2018年中考数学压轴题专题练习-----圆与动点问题
2018年人教版中考数学经典复习题中考动点问题
中考动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1 )如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NGPOAB图1x y解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
2018届中考数学专题3 动点问题 (共30张PPT)
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∴点 P 的坐标为 - 2 ,0 .
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考题·体验感悟
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1.(2017· 山东枣庄)如图,直线y= 3 x+4与x轴,y轴分别交于点A和点B, 点C,D分别为线段AB,OB的中点,点P为OA上一动点,当PC+PD最小 时,点P的坐标为( C )
A.(-3,0)
B.(-6,0)
C.
3 - ,0 2
BD= BC2 + CD2 = 5,
由折叠知△A1DE≌△ADE, 所以A1D=AD=1.
由 A1B+A1D≥BD,得 A1B≥BD-A1D= 5-1. 故 A1B 长的最小值是 5-1.
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类型一
类型二
类型三
类型二 几何图形中的动点问题 例2(2017· 山东泰安)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB 向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四 边形PABQ面积的最小值为( )
D.
5 - ,0 2
解析: 作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD 值最小,如图所示.
令 令
2 y=3x+4 2 y=3x+4
中 x=0,则 y=4,∴点 B 的坐标为(0,4); 中 y=0,解得 x=-6,
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2018年中考与圆有关的动点问题(答案)
1.【答案】D 【解析】如解图，点D 运动的路径是以AO 中点M 为圆心，AO 一半的长为半径的圆，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，∴AO ＝12AB ＝4，∴点D 运动的路径长为：π×4＝4π．2.【答案】B 【解析】如解图，过A 作⊙O 的直径AE ，连接ED ，AD ，∴∠ADE ＝90°，∵∠E ＝∠B ＝30°，∴∠EAD ＝60°．在Rt △ADE 中，AD ＝12AE ＝6，∵AC 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC ＝90°，∴∠CAD ＝90°－60°＝30°，过点D 作AC 的垂线，垂足为C ＇，在Rt △DA C ＇中，∵∠DA C ＇＝30°，∴DC ＇＝12AD ＝3，∴当点C 在C ＇点时，CD 有最小值，最小值为3．3.【答案】D 【解析】如解图，连接OA ，OB ，∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝60°．∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝6．当GH 为⊙O 的直径时，GE ＋FH 有最大值．∵当GH 为直径时，E 点与O 点重合，∴AC 也是直径，AC ＝12．∵∠ABC 是直径所对的圆周角，∴∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，∴AB ＝12AC ＝6．∵点E 、F 分别为AC 、BC 的中点，∴EF ＝12AB ＝3．∴GE ＋FH ＝GH －EF ＝12－3＝9． 4.【答案】D 【解析】∵AB ＝15，AC ＝9，BC ＝9，∴2AB ＝2AC ＋2BC ，∴△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，点C 在圆上，所以EF 为圆的直径，若求线段EF 的最值，即要使圆最小，圆与AB 的切点为D ，如解图，连接CD ，当CD 垂直于AB 时，即CD 是圆的直径时，EF 长度最小，即最小值是斜边AB 上的高CD ，利用三角形面积可得：12AB ·CD ＝12AC ·BC ＝12×15×CD ＝12×12×9，解得CD ＝365． 5.【答案】C 【解析】当点C 为劣弧AB 的中点时，△ABC 内切圆半径r 最大，如解图，连接OC 交AB 于D 点，⊙M 为△ABC 内切圆，作ME ⊥AC 于E 点，∵点C 为劣弧AB 的中点，∴OC ⊥AB ，AD ＝BD ＝12AB ＝3，AC ＝BC ，∴点M 在CD 上，∴ME 和MD 都为⊙M 的半径，设ME ＝MD ＝r ，∵∠ACB ＝120°，∴∠A ＝30°，∠ACD ＝60°，在Rt △ACD 中，CD在Rt △CEM 中，∠ECM ＝60°，∠CME ＝30°，CEEMr ，第1题解图B第2题解图第3题图D第4题解图AF E CB∴CM ＝2CE，CM ＋DM ＝CD＋rr ＝6－6.【答案】C 【解析】由题可知=ABCACDABCD S SS+四边形，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，如解图，则1=2ABCD S AC BF ∙四边形＋12AC DE ∙＝12＋12DE，当点D 为劣弧AC 的中点时，DE 取得最大值，此时∠DAC ＝∠ACD ＝∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，在Rt △ADE 中，AE ＝12AC，DE ＝12AD ，由勾股定理可得DE ＝12，∴此时12ABCD S 四边形7.【答案】B 【解析】如解图，作直径BD ，连接CD ，OC ，BM ，CM ，OM ，则∠BCD ＝90°，则∠BAC ＝∠D ，∵BC ＝BD ＝2OB ＝4，∴CD2，∴CD ＝12BD ，∴∠DBC ＝30°，∴∠BAC ＝∠D ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∵P 点是△ABC 的内心，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12（∠ABC ＋∠ACB ）＝60°，∴∠BPC ＝120°＝∠BOC ，∴点O 在⊙M 上，∴OM ＝CM ，∵BM ＝CM ，∴BM ＝CM ，∴∠BOM ＝∠COM ＝60°，∴△OCM 是等边三角形，∴CM ＝OC ＝2，即⊙M 的半径不变等于2．故选B ．8.【答案】B 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵∠ACB ＝45°，∴∠AOB ＝90°，又∵OA =OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∵AB ＝6，∴OA =OB =6M 、N 分别是AB 、BC 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，∴MN =12AC ，要使MN 最大，即AC 最大，而AC 是⊙O 的弦，故AC 是⊙O 的直径时，值最大，此时AC =2OA MN 长的最大值是12AC =12⨯第5题解图A第6题解图第7题解图第8题解图9.【答案】B 【解析】如解图，将⊙O 补全，延长BO 交⊙O 于点C ，连接AC 交MO 于点P ，连接BP ，∵CB ⊥MN ，OB =OC ，∴BP =CP ，∴PA +PB =PA +PC ，根据两点之间线段最短可知所作点P 即为所求，此时PA +PC =AC ．∵CB 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，AB =4，BC =2OB =10，∴AC10.【答案】C 【解析】如解图，∵AC 为其直径，∠ACB ＝30°，∴∠A ＝60°，∵点A ＇在AC 上运动，∴∠A ＇＝∠A ＝60°，∵C ＇B ⊥A ＇B ，∴∠C ＇＝90°－60°＝30°，∵∠C ＇是定值，∴点C ＇的运动路径是一个圆，当点C ＇运动到C ''时，C C ''＝2BC ，∵⊙O 的半径为7，∴AC ＝14，AB ＝7 ，∴BC ＝C C ''＝C ＇以在C C ''中点M 为圆心，BC ＇的最大值为11.【答案】A 【解析】连接AE ，如解图①，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝AB ＝AC ＝4，∵AD 为直径，∴∠AED ＝90°，∴∠AEB ＝90°，∴点E 在以AB 为直径的⊙O 的上，∵⊙O 的半径为2，∴当点E 为线段OC 与⊙O 的交点时，CE 最小．如解图②，在Rt △AOC 中，∵OA ＝2，AC ＝4，∴OCCE ＝OC －OE＝－2．即线段CE长度最小值为2．当点E 为射线CO 与⊙O 的交点时，CE 最大，最大值为+2，∴－2≤CE ≤＋2．12.【答案】A 【解析】如解图，连接OQ ，∵MN ＝OP （矩形对角线相等），⊙O 的半径为2，OQ ＝12MN ＝12OP ＝1，可得点Q 的运动轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆．当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 也是转过45°．∴Q 运动过的长度为45360︒︒×2π＝4π．故选A ． 13.【答案】C 【解析】如解图，连接CE ，∵点E 是AD 的中点，A ＇E ＝AE ＝12AD ，点F 为动点，则随着F 的运动，A ＇的运动轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径在矩形ABCD 内的第9题解 图第10题解图②图B①图圆弧，则C A ＇、A ＇E 和CE 围成三角形，根据三角形的三边关系，即A ＇E + C A ＇＞CE ，当E 、A ＇、C 在同一直线上时，则A ＇E + C A ＇＝CE ，此时C A ＇最小．在Rt △CDE 中，CD ＝3，DE ＝1，则CEC A ＇1．14.【答案】A 【解析】过点A 、B 作圆P ，且使OA 、OB 交⊙P 于A 、B 两点，如解图，连接AP ，BP ，∵OA ＝OB ＝AB ＝4，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°，∵BD ⊥BC ，∴∠D ＝60°，∵AB ＝4，是一个定值，∴点D 在圆P 上，要使△ABD 面积的最大，∴点D 到AB 的距离要最大时，此时D 为圆P 优弧AB 的中点，此时△ABD 为等边三角形，D 到AB 的距离为ABD S ∆＝12△ABD 面积的最大值为15.【答案】B 【解析】当点C 运动到A 点处时，点D 在如解图D ＇的位置处，当点C 运动到B 点处时，点D 与点B 重合，∵△BCD 是等边三角形，∴∠CDB ＝60°，又∵CO ＝BO ，∴△CDO ≌△BDO ，∴∠ODB ＝30°，∴点C 在半圆AB 上运动时，点D 在以BD ＇为直径的圆上运动，当点O ，D 与BD ＇的中点M 共线时，线段OD 最长，为⊙M 的直径，∴OD 的长随点C 的运动而变化，最大值为16.【答案】B 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵∠AMB ＝45°，∴∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，∵⊙O 的半径是2，∴AB＝＝，∵A M BA NM A N B S S S ∆∆=+四边形,∴要使四边形MANB 面积最大，则需两个三角形的高的和最大，当MN 为直径时，NM 最大，∴由垂径定理可知MN ⊥AB 时，四边形MANB 面积有最大值，∴MANB S 四边形＝12·AB ·MN ＝1217.【答案】C 【解析】如解图，取劣弧CB 的中点D ，连接AD ，BD ，∵∠BCA ＝90°，AB ＝第12题解图CF第13题解图第14题解图第15题解图2AC ＝4，∴CA ＝2，则∠ABC ＝30°，∴∠BAC ＝60°，∵D 为劣弧CB 的中点，∴BD ＝CD ，∴∠BAD ＝30°，∴BD ＝12AB ＝2，∠BPC ＝60°，∴∠BDC ＝120°，∵I 为△PBC 的内心，∴∠PBI ＝∠IBC ，∵BD ＝CD ，∴∠BPD ＝∠DBC ，∴∠PBI +∠BPD ＝∠IBC +∠DBC ，即∠BID ＝∠IBD ，∴ID ＝BD ，∵BD ＝CA ＝2，∴ID ＝2，∴动点I 到定点D 的距离为2，即点I 的轨迹是以点D 为圆心，2为半径的弧CIB （不含C 、B ），弧CIB 的长为1202180π⨯＝43π，则l 的取值范围是：0＜l ＜43π18.【答案】A 【解析】如解图，分别作∠A 与∠B 的角平分线，交点为P ，∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AP 与BP 为CD 、CE 的垂直平分线．又∵圆心O 在CD 、CE 垂直平分线上，则交点P 与圆心O 重合，即圆心O 是一个定点，连接OC ，若半径OC 最短，则OC ⊥AB ．又∵∠OAC ＝∠OBC ＝30°，AB ＝4，∴OA ＝OB ＝2OC ，∴AC ＝BC ＝2，∴在Rt △AOC 中，2OC =2AO －2AC ，即2OC =42OC －4，解得OC19.【答案】C 【解析】如解图，连接OP ，∵PM ⊥CD ，PN ⊥AB ，∴∠PMO ＝∠PNO ＝90°，∴点M 、N 在以OP 为直径的圆上，∴∠MPN ＝90°，MN 有最大值2．20.【答案】 B 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点P ′，由圆的性质知，当点P 运动到点P ′时，DP 的值最大．∵△ABC 为等腰直角三角形，且AB＝∴BC＝根据勾股定理得8AC ==，∵点D 、O 分别为AB 、AC 的中点，∴DO为△ABC的中位线，∴12DO BC ==DP ′＝DO ＋OP ′＝4，故DP 的最大值为4．第16题解图第17题解图第18题解图B第19题解图第20题解图 第22题解图 第23题解图 21.C 【解析】如解图，点P 运动的路径是以G 为圆心的劣弧，在⊙G 上取一点H ，连接EH 、FH ，∵四边形AOCB 是正方形，∴∠AOC ＝90°，∵∠CEA ＝12∠COA ＝45°，∴∠AFP ＝45°，∵EF 是⊙O 的直径，∴∠AFP ＝45°，∵EF 是⊙O 的直径，∴∠EAF ＝90°，∴∠APF ＝∠AFP ＝45°，∴∠H ＝∠APF ＝45°，∴∠EGF ＝2∠H ＝90°，∵EF ＝4，GE ＝GF ，∴GE ＝GF＝EF 的长为90222180π=22.A 【解析】作DH ⊥BC 于H ，如解图，∵四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，∴四边形ABHD 为矩形，∴AB 为直径，∴AD 和BC 为⊙O 的切线，∵CD 和MN 为⊙O 切线，∴DE ＝DA ，CE ＝CB ，NE ＝NF ，MB ＝MF ，∵四边形ABHD 为矩形，∴BH ＝AD ＝2，DH ＝AB ＝6，设BC ＝x ，则CH ＝x －2，CD ＝x ＋2，在Rt △DCH 中，∵222CH DH DC += ，∴222(2)6(2)x x -+=+,解得x ＝92，∴CB ＝CE ＝92，∴△MCN 的周长＝CN ＋CM ＋MN ＝CN ＋CM ＋NF ＋MF ＝CE ＋CB ＝923.A 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在以AO 为直径的圆上，当点D 运动到点C 处时，AE ′＝12AC ；当点D 运动到点B 处时，AE ′′＝12AB ，∴E ′E ′′为△ABC 的中位线，∴E ′E ′′＝12BC ＝2，∵∠A ＝45°，∴E E ''' 所对的圆心角为90°，点E所在圆的半径r ∵点D 在优弧BAC上运动，∴点E运动的路径长为(3601802-=．24.A 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在⊙M 上，点D 运动到D ′处时，D ′、O 、B 、M 共线，此时D ′B 为⊙O 的直径，∵BE ＝12BD ，∴BM ＝12BO ，在Rt △ABC 中，∵BC ＝AB ＝4，∴AC ＝BO＝AO ＝BM D 与点A 重合时，点EC运动到E ′′处，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠C ＝45°，∴∠BOA ＝90，∴∠E ′′MB ＝90°，∴当点D 从点A 运动至点B 时，点E的运动路径长为901802=．第24题解图 第25题解图25.C 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥OM ，交直线l 同侧的⊙O 于点F ，连接OF ，记OF 的中点为G ，∵CM ⊥直线l ，∴∠MCO ＝∠OPF ＝90°，在Rt △CMO 和Rt △POF ，∴∠POF ＝∠CMO ，OF ⊥直线l ，∵点G 是OF 的中点，∴OG =GP =GF ，∴点P 在以点G 或G ′为圆心，OG 或OG ′长为半径的圆上，当点M 运动一周时，点P 的运动路程是⊙G 周长的2倍，∵OF ＝OM ＝10，∴点P 运动路程为2×10π＝20π．。
2018春中考数学《动点问题：圆中的动点》针对演练
第二部分 攻克题型得高分题型七 几何图形动点问题 类型一 圆的动点问题1. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，cosB ＝45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交BA 的延长线于点D ，使得∠BPD ＝∠BAC ，以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E ，连接CE ，设BD ＝x ，CE ＝y.(1)当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；(2)当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的自变量取值范围．第1题图2. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，CB ＝6，点D 在线段CB 的延长线上，且BD ＝2，点P 从点D 出发沿着DC 向终点C 以每秒1个单位的速度运动，同时点Q 从点C 出发沿着折线C －B －A 往终点A 以每秒2个单位的速度运动，以PQ 为直径构造⊙O ，设运动的时间为t(t ≥0)秒．(1)当0≤t<3时，用含t 的代数式表示BQ 的长度； (2)当点Q 在线段CB 上，求⊙O 和线段AB 相切时t 的值．第2题图3. 如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC ＝6 cm，BC＝8 cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ＝k·AP(k>0)，连接PC、PQ.(1)求⊙O的半径长；(2)当k＝2时，设AP＝x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)如果△CPQ与△ABC相似，且∠ACB＝∠CPQ，求k的值．第3题图4. (2017烟台)如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12 cm，BD＝16 cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2 cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1 cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止．设运动时间为t(s)(t>0)，以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN.(1)求BF的长(用含有t的代数式表示)，并求出t的取值范围；(2)当t 为何值时，线段EN 与⊙M 相切？(3)若⊙M 与线段EN 只有一个公共点，求t 的取值范围．第4题图5. 如图①所示，在正方形ABCD 中，AB ＝1，AC ︵是以点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧，点E 是边AD 上的动点(点E 与点A ，D 不重合)，过E 作AC ︵所在圆的切线，交边DC 于点F ，G 为切点．(1)求证：EA ＝EG ；(2)设AE ＝x ，FC ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；(3)如图②所示，将△DEF 沿直线EF 翻折后得△D 1EF ，连接AD 1，D 1D ，当△AD 1D 与△ED 1F 相似时，求AEFC的值．第5题图 答案1. 解：(1)如解图，作PF ⊥BD 于点F ，作AH ⊥BC 于点H ，设⊙P的半径为r.∵AB＝AC＝5，∴BH＝CH，∴在Rt△ABH中，∵cosB＝BHAB＝45，∴BH＝45×5＝4，∴AH＝3，BC＝2BH＝8，在Rt△ABH中，sinB＝3 5，在Rt△BPF中，sinB＝PFPB＝35，又∵PB＝BC－PC＝8－Y，∴PF＝35(8－r)，当⊙P与AB相切时，PF＝PC，即35(8－r)＝r，解得r＝3，即当⊙P与AB相切时，⊙P的半径为3.(2)∵∠BPD＝∠BAC，∠PBD＝∠ABC，∴△BDP∽△BCA，∴BPBA＝BDBC，即8－r5＝x8，∴r＝8－58 x，作PG⊥CE于点G，如解图，则CG＝EG＝12 y，第1题解图 ∵PE ＝PC ，∴∠EPG ＝∠GPC ＝12∠EPC ，∵△BDP ∽△BCA ，AB ＝AC ， ∴PB ＝PD ， ∴∠DPF ＝12∠DPB ，∴∠GPF ＝12∠DPC ＋12∠DPB ＝90°，∴FP ⊥PG ，∴∠GPC ＝∠B ＝∠EPG ，在Rt △PGC 中，sin ∠GPC ＝CG PC ＝sinB ＝35，∴12y ＝35r ， ∴12y ＝35(8－58x)， ∴y ＝－34x ＋485，当P 点在C 点时，r ＝0，即8－58x ＝0，解得x ＝645，∴x 的取值范围为5<x<645.2. 解：(1)当0≤t<3时点Q在BC上运动此时，BQ＝BC－CQ＝6－2t.(2)分两种情况讨论：①当P，Q还未相遇时，如解图①，⊙O与AB的切点为E.第2题解图①由题意得：CD＝8，CQ＝2t，DP＝t，QP＝CD－CQ－DP8－3t，OE＝12QP＝8－3t2，BP＝BC－CQ－PQ＝t－2，OB＝OP＋BP＝8－3t2＋t－2＝2－t2，∵⊙O与AB相切，∴OE⊥AB，∵sin∠ABC＝OEOB＝ACAB，∴8－3t24－t2＝45，解得t＝2411；②当P，Q相遇后，如解图②，⊙O与AB的切点为E，第2题解图②由题意得：BQ ＝6－2t ，PQ ＝BP －BQ ＝(t －2)－(6－2t)＝3t －8， OE ＝12QP ＝3t －82，OB ＝OQ ＋BQ ＝4－t 2，∵⊙O 与AB 相切，∴OE ⊥AB ， ∵sin ∠ABC ＝OE OB ＝AC AB ，∴3t －824－t 2＝45，解得t ＝5619. 综上所述，满足条件的t 值有t ＝2411或5619.3. 解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10， ∴⊙O 的半径为5；(2)如解图①，作PH ⊥BC 于H.第3题解图① ∴PH ∥AC ，∴PH AC ＝PBAB，∴PH 6＝10－x 10，∴PH ＝35(10－x)，又BQ＝KAP，k＝2∴BQ＝2x，∴CQ＝8－2x∴y＝12·CQ·PH＝12·(8－2x)·35(10－x)＝35x2－425x＋24(0<x<4)．(3)如解图②，第3题解图②∵△CPQ与△ABC相似，∠CPQ＝∠ACB＝90°，∠CQP>∠B，∴只有∠PCB＝∠B，∴PC＝PB，∵∠B＋∠A＝90°，∠ACP＋∠PCB＝90°，∴∠A＝∠ACP，∴PA＝PC＝PB＝5，即点P与点O重合，又BQ＝k·AP，AP＝5∴BQ＝5k，CQ＝8－5k，∴△COQ∽△BCA，∴COBC＝CQBA，∴58＝8－5k 10，∴k ＝720. 4. 解：(1)由题意可得：DN ＝2t ，BM ＝t ，BN ＝16－2t ，BE ＝2t ∵四边形ABCD 是菱形，∴OB ＝OD ＝12BD ＝8，OA ＝OC ＝12AC ＝6，∴Rt △AOB 中，AB ＝62＋82＝10， 如解图①，过点M 作MQ ⊥BD 交BD 于点Q ，第4题解图①∵∠MQB ＝90°＝∠AOB ，∠MBQ ＝∠ABO ， ∴△MQB ∽△AOB ， ∴BQ BO ＝BMBA ， 即BQ 8＝t 10， ∴BQ ＝45t ，∵点M 为⊙M 的圆心，MQ ⊥BF ， ∴BF ＝2BQ ＝85t.又∵当N 点与B 点重合时，DN ＝2t ＝16， ∴t ＝8，即t 的取值范围为0<t<8；(2)当线段EN 与⊙M 相切时，则EN ⊥BE ，∠BEN ＝90°， ∵∠BEN ＝∠AOB ＝90°，∠EBN ＝∠OBA ， ∴△BEN ∽△BOA ，∴BE BO ＝BNBA即2t 8＝16－2t 10，解得t ＝329， ∴当t ＝329时，EN 与⊙M 相切；(3)当0＜t ≤329时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点．第4题解图②如解图②，当点E 在BA 延长线上且EN ⊥BD 时，⊙M 与线段EN 此时有两个公共点，Rt △BNE 中，BN ＝BE·cos∠ABO ＝2t ×45＝85t.∵DN ＝2t ，∴85t ＋2t ＝16，∴t ＝409.当t ＞409时，EN 在⊙M 内部，此时⊙M 与EN 只有一个公共点，又∵⎩⎪⎨⎪⎧2t ＜16t ＜10，∴t ＜8，∴409＜t＜8，∴当0＜t≤329或409＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点．5. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝1，∴AD⊥BA，∴AD是圆B的切线，∵EG是圆B的切线，∴EA＝EG；(2)解：由(1)知EA＝EG，同理FG＝FC.∵AE＝x，FC＝y∴EF＝x＋y，DE＝1－x，DF＝1－y，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得(x＋y)2＝(1－x)2＋(1－y)2，∴y＝1－x1＋x(0<x<1)；(3)解：由翻折性质及题意知，第4题解图当△AD1D∽△ED1F时，∠D1AD＝∠D1EF，∴∠ED 1G ＋∠D 1EG＝∠D 1AD ＋∠EDD 1＝90°，∴四边形ED 1FD 为矩形．又∵ED 1＝ED ，∴四边形ED 1FD 为正方形．∴∠EDD 1＝∠D 1AD ＝45°.∴D 1在AD 垂直平分线上，此时AE ＝ED ＝12，D 1E ⊥AD ， 由翻折性质可知D 1E ＝ED ＝12， ∴EG ＝GF ＝12DD 1＝12×22＝24， 由(1)知：AE ＝EG ，GF ＝CF. ∴AE FC ＝EG GF＝1.。
2018年中考压轴题(动点问题) 精品
2018压轴题-动点问题1、（2018包头）如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？2、（2018齐齐哈尔）直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3（2018深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4（2018哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．5（2018河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C 出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．6（2018河南））如图，在Rt ABC°，°，2BC=．点ACB B∠=∠=△中，9060O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．（2）当90（备用图）7（2018济南）如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8（2018江西）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.CMA D E BF C图4（备用）ADE BF C图5（备用）A D E BF C图1 图2A D EBF C PNM 图3A D EBFCPN M（第25题）9（2018兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C →D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．10（2018临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD∠的是正方形，点E是边BC的中点．90∠=，且EF交正方形外角DCGAEF平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．11（2018天津）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．ADFC GE 图1ADF C GE 图2 ADFC GE B图312（2018太原）问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AMBN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）方法指导： 为了求得AMBN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（2）N A BCDEFM 图（1） A B CDEFMN。
2018年中考数学压轴题专题解析---几何动态探究问题—动点+动面
第１题图 （1）在整个运动过程中，当点 G在线段 AE上时，求 t 的值； （2）在整个运动过程中，是否存在点 P，使△ APQ是等腰三角形？若存在，求出 t 的值； 若不存在，说明理由； （3）在整个运动过程中，设△ GMN与△ AEF重叠部分的面积为 S．请直接写出 S 与 t 之间的 函数关系式以及自变量 t 的取值范围 ; (4) 在运动过程中，是否存在某一时刻 t , 使得 S: S△GMN=1:2? 若存在，求出 t 的值，若不存在， 请说明理由 .
2018 年中考数学压轴题专题解析 --- 几何动态探究问题—动点 +动面
1. 已知在矩形 ABCD中， E 为 BC边上一点， AE⊥DE， AB＝12， BE＝16， F 为线段 BE上一点， EF＝ 7，连接 AF．如图①，现有一张硬质纸片△ GMN，∠ NGM＝ 90°， NG＝ 6，MG＝ 8，斜边 MN 与边 BC在同一直线上，点 N与点 E 重合，点 G在线段 DE上．如图②，△ GMN从图①的位置 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 EB向点 B 匀速移动，同时点 P 从 A点出发，以每秒 1 个单 位的速度沿 AD向点 D匀速移动，点 Q为直线 GN与线段 AE的交点，连接 PQ．当点 N到达终 点 B 时，△ GMN和点 P同时停止运动．设运动时间为 t 秒，解答下列问题：
AB与 QR在同一直线 l 上，开始时点 Q与点 A 重合，让△ PQR以 1cm/ s 的速度在直线 l 上运 动，同时 M点从点 Q出发以 1cm/ s 沿 QP运动，直至点 Q与点 B 重合时，都停止运动，设运
动的时间为
t （ s），四边形
PMBN的面积为
S（
2
cm
）．
第 2 题图
（1）当 t =1s 时，求 S 的值；
最新-2018年苏州市中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案) 精品
与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b的最大值.引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).A．3 B．6 CD．一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n）为⊙A 上的一个动点，请探索n+m 的最大值．例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .2．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ；（2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .例三、正弦定理 1．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．2. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值是 ．A例四、柯西不等式、配方法1．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .2．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O半径的最小值为( ).D. 23．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．3 D．2例五、其他知识的综合运用1.（2018•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E 重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．2.（2018秋•相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为．B【题型训练】1．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为 .2．已知：如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EG⊥DE交射线BC于G.（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是；（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是 .3．如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q 为⊙N上的任意一点，直线PQ与连心线l所夹的锐角度数为α，当P、Q在两圆上任意运动时，tanα∠的最大值为(B)43；； (D)344．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).(A)4 (B)215(C)358(D)174 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB 分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).A．194B．245C．5 D．6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( ).A．2 B．1 C.2- D.28．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).A．3 B．113C．103D．49．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ 切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).10．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .11．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（m n，）是第一象限内一点，且AB=2，则m n-的范围为 .12．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则tan ABP m∠=，则m的取值范围是 .13．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．参考答案：引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC==，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．引例1图引例2图+≤引例2.a b原题：（2018•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O 为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2= a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围．【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。
2018年中考与圆有关的动点问题
2018年中考与圆有关的动点问题1．如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙O 上运动一周，点D运动的路径长为（）A．π B．2π C．3π D．4π2．如图，⊙O的半径为6，B是优弧AD上一动点，∠B＝30°，AC是⊙O的切线，则CD 的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．63．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O的优弧AB上一动点，且∠ACB＝30°，点E是AC的中点，直线EF∥AB与⊙O交于G、H两点，交BC于点F，若⊙O的半径为6，则GE＋FH的最大值( )A．不存在B．6 C．8 D．94．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝9，BC＝9，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是（）A．7 B．185C．14 D．3655．如图，点C是⊙O上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120°，△ABC内切圆半径r的最大值为（）AB．C．6－D．6△ABC内接于⊙O，点D为劣弧AC上一动点（且与A、C不重合），则四边形ABCD的最大面积为（）第1题图BA第2题图第3题图第4题图AFECB12A ．2B ．4 CD ．7．如图，半径为2的⊙O 中，弦BC ＝A 是优弧BC 上的一个动点，P 点是△ABC 的内心，经过B 、C 、P 三点作⊙M ，当点A 运动时，⊙M 的半径（ ） A ．发生变化，随A 位置决定 B ．不变，等于2 C ．有最大值为D ．有最小值为18．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝6，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，若点M 、 N 分别是AB 、BC 的中点，则MN 长的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，A 、B 是半圆O 上的两点，MN 是直径，OB ⊥MN ．若AB ＝4，OB ＝5，P 是MN 上的一动点，则PA ＋PB 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D第5题图第6题图第7题图第8题图第9题图第10题图第11题图BC第12题图310．在半径为7的圆O 中，AC 为其直径，点B 是圆上的定点，∠ACB ＝30°，点A ＇在AC 上运动（不与A ，C 重合），C ＇B ⊥A ＇B 交A ＇C 的延长线于点C ＇，则B C ＇的最大值为（ ）A ．14B ．21C ．D ．11．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝D 是直线AC 上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的范围是（ ） A ．－＋2 B ．2C ．2＜CE ＜＋2 D ．CE ＜＋212．如图，⊙O 的半径为2，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点（P与A ，B ，C ，D 不重合），过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径长为（ ） A ．4π B ．2π C ．6π D ．3π13．在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，点E 是AD 边的中点，点F 是AB 延长线上的一动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折得到△A ＇EF ，连接A ＇C ，则A ＇C 的最小值为（ ）A ．3 BC1 D ．214．已知A 、B 为⊙O 上两点，且OB ＝AB ＝4，C 为优弧AB 上一动点（C 不与A 、B 重合），过点B 作BD ⊥BC 交直线CA 的延长线于点D ，则△ABD 面积的最大值为（ ） A ．B ．C ．D415．如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝C 为半圆AB 上一动点，以BC 为边向⊙O 作等边△BCD （点D 在直线AB 的上方），连接OD ，则线段OD 的长（ ）A ．随点C 的运动而变化，最大值为4B ．随点C 的运动而变化，最大值为C ．随点C 的运动而变化，最大值为2D ．随点C 的运动而变化，但无最值16．如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是（ ） A ．8 B ．C ．D ．417．如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠BCA ＝90°，AB ＝2AC ＝4，点P 在优弧CAB 上由点C向点B 移动，但不与点C 、B 重合，点I 为△PBC 的内心，则点I 随点P 移动所经过的路径长l 的取值范围是（ ） A ．l ＜43π B ．l ＜23π C ．0＜l ＜43π D ．0＜l ＜23π18．如图，已知线段AB ＝4，C 为线段AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），分别以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 的半径最小值为（ ） ABCD ．2 第13题图CDA'E FBAD第14题图A第15题图D第16题图5第20题图19．如图，⊙O 的半径是2，AB 、CD 是⊙O 的直径，P 是BC 上任意一点，PM ⊥CD 于M ，PN ⊥AB 于N ，MN 的最大值为（ ） AB ．1C ．2D ．20．如图，等腰Rt △ABC 内接于⊙O ，AB=D 为AB 的中点，P 为⊙O 上一动点，则线段DP 的最大值为（ ） A．2B．4 C ．D．621．如图，正方形OABC 的边长为2．以O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点A ，连接AE ，CF 相交于点P ，将正方形OABC 从OA 与OF 重合的位置开始，绕着点O 逆时针旋转90°，则点P 运动的路径长是 ( )第17题图第18题图第19题图A．2π B．π CD．3π第21题图第22题图第23题图第24题图第25题图22．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD＝2，AB＝6，以AB为直径的⊙O 切CD于点E，F在劣弧BE上运动，过点F的直线MN为⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长( )A．不变，等于9 B．随点F的运动而变化，最大值为9 C．随点F的运动而变化，最小值为9 D．随点F的运动而变化，无法确定23如图，△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=4，当点D在优弧BAC上由B点运动到C 点时，弦AD的中点E运动的路径长为（）．A．2πB. C．2πD.第24题图第25题图24如图，在等腰Rt△ABC中,BC=AB=4,点D在以斜边AC为直径的圆上，点E在线段DB6的延长线上，EB＝12BD，当点D在劣弧AB上从点A运动至点B时，点E运动的路径长是（）A．2π Bc．π D 2π25如图，已知直线l经过圆心O，P是半径OM上一动点，当半径OM绕点O旋转时，总有点P到点O的距离等于点M到直线l的距离，若OM＝10，则当OM绕点O旋转一周时，点P运动的路程是（）A ．10π B．15π C．20π D ．25π7。
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2018年中考数学压轴题专题练习-----圆与动点问题
1.在平面直角坐标系中的点和图形，给出如下的定义：若在图形上存在一点，使得两点间xOy P M M Q P Q 、的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．
P M （1）当的半径为2时，
O
①在点中，的关联点是_______________．123115,0,,,0222P P P ⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
⎝O ②点在直线上，若为的关联点，求点的横坐标的取值范围．
P y x =-P O P （2）的圆心在轴上，半径为2，直线与轴、轴交于点．若线段上的所有点都是C x 1y x =-+x y A B 、AB 的关联点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．
C C 2.如图，是的直径，，连接．AB O
,2AC BC AB ==AC
（1）求证：；
045CAB ∠=（2）若直线l 为的切线，是切点，在直线l 上取一点，使所在的直线与所在的直线O C D ,BD AB BD =AC 相交于点，连接．
E AD ①试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
AE AD ②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．EB CD
3. 如图，动点M 在以O 为圆心，AB 为直径的半圆弧上运动（点M 不与点A B 、及
AB 的中点F 重合），连接OM .过点M 作ME AB ⊥于点E ，以BE 为边在半圆同侧作正方形BCDE ，过M 点作O 的切线交射线DC 于点N ，连接BM 、BN .
（1）探究：如左图，当M 动点在
AF 上运动时；①判断OEM MDN ∆∆ 是否成立？请说明理由；
②设ME NC k MN
+=，k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；③设MBN α∠=，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）拓展：如右图，当动点M 在 FB
上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）
4.已知二次函数y=﹣x 2+bx+c+1，
①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
②若c=b 2﹣2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切？14
③若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半圆恰好过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足
，13DE EF =求二次函数的表达式．
5．已知：是的弦，点是的中点，连接、，交于点.AB O ⊙C
AB OB OC OC AB D (1)如图1，求证：；
AD BD =(2)如图2，过点作的切线交的延长线于点，点是上一点，连接、，求证：
B O ⊙O
C M P AC AP BP .
90APB OMB -=∠∠°(3)如图3，在(2)的条件下，连接、，延长交于点，若，，求的值.DP MP MP O ⊙Q 6MQ DP =3sin 5
ABO =∠MP MQ
6.如图，⊙M 的圆心M （﹣1，2），⊙M 经过坐标原点O ，与y 轴交于点A ，经过点A 的一条直线l 解析式为：y=﹣x+4与x 轴交于点B ，以M 为顶点的抛物线经过x 轴上点D （2，0）和点C （﹣4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：直线l 是⊙M 的切线；
（3）点P 为抛物线上一动点，且PE 与直线l 垂直，垂足为E ，PF ∥y 轴，交直线l 于点F ，是否存在这样的点P ，使△PEF 的面积最小？若存在，请求出此时点P 的坐标及△PEF 面积的最小值；若不存在，请说明理由．
7.如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．（1）求证：AC2=AE•AB；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；
（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．
8.如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE 与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
ɑ30°40°50°60°
β120°130°140°150°
γ150°140°130°120°
猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
9. 如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．
（1）当∠APB=28°时，求∠B和 CM的度数；
（2）求证：AC=AB。
（3）在点P的运动过程中
①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；
②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．。