1 逻辑代数基础

1 逻辑代数基础教学目的与要求：本章是数字电子技术的重要基础。

通过本章学习，要求：1)了解数字信号与数字电路、数制与码制、算术运算与逻辑运算等概念；2) 深刻理解逻辑代数中的基本运算与导出的其它逻辑运算，掌握逻辑代数的基本公式和基本定理；3) 理解逻辑函数概念，掌握逻辑函数的各种表示方法及逻辑函数的范式；4) 熟练掌握逻辑函数化简方法，并能灵活运用。

教学重点与难点：1、逻辑代数的基本运算与复合运算；2、逻辑代数的基本公式、基本定理；3、逻辑函数的表示及其化简方法。

教学时数：共计8学时（其中理论课 8 学时，实验课 学时，习题课 学时，讨论课 学时）教学内容与方法：结合典型例题，运用启发式、课堂练习、课后思考与作业等多种教学方法与手段，详细分析讲解数制与码制、基本逻辑运算与复合逻辑运算方法、逻辑代数基本公式与基本定理、逻辑函数的表示与转换方法、逻辑函数的公式化简与卡诺图化简方法与技巧等重要教学内容。

1.1概述一、数字信号与模拟信号模拟信号与模拟电路→数字信号与数字电路(每次以某最小单位的整数倍变化)→数字电路的类型与特点注：①数字电路按电路结构分：分立、集成；按器件制作工艺分：双极型与MOS 型；按工作原理分：组合逻辑电路和时序逻辑电路；按集成度分：SSI 、MSI 、LSI 、VLSI 。

②数字电路的特点：易集成、高可靠、通用成本低、易保密。

二、数制与码制1、数制1)数制的概念及要素：数制的定义：多位数码中各数位的构成方法及运算时的进位规则称为数制。

数制的要素：任意数位上的可用数码、可用数码的个数(基数，实质为进位规则)、权(与各数位对应的固定数值)。

一般地，设为一个N 进制数，则该数对应的数值大小为：121012N (.n n m a a a a a a a −−−−− )N 1121012N (.)i n n n m i i m a a a a a a a a −−−−−−−==⋅∑ (按权展开式)。

2)常见数制：10进制→2进制→16进制3)不同数制数之间的转换：①N 进制数→10进制数：按权展开式②10进制数→N 进制数：整数部分：除基(N)逆向取余法；小数部分：乘基(N)顺向取整法。

③2进制数→16进制数：整数部分：自右至左4位聚1位；小数部分：自左至右4位聚1位，不足部分补0。

④16进制数→2进制数：1位变4位2、码制代码和码制概念→BCD 码→常用BCD 码介绍代码：用来表示或区分不同事物的一串数码；码制：编制代码过程中应遵循的一套规则。

BCD 码：用4位二进制数表示10进制中十个数码0~9的代码。

常用BCD 码：8421BCD 等。

3、算术运算与逻辑运算1)算术运算：算术运算概念：两个或多个表示数量大小数据之间按进位规则进行的运算。

算术运算中数据的表示及运算方法：①数据的表示：原码表示：符号位+绝对值。

一般用最高位作为符号位，且用“0”表“+”、“1”表“—”； 反码表示：若2310[]s n n x x x x x x −−= 原，则23102310 0 0[] 1 0s n n s s n n s x x x x x x or x x x x x x x x or x −−−−=>⎧=⎨=<⎩ 反； 补码表示：若2310[]s n n x x x x x x −−= 原，则23102310 0[]+1=[]+1 0s n n s n n x x x x x x x x x x x x x x −−−−>⎧=⎨<⎩ 补反。

②运算方法：对于加减法，一般采用补码进行运算，且： [][][]x y x y +=+补补补， [][][]x y x y −=+−补补补(注意[]y −补的求法)；对于乘除法，有原码乘除法、补码乘除法等，它们一般都通过加法和移位两种操作来实现。

2)逻辑运算：逻辑运算：两代码之间按逻辑或因果关系进行的运算。

教学小结：1)了解数字信号的特点及其与模拟信号的区别，了解数字电路的分类方法与特点；2)理解数制概念，熟悉数制的三要素，掌握不同数制数据之间的转换方法；3)了解码制概念，熟悉几种常用BCD 码；4)理解算术运算与逻辑运算概念，了解这两种运算方法之间的差异。

作业布置：题1.2(2)、(3)，题1.3(2)、(4)，题1.4教学后记：1.2 逻辑代数中的三种基本运算一、逻辑代数概述逻辑代数(也称布尔代数)是研究不同事物之间逻辑或因果关系即条件与结果间关系的数学。

其条件和结果称逻辑变量，以大写字母表示。

逻辑变量只能取0或1，0和1是逻辑代数中的逻辑常量。

条件与结果间的逻辑关系称为逻辑函数，同普通代数一样，逻辑代数中也有多种不同的逻辑函数表示方法，它们是进行数字逻辑分析设计的重要工具。

二、基本逻辑运算1、逻辑与运算：定义→真值表→表达式→与门及其图形符号2、逻辑或：定义→真值表→表达式→或门及其图形符号：3、逻辑非运算：定义→真值表→表达式→非门(反相器)及其图形符号注：将所有输入取值组合及对应输出值列成的表格为真值表；将条件与结果逻辑变量通过逻辑运算符号连接而成，用以表示逻辑关系的式子为逻辑函数表达式。

三、复合逻辑运算1、与非运算及与非门符号→或非运算及或非门符号→与或非运算及与或非门符号→异或运算及异或门符号→逻辑同或运算及同或门符号注：①A B A B ⊕= ，A B A B =⊕ ；②A 0A ⊕=，A 1A ⊕=。

1.3~1.4 逻辑代数的基本公式和基本定理一、基本公式1、常量运算公式：01=，10=，，0，1，，，1100⋅1⋅1⋅00+01++2、常量与单个变量之间的运算公式：{{0A 01A 11A A 0A A dual ⋅=+⎯⎯→⋅=+==3、单个变量的运算公式：重叠律、互补律、还原律A A A A A A dual ⋅=⎯⎯→+=， A A 0A A 1dual ⋅=⎯⎯→+=，A A = 4、不同变量之间的运算公式：交换律、结合律、分配律、反演律A B B A A B B A dual ⋅=⋅⎯⎯→+=+(交换律)，A (B C)(A B)C A+(B+C)(A+B)+C dual ⋅⋅=⋅⋅⎯⎯→=(结合律)A (B+C)AB+AC A+BC (A+B)(A+C)dual ⋅=⎯⎯→=(分配律)A B A B A+B A B dual ⋅=+⎯⎯→=⋅(反演律)二、常用公式1、还原律：B+AB A (A+B)(A+B)A dual A =⎯⎯→= 2、吸收律：, A+AB A A (A+B)A dual =⎯⎯→⋅=A(A+B)AB A+AB A+B dual =⎯⎯→= 3、冗余律：AB+AC+BC AB+AC =,AB+AC+BCDE AB+AC =三、基本定理1、代入定理：对任意含变量A 的逻辑等式，若以其它任意复杂逻辑式替代变量A ，则该等式仍成立。

如：B+C B A+B AB A+B+C AB+C ABC →=⎯⎯⎯→==。

2、反演定理：对任意逻辑式，若将其中所有原变量→反变量，反变量→原变量，则该逻辑式转换成Y ,,01,1+→⋅⋅→+→→0,Y 。

如已知12Y A(B+C)+CD,Y ==，求1Y 和2Y 。

应用注意：①运算优先级：先括号，后乘，最后加；②不属于单个变量上的非号应保留不变。

3、对偶定理：①对偶式：对任意逻辑式，若将其中所有则所得结果为该逻辑式的对偶式。

Y ,,01,1+→⋅⋅→+→→0,22′Y ′②对偶定理：若两逻辑式相等，即，则必有。

(可减少一半公式的记忆)。

如1Y Y =1Y Y ′=A (B+C)AB+AC A+BC (A+B)(A+C)dual ⋅=⎯⎯→=4、补充定理：111111(,,,,)(,,1,,)(,,0,,)(,,,,)[(,,0,,)][(,,1,,)]i n i n i n i n i n i n f f f f f f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =⋅+⋅⎧⎨=+⋅⋅⎩ 。

教学小结：1)理解三种基本逻辑运算的定义，熟练掌握它们的运算方法(真值表)、表达式及图形符号；2)熟练掌握逻辑代数的基本公式和常用公式；3)理解逻辑代数中三条基本定理内容，掌握它们的应用。

作业布置：题1.8(6)、(8)、(9)教学后记：1.5 逻辑函数及其表示方法一、逻辑函数逻辑输出(结果)变量Y 与逻辑输入(条件)变量(A 、B 、C 、…)之间的逻辑关系称为逻辑函数，记为：，其中，所有变量只能取1或0。

Y (A,B,C,f =)Y,A,B,C, 如：举重裁判问题，(为主裁)。

Y AB+AC =A二、逻辑函数的表示方法1、逻辑真值表：将所有输入取值组合及对应输出值列成的表格2、逻辑函数式：用与、或、非等运算关系表示逻辑关系的式子。

3、逻辑电路图：用与、或、非等图形符号表示逻辑关系的图形。

4、波形图：由所有输入变量取值组合的高、低电平及对应输出变量高、低电平构成的图形。

5、卡诺图：三、不同表示方法之间的转换1、真值表→函数表达式①找出表中所有使输出变量为1的输入取值组合；②写出对应乘积项：取值为1的用原变量表示，取值为0的用反变量表示；③将全部乘积项相加即可。

例：Y ABC+ABC+ABC =2、函数表达式→真值表将输入变量取值的的组合逐一代入函数式得到函数值并将其列成表格即得到真值表。

例：列函数Y AB+BC+ABC =的真值表。

3、函数表达式→逻辑电路图 用相应图形符号一一取代函数式中的运算符号即得到函数式对应的逻辑电路。

例：画函数式Y A+BC+ABC+C =对应的电路图。

4、逻辑电路图→函数表达式从输入到输出逐级写出各图形符号对应的逻辑式即可得到最终函数式。

[例]5、函数表达式→波形图：[例]四、逻辑函数的两种范式1、最小项与最大项①最小项概念：对任意变量函数，若乘积项以所有变量(个)为因子且各因子仅以原变量或反变量形式出现一次，则该乘积项称为该变量的最小项。

n n n →最小项的表示及编号方法：常用表示，其中为最小项的编号，是使的变量取值组合所对应的二进数(首先需要进行变量排序)。

i m i i 1i m =→最小项的性质特点：1)变量的最小项共个；n 2n 2)对任一变量取值组合，所有最小项中有且只有一个等于“1”；3)2101n i i m −==∑；4)，0i j m m ⋅≡,,all i j i j ∀≠； 5)任意两个只有一个因子不同的最小项(相邻最小项)可以合并成一项，同时消去一对因子。

如：ABC ABC BC +=。

②最大项概念：对任意变量函数，若和项以所有变量(个)为因子且各因子仅以原变量或反变量形式出现一次，则该和项称为该变量的最大项。

n n n →最大项的表示及编号方法：常用i M 表示，其中i 为最大小项的编号，i 是使的变量取值组合所对应的二进数(首先需要进行变量排序)。