ax 10,l n x 10，则f (x)0，所以函数f(x)在区a间[1,e]上单调递增，此时对任意x(1,e)，都有f(x)f(1)10成立，从而函数f(x)2在区间(1,e)上无零点；……………………………8分2）当a 0时，令f (x)0，得1x 或e1a，其中1e1，1 ①若a ≤，即a ≤1，则对任意x(1,e)，f (x)0，所以函数f(x)在区间[1,e]上1a af，且(e)e22e e210 单调递减，由题意得(1)10f a ，解得2 22(2e 1)2a ，其中23e 2(2e 1)3e 4e 22(2e 1)2(1)0，即1，2 23e23e3e所以a的取值范围是2a≤1；……………………………10分1 1②若≥e，即≤a 0，则对任意x(1,e)，f (x)0，所以函数f(x)在区间[1,e]a ea上单调递增，此时对任意x(1,e)，都有f(x)f(1)10成立，从而函数f(x)在2区间(1,e)上无零点；……………………………12分1 ③若1ea ，即11a ，则对任意e1x (1,)a，f (x)0；所以函数f(x)在区1 间[1,]a 上单调递增，对任意1x (1,]aa，都有f(x)f(1)10成立；2对任意1 1x ，f (x)0，函数f(x)在区间(,e)[,e]上单调递减，由题意得x ，f (x)0，函数f(x)在区间a aa2 2f(e)ae 2e e 10，解得22(2e 1) a，23e其中2(2e 1)13e 4e 2e 22(2e 1) 1 ()0，即()，3e e3e3e3e e 222 22(2e 1)所以a的取值范围是1a ．……………………………15分23e综上可得，实数a的取值范围是2(2e 1)2a ． (16)分23e高三数学Ⅰ答案第5页（共7页）20．（本小题满分16分）解：（1）设等比数列{a}公比为q，由8a=4a=1得8a q2=4a q=1，n321 1解得1a=q=，故121a=.……………………………3分n n22111123112 3（2）|a (a 1)||(1)||()+|=()+.…………5分n n n n n n2422422 411 1n N*，且n≤m时，有≤≤，对任意正整数m，当02m2n 2则(11)2+31+3=1，即|a (a21)|≤1成立，2n244 4n n故对任意正整数m，数列{a}，{a21}是“(m,1)接近的”.…………………8分n nS(b b) 1 （3）由1=n n nb b 2n n 1 ，得到1S(b b)=b b ，且b n，b n10，n n1n n n 12从而b bb b ，于是 110S=n nn n n2()b bn1n.……………………………9分b b当n 1时，S=1 212(b b)2 1 ，b，解得2 21=1b ，当n≥2时，b b b bb S Sn n1n1nn n n 12(b b)2(b b)n1n n n 1，又b 0，n整理得b 1b 12b，所以b n1b n b n b n1，因此数列{b n}为等差数列.n n n又因为b1=1，2=2b，则数列{b}的公差为1，故b n.……………………11分n n根据条件，对于给定正整数m（m≥5），当n N且n≤m时，都有*1(2)|2n(2)|≤成立，|b k|n k Lnan即L2n n2≤k≤L2n n2①对n1,2,3,m都成立.…………12分考察函数f(x)2x x2，f(x)2x ln22x，令g(x)2x ln22x，高三数学Ⅰ答案第6页（共7页）则g(x)2x(ln2)22，当x>5时，g(x)0，所以g(x)在[5,)上是增函数.又因为g(5)25ln2100，所以当x 5时，g(x)0，即f (x)0，所以f(x)在[5,)上是增函数.注意到f(1)=1，f(2)f(4)0，f(3)1，f(5)7，故当n 1,2,3,m时，L 2n n2的最大值为L 2m m2，L 2n n的最小值为L 1.……………………………14分2欲使满足①的实数k存在，必有L 2m m2≤L 1，即2m m 12L≥，2因此L的最小值2 1m m22，此时k2 1m m2.……………………………16分2高三数学Ⅰ答案第7页（共7页）常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题）参考答案2020 年 1 月21．【选做题】在 A 、B 、C 三 小 题 中 只．能．选．做．两．题．， 每 小 题 10 分，共计 20 分．A ．解：（1） A 13221 1 2． ……………………………4 分 （2）点 (a,b) 在矩阵 1 3 A 2 4 对应的变换作用下得到点 (4,6) ，所以 a 4A b 6， …6 分 所以3 2 a4 2 4 1A1b 6 1 6 112， ……………………………8 分 所以 a 1,b 1，得 a b 2 ．……………………………10 分B ．解：因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是 ρ 2r cos θ ． ππ又因为点 P(2 3, ) 在圆上，所以 2 32rcos ，解得 r2 .66因此所求圆的极坐标方程是 ρ 4cos θ . ……………………………10分C ．解：函数 yx 2 x 6x 1的定义域为[0,)， x 1 0. (2)分x 2x 6(x 1)4(x 1)9992(x 1)4≥2(x 1)4 2，x 1x 1x 1x 1当且仅当x 19，即x 4时取到“=”.……………………………8分x 1所以当x 4时，函数yx 2x6x 1的最小值为2.……………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A，则A表示“取出的3个样品3343343657中没有优等品”，P A，所以(10.3)P A 1P A 1，……3分100010001000答：取出的3个样品中有优等品的概率是6571000.……………………………4分（2）X B(3,0.3)，P(X k)C k0.3k (10.3)3k，k 0，1，2，3，…………………………6分3随机变量X的分布如下表：高三数学Ⅱ答案第1页（共2页）X012 3P343100044110001891000271000……………………………8分343441189279E(X)0123．1000100010001000109答：随机变量X的数学期望是10.……………………………10分23．解（1）A1t|t a13a0,其中a i A,i 0,14,5,7,8，所以A中所有元素的和为24；集合1 A中元素的个数为2n1.…………………………2分n（2）取s l 2n，下面用数学归纳法进行证明.①当n 2时，A213,14,16,17，22,23,25,26，……………………………3分取b113,b217,b323,b425,c114,c216,c322,c426，有b1b2b3b4c1c2c3c478，且12223242122232421612b b b bc c c c成立.…4分222 2k k k k22 ②假设当n k，k N*且k≥2时，结论成立，有b c，且b c成立.i i i ii1i1i1i 1当n k 1时，取B b b b c c c，231,31,,231,231,231,,2231k k k1121 2k k k k k kC c c c b b b，23,3,,23,23,23,,22 3k1k1k1k1k1k 1 k112k12k此时B，C无公共元素，且2k2k1 1 B2C2A (6)分k1k1k 1有222 2k k k kk1k1k1k 1 (b 3)(c 23)(c 3)(b 23)，且i i i ii1i1i1i 122222 2k k k k k k(b 3k1)2(c 23k1)2b2c223k1b 43k1c 2k[(3k1)2(23k1)2]，i i i i i ii1i1i1i1i1i 122222 2k k k k k k(c 3)(b 23)c b 23c 43b 2[(3)(23)]，k12k1222k1k1k k12k1 2 ii i i i ii1i1i1i1i1i 1由归纳假设知2 2k kb c，且i ii1i 12 2k k2 2b c，所以i ii1i 1222 2k k k k(b 3)(c 23)(c 3)(b 23)，k12k12k12k1 2 ii i ii1i1i1i 1即当n k 1时也成立；……………………………9分综上可得：能将集合A，n≥2分成两个没有公共元素的子集B b1,b2,b3,,b 和n s sC c1,c2,c3,,c，s,l N*，使得b2b2b2c2c2c2成立.………10分1212l ls l高三数学Ⅱ答案第2页（共2页）。
江苏省常州市教育学会2023-2024学年高二下学期6月学业水平监测数学试题【含答案】
常州市教育学会学业水平监测高二数学2024年6月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2230M x x x =--<，{}2ln 5N x x =-≤≤，则M N ⋂=（）A ．[)ln 5,3B ．(]1,ln 5-C ．[)2,1-D ．[)2,3-2．已知曲线()2ay x a x=-∈R 在2x =处的切线斜率为2，则=a （）A ．18-B ．18C ．8-D ．83．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（）A ．310B ．25C ．35D ．235．某市为了解高一新生的身高情况，抽取了10000位高一新生的身高作为样本.若高一新生的身高X 近似服从正态分布()2165,N σ，且()1800.1P X ≥=，则在10000位高一新生中身高在区间[]150,180内的人数约为（）A ．2000B ．4000C ．6000D ．80006．已知0x >，0y >，且21x y +=，则22x yxy+的最小值为（）A ．172B．1+C ．4D．4+7．已知函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则5π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．33B．CD．2+8．已知函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，对任意实数x ，()()2f x f x x =--，且当0x ≥时，()10f x x '++>.不等式()()232232xf x f x x --<-+的解集为（）A ．(),2-∞B ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（）A ．()sgn x 是周期函数B ．对任意的x ∈R ，()sgn x x x =--C ．函数()2sgn xy x =的值域为(][)1,01,-+∞ D ．函数()2sgn ln y x x =-的值域为{1y y <-或}01y ≤<10．现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M ：该球为红球，事件i A ：该球出自编号为()1,2,3i i =的袋子，则（）A ．()1310P M A =B ．()1920P M =C ．()223P A M =D ．()318P MA =11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A B 的中点，点Q 在正方形11CC D D 内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（）A ．当PQ =Q 的轨迹长度为πB ．若//PQ 平面1A BD ，则PQ 长度的最小值为2C ．当PQ =Q AB P --D ．记直线PQ 与平面11AA B B 所成角为θ，则sin θ的取值范围是2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数()1e x f x +=，()3g x x =，若存在实数a ，b ，使得()()f a g b =，请写出b a -的一个可能值：.13．如图，在半径为8的半圆形纸片中，O 为圆心，AB 为直径，C 是弧AB 的中点，D 是弧AC 的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线OA 与CD 所成角的余弦值是.14．定义{}min ,,a b c 表示,,a b c中最小的数，已知实数,,a b c 满足0a b ++=，2=-，则{}min ,,a b c 的最大值是.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知a ∈R ，命题p ：x ∀∈R ，220x x a ++>为真命题.实数a 的取值集合记为A .(1)求集合A ；(2)设()1ln1x m f x m x--=--的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.16．如图，直线PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，CD PA ⊥，F 为线段PA 上异于端点的一点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 是平行四边形.(1)若F 是PA 的中点，求证：//AC 平面DEF ；(2)求二面角F PB C --的大小.17．在①()f x 在区间2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，②0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，③()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，___________.(1)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()1f x m -≤恒成立，求实数m 的取值范围；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.18．某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题.(1)对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率；(2)求聊天机器人答对题数X 的数学期望；(3)答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率.19．已知函数()()e ln 1xf x x ax =++-，a ∈R .(1)若()f x 在区间()1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当3a =时，判断关于x 的方程()1f x =实数根的个数，并证明.1．B【分析】先将集合M 化简，再利用交集运算的定义求解.【详解】集合{}{}2230|13M x x x x x =--<=-<<，因为21ln 5ln e 2lne =<<=，所以{|1ln 5}M N x x ⋂=-<≤，即(1,ln 5]M N ⋂=-.故选：B 2．C【分析】借助导数的运算法则求出导数后，结合导数的几何意义计算即可得.【详解】22a y x x '=+，由题意22222a⨯+=，解得8a =-.故选：C.3．B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．4．C【分析】求出从5人中选2人的方法数，再求出选的两人恰有1名男生与1名女生的方法数，然后由古典概型的概率公式求解即可.【详解】因为从3名男生与2名女生中选出2人有25C 10=种选法，选的两人恰有1名男生与1名女生的有1132C C 6=种选法，所以所求的概率为63105=.故选：C 5．D【分析】借助正态分布的对称性可得()150180P X ≤≤，即可得解.【详解】由()2165,X N σ ，()1800.1P X ≥=，则()150180120.10.8P X ≤≤=-⨯=，100000.88000⨯=，故人数约为8000人.故选：D.6．D【分析】借助“1”的活用，结合基本不等式计算即可得.【详解】()22222224=2x y x y xyxy xy xyx y x y +++++⋅=4≥==+，当且仅当222x y =，即47x =，2217y =时，等号成立.故选：D.7．B【分析】利用正切型函数的图像得出T ，再算出,ωϕ，从而得解.【详解】由图像可知：ππ2π2263T T =-⇒=，所以π32T ω==，把π,02⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得：()3π3πtan 0π224k k ϕϕ⎛⎫⋅+=⇒=-∈ ⎪⎝⎭Z ，因为π2ϕ<，取1k =得π4ϕ=，所以()3πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π35ππ2πtan tan1821843f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.8．B【分析】构造函数()()212g x f x x x =++，从而结合导数与所给条件得到函数()g x 的单调性与对称性，在将所给不等式中()f x 化为()g x 即可得解.【详解】令()()212g x f x x x =++，则()()1g x f x x ''=++，由题意可得，当0x ≥时，()10f x x '++>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，由()()2f x f x x =--，则()()2211222g x x x g x x x x --=--+-，即()()g x g x =-，故()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递减，则不等式()()232232x f x f x x --<-+可化为：()()()()2221132222223222x g x x x g x x x x ------++<-+，即()()22g x g x -<，则有22x x -<，即()2222x x -<，即()()22220x x x x -+--<，即()()3220x x --<，解得2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数()()212g x f x x x =++，从而结合导数与所给条件得到函数()g x 的单调性与对称性.9．BD【分析】对A ：利用周期函数性质举出反例即可得；对B ：将x 与()sgn x 都写成分段形式即可得；对C 、D ：利用符号函数，将所给函数化为分段函数形式后结合指数与对数函数的性质分段计算其值域即可得.【详解】对A ：由()sgn 00=，当0x ≠时，()sgn 0x ≠，故()sgn x 不是周期函数，故A 错误；对B ：,00,0,0x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，由()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则(),0sgn =0,0,0x x x x x x x >⎧⎪--=⎨⎪-<⎩，故对任意的x ∈R ，()sgn x x x =--，故B 正确；对C ：()2,02sgn 0,02,0x xx x y x x x ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩，当0x >时，()21,x y =∈+∞，当0x =时，0y =，当0x <时，()21,0xy =-∈-，综上所述，函数()2sgn xy x =的值域为(]()1,01,⋃-+∞，故C 错误；对D ：()222,01sgn ln =0,1,1x x y x x x x x ⎧<<⎪=-=⎨⎪->⎩，则01x <<时，()20,1y x =∈，当1x =时，0y =，当1x >时，()2,1y x =-∈-∞-，故函数()2sgn ln y x x =-的值域为{1y y <-或}01y ≤<，故D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】根据条件概率的计算公式即可结合选项逐一求解.【详解】由题意可知()345310102010P M ++==++，()11011010204P A ==++故()()1113()3401104P MA P M A P A ===,()2235()2403()310P A M P A M P M +===,()33351()(),103458P MA P M P A M =⋅=⨯=++故选：ACD 11．AD【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出Q 点坐标，对A ：利用空间两点间距离公式计算即可得点Q 轨迹，即可得其长度；对B ：借助空间向量求出平面1A BD 法向量可得点Q 轨迹，即可得其长度的最小值；对C ：借助空间向量求出两平面的法向量后可得其夹角的余弦值，结合点Q 轨迹即可得其范围；对D ：求出平面11AA B B 法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得.【详解】以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D ，()2,1,2P ，设()0,,Q m n ，02m ≤≤，02n ≤≤，对A ：PQ ==()()22121m n -+-=，则点Q 的轨迹为以()0,1,2为圆心，1为半径，且在正方形11CC D D 内部的半圆，则点Q 的轨迹长度为12π1π2⨯⨯=，故A 正确；对B ：()2,1,2PQ m n =---，()12,0,2A ，()2,2,0B ，则()12,0,2DA = ，()2,2,0DB = ，令平面1A BD 的法向量为()111,,m x y z =，则有11111220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，可令11x =，则111y z ==-，即()1,1,1m =-- ，由//PQ 平面1A BD ，则有()()()()2111210PQ m m n ⋅=-⨯+-⨯-+-⨯-=，即1m n +=，则PQ ===≥，故B 错误；对C ：()2,0,0A ，()2,,AQ m n =- ，()2,2,BQ m n =--，设平面ABQ 的法向量为()222,,x y z α=，则有()22221220220AQ x my nz BQ x m y nz αα⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，可令2x n =，则20y =，22z =，即(),0,2n α=，易得x 轴⊥平面ABP ，故平面ABP 的法向量可为()1,0,0β=，则cos ,αβαβαβ⋅==⋅ 由A 知()()22121m n -+-=，故()()221120m n -=--≥，即[]1,2n ∈，则52cos ,,52αβ=⎥⎣⎦ ，故二面角Q AB P --C 错误；对D ：()2,1,2PQ m n =--- ，平面11AA B B 法向量为()1,0,0β=，则sin cos ,PQ PQ PQ βθββ⋅===⋅由02m ≤≤，02n ≤≤，则()()[]22120,5m n -+-∈，故2sin ,13θ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于建立适当空间直角坐标系，从而借助平面的法向量研究位置关系，借助空间向量的夹角公式研究二面角或线面角.12．2（答案不唯一）【分析】取1,1a b =-=即可代入求解.【详解】取1,1a b =-=，则()()()()01e 1,11f a f g b g =-====，满足()()f a g b =，此时2b a -=，故答案为：2（答案不唯一）13．24【分析】根据圆锥的几何特征，结合异面直线所成角的几何法，即可利用三角形的边角关系求解.【详解】如图，设圆锥的底面圆半径为r ，则8π2π4r r =⇒=，D 是弧AC 的中点，ADC △为等腰直角三角形，故2DC r ===过A 作//AM DC 交底面圆于M ，则M 为弧AC 中点，故22222AM AC r ==⨯=,又8OA OM ==,所以12cos 84AMOAM OA ∠==，故异面直线OA 与CD ．故答案为：24.14．2-【分析】由题先分析出实数,,a b c ，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可.【详解】因为0a b ++=，2=-，所以,a b 两个数中有一个负数，不妔设a<0，所以{}min ,,a b c a =，由已知可得a b =-，所以(2b -+-，所以(2b +=，所以2(b =≥，所以31≤，所以1≤，由2a=≤-，故{}min ,,a b c 的最大值是2-.故答案为：2-15．(1){}|1a a >(2)[)2,+∞【分析】（1）根据Δ0<求出a 的取值范围，即可求出A ；（2）依题意可得101x m m x-->--，解得即可求出B ，再根据B A ⊆，得到11m -≥，解得即可.【详解】（1）因为命题p ：x ∀∈R ，220x x a ++>为真命题，所以2240a ∆=-<，解得1a >，所以{}|1A a a =>；（2）对于函数()1ln 1x m f x m x--=--，则101x m m x -->--，即()()110x m x m -+--<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为11m m +>-，解得11m x m -<<+，所以{}|11B x m x m =-<<+，又B A ⊆，所以11m -≥，解得2m ≥，即实数m 的取值范围为[)2,+∞.16．(1)证明见解析(2)5π6【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理即可得；（2）结合所给位置关系，建立适当空间直角坐标系，借助空间向量夹角公式计算即可得.【详解】（1）连接PC ，设其与DE 交于M ，由四边形PDCE 是平行四边形，则M 为PC 中点，连接FM ，又F 是PA 的中点，则//FM AC ，由AC ⊄平面DEF ,FM ⊂平面DEF ,故//AC 平面DEF ；（2）由PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，则PD CD ⊥，PD AD ⊥，有CD PA ⊥，PA PD P = ，,PA PD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面PAD ，又AD ⊂平面PAD ，故CD AD ⊥，故PD 、DA 、DC 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()0,0,1P 、()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,2,0C ，则()1,0,1PA =- 、()1,1,1PB =- 、()0,2,1PC =- ,令平面FPB 与平面PBC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z = ，则有1111100m PA x z m PB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，22222020m PB x y z m PC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令121x x ==，则有10y =，11z =，21y =，12z =，即()1,0,1m = ，()1,1,2n = ，则cos ,m n m n m n ⋅==⋅ 由图可知，二面角F PB C --为钝角，故二面角F PB C --的余弦值为，则二面角F PB C --的大小为5π6.17．(1)11,22⎤-⎢⎥⎣⎦(2)ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）首先选出条件，再利用条件求出π6ϕ=，进而求出函数()f x 在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值，再结合恒成立的不等式求解即得.（2）根据（1）的结论，利用三角函数图象变换求出()g x ，再利用正弦函数的性质求出递增区间.【详解】（1）选条件①()f x 在区间2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，得ππ4π7π2,2233x ϕϕϕϕ⎛⎫-<<⇒+∈++ ⎪⎝⎭，所以满足条件π4π2π23,Z 7ππ2π32k k k ϕϕ⎧-≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，得11π11π2π2π,Z 66k k k ϕ-≤≤-∈，又ππ22ϕ-<<，所以取1k =，所以π6ϕ=；选条件②0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，得ππsin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又ππ22ϕ-<<，所以2πππ363ϕ-<-<，得π06ϕ-=，所以π6ϕ=选条件③()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，知π6x =是()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的一条对称轴，所以πππ,Z 32k k ϕ+=+∈，则ππ,Z 6k k ϕ=+∈又ππ22ϕ-<<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()12f x -≤，由()1f x m -≤恒成立，得()()11f x m f x -≤≤+，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()1f x -的最大值为12-，()1f x +的最小值为12，则1122m -≤≤所以实数m的取值范围11,22⎤-⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知()πsin 26f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后，得πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍，得πsin 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π42π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，得ππππ,Z 21226k k x k -≤≤+∈，()g x 的单调增区间是ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦18．(1)12(2)3.75(3)11572048【分析】（1）根据组合知识求出相应的概率；（2）根据全概率公式得到聊天机器人作答正确的概率，从而得到()5,0.75X B ~，根据二项分布期望公式求出答案；（3）计算出机器人获胜和两者平局的概率，从而求出小王获胜的概率.【详解】（1）小王能全部答对的概率为59510C 1C 2=；（2）设每次输入的问题出现语法错误为事件A ，则()0.1P A =，聊天机器人作答正确为事件C ，则()()()()()()()P C P AC P AC P A P C A P A P C A =+=⋅+⋅0.10.30.90.80.75=⨯+⨯=，故聊天机器人答对题数()5,0.75X B ~，数学期望50.75 3.75EX =⨯=；（3）由题意可得小王最少答对4道题，小王能答对5道题的概率为59510C 1C 2=，答对4道题的概率为4191510C C 1C 2=，由（2）知，聊天机器人答对题数()5,0.75X B ~，故机器人能答对5道题的概率为5553243C 41024⎛⎫= ⎪⎝⎭，机器人能答对4道题的概率为44531405C 441024⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题，故机器人获胜的概率为1243243210242048⨯=，小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题，其中都答对5道题的概率为1243243210242048⨯=，都答对4道题的概率为1405405210242048⨯=，所以小王获胜的概率为243243405115712048204820482048---=.19．(1)2a ≤(2)3，证明见解析【分析】（1）参变分离后可得1e 1x a x ≤++在()1,∞-+上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性即可得其最值，即可得解；（2）构造函数()()e ln 131x x x x μ=++--，结合导数讨论其单调性，可得其极值点，结合零点的存在性定理即可得其零点个数，即可得方程()1f x =的实数根的个数.【详解】（1）()1e 1x f x a x =+-+'，则有()1e 01x f x a x +'=+-≥在()1,∞-+上恒成立，即1e 1x a x ≤++在()1,∞-+上恒成立，令()1e 1x g x x =++，则()()21e 1x g x x =-+'，令()()()21e 1x h x g x x ==-+'，则()()32e 1x h x x =++'，则当()1,x ∞∈-+时，()()32e 01x h x x +'=+>恒成立，故()g x '在()1,∞-+上单调递增，又()()0210e 001g '=-=+，故当()1,0x ∈-时，()00g '<，当()0,x ∞∈+时，()00g '>，故()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，即有()()010e 201g x g ≥=+=+，故2a ≤；（2）当3a =时，关于x 的方程()1f x =有三个不同的实数根，证明如下：当3a =时，令()1f x =，即()e ln 131x x x ++-=，令()()e ln 131x x x x μ=++--，则()1e 31x x x μ=+-+'，由（1）知()1e 1x g x x =++在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()1e 31x x x μ=+-+'在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()010e 31001μ=+-=-<+'，()1151e 3e 0112μ=+-=-'>+，223321e 3e 02313μ--⎛⎫-=+-=> ⎪⎭+'⎝-，故存在12,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()20,1x ∈，使()()120x x μμ''==，由()()00e ln 013010μ=++-⨯-=，故0x =是方程()1f x =的一个根，则()10x μ>，()20x μ<，又1x →-时，()x μ∞→-，()()3333e ln 31331e ln 410e 90μ=++-⨯-=+->->故存在()11,m x ∈-，使()0m μ=，即x m =是方程()1f x =的一个根，存在()2,3n x ∈，使()0n μ=，即x n =是方程()1f x =的一个根，综上所述，当3a =时，关于x 的方程()1f x =有三个不同的实数根.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于灵活利用零点的存在性定理判断函数是否在某个固定区间内有零点，从而得到方程的根的个数.。
2018年1月江苏省常州市教育学会学生学业水平监测高三期末试题及参考答案常州一模
高三数学Ⅰ试题
2018 年 1 月
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题——第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题 卷）满.本分 160 分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在 试卷及答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答 必须用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚． 4．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔．
0)
的两
条渐近线都相交且交点都在 y 轴左侧，则双曲线 C 的离心率e 的取值范围是 ▲ .
1
x y ≤ 0, 10．已知实数 x, y 满足 2x y 2≥ 0, 则 x y 的取值范围是 ▲ ．
x 2 y 4≥ 0,
11．已知函数 f (x) bx ln x ，其中 b R ．若过原点且斜率为 k 的直线与曲线 y f (x) 相切，
棱 PB 上），求证： QF ∥ BC ．
（第 16 题）
2
17．（本小题满分 14 分）
已知小明（如图中 AB 所示）身高 1.8 米，路灯 OM 高 3.6 米，AB，OM 均垂直于水平地面，
分别与地面交于点 A，O．点光源从 M 发出，小明在地面上的影子记作 AB' ．
（1）小明沿着圆心为 O，半径为 3 米的圆周在地面上走一圈，求 AB' 扫过的图形面积；
江苏省常州市教育学会2024学年高二化学第一学期期末经典模拟试题含解析
江苏省常州市教育学会2024学年高二化学第一学期期末经典模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(共包括22个小题。
每小题均只有一个符合题意的选项）1、常温下，等体积等pH的盐酸和醋酸两溶液，下列说法正确的是A．分别与适量且等量的锌粒反应，平均反应速率前者大B．两溶液导电能力相同C．分别与等浓度的氢氧化钠溶液反应至中性，消耗的氢氧化钠的体积相同D．稀释10倍后，盐酸的pH比醋酸溶液的pH小2、重铬酸钾溶液中存在如下平衡：Cr2O72-(橙红色)+H2O 2H++2CrO42-(黄色)，向K2Cr2O7溶液中加入下列哪种试剂，溶液颜色会从黄色逐渐变为橙红色A．NaHSO4 B．NaHCO3C．Na2CO3 D．CH3COONa3、t℃时，在体积不变的密闭容器中发生反应：X（g）+3Y（g）⇌2Z（g），各组分在不同时刻的浓度如下表：下列说法正确的是（）物质X Y Z初始浓度/mol•L﹣10.1 0.2 02min末浓度/mol•L﹣10.08 a b平衡浓度/mol•L﹣10.05 0.05 0.1A．平衡时，X的转化率为20%B．t℃时，该反应的平衡常数为40C．增大平衡后的体系压强，v正增大，v逆减小，平衡向正反应方向移动D．前2min内，用Y的变化量表示的平均反应速率v（Y）=0.03mol•L﹣1•min﹣14、极稀溶液中溶质的物质的量浓度很小，常用其负对数pc表示（pc B=－lgc B）。
如某溶液中溶质的物质的量浓度为1×10﹣5mol·L﹣1，则该溶液中溶质的pc=5。
江苏省常州市教育学会学生学业水平监测高三期末卷数学(理)
常州市教育学会学生学业水平监测高三数学I试题2018年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上..1.若集合A 二｛ -2,0,1｝, B 二｛x|x21｝，则集合A B =▲.2 .命题“去可0,1],x2 -1 > 0 ”是▲命题（选填“真”或“假” ）. —An^nr A_23. 若复数z满足z 2i = z +1（其中i为虚数单位），则Z = ▲.4. 若一组样本数据2015 , 2017, x, 2018, 2016的平均数为2017,则该组样本数据的方差为▲.5. 右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是▲.16. 函数f（x）= 的定义域记作集合D .随机地投掷一枚质地均匀的In x正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2，…,6 ），记骰子向上的点数为t，则事件“ D ”的概率为▲.7. 已知圆锥的高为6，体积为&用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7,则该圆台的高为▲.&各项均为正数的等比数列：a,中，若a2a3a4 -a2 a3 a4，则a3的最小值为▲.x2 y29.在平面直角坐标系xOy中，设直线l :x y ^0与双曲线C: 2 - 2=1（a 0,b 0）的两a b条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是▲.x —y w 0,10.已知实数x,y 满足 2x y -2 > 0,则x y 的取值范围是▲.x —2y 亠4 > 0,11. 已知函数f （x ）=：bx ・l nx ，其中b ■ R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y = f （x ）相切,则k -b 的值为 ▲. 12.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数y =sin （•・x •「）（小-0,0 ：：： • ：：： n 的图象与 x 轴的 交点A,B,C 满足OA OC =2OB ，则 即=▲_13. 在 ABC 中，AB =5,AC =7,BC =3 , P 为厶ABC 内一点（含边界），若满足1 --BP BA -BC （: •二R ），则BA BP 的取值范围为▲.414. 已知 ABC 中，AB =AC =打3 , ABC 所在平面内存在点 P 使得PB 2 PC^3PA^3 ,则ABC 面积的最大值为▲.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分14分）已知.ABC 中，a, b, c 分别为三个内角 A ,B,C 的对边，.3bsinC =ccosB c . （1）求角B ;16. （本小题满分14分）如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PC _平面ABCD , PB 二PD ，点Q 是 棱PC 上异于P , C 的一点. （1）求证：BD _AC ；（2）过点Q 和AD 的平面截四棱锥得到截面 ADQF （点F 在 棱 PB 上),求证：QF // BC .(2)若 b 2=ac ,1 1+ta nA ta nC的值.17. （本小题满分14分）已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯0M 高3.6米，AB, OM 均垂直于水平地面, 分别与地面交于点 A ，0.点光源从M 发出，小明在地面上的影子记作 AB'.（1 ）小明沿着圆心为 0,半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积；（2）若0A =3米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段 AA 1走到A , 0AA 二彳，且AA =10米.t 秒时，小明在地面上的影子长度记为最小值.18. （本小题满分16分）2 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C : ^-= 1（a b 0）的右焦点为F ,点A 是a 2b 2椭圆的左顶点，过原点的直线 MN 与椭圆交于M,N 两点（M 在第三象限），与椭圆的右准4 2线交于P 点.已知AM _MN ，且OA OM b . 3 ------------------- a -------------------------- 1（1） 求椭圆C 的离心率e ； 10（2） 若S AMN S PO ^ a ，求椭圆C 的标准方程. 319. (本小题满分16分) 已知各项均为正数的无穷数列｛耳｝的前n 项和为S n ，且满足a (其中a 为常数)，*b 2+a 气nS n 出=(n +1)S + n(n +1) (n 乞 N ).数列｛b h ｝满足 b n = J ------ (n w N *).V a n a^i(1 )证明数列｛a n ｝是等差数列，并求出｛a n ｝的通项公式；f （t ）（单位：米），求f （t ）的表达式与（第 17题）(2)若无穷等比数列｛c n｝满足：对任意的n・N*，数列｛b n｝中总存在两个不同的项b s, b t (s,t E N* ),使得b s < C n < b t，求｛c n｝的公比q .20. (本小题满分16分) 已知函数f(x)二lnx2，其中a为常数.(x+a)2(1 )若a =0，求函数f (x)的极值；(2)若函数f(x)在(0,_ a)上单调递增，求实数a的取值范围；(3 )若a=—1，设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x0，求证：f(x o)<-2 .。
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江苏省常州市教育学会2019—2020学年度第一学期学生学业水平监测
高中二年级数学试题
2020.1
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1.如果a ＜b ＜0,c ∈R,那么
A.a ﹣b ＞0
B.ac ＜bc
C.a 2＜b 2
D.11a b
> 2.在等差数列{}n a 中,已知11a =,358a a +=,则7a ＝
A.5
B.6
C.7
D.8 3.经过点(2,4)的抛物线的标准方程为
A.2
8y x = B.2
x y = C.2
8y x =或2
x y = D.无法确定 4.命题“x ∃∈(0,+∞),ln 1x x =-”的否定是
A.x ∀∈(0,+∞),ln 1x x ≠-
B.x ∀∉(0,+∞),ln 1x x =-
C.x ∃∈(0,+∞),ln 1x x ≠-
D.x ∃∉(0,+∞),ln 1x x =-
5.椭圆22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A,B,左右焦点分别是F 1,F 2,若AF 1,F 1F 2,F 1B 成
等比数列,则此椭圆的离心率为
A.
14 B.5 C.12
2
6.在下列函数中,最小值为2的是 A.55x y x
=
+(x ∈R 且x ≠0) B.1
lg lg y x x =+(1＜x ＜10)
C.33x
x
y -=+(x ∈R) D.1sin sin y x x
=+
(0＜x ＜2π
)
7.已知空间向量m u r ＝(1,3,x ),n r ＝(x 2,﹣1,2),则“x ＝1”是“m u r ⊥n r
”的
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 8.若x ＞0,y ＞0,且x ＋y ＝S,xy ＝P ,则下列说法中正确的是
A.当且仅当x ＝y 时S 取得最小值
B.当且仅当x ＝y 时P 取得最大值2
S 4
C.当且仅当P 为定值时S 取得最小值
D.当且仅当S 为定值且x ＝y 时P 取得最大值2
S 4
9.《周髀算经》中有一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为 A.12.5尺 B.10.5尺 C.15.5尺 D.9.5尺
10.已知离心率为2的双曲线C ：22
221x y a b
-=(a ＞0,b ＞0)的右焦点为F,O 为坐标原点,以OF
为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O 、A 两点.若△AOF 的面积为2,则实数a
的值为
A.2
B.22
C.4
D.8 11.如图,在三棱锥C —OAB 中,OA ⊥OB,OC ⊥平面OAB,OA ＝6,OB ＝
OC ＝8,点D 、E 分别为AC,AB 的中点,点F 在线段BC 上.若BF ＝
3
4
BC,则异面直线EF 与OD 所成角的余弦值为 A.37-
B.37
C.47-
D.4
7
第11题 12.已知F 为椭圆M ：22
12
x y +=的右焦点,点A,B,C 为椭圆M 上三点,当FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r 0
=r 时,称△ABC 为 “和谐三角形”,则“和谐三角形”有
A.0个
B.1个
C.3个
D.无数个
二、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上) 13.不等式
21
31
x x -+＞1的解集是 . 14.己知正数a ,b 满足4a ＋b ＝l,则1
ab ab
+
的最小值为 . 15.若数列
{}
n a 的通项
公
式
为
1
2n n a -=,数列
{}
n b 满
足 2log n n b a =+
2122
1log log n n a a ++⋅(N n *
∈),则数列{}n b 的前10项和为 .
16.点P 为椭圆
22
12516
x y +=上一点,M 、N 分别是圆22(3)4x y ++=和22(3)1x y -+=上的
动点,则PM ＋PN 的取值范围是 . 三、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)
已知p ：x 2﹣7x ＋10＜0,q ：x 2﹣4mx ＋3m 2＜0,其中m ＞0. (1)求使得P 为真命题的实数x 的取值范围；
(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n a 是n S 与2的等差中项.数列{}n b 中,1b ＝2,点P(n b ,1n b +)在直线y ＝x ＋2上.
(1)求1a 和2a 的值；
(2)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；
(3)设n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和n T .
19.(本小题满分12分)
如图,两条公路垂直相交于A 站,已知AB ＝100千米,甲车从A 站出发,沿AC 方向以50千米/小时的速度行驶,同时乙车从B 站出发,沿BA 方向以v 千米/小时的速度行驶.乙车行驶至A 站时停止前行并停留在A 站,甲车仍继续行驶(两车的车长均忽略不计).
(1)求甲、乙两车的最近距离(用含v 的式子表示)；
(2)若甲、乙两车开始行驶到甲、乙两车相距最近时所用时间为t 0小时,问v 为何值时t 0
最大?
20.(本小题满分12分)
如图,在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,侧棱AA 1⊥底面ABCD,AB ⊥AC,AB ＝1, AC ＝AA 1＝2,AD ＝CD ＝
5.
(1)求二面角D 1—AC —B 1的正弦值；
(2)点N 是线段D 1D 的中点,点E 为线段A 1B 1上点,若直线NE 与平面ABCD 所成角的正弦值为
367
,求线段A 1E 的长.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的离心率为32,左右焦点分别为F 1,F 2,焦距为6.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过椭圆左顶点的两条斜率之积为1
4
-
的直线分别与椭圆交于M,N 点.试问直线MN 是否过某定点?若过定点,求出该点的坐标；若不过定点,请说明理由.
22.(本小题满分12分)
己知数列{}n a 中,n a ＞0,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且2
2n n n
a S a +=. (1)求2S ,3S ,并求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)设2
1
n n n b S S +=
+,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若22n T k -≥0 对任意的正整数n 都
成立,求实数k 的取值范围.。