理解三角函数(章建跃)
借助“微专题”教学，提高复习效率
借助“微专题”教学，提高复习效率作者：***来源：《数学教学通讯·初中版》2023年第10期［摘要］“微专题”教学法能让学生从本质上掌握教学内容，提升解题能力. 文章以“隐形圆相关的最值问题”的专题复习教学为例，从教学分析出发，分别从“注重预习，初建模型”“加强探究，强化模型”“立足解题，变式拓展”“课堂小结，反思感悟”四个方面展开教学，并从“尊重个体差异，合理设计教学”“利用变式拓展，发散数学思维”“注重教学反思，提炼知识重点”三方面谈一些教学思考.［关键词］微专题；复习教学；隐圆章建跃认为：数学教育应注重教学方法的研究，要以发展学生的数学核心素养为目标，让学生获得用数学知识来解决数学内外问题的能力. 近年来，“微专题”教学法已然成为复习教学的重要方法之一，该教学方法主要立足于学情、教情与考情等综合因素，选择“切口小，针对性强”的一两个关联的知识点或数学思想方法等进行专题复习，让学生深度理解知识本质，获得用这部分知识来解决数学内外问题的能力.教学分析1. 教学内容课堂探究的主题为“隐形圆相关的最值问题”，教学涉及课前预习和课堂教学两大版块. 预习环节，主要是让学生探寻“隐圆”的形成过程与模型. 教学环节，主要分三步走：①将学生的预习成果——隐圆模型进行展示，根据学生的结论进行提炼总结；②带领学生探索隐圆模型的形成依据；③用实际问题鼓励学生自主发现隐圆相关内容，并计算最值，让学生深切体会“探寻模型—发现隐圆—获得路径—解决最值”的过程.2. 教学方法教学预设以发现问题、提出问题与解决问题为主线，让学生全程参与知识的回顾与整理过程，通过一定的探索手段自主归纳模型，而后利用所获得的模型解决实际问题. 让学生在丰富的教学方式中，感知、体悟这一类问题在中考中的命题方向，从而突破思维的瓶颈，在认知上获得质的飞跃.3. 教学手段精心的教学预设离不开科学的教学手段的支持. 教师以“微专题”教学模式为载体，鼓励学生在课前进行独立预习与思考，课堂中要求学生在自己的引导下，积极开动脑筋妥善理解并处理隐圆问题的主要方法（四个步骤），课后可适当地布置作业，以巩固学生的认知.教学过程1. 注重预习，初建模型众所周知，凡事预则立，不预则废. “微专题”教学虽然所涉及的知识点不多，但教学容量并不小，而且涉及的知识点都比较经典，具有一定的代表性，预习环节同样值得重视［1］. 隐圆相关知识，学生之前虽然接触过，但因其比较抽象且历时久远，课前预习必不可少. 本节课预习的主要目的在于回忆、总结几种常见的隐圆模型，为课堂“微专题”复习奠定基础.师：经过课前预习，大家发现隐圆模型有哪些？学生总结出以下几种基本模型（见图1至图4）.分析预习不仅引导学生回顾了隐圆相关知识，还让学生明确了本节课待探索的主题，从而使学生做到胸有成竹. 教师将四种典型模型在课前展示，存在两方面深意：一方面检查学生的预习情况，是对学生预习成果的肯定；另一方面，让一部分学生发现自身认知的漏洞与盲区，从而提高课堂学习的积极性.2. 加强探究，强化模型探究1 上述四种模型作为隐圆的常规模型，大家知道它们是如何形成的吗？经过讨论，学生提出四个隐圆模型所获得的依据分别为：第一个，直角的圆周角所对的弦是直径；第二个，若一个四边形的对角互补，或外角与内对角是相等的关系，那么这个四边形的四个顶点在一个圆上；第三个，定角对定弦；第四个，到定点的距离等于定长的点的集合为一个圆.探究2 这四种模型之间是否存在什么联系？探索发现，图1是图3的特殊情况，一般情况下定角为30°、45°、60°、90°等特殊角，同时，图1也是图4的特殊状态. 模型1的得来依据，从表面上看是“直角的圆周角所对的弦是直径”，实质上却是“到定点的距离等于定长的点的集合是一个圆”.师：通过以上两个探究活动的开展，能否对模型得来的依据进行一个归纳？分析学生通过探究1活动的开展，深化了对各类模型形成本质的理解，这种理解能有效地帮助学生突破本节课的教学重点与难点，从一定意义上让学生更加清晰地理解概念的本质；对于探究2，学生在类比分析中，进一步深化了对模型本身的认识，为后续灵活应用奠定了基础；最后一个问题的提出，具有提炼、总结、提升的意图.3. 立足解题，变式拓展例1 如图5所示，正方形ABCD的边长为4，其中点E，F分别在线段DC，BC上移动，已知DE=CF，AE与DF相交于点P，求CP的最小值.变式如图6，Rt△ABC中，已知AB⊥BC，AB=6，CB=4，点P为△ABC内的一个动点，并满足∠PAB=∠PBC，求线段CP的最小值.分析例题与变式均为90°的圆周角所对的弦为直径的模型，在动态中寻找，都能发现90°的角不会变化，问题在于直角比较难发现. 如例1中的直角，需要在全等的证明基础上获得，而变式中的直角则需要通过角的转化而获得.变式的应用，让学生在解决例1的基础上，更加深入地理解了模型的本质，为提升解题能力奠定了基础. 学生一旦找到隐圆，结合动点的起始点与终止点，不难获得动点的运动轨迹. 那么，线段的最值问题就转化成圆外一点到圆上点的最长与最短距离的问题了. 此例与变式的应用，让学生亲历了“探寻模型、发现隐圆、明确解题路径、解决最值问题”的过程，这种体验为接下来解决更多的实际问题提供了直接经验.例2 如图7所示，点D，E分别为等边三角形ABC中AB，AC边上的两个动点，已知AE=BD，分别连接CD，BE相交于点P，如果等边三角形ABC的边长是2，那么点P的运动路径长是多少？分析本题将例1中弦所对的圆周角从直角转换成120°的角与45°的角，这种转换显然增加了寻找圆心的难度. 同时，变式也由探索线段的最值问题转换到探索面积的最值问题上，从一定程度上对学生的思维提出了更高的要求.本例题，需通过三角形的全等证明才能获得120°的角，例1中也涉及三角形全等的证明问题，这对学生而言是一种方法上的巩固. 而变式题，只有分析线段与角的关系，才能获得45°角. 此例与变式的解决，训练了学生在不同条件与背景下的思维拓展能力，为学生从不同维度掌握解题技巧奠定了基础.例3 如图9所示，菱形ABCD的边长为2，已知∠A=60°，点M为AD边的中点，点N为AB边上的一个动点，若将△AMN沿MN所在的直线进行翻折，可得△NA′M，连接A′C，求A′C长度的最小值.变式如图10所示，△ABC中的∠BAC=90°，已知AB=3，AC=4，且点D为BC边的中点，现将△ABD沿AD所在的直线进行翻折，可得△EDA，連接CE，求CE的长.分析本题为“多点共圆”模型的应用，尽管问题中的点在运动，但是它到定点的距离却是恒定不变的，也就是AM=DM=A′M. 根据模型4的形成依据，很快就能发现隐圆的身影. 本例被称为“伞型”或“鸡爪型”问题，学生通过研究本题，获得从变中探寻不变的量的能力，这也是解决这一类问题的基本方式. 变式的提出，在于考查学生能否在多点共圆的模型下发现新的解题方法，这是一个挑战，也是促进学生思维成长的契机.例4 如图11所示，△ABC为一个边长为2的等边三角形，已知ED⊥AB，EF⊥AC，求AF的值.分析本题为典型的“四点共圆”模型的应用，从“双垂直”的条件不难发现隐圆的存在，通过圆中角的转换，问题迎刃而解. 此例的应用，关键在于能让学生明确“四点共圆”模型的主要特征，从中发现图形. 三角函数设k法的应用以及圆中角的转化都是解决几何问题的常用方法. 变式的拓展，体现了“定角对定弦”与“四点共圆”模型的综合应用，这不仅巩固了本节课所探寻的新内容，而且也是对旧知的温顾.4. 课堂小结，反思感悟课堂总结具有“画龙点睛”之功效. 本节课作为一节“微专题”课，目标明确、知识点清晰，教师在小结时，以总结、提炼与反思为主，以帮助学生更好地将知识内化成自己的认知结构.师：通过本节课的探究，你们能在问题中一眼就发现“隐圆”的存在吗？该如何发现呢？课后请有兴趣的同学写一写关于隐圆的解题思考，下节课我们一起交流.分析这个问题起到了回顾、总结、建构知识脉络的作用，学生结合本节课的解题经验，在思考“如何发现隐圆”的问题引领下形成了自己独特的解题经验. 课后教学思考的书写，不仅训练了学生的反思能力，还从另一个角度训练了学生总结问题的能力，为后续研究其他专题提供了帮助.教学思考1. 尊重个体差异，合理设计教学“微专题”教学内容一般为一个相关联的或能单独研究的知识点、数学思想方法、单个主题等. 对于初三阶段的学生而言，受社会与学习背景等影响，存在一定的个体差异是客观存在的现实. 教师应充分尊重学生的这种差异性，根据学情与教学专题的特点，科学、合理地设计教学，使得每个学生都能在课堂中获得不同程度的进步与发展.隐圆问题的综合性与灵活性比较高，学生掌握时存在一定的困难，加上学生认知水平的参差不齐，着实给教学带来了不小的困难. 本节课，教师以“微专题”教学法为载体，结合预习、探究与反思等教学活动的开展，让每个学生都能根据自身实际情况，选择学习的深度与宽度. 由此可见，本节课虽为“微专题”，实则“大容量”.2. 利用变式拓展，发散数学思维“微专题”教学离不开例题教学的辅助，而例题教学的拓展与延伸，又离不开变式的支持. 尤其是初三复习阶段，教师将复习内容分割为一个个大小专题逐个突破，这些专题看似独立存在，实则互相关联. 而变式的应用，则实现了各个知识点的有效沟通，它主要通过表面的变化，突出核心知识恒定不变的本质［2］，对帮助学生更好地掌握知识与技能具有直接影响. 一般变式应用时，会选择经典例题或教材例题作为“母胎”，以便学生掌握知识的重点与难点.本节课，基于模型建立、应用与总结，让学生以探索模型的形成依据为主线，进行例题的分析与拓展. 每个例题都配有相应的变式，这种模式不仅巩固了学生对各种模型的理解与应用，还为课后研究提供了素材，是学生思维拓展延伸的基础.3. 注重教学反思，提炼知识重点“微专题”教学虽以例题与变式来帮助学生明晰知识点，但它的作用绝不仅限于此. 例题与变式的应用还能有效地帮助学生提炼思想方法与数学模型等，而这一切都离不开“反思”的过程. “微专题”研究若仅凭单个雷同问题的堆砌，必然无法完成它的使命，只有从不同层次进行递进式探索，才能让学生从真正意义上掌握知识本质. 此过程，离不开师生及时、准确的归纳、总结与提炼.常规情况下，“微专题”可以用较短的时间完成教学，但本节课却花费了不少时间. 主要原因有：隐圆这个知识点确实存在一定的难度，学生理解需要一个过程；隐圆模型种类比较多，逐个分析与突破也需要耗费一定的时间.那么，本节课的“微专题”还“微”吗？还可以怎么改进教学设计，做到课堂教学内容“短小精悍”，而教学效果却“稳中有升”呢？这些都是值得反思的问题.参考文献：［1］吕增锋. 数学“微专题教学”到底“微”在哪［J］. 中小学数学（高中版），2018（04）：33-34.［2］李宽珍. 数学微专题教学的特征、策略及方法［J］. 教学月刊·中学版（教学参考），2016（09）：3-7.。
章建跃教授编后漫笔
章建跃简介章建跃，男，1958年8月4日出生，数学本科，北京师范大学课程与教学论（数学）硕士、发展与教育心理学博士。
现任人民教育出版社中学数学室主任、资深编辑。
人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员。
主要研究方向：数学教育心理学，中学数学课程及教材编写，数学课堂教学。
社会兼职：中国教育学会中学数学教学专业委员会副理事长、学术委员会副主任（常务）；中国统计教育学会常务。
“创造性使用教材”≠“脱离教材”章建跃本期刊登的文章中，有多篇文章不约而同地谈到要重视教材的问题。
薛红霞以函数概念的教学为例，阐述了理解教材编写意图对于实现教学目标、提高课堂教学质量的重要意义；连春兴和王霞阐述了以“学案”引导学生阅读教材、开展探究性学习的做法；而对最容易脱离课本的高考复习，韦华荣也提出要以课本为依据、充分重视课本例习题的观点。
这些观点值得重视。
不过，在最近的大量课堂观察中（其中包括全国优质课评比活动中的课），我发现脱离课本进行教学的现象很普遍，这是令人担忧的。
调研表明，出现脱离课本进行教学的原因主要有三个方面：第一，许多教师认为教材内容“简单”，不足以应付高考；第二，误解本次课改提倡的“不是教教材，而是用教材教”、要“创造性地使用教材”的真正意图；第三，许多教师不善于或不愿意花大力气研究教材。
对上述问题，我有如下几点思考：首先，一定要正确理解“不是教教材，而是用教材教”的内涵，我认为这是针对“照本宣科”而言的，绝对不是提倡大家“脱离教材”进行教学（当然，某些“课改专家”确实提出过“教材仅仅是课程资源的一种”“教师是课程资源的开发主体”等，但实践证明，这些观点过于理想化了）。
其次，“教材太简单，不足以应付高考”的观点是偏颇的。
诚然，教材的“基础性”与高考的“选拔性”确有一定的目标差异，但学好教材一定是高考取得好成绩的前提，教师的主要精力应当放在帮助学生熟练掌握教材内容上。
第三，理解教材是当好数学教师的前提，而“理解教材”的第一要义是“理解数学”：了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。
注重数学的整体性,提高系统思维水平(人民教育出版社中学数学室 章建跃)分析
注重数学的整体性，提高系统思维水平──人教版义务教育教科书数学九年级下册介绍人民教育出版社中学数学室章建跃本册教科书包括反比例函数、相似、锐角三角形和投影与视图，是全套书的“收官”之作，具有综合性特点．“反比例函数”从具有反比例关系的实例出发，从函数的角度加以刻画，引导学生认识反比例函数；利用已有的函数研究经验展开反比例函数的图像与性质的研究；最后建立反比例函数模型解决实际问题．“相似”先由生活实例认识相似图形，再重点研究相似三角形的判定、性质及其实际应用，最后研究特殊的相似即位似的特征，本章强调从特殊（全等）到一般（相似）的方法，引导学生利用全等三角形的学习经验提出相似三角形的问题和方法，使“四基”、“四能”等得到落实．“锐角三角函数”从解决实际问题和数学发展需要提出“解直角三角形”的问题，引导学生从特殊到一般地学习锐角三角函数的概念；采取“从定性到定量”的思路，从直角三角形全等的判定得到解直角三角形的条件，并用锐角三角函数、勾股定理等知识解决问题，本章注重数学知识之间、数学与现实之间的联系．“投影与视图”从生活实例出发，研究中心投影和平行投影，并重点研究正投影的性质；进一步认识三视图以及简单几何体三视图的画法，本章注重利用基本几何体的三视图、立体图形和三视图的双向转化等，增强学生的空间观念．本书供九年级下学期使用，全书约需44课时，具体分配如下：第26章反比例函数约8课时第27章相似约14课时第28章锐角三角函数约12课时第29章投影与视图约10课时一、本书的主要内容本书的最大特点是内容的综合性，特别是要综合运用已学数学知识与方法研究数学新对象、分析和解决新问题，并开展应用数学知识解决实际问题的实践．1．反比例函数与已学函数知识一样，反比例函数的主要学习内容是概念、图象与性质、简单实际应用．在一个变化过程中有两种相关联的量（用x，y表示），其中一种量随另一种量的变化而变化，而且这两种量中相对应的两个数的积是定值（用k表示），这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系，用数学式子表示就是xy=k（定值）．如果用函数的观点看待这样的变化过程，用函数的方法描述反比例关系，那么就得到反比例函数的概念：形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数（注意：“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”，这里的“变化规律”就是“变量y随变量x的变化而变化，且它们的积xy保持不变”）．本章分两节．第一节是反比例函数的概念、图象和性质．本节先从生活现实和数学中具有反比例关系的问题出发，抽象出描述反比例变化规律的数学模型──反比例函数，使学生体会反比例函数的意义；再画出图象，并根据图象和函数解析式探索其性质．第二节安排了四个不同背景的实际问题，用反比例函数解决简单实际问题，进一步加深对反比例函数的认识．本章之前，学生已学习了反比例关系，函数、自变量、函数值等概念，函数的三种表示形式，函数图像的有关概念，并研究了正比例函数、一次函数和二次函数等函数模型，因此具备了一定的函数研究经验，知道函数的主要研究内容、思路和方法．本章的学习，就是运用这些经验对一个新函数展开研究．因此，本章的重点是：结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式y=(k≠0)探索并理解k＞0或k＜0时，图像的变化情况；能用反比例函数解决简单实际问题．由于反比例函数的自变量不能为0，由此带来图像变化情况的复杂性，这是本章学习的主要难点；另外，反比例关系和函数概念都是不易理解的知识，由此会导致学生对反比例函数概念的理解困难．2．相似义务教育阶段的几何内容，包括图形的认识、图形的测量、图形的运动或变化、图形的性质和证明以及图形的位置等．本书中，图形的相似是“图形的变化”的主要内容，研究的主题是图形形状之间的关系，而图形的位似还涉及图形的位置关系，因此也是“图形的认识”的深化；投影与视图则是在三维图形与二维图形的转化中，体现出“图形的变化”．从“变换”的观点看，通过轴对称、旋转或平移变换，改变了图形的位置但不改变图形的形状和大小；“相似变换”是另一种图形变换，它改变了图形的位置和大小，图形的形状则保持不变（本质是改变两点间距离的大小，不改变角的大小，因此相似变换也叫“保角变换”）．三角形的相似是“图形的相似”的核心内容．“相似三角形”与“全等三角形”是一般与特殊的关系（两个相似三角形的相似比k=1时，这两个三角形全等）．所以，教科书推广全等三角形的研究思路，安排相似三角形的内容，引导学生探索相似三角形的判定和性质及在实际中的应用．此外，位似图形作为一种具有特殊位置关系的相似图形，可以用来放大或缩小图形，教科书把它安排在后面，并在直角坐标系中进行研究，用坐标之间的关系表示位似，渗透用代数方法研究几何变换的思想．相似三角形是锐角三角函数的基础，对建筑设计、测量、制图等也有重要价值．“相似”一章共有三节内容．第1节主要介绍相似图形、相似多边形的概念，并给出了相似多边形的性质；第2节主要研究相似三角形的判定和性质，以及相似三角形在测量中的应用；第3节研究了一种特殊的相似图形──位似图形及其应用，并用直角坐标系中的坐标关系表示．其结构是：“图形的相似”一节，教科书通过生活实例，在学生感受相似图形的基础上，给出相似图形的概念，再特殊化给出了相似多边形概念，并从定义出发给出了相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质．与研究其他几何对象的过程一样，“相似三角形”也按照“定义──判定──性质──应用”的顺序展开．因为三角形是特殊的多边形，所以教科书根据相似多边形的概念，直接给出相似三角形的概念．这一概念不仅给出了判定两个三角形相似的方法，而且其逆命题就是相似三角形的性质．通过类比全等三角形的判定，教科书提出了寻找判定两个三角形相似的简单方法的任务．由于研究相似三角形的判定要以有关比例知识为基础，并涉及不可公度性，为了降低难度，《课程标准（2011年版）》把“平行线分线段成比例定理”作为基本事实．教科书先让学生通过度量确认这一基本事实，然后将它应用到三角形中，并进一步证明了“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”（通常称为“预备定理”），再利用“预备定理”证明相似三角形的判定定理．这样做，降低了难度但保持了相似三角形的主干内容，体现了公理化思想．为了引导学生独立思考，发现和提出“相似三角形的性质”，教科书先通过“思考”栏目，给出相似三角形性质的探究方向，然后通过“探究”栏目引导学生探究并证明相似三角形性质．接着，教科书安排了相似三角形在实际中的典型应用题．在“位似”一节，教科书借助日常生活实例给出了位似图形的概念；然后从定义出发，通过举例，介绍了利用位似将一个图形放大或缩小的方法；接着安排了“探究”，让学生在直角坐标系中探索并得出：将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形位似，并给出了直角坐标系中以原点为位似中心的两个位似图形的对应点坐标之间的关系（实际上是图形的位似变换公式）．本章的重点是在了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段等基本概念的基础上，认识图形的相似，了解相似多边形的概念；用“基本事实”证明“预备定理”，在此基础上探索并证明相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性质定理；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．其中，相似三角形的判定和性质是重中之重．相似三角形判定定理的证明是本章的主要难点．此外，综合应用已学平面几何知识发现和解决“相似”（特别是相似三角形）中的问题，也是本章的一个难点．3．锐角三角函数在几何学的研究中，三角形是最简单而基本的封闭图形，它是平面几何的研究主角，原因是空间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中得到充分体现．而在三角形中，等腰三角形和直角三角形是最为基本的．下面我们对此作一简单分析，这些观点主要来自项武义[注]．我们知道，定性平面几何研究的主题是“全等形”和“平行性”．本质上，前者是平面对于任一直线的反射对称性的具体反映，而后者则是三角形的内角和为180°所表达的“平直性”．等腰三角形所具有的轴对称性能具体地反映平面的反射对称性，所以它们是研究平面几何对称性的种种表现与推论的基本工具．这样，认识等腰三角形的性质是定性平面几何的首要任务．在定性地讨论几何中的“等”与“不等”时可以完全不用平行性，但在定量的平面几何中，我们要对不等长的两条线段、不同大小的两个角区或不同大小的两个区域，赋予两者之间定量的比值去度量两者之间的差异．这时，平行性扮演着举足轻重的“角色”，其作用是大大简化了定量几何的基础理论和基本公式．由此得到的是简朴好用的矩形面积公式、勾股定理和相似三角形定理（三角形内角和不是180°的几何叫非欧几何，而非欧几何中与此相应的公式、定理不是没有就是复杂得多）．在定量平面几何的定理中，三角形的面积公式、相似三角形定理和勾股定理是最基本的，而三角学就是以这三个定理为基础，讨论三角形的各种几何量（三边长、三个内角的度数、面积、高、外径和内径等）之间的函数关系，锐角三角函数则是讨论直角三角形各种几何量之间的函数关系，它为讨论一般三角形奠定了基础．因此，研究直角三角形的种种性质对定量平面几何有奠基作用．本章就是在研究勾股定理、相似三角形的基础上，进一步讨论直角三角形的边角之间的关系，主要内容是正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，并综合运用这些知识解直角三角形．具体而言，教科书以“比萨斜塔纠偏问题”引入，并提出问题：“对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？”，然后研究锐角的正弦，并在此基础上给出锐角的余弦、正切．在研究锐角的正弦时，教科书安排了一个从特殊到一般的过程，先利用“直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半”，得到30°角所对的边与斜边的比值；再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，探究直角三角形中，45°角所对的边与斜边的比值；然后进入一般情况的讨论：相似直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，随着这个锐角的变化而变化，随着它的确定而唯一确定，把Rt△ABC中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．接着，自然而方便地得到：相似三角形的边与边的比值，随锐角大小的变化而变化，随锐角大小的确定而唯一确定，由此给出锐角三角函数的定义．“解直角三角形”一节，教科书通过“探究”栏目，引导学生梳理直角三角形中边角之间的关系（勾股定理、锐角互余、锐角三角函数），思考“知道五个元素中的几个，就可以求其余元素”，再给出解直角三角形的条件，并通过例题示范，最后安排实际应用题．本章的重点是利用相似直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A）；能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．利用相似直角三角形探索和认识锐角三角函数，从“两个直角三角形的对应边之比值相等”到“一个直角三角形的边长改变，但边与边的比值不变”，再联系函数概念，把直角三角形的“边与边的比值”与“锐角”联系起来，进而得到“比值随锐角的改变而改变，随锐角的确定而唯一确定”，涉及的知识多，需要看问题的角度和观点的灵活变化，并且要用完全陌生的符号sin A，cos A和tan A 表示，对学生具有很大的挑战性．因此，锐角三角函数概念的建构过程是本章主要难点．同样的，解直角三角形需要在全面掌握直角三角形边角关系的基础上，根据问题的具体条件选择适当的方法求解，其综合性较强，解决实际问题要有模型思想，这些都会带来一定的学习困难．4．投影与视图日常生活中，中心投影、平行投影的事例随处可见，因此数学中与投影相关的概念都与现实生活紧密相关．平行投影是三视图的学习基础．投影与视图涉及立体图形与平面图形之间的转化，需要利用直观感知、动手操作等学习方式，是培养空间观念的好载体．因此，本章按“投影──三视图──课题学习（制作立体模型）”的顺序展开．“投影”的内容按照从一般到特殊的线索展开，重点讨论了正投影问题．教科书先从学生身边的实例出发，引出投影的概念、分类（平行投影、中心投影）；接着，通过“思考”，引导学生比较和认识中心投影与平行投影的投影线的区别，以及平行投影中“斜投影”与“正投影”的区别，进而给出正投影的概念；再通过“探究”，引导学生借助生活经验，讨论正投影中基本而重要的线段、正方形的投影问题：线段与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下线段的正投影的形状、线段与其正投影的大小关系；正方形与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下正方形的正投影的形状、正方形与其正投影的大小关系；在此基础上，归纳出正投影的基本性质．最后，以正方体的正投影为例，举例说明这些性质在画立体图形的正投影时的应用．概括本节内容，其编写思路是：从生活实例中抽象出投影的概念──投影的分类（以投影线的位置关系为分类标准）──特殊的投影（正投影的概念和性质）．考虑到与初中生认知水平相适应的问题，在正投影性质的讨论中，一是关注了简单但基本而重要的问题，即线段、正方形的正投影（其实就是线、面的正投影问题的代表）；二是根据线、面与投影面的不同位置关系讨论它们之间的形状、大小关系（要素之间的相互关系就是性质）．“三视图”一节包括三视图的概念、画立体图形（实物）的三视图、由三视图想象立体图形（实物）以及利用三视图知识解决度量问题．这里的立体图形限制在直棱柱、圆柱、圆锥、球或它们的组合．本节是“投影”知识的应用，教科书先借助生活实例介绍视图的概念，这里“从某一方向看”相当于“某一方向的平行投影线”，因此看到的平面图形是物体在这个方向光线下的正投影．接着，教科书重点介绍了三视图，直接指出三视图的投影面是三个互相垂直的平面，介绍三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定，然后通过5个例题，引导学生画直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图，判断简单物体的视图，根据视图描述简单几何体等．教科书安排的“课题学习制作立体模型”，其目的是让学生“通过由三视图制作立体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程，体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系．”实际上，从三维目标看，制作立体模型的过程，不仅是巩固已学的相关知识，而且也是培养空间观念、感受数学与生活的联系、体会数学的应用价值的过程．关于“视图”，学生在前面两个学段都已经接触过．第一学段要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”，第二学段要求“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图”，第三学段要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体”．《课程标准（2011年版）》提出的要求具有层次性，体现了从整体到局部的研究过程，也与学生的认知特点相符合，是一个循序渐进、螺旋上升、不断精细化的过程．因此，本章的重点，一是投影的概念、正投影的性质及其研究方法，二是简单几何体三视图的画法，以及简单几何体（实物）的视图与几何体（实物）的相互转化，其核心是发展学生的空间观念．二、编写时考虑的主要问题1.注重数学的整体性整体是事物的一种真实存在形式．数学也是一个整体，数学中的整体性既体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上．但学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要一个个地学，知识要一点点地教．所以，如何处理好这种矛盾是编写教材时思考的核心问题．鉴于本书的内容特点，这个问题尤其需要重点考虑．为了培养学生对数学内部联系性的认识，教科书加强了相关内容的沟通，并采取切实措施予以落实．例如，在章引言中通过类比与联系，构建全章的研究框架和整体思路，使学生感受将学的知识与已学知识的联系．“反比例函数”引言中“与研究……类似，我们将在……定义的基础上，研究……图像和性质，并……解决实际问题”，“相似”引言中“类似的，两个形状相同、大小不同的三角形，它们的边和角有什么关系？对应线段和面积有什么关系？如何判断……”，这些都是在同一部分内容中，采取以旧引新的方法引出学习内容，并在思想方法的一致性上给予明确提示．而在具体内容的展开中，则注意了两方面问题：一是引导学生用已有知识解决问题，例如“反比例函数图像和性质”讨论的问题、过程和方法与正比例函数等是一致的；二是注意用新的眼光看已有知识，例如把全等看成相似的特例，从边与边的比的角度看“直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半”等等．2.强调知识的逻辑连贯性数学教学要使学生学会“数学地认识问题和解决问题”，其含义是数学有其认识和解决问题的“基本套路”，我们要努力让学生学会这一“套路”．具体而言，对一个数学新对象的研究，一般是按“背景—定义—表示—分类—（代数）运算、（几何）性质—联系和应用”的线索展开．本书各章内容的编写也不例外．例如，反比例函数一章，教科书先安排“思考”，让学生判断几个实际问题中的变量之间的函数关系，然后抽象出反比例函数的定义和表达式（表示）；再分k＞0和k＜0讨论函数的图像和性质；再应用反比例函数的性质解决问题，这些问题不仅有数学内部的，也有生活实际的，还有物理、化学等相关学科的．再如，“投影和视图”中，教科书以生活中无处不在的“如影随形”的现象为背景，引入投影的概念，然后把投影分为平行投影和中心投影两类，又把平行投影进行再分类，接着研究正投影的性质（投影的形状、大小），再应用投影的性质解决三视图问题．这个过程也是按上述“基本套路”展开的．3．加强数学学习理论的指导在本套教材的总体指导思想中，提出使教材“利学利教”．这就要求我们以学生的数学认知规律为依据编写教材．例如，数学学习论指出，数学概念的学习一般要经历如下过程：概念的引入──借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；概念属性的归纳──对典型丰富的具体例证进行属性的分析、比较、综合，归纳不同例证的共同特征；概念的明确与表示──下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；概念的辨析──以实例为载体分析概念关键词的意义（恰当使用反例）；概念的巩固应用──用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤；概念的“精致”──通过概念的综合应用，建立与相关概念的联系，将概念纳入概念系统．“锐角三角函数”的编写就体现了这一过程：课题的引入从实际需要看（如比萨斜塔的倾斜问题）；从数学内部看（已经研究直角三角形边与边、角与角的关系，边与角有什么确定的关系）．概念属性的归纳例证1 从最熟悉的开始，由“直角三角形中，30°角所对的边总是斜边的一半”，得到30°角所对的边与斜边的比值是．思考：由这个结论能解决什么问题？──直角三角形有一个锐角为30°，则已知一边可求其余边．例证2 等腰直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比是多少？由此能解决什么问题？归纳：任意给定锐角A，∠A的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？概念的明确与表示下定义，用符号表示．定义的辨析（1）Rt△ABC中，给定锐角A，当△ABC的大小变化时，∠A的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做∠A的正弦；（2）符号sin A的理解──一个由A唯一确定的数（比值），例如sin30°=；等．概念的巩固应用已知直角三角形的边求正弦值等．概念的精致解直角三角形．4．加强数学思考方法的指导数学有自己的思考方法，而且这种方法具有一般意义．学生在数学学习中培养起来的思维方式和逻辑思维能力，能在解决各种问题中发挥作用．所以，教科书注重以数学内容为载体，把思考方法的指导融入其中．例如，在“三角函数”中，先在章引言中引导学生思考，对三角形已研究过什么，还可以研究什么，这是让学生体会“如何提出有研究价值的问题”；具体研究中，注重“从定性到定量的思考方法”，这是数学的普遍方法，其实也是解决其他问题的常用方法；对于一个抽象问题，强调从特殊问题入手，而且从最熟悉的情景开始（含30°锐角的直角三角形），这种从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法具有普遍意义；对一个熟悉的问题，从另一个角度看，对旧问题作新解释，往往能开辟一片新天地，这是数学发展的基本思路之一；使学生经历概念形成的完整过程中，体会数学思考的基本方法；等等．。
有效改进课堂教学---章建跃
4. 不要干扰学生的数学思维
• 思维需要合适的问题情境——我不是三岁孩子，也 不是数学家；
• 思维从问题开始——请给我提问的机会； • 独立思考需要安静的环境——闭上你的嘴； • 有深度的思维需要充分的时间——耐心点，别逼我； • 让学生完成关键的概括活动——我也能，请把发现
• 教师的引入： （1）请同学们看大屏幕，大家知道她是谁吗？
（郭晶晶，回顾比赛过程，了解计分情况） （2）能否设计一个算法统计她前五轮的比赛
总分？
问题分析
• 学生还不了解循环结构，用循环结构去表 示“统分”这个算法有困难。
• 浪费时间，干扰对本课核心知识的理解。 • 用学生已学的“质数的判定”、“用二分
4．教学问题诊断分析
• 教师根据自己以往的教学经验，数学内在 的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容 在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并 对出现障碍的原因进行分析，其中包括对 概念学习的认知分析。在上述分析的基础 上指出教学难点。
例7 三角函数定义的教学问题诊断
• 认知基础：
（1）函数的知识——“理解三角函数定义” 到底要理解什么？——三要素；
题：如果从图象的对称性观察，两个图像 各有什么特点？
（2）给表格并提问：数量关系上有啥特征？ （3）能否描述一下函数y=x2的特征？
• 学生的回答：对于y=x2，当x取任意数时y 都取正数；函数图像关于y轴对称；自变量 取一对相反数时，函数值相等；……
（4）对于定义域内任意一个x，是否都有
f(－x)＝f(x)？
• 定义域：（弧度制下）任意角的集合；对 应法则：任意角α的终边与单位圆的交点坐 标为（x，y），正弦函数为y=sinα，余弦函 数为x=cosα；
理解数学理解学生理解教学(章建跃)
学生带着问题看书：向量的加法法则的关键词是什么？你如何理解？
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汇报对定义和三角形法则、平行四边形法则的理解，其中特别要注意对“关键词”的理解，要求用自己的语言描述。
如果向量a，b共线，如何作a+b？与有理数加法运算有什么关系？
向量a，b不共线，作出a+b，要求说明作法。
加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路——解题的灵活性来源于概念的实质性联系，技巧是不可靠的。
01
应追求解决问题的“根本大法”——基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。
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例4 向量加法运算及几何意义的教学设计
01
先行组织者：类比数及其运算，引进一个量就要研究运算，引进一种运算就要研究运算律。
人民教育出版社 章建跃
理解数学理解学生理解教学
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202X
一、课改中形成的基本共识
核心：以学生的全面、和谐与可持续发展为本——教育中的“科学发展观”
教学目标——全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展——数学育人。
1
教学要求——个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础
以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小，只要考察它们的差），再由“利用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质”：
性质1，2，3……——证明——例题——练习、习题
“高立意低起点”的教学设计
数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小可以统一化归为比较它们的差与0的大小）；
从“三个理解”视角看“三角形中边的关系”教学
从“三个理解”视角看“三角形中边的关系”教学张克玉【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2017(000)002【总页数】3页(P5-7)【作者】张克玉【作者单位】安徽六安皋城中学【正文语种】中文章建跃博士在《数学教学课改的十个论题》中指出：“课改需要循序渐进地持续努力；实践基础上的理论概括是可行之道；理解数学、理解学生、理解教学是三大基石”.“三个理解”的要求也得到一线教师的普遍认可.如何在教学实践中做到“三个理解”，值得我们去思考和探索.本文以“三角形中边的关系”一课内容的教学为例，浅谈自己的实践与思考，旨在交流探讨.（一）新课引入.1.呈现生活中与三角形有关的图片（古埃及金字塔、自行车等），引出章课题——三角形中的边角关系、命题与证明.2.重新认识三角形.（1）让学生回忆在小学阶段对三角形的描述.（2）教师用教具演示（三条线段在同一直线上、不封闭等情况），引导学生给三角形下个严格的定义.（3）引导学生阅读屏幕上的内容，了解三角形有关元素（边、内角、顶点等）及其表示方法.（4）练习：如图1，D是△ABC中BC边上的一点，连接AD，图中有哪几个三角形？并说出△ABD的内角与边.（5）由三角形的有关元素引出课题：13.1三角形中的边角关系（1）——三角形中边的关系.（二）新课讲解.1.三角形两边之间的关系（按边分类）.环节1：让学生列举三角形两边之间的数量关系，引出不等边三角形、等腰三角形、等边三角形的名称.环节2：师生共同回顾不等边三角形、等腰三角形、等边三角形的有关概念.环节3：引导学生对三角形按边进行分类.设计说明：通过选取生活中有关物体的图片，说明三角形在生产和生活中的广泛应用，以此说明学习三角形有关内容的必要性，使得章课题的引出自然、顺畅.学生在小学阶段已学习过三角形的有关内容，了解了三角形有关元素（边、角等）及等腰三角形、等边三角形的名称，且学生对这些概念的理解并不感到困难，因此采用学生自主阅读的方式完成有关内容的回顾与学习.这样处理也是建立在学生认知水平与“数学现实”的基础上.2.三角形三边关系探究（教学片断简录）.环节1：师：如图2，有A、B、C三个地方，每两地之间有一条公路相连.问：（1）从A到B处有哪几条线路？哪条线路更短？为什么？生1：有两条线段：A→B；A→C→B.由A到B的线路更短，因为“两点之间，线段最短”.师：很好！上述结论能否用数学式子进行表示？（教师视情况作必要的引导：A→B，即为线段AB的长，A→C→B即为线段AC、CB的长度之和）生2：可得到AC+CB＞AB.师：类似地，从A到C处呢？我们可以得到什么样的结论？生3：AB+BC＞AC.师：从B到C处呢？我们又可以得到什么样的结论？生4：BA+AC＞BC.师：以上我们得到了三组不等关系.结合图形，能否将三组不等关系所反映的数学事实用一句话进行描述？生5：三角形的两边之和大于第三边.师：很好！其实上述的每一个不等式都可以将其描述成：“三角形某两边之和大于第三边”.三组不等关系所反映的数学事实，用这一句话来描述还不够全面，因此还需要略加修改.最后通过教师的引导，师生共同得出：三角形任意两边之和大于第三边.环节2：师：将上述三组不等式变形：AC＞AB-CB，BC＞AC-AB，BA＞BC-AC，你又能得出什么结论？以此引导学生得出：三角形中任何两边的差小于第三边.师：由AC+CB＞AB可以得到AC＞AB-CB①，由AB+ AC＞BC还可以得到AC＞BC-AB②.由①和②又能说明什么问题？至此，能否将刚才得到的结论稍作修改，使之更准确？以此引导学生得出：三角形中任何两边差的绝对值小于第三边.设计说明：笔者认为由“两点之间线段最短”易得到“三角形两边之和大于第三边”这个结论，因此在此未设计探究活动，而是把重心放在如何引导学生实现知识的迁移.在此过程中，也有助于培养学生两种语言（文字语言、符号语言）的转换及抽象与概括能力.环节3：应用举例.例等腰三角形中，周长为18cm.（1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长；（2）如果一边长是4cm，求另两边长.预设：（1）学生先做，教师巡视，有代表性地（如选取没有分类讨论的或没有进行情况取舍的）选取若干名学生回答，并让其他学生评析；（2）教师略作分析后讲解并呈现解题过程.环节4：课堂练习.以长4cm的线段为底构成一个等腰三角形，这个三角形的腰长有什么限制？3.能构成三角形的三条线段的长度应满足条件的探究.环节1：师：由三角形→三条边应满足的关系：三角形任意两边之和大于第三边；反之，三条线段应满足怎样的关系→能组成三角形？引导学生猜想：三条线段，如果其中任何两条线段之和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形.预设：因为学生还没有学习“原命题”“逆命题”的概念，因此对“反之”未必能理解，因而还需要教师通过如“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”的关系给予类比引导.环节2：几何画板动态演示进行验证，以此得出结论：如果三条线段，其中任何两条线段之和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形.设计说明：教材中并无此结论，但“三角形两边之和大于第三边”当属性质定理.三条线段不能组成三角形，可以认为是依据其逆否命题，但三条线段能组成三角形应属于应用其逆命题（判定定理），这其中存在着逻辑问题.因此，笔者认为有必要稍作交代，但限于本节课的教学目标、时间及学生的知识储备，难以让学生发现此结论，也无法给予严格证明，因而只能引导学生猜想并借助几何画板进行验证. 环节3：（练习）判断：用下列长度的三条线段能否组成一个三角形？（1）1cm，2cm，3cm；（2）2cm，4cm，3cm；（3）4cm，11cm，5cm；（4）5cm，6cm，10cm.预设：（1）让学生先做，并回答是如何判断的，突出结论中的“任何”二字的含义；（2）通过询问有无更简便的判断方法，引导学生得出：“三条线段，如两条短线段之和大于最长线段，那么这三条线段能组成三角形”的结论，以此深化对结论的理解.（课堂小结，作业布置等环节略）1.理解数学.《课程标准》指出：“实行启发式教学有助于落实学生学习中的主体地位”“创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作与交流等都能有效地启发学生的思考”，因而在课堂上，常需要我们设计探究活动，让学生在经历知识的形成过程中，积累数学活动的经验，感悟思想与方法.在平时的听课及期刊发表的案例中，常能看到在学习本节课内容时，有教师设计如下的探究：课前让学生准备若干根长度明确的小棒，课堂上让学生任意取出3根小棒首尾相接搭三角形，看能搭成几个三角形，然后让学生根据能搭成三角形的小棒长度情况，说出构成三角形的三边必须满足的条件.笔者认为设计这样的探究活动存在着逻辑问题.因为通过由搭成三角形的小棒长度应该满足的条件，得出的数学命题应该是“三条线段，如果其中任意两条线段之和大于第三条，那么这三条线段能组成三角形”，其与“三角形任意两边之和大于第三边”之间当属于原命题与逆命题的关系.在本节课后的习题，许多版本教材是判断“下列长度的三条线段能否组成三角形”（具体数值略），许多老师也是在学生学习了“三角形任意两边之和大于第三边”的结论后，把这样的问题作为巩固性练习，笔者认为这是不妥当的.对于三条线段不能组成三角形，可以用“三角形任意两边之和大于第三边”的逆否命题来解释，但三条线段能组成三角形，却要用其逆命题才能给予解释.课本中没有出现其逆命题，因此还需要教师通过适当的方式说明.数学是一门逻辑性、严谨性很强的学科.“理解数学”要求我们在了解知识产生背景的前提下，把握有关定理、法则的逻辑关系.2.理解学生.其实，学生在小学阶段学习过“三角形两边之和大于第三边”的结论.但鉴于学生当时的思维特点、认知水平和知识储备，对结论的生成一般并不苛求严谨，因此，在小学阶段常采用摆小木棒的方式，并通过引导学生“计算其中两边之和”完成对其的探索，这样的处理符合小学生的“数学现实”.但在初中阶段，对知识生成过程的严谨性、逻辑性提出了较高的要求，因而小学阶段的教学方法并不完全适用于初中的教学要求，因此还需根据初中学段的教学要求，结合学生的“数学现实”和数学活动经验，设计合适的教学活动方案.对三角形的三边关系，在初中阶段不能通过“摆小棒”的方式进行探究（因为存在逻辑问题），能否通过如让学生“先画三角形，再测量各边长”等方法进行探究？笔者认为无论设计什么样的探究活动，我们都要首先思考这样的问题：学生能否想到要对三角形的某两边进行加减（而不是进行乘除或者进行其他的运算）？在学生不了解此结论的情况下，通过得到的若干个三角形的三边长，能否自主发现“三角形两边之和大于第三边”这个结论？在这个问题中，学生的“最近发展区”在哪儿？教师又该如何引导？如果简单作“请同学们计算其中两边之和”的类似引导，这里既存在为什么要计算两边之和的问题，也会因引导的指向性过于明确，而使探究活动失去了应有的价值（变成了验证活动）.因此，设置“先画三角形，再测量各边长”等形式的探究，会因探究的内容与要得到的结论差距较大，而超越初中学段学生的认知水平.理解学生就要在理解学生现实（生活现实、数学现实及其他学科现实）的同时，理解学生的认知水平与认知规律.3.理解教学.理解数学、理解学生是理解教学的基本前提.教材是我们实施课堂教学的重要抓手，因此理解教学要做到理解教材.教材的编写除了有编写者自己的思考，还受到许多因素制约，如教材必须简明.教材的简明既是为了方便学生的阅读，也是为教师“留白”，从而让教师有更大的探索空间；教材编写还受篇幅甚至知识点的总个数等方面的要求与限制，因此教材未必能做到面面俱到，这就需要我们理清相关问题的逻辑关系，从而在理解教材的基础上，实现“用教材教”的做法.因此，在本节课的教学中，笔者通过增加一个猜想、验证环节，以避免出现上述逻辑问题.与一般版本教材不同，北师大版教材的课后习题是“下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形吗？实际摆一摆，验证你的结论”（具体数值略），这应该能唤起我们对本节教材中有关问题的思考.在本节课中，对于“三角形任意两边之和大于第三边”这个结论，是否一定要设计探究活动？《课程标准》指出“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解”.学生在七年级已掌握了“两点之间，线段最短”的基本事实，而“三角形的任何两边之和大于第三边”等结论可以认为是其“延伸点”，学生对结论的理解也并不感到困难，因此笔者认为没有必要将本节课的内容与之前的学习相割裂，因此，此处可以不设计对结论的探究活动，而将重心转移到如何引导学生将“两点之间，线段最短”的基本事实，通过延伸得出三角形三边关系的新结论，并思考在延伸的过程中如何体现“任何”二字的含义，从而让学生在结论的生成过程中，感悟数学知识、方法间的普遍联系.理解教学，需要我们在理解教材的基础上，能抓住有关问题的数学本质，准确地把握其“生长点”与“延伸点”.在此基础上设计合适、有效的教学活动，让学生经历知识的形成过程.。
章建跃简介
章建跃简介章建跃，男，1958年8月4日出生，数学本科，北京师范大学课程与教学论（数学）硕士、发展与教育心理学博士。
现任人民教育出版社中学数学室主任、资深编辑。
人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员。
主要研究方向：数学教育心理学，中学数学课程及教材编写，数学课堂教学。
社会兼职：中国教育学会中学数学教学专业委员会副理事长、学术委员会副主任（常务）；中国统计教育学会常务。
一、闻思修得智慧本期我们集中刊登了关于高中数学课标教材必修模块的一组实验经验交流文章。
薛红霞、张曜光、李学军、李昌官、吴明华都是一线教研员，其他都是一线教师，他们是本次课改的亲历亲为者，可说是尝遍课改的酸甜苦辣，因而对课改是最有发言权的，因此这组文章可以算得上是“闻思修”而得的智慧成果。
众所周知，本次课改是为了适应我国社会发展新需要，以提高教育质量为核心，全面推进素质教育，切实减轻学生负担，努力提高青少年思想道德、科学文化和健康素质，着力培养青少年的社会责任感、创新精神和实践能力，因此其大方向是完全正确的。
但是，由于种种原因，课改实施过程中存在许多不尽如人意的地方。
一段时间以来，急功近利倾向甚至把课改引入歧途，严重损害了课改的声誉。
对此，有各种不同的态度。
怨天尤人者有之，我行我素者有之，盲目跟风者有之。
而大多数老师则是理性思考、谨慎行动，薛红霞等老师的文章就是例证。
教育改革不以人的意志为转移。
客观地说，当前我国数学教学确实存在许多需要改进的地方，其中特别突出的是数学教学缺少亲和力，问题意识淡薄，重结果轻过程，讲逻辑不讲思想，重题型、技巧轻通性通法引导。
因此，需要广大数学教育工作者“闻思修”以获得走向课改成功的智慧，使改革的成果惠及学生，达到学得轻松、愉快而成效显著。
由于思维惯性所致，人们面对新事物的第一反应是排斥。
然而明智的做法是静心听闻，而且要善听、会听，听到“无声之声”。
所谓兼听则明，这样才能了解改革的真实意图，才能“闻所成慧”。
章建跃--把握数学核心概念,提高课堂教学有效性
一、提高“理解数学”的水平
• 老师理解好数学是提高教学质量的前提。 • 理解数学概念的几个方面：从表面到本质—把 握概念的深层结构上的进步；从抽象到具体— 对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更 多的典型、精彩的例子；从孤立到系统—对概 念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体 化的认识；等。 • 提高解读概念所反映的数学思想方法的能力是 重点 。
例1 几个数学概念的解读
• 如何理解诱导公式？ • 推导等差数列前n项求和公式的思想方法 是什么？ • 如何理解两个变量的线性相关问题？
例2 如何理解“乘法公式”
• 代数——以符号(不定元)代表数； • 代数学的根源在于代数运算； • 代数运算有一系列普遍成立的运算律： 交换律、结合律、分配律、指数法则； • 代数学的基本思想：有效、有系统地运 用运算律去解答各种各样的代数问题。
二、高立意与低起点
• 立意不高是普遍问题，许多教师的“匠 气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥 漫着“功利”，缺少思想、精神的追求， 严重影响数学育人。 • 数学的“育人”功能如何体现？——挖 掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学 中将知识教学与价值观影响融为一体。 • 关键：提高思想性。
例3不等式基本性质“立意”比较
例11 两个平面平行的判定问题
• 指导思想：类比两条直线平行的判定， 提出两个平面平行的判定的猜想，再给 出证明。 • 问题1 回顾已经得到的两个平面平行的 判定定理，你能说说得到这些判定定理 的思想方法吗？——定义法（原始，不 容易说清楚），化归为线面平行（用已 知想未知，与平面三公理联系等）。
三、怎样才是抓“基础”
• 我国“双基”的优势正在丧失； • 现象：（1）数学教学=题型教学=刺激— 反应（记忆、模范型学习）；（2）缺少 概念的概括过程，以训练代替概念教 学——应用可以促进理解，但没有理解 的应用是盲目的；（3）过分关注“题 型”——与“题型”对应的技巧是雕虫 小技，无法穷尽，结果是“讲过练过的 不一定会，没讲没练的一定不会”；等。
核心素养理念下的高中数学教学设计---以《三角函数的概念》为例
核心素养理念下的高中数学教学设计---以《三角函数的概念》为例摘要：本文比较分析了新旧教材对《三角函数的概念》这节课的设计和编排，并基于数学核心素养的理念，与时俱进，以提升学生学科素养为目标，就如何运用新教材更好的设计和组织本节课的教学展开了研修。
关键词：三角函数的概念；核心素养；教学设计随着新课程改革的不断深入开展，基础教育数学课程的理念与教材内容的呈现方式也在不断与时俱进，以期实现“以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养”[1]等目标。
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，要培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六大核心素养，也就是要让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界。
以人教版教材为例，为了落实最新课程标准的要求，最新修订并于2019年秋季陆续投入使用的《普通高中教科书·数学（人教A版）》，相较于2004年秋季开始发行的《普通高中实验教科书·数学（人教A版）》（以下简称“旧教材”）,教材的编排与内容的呈现形式有了很大的变化。
如何基于数学核心素养的理念，运用新教材更好地设计和组织教学，以更好地发展学生的思维，增强发现问题与提出问题、分析问题与解决问题的能力？下面以“三角函数的概念”为例，对比新旧教材的处理方式形成有效的发展学生数学核心素养的教学设计。
一、教材比较分析1.基于课程标准要求的“三角函数的概念”新教材内容分析以《普通高中教科书·数学必修第一册（人教A版）》为例，三角函数的概念的分为2个课时，这里重点分析第一课时内容。
函数是刻画现实世界运动变化规律的重要函数模型。
作为基本函数之一的任意角的三角函数，是刻画周期性运动规律的重要函数模型。
其中圆周运动是周期性运动的典例，前面通过对任意角和弧度值的学习，建立了角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数做好了铺垫。
章建跃：人教A版高中数学课标教材中的解析几何
章建跃：人教A版高中数学课标教材中的解析几何人教A版高中数学课标教材中的解析几何──“中学数学中的解析几何”之四人民教育出版社中学数学室章建跃一、“课标”对解析几何内容的安排为了体现“基础性”“多样性”“选择性”的原则，《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称“课标”）螺旋上升地在必修和选修模块中设置了解析几何内容。
必修模块，要求学生在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系；体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
选修1、2模块（必选），要求学生学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。
作为解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，“课标”设置了《坐标系与参数方程》专题（任选），要求学生通过本专题的学习，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。
从上述安排可见，“课标”构建的解析几何课程体系，是以坐标法为核心，依“直线与方程──圆与方程──圆锥曲线与方程──极坐标系与参数方程”为顺序，螺旋上升、循序渐进地展开内容。
二、人教A版解析几何教材的特点在编写人教A版解析几何教材的过程中，我们按照“课标”的要求，注意吸收以往教材的优点，强调在继承基础上进行创新。
在内容的选择上，加强背景和应用，减少抽象的、形式化的理论；注重按照学生学习心理组织教材内容，循序渐进地逐步提高论理要求；注重坐标法思想内涵的理解和应用，减少机械套用、死记硬背；注重与平面几何、函数等的联系与综合，体现解析几何的学科特征；注重利用数学史料，渗透数学文化；等。
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把数学教得更本质更简单
——以三角函数的教学为例
章建跃 zhangjy@
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பைடு நூலகம்
1
一、三角函数定位的变化
• 强调“函数的角度”，强调刻画周期现象 的数学模型。
• 三角函数与其它学科的联系与结合非常重 要。最重要的是它与振动和波动的联系， “可以说，它几乎是全部高科技的基础之 一”，这是当前数学教学的薄弱环节。
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8
• 重要的是三角函数的图象与性质的教学，
应该充分利用它来解释三角函数的奇偶性、
单调性、周期性，解释诱导公式（简化公
式）的几何意义——诱导公式就是图像的
平移、轴对称的解析表示——变换的角度。
• 由于平移 2 后正弦曲线与余弦曲线完全重 合，所以正弦函数、余弦函数实际上是一
回事，用物理的知识解释，就是它们仅在 位相上相差了 ——变换的角度。
• 匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是 重大问题，三角学源自天文学。
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4
• 角是“转”出来的：平面有向线段绕起点 （原点）在此平面内旋转就得到一个角。 “旋转”就有始边、终边之分，由转的大 小和方向决定。
• 有向线段的长度对角的性质无影响，所以 只讨论单位有向线段旋转所成的角。把它 的起点置于（0，0），终点是（x，y ）， x2 +y2 =1。于是，角就是单位圆上的点（x， y）在其圆周上旋转所成的，称为任意角。
• 由此可导出所有“公式”，由变换导出的！
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11
• “诱导公式”是圆的对称性的表现。
• 必须抓住三角函数是刻画匀速圆周运动的 数学模型，这样才真正抓住了要领，才能 以简驭繁：只要让学生真正懂得两个变换 所表示的意义，再放手让他们逐步学着由 此推导出需用的公式，当然还要在理解的 基础上记住。
• 要坚决避免把三角函数的理论变成一大堆 公式!
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12
教诱导公式的三个要点： • 依据——三角函数的定义； • 思想方法——变换（旋转、对称）； • 工具——单位圆。
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13
如何认识“和（差）角公式”
• 归根到底是圆对称性的解析表示：“诱导 公式”解决了旋转一直角的问题，这里要 解决旋转任意角的问题。
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14
更上位地看
• 函数及其图象、函数的变换（映射）与坐 标系的变换及其关系、对称性与不变性等 等都是18-19世纪以后的新思想，而且是当 代的主流——我们应该教给学生先进的东 西。
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2
• 强调发挥单位圆的作用，强调利用向量方 法，淡化三角恒等变换的技巧性内容。
• 三角函数16课时，三角恒等变换8课时，解 三角形8课时。
• 思考：三角函数与其它函数的不同点到底 在哪里？为什么要强调单位圆的作用？
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3
强调单位圆作用的根本理由
• 三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运 动的本质表现。
2
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9
“诱导公式”的重要性在那里？
• 诱导公式重要性在于它表现了三角函数的对称
性、变换中的不变性，几何意义是圆的对称性
（这是圆的最重要的性质）。
• 所有变换 k (k=0，±1，±2……)都
2
可以由
T1
:
2
和
T2:
生成。
• 变换是整个数学的核心概念之一。
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• T1：x,y x,y，则xy,yx；（画
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从联系的观点、发展的眼光看
• 这样处理三角函数，可以充分利用单位圆， 发挥向量的作用，并充分体现了变换的思 想、对称性思想、不变性思想，使三角函 数简单、好懂、有用、好用。
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16
• “向量就是复数，复数就是向量”：
• 把z=x+yi作为单位圆上点P(x，y)的复数坐 标，则z=cosθ+isinθ。
• 令z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，就有
z1z2=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ) =cos(α+β)+isin(α+β)。
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17
结束语
• 改变习惯很难，但必须要改，否则跟不上 发展的要求；
• 更深刻地理解所教的内容是改变习惯的基 础；
• “教什么”是数学教学的首要问题； • 在透彻了解内容本质的基础上，再用学生
个图就可以明白它是正确的，证明可以用向量
法：经过T1 ，i j，j－i，所以向量xi+yj 变为xj－yi=－yi+xj。）
• T2 ：x,y x,y，则 xx,yy。
• 上述结果用三角函数表示就是：
co s) ( si,n sin ()co . s
2
2
co ) s c(o ,ss i) n ( si.n
• 更重要的，在这一定义下，三角函数的性质都 是定义的推论。
• 三角恒等变换可以进一步简化——已没有太大 用处了，因为过去是为了制作三角函数表，应 付天文学、测量学的需要，现在这种计算用微 积分的方法可以轻易完成（有人认为是“培养 能力”）。
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7
三角函数中需要加强的内容
• 三角函数与振动和波动现象的关系越来越 成为人们关注的焦点。人类从自然界和社 会生活中得到的关于振动和波动的信息越 来越多，如三相交流电，某地日出时间在 一年中的变化，各种乐器发出的声音，各 种各样的无线电波、雷达、电视，地震波， 甚至物种种群大小的周期变化，都被归结 为Asin(ωt+θ)（或Acos(ωt+θ) ）——变换的 角度。
• 任意角不仅是可取任意值的角，还有其他 丰富内容，主要是有方向。
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5
匀速旋转的研究内容
• 首先是角，θ=ωt+θ0，θ0是角的初始位置。 这不仅有数学意义，更重要的是有物理意 义。
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6
• 研究匀速旋转最重要的是研究（x，y）的变化， 即是研究x和y作为θ的函数——这是为什么要 采用“单位圆定义法”的理由，“正弦函数和 余弦函数是天造地设的一对圆满姻缘”。