2020-2021高中必修一数学上期末试卷含答案(1)

2020-2021高中必修一数学上期末试卷含答案(1)一、选择题1．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>3．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b <<D ．a b c <<4．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．278-B ．18-C ．18D ．2785．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（）A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -6．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}7．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,28．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．﹣111．函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．12．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.14．已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________15．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 16．如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在函数22logy x=，12y x =，22xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.17．函数()()4log 521x f x x =-+-的定义域为________. 18．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是小时.19．若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.20．若函数()()22f x x x a x a =+--在区间[]3,0-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2. （1）求m ，n 的值；（2）令()()f x g x x=，若函数()()22x xF x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，求实数r 的取值范围.22．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．23．已知二次函数()f x 满足:()()22f x f x +=-，()f x 的最小值为1，且在y 轴上的截距为4.(1)求此二次函数()f x 的解析式；(2)若存在区间[](),0a b a >，使得函数()f x 的定义域和值域都是区间[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“不变区间”.试求函数()f x 的不变区间；(3)若对于任意的[]10,3x ∈，总存在[]210,100x ∈，使得()1222lg 1lg mf x x x <+-，求m 的取值范围.24．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。

（1）求c ，m 的值；（2）若地下车库中一氧化碳浓度不高于0.5L /L μ为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？25．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，为二次函数且顶点为(1,1)，(2)0f =.（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若不等式()102x a f x --≥对(],0x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围.（注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<，即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===，且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ．【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．2．A解析：A 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.10x 1.1 1.11=>=Q ， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>．故选A ．【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．D解析：D 【解析】【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-．令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22x xx-==．所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ．【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．B解析：B 【解析】【分析】利用题意得到，()()f x f x -=-和2421D kx k =+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到1322f f 骣骣琪琪=琪琪桫桫18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②；在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--；再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数；当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题5．D解析：D 【解析】【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +，其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=，所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.6．D解析：D 【解析】【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.7．C解析：C 【解析】函数()0.5log f x x =为减函数，且0x >, 令2t 2x x =-，有t 0>，解得02x <<.又2t 2x x =-为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以2t 2x x =-在(]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则函数()22f x x -的单调减区间为(]0,1.故选C.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.8．D解析：D 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．9．B解析：B 【解析】【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】因为()2ln f x x x=-在定义域内递增，且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->，由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =，故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.10．B解析：B 【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0，即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立所以a=1，所以n=1，所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．11．A解析：A 【解析】函数有意义，则：10,1x x +>∴>-，由函数的解析式可得：()()21002ln 0102f =⨯-+=，则选项BD 错误；且211111112ln 1ln ln 402222848f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--⨯-+=-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则选项C 错误；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．12．A解析：A 【解析】由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.二、填空题13．【解析】【分析】由已知可得＝a 恒成立且f （a ）＝求出a ＝1后将x ＝log25代入可得答案【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f ＝∴＝a 恒成立且f （a ）＝即f （x ）＝﹣+af （a ）解析：23 【解析】【分析】由已知可得()221xf x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，求出a ＝1后，将x ＝log 25代入可得答案．【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f[()221x f x ++]＝13， ∴()221xf x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，即f （x ）＝﹣x 221++a ，f （a ）＝﹣x221++a ＝13，解得：a ＝1，∴f （x ）＝﹣x221++1， ∴f （log 25）＝23，故答案为：23．【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x ，都有()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立是解答的关键，属于中档题．14．1【解析】【分析】根据二次函数的值域为结合二次函数的性质列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的值域为所以满足解得即实数的值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用其中解答中解析：1 【解析】【分析】根据二次函数的值域为[0,)+∞，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，所以满足2440m m ⎧∆=-=⎨>⎩，解得1m =.即实数m 的值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15．（﹣∞1）（+∞）【解析】【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数将f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）转化为再利用f （x ）在区间0+∞）上是减函数求解【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数且f解析：（﹣∞，1）U （53，+∞）【解析】【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223f m f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223fm f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数，所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|，所以3m 2﹣8m +5>0，所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0，解得m <1或m 53>，故答案为：（﹣∞，1）U （53，+∞）. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D 的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函解析：11,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】先利用已知求出,A B C x x y ，的值，再求点D 的坐标. 【详解】由图像可知，点(),2A A x在函数y x=的图像上，所以2Ax =，即2122A x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.因为点(),2B B x 在函数12y x =的图像上，所以122Bx =，4B x =.因为点()4,C C y在函数2x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以4124C y ⎛== ⎝⎭. 又因为12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为11,24⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次解析：[)0,5【解析】【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可.【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义，需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5，故答案为[)0,5. 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.18．24【解析】由题意得：所以时考点：函数及其应用解析：24 【解析】由题意得：2211221924811{,,1924248b k k k be e e e +=∴====，所以33x =时，331131()192248k b k b y e e e +==⋅=⨯=.考点：函数及其应用.19．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【解析：10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知可构造()2log xa a t x +=有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】()2()log x a f x a t =+Q 为增函数，且[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根，即2x x a a t =+有两解，整理得：20x x a a t -+=，令,0xm a m => ，20m m t ∴-+=有两个不同的正数根，∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩即可，解得104t <<，故答案为：10,4⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.20．【解析】【分析】将函数转化为分段函数对参数分类讨论【详解】转化为分段函数：为更好说明问题不妨设：其对称轴为；其对称轴为①当时因为的对称轴显然不在则只需的对称轴位于该区间即解得：满足题意②当时此时函数解析：()()9,00,3-⋃【解析】【分析】将函数转化为分段函数，对参数a 分类讨论. 【详解】()()22f x x x a x a =+--，转化为分段函数： ()222232,2,x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+≥=⎨+-<⎩. 为更好说明问题，不妨设：()2232h x x ax a =-+，其对称轴为3a x =； ()222g x x ax a =+-，其对称轴为x a =-.①当0a >时，因为()h x 的对称轴3ax =显然不在[]3,0-，则只需()g x 的对称轴位于该区间，即()3,0a -∈-，解得：()0,3a ∈，满足题意. ②当0a =时，()223,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，此时函数在区间[]3,0-是单调函数，不满足题意. ③当0a <时，因为()g x 的对称轴x a =-显然不在[]3,0- 只需()h x 的对称轴位于该区间即可，即()3,03a∈- 解得：()9,0a ∈-，满足题意. 综上所述：()()9,00,3a ∈-⋃. 故答案为：()()9,00,3-⋃. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，难点在于对参数a 进行分类讨论.三、解答题21．（1）1m =，2n =；（2）1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可；（2）求出()g x 得表示，由函数()()22xxF x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，可得21112()322x xr =+⋅-⋅，设12x t =，代入可得r 的取值范围. 【详解】解：（1）由函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2，可得130460m n m n -+=⎧⎨-+=⎩，可得1m =，2n =；（2）由题意得：()2()3f x g x x x x==+-，函数()()22x x F x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，即()022xxg r -⋅=在[]1,1x ∈-有解，即21112()322x x r =+⋅-⋅在[]1,1x ∈-有解，设12x t =，有[]1,1x ∈-，可得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2231r t t =⋅-⋅+，即2231r t t =⋅-⋅+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，可得：223112312(),(2)482r t t t t =⋅-⋅+=--≤≤，可得138r -≤≤，故r 的取值范围为1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性、最值问题，考查换元思想，属于中档题.22．（1）g (x )＝22x－2x ＋2，{x |0≤x ≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】【分析】【详解】（1）f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．（2）设．∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3． 23．（1）23()(2)14f x x =-+；（2）[1,4]；（3）[2,)+∞．【解析】【分析】（1）由()()22f x f x +=-，得对称轴是2x =，结合最小值可用顶点法设出函数式，再由截距求出解析式；（2）根据二次函数的单调性确定函数的最大值和最小值，然后求解．（3）求出()f x 在[0,3]的最大值4，对函数()2lg 1lg mg x x x=+- 换元lg t x =，得()21m g x y t t ==+-，[1,2]t ∈，由421mt t≤+-用分离参数法转化．【详解】（1）∵()()22f x f x +=-，∴对称轴是2x =，又函数最小值是1，可设2()(2)1f x a x =-+（0a >），∴(0)414f a =+=，34a =． ∴23()(2)14f x x =-+．（2）若2a b ≤≤，则min ()1f x a ==，7(1)24f =<，∴3b ≥且23()(2)14f b b b =-+=，解得4b =．∴1,4a b ==，不变区间是[1,4]；若02a b <<≤，则()f x 在[,]a b 上是减函数，∴223()(2)14433()(2)14f a a b a b f b b a⎧=-+=⎪⎪∴==⎨⎪=-+=⎪⎩或4，因为02a b <<≤，所以舍去；若2a b ≤<，则()f x 在[,]a b 上是增函数，∴223()(2)143()(2)14f a a a f b b b⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，∴,a b 是方程()f x x =的两根，由()f x x =得23(2)14x x -+=，124,43x x ==，不合题意．综上1,4a b ==；（3）23()(2)14f x x =-+，[0,3]x ∈时，max ()(0)4f x f ==，设2lg 1lg my x x=+-，令lg t x =，当[10,100]x ∈时，[1,2]t ∈． 21my t t=+-，由题意存在[1,2]t ∈，使421mt t≤+-成立，即225m t t ≥-+， [1,2]t ∈时，22525252()48t t t -+=--+的最小值是222522-⨯+⨯=，所以[2,)m ∈+∞．【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查二次函数的创新问题，考查不等式恒成立和能成立问题．二次函数的解析式有三种形式：2()(),f x a x m h =-+12()()(),f x a x x x x =--2()f x ax bx c =++，解题时要根据具体的条件设相应的解析式．二次函数的值域问题要讨论对称轴与区间的关系，以确定函数的单调性，得最值．难点是不等式问题，对于任意的1[0,3]x ∈，说明不等式恒成立，而存在[10,100]x ∈，说明不等式“能”成立．一定要注意是转化为求函数的最大值还是最小值．24．（1）11284c m ==，（2）32min 【解析】【分析】(1)将4,64t y ==和8,32t y ==分别代入12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,列方程组可解得1128,4c m ==,从而可得.(2) 由(1)知1411282⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭t y ,然后利用指数函数的单调性解不等式1411280.52t ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭…即可得到. 【详解】(1)由题意，可得方程组4816421322mmc c ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得12814c m =⎧⎪⎨=⎪⎩． (2)由(1)知1411282⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭t y ．由题意，可得 1411280.52t ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭„，即 1841122t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭„，即184t …，解得32≥t ．所以至少排气 32min ，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态。

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2020-2021高中必修一数学上期末试题带答案

2020-2021高中必修一数学上期末试题带答案一、选择题1．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<2．已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<4．若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N⎧+∈⎪=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A ．0B ．-1C ．13D ．15．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b <<D ．a b c <<7．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞D ．()1,+∞8．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（） A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -9．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（）A ．1B ．-1C ．-3D ．311．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．12．曲线241(22)y x x =--≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 二、填空题13．已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________14．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．15．设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．16．已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 17．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___． 18．已知35m n k ==，且112m n+=，则k =__________19．函数()()()310310x x x f x x -⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是______. 20．若函数()242xx f x aa =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.三、解答题21．已知函数31()31x xf x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；（2）判断()f x 的单调性，并加以证明；（3）求()f x 的值域.22．已知函数2()1()f x x mx m =-+∈R ．（1）若函数()f x 在[]1,1x ∈-上是单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若函数()f x 在[]1,2x ∈上有最大值为3，求实数m 的值． 23．已知函数()2()log 21xf x kx =+-为偶函数. （1）求实数k 的值；（2）若不等式1()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数1()2()24f x x x h x m +=+⋅，[1,2]x ∈，是否存在实数m ，使得()h x 的最小值为2，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由. 24．已知幂函数35()()m f x xm N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.25．设函数()()2log xxf x a b=-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值；（2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.26．已知函数()log (1)2a f x x =-+（0a >，且1a ≠），过点(3,3). （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式()()123122xx f f +-<-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.2．B解析：B 【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.3．B解析：B 【解析】【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<，即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===，且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ．【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．4．B解析：B 【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值. 【详解】因为0N *∉,所以0(0)3=1f =，((0))(1)f f f =，因为1N *∈，所以(1)=1f -，故((0))1f f =-，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数，属于中档题.5．D解析：D 【解析】【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ．故选D ．【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.6．D解析：D 【解析】【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-．令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22x x x -==．所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ．【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．C解析：C 【解析】【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U . 内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数，外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.8．D解析：D 【解析】【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +，其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=，所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.9．C解析：C 【解析】【分析】【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 10．C解析：C 【解析】【分析】由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．【详解】Q ()f x 为定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，又Q (1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-Q 函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，令6()m x x = ，则5()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f =∴(2019)(1)3f f =-=-，故答案选C ．【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．11．C解析：C 【解析】【分析】【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12．A解析：A 【解析】试题分析：1(22)y x =-≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法二、填空题13．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函解析：()11(1)31f x x x =-≠-- 【解析】【分析】用x -代换x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合换元法，即可求解. 【详解】由题意，用x -代换解析式中的x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…….（1）与已知方程1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，……（2）联立（1）（2）的方程组，可得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1,1x t t x +=≠，则11x t =-，所以()1131f t t =--，所以()11(1)31f x x x =-≠--. 故答案为：()11(1)31f x x x =-≠--. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用x -代换x ，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题.14．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题解析：()6lg(6)f x x x =---+【解析】【分析】首先根据题意得到(6)()f x f x +=-，再设(6,3)x ∈--，代入解析式即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，所以[3(3)][3(3)]f x f x ++=-+，即(6)()()f x f x f x +=-=-. 设(6,3)x ∈--，所以6(0,3)x +∈.(6)6lg(6)()f x x x f x +=+++=-，所以()6lg(6)f x x x =---+. 故答案为：()6lg(6)f x x x =---+ 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.15．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上解析：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由题意知函数在[]0,2上是减函数，在[]2,0-上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将(1)()f m f m -<转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m 的取值范围【详解】解：Q 函数是偶函数，(1)(|1|)f m f m ∴-=-，()(||)f m f m =，Q 定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，(1)()f m f m -<，0|||1|2m m ∴<-剟，得112m -<…．故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[]22-,来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．16．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题解析：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2a x =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故答案为：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．17．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性解析：-1【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以，则，所以．考点：函数的奇偶性． 18．【解析】因为所以所以故填15【解析】因为35m n k ==，所以3log m k =，5log n k =，11lg5lg3lg152lg lg lg m n k k k+=+==，所以1lg lg15152k ==15k =1519．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】解析：[)()0,11,2⋃【解析】【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围.【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃，故答案为：[)()0,11,2⋃.【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.20．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解解析：2或12 【解析】【分析】将函数化为()2()26x f x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的最大值,进而求a .【详解】()242x x f x a a =+-()226x a =+-,11x -≤≤Q , 01a ∴<<时,1x a a a -<<,()f x 最大值为()21(1)2610f a --=+-=,解得12a = 1a >时,1x a a a -≤≤,()f x 最大值为()2(1)2610f a =+-=,解得2a =, 故答案为:12或2. 【点睛】本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.三、解答题21．（1）证明见详解；（2）函数()f x 在R 上单调递，证明见详解；（3）(1,1)-【解析】【分析】（1）判断()f x 的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；（2）判断()f x 在R 上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；（2）由312()13131x x x f x -==-++，可得30x ＞，可得231x +及231x -+的取值范围，可得()f x 的值域.【详解】证明：（1）易得函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称，且3113()()3131x xx x f x f x -----===-++，故()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在R 上单调递增，理由如下：在R 中任取12x x ＜，则1233x x -＜0，131x +＞0，231x +＞0，可得1212121212123131222(33)()()(1)(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++＜0 故12()()0f x f x -＜，函数()f x 在R 上单调递增；（3）由312()13131x x x f x -==-++，易得30x ＞，311x +＞，故231x +0＜＜2，231x +-2＜-＜0，故2131x -+-1＜＜1，故()f x 的值域为(1,1)-. 【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.22．（1）(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞（2）1m =【解析】【分析】（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间()1,1-上即可；（2）由题意，分类讨论，当()13f =时和当()23f =时分别求m 值，再回代检验是否为最大值.【详解】解：（1）对于函数()f x ，开口向上，对称轴2m x =，当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递增时，12m ≤-，解得2m ≤-，当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减时，12m ≥，解得2m ≥，综上，(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞．（2）由题意，函数()f x 在1x =或2x =处取得最大值，当()13f =时，解得1m =-，此时3为最小值，不合题意，舍去；当()23f =时，解得1m =，此时3为最大值，符合题意．综上所述，1m =．【点睛】本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型.23．（1）12k =（2）0a ≤（3）存在，316m =- 【解析】【分析】（1）利用公式()()0f x f x --=，求实数k 的值；（2）由题意得()2log 21x a <+恒成立，求a 的取值范围；（3）()214x x h x m =++⋅，[1,2]x ∈，通过换元得21y mt t =++，[2,4]t ∈，讨论m 求函数的最小值，求实数m 的值.【详解】（1）f x （）是偶函数()()0f x f x ∴--=，()()22log 21log 210x x kx kx -∴++-++=，22112log (21)0210212x x kx x k x x R k k -+∴==∴-=∈∴-=∴=+Q . （2）由题意得()2log 21x a <+恒成立， ()2211log 2100x x a +>∴+>∴≤Q .（3）()214x x h x m =++⋅，[1,2]x ∈，令2x t =，则21y mt t =++，[2,4]t ∈，1°当0m =时，1y t =+的最小值为3，不合题意，舍去；2°当0m >时，21y mt t =++开口向上，对称轴为102t m=-<， 21y mt t ∴=++在[2,4]上单调递增min 432y m ∴=+=，104m ∴=-<，故舍去； 3°当0m <时，21y mt t =++开口向下，对称轴为102t m =->，当132m -≤即16m ≤-时，y 在4t =时取得最小值，min 3165216y m m ∴=+=∴=-，符合题意；当132m->即106m -<<时，y 在2t =时取得最小值， min 14324y m m ∴=+=∴=-，不合题意，故舍去；综上可知，316m =-. 【点睛】本题考查复合型指，对数函数的性质，求参数的取值范围，意在考查分类讨论的思想，转化与化归的思想，以及计算能力，本题的难点是第三问，讨论m ，首先讨论函数类型，和二次函数开口方向讨论，即分0m =，0m >，和0m <三种情况，再讨论对称轴和定义域的关系，求最小值. 24．（Ⅰ）2()f x x =（Ⅱ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0<g x 分离常数λ得到122x x λ<-，结合函数122x y x =-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】（Ⅰ）∵幂函数35()()m f x x m -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增， 350m ∴-+>，且35m -+为偶数.又N m ∈，解得1m =，2()f x x ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-.当[1,2]x ∈时，由()0<g x 得122x x λ<-. 易知函数122x y x =-在[1,2]上单调递减， min 1123222224x x λ⎛⎫∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭. ∴实数λ的取值范围是3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.25．（1）4,2a b ==（2）21log 2x +=（3）()[]0,240g x ∈ 【解析】【分析】（1）由()()211,2log 12f f ==解出即可（2）令()0f x =得421x x -=，即()22210xx --=，然后解出即可（3）()42x x g x =-，令2x t =，转化为二次函数【详解】（1）由已知得()()()()222221log 12log log 12f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，即22212a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得4,2a b ==；（2）由（1）知()()2log 42x x f x =-，令()0f x =得421x x -=，即()22210x x --=，解得122x =，又20,2x x >∴=，解得2log x = （3）由（1）知()42x x g x =-，令2x t =，则()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]1,16t ∈，因为()g t 在[]1,16t ∈上单调递增所以()[]0,240g x ∈，26．（1）2（2）{}2log 5x|2<x <【解析】【分析】（1）将点(3,3)代入函数计算得到答案.（2）根据函数的单调性和定义域得到1123122x x +<-<-，解得答案.【详解】（1）()()3log 3123,log 21,2a a f a =-+=∴=∴=∴ ()()2log 12f x x =-+. （2）()()2log 12f x x =-+Q 的定义域为{}|1x x >，并在其定义域内单调递增， ∴()()1123122,123122x x x x f f ++-<-∴<-<-，不等式的解集为{}22<log 5x x <.【点睛】本题考查了函数解析式，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.。

2020-2021高中必修一数学上期末一模试卷及答案(1)

2020-2021高中必修一数学上期末一模试卷及答案(1)一、选择题1．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞2．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c <>C ．b a c >>D ．c a b >>3．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．下列函数中，值域是()0,+∞的是（） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =- D ．()lg 1(0)y x x =+>6．函数ln x y x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．若函数y x a a -a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根9．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()3,5 B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭11．函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．12．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______．14．已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________. 15．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．16．求值： 233125128100log lg += ________ 17．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．18．已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．19．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()11xf x x+=-． ()1求函数()f x 在R 上的解析式；()2判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．22．已知函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2. （1）求m ，n 的值；（2）令()()f x g x x=，若函数()()22x xF x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，求实数r 的取值范围.23．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.24．泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好. 附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增. 25．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<.（1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围. 26．已知．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上是递增的，求实数的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <…，341x x =g ，从而得解【详解】解：因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，，可作函数图象如下所示：依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令1234110122x x x x <-<<<<<<<，则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，则341x x =，()41,2x ∈ 所以12344412x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因为1y x x =+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即44152,2x x⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 1234441120,2x x x x x x ⎛⎫∴+++=-++∈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题2．A解析：A 【解析】【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数，又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.3．D解析：D 【解析】【分析】由对数的运算化简可得2log 3a =3log 6b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log 3log 42a ====328222log 61log 6log 6log 6log 83b ====，又由3362<<，所以3222log 3log 6log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=，所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C解析：C 【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=，所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log 22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭．本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D解析：D 【解析】【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥Q ，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1；对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞；对于D ：0x >Q ，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ．【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．6．C解析：C 【解析】分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q （）（）， ∴排除B ，当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故排除A,D ，故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．7．C解析：C 【解析】【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]，所以a >1，y ＝x a a -在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)＝1a -＝1，f (1)＝0，所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8．B解析：B 【解析】【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围9．A解析：A 【解析】因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．10．D解析：D 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11．A解析：A 【解析】函数有意义，则：10,1x x +>∴>-，由函数的解析式可得：()()21002ln 0102f =⨯-+=，则选项BD 错误；且211111112ln 1ln ln 402222848f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--⨯-+=-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则选项C 错误；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．12．A【解析】【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若，则在上单调递减，又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C ，D.若，则在上是增函数，函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题13．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：解析：3{|}2x x ≤【解析】当20x +≥时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤，解得 322x -≤≤；当20x +<时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤，恒成立，解得：2x <-，合并解集为32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ ，故填：32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.14．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的解析：(,1]-∞【解析】【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()ag x x x=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,，当0a ≥时，可知()ag x x x=+的值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ，所以，此时有2≤，解得01a ≤≤，当0a <时，()ag x x x=+的值域为R ，满足题意，综上所述，实数a 的范围为(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.15．【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解：由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填：点睛：本解析：[0,1]【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题，可转化为求值域问题，首先求函数()(),f x g x 的值域，然后利用函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，列出不等式，求得结果. 详解：由条件可知函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，当11,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()[]1,2f x a a ∈-++，当[]21,2x ∈-时，()[]1,3g x ∈- ，所以1123a a -+≥-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故填：[]0,1.点睛：本题考查函数中多元变量任意存在的问题，一般来说都转化为子集问题，若是任意1x D ∈，存在2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min min f x g x >，若是任意1x D ∈，任意2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min max f x g x >，本题意在考查转化与化归的能力.16．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有：解析：32-【解析】由题意结合对数、指数的运算法则有：()2log 31532lg 3210022=-+-=-. 17．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题解析：3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+，当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21xg x a x x =+++，设21xy x =+，当0,0x y ==，当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤，当2x >-时，ln(2)x R +∈，若0,2,()a x g x >→-→-∞，若0,,()a x g x <→+∞→-∞所以0a =，min21(),()12x g x g x x ==-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-，实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.18．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可．【详解】Q 偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩，即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃，故答案为()(),20,2-∞-⋃【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．19．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1 【解析】由题意可得：21,1b a == ，结合集合元素的互异性，则：1b =- ，由21c b ==- 可得：c i = 或c i =- ，当c i = 时，bc i S =-∈ ，故d i =- ，当c i =- 时，bc i S =∈ ，故d i = ，综上可得：1b c d ++=- .20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么解析：02b <<【解析】【分析】【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）()1,010,01,01xx x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩（2）函数()f x 在()0,+∞上为增函数,详见解析【解析】【分析】()1根据题意，由奇函数的性质可得()00f =，设0x >，则0x -<，结合函数的奇偶性与奇偶性分析可得()f x 在()0,+∞上的解析式，综合可得答案； ()2根据题意，设120x x <<，由作差法分析可得答案．【详解】解：()1根据题意，()f x 为定义在R 上的函数()f x 是奇函数，则()00f =，设0x >，则0x -<，则()11xf x x--=+，又由()f x 为R 上的奇函数，则()()11xf x f x x-=-=-+，则()1,010,01,01xx x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩；()2函数()f x 在()0,+∞上为增函数；证明：根据题意，设120x x <<，则()()()()()1212211212211221111111111x x x x x x f x f x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-----=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，又由120x x <<，则()120x x -<，且()110x +>，()210x +>；则()()120f x f x ->，即函数()f x 在()0,+∞上为增函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及掌握函数奇偶性、单调性的定义． 22．（1）1m =，2n =；（2）1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可；（2）求出()g x 得表示，由函数()()22xxF x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，可得21112()322x xr =+⋅-⋅，设12x t =，代入可得r 的取值范围. 【详解】解：（1）由函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2，可得130460m n m n -+=⎧⎨-+=⎩，可得1m =，2n =；（2）由题意得：()2()3f x g x x x x==+-，函数()()22x x F x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，即()022xx g r -⋅=在[]1,1x ∈-有解，即21112()322x x r =+⋅-⋅在[]1,1x ∈-有解，设12x t =，有[]1,1x ∈-，可得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2231r t t =⋅-⋅+，即2231r t t =⋅-⋅+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，可得：223112312(),(2)482r t t t t =⋅-⋅+=--≤≤，可得138r -≤≤，故r 的取值范围为1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性、最值问题，考查换元思想，属于中档题.23．（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0. 【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-，所以()()2320x ax a f x x =-+-+<，所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得302a ≤≤，故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．24．(1)78;(2)221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩,N x ∈,9天.【解析】【分析】（1）由题意得第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),从而求得P ；（2）由题意得221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 求出分段函数取得最小值时，对应的x 值，即可得答案. 【详解】(1)第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),所以3(85)6040078200P ⨯-=+⨯=; (2)当6x ≤时,200109021090y x x x =++=+,当6x >时,23(5)2009060200(6)3167240200x y x x x x -=+++⋅⋅-=++, 所以221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈.设平均每天支付的费用为()f x 元, 当06x ≤≤时,2109090()210x f x x x+==+, ()f x 在[0,6]单调递减,所以min ()(6)225f x f ==;当6x >时,2316724080()3167x x f x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭, 可知()f x 在(0,45)单调递减,在(45,)+∞单调递增,又8459<<,(8)221f =,2(9)2203f =,所以min 2()(9)2203f x f == 综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少. 【点睛】本题考查构建函数模型解决实际问题、函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对勾函数图象的应用.25．（1）[]0,1；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U .【解析】【分析】（1）由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解不等式即得解；（2）对集合A 分两种情况讨论即得实数a的取值范围. 【详解】（1）若B A ⊆，则10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解得01a ≤≤.故实数a 的取值范围是[]0,1.（2）①当A =∅时，有121a a -≥+，解得2a ≤-，满足A B =∅I . ②当A ≠∅时，有121a a -<+，解得 2.a >- 又A B =∅Q I ，则有210a +≤或11a -≥，解得12a ≤-或2a ≥， 122a ∴-<≤-或2a ≥.综上可知，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U .【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 26．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由于函数定义域为全体实数，故恒成立，即有，解得；（2）由于在定义域上是减函数，故根据复合函数单调性有函数在上为减函数，结合函数的定义域有，解得.试题解析：（1）由函数的定义域为可得:不等式的解集为，∴解得，∴所求的取值范围是（2）由函数在区间上是递增的得：区间上是递减的，且在区间上恒成立；则，解得。

2020-2021高中必修一数学上期末试卷(含答案)(1)

2020-2021高中必修一数学上期末试卷(含答案)(1)一、选择题1．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>2．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]3．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（）A ．1B ．-1C ．-3D ．35．函数y =的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)6．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A ．(]2,7B ．()(]2,02,7-UC ．()()2,02,-+∞UD ．[)(]7,22,7--U8．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+9．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．10．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a << 11．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．B ．C ．D ．12．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题13．已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________14．已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______.15．已知关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内，则a 的取值范围是__________.16．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝． 17．对于函数()y f x =，若存在定义域D 内某个区间[a ，b ]，使得()y f x =在[a ，b ]上的值域也为[a ，b ]，则称函数()y f x =在定义域D 上封闭，如果函数4()1xf x x=-+在R 上封闭，则b a -=____．18．2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()fx -=________19．若集合{}{}2|560|20A x x x B x ax a Z =-+≤=-=∈，，，且B A ⊆，则实数a =_____.20．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______．三、解答题21．已知函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2. （1）求m ，n 的值；（2）令()()f x g x x=，若函数()()22x xF x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，求实数r 的取值范围.22．已知函数31()31x xf x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；（2）判断()f x 的单调性，并加以证明；（3）求()f x 的值域.23．已知函数()()sin ωφf x A x B =++(0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值2，当23x π=时，()f x 取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.24．已知幂函数35()()m f x xm N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.25．设函数()()2log xxf x a b=-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值；（2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.26．若()221x x af x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】由对数的运算化简可得2log a =log b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=，所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．D解析：D 【解析】【分析】由分段函数可得当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为当x≤0时，f(x)＝()2x a -，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x ＞0时，1()2f x x a a x=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需22(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤，所以a 的取值范围是02a ≤≤，故选D. 【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.3．B解析：B 【解析】【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点，易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->，即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．4．C解析：C 【解析】【分析】由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．【详解】Q ()f x 为定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，又Q (1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-Q 函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，令6()m x x = ，则5()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f =∴(2019)(1)3f f =-=-，故答案选C ．【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．5．A解析：A 【解析】【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]，故选A ．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.6．C解析：C 【解析】【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]，所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0，所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7．B解析：B 【解析】【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．【详解】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．8．B解析：B 【解析】【分析】【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-，此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.9．C解析：C 【解析】【分析】【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10．B解析：B 【解析】【分析】【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 34a =<=<，由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以c ∈，所以a c b <<，故选B.11．A解析：A 【解析】由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.12．D解析：D 【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ．故()f x 有最大值2，无最小值故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函解析：()11(1)31f x x x =-≠-- 【解析】【分析】用x -代换x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合换元法，即可求解. 【详解】由题意，用x -代换解析式中的x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…….（1）与已知方程1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，……（2）联立（1）（2）的方程组，可得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1,1x t t x +=≠，则11x t =-，所以()1131f t t =--，所以()11(1)31f x x x =-≠--. 故答案为：()11(1)31f x x x =-≠--. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用x -代换x ，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题.14．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析：341112,1e e e ⎡⎫+--⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】不妨设,0,,0a b c d ≤>，根据二次函数对称性求得+a b 的值.根据绝对值的定义求得,c d 的关系式，将d 转化为c 来表示，根据c 的取值范围，求得+++a b c d 的取值范围. 【详解】不妨设,0,,0a b c d ≤>，画出函数()f x 的图像如下图所示.二次函数221y x x =--+的对称轴为1x =-，所以2a b +=-.不妨设c d <，则由2ln 2ln c d +=+得2ln 2ln c d --=+，得44,e cd e d c--==，结合图像可知12ln 2c ≤+<，解得(43,c e e --⎤∈⎦，所以(()4432,e a b c d c c e e c ---⎤+++=-++∈⎦，由于42e y x x-=-++在(43,e e --⎤⎦上为减函数，故4341112,21e e e c c e -⎡⎫+--++∈⎢⎣-⎪⎭.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15．【解析】【分析】根据方程的解在区间内将问题转化为解在区间内即可求解【详解】由题：关于的方程的解在区间内所以可以转化为：所以故答案为：【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围关键在于利用对数解析：()23log 11,1-+【解析】【分析】根据方程的解在区间()3,8内，将问题转化为23log x a x+=解在区间()3,8内，即可求解. 【详解】由题：关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内，所以()224log 3log +-=x x a 可以转化为：23log x a x+=， ()3,8x ∈，33111,28x x x +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以()23log 11,1a ∈-+ 故答案为：()23log 11,1-+ 【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围，关键在于利用对数运算法则等价转化求解值域.16．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7 【解析】【分析】【详解】设，则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，所以，,故答案为7.17．6【解析】【分析】利用定义证明函数的奇偶性以及单调性结合题设条件列出方程组求解即可【详解】则函数在R 上为奇函数设即结合奇函数的性质得函数在R 上为减函数并且由题意可知：由于函数在R 上封闭故有解得：所以解析：6 【解析】【分析】利用定义证明函数()y f x =的奇偶性以及单调性，结合题设条件，列出方程组，求解即可. 【详解】44()()11x x f x f x x x--=-==-+-+，则函数()f x 在R 上为奇函数设120x x ≤<，4()1xf x x=-+ ()()()2112121212444()()01111x x x x f x f x x x x x --=-+=>++++，即12()()f x f x > 结合奇函数的性质得函数()f x 在R 上为减函数，并且(0)0f = 由题意可知：0,0a b <>由于函数()f x 在R 上封闭，故有4141()()a bab f a b f b aa b-=-⎧⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩-=+⎪⎪⎩ ，解得：3,3a b =-=所以6b a -= 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.18．（）【解析】【分析】设（）求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设（）所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对1（0x ≥）【解析】【分析】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =()1f x -.【详解】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=±因为x≥0，所以x =()11f x -=.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()11f x -=，0x （）≥.1，0x （）≥ 【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19．或【解析】【分析】先解二次不等式可得再由讨论参数两种情况再结合求解即可【详解】解：解不等式得即①当时满足②当时又则解得又则综上可得或故答案为：或【点睛】本题考查了二次不等式的解法空集的定义及集合的包解析：0或1 【解析】【分析】先解二次不等式可得{}|23A x x =≤≤，再由B A ⊆，讨论参数0a =，0a ≠两种情况，再结合a Z ∈求解即可. 【详解】解：解不等式2560x x -+≤，得23x ≤≤，即{}|23A x x =≤≤， ①当0a =时，B φ=，满足B A ⊆， ②当0a ≠时，2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，则223a ≤≤，解得213a ≤≤，又a Z ∈，则1a =，综上可得0a =或1a =，故答案为：0或1. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、空集的定义及集合的包含关系，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.20．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇解析：()1x x +【解析】【分析】由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =，设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+，又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+，综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+；故答案为()1x x + 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．三、解答题21．（1）1m =，2n =；（2）1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可；（2）求出()g x 得表示，由函数()()22xxF x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，可得21112()322x xr =+⋅-⋅，设12x t =，代入可得r 的取值范围. 【详解】解：（1）由函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2，可得130460m n m n -+=⎧⎨-+=⎩，可得1m =，2n =；（2）由题意得：()2()3f x g x x x x==+-，函数()()22x x F x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，即()022xxg r -⋅=在[]1,1x ∈-有解，即21112()322x x r =+⋅-⋅在[]1,1x ∈-有解，设12x t =，有[]1,1x ∈-，可得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2231r t t =⋅-⋅+，即2231r t t =⋅-⋅+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，可得：223112312(),(2)482r t t t t =⋅-⋅+=--≤≤，可得138r -≤≤，故r 的取值范围为1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性、最值问题，考查换元思想，属于中档题.22．（1）证明见详解；（2）函数()f x 在R 上单调递，证明见详解；（3）(1,1)- 【解析】【分析】（1）判断()f x 的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；（2）判断()f x 在R 上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；（2）由312()13131x x xf x -==-++，可得30x ＞，可得231x +及231x -+的取值范围，可得()f x 的值域.【详解】证明：（1）易得函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称，且3113()()3131x xx x f x f x -----===-++，故()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在R 上单调递增，理由如下：在R 中任取12x x ＜，则1233x x -＜0，131x +＞0，231x +＞0，可得1212121212123131222(33)()()(1)(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++＜0 故12()()0f x f x -＜，函数()f x 在R 上单调递增；（3）由312()13131x x x f x -==-++，易得30x ＞，311x +＞，故231x +0＜＜2，231x +-2＜-＜0，故2131x -+-1＜＜1，故()f x 的值域为(1,1)-.【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.23．(1)()262f x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌；(2)2a ∈⎣ 【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得,A B ，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得ω，再由函数值（最大或最小值均可）求得ϕ，得解析式；（2）由图象变换得()g x 的解析式，确定()g x 在[0,]2π上的单调性，而()g x a =有两个解，即()g x 的图象与直线y a =有两个不同交点，由此可得．【详解】(1)由题意知,2A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得A =，2B =. 又22362T πππ=-=，可得2ω=.由63f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6π=ϕ. 所以()262f x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z .又[]0,x π∈，所以()f x 的单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌.(2)函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，得到函数()g x 的表达式为()23x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()g x 在[0,]12π是递增，在[,]122ππ上递减，要使得()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同的实数解，即()y g x =的图像与y a =有两个不同的交点，所以a ∈⎣. 【点睛】本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础． 24．（Ⅰ）2()f x x =（Ⅱ）3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0<g x 分离常数λ得到122xx λ<-，结合函数122xy x =-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】（Ⅰ）∵幂函数35()()m f x xm -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，350m ∴-+>，且35m -+为偶数. 又N m ∈，解得1m =，2()f x x ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-. 当[1,2]x ∈时，由()0<g x 得122xx λ<-.易知函数122xy x =-在[1,2]上单调递减， min 1123222224x x λ⎛⎫∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭.∴实数λ的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.25．（1）4,2a b ==（2）2log x =（3）()[]0,240g x ∈ 【解析】【分析】（1）由()()211,2log 12f f ==解出即可（2）令()0f x =得421x x -=，即()22210xx --=，然后解出即可（3）()42xxg x =-，令2x t =，转化为二次函数【详解】（1）由已知得()()()()222221log 12log log 12f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，即22212a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得4,2a b ==；（2）由（1）知()()2log 42xxf x =-，令()0f x =得421xx -=，即()22210xx --=，解得2x =，又120,22x x >∴=，解得21log 2x =；（3）由（1）知()42xxg x =-，令2x t =，则()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]1,16t ∈，因为()g t 在[]1,16t ∈上单调递增所以()[]0,240g x ∈， 26．（1）1a = （2）112m -≤≤ 【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得结果.（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数()f x ，可知()f x 的值域，结合不等式计算，可得结果. 【详解】（1）()2121a f +=-，()121112af +-=-因为()221x x af x +=-是奇函数.所以()()11f f =--，得1a =；经检验1a =满足题意（2）根据（1）可知()2121x x f x +=-化简可得()2121x f x =+- 所以可知()2121x f x =+- 当()0,x ∈+∞时，所以()1f x > 对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥- 所以212m m ≥-，即112m -≤≤ 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.。

2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案

2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案一、选择题1．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称2．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（） A ．12B ．2C ．22D ．23．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．69．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1410．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 11．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+12．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（） A ．10B ．9C ．8D ．5二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.16．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝．18．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________19．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．20．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.22．计算221(1).log 24lglog lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－　23．设函数()()2log xxf x a b =-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值；（2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式；（2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？25．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？26．若()221x x a f x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 2．A解析：A 【解析】【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ，故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性．点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.3．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．4．B解析：B 【解析】由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．B解析：B 【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m∴∈-∞时，8 ()9f x≥-成立，即73m≤，7,3m⎛⎤∴∈-∞⎥⎝⎦，故选B．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log1f x x=+右移一个单位，得()21logy f x x=-=，所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.当x∈[0,1]时，()21xh x=-，y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：22log41log61kk<⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log22k<<.即k的取值范围是612,2log⎛⎫⎪⎝⎭．本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点，易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->，即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．8．C解析：C 【解析】【分析】由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =，则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解，故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.9．C解析：C 【解析】【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =，则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-，所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=，故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围．详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1；即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]．故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.11．B解析：B 【解析】【分析】【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-，此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.12．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。

2020-2021学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7} 2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．2803．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.511．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜112．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{2，5，7}，A∩∁U B＝{2，7}．故选：A．2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．280解：计算抽样比例为，所以不到35岁的应抽取125×＝25（人），所以50岁及以上的应抽取100﹣25﹣56＝19（人）．故选：A．3．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由2x＜1，解得x＜0，由x＜0，可得x＜1，反之不成立．∴“x＜1”是“2x＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．解：设上等稻禾x斗/束，中等稻禾y斗/束，下等稻禾z斗/束，由已知得：，解得：，故一束上等稻禾是斗．故选：D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．解：在△ABC中，，；如图；∴＝﹣＝﹣，又，∴＝＝（﹣）；∴＝+＝+（﹣）＝+；故选：C．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝50.6＜b＝（）﹣0.7＝50.7，而c＝log0.60.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，∴＝1，则a+2b＝（a+2b）（）＝＝．当且仅当且＝1，即a＝b＝时取等号．∴a+2b的最小值为．故选：B．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1解：根据题意，函数f（x）＝+x，则f（﹣x）＝+（﹣x）＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝（+x）+（﹣x）＝2，即有f（m）+f（﹣m）＝2，若f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝3，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞解：对于A：令a＝0，b＝﹣1，显然错误；对于B：若a＞b，则＞，故B正确；对于C：若a＞b，c＜d，则a＞b，﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；对于D：若b＞a＞0，m＞0，则bm＞am，则ab+bm＞ab+am，则b（a+m）＞a（b+m），则＞，故D正确；故选：AC．10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.5解：由成绩统计图知，考生成绩在[70，80）内的小矩形图最高，所以频率最大，对应人数最多，A正确；考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015×10＝0.15，所以B错误；60分以下的人数为（0.010+0.015）×10×5000＝1250（人），所以C错误；计算考生成绩的平均分为45×0.10+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95×0.10＝70.5，所以D正确．故选：AD．11．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜1解：函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，即有两个根，问题即转化为y＝b与g（x）＝的有两个不同交点．做出函数g（x）的图象如右：其函数解析式为：，由题意两交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），①若有两个交点，则0＜b＜1，D对；②当x＜0时，令g（x）＝1，得x＝﹣1，故﹣1＜x1＜0，A对；③易知，整理得：，C对；④由③得，所以x2＞0，B错．故选：ACD．12．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．解：易知，当k＝1时，方程只有一个根1，满足题意；当k≠1时，原方程可化为，即①方程只有一个非零实数根即可．对于方程①，显然x≠0，即x2﹣x+k﹣1＝0只有一个非零实根，所以，解得．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是2．解：原式＝3lg2+2lg5﹣lg2＝2lg2+2lg5＝2（lg2+lg5）＝2．故答案为：2．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．解：∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1﹣P（C）＝，∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝+＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是{x|x≤1}．解：∵函数f（x）＝，∴当x﹣1≥0即x≥1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1+（x﹣1）≤2⇒x≤1，故x＝1；当x﹣1＜0即x＜1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1﹣（x﹣1）≤2⇒2≤2，故x＜1；∴不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是：{x|x≤1}．故答案为：{x|x≤1}．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．解：（1）设D（x，y），则，且，，∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），∴，解得，∴D（3，6），，∴；（2），∴，，且与平行，∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．解：（1）甲班样本的平均值为：＝（9+11+13+20+24+31）＝18．乙班样本的平均成绩为：＝（11+12+18+20+22+25）＝18．（2）甲班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，乙班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，基本事件总数n＝＝6，抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数m＝＝2，∴抽到的数据来自于同一个班级的概率p＝＝＝．（3）甲班的6个样本数据中，为“过度熬夜”的数据有2个，从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，基本事件总数n＝6×6＝36，恰有1个数据为“过度熬夜”包含的基本事件总数m＝＝16，∴恰有1个数据为“过度熬夜”的概率P＝＝＝．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．解：（1）因为f（x）＝x2+2ax+1的对称轴x＝﹣a，开口向上，当﹣a≤1即a≥﹣1时，g（a）＝f（1）＝2+2a，当﹣a≥3即a≤﹣3时，g（a）＝f（3）＝10+6a，当1＜﹣a＜3即﹣3＜a＜﹣1时，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，故g（a）＝．（2）证明：h（x）＝＝x++2a，设0＜x1＜x2＜1，则h（x1）﹣h（x2）＝＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（）＞0，∴h（x1）＞h（x2），∴h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．解：（1）由题意，Q（10）•P（10）＝50（10+）＝505，即k＝1；（2）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故Q（x）＝a|x﹣m|+b，则，解得a＝1，m＝10，b＝50．故函数解析式为Q（x）＝|x﹣10|+50；（3）由（2）可知，Q（x）＝|x﹣10|+50＝，则f（x）＝P（x）•Q（x）＝．当1≤x≤10时，f（x）＝600﹣1+，该函数为单调减函数，f（x）min＝f（10）＝505；当10＜x≤30时，f（x）＝400+1+10x+，在（10，30]上为增函数，则f（x）＞505．综上，该工艺品的日销售收入f（x）的最小值为505元．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．解：（1）由f（x）是偶函数得：f（x）﹣f（﹣x）＝ln（e x+1）+kx﹣ln（e﹣x+1）﹣（﹣kx）＝＝＝（2k+1）x＝0恒成立，故2k+1＝0，即k＝﹣．（2）由（1）知f（x）＝ln（e x+1）x．由f（x）＝x+b得b＝ln（e x+1）﹣x，x∈[﹣1，0]．令g（x）＝ln（e x+1）﹣x＝，x∈[﹣1，0]．当x∈[﹣1，0]时，∈[2，1+e]，故ln（1）∈[ln2，ln（1+e）]．故b∈[ln2，ln（1+e）]时，方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根．即b的取值范围是[ln2，ln（1+e）]．。

2020-2021高中必修一数学上期末试题(带答案)

17．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性
解析：-1
【解析】
试题解析：因为是奇函数且，所以，
则，所以．
考点：函数的奇偶性．
18．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
函数f（x）=（）cosx，当x= 时，是函数的一个零点，属于排除A，B，当x∈（0，1）时，cosx＞0，
＜0，函数f（x）=（）cosx＜0，函数的图象在x轴下方．
排除D．
故答案为C。
2．C
解析：C
【解析】
由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
求得；
当时，函数有最大值，没有最小值，有最小值，没有最大值.
故的最大值为，且，
求得 .
综上，的取值范围为或 .
故答案为：或 .
【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.
19．0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题
解析：
【解析】
【分析】
先利用已知求出的值，再求点D的坐标.
【详解】
由图像可知，点在函数的图像上，所以，即 .
因为点在函数的图像上，所以， .

福建省福州市福清市高中联合体2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(含解析)

福清市高中联合体2020—12021学年第一学期高一年期末考试数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}31B x x =-<，则A B =（）A. {}3B. {}1,0,1-C.1,0,1,2D. {}1,0,1,2,3-2. 命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（） A. 0x ∀≥，sin x x > B. 00x ∃<，00sin x x > C. 00x ∃≥，00sin x x >D. 00x ∃≥，00sin x x ≤3. 函数()f x x =是（） A. 奇函数，且在R 上单调递减 B. 奇函数，且在R 上单调递增 C. 偶函数，且在R 上单调递减D. 偶函数，且在R 上单调递增4. 若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，则sin 2α=（）A. B. 12-C.12D.25. 函数()38ln f x x x =-+的零点所在区间应是（）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,56. 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（） A. 向左平移12π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移24π个单位长度D. 向右平移24π个单位长度7. 已知51log 4a =，1514b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a b c >>B. b c a >>C. b a c >>D. c b a >>8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y （单位：C ）与月份x （单位：月）的关系可近似地用函数()sin 36y A x a π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（1,2,3,,12x =）来表示，已知6月份的月均温为29C ，12月份的月均温为17C ，则10月份的月均温为（） A. 20CB. 20.5CC. 21CD. 21.5C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列函数中，最小值是2的有（）A. 1y xx=+B. y =C. 223y x x =++D. e e x x y -=+10. 命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题的一个必要不充分条件可以是（） A. 22a -≤≤B. 2a ≥-C. 2a ≤D. 22a -<<11. 关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论，其中正确的是：（） A. ()f x 的图象关于原点对称 B. ()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在[],ππ-有2个零点D. ()f x 的最大值为212. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（） A. ()f x 是偶函数B. ()f x 在()2018,2020上单调递增C. 4是函数()f x 的周期D. ()f x 在()2018,2020上单调递减第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩则()()0f f =________．14. 已知22tan 31tan αα=--，且α为锐角，则α=________．15. 如图，Rt ABC 的三个顶点A ，B ，C 恰好分别落在函数()21xy x =>，y x =，12log y x =的图象上，且B ，C 两点关于x 轴对称，则点A 的横坐标为________．16. 已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 求下列各式的值：（1）(0312932224-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭；（2）55251log 3log log 25log 215++⨯. 18. 已知全集U =R ，集合{}20A x x a =+>，()(){}140B x x x =+-≤. （1）当2a =时，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．19. 在①1k =-，②1k =这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知函数()kf x kx x=-，且_______，（1）求()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 的单调性，并用定义给予证明．20. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2sin cos 222αα-= （1）求cos α的值；（2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S 最小，并求出该最小值？ 22. 已知函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[]0,6上的图象；（2）求()f x 图象的对称轴与单调递增区间；（3）当[]0,x m ∈时，()12f x ≤≤，求实数m 取值范围．福清市高中联合体2020—12021学年第一学期高一年期末考试数学试卷（解析版）（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}31B x x =-<，则A B =（）A. {}3B. {}1,0,1-C.1,0,1,2D. {}1,0,1,2,3-【答案】A 【解析】【分析】先求得集合B ，再根据交集定义直接得结果.【详解】因为{}()312B x x =-<=+∞，，又{}1,0,1,2,3A =-，所以{}3A B ⋂=，故选：A.2. 命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（） A. 0x ∀≥，sin x x > B. 00x ∃<，00sin x x > C. 00x ∃≥，00sin x x > D. 00x ∃≥，00sin x x ≤【答案】C 【解析】【分析】由全称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】命题“0x ∀≥，sin x x ≤” 的否定是00x ∃≥，00sin x x >.故选：C3. 函数()f x x =是（） A. 奇函数，且在R 上单调递减 B. 奇函数，且在R 上单调递增 C. 偶函数，且在R 上单调递减 D. 偶函数，且在R 上单调递增【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，根据函数的解析式判断单调性. 【详解】函数的定义域为R ，关于原点对称，又()(()f x x x f x -=-+=-+=-，所以()f x是奇函数，又,y x y ==R 上的增函数，所以()f x 是R 上的增函数，故选：B4. 若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，则sin 2α=（）A. B. 12-C.12D.【答案】D 【解析】【分析】根据任意角的三角函数的定义，求出sin α和cos α，再由二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详解】因为角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，所以sin 2α==-，1cos 2α==-，因此1sin 22sin cos 22ααα⎛⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：D.5. 函数()38ln f x x x =-+的零点所在区间应是（）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5【答案】B 【解析】【分析】利用函数的零点存在定理求解.【详解】由函数()38ln f x x x =-+，因为()()2ln 220,3ln310f f =-<=+>，所以函数的零点所在区间应是()2,3 故选：B6. 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（） A. 向左平移12π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移24π个单位长度 D. 向右平移24π个单位长度【答案】D 【解析】【分析】根据sin 2sin 23244y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用平移变换求解. 【详解】因为sin 2sin 23244y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需由sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点横坐标向右平移24π个单位长度，故选：D 7. 已知51log 4a =，1514b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a b c >>B. b c a >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.【详解】因为55510log log 4log 514a >==->-=-，15110144b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4441log log 5log 415c ==-<-=-，所以b a c >> 故选：C8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y （单位：C ）与月份x （单位：月）的关系可近似地用函数()sin 36y A x a π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（1,2,3,,12x =）来表示，已知6月份的月均温为29C ，12月份的月均温为17C ，则10月份的月均温为（） A. 20C B. 20.5CC. 21CD. 21.5C【答案】A 【解析】【分析】由题意得出关于A 、a 的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令10x =可得结果.【详解】由题意可得sin 2923sin 172A a A a A a a A ππ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪+=-=⎪⎩，解得623A a =⎧⎨=⎩，所以，函数解析式为()6sin 3236y x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，在函数解析式中，令10x =，可得716sin236232062y π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭. 因此，10月份的月均温为20C . 故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列函数中，最小值是2的有（）A. 1y xx=+B. y =C. 223y x x =++D. e e x x y -=+【答案】BCD 【解析】【分析】根据基本不等式逐一判断即可.【详解】对于A ，1y x x =+，当0x >时，12y x x =+≥=，当且仅当1x =时取等号；当0x <时，12y x x ⎛⎫=--+≤-=- ⎪-⎝⎭，当且仅当1x =-时取等号，故A 不正确；对于B ，2y=≥=，当且仅当1x =时取等号. 对于C ，()2223122y x x x =++=++≥，当1x =-时，取最小值；对于D ，e e 2x x y -=+≥=，当且仅当0x =时取等号；故选：BCD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10. 命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题的一个必要不充分条件可以是（） A. 22a -≤≤ B. 2a ≥- C. 2a ≤ D. 22a -<<【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，命题为真可得()240a ∆=--≤，求出a 的取值范围，再根据必要不充分条件即可求解. 【详解】由命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题，可得()240a ∆=--≤，解得22a -≤≤，对于A ，22a -≤≤是命题为真的充要条件；对于B ，由2a ≥-不能推出22a -≤≤，反之成立，所以2a ≥-是命题为真的一个必要不充分条件；对于C ，2a ≤不能推出22a -≤≤，反之成立，所以2a ≤也是命题为真的一个必要不充分条件；对于D ，22a -<<能推出22a -≤≤，反之不成立， 22a -<<是命题为真的一个充分不必要条件.故选：BC11. 关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论，其中正确的是：（） A. ()f x 的图象关于原点对称 B. ()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C. ()f x在[],ππ-有2个零点 D. ()f x 的最大值为2【答案】BC 【解析】【分析】分sin 0x ≥，sin 0x <，将函数转化(),224sin cos ,2224x k x k f x x x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=+=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭，再逐项求解判断.【详解】当sin 0x ≥，即22k x k πππ≤≤+时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当sin 0x <，即222ππππ+<<+k x k 时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，所以(),224sin cos ,2224x k x k f x x x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=+=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭，A.因为函数定义域为R ，关于原点对称，又()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，故错误；B.当,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， 53,,42422x πππππ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为sin y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故正确； C. 令()04f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则4x k ππ+=，因为[]0,x π∈，解得34x π=，又因为()f x 是偶函数，所以函数()f x 在[],ππ-有2个零点，故正确； D. ()f x，故错误；故选：BC【点睛】关键点点睛：将函数变形为(),224,2224x k x k f x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭是本题求解的关键.12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 在()2018,2020上单调递增 C. 4是函数()f x 的周期 D. ()f x 在()2018,2020上单调递减【答案】ACD 【解析】【分析】A. 由()1y f x =-的图象与()y f x =的图象关系判断；C.由()f x 满足()()4f x f x +=判断；BD.由对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，得到()f x 在[]0,2上递增，再结合函数的周期性判断.【详解】因为()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以()y f x =的图象关于直线0x =对称，所以()f x 是偶函数，故A 正确；()f x 满足()()4f x f x +=，所以4是函数()f x 的周期，故C 正确；因为对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在[]0,2上递增，又()()()()20182,20200f f f f == ，所以()f x 在()2018,2020上单调递减，故D 正确B 错误；故选：ACD第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩则()()0f f =________．【答案】2 【解析】【分析】根据分段函数每段的定义域求解.【详解】因为函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩所以()01f =，所以()()()012ff f ==，故答案为：214. 已知22tan 1tan αα=-α为锐角，则α=________．【答案】3π 【解析】【分析】根据二倍角的正切公式，求出tan2α，再由α为锐角，即可求出α.【详解】因为22tan tan 21tan ααα==-α为锐角，所以02απ<<，因此223πα=，所以3πα=.故答案为：3π.15. 如图，Rt ABC 的三个顶点A ，B ，C 恰好分别落在函数()21xy x =>，y x =，12log y x =的图象上，且B ，C 两点关于x 轴对称，则点A 的横坐标为________．【答案】2 【解析】【分析】设出点(),2tA t ，根据题意可知//AB x 轴，从而可得出点B ，进而可得点C ，代入对数函数的解析式即可求解.【详解】设出点(),2tA t ，ABC 是直角三角形，且B ，C 两点关于x 轴对称，∴//AB x 轴，A 和B 纵坐标相同，2t x ∴=4t x ∴=，()4,2t t B ∴，则()4,2t t C -，C 在12log y x =的图象上，则12log 42t t=-，整理可得22t t -=-，()1t >，解得2t =. 故答案为：216. 已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是________．【答案】113-<<x【解析】【分析】根据cos y x =和y x =-的单调性，又 cos 1π=-，得到()f x 在 [0,)+∞上递减，再根据()f x 是偶函数，将不等式()()12f x f x +<转化为()()12fx f x +<求解.【详解】当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩当01x ≤<时， 0x ππ≤<，因为 cos y x =在 []0,π上递减，所以 ()f x 在 [0,1)上递减，当1≥x 时，y x =-递减，又 cos 1π=-，所以()f x 在 [0,)+∞上递减，又因为()f x 是定义在R 上的偶函数，则不等式()()12f x f x +<可化为：()()12f x f x +<，所以12x x +>，解得113-<<x ，故答案为：113-<<x四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 求下列各式的值：（1）(03129324-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭；（2）55251log 3log log 25log 215++⨯. 【答案】（1）3；（2）1. 【解析】【分析】（1）根据指数的运算性质即可求解. （2）利用对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）原式=33=+=（2）原式51lg 25lg 2log (3)15lg 2lg5=⨯+⨯ 152lg5lg 2log 5lg 2lg5-=+⨯ 12=-+ 1=.18. 已知全集U =R ，集合{}20A x x a =+>，()(){}140B x x x =+-≤. （1）当2a =时，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|4x x ；（2）()2,+∞. 【解析】【分析】（1）由2a =得到{}|1A x x =>-，再利用集合的补集和并集运算求解. （2）化简|2a A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，{}|14B x x=-，再由B A ⊆求解.【详解】（1）当2a =时，集合{}|1A x x =>-，{}|1UxA x -=,因为()(){}|140B x x x =+-，所以{}|14B x x=-，所以{}()|4U A B x x=.（2）因为{}|20A x x a =+>，所以|2a A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，由（1）知，{}|14B x x=-，又因为B A ⊆，所以12a-<-，解得2a >，所以实数a 的取值范围()2,+∞.19. 在①1k =-，②1k =这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知函数()kf x kx x=-，且_______，（1）求()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 的单调性，并用定义给予证明．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】【分析】选择①1k =-，可得1()f x x x =-，选择②1k =，可得1()f x x x=-. （1）使函数()f x 有意义，只需0x ≠；再求出()f x -与()f x 的关系即可求解. （2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明. 【详解】选择①1k =-，因为()kf x kx x =-，所以1()f x x x=-. （1）要使函数()f x 有意义，只需0x ≠，所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.因为11()()()f x x x f x x x-=--=--=--，所以()f x 为奇函数．⑵ 函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为增函数．证明如下： 12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则12121211()()()f x f x x x x x -=--- 121212()x x x x x x -=-+12121()1)x x x x =-+（ ()121212()1x x x x x x -+=，因为120x x <<，所以120x x -<，120x x >，1210x x +>，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，故函数()f x 在区间(0,)+∞为增函数；同理可证，函数()f x 在区间(,0)-∞为增函数；所以函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为增函数．选择②1k =，因为()kf x kx x =-，所以1()f x x x=-．（1）要使函数()f x 有意义，只需0x ≠，所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.因为11()()()()f x x x f x x x-=--=--=--，所以()f x 奇函数．⑵ 函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为减函数．证明如下：12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则12121211()()()f x f x x x x x -=--- 212112()x x x x x x -=+- 21121()1x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()211212()1x x x x x x -+=，因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >，1210x x +>，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，故函数()f x 在区间(0,)+∞为减函数；同理可证，函数()f x 在区间(,0)-∞为减函数；所以函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为减函数．20. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα-=. （1）求cos α的值；（2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值．【答案】（1）；（2. 【解析】【分析】（1）将已知条件两边平方，求得sin α的值，进而求得cos α的值.（2）先求得()cos αβ-的值，然后利用cos cos[()]βααβ=--，结合两角差的余弦公式，求得cos β的值.【详解】（1）将sincos222αα-=两边同时平方，得11sin 2α-=，则1sin 2α=，又2παπ∈（，），所以cos 2α==-.（2）由（1）知，1sin ,cos 2αα==，因为2παπ∈（，），2βπ∈π（，），所以22ππαβ-<-<.又因为4sin()5αβ-=，所以3cos()5αβ-，所以cos cos[)]βααβ=--（ cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-314525=+⨯，【点睛】关键点点睛：对于三角函数给值求值的问题，关键在于运用已知角的和，差，二倍的运算表示待求的角，再选择相关公式得以求值．21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S 最小，并求出该最小值？【答案】长为14米，宽为14米；196平方米. 【解析】【分析】先设泳池的长为x 米，宽为y 米，列出式子，再利用基本不等式即可求解.【详解】解：设游泳池的长为x 米，宽为y 米，则场地长为(4)x +米，宽为(4)y +米，()1000,0xy x y =>>，(4)(4)S x y =++ 4()16xy x y =+++ 100164()x y =+++ 1164()x y =++1168xy ≥+11680=+196=，当且仅当“10x y ==”时取等号．∴当10x y ==时，S 取得最小值为196平方米，此时场地长为14米，宽为14米.22. 已知函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[]0,6上的图象；（2）求()f x 图象的对称轴与单调递增区间；（3）当[]0,x m ∈时，()12f x ≤≤，求实数m 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）对称轴方程为()31x k k Z =+∈，递增区间为[]()62,61k k k -+∈Z ；（3）[1,2]．【解析】【分析】（1）由[]0,6x ∈，计算出36x ππ+的取值范围，通过列表、描点、连线，可作出函数()f x 在[]0,6上的图象；（2）解方程()362x k k Z ππππ+=+∈可得出函数()f x 的对称轴方程，解不等式()222362k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈可得函数()f x 的单调递增区间；（3）利用（1）中的图象结合()12f x ≤≤可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[]0,6x ∈时，13,3666x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，列表如下：x0 1 524112636xππ+6π2ππ32π2π136πy 1 2 0 2-0 1作图如下：（2）因为()2sin36f x xππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()362x k k Zππππ+=+∈，解得()31x k k Z=+∈，令()222362k x k k Zππππππ-≤+≤+∈，解得()6261k x k k Z-≤≤+∈，所以()f x的对称轴方程为()31x k k Z=+∈，递增区间为[]()62,61k k k-+∈Z；（3）[]0,x m∈，,36636mxπππππ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，又()12f x≤≤，由（1）的图象可知，12m≤≤，m∴的取值范围是[]1,2．【点睛】方法点睛：函数()()sin0y A x Aωϕω=+>>0,的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法：（1）五点法：用“五点法”作()()sin0y A x Aωϕω=+>>0,的简图，主要是通过变量代换，设z xωϕ=+，由z取0、2π、π、32π、2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；（2）三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．。

福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共5页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|4}A x x =>，{|2}B x x ，则A B =（）A. (2,)+∞B. (4,)+∞C. (2,4)D. (,4)-∞【答案】B 【解析】【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】{|{|2}4}{|4}x A B x x x x x =>>=>故选：B【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题. 2.sin(600)-︒的值是（）A.12B. 12-C.2D. 【答案】C 【解析】【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：()()()sin 600sin 720120sin120sin 18060sin60-︒=-︒+︒=︒=︒-︒=︒= 故选C ．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 3.下列各函数的值域与函数y x =的值域相同的是（） A. 2yxB. 2xy =C. sin y x =D.2log y x =【答案】D 【解析】【分析】分别求出下列函数的值域，即可判断. 【详解】函数y x =的值域为R20y x =≥，20x y =>则A ，B 错误；函数sin y x =的值域为[]1,1-，则C 错误；函数2log y x =的值域为R ，则D 正确；故选：D【点睛】本题主要考查了求具体函数的值域，属于基础题.4.已知函数42,0,()log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩则((1))f f -=（）A. 2-B. 12-C.12D. 2【答案】B 【解析】【分析】分别计算(1)f -，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可得出答案.【详解】121(1)2f --==，241211log log 12222f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭所以1((1))2f f -=- 故选：B【点睛】本题主要考查了已知自变量求分段函数的函数值，属于基础题. 5.函数log ||()(1)||a x x f x a x =>图象的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】判断函数函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，取特殊值排除C ，即可得出答案. 【详解】log ||log ||()()||||a a x x x x f x f x x x ---==-=--所以函数()f x 为奇函数，故排除BD.log ||()10||a a a f a a ==>，排除C故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于基础题.6.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B【解析】【分析】分别求出a ，b ，c 的大概范围，比较即可.【详解】因为22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>= 所以a c b <<. 故选：B【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.7.已知以原点O 为圆心的单位圆上有一质点P ，它从初始位置01(,22P 开始，按逆时针方向以角速度1/rad s 做圆周运动.则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为 A. sin(),03y t t π=+≥ B. sin(),06y t t π=+≥ C. cos(),03y t t π=+≥D. cos(),06y t t π=+≥【答案】A 【解析】当时间为t 时，点P 所在角的终边对应的角等于3t π+, 所以点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为sin(),03y t t π=+≥.8.已知函数()f x 为定义在(0,)+∞的增函数，且满足()()()1f x f y f xy +=+.若关于x 的不等式(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+恒成立，则实数a 的取值范围为（） A. 1a >- B. 14a >-C. 1a >D. 2a >【答案】D 【解析】【分析】将题设不等式转化为2(cos )(cos )f x f a x <+，根据函数()f x 的单调性解不等式得出2cos cos x a x <+，通过换元法，构造函数2()g x t t =-，[]1,1t ∈-求出最大值，即可得到实数a 的取值范围.【详解】(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+(1sin )(1sin )(cos )(1)f x f x f a x f ∴-++<++因为()()()2(1sin )(1sin )1sin 1sin 1(cos)1f x f x fx x f x -++=-++=+，(cos )(1)(cos )1f a x f f a x ++=++所以2(cos )(cos )f x f a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立故2cos cos x a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立，即2cos cos x x a -<在(0,)x ∈+∞恒成立令[]cos ,1,1x t t =∈-，则22()cos cos g x x x t t =-=-所以函数2()g x t t =-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，(1)2(1)0g g -=>= 所以2a > 故选：D【点睛】利用函数的单调性解抽象不等式以及不等式的恒成立问题，属于中档题.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.设11,,1,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为奇函数的α值可以是（）A. 1-B.12C. 1D. 3【答案】CD 【解析】【分析】求出对应α值函数y x α=的定义域，利用奇偶性的定义判断即可.【详解】当α的值为11,2-时，函数y x α=的定义域分别为()(),00,-∞+∞，[)0,+∞当1α=时，函数y x =的定义域为R ，令()f x x =，()()f x x f x -=-=-，则函数y x =为R 上的奇函数当3α=时，函数3y x =的定义域为R ，令3()f x x =，3()()f x x f x -=-=-，则函数3y x=为R 上的奇函数故选：CD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，属于基础题. 10.要得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象上所有的点（） A. 向右平行移动5π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍B. 向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍C. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度【答案】AD 【解析】【分析】由正弦函数的伸缩变换以及平移变换一一判断选项即可. 【详解】将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动5π个单位长度，得到函数n 5si y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 正确；将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，得到函数sin 10y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 210y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故B 错误；将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度，得到25sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故C 错误；将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了正弦函数的伸缩变换以及平移变换，属于基础题.11.对于函数()sin(cos )f x x =，下列结论正确的是（） A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的一个周期为2πC. ()f x 的值域为[sin1,sin1]-D. ()f x 在[]0,π单调递增【答案】ABC 【解析】【分析】利用奇偶性的定义以及周期的定义判断A ，B 选项；利用换元法以及正弦函数的单调性判断C 选项；利用复合函数的单调性判断方法判断D 选项. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称()()()()sin cos sin cos ()f x x x f x -=-==，则函数()f x 偶函数，故A 正确；()()()sin co 22s sin cos ()f x x x f x ππ+=+==⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 的一个周期为2π，故B正确；令[]cos ,1,1t x t =∈-，则()sin f x t =，由于函数sin y t=[]1,1-上单调递增，则()sin 1()sin1sin1()sin1f x f x -≤≤⇒-≤≤，故C 正确；当[]0,x π∈时，函数cos t x =为减函数，由于[]cos 0,1t x =∈，则函数sin y t =在0,1上为增函数，所以函数()f x 在[]0,π单调递减，故D 错误；故选：ABC【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，周期性，求函数值域，复合函数的单调性，属于中档题.12.已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（） A. ()g x 为奇函数B. 若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C. ()g x 在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为3个 D. 若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<【答案】ABD 【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确；假设cos 0x =，即,2x k k Z ππ=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫++⋅==≠ ⎪⎝⎭所以当,2x k k Z ππ=+∈时，()0g x ≠当,2x k k Z ππ≠+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--由于()g x 的一个零点为0x ，则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫-⎪⎝⎭的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅= 所以函数在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C 错误；由图可知，()g x 大于1的零点123,222x x ππππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题. 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.13.函数()1xf x a =+（0a >且1a ≠）的图象恒过点__________【答案】()0,2 【解析】分析：根据指数函数xy a =过()0,1可得结果.详解：由指数函数的性质可得xy a =过()0,1，所以1xy a =+过()0,2，故答案为()0,2.点睛：本题主要考查指数函数的简单性质，属于简单题. 14.已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______；【答案】6π 【解析】【分析】由扇形面积公式求出扇形半径，根据扇形弧长公式即可求解.【详解】设扇形的半径为r 由扇形的面积公式得：216212r ππ=⨯，解得2r该扇形的弧长为2126ππ⨯=故答案为：6π 【点睛】本题主要考查了扇形面积公式以及弧长公式，属于基础题. 15.函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______；【答案】[2] 【解析】【分析】由x 的范围，确定23x π-的范围，利用换元法以及正弦函数的单调性，即可得出答案.【详解】0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦令22,333t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，函数()2sin g t t =在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减2si ()(n 33)g ππ--==2si 2()2n 2g ππ==， 222sin (3)3g ππ==所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2]故答案为：[2]【点睛】本题主要考查了正弦型函数的值域，属于中档题. 16.已知函数1()f x x=，()2sin g x x =，则函数()f x 图象的对称中心为_____，函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为____. 【答案】 (1). (0,0) (2). 0 【解析】【分析】判断函数()f x ，()g x 为奇函数，即可得出函数()f x ，()g x 图象的对称中心都为原点；根据对称性即可得出所有交点的横坐标与纵坐标之和. 【详解】1()()f x f x x-=-=-，则函数()f x 为奇函数，即函数()f x 图象的对称中心为(0,0) ()()2sin 2sin ()g x x x g x -=-=-=-，则函数()g x 为奇函数，即函数()g x 的对称中心为(0,0)所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点都关于原点对称即所有交点的横坐标之和为0，纵坐标之和也为0则函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为0 故答案为：(0,0)；0【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用以及对称性的应用，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知α为锐角，且3cos 5α=. （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求cos sin(2)2παπα⎛⎫-+-⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）-7（2）4425【解析】【分析】（1）利用平方关系以及商数关系得出tan α，再利用两角和的正切公式求解即可；（2）利用诱导公式以及二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】解：（1）因为α为锐角，且3cos 5α=. 所以24sin 1cos 5αα，所以sin 4tan cos 3ααα==，所以41tan tan34tan 7441tan tan 1143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--⨯. （2）因为cos sin 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭， sin(2)sin 2παα-=，所以cos sin(2)sin sin 22παπααα⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭sin 2sin cos ααα=+4432555=+⨯⨯ 4425= 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式，二倍角的正弦公式，属于中档题. 18.已知集合{}|2216xA x =<<，{|sin 0,(0,2)}B x x x π=>∈. （1）求AB ；（2）集合{|1}C x x a =<<()a ∈R ，若AC C =，求a 的取值范围.【答案】（1）{|04}A B x x ⋃=<<（2）4a 【解析】【分析】（1）利用指数函数以及正弦函数的性质化简集合,A B ，再求并集即可；（2）由题设条件得出C A ⊆，分别讨论集合C =∅和C ≠∅的情况，即可得出答案.【详解】解：（1）依题意{|14}A x x =<<，{|0}B x x π=<<，所以{|04}A B x x ⋃=<<. （2）因为AC C =，所以C A ⊆.①当C =∅时，1a ，满足题意；②当C ≠∅时，1a >，因为C A ⊆，得4a ≤，所以14a <；综上，4a .【点睛】本题主要考查了集合的并集运算以及根据集合间的包含关系求参数范围，属于中档题.19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =⋅+. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）最小正周期为π.（2）单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】【分析】利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式得出第一问；根据正弦函数的单调增区间和减区间求()f x 的单调区间，即可得出第二问. 【详解】解：因为2()2sin 2sin cos f x x x x =+⋅22sin sin 2x x =+1cos2sin2x x =-+ sin2cos21x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==.（2）由222,242k x k k πππππ-+-+∈Z ，得3222,44k x k k ππππ-++∈Z ，即3,88k xk k ππππ-++∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，同理可得，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最小正周期以及单调区间，属于中档题. 20.已知2()1x af x x bx +=++是定义在[1,1]-上的奇函数. （1）求a 与b 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）若[0,2)απ∈时，试比较(sin )f α与(cos )f α的大小.【答案】（1）0a =. 0b =.（2）()f x 在[1,1]-单调递增.见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质得出(0)0f =，(1)(1)f f -=-，求解方程，即可得出a 与b 的值；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）分别讨论α的取值使得sin cos αα=，sin cos αα<，sin cos αα>，结合函数()f x 的单调性，即可得出(sin )f α与(cos )f α的大小.【详解】解：（1）因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，所以(0)0f =，得0a =.又由(1)(1)f f -=-，得到1122b b -=--+，解得0b =. （2）由（1）可知2()1xf x x =+，()f x 在[1,1]-上为增函数.证明如下：任取12,[1,1]x x ∈-且设12x x <，所以()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++ ()()()()122112221211x x x x x x x x -+-=++()()()()21122212111x x x x xx --=++由于12x x <且12,[1,1]x x ∈-，所以210x x ->，且2110x x -<，又2110x +>，2210x +>，所以()()()()211222121011x x x x xx --<++，所以()()12f x f x <，从而()f x 在[1,1]-单调递增. （3）当4πα=或54πα=时，sin cos αα=，所以(sin )(cos )f f αα=；当04πα<或524παπ<<时，sin cos αα<，又因为sin [1,1]α∈-，cos [1,1]α∈-，且()f x 在[1,1]-上为增函数，所以(sin )(cos )f f αα<当544ππα<<时，sin cos αα>，同理可得(sin )(cos )f f αα>；综上，当4πα=或54πα=时，(sin )(cos )f f αα=；当50,,244ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα<；当5,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα>.【点睛】本题主要考查由函数的奇偶性求参数，判断函数的单调性以及利用单调性比较函数值大小，属于中档题.21.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： .（1）设港口在x 时刻的水深为y 米，现给出两个函数模型：sin()(0,0,)y A x h A ωϕωπϕπ=++>>-<<和2(0)y ax bx c a =++≠.请你从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式（直接选择模型，无需说明理由）；并求出7x =时，港口的水深.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？一天内货船可以在港口呆多长时间？【答案】（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合. 水深为3米（2）货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港.一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【解析】【分析】（1）观察表格中水深的变化具有周期性，则选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合，由表格数据得出,,,A h ωϕ的值，将7x =代入解析式求解即可；（2）由题意 5.5y 时，船可以进港，解不等式2.5sin4.255.56x π+，得出x 的范围，由x的范围即可确定进港，出港，一天内在港口呆的时间. 【详解】解：（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合因为港口在0：00时刻的水深为4.25米，结合数据和图象可知 4.25h =6.75 1.752.52A -==因为12T =，所以22126T πππω===，所以 2.5sin 4.256y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，因为0x =时， 4.25y =，代入上式得sin 0ϕ=，因为πϕπ-<<，所以0ϕ=，所以 2.5sin4.256y x π=+.当7x =时，712.5sin4.25 2.5 4.25362y π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以在7x =时，港口的水深为3米（2）因为货船需要的安全水深是4 1.5 5.5+=米，所以 5.5y 时，船可以进港，令2.5sin4.255.56x π+，则1sin62xπ，因为024x <，解得15x 或1317x ，所以货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港. 因为(51)(173)8-+-=，一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【点睛】本题主要考查了三角函数在生活中的应用，属于中档题. 22.已知函数3(1)log (1)f x a x +=+，且(2)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()f x 的定义域为[2,)+∞. （ⅰ）求()41xf +的定义域；（ⅱ）若方程()()412xxf f k k x +-⋅+=有唯一实根，求实数k 取值范围.【答案】（1）2()log f x x =（2）（ⅰ）[0,)+∞.（ⅱ）1k = 【解析】【分析】（1）利用换元法以及(2)1f =，即可求解()f x 的解析式；（2）（ⅰ）解不等式412x +≥，即可得出()41xf +的定义域；（ⅱ）根据()41xf +，()2x f k k ⋅+的定义域得出1k ，结合函数()f x 的解析式将方程化为()2(1)2210x x k k -⋅+⋅-=，利用换元法得出2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，讨论k的值，结合二次函数的性质即可得出实数k 的取值范围.【详解】解：（1）令1(0)t x t =+>，则3()log f t a t =，所以3()log f x a x =，因为3(2)log 21f a ==，所以231log 3log 2a ==，所以3232()log log 3log log f x a x x x ==⨯= （2）（ⅰ）因为()f x 的定义域为[2,)+∞，所以412x +≥，解得0x ，所以()41xf +的定义域为[0,)+∞.（ⅱ）因为0,22,x x k k ⎧⎨⋅+⎩，所以221xk +在[0,)+∞恒成立，因为221x y =+在[0,)+∞单调递减，所以221x y =+最大值为1，所以1k .又因为()()412xxf f k k x +-⋅+=，所以()()22log 41log 2xxk k x +-⋅+=，化简得()2(1)2210xx k k -⋅+⋅-=，令2(1)xt t =，则2(1)10k t k t -⋅+⋅-=在[1,)+∞有唯一实数根，令2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，当1k =时，令()0g t =，则1t =，所以21x =，得0x =符合题意，所以1k =；当1k >时，2440k k ∆=+->，所以只需(1)220g k =-，解得1k ，因为1k >，所以此时无解；综上，1k =.【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，属于较难题.。

2020-2021学年南通一中高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年南通一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.函数f(x)=8x 的值域是( )A. (−∞,+∞)B. (−∞,0)C. (0,+∞)D. (−∞,0)∪(0,+∞)2.已知sin(π+α)=−12，那么cosα的值为( )A. ±12B. 12C. √32D. ±√323.对于正弦函数y =sinx 的图象，下列说法错误的是( )A. 向左右无限伸展B. 与y =cosx 的图象形状相同，只是位置不同C. 与x 轴有无数个交点D. 关于y 轴对称4.设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2k e 2⃗⃗⃗ ，若A ，B ，D 共线，则k 的值为( )A. −94B. −49C. −38D. 不存在5.如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为(−35,45)，β=30°，则sin(α−β)=( )A. 4+3√310B. 4√3+310C. 4−3√310D. 4√3−3106.将最小正周期为3π的函数f(x)=cos(ωx +φ)−sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象向左平移π4个单位，得到偶函数图象，则满足题意的φ的一个可能值为( )A. 7π12B. −5π12C. −π4D. π47.的最大值为( )A.B.C. D.8.已知扇形的面积为4，弧长为4，求这个扇形的圆心角是( )A. 4B. 2°C. 2D. 4°9.设A,B,C ∈(0,π2)，且cosA +cosB =cosC ，sinA −sinB =sinC ，则C −A =( )．A. −π6B. −π3C. π3D. π3或−π310. 如图，在△ABC 中，∠A =π2，AB =3，AC =5，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 34 B. 12 C. −2 D. −1211. 定义域为R 的函数y =f(x)，若对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数：①y =−x 3+x +1②y =3x −2(sinx −cosx)③y =e x +1④f(x)={ln|x|,x ≠00,x =0其中为“H 函数”的有( )A. ①②B. ③④C. ②③D. ①②③12. 设向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(λ,−1)，且|a ⃗ −b ⃗ |=√a ⃗ 2+b⃗ 2，则λ等于( ) A. 2 B. ±2 C. −2 D. 0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设0<θ<π2，向量a ⃗ =(sin2θ,cosθ)，b ⃗ =(cosθ,1)，若a ⃗ //b ⃗ ，则cos2θ=______． 14. 已知(a +1)−23<(3−2a)−23，则a 的取值范围． 15. 抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线对称轴上，过可作直线交抛物线于点、，使得，则的取值范围是．16. 在下列四个命题中，正确的命题有______．①若实数x ，y 满足x 2+y 2−2x −2y +1=0，则y−4x−2的取值范围为[43,+∞)；②点M 是圆(x −3)2+(y −2)2=2上一动点，点N(0,−2)为定点，则|MN|的最大值是7；③若圆(x −3)2+(y +5)2=r 2(r >0)上有且只有两个点到直线4x −3y =2的距离为1，则4<r <6；④已知直线ax +by +c −1=0(bc >0)经过圆x 2+y 2−2y −5=0的圆心，则4b +1c 的最小值是10．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为2π3，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，记m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗(I) 若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求实数k 的值；(II) 当k =−43时，求向量m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角θ．18. 已知函数f(x)=cosωx(sinωx +√3cosωx)(ω>0)． (1)求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)=√32在区间[0,π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围．19. 设函数f(x)=log 3(9x)⋅log 3(3x)，19≤x ≤9，若t =log 3x. (1)求t 的取值范围． (2)求f(x)的值域．20. 如图，在菱形ABCD 中，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，∠BAD =60°，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ，μ，x ，y 的值； (2)求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 已知函数f(x)=3xx+2,x ∈[0,4)． (1)判别f(x)的单调性，并证明； (2)求函数f(x)的最值．22. 设函数y =f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A.如果∃x 1，x 2∈I ，使得f(x 1)f(x 2)<0，那么称函数y =f(x)为区间I 上的“变号函数”．(1)判断下列函数是否为区间I上的“变号函数”，并说明理由．,+∞)；①p(x)=1−3x，I=[13)；②q(x)=sinx−cosx，I=(0,π2,1]上的“变号函数”.求实数a的取值范围．(2)若函数r(x)=ax2+(1−2a)x+1−a为区间[−12参考答案及解析1.答案：D解析：解：令y =8x ，则解析式中y 的取值范围即为函数的值域则原函数的解析式可变形为x =8y ，要使该表达式有意义，分母y ≠0． ∴y ∈(−∞,0)∪(0,+∞) 故选：D ．根据已知中函数的解析式，我们可使用“反表示法”求函数的值域，即根据已知函数的解析式，写出用y 表示x 的形式，令表达式有意义，即可求出满足条件的y 的取值范围，即原函数的值域．本题考查的知识点是函数的值域，函数的值域的求法是函数中的难点之一，其中根据函数的解析式形式，选择适当的方法是求值域的问题．2.答案：D解析：利用诱导公式求出sinα，再利用同角三角函数关系式求出cosα即可．本题考查诱导公式，同角三角函数关系式的应用．属于基础题．解：sin(π+α)=−12，则sinα=12，cosα=±√32．故选D ．3.答案：D解析：解：y =sinx 是周期函数，图象可以向左右无限伸展，故A 正确，y =sin(x +π2)=cosx ，则与y =cosx 的图象形状相同，只是位置不同，故B 正确，与x 轴有无数个交点，故C 正确，y =sinx 是奇函数，图象关于原点对称，故D 错误，故选：D ．根据y =sinx 的图象和性质分别进行判断即可．本题主要考查三角函数图象和性质，结合三角函数的图象是解决本题的关键．比较基础．4.答案：D解析：解：e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2k e 2⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−k)e 1⃗⃗⃗ −(2k +1)e 2⃗⃗⃗ ，若A ，B ，D 共线，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(3−k)e 1⃗⃗⃗ −(2k +1)e 2⃗⃗⃗ =λe 1⃗⃗⃗ +2λe 2⃗⃗⃗ ，∴{3−k =λ−(2k +1)=2λ, 解得k 的值不存在．故选：D ．根据平面向量的线性运算法则，利用共线定理和向量相等列出方程组，即可求出k 的值不存在．本题考查了平面向量的线性运算与共线定理和向量相等的应用问题，是基础题目．5.答案：B解析：解：以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为(−35,45)，β=30°，可得sinα=45，cosα=−35，sin(α−β)=sinαcos30°−cosαsin30°=45×√32+35×12=3+4√310．故选：B ．利用任意角的三角函数的定义，求出α、β的三角函数值，然后利用两角差的正弦函数求解．本题考查三角函数的定义的应用，两角差的正弦函数，考查计算能力．6.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Acos(ωx +φ)的部分图象求解析式，函数y =Acos(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的奇偶性，属于基础题．由周期求得ω，可得函数f(x)的解析式，再根据函数y =Acos(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．解：由于函数f(x)=cos(ωx +φ)−sin(ωx +φ)=√2cos(ωx +φ+π4)的最小正周期为3π=2πω，求得ω=23，∴函数f(x)=√2cos(23x +φ+π4).再把f(x)的图象向左平移π4个单位，得到偶函数y =√2cos[23(x +π4)+φ+π4] =√2cos(23x +5π12+φ)，则满足题意的φ的一个可能值为−5π12，故选B ．7.答案：C解析：试题分析：因为函数，所以因此结合不等式的性质，得到，可知函数的最大值为4.选C．考点：本题主要考查三角函数的性质中值域的求解运用。

2020-2021济南市高中必修一数学上期末试卷及答案

2020-2021济南市高中必修一数学上期末试卷及答案一、选择题1．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <>C ．b a c >>D ．c a b >>2．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c <≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（）A ．12BC D ．24．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（）A ．(),1-∞B ．()2,+∞C ．(),0-∞D ．()1,+∞6．若x 0＝cosx 0，则（） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 7．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（） A ．(1)(2)(0)f f f -<< B ．(1)(0)(2)f f f -<< C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<9．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}10．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1111．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( )A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-二、填空题13．若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；14．函数()()4log 5f x x =-+________.15．已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．16．函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______ 17．已知函数()f x 满足：()()1f x f x +=-，当11x -<≤时，()x f x e =，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 18．若函数()121xf x a =++是奇函数，则实数a 的值是_________. 19．已知正实数a 满足8(9)aaa a =，则log (3)a a 的值为_____________.20．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______．三、解答题21．已知函数1()21xf x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值.22．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17amf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.23．已知全集U =R ，集合{|25},{|121}M x x N x a x a =-=++剟剟. （Ⅰ）若1a =，求()R M N I ð；（Ⅱ）M N M ⋃=，求实数a 的取值范围.24．泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好. 附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增. 25．已知函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<<. （1）求函数()f x 的定义域; （2）求函数()f x 的零点;（3）若函数()f x 的最小值为4-,求a 的值．26．已知全集U=R,集合{}240,A x x x =-≤{}22(22)20B x x m x m m =-+++≤. (Ⅰ)若3m =，求U C B 和A B U ； (Ⅱ)若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数，又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.2．A解析：A 【解析】【分析】【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.3．A解析：A 【解析】【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ，故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性．点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.4．D解析：D 【解析】【分析】由对数的运算化简可得2log 3a =3log 6b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=，所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．C解析：C 【解析】【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U . 内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数，外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【解析】【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.3430662f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭，20.7850.7070.0780442f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7．C解析：C 【解析】【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．8．B解析：B 【解析】【分析】【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 34a =<=<，由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以c ∈，所以a c b <<，故选B.9．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．10．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.11．D解析：D【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x的图像，如图（实线部分），由()1152y xy x=+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A．故()f x有最大值2，无最小值故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．12．C解析：C【解析】【分析】【详解】210x ax++≥对于一切10,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则等价为a⩾21xx--对于一切x∈(0,12)成立，即a⩾−x−1x对于一切x∈(0,12)成立，设y=−x−1x,则函数在区间(0,12〕上是增函数∴−x−1x<−12−2=52-，∴a⩾5 2 -.故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.二、填空题13．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为：解析：[)5,+∞【解析】【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可. 【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+，当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+，且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-，且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++，且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞故答案为：[)5,+∞ 【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.14．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次解析：[)0,5【解析】【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可.【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义，需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5，故答案为[)0,5. 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.15．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可．【详解】Q 偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩，即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃，故答案为()(),20,2-∞-⋃【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．16．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考解析：4【解析】【分析】设()2sin 1x g x x x =++，则()g x 是奇函数，设出()g x 的最大值M ，则最小值为M -，求出2sin 21=+++x y x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】 ∵函数2sin 21=+++x y x x ， ∴设()2sin 1x g x x x =++，则()()2sin 1x g x x g x x --=-=-+， ∴()g x 是奇函数，设()g x 的最大值M ，根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴()g x 的最小值为M -，又()max max 22g x y M =+=+，()min min 22g x y M =+=-，∴max min 224y y M M +=++-=，故答案为：4.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出()2sin 1x g x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键，属于中档题. 17．【解析】【分析】由已知条件得出是以2为周期的函数根据函数周期性化简再代入求值即可【详解】因为所以所以是以2为周期的函数因为当时所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系这类题目往往是奇【解析】【分析】由已知条件，得出()f x 是以2为周期的函数，根据函数周期性，化简92f ⎛⎫⎪⎝⎭，再代入求值即可.【详解】因为()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的函数，因为当11x -<≤时，()xf x e = ，所以129114222f f f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为.【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系，这类题目往往是奇偶性和周期性相结合一起运用. 18．【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键解析：12- 【解析】【分析】由函数()f x 是奇函数，得到()010021f a =+=+，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()121x f x a =++是奇函数，所以()010021f a =+=+，解得12a =-，当12a =-时，函数()11212x f x =-+满足()()f x f x -=-，所以12a =-. 故答案为：12-. 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题解析：916【解析】【分析】将已知等式8(9)a aa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解.【详解】 8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q ， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题. 20．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇解析：()1x x +【解析】【分析】由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =，设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+，又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+，综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+；故答案为()1x x +【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．三、解答题21．(1)见解析；(2)12a =；(3) 16. 【解析】【分析】【详解】(1)()f x Q 的定义域为R, 任取12x x <, 则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++. 12x x <Q ,∴1212220,(12)(12)0x x x x -++.∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.所以不论a 为何实数()f x 总为增函数.(2)()f x Q 在x ∈R 上为奇函数,∴(0)0f =,即01021a -=+. 解得12a =. (3)由(2)知，11()221x f x =-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f .∵111(1)236f =-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16.22．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m <<【解析】【分析】（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明；（2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值．【详解】(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =.函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()()222212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭. 因为211y x =+-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数.(2)由(1)可知()()()221log log 117x m f x x x x +=>---，[]2,6x ∈，所以()()10117x m x x x +>>---. 所以()()()2201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立. 当[]2,6x ∈时，函数()2316y x =--+的最小值min 7y =. 所以07m <<.【点睛】本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值．23．（Ⅰ）(){|22R M C N x x =-≤ .故 (){|22R M C N x x =-≤+，即0a <；当N ≠∅时，即0a ≥.N M ⊆Q ，12215a a +≥-⎧∴⎨+≤⎩解得02a ≤≤.综上：2a ≤.【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集运算，子集的概念，分类讨论，属于中档题.24．(1)78;(2)221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩,N x ∈,9天. 【解析】【分析】（1）由题意得第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),从而求得P ；（2）由题意得221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 求出分段函数取得最小值时，对应的x 值，即可得答案.【详解】(1)第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克), 所以3(85)6040078200P ⨯-=+⨯=; (2)当6x ≤时,200109021090y x x x =++=+, 当6x >时,23(5)2009060200(6)3167240200x y x x x x -=+++⋅⋅-=++, 所以221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 设平均每天支付的费用为()f x 元, 当06x ≤≤时,2109090()210x f x x x +==+, ()f x 在[0,6]单调递减,所以min ()(6)225f x f ==;当6x >时,2316724080()3167x x f x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,可知()f x 在单调递减,在)+∞单调递增,又89<<,(8)221f =,2(9)2203f =,所以min 2()(9)2203f x f == 综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少.本题考查构建函数模型解决实际问题、函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对勾函数图象的应用.25．（1）()3,1.-（2）1-±3）2【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由()=0f x ，即223=1x x --+，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值log 4a ，得log 44a =-利用对数的定义求出a 的值．【详解】（1）由已知得10,30,x x ->⎧⎨+>⎩, 解得31x -<<所以函数()f x 的定义域为()3,1.- （2）()()()()()()2log 1log 3log 13log 23a a a a f x x x x x x x =-++=-+=--+,令()=0f x,得223=1x x --+,即222=0x x +-,解得1x =-±∵1(-3,1)-,∴函数()f x 的零点是1-（3）由2知,()()()22log 23log 14a a f x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦, ∵31x -<<,∴()20144x <-++≤.∵01a <<,∴()2log 14log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦, ∴()min log 44a f x ==-,∴144a -==. 【点睛】本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键．26．（Ⅰ）{05},{35}U A B x x C B x x x ⋃=≤≤=或（Ⅱ）02m ≤≤【解析】【分析】（Ⅰ）由3m =时，求得集合{04},{35}A x x B x x =≤≤=≤≤，再根据集合的并集、补集的运算，即可求解；（Ⅱ）由题意，求得{04},{2}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+，根据B A ⊆，列出不等式组，即可求解。

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