典型相关分析的基本理论及方法
典型相关分析、冗余分析
两组变量的个数和性质可以是不同的
典型相关的基本思想
Nk心理
设有两组观测变量，通过权重与观测变量 对应相乘、然后将各项相加，分别对每一 组先建立一个线性组合，称典型变式。 每一个典型变式的值又构成一个新的典型 变量。
二者是一个事物的两个方面 变式：关系形式；变量：关注数值
Nk心理
冗余指数
不对称：典型相关平方相同；但两个变 式对自己一方观测变量的代表比例不同
冗余指数
变式与观测变量之间的测量，既是整体 指标（总方差百分比），又是平均指标 （平均每个观测变量方差的百分比）
冗余分析
典型相关：两个多元集团两元间分析； 冗余分析：这两元之间关系的分析
Spss实例与操作
Nk心理
典型冗余分析
冗余
如果一个变量可以由另一个变量的方差来解 释或预测，那么就说这个方差部分与另一变 量方差冗余 即：变量的这个方差部分可以由另一个变量 的一部分方差所预测或解释 常用相关形容词关系（不确切），相关系数 的平方（确定系数）属于冗余分析的范畴， 因为冗余是重叠方差
Nk心理
冗余
冗余
两个变式中的冗余：典型相关系数取平方。 它不是一侧变式与另一侧观测变量的共享方 差比，而是两侧对应变式之间的共享方差比
第二组变式1对第一组变量的 平均解释比例： 交叉负载 乘方 1 X1 -0.548 0.3003 X2 0.299 0.0894 合计 0.3897 平均值 0.1949
典型相关分析的统计指标
冗余指数（manova)
Nk心理
1.典型变式序号（CAN.VAR)；2、3.每个变式所代表的某分组 的方差比例和累计方差比例，DE因变量组，CO自变量组；4、 5.另一组解释的方差比例以及累计方差比例
统计学中常用的数据分析方法10典型相关分析与ROC分析
统计学中常用的数据分析方法
典型相关分析
相关分析一般分析两个变量之间的关系，而典型相关分析是分析两组变量（如3个学术能力指标与5个在校成绩表现指标）之间相关性的一种统计分析方法。
典型相关分析的基本思想和主成分分析的基本思想相似，它将一组变量与另一组变量之间单变量的多重线性相关性研究转化为对少数几对综合变量之间的简单线性相关性的研究，并且这少数几对变量所包含的线性相关性的信息几乎覆盖了原变量组所包含的全部相应信息。
R0C分析
R0C曲线是根据一系列不同的二分类方式(分界值或决定阈）.以真阳性率（灵敏度)为纵坐标，假阳性率（1-特异度)为横坐标绘制的曲线
用途：
1、R0C曲线能很容易地査出任意界限值时的对疾病的识别能力用途；
2、选择最佳的诊断界限值。
R0C曲线越靠近左上角，试验的准确性就越高；
3、两种或两种以上不同诊断试验对疾病识别能力的比较，一股用R0C曲线下面积反映诊断系统的准确性。
典型相关分析
典型相关分析典型相关分析(Canonical Correlation Analysis)什么是典型相关分析典型相关分析是指利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。
它的基本原理是：为了从总体上把握两组指标之间的相关关系，分别在两组变量中提取有代表性的两个综合变量U1和V1（分别为两个变量组中各变量的线性组合），利用这两个综合变量之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性。
典型相关分析基本思想典型相关分析方法canonical correlation analysis最早源于荷泰林H，Hotelling 。
他所提出的方法于1936 年在《生物统计》期刊上发表的一篇论文《两组变式之间的关系》经过多年的应用及发展，逐渐达到完善，在70 年代臻于成熟。
由于典型相关分析涉及较大量的矩阵计算，其方法的应用在早期曾受到相当的限制。
但随着当代计算机技术及其软件的迅速发展，弥补了应用典型相关分析中的困难，因此它的应用开始走向普及化。
典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种统计分析方法。
为了研究两组变量X 1 ，X 2 ，…，X p 和Y1 ，Y2 ，…，Yq 之间的相关关系，采用类似于主成分分析的方法，在两组变量中，分别选取若干有代表性的变量组成有代表性的综合指标，通过研究这两组综合指标之间的相关关系，来代替这两组变量间的相关关系，这些综合指标称为典型变量。
[编辑]典型相关分析的应用典型相关分析的用途很广。
在实际分析问题中，当我们面临两组多变量数据，并希望研究两组变量之间的关系时，就要用到典型相关分析。
例如，为了研究扩张性财政政策实施以后对宏观经济发展的影响，就需要考察有关财政政策的一系列指标如财政支出总额的增长率、财政赤字增长率、国债发行额的增长率、税率降低率等与经济发展的一系列指标如国内生产总值增长率、就业增长率、物价上涨率等两组变量之间的相关程度。
又如，为了研究宏观经济走势与股票市场走势之间的关系，就需要考察各种宏观经济指标如经济增长率、失业率、物价指数、进出口增长率等与各种反映股票市场状况的指标如股票价格指数、股票市场融资金额等两组变量之间的相关关系。
第10章 典型相关分析
X2
0.80 1.00 0.33 0.59 0.34
Y1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0.26 0.33 1.00 0.37 0.21
Y2
0.67 0.59 0.37 1.00 0.35
Y3
0.34 0.34 0.21 0.35 1.00
W V11ab111Y X 111ba22Y 11X 2 2 b3Y 13
(V1,W 1)?
V 1 X 1 2 X 2 p X p'X
和 W 1 Y 12 Y 2 q Y q'Y
之间有最大可能的相关,基于这个思想就产生了典型相关分析.
§10.1 总体典型相关
设 X(X1, ,Xp)'及 Y(Y1,,Yq)'为随机向量,我们用
X 和 Y 的线性组合 ' X 和 'Y 之间的相关性来研究两组随机变量
V2a12 X1a22 X2 ap2Xp W 2b1Y 21b2Y 22 bq2Yq
V2和W2与V1和W1相互独立,但V2和W2相关.如 此继续下去,直至进行到 r 步,两组变量的相关性 被提取完为止. R min(p,q),可以得到 r 组变量.
典型相关的数学描述
一般地,假设有一组变量X1,…,Xp与Y1,…,Yq ,我们要 研究这两组变量的相关关系,如何给两组变量之间的相
为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。 调查了70个家庭的下面两组变量：
XX12： ：每 每年 年去 外餐 出馆 看就 电餐 影的 频率频 率 Y1：户主的年龄 Y2：家庭的年收入 Y3：户主受教育程度
分析两组变量之间的关系。
变量间的相关系数矩阵
X1
X2
Y1
Y2
Y3
典型相关分析方法研究
典型相关分析方法研究摘要：典型相关分析是研究两组变量（或两个随机向量）之间的相关关系的一种统计方法。
与仅研究二个变量间线性关系的简单相关分析相比,典型相关分析能揭示出两组变量之间的内在联系,且两组变量的数目可以改变,这确定了它的重要性。
随着计算机技术的发展,典型相关分析在各个行业试验研究中应用日渐广泛.本文主要介绍典型相关分析的基本原理与步骤并举例说明其应用.关键词:典型相关分析;基本原理；步骤；应用Abstract:Canonical correlation analysis is the study of two groups of variables （or two random vectors）a statistical method the relationship between the. Compared with only the simple correlation analysis of linear relationship between two variables and canonical correlation analysis can reveal the internal relations between two sets of variables，and the number of two groups of variables can change，this determines the importance of it. With the development of computer technology, the canonical correlation analysis system has been widely used in various industries in experimental study。
This paper mainly introduces the basic principle and procedure of canonical correlation analysis and examples of its application.Key words：Canonical correlation analysis; basic principle；step; application一、引言典型相关分析（Canonical Correlation Analysis 简称CCA)是处理两个随机矢量之间相关性的统计方法,在多元统计分析中占有非常重要的地位。
第9章-典型相关分析资料
2020/11/11
主编：费宇
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3.样本典型相关变量
• 前面我们是从变量x与变量y的协方差阵Σ出发考虑x 与y的典型相关变量,这称为总体典型相关变量,但
(9.3)
Cov(u, v) Cov(aT x, bT y) aTCov( x, y)b aT 12b.
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主编：费宇
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1.总体典型相关变量
• 两个新变量u和v之间的相关系数（即典型相关 系数）为
Corr(u, v) Corr(aT x, bT y)
aT 12b
(aT 11a) (bT 22b)
另一组变量为y=(y1, y2,…, yq )T ,且p≤q ,变量x 与变量y的协方差阵为
Var(x)
Σ
Cov(
x,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y)
Cov(
y,
x)
Cov( Var
x, y) ( y)
11 21
12
22
(9.1)
2020/11/11
主编：费宇
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1.总体典型相关变量
• 为研究变量x与变量y之间的线性相关关系,我们 考虑它们之间的线性组合
2 2
x2 y2
aip xp aiT x, biq yq biT y.
(i 1,2,
, p)
(9.11)
每一对变量称为一对典型变量,其中u1和v1称为第一
对典型变量,它们之间的相关系数λ1称为第一典型相 关系数.
2020/11/11
主编：费宇
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2.典型相关变量的性质
• 我们不加证明的给出典型变量以下三个性质: • (1)每一对典型变量ui及vi (i=1,2,…,p)的标准差
多元统计分析第9章典型相关分析
0
Σ12
Σ
1 22
Σ
21a
2Σ11a
0
（9.7）
同理，由方程组（9.4）式可得
Σ21Σ111Σ12b 2Σ22b 0
（9.8）
一、典型相关分析的基本思想
用
Σ1 11
和
Σ1 22
得
ΣΣ121211ΣΣ1221ΣΣ121211ΣΣ1221ab
2a 2b
X(2)
X (2) 11
X (2) 21
样本均值向量
X
(2) n1
X (2) 12
X (2) 22
X (2) n2
X (2) 1q
Σ
Σ 1
22
21
B
Σ221Σ
Σ Σ 1
21 11 12
其中 A 为 p×p 阶矩阵， B 为 q×q 阶矩阵。
一、典型相关分析的基本思想
因为 aΣ12b Corr(U ,V ) ，求 Corr(U,V ) 最大值也就
是求 的最大值，而求 的最大值又转化为求 A 和 B 的最
大特征根。
可以证明， A 和 B 的特征根和特征向量有如下性质： 1. A 和 B 具有相同的非零特征根，且所有特征根非负。 2. A 和 B 的特征根均在 0～1 之间。 3. 设 A 和 B 的 非 零 特 征 根 为 12 22 r2 ，
X
(2) 2
a (1) P
X
(1) P
b(1) q
X
(2) q
我们称其为第一对典型变量，最大特征根的平方根 1 即为两
典型变量的相关系数，我们称其为第一典型相关系数。
一、典型相关分析的基本思想
如果第一典型变量不足以代表两组原始变量的信息，则需要求
如何在SPSS中实现典型相关分析
如何在SPSS中实现典型相关分析?SPSS 11.015.1典型相关分析15.1.1方法简介在相关分析一章中，我们主要研究的是两个变量间的相关，顶多调整其他因素的作用而已；如果要研究一个变量和一组变量间的相关，则可以使用多元线性回归,方程的复相关系数就是我们要的东西，同时偏相关系数还可以描述固定其他因素时某个自变量和应变量间的关系。
但如果要研究两组变量的相关关系时，这些统计方法就无能为力了.比如要研究居民生活环境与健康状况的关系，生活环境和健康状况都有一大堆变量，如何来做？难道说做出两两相关系数?显然并不现实,我们需要寻找到更加综合，更具有代表性的指标，典型相关（CanonicalCorrelation）分析就可以解决这个问题。
典型相关分析方法由Hotelling提出，他的基本思想和主成分分析非常相似,也是降维.即根据变量间的相关关系，寻找一个或少数几个综合变量(实际观察变量的线性组合）对来替代原变量，从而将二组变量的关系集中到少数几对综合变量的关系上，提取时要求第一对综合变量间的相关性最大，第二对次之,依此类推。
这些综合变量被称为典型变量，或典则变量，第1对典型变量间的相关系数则被称为第1典型相关系数.一般来说，只需要提取1～2对典型变量即可较为充分的概括样本信息。
可以证明，当两个变量组均只有一个变量时,典型相关系数即为简单相关系数；当一组变量只有一个变量时,典型相关系数即为复相关系数。
故可以认为典型相关系数是简单相关系数、复相关系数的推广,或者说简单相关系数、复相关系数是典型相关系数的特例。
15。
1。
2引例及语法说明在SPSS中可以有两种方法来拟合典型相关分析，第一种是采用Manova过程来拟合，第二种是采用专门提供的宏程序来拟合，第二种方法在使用上非常简单，而输出的结果又非常详细,因此这里只对它进行介绍。
该程序名为Canonical correlation。
sps，就放在SPSS的安装路径之中，调用方式如下:INCLUDE ’SPSS所在路径\Canonical correlation.sps’。
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辑框图
第2步：设计典型相关分析 典型相关分析作为一种多元分析方法，与其他的多
元分析技术有共同的基本的要求。其它方法（尤其
是多元回归、判别分析和方差分析）所讨论的测量
误差的影响、变量类型及变换也与典型相关分析有 很大关系。
样本大小的影响和每个变量需要足够的观测都是典
型相关分析经常遇到的。研究者容易使自变量组和
1. 总体典型相关和典型变量
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论
及方法
3. 典型相关系数的显著性检验
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论
及方法
典型相关分析是借助于主成分分析的思想，对 每一组变量分别寻找线性组合，使生成的新的 综合变量能代表原始变量大部分的信息，同时， 与由另一组变量生成的新的综合变量的相关程 度最大，这样一组新的综合变量称为第一对典 型相关变量，同样的方法可以找到第二对，第 三对，…，使得各对典型相关变量之间互不相 关，典型相关变量之间的简单相关系数称为典 型相关系数，典型相关分析就是用典型相关系 数衡量两组变量之间的相关性。
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
2019/8相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻
辑框图
第1步：确定典型相关分析的目标 典型相关分析所适用的数据是两组变量。我们假定
每组变量都能赋予一定的理论意义，通常一组可以
定义为自变量，另一组可以定义为因变量。典型相 关分析可以达到以下目标：
(1) 确定两组变量是相互独立，或者相反，确定两组 变量间存在关系的大小。
§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
多元统计分析
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1
第八章 典型相关分析
• §8.1典型相关分析的基本理论及方法
• §8.2 典型相关分析的步骤及逻辑框图
• §8.3 典型相关分析的上机实现
• §8.4 社会经济案例研究
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2
第八章 典型相关分析
• 典型相关分析（canonical correlation analysis）是 研究两组变量之间相关关系的多元分析方法。它 借用主成分析降维的思想，分别对两组变量提取 主成分，且使从两组变量提取的主成分之间的相 关程度达到最大，而从同一组内部提取的各主成 分之间互不相关，用从两组之间分别提取的主成 分的相关性来描述两组变量整体的线性相关关系。 典型相关分析的思想首先由Hotelling于1936年提 出，计算机的发展解决了典型相关分析在应用中 计算方面的困难，目前成为普遍应用的进行两组 变量之间相关性分析的技术。本章主要介绍典型 相关分析的思想，基本理论及分析方法，并介绍 利用SPSS软件进行典型相关分析的方法。
(2) 为每组变量推导出一组权重，使得每组变量的线 性组合达到最大程度相关。最大化余下的相关关系 的其他的线性函数是与前面的线性函数独立的。
(3) 解释自变量与因变量组中存在的相关关系，通常 是通过测量每个变量对典型函数的相对贡献来衡量。
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
8.1.1 典型相关分析的统计思想 典型相关分析研究两组变量之间整体的线性 相关关系，它是将每一组变量作为一个整体 来进行研究而不是分析每一组变量内部的各 个变量。所研究的两组变量可以是一组变量 是自变量，而另一组变量是因变量的情况， 两组变量也可以处于同等的地位，但典型相 关分析要求两组变量都至少是间隔尺度的。
因变量组包含很多的变量，而没有认识到样本量的
含义。小的样本不能很好的代表相关关系，这样掩
盖了有意义的相关关系。建议研究者至少保持每个 变量10个观测，以避免数据的“过度拟合”。
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
8.1.2 典型相关分析的基本理论及方法
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻
辑框图
典型相关分析的步骤有以下6 步：（1）确定典型相关分析 的目标；（2）设计典型相关 分析；（3）检验典型相关分 析的基本假设；（4）估计典 型模型，评价模型拟合情况； （5）解释典型变量；（6）验 证模型。见参考文献[5]。它实 现的逻辑框图如下：
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论 2.及样本方典法型相关和典型变量
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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