空间方向关系模型比较讲解
空间方向关系表达与推理模型研究综述
空间方向关系表达与推理模型研究综述空间方向关系表达与推理模型研究综述空间方向关系是指空间中两个物体之间的相对位置关系，是空间语义信息的核心部分。
对于机器人、无人驾驶车辆、虚拟现实等应用场合，准确、快速地识别和理解空间方向关系非常重要。
因此，空间方向关系的表达和推理成为了研究的重要课题。
一、空间方向表达方法1. 基于方位关系描述法在基于方位关系描述法中，使用基准物体和目标物体之间的位置关系来描述物体间的方位关系。
如美国国土测量局定义的方位关系描述方法，将一个物体的方位关系表示为方位字（keyword）和相应的基准物体。
2. 基于方位向量的描述法方位向量是指从基准物体指向目标物体的向量，主要用于描述二维平面上物体的方位关系。
方位向量可表示为两个相对方向的夹角。
3. 基于句法规则的描述法在基于句法规则的描述法中，使用语法句式的方法描述物体间的方位关系。
例如，如果我们想描述 A 和 B 之间的方位关系，我们可以使用“B 在 A 的左边”这样一个短语。
二、空间方向推理模型1. 基于规则的推理模型基于规则的推理模型是使用类似于专家系统中的知识表示和推理机制来推断空间方向关系。
该方法将空间方向关系分解为多个规则，每个规则描述了特定的方位关系。
2. 基于语义网络的推理模型基于语义网络的推理模型将物体之间的空间方向关系视为语义网络中节点之间的关系。
当一个物体的位置发生变化时，语义网络就会相应地更新节点之间的关系，从而推断物体之间的方位关系。
3. 基于神经网络的推理模型基于神经网络的推理模型使用深度学习技术来处理空间方向关系。
对于一组已知物体的方位关系，该方法训练神经网络，从而能够对新物体之间的方位关系进行预测。
该方法具有很强的自适应性和预测能力。
结论空间方向关系的表达和推理是机器人和无人驾驶车等应用中的关键问题。
在表达方法方面，基于方位关系描述法、基于方位向量的描述法和基于句法规则的描述法是常用的方法。
在推理模型方面，基于规则的推理模型、基于语义网络的推理模型和基于神经网络的推理模型是主要的研究方向。
第二章 空间数据模型
2.2栅格数据模型-离散化的方法 栅格数据模型规则的格网(常用三角形,方格,六角形) 规则的格网(常用三角形,方格,六角形)，三角形 是最基本的不可再分的单元，根据角度和边长的 不同，可以取不同的形状，方格、三角形和六角 形可完整地铺满一个平面。 不规则的格网，可当做拓扑多边形处理，如按街 不规则的格网 区划分,社会经济分区等。 。
空间数据模型
本章描述的是整个GIS理论中最为核心的内容。 理论中最为核心的内容。 本章描述的是整个 理论中最为核心的内容 为了能够利用信息系统工具来描述现实世界， 为了能够利用信息系统工具来描述现实世界，并 解决其中的问题，必须对现实世界进行建模。 解决其中的问题，必须对现实世界进行建模。对 于地理信息系统而言，其结果就是空间数据模型。 于地理信息系统而言，其结果就是空间数据模型。 空间数据模型可以分为三种： 空间数据模型可以分为三种： 场模型：用于描述空间中连续分布的现象； 场模型：用于描述空间中连续分布的现象； 要素模型：用于描述各种空间地物； 要素模型：用于描述各种空间地物； 网络模型：可以模拟现实世界中的各种网络； 网络模型：可以模拟现实世界中的各种网络；
(一)空间结构特征和属性域 一 空间结构特征和属性域 空间” “空间”经常是指可以进行长度和角度 测量的欧几里德空间。 测量的欧几里德空间。空间结构可以是规 则的或不规则的。 则的或不规则的。 属性域的数值可以包含以下几种类型： 属性域的数值可以包含以下几种类型： 名称、序数、间隔和比率。 名称、序数、间隔和比率。属性域的另一 个特征是支持空值， 个特征是支持空值，如果值未知或不确定 则赋予空值。 则赋予空值。
2011-4-6
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2.2栅格数据模型 2.2栅格数据模型
栅格模型把空间看作像 元的划分， 元的划分，每个像元都 记录了所在位置的某种 现象，用像元值表示。 现象，用像元值表示。 该值可以表示一个确定 的现象，也可以是一种 模糊的现象。但一个像 元应该只赋一个单一的 值。
空间方向关系模型比较讲解
空间⽅向关系模型⽐较讲解空间⽅向关系模型分析颜芬1* 李精忠1（1 武汉⼤学资源与环境科学学院，武汉市珞瑜路129号，430079）摘要：空间⽅向关系是空间关系的重要内容，是地理信息系统的基础理论之⼀。
在地图制图、计算机辅助设计、图像和多媒体数据库以及地理信息系统等领域中有着⼴泛的应⽤。
本⽂着重于详细介绍⽬前主要的空间⽅向关系形式化描述模型的原理、优缺点、适⽤性，分析⽬前存在的问题以及为未来空间⽅向关系模型的研究探讨可⾏⽅向。
关键词：⽅向关系；空间关系；形式化描述模型；地理信息系统；空间分析1 介绍空间数据库是⼀门前沿的交叉学科，也是近年来的热点研究领域[1]。
空间数据库中，空间数据的空间关系的表⽰和处理在地图制图、计算机辅助设计、图像和多媒体数据库以及地理信息系统等领域中有着⼴泛的应⽤。
空间⽅向关系作为地理信息系统中最为重要的空间关系之⼀[2]，在空间数据建模、空间查询、空间分析、空间推理、制图综合和地图解译等研究⼯作中起着重要作⽤，空间⽅向关系模型是计算和表达⽬标间⽅向关系的重要⼯具，是空间⽅向关系理论研究的重点和难点[3]。
空间⽅向关系模型考虑的基本问题是如何有效地建⽴描述空间⽅向关系的形式化模型[4]。
描述空间⽅向关系的模型主要有锥形模型、基于投影的模型、基于V oronoi图的模型，统计模型和基于点群分割的模型等。
锥形模型主要包括四⽅向、⼋⽅向和三⾓化等；基于投影的模型主要有MBR(Minimum Boundary Rectangle)模型和⽅向关系矩阵模型等；基于V oronoi图的模型主要包括基于MBR V oronoi图模型和⽅向Voronoi图模型等。
描述空间⽅向关系的⽅法可分为定性描述和定量描述。
⽬前定性描述的空间⽅向关系模型主要有锥形模型、MBR模型和基于MBR V oronoi图模型等；定量描述的空间⽅向关系模型主要有⽅向关系矩阵模型、⽅向V oronoi图模型、统计模型和基于点群分割的模型等。
三维空间中3DR44方向关系表示模型
三维空间中3DR44方向关系表示模型郝晓红;张丽平;李松【摘要】Existing direction relation representation method can not represent the internal spatial direction of the minimum bounding box. Aiming at this shortage, this paper presents a 3DR44 direction relation representation model. It gives the dynamic direction adjacent relations and the bidirectional mapping relations of the 3DR44 direction relations model. The orderly sequences of the intersection pairs are used to deal with and distinguish the complex direction relations. The direction relations model in the 2D space can be used to handle the 3DR44 direction relations in the 3D space. Application results show that the model can enhance the ability to represent the 3D direction relation of the spatial database.%现有方向关系模型无法表示参照对象的最小包围盒的内部空间方向.针对该不足,提出3DR44方向关系表示模型,给出动态邻接关系以及双向映射关系,利用交集对的有序序列处理特定目标对象与参照对象间的复杂方向关系,并将该模型转化为二维空间中的方向关系模型进行处理.应用结果表明,该模型可增强空间数据库表示三维空间对象方向关系的能力.【期刊名称】《计算机工程》【年(卷),期】2011(037)001【总页数】4页(P75-77,80)【关键词】三维空间;交集序列;方向关系;邻接关系【作者】郝晓红;张丽平;李松【作者单位】哈尔滨理工大学计算中心,哈尔滨,150080;哈尔滨理工大学计算机科学与技术学院,哈尔滨,150080;哈尔滨理工大学计算机科学与技术学院,哈尔滨,150080【正文语种】中文【中图分类】TP3931 概述空间方向关系作为空间关系领域的三大主要关系(拓扑关系、方向关系和距离关系)之一，一直是学术界关注和研究的重点。
空间逻辑数据模型特点
空间逻辑数据模型特点空间逻辑数据模型是一种用于表示和处理空间数据的逻辑模型。
它结合了逻辑推理和空间关系，提供了一种有效的方式来描述和查询空间数据。
1. 空间数据表示：空间逻辑数据模型可以有效地表示各种类型的空间数据，包括点、线、面以及更复杂的几何对象。
它可以捕捉空间对象之间的拓扑关系、方向关系、邻近关系等。
2. 空间关系的表达：空间逻辑数据模型提供了一套丰富的逻辑表达式和关系操作符，用于描述和查询空间关系。
例如，可以使用"相邻"、"包含"、"重叠"等关系来描述空间对象之间的关系。
3. 空间拓扑关系：空间逻辑数据模型支持拓扑关系的描述和查询。
拓扑关系描述了空间对象之间的连接和相对位置关系。
通过拓扑关系，可以表示例如相邻、相交、包含等关系，用于解决空间数据的拓扑查询问题。
4. 空间方向关系：空间逻辑数据模型也支持方向关系的描述和查询。
方向关系描述了空间对象之间的方向和朝向。
通过方向关系，可以表示例如正北、东南、左侧等方向关系，用于解决空间导航和路径规划问题。
5. 空间逻辑推理：空间逻辑数据模型允许进行逻辑推理，以从已知的空间关系中推导出新的关系。
这种推理可以用于发现隐藏的关系、解决模糊的空间查询以及推断缺失的空间信息。
6. 空间数据一致性：空间逻辑数据模型支持保持空间数据的一致性。
例如，通过拓扑规则可以确保空间对象之间的连续性和完整性。
这有助于避免数据中的错误和冲突，并提供高质量的空间数据。
7. 空间数据查询：空间逻辑数据模型提供了一种灵活的查询语言，用于检索和分析空间数据。
查询可以基于空间关系、拓扑关系、方向关系以及其他属性进行过滤和组合，以满足不同的空间分析需求。
8. 空间数据集成：空间逻辑数据模型可以与其他数据模型进行集成，例如关系数据库、地理信息系统等。
这样可以将空间数据与非空间数据进行关联和分析，提供更全面的数据视图和分析能力。
总的来说，空间逻辑数据模型提供了一种强大的工具来表示、查询和分析空间数据。
空间关系知识点总结
空间关系知识点总结一、空间概念空间是指周围的环境由物质实体所构成的三维空间。
在这个空间中，物体可以相对移动，相对位置也会发生变化。
在空间中，我们可以观察到物体的位置、形状和大小等属性。
空间关系是指事物在空间中的相对位置关系。
空间关系有三种形式，即相对位置、方位和距离。
1.相对位置：相对位置是指两个物体在空间中的相对位置关系。
当我们描述一个事物所处的位置时，一定要以另一事物为基准来描述，这就是相对位置。
例如，A在B的左边，B在A的右边，这是相对位置的描述。
2.方位：方位是指事物在空间中的朝向关系。
方位由四个基本方向组成，即东、西、南、北。
在地理空间中还有东北、东南、西北、西南等方位。
方位是空间中非常重要的关系，能够帮助我们更准确地描述事物在空间中的位置。
3.距离：距离是指两个事物在空间中的间隔距离。
在空间中，物体可以通过距离来描述物体的相对远近。
距离是空间关系中很重要的一个方面，它可以通过度量直线距离、曲线距离来描述物体之间的相对远近。
二、空间语言描述空间关系可以通过语言来进行描述。
语言描述可以帮助我们更加准确地了解物体在空间中的位置、方位以及距离。
在语言描述中，要注意以下几点：1.使用准确的定位词语：在描述空间关系时，要使用准确的定位词语，如“上、下、左、右、前、后”等。
这些词语可以帮助我们更加准确地描述事物在空间中的位置。
2.使用准确的方向词语：在描述方位时，要使用准确的方向词语，如“东、西、南、北”等。
这些词语可以帮助我们更加准确地描述事物在空间中的朝向关系。
3.使用准确的距离词语：在描述距离时，要使用准确的距离词语，如“远、近、远离、靠近”等。
这些词语可以帮助我们更加准确地描述事物在空间中的相对远近关系。
三、空间关系的认知发展儿童对空间关系的认知发展是一个渐进的过程。
在儿童的认知过程中，从最初的“具体视觉参照”到“图形概念”再到“抽象概念”，儿童对空间关系的认知逐渐升级。
1.具体视觉参照：儿童最开始的认知是基于具体的物体进行的。
2023年新高考数学一轮复习8-6 空间向量及其运算和空间位置关系(知识点讲解)含详解
专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量2①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a ⊥b ⇔θ＝__π2__⇔a ·b ＝0．③θ为锐角时，a ·b __>__0，但a ·b >0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a ·b __<__0，但a ·b <0时，θ可能为__π__．④|a ·b |≤|a |·|b |，特别地，当θ＝__0__时，a ·b ＝|a |·|b |，当θ＝__π__时，a ·b ＝－|a |·|b |．⑤对于实数a 、b 、c ，若ab ＝ac ，a ≠0，则b ＝c ；对于向量a 、b 、c ，若a ·b ＝a ·c ，a ≠0，却推不出b ＝c ，只能得出__a ⊥(b －c )__．⑥a ·b ＝0⇒/ a ＝0或b ＝0，a ＝0时，一定有a ·b ＝__0__．⑦不为零的三个实数a 、b 、c ，有(ab )c ＝a (bc )成立，但对于三个向量a 、b 、c ，(a ·b )c __≠__a (b ·c )，因为a ·b 是一个实数，(a ·b )c 是与c 共线的向量，而a (b ·c )是与a 共线的向量，a 与c 却不一定共线． 3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．(2)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a 、b 、c 生成的，我们把{__a ，b ，c __}叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__． 4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e 1、e 2、e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以__e 1，e 2，e 3__的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ．对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3．我们把x 、y 、z 称作向量p 在单位正交基底e 1、e 2、e 3下的坐标，记作p ＝ (x ，y ，z )． 5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l 、m 的方向向量分别为a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，两个平面α，β的法向量分别为u ＝(u 1，u 2，u 3)，v ＝(v 1，v 2，v 3)，则有如下结论：6. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 7.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c例2. （2022·全国·高三专题练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)． 【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1 B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4 C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0例5.（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量； ④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量． 正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例6.（2020·全国·高三专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+．求证：（1）A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； （2）//AC EG ． 【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A ．()1,1,0-B ．()1,1,0-C ．()0,1,1-D ．()1,0,1-例8.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP =.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM ；（2）求BM 的长.例9. （2020·全国·高三专题练习）已知向量(2,1,2)a =-，(1,0,1)c =-，若向量b 同时满足下列三个条件：①1a b ⋅=-；①3b =；①b 与c 垂直.（1）求2a c +的模； （2）求向量b 的坐标. 【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2021·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.（1）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）求证：//BD 平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++. 例11.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面P AD ①平面ABCD ，ABCD 为正方形，①P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：（1）PB //平面EFG ； （2）平面EFG //平面PBC . 【规律方法】利用空间向量证明平行的方法 1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 题型五：利用空间向量证明垂直例12.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，O ，1O 是圆柱底面的圆心，1AA ，1BB ，1CC均为圆柱的母线，AB 是底面直径，E 为1AA 的中点．已知4AB =，BC =(1)证明：1AC BC ⊥；(2)若1AC BE ⊥，求该圆柱的体积．例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．例14．（2020·全国·高三专题练习）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由. 【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量2①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a ⊥b ⇔θ＝__π2__⇔a ·b ＝0．③θ为锐角时，a ·b __>__0，但a ·b >0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a ·b __<__0，但a ·b <0时，θ可能为__π__．④|a ·b |≤|a |·|b |，特别地，当θ＝__0__时，a ·b ＝|a |·|b |，当θ＝__π__时，a ·b ＝－|a |·|b |．⑤对于实数a 、b 、c ，若ab ＝ac ，a ≠0，则b ＝c ；对于向量a 、b 、c ，若a ·b ＝a ·c ，a ≠0，却推不出b ＝c ，只能得出__a ⊥(b －c )__．⑥a ·b ＝0⇒/ a ＝0或b ＝0，a ＝0时，一定有a ·b ＝__0__．⑦不为零的三个实数a 、b 、c ，有(ab )c ＝a (bc )成立，但对于三个向量a 、b 、c ，(a ·b )c __≠__a (b ·c )，因为a ·b 是一个实数，(a ·b )c 是与c 共线的向量，而a (b ·c )是与a 共线的向量，a 与c 却不一定共线． 3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．(2)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a 、b 、c 生成的，我们把{__a ，b ，c __}叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__． 4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e 1、e 2、e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以__e 1，e 2，e 3__的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ．对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3．我们把x 、y 、z 称作向量p 在单位正交基底e 1、e 2、e 3下的坐标，记作p ＝ (x ，y ，z )． 5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l 、m 的方向向量分别为a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，两个平面α，β的法向量分别为u ＝(u 1，u 2，u 3)，v ＝(v 1，v 2，v 3)，则有如下结论：6. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 7.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可. 【详解】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+.故选：D例2. （2022·全国·高三专题练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+ 则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++故选：B例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)．【答案】111244a b c ++【解析】 【详解】因为在四面体O ABC -中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，()1222OA OD O OE A OD ∴=+=+()111222a OB OC =+⨯+()1111124244a b c a b c =++=++ ，故答案为111244a b c ++. 【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1 B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4 C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1 D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0【答案】B 【解析】 【分析】利用共面向量的基本定理逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，设()()()1,1,00,1,11,0,1m n =+，所以，110n m m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解；对于B 选项，因为()()()2,2,403,0,021,1,2=⋅+，故B 选项中的三个向量共面；对于C 选项，设()()()1,2,31,3,22,3,1x y =+，所以，2133223x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解；对于D 选项，设()()()1,0,00,0,20,3,0a b =+，所以，013020b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾.故选：B.例5.（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量； ④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量． 正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可. 【详解】设E,F 分别为AD 和A 1D 1的中点，①OA +2OD OE =与1OA +12OD OF =不是一对相反向量，错误； ②OB -11OC C B =与OC -11OB B C =不是一对相反向量，错误；③OA 1+OB 1+OC 1+()1OD OC OD OA OB OC OD OA OB =----=-+++是一对相反向量,正确； ④OC -OA AC =与OC 1-111OA AC =不是一对相反向量,是相等向量，错误． 即正确结论的个数为1个故选：A例6.（2020·全国·高三专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+．求证：（1）A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；AC EG．（2）//【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）证明出AC、AB、AD为共面向量，结合AC、AB、AD有公共点可证得A、B、C、D四点共面，同理可证得E、F、G、H四点共面；AC EG．（2）证得EG k AC=，再由EG和AC无公共点可证得//【详解】（1）因为AC AD mAB=+，所以，AC、AB、AD为共面向量，因为AC、AB、AD有公共点A，故A、B、C、D四点共面，因为EG EH mEF=+，则EG、EH、EF为共面向量，因为EG、EH、EF有公共点E，故E、F、G、H四点共面；（2）OE kOA=，=，OF kOB=，OH kOD()EG EH mEF OH OE m OF OE=+=-+-()()()=-+-=+=+=，//k OD OA km OB OA k AD kmAB k AD mAB k AC∴，AC EGAC EG.因为AC、EG无公共点，故//【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1-【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：对于A 选项中的向量()11,0,1a =-，11111cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅⋅，则1,120a a 〈〉=；对于B 选项中的向量()21,1,0a =-，22211cos ,22a a a a a a ⋅〈〉===⋅，则2,60a a 〈〉=；对于C 选项中的向量()30,1,1a =-，2321cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅，则2,120a a 〈〉=；对于D 选项中的向量()41,0,1a =-，此时4a a =-，两向量的夹角为180.故选B.例8.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP=.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM ； （2）求BM 的长.【答案】（1）111222a b c -++；（2）2【解析】 【分析】（1）将AD BC =，BP AP AB =-代入1()2BM BC BP =+中化简即可得到答案；（2）利用22||BM BM =，结合向量数量积运算律计算即可. 【详解】（1）M 是PC 的中点，1()2BM BC BP ∴=+.AD BC =，BP AP AB =-，1[()]2BM AD AP AB ∴=+-，结合AB a =，AD b =，c AP =，得1111[()]2222BM b c a a b c =+-=-++.（2）1AB AD ==，2PA =， ||||1a b ∴==，||2c =.AB AD ⊥，60PAB PAD ∠=∠=︒， 0a b ∴⋅=，21cos601a c b c ⋅=⋅=⨯⨯︒=.由（1）知111222BM a b c =-++，()2222211112222224BM a b c a b c a b a c b c ⎛⎫∴=-++=++-⋅-⋅+⋅⎪⎝⎭13(114022)42=⨯++--+=，6||2BM ∴=即BM 例9. （2020·全国·高三专题练习）已知向量(2,1,2)a =-，(1,0,1)c =-，若向量b 同时满足下列三个条件：①1a b ⋅=-；①3b =；①b 与c 垂直. （1）求2a c +的模；（2）求向量b 的坐标. 【答案】（1）1；（2）(2,1,2)b =-或(2,1,2)b =---. 【解析】 【分析】（1）求出2a c +的坐标，即可求出2a c +的模；（2）设(,,)b x y z =，则由题可知22222190x y z x y z x z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解出即可得出．【详解】解：（1）∵()2,1,2a =-，()1,0,1c =-， ∴()20,1,0a c +=， 所以21a c += ；（2）设(),,b x y z =，则由题可知222221,9,0,x y z x y z x z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得2,1,2,x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或2,1,2,x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 所以()2,1,2b =-或()2,1,2b =---. 【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2021·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.（1）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）求证：//BD 平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得出EF HG =可证；（2）通过证明//HE BD 可得；（3）可得四边形EFGH 为平行四边形，M 为EG 中点，即可证明. 【详解】（1）E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 12EF AC ∴=，12HG AC =，EF HG ∴=，又E ，F ，G ，H 四点不共线，故E ，F ，G ，H 四点共面； （2）E ，H 分别是AB ，AD 的中点， 12HE DB ∴=，//HE DB ∴，//HE BD ∴， HE ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，∴//BD 平面EFGH ；（3）由（1）知四边形EFGH 为平行四边形，M ∴为EG 中点， E ，G 分别是AB ，CD 的中点， 11111()()()()22224OM OE OG OA OB OC OD OA OB OC OD ⎡⎤∴=+=+++=+++⎢⎥⎣⎦. 例11.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面P AD ①平面ABCD ，ABCD 为正方形，①P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：（1）PB //平面EFG ；（2）平面EFG //平面PBC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，构建空间直角坐标系A -xyz ，并确定A ，B ，C ，D ，P ，E ，F ，G 的坐标，法一：求得(0,1,0),(1,2,1)EF EG ==-，即可确定平面EFG 的一个法向量n ，又0PB n ⋅=有n PB ⊥，则 PB //平面EFG 得证； 法二：由(2,0,2)PB =-，(0,1,0)FE =-，(1,1,1)FG =-，可知22PB FE FG =+，根据向量共面定理即有PB ，FE 与FG 共面，进而可证PB //平面EFG ；（2）由（1）有(0,1,0),(0,2,0)EF BC ==即2BC EF =，可得BC //EF ，根据线面平行的判定有EF //平面PBC ，GF //平面PBC ，结合面面平行的判定即可证平面EFG //平面PBC .【详解】（1）因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1,2,0). 法一：(0,1,0),(1,2,1)EF EG ==- 设平面EFG 的法向量为(,,)n x y z =，则00n EF n EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020y x y z =⎧⎨+-=⎩,令z ＝1，则(1,0,1)n =为平面EFG 的一个法向量， ∵(2,0,2)PB =-，∴0PB n ⋅=，所以n PB ⊥， ∵PB ⊄平面EFG ， ∴PB //平面EFG .法二：(2,0,2)PB =-，(0,1,0)FE =-，(1,1,1)FG =-. 设PB sFE tFG =+，即(2,0,－2)＝s (0,－1,0)＋t (1,1,－1)，所以202t t s t =⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩解得s ＝t ＝2.∴22PB FE FG =+，又FE 与FG 不共线，所以PB ，FE 与FG 共面.∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .（2）由（1）知：(0,1,0),(0,2,0)EF BC ==，∴2BC EF =，所以BC //EF .又EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF //平面PBC ，同理可证GF //PC ，从而得出GF //平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ⊂平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG //平面PBC .【规律方法】利用空间向量证明平行的方法1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题题型五：利用空间向量证明垂直例12.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，O ，1O 是圆柱底面的圆心，1AA ，1BB ，1CC均为圆柱的母线，AB 是底面直径，E 为1AA 的中点．已知4AB =，BC =(1)证明：1AC BC ⊥；(2)若1AC BE ⊥，求该圆柱的体积．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直（2）建立空间直角坐标系，根据垂直条件解出圆柱的高(1)连结AC ，可知AC BC ⊥1CC ⊥平面ABC 1CC BC ∴⊥1CC AC C =BC ∴⊥平面1ACC1BC AC ∴⊥(2)如图，以C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设圆柱的高为h可得1(2,0,0),(0,0,),(2,0,)2h A B C h E1(2,0,),(2,)2h AC h BE =-=-由题意得21402h AC BE ⋅=-+=，解得h =故圆柱的体积2V πr h ==例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）E 为CC 1的中点.【解析】【分析】以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.（1）计算10A E BD →→⋅=即可证明；（2）求出面A 1BD 与面EBD 的法向量，根据法向量垂直计算即可．【详解】以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．（1）1A E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，1A E BD →→⋅＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴1A E BD →→⊥，即A 1E ⊥BD ；（2）设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为1n →＝(x 1，y 1，z 1)，2n →＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB →＝(a ，a ，0)，1DA →＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )∴10n DB →→⋅=， 110n DA →→⋅=， 20n DB →→⋅=，10n DE →→⋅=. ∴11110,0,ax ay ax az +=⎧⎨+=⎩, 22220,0.ax ay ay ez +=⎧⎨+=⎩ 取x 1＝x 2＝1，得1n →＝(1，－1，－1)，2n →＝(1，－1，a e)．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得1n →⊥2n →. ∴2－a e＝0，即e ＝2a . ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .例14．（2020·全国·高三专题练习）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，AG =【解析】【分析】（1）以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：根据向量的坐标可得11113EF A A AC =-+，由此可证//EF 平面11AAC C ； （2）将问题转化为线段AC 上是否存在一点G ，使EG AC ⊥，则问题不难求解.【详解】（1）如图所示：以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则1(0,0,0)A ，1(0,2,0)B ，1(2,2,0)C ，设(0,0,)A a ，则4(0,,)3E a ，2(,2,0)3F ， 所以22(,,)33EF a =-，1(0,0,)A A a =，11(2,2,0)AC =， 因为11113EF A A AC =-+，所以EF ，1A A ，11AC 共面，又EF 不在平面11AAC C 内， 所以//EF 平面11AAC C（2）线段AC 上存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C ，且3AG =，证明如下：在三角形AGE 中，由余弦定理得EG ===， 所以222AG EG AE +=，即EG AG ⊥，又1A A ⊥平面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ，、所以1A A EG ⊥，而1AG A A A ⋂=，所以EG ⊥平面11AAC C ，因为EG ⊂平面EFG ，所以EFG ⊥面11AAC C ，【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示。
空间方向关系描述模型及其GIS应用分析
时 间 反转 技 术 在 无 线 通 信 抗 干 扰 中 的应 用 ＝Ａ ｐｉ ｔ ｎ ｏ ｉ ｐ ｌａ ｏ ｆｔ ｃｉ ｍｅ ｒｖｒ ｌｅｈｉｕ ｉ ｌ ｓ ｏ ｍｕｉａｏ ｔｊｍ 旰Ｕ 中］ 熊兴 ｅｅｓ ｃｎｑｅｎｗｒ ｅ ｍ ｎｃｔｎａ ｉａ ａｔ ｉ ｅ ｓｃ ｉ ｎ－ ， ／ 中 “ 胡剑 浩 １ ， （． 电子科 技 大学通 信抗 干扰 国家重 点实 验室 ，成都 ６ ｏ５ ； ． 理工学 院 ， １ｏ４ ２四川 自贡 ６３０ ）／电信科 学 ． ２０ ，４ ７． ４００ ／ 一 ｏ ８ ２ （）
４９ ５ ～ ３
时 间反转 技术 是 一种 空 间信 道 匹配 新技 术 ，具 有空 间及 时间聚 焦
特 性 ，在 克服 码 间干扰 、共道 干 扰和 多 址干 扰 等方 面 具有独 特 的
优 势 ．简 要介 绍 了时 间反 转 技术 的基 本概 念 及其 空 间和 时 间聚 焦 特 性 ，通 过与 一些 传 统抗 干扰 技 术 的对 比分 析 ，总 结 了时 间 反转 技 术在 无 线通 信抗 干扰 中的应 用及 研 究进 展 ， 同时 指 出 了今 后 的 研 究方 向． 图 １ ２ 参２ 关 键词 ：时 间反转 ；码 间干 扰 ；共道 备 的间 隙．针 对 无线 传 感器 网 络 的特 点 ，分析 了无 线 传感 器 网络 中间 件设 计面 临 的 问题 ，对 有关 设 计方 法进 行 了分 类 评述 ，
并对 几种 典 型 中间件 进行 了比较 ，最 后从 通信 范式 、Ｑ Ｓ 支持 和 ｏ 安全 等方 面提 出了一 些改进 思路 ． 图２ １ ２ 刘伟 庆） 表 参４ （ 关键 词 ： 无线传 感 器 网络 ；中 间件 ；编程 范 式 ；通信 范 式 ；设 计 方法 ０２ ０７ ８２ ０２ ５０・ ０ 计 算机应 用 ２ ６ 空 间方 向关 系描 述模 型及 其 ＧＩ 应用 分析 ＝Ｍｏｅ ｎ ｉｃｉ ａ Ｓ ｄｆ ｇｄｒ ｔ ｎ ｉ ｅ ｏｌ ｒｌ ｏｓ ｆｐｔ ｊｃ ｄｉ ｐｌ ａｏ ｓｎＧ Ｓ 刊 ， 中］ 邓敏 ， ｅ ｔ ｎ ｓａａｏ ｅｔａ ｓ ｐ ｃｔｎ Ｉ ［ ａ ｉ ｏ ｉ ｂ ｓ ｌ ｎ ｔａ ｉ ｉ ｉ ／
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空间方向关系模型分析颜芬1* 李精忠1（1 武汉大学资源与环境科学学院，武汉市珞瑜路129号，430079）摘要：空间方向关系是空间关系的重要内容，是地理信息系统的基础理论之一。
在地图制图、计算机辅助设计、图像和多媒体数据库以及地理信息系统等领域中有着广泛的应用。
本文着重于详细介绍目前主要的空间方向关系形式化描述模型的原理、优缺点、适用性，分析目前存在的问题以及为未来空间方向关系模型的研究探讨可行方向。
关键词：方向关系；空间关系；形式化描述模型；地理信息系统；空间分析1 介绍空间数据库是一门前沿的交叉学科，也是近年来的热点研究领域[1]。
空间数据库中，空间数据的空间关系的表示和处理在地图制图、计算机辅助设计、图像和多媒体数据库以及地理信息系统等领域中有着广泛的应用。
空间方向关系作为地理信息系统中最为重要的空间关系之一[2]，在空间数据建模、空间查询、空间分析、空间推理、制图综合和地图解译等研究工作中起着重要作用，空间方向关系模型是计算和表达目标间方向关系的重要工具，是空间方向关系理论研究的重点和难点[3]。
空间方向关系模型考虑的基本问题是如何有效地建立描述空间方向关系的形式化模型[4]。
描述空间方向关系的模型主要有锥形模型、基于投影的模型、基于V oronoi图的模型，统计模型和基于点群分割的模型等。
锥形模型主要包括四方向、八方向和三角化等；基于投影的模型主要有MBR(Minimum Boundary Rectangle)模型和方向关系矩阵模型等；基于V oronoi图的模型主要包括基于MBR V oronoi图模型和方向Voronoi图模型等。
描述空间方向关系的方法可分为定性描述和定量描述。
目前定性描述的空间方向关系模型主要有锥形模型、MBR模型和基于MBR V oronoi图模型等；定量描述的空间方向关系模型主要有方向关系矩阵模型、方向V oronoi图模型、统计模型和基于点群分割的模型等。
用于定性计算的模型是基于对图形的概括进行计算分析，因而存在一定的粗糙性，并且受目标之间距离、自身形状以及人的主观因素影响较大；用于定量计算的模型比用于定性计算的模型对空间目标的空间方向关系描述得更加准确，且受目标之间距离和自身形状等因素小，但往往计算要复杂得多。
本文着重于详细介绍目前主要的空间方向关系形式化描述模型的原理、优点、缺点、适用性，了解空间方向关系模型研究的历程，以及为今后空间方向关系模型的研究探讨可行方向。
第一作者及通讯作者：颜芬，硕士生。
Email:896211086@2 空间方向关系模型2.1 锥形模型锥形模型由Haar[5]提出，其主要思想是将空间目标及其周围的区域分成带有方向性的几个区域，通过各目标本身及方向区域之间的交的结果来描述空间方向关系，具有代表性的是四方向、八方向和三角化模型。
锥形模型的优点是原理简单，易于编程实现。
其缺点在于对空间目标间距离和自身形状的特定组合会给出不准确的描述[6]。
2.1.1 四方向四方向锥形模型是以某一空间目标为参考目标，以东西南北方向线为轴将空间目标及周围的区域等分成四个方向区域来定义方向关系，如图1所示，以参考点O为中心，将空间区域分为E、S、W、N四个方向区域，用其他空间目标与这些方向区域间的位置关系来描述空间目标间的方向关系。
如图1所示，四方向锥形模型的局限性在于对于狭长的面状物体A，以其质心为参考点O，源目标B相对于参考目标A的方向关系为：Dir(A，B)=N，而这与现实中人的认知是不相符的，人一般会认为B在A的东方。
图1 四方向锥形模型Fig. 1 Cone-based Model of four directions2.1.1 八方向八方向锥形模型是以某一空间目标为参考目标，以东西南北方向线以及四方向锥形模型边界线为轴将空间目标及周围的区域分成八个方向区域定义方向关系。
以参考点O为中心，将空间区域分为E、SE、S、SW、W、NW、N、NE八个方向区域，用其他空间目标与这些方向区域间的位置关系来描述空间目标间的方向关系。
与四方向锥形模型相比，八方向锥形模型能更精确描述空间目标间的方向关系。
但八方向锥形模型有与四方向锥形模型相同的局限性，对于狭长的面状物体A，以其质心为参考点O，源目标B相对于参考目标A的方向关系为：Dir(A，B)=NE，而这与现实中人的认知是不相符的，人一般会认为B在A的东方[7]。
图2 八方向锥形模型Fig. 2 Cone-based Model of eight directions2.1.3 三角化三角化模型是四方向锥形模型和八方向锥形模型的扩展。
基本思想是从空间目标的某点出发，沿所需要的方向作两条射线形成一个三角形方向区域，从而描述与计算目标间的方向关系。
三角化锥形模型一定程度上顾及了空间目标的形状和大小对空间方向关系的影响，克服了四方向锥形模型和八方向锥形模型的不足，提高了空间目标距离较近的情况下对空间方向关系的区分能力。
但对于某些特定形状的面状物体A，如图3所示，根据人的认知原理，源目标B处于参考目标A的东北方，这是三角化模型不能识别出来的。
图3 三角化锥形模型Fig. 3 Triangulated cone-based Model2.2 基于投影的模型基于投影的模型与锥形模型最大的不同之处在于对区域的划分，锥形模型选择参考点来划分区域，而基于投影的模型是指将空间目标投影到特定的坐标轴上，通过各目标投影间的关系去描述与定义方向关系，通过空间目标在水平轴和垂直轴上的投影，可以将空间分为E、S、W、N、O、NE、SE、SW、NW 9个方向区域。
现在运用范围比较广且具有代表性的是MBR模型和方向关系矩阵模型。
基于投影的模型较好地顾及了参考目标的形状和大小对方向关系的影响，在一定程度上克服了锥形模型存在的缺陷，但对空间目标的空间方向关系的推断仍然受目标间距离的影响。
2.2.1 MBR模型MBR模型由D.Papadias等提出[8]，主要思想是通过空间目标最小外接矩形之间的方向关系来判定空间目标间的方向关系。
该模型在水平方向和垂直方向上各能表达13种空间方向关系，因此能够区分169种空间方向关系。
该模型常用来作为空间目标拓扑关系判定的过滤器。
当用于方向关系描述的时候，通常用来表达9个主要方向：E、S、W、N、O、NE、SE、SW、NW。
MBR模型在一定程度上减小了空间目标的形状和大小对判断方向关系的影响，但当空间目标的最小外接矩形有重叠部分时，MBR模型不再适用。
如图4所示，参考目标A和源目标B的最小外接矩形部分重叠，难以判断A和B的方向关系。
图4 MBR模型Fig. 4 MBR Model2.2.2 方向关系矩阵模型方向关系矩阵模型可以判断具有重叠最小外接矩形区域的目标之间的空间方向关系。
该模型由Goyal等提出[9]，主要思想是以空间目标最小外接矩形为参考方向，将空间划分为9个方向区域，以源目标与各方向区域的交叠情况为元素构成一个方向关系矩阵来描述与定义空间目标间的方向关系。
在方向关系矩阵模型中，只建立参考目标的最小外接矩形，而源目标还是它的实际形状。
方向关系矩阵可以分为两种，一种是粗略的方向关系矩阵，仅仅记录源目标与参考目标的各方向区域是否相交，如图5所示，源目标B相对于参考目标A的方向关系为：Dir(A，B)={N，NE，E}，另一种是详细的方向关系矩阵，记录源目标落在每个方向区域的面积比率，如图所示，源目标B相对于参考目标A的方向关系为：B的25%在A的北方（N），50%在A的东北方（NE），25%在A的东方（N）。
方向关系矩阵的局限性在于描述空间目标的空间方向关系的模糊性过大，且计算较复杂。
图5 方向关系矩阵模型Fig. 5 Direction relation matrix model2.3 基于Voronoi 图的模型基于Voronoi 图的模型的基本思想通过空间目标的V oronoi 图与空间目标的关系来描述和定义空间目标间的方向关系。
与锥形模型、基于投影的模型和MBR 模型相比，基于Voronoi 图的模型在方向关系描述准确性方面占有优势，适合于对各种情况下空间目标间方向关系的精确描述。
但基于V oronoi 图的模型受可视域限制, 对遮挡部分的图形变化不敏感，角度不能随着可视域外部分的图形变化而发生变化，且基于V oronoi 图的模型的计算相对比较复杂。
2.3.1 基于MBR Voronoi 图模型李成名等[10]在空间目标MBR 的基础上建立Voronoi 区域，通过空间目标MBR 与V oronoi 区域边界线之间的关系来描述空间目标之间的方向关系。
如图6所示，一个空间实体A 的最小矩形有4条边分别表示为de= eastedge(A )、dw=westedge(A )、dn=northedge(A )和ds = southedge(A )。
若将4条边看作4个线(Line)生成元，生成的4个Voronoi 区分别为voronoi(de)、voronoi(dw)、voronoi(dn)和voronoi(ds)。
NE 、NW 、SW 和SE 分别为边de 、dn 、dw 和ds 的V oronoi 多边形的边界，空间实体A 的东部E(A )定义为de 、SE 和NE 围成的区域，空间实体A 西部W(A )定义为dw 、SW 、NW 围成的区域，空间实体A 的北部N(A )定义为dn 、NE 、NW 围成的区域，空间实体A 的南部S(A )定义为ds 、SE 、SW 围成的区域。
图5 方向关系矩阵模型Fig. 5 Direction relation matrix model空间实体A 和B 之间的方向关系可以利用空间实体的最小矩形边和V oronoi 多边形的边界线构成的5×5矩阵形式化描述表达，矩形的形式如式(1)，在式(1)中，NE A 表示空间实体A 的北-东线，NE B 表示空间实体B 的北-东线，B A 表示空间实体A 的最小矩形的边，其余类似。
基于此，基于MBR V oronoi 图模型可以表达目标间的八种主要方向：E 、S 、W 、N 、NE 、SE 、SW 、NW 。
B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA B A B A B A B A BA B A B A B A B A BA B A B A B A B A BA B B SW B SE B NW B NE B B SW SW SW SE SW NW SW NE SW B SE SW SE SE SE NW SE NE SE B NW SW NW SE NW NW NW NE NW B NE SW NE SE NE NW NE NE NE （1）该模型对目标间的方向关系的描述较为精确，局限性在于不能处理两目标缠绕交叠等复杂情况。