【优质课件】高教版中职数学拓展模块1.3正弦定理与余弦定理1优秀课件.ppt
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中职数学拓展模块余弦定理(公开课)PPT
余弦定理
赤峰建筑工程学校
学习目标：
1.了解余弦定理的推导过程，掌握余 弦定理及其推论。
2.能够利用余弦定理解三角形并判断 三角形的形状。
三、证明问题
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
设
的夹角为∠C，
求边c.
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
c ab
B arc cos 15 63 126
ABC中B arc cos 15 63 126
A arc cos 6 63 63
C 63
C
a
b
Bc
A
题型二、已知三角函数的三边解三角形
例2.在△ABC中，已知a= 5 ,b=7,c=4 解三角形的三个内角 解：由余弦定理得
cosA b2 c2 a2 49 16 25 5
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状
数学思想：化归思想、数形结合的思想、
分类讨论的思想、不变量的思想
课外作业： P14 A组 B组
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
余弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 正弦定理
变式训练：
在△ABC中，若a 2 b2 c 2，则△ABC的形状
为（ A）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄb2 c2 a2 cos A
2bc
提炼：设a是最长的边，则
C
b
a
Ac
B
△ABC是钝角三角形 b2 c2 a2 0
△ABC是锐角三角形 b2 c2 a2 0 △ABC是直角三角形 b2 c2 a2 0
赤峰建筑工程学校
学习目标：
1.了解余弦定理的推导过程，掌握余 弦定理及其推论。
2.能够利用余弦定理解三角形并判断 三角形的形状。
三、证明问题
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
设
的夹角为∠C，
求边c.
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
c ab
B arc cos 15 63 126
ABC中B arc cos 15 63 126
A arc cos 6 63 63
C 63
C
a
b
Bc
A
题型二、已知三角函数的三边解三角形
例2.在△ABC中，已知a= 5 ,b=7,c=4 解三角形的三个内角 解：由余弦定理得
cosA b2 c2 a2 49 16 25 5
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状
数学思想：化归思想、数形结合的思想、
分类讨论的思想、不变量的思想
课外作业： P14 A组 B组
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
余弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 正弦定理
变式训练：
在△ABC中，若a 2 b2 c 2，则△ABC的形状
为（ A）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄb2 c2 a2 cos A
2bc
提炼：设a是最长的边，则
C
b
a
Ac
B
△ABC是钝角三角形 b2 c2 a2 0
△ABC是锐角三角形 b2 c2 a2 0 △ABC是直角三角形 b2 c2 a2 0
人教版中职数学(拓展模块)1.2《余弦定理、正弦定理》ppt课件1
2.实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 叫仰角, 目标视线在水平视线 下方 叫俯角（如图①）.
(2)方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如B点的方位角为α（如图②）.
B
75o C 51o 55m A
3 2 3 3 5,
AB 5(km).
A、B之间的距离为 5 km .
题型 与角度有关的问题 [例3].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A 3 1 n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的 方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 分析 如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在D
二. 判断三角形形状
(1)a cos A b cos B; 等腰三角形或直角三角形
(2) a b c ; 等边三角形 cos A cos B cos C
(3)b a cos C
直角三角形
(4) sin A 2 sin B cos C 等腰三角形
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量: ①距离问题、②高度问题、③角度问题、 ④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.
2R
2R
2R
（3）a : b : c sin A : sin B : sin C
(角化边公式）
（4）a sin B b sin A, a sin C c sin A,b sin C c sin B
余弦定理：
正弦定理和余弦定理课件PPT
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个 角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
高教版中职数学(拓展模块)1.3《正弦定理与余弦定理》ppt课件1
整 体 建
余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A；
构
b2 a2 c2 2ac cos B；
c2 a2 b2 2ab cosC．
自 我 反 思
学习方法
目 标 检 测
学习行为
学习效果
自
在△ABC中，a=20，b=29，c=21，求角B．
我
反
思
B 90.
A
b sin
B
c sin C
．
动 脑
当三角形为钝角三角形时，不妨设角A为钝角，如图所示，以A为原
点，以射线AB的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则BC BA AC，
思 两边取与单位向量j的数量积，得 j BC j （BA+BC）=j BA j BC．
考
由于< j，BC 90 B，j BA，< j，AC A 90，
目 标 检 测
继
读书部分：阅读教材相关章节
续
探
书面作业：教材习题1.3（必做）
索
活
学习与训练1.3（选做）
动
实践调查：编写一道有关余弦定
探
究
理或正弦定理的习题
识
对角，利用正弦定
解 sin B bsin A 15 2 sin 45 1．理求另一边的对角
典
a
30
2 时，要讨论这个角
型 例
由 b a ，知B A，故 30 B 180，的 发所取 生以值 错B 范误45.围或，B 避13免5．
题
运
1．已知ABC 中，A 45，B 30，b= 3 ，求C和a.
探
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
《正弦定理与余弦定理》中职数学(拓展模块)1.3【高教版】2
动脑思考 探索新知
在钝角三角形ABC中，不妨设C为钝角(图（2）)，作BD⊥AC 于D，
则BD = csinA，BD = asin（180°－C）= asin C． 同样可以得到
a b c． sin A sin B sin C
于是得到正弦定理．
动脑思考 探索新知
在三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等. 即
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
实地听完整堂课。
•
3、课前预习
•
课前预习新课内容，找出不理解的地方标记下来。预习后尝试做课后练习题，不要怕出错，因为老师还没有讲，出错也是正常的。
A
bC
在任意三角形中，是否也存在类似的数量关系呢？
动脑思考 探索新知
在锐角三角形ABC(图（1）)中，作CD⊥AB于D，则CD = bsinA，
CD = asinB，
于是bsinA = asinB，即
a b， sin A sin B
同理有
a c， sin A sin C
故
a b c．
sin A sin B sin C
解 由于
分析
b c， sin B sin C
这是已知三角形 的两个角和一边， 求其它边的问题，
可以直接应用正弦
所以
定理．
b
c sin B
6 sin 30
6
1 2
3
2．
sin C sin135
2
2
巩固知识 典型例题
正弦定理、余弦定理及其运用-PPT(精)共31页
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
56、书不仅是、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
正弦定理、余弦定理及其运用-PPT （精）
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
正弦定理、余弦定理及其运用-PPT （精）
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
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所以
a b． sin A sin B
即 a b c．
C
ba
j
sin A sin B sin C
Ac B x
当三角形为锐角三角形时，同样可以得到这个结论.于是得到
动 正弦定理：
脑 思 考
在三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等.
即
a b c． sin A sin B sin C
A
b sin
B
c sin C
．
动 脑
当三角形为钝角三角形时，不妨设角A为钝角，如图所示，以A为原
uuur uur uuur
点，以射线AB的方向为x轴正方向，建uuur立直角坐uur标系uuur，则
BC uur
BA
AC， uuur
思 两边取与单u位uur向量j的数量积，得uuur
j
•
BC
强
化
练 习
B 35.
动
uuur uuur uur 如图所示，在△ABC中，BC AC AB ，所以
脑
uuur uuur uuur uur uuur uur BC • BC （AC AB）•（AC AB)
思
uuur 2 uur 2 uuur uuur
B
考
AC AB 2AC • AB
uuur
j
•（BA+BC）=j
•
BA
j
•
BC．
考
由于< j，BC 90 B，j BA，< j，AC A 90，
探
设与角A，B，C相对应的边长分别为a，b，c，故
acos(90 B) 0 bcos(A 90)，
y
索
即 asin B bsin A，
新 知
型
49,
例
所以 a 7．
题
例5 在 ABC 中，a=6，b=7，c=10，求ABC中的最大角
巩 和最小角（精确到1）.
固
解 由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，
知
分析
识 由公式（1.9），有
三角形
典
cos C a2 b2 c2 62 72 102 0.1786，
6 sin 30
6
1 2
3
2．
例
sin C sin135
2
2
题
巩
固
例2 已知在ABC 中，A 30，a 15 2，b 30，求B．
知 识
解 由于 a b ，
sin A sin B
典
所以sin
B
b sin
A
30 sin
30
30
1 2
2．
型
a
15 2 15 2 2
强
化
练
B 35.
习
理
正弦定理、余弦定理的内容：
论
正弦定理：
升 华
a b c； sin A sin B sin C
整 体 建
余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A；
构
b2 a2 c2 2ac cos B；
2ab
267
中大边对大 角，小边对
型 所以
C 100,
小角．
例 题
cos A b2 c2 a2 72 102 62 0.8071，
2bc
2 7 10
所以
A 36．
1．在△ABC中，B= 150，a=3 3，c=2，求b.
运
用
b 7.
知
识
2. 在△ABC中，三边之比a :b : c 3:5: 7，求三角形最大内角.
(2) 已知三角形的三边，求三个角.
例4 在 ABC 中，A 60，b 8，c 3，求a ．
巩
分析 这是已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边的
固
知 问题，可以直接应用余弦定理．
识
解 a2 b2 c2 2bc cos A
典
82 32 2 8 3 cos 60
第1章 角计算及其应用
1.3 正弦定理与余弦定理
创
我们知道，在直角三角形ABC(如图)中，
设
a sin A，b sin B，即
c
c
B
情
a c， b c，
境
sin A sin B
c
a
由于C 90,所以sinC 1，于是
兴 趣
c c． sin C
A
C
b
导 入
所以
a sin
知 理的特例．
公式（1.8）经变形后可以写成
动
b2 c2 a2
脑
cos A 2bc
思
a2 c2 b2 cos B
（1．9）
考
2ac
a2 b2 c2
cos C
探
2ab
索
利用余弦定理可以求解下列问题：
新
(1) 已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边和其他的
知
两个角 ；
余弦定理：
动
三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其
脑 夹角余弦乘积的两倍. 即
思
考
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
(1．8)
探
c2 a2 b2 2ab cos C
索
新
显然，当C 90时，有c2 a2 b2．这就是说，勾股定理是余弦定
uuur 2 uur 2 uuur uur
AC AB 2 AC AB cos A
探 索
b2 c2 2bc cos A．
C
新
即 a2 b2 c2 2bc cos A
A
知
同理可得 b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cosC
典
a
30
2 时，要讨论这个角
型 例
由 b a ，知B A，故 30 B 180，的 发所取生以值错B 范误45.围或，B 避13免5．
题
运
1．已知ABC 中，A 45，B 30，b= 3 ，求C和a.
用
C 105, a 6.
知
识 2．已知ABC中，A 60，a =12，b=8，求B（精确到1）．
探
利用正弦定理可以求解下列问题：
索 新
（1）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角.
知
（2）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和一边.
巩
固
知
例1 已知在ABC 中，B 30，C 135，c 6，求b．
识
解 由于 b c ，
sin B sin C
典 型
所以
b
c sin B
例
由 b a ，知B A，故 30 B 180，所以B 45或B 135．
题
巩
固
已知三角形的
知
例3 已知在ABC中，A 45，a 30，b 1两5 边2，和求其B．中一边的
识
对角，利用正弦定
解 sin B bsin A 15 2 sin 45 1．理求另一边的对角