北京市朝阳区2020届高三上学期期中质量检测数学试题 Word版含答案
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中 数学试卷2019．11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}-（B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =- （C ）2log y x =（D ）22x x y -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减.其中，所有正确结论的序号是（A ）①② （B ）①③（C ）②③ （D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β（B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ（D ）若m β⊥，则αβ⊥（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为（A ）32（B（C）（D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP的取值范围是（A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C） （D）（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅； （ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈；（ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数；② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④（D ）①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）已知向量(1,1)=-a ，(3,)m =b ，且//a b ，则=m ________． （12）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的长度为________．（13）已知直线20x y a -+=A，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．（14）已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >. 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：________．（15）已知函数21,,(),e≥x a x x a f x x x a -⎧<⎪=⎨⎪⎩（a 为常数）．若1(1)2f -=，则a =________；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是________．（16）2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈）三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题13分）在△ABC中，AB =，点P 在BC 边上，且60APC ∠=，2BP =. （Ⅰ）求AP 的值；（Ⅱ）若1PC =，求sin ACP ∠的值. （18）（本小题13分）已知*{}()n a n ∈N 是各项均为正数的等比数列，116a =，323322a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．（19）（本小题14分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ,CD AD ⊥，24BC CD AD ===，. （Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ?CEDBAP若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由.（20）（本小题13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB FE ⋅的最大值.（21）（本小题14分）已知函数ln ()xf x x a=+(0)a >． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1=a 时，证明：1()2≤x f x -； （Ⅲ）判断)(x f 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．（22）（本小题13分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：n *∀∈N ，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记max{||,||,||}n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中质量检测数学参考答案2019．11第一部分（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）C （2）C （3）D （4）B （5）D （6）B （7）B （8）D （9）A （10）B第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（11）3-（12）1613） （14）若a b >，0b >，则11a b<．（答案不唯一）（15）12；(,0]-∞（16）12；4011三、解答题（共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）（17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为60APC ∠=，所以120APB ∠=.在ABP △中，AB =120APB ∠=，2=BP ， 由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-⋅∠，得22240AP AP +-=.所以4AP =. ………6分（Ⅱ）在△APC 中，4AP =，1PC =，60APC ∠=，由余弦定理2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅∠，得AC = 由正弦定理sin sin AP ACACP APC =∠∠，得4sin sin 60ACP =∠，所以sin ACP ∠=………13分（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为13216,2332a a a +==，所以22203q q -=+． 解得2q =-（舍去）或12q =． 因此{}n a 的通项公式为15116()22n n n a --=⨯=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得23(5)log 2153n b n n =-=-，当2≥n 时，13n n b b --=-，故{}n b 是首项为112b =，公差为3-的单调递减等差数列. 则21312(1)(3)(9)22n S n n n n n =+--=--. 又50b =，所以数列{}n b 的前4项为正数，所以当4n =或5时，n S 取得最大值，且最大值为4530S S ==． (13)分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）如图，取PA 中点F ，连结,EF BF .因为E 为PD 中点，4AD =，所以//EF AD ，122EF AD ==. 又因为//BC AD ，2BC =，所以//EF BC ，=EF BC ，所以四边形EFBC 为平行四边形. 所以//CE BF .又因为CE ⊄平面PAB ,BF ⊂平面PAB ， 所以//CE 平面PAB .………4分（Ⅱ）取AD 中点O ，连结OP ，OB .因为△PAD 为等边三角形，所以PO OD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD =AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因为//OD BC ，2OD BC ==， 所以四边形BCDO 为平行四边形. 因为CD AD ⊥，所以OB OD ⊥. 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0),A B C E P -所以(2,4,0),AC AE ==.设平面ACE 的一个法向量为1(,,)x y z =n ，F PADEy则110,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即240,30.x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩令2x =-，则1(2,1,=-n .显然，平面ACD 的一个法向量为2(0,0,1)=n ，所以121212cos ,⋅<>===n n n n n n . 由题知，二面角E AC D --为锐角，所以二面角E AC D --.………10分 （Ⅲ）直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE .理由如下：设AQ AB λ=.因为(2,2,0)AB =，(0,2,23)PA =--，所以(2,2,0)AQ AB λλλ==，(2,22,2PQPA AQ λλ=+=--． 因为PQ ⊄平面ACE ，所以//PQ 平面ACE 当且仅当10PQ ⋅=n . 即(2,22,(2,1,0λλ--⋅-=，解得2λ=. 所以直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ，此时2AQAB=．…………14分 （20）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点P，(Q ， 所以22111,2a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．………4分 （Ⅱ）由题易知直线l 的斜率不为0，设l ：1x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然0∆>.设1122(,),(,)A xy B x y ， 则12122221,22t y y y y t t --+==++. 又12AB y y =-.以FP为直径的圆的圆心坐标为，半径为4r=，故圆心到直线l的距离为d==.所以FE===.所以12AB FE y⋅=-=====因为211≥t+，所以221(1)21≥tt+++，即221114(1)21≤tt++++．所以1≤AB FE⋅=．当0t=时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE⋅=，所以AB FE⋅的最大值为1．…………13分（21）（本小题14分）解：函数()f x的定义域为)0(∞+，，2ln1()()axxf xx a-++'=+．（Ⅰ）因为(1)0f=，1(1)1fa'=+，所以曲线()y f x=在点(1,(1))f处的切线方程为10(1)1y xa-=-+，即(1)10x a y-+-=．………4分（Ⅱ）当1=a时，ln()1xf xx=+．欲证1()2≤x f x -， 即证ln 112≤x x x -+， 即证22ln 10≤x x -+． 令2()2ln 1h x x x =-+， 则22(1)(1)()2x x h x x x x--+'=-=． 当x 变化时，(),()h x h x '变化情况如下表：x (0,1)1(1,)+∞)(x h ' +-)(x h↗极大值↘所以函数)(x h 的最大值为(1)0h =，故()0≤h x ．所以1()2≤x f x -．………9分 （Ⅲ）函数)(x f 在定义域内不是单调函数．理由如下：令()ln 1ag x x x =-++， 因为221()0a x ag x x x x+'=--=-<，所以)(x g 在(0,)+∞上单调递减． 注意到(1)+10g a =>． 且11111(e )ln e 1(1)0eea a a a a g a ++++=-++=-<．所以存在1(1,e)a m +∈，使得()0g m =．当(0,)x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)m 上单调递增；当(,)x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(,)m +∞上单调递减．故函数)(x f 在定义域内不是单调函数．………14分（22）（本小题13分）解：（Ⅰ）由211||||b c a =-，得1||12c -=，所以13c =±；由322||||c a b =-，得2||23a -=，所以25a =±，又2111||||||33≥a b c b =-=--，故25a =，1||8b =，18b =±． 所以1b ，1c 的所有可能值为18b =，13c =； 18b =，13c =-； 18b =-，13c =；18b =-，13c =-．………3分（Ⅱ）若11a =，12b =，记1,c x =则2222||,||1,1a x b x c =-=-=-，22||,0||1,1,1||2,||1,||2,≤≤≥x x d x x x -<⎧⎪=<⎨⎪-⎩3|||1|1a x =--，31|2|||b x =--，3|2||||||1|c x x =---，当0||1≤x <时，333||,||1,1a x b x c =-=-=，31d =，由32d d =，得||1x =，不符合；当1||2≤x <时，333||2,||1,a x b x c x=-=-=-，32||,1|| 1.5,||1,1.5||2,≤≤x x d x x -<⎧=⎨-<⎩由32d d =，得||1x =，符合；当||2≥x 时，333||2,3||,1a x b x c =-=-=-，31,2||3,||2,||3,≤≥x d x x <⎧=⎨-⎩由32d d =，得||2x =，符合； 综上，1c 的所有取值是2,--. ………8分（Ⅲ）先证明“存在正整数3≥k ，使,,k k k a b c 中至少有一个为0”．假设对任意正整数3≥k ，,,k k k a b c 都不为0，由111,,a b c 是非零整数，且111||,||,||a b c 互不相等，得1d *∈N ，2d *∈N ．若对任意3≥k ，,,k k k a b c 都不为0，则k d *∈N ，即对任意1≥k ，k d *∈N ．当1≥k 时，{}1||||||||max ||,||,≤k k k k k k a b c b c d +=-<11||||||,||||||k k k k k k k k b c a d c a b d ++=-<=-<，所以，{}1111max ||,||,||k k k k k d a b c d ++++=<． 所以，{}k d 严格单调递减，由2d 为有限正整数，所以，必存在正整数3≥m ，使得0≤m d ，矛盾． 所以，存在正整数3≥k ，使,,k k k a b c 中至少有一个为0． 不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，，10k a -≠， 则11||||k k b c --=，且111||||||k k k b c a ---=≠，否则，若111||||||k k k b c a ---==，因为1110k k k a b c ---++=，则必有1110k k k a b c ---===，矛盾． 于是，1111||||0,||||0k k k k k k b c a c a b ----=-≠=-≠，且k k b c =-， 所以，10k a +=，11||,||||k k k k k b c c b c ++==-=-， 依次递推，即有：对11,0,||,||≥n n k n k n k a b c c c ++∀===-，且||0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0．综上，结论成立．………13分。
2020北京朝阳高三(上)期中数学
(II)设无穷数列 的前n项和 且q>2,证明数列 不是“S数列";
(III)证明:对任意的无穷等差数列 存在两个“S数列" 和 使得 成立.
(1)已知集合 ,则A∩B=
(A){-1,0,1}(B){-1,0,1,2}
(C){0,1,2}(D){0,1,2,3}
(2)已知 则sin2x=
(3)已知 则
(A)a>b>c(B)a>c>b
(C)c>a>b(D)c>b>a
(4)如图,在△ABC中,D是BC的中点.若 则
(A)3a-2b(B)a-2b
(i)求BC;
(ii)设D是边BC上一点,且∠ADC=120°,求sinC;
(II)若AE是△ABC的内角平分线,求AE的取值范围.
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ9)(本小题15分)
已知函数f(x)=x+alnx(a∈R).
(I)当a=-1时,求函数f(x)的极值;
(II)若不等式 对任意x>0恒成立,求a的取值范围.
(20)(本小题15分)
(C)9(D)12
(8)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈(-∞,0]时, 则
(B)1
(9)已知函数 若存在实数m,使得 成立,则实数a的取值范围是
(A)[-1,+∞)(B)(-∞,-1]∪[3,+∞)
(C)[-1,3](D)(-∞,3]
(10)已知奇函数f(x)的定义域为 且 是f(x)的导函数.若对任意 都有 则满足 的θ的取值范围是
实验表明,当房间中该药物含量不超过 时对人体无害,为了不使人体受到该药物的伤害,则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入.
北京市朝阳区2020届高三上学期抽样检测数学试题 Word版含解析
北京市朝阳区2019～2020学年度第一学期高三年级抽样检测 数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合={x R|3x+2>0}A ∈，B={x R|(x+1)(x-3)>0}∈，则A B ⋂=（ ） A. (,1)-∞-B. 2(1,)3--C. 2(,3)3-D.(3,)+∞【答案】D 【解析】 试题分析：，或，所以，故选D.考点：集合的运算【此处有视频，请去附件查看】2.已知等比数列{}n a ，满足23210log log 1a a +=，且3681116a a a a =，则数列{}n a 的公比为（） A. 4 B. 2C. 2±D. 4±【答案】B 【解析】 【分析】利用对数运算公式和对数定义可由23210log log 1a a +=得到3102a a =，由等比数列的下标性质和等比数列各项正负性的性质，可由3681116a a a a =得到3114a a =，最后可以求出等比数列的公比.详解】等比数列{}n a 中，232102310310log log 1log 1()2a a a a a a +=⇒=⇒=①，36821131116)16(a a a a a a =⇒=，由等比数列各项正负性的性质可知：311,a a 同号，故3114a a =②，②除以①，得：等比数列的公比3113102a a a a q ==，故本题选B. 【点睛】本题考查了对数的运算性质及对数的定义，考查了等比数列的下标性质，考查了求等比数列的公比，考查了数学运算能力. 3.已知命题:p n N ∀∈，2n n >p ⌝是A. n ∀∈N ，2n n ≤B. n ∀∈N ，2n n <C. n N ∃∈，2n n ≤D. n N ∃∈，2n n >【答案】C 【解析】p ⌝为：n N ∃∈，2n n ≤选C .4.已知函数84()()2x xa f x a ⨯-=∈R 是奇函数，()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，则log b a =（） A. 3- B. 13-C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质(0)0f =，可以求出a 的值，由偶函数的性质()()g x g x =-，可以求出b 的值，利用对数的运算公式，可以求出log b a 的值.【详解】因为函数84()()2x xaf x a ⨯-=∈R 奇函数，所以(0)0f =，即808a a -=⇒=，因为()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，所以()()g x g x =-，1ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)22,2x x x x bx bx bx x bx x b --+-=++⇒+-+=⇒=∈∴=R Q因此12log log 83b a ==-，故本题选A.【点睛】本题考查了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力. 5.设点P 是圆22(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（） A.2 B. 22 C. 32 D.222+【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心到直线10x y --=距离，然后利用圆的性质可以求出点P 到直线10x y --=距离的最大值.【详解】因为22(1)(2)2x y ++-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为2r =线10x y --=的距离为22112(1)1221(1)d -⨯+⨯--==+-P 到直线10x y --=距离的最大值为32d r += C.【点睛】本题考查了圆上的点到定直线距离的最大值问题，利用圆的几何性质是解题的关键. 6.设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式p q k l a a a a +>+，得到等差数列公差的正负性和p ，q ，k ，l 之间的关系，结合充分性、必要性的定义选出正确答案即可. 【详解】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+， 因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断.7.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（） A. ① B. ②C. ③D. ①②【答案】D 【解析】 【分析】①:根据圆的对称性可以阴影部分的面积是圆的面积一半，可以求出在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小；②：当43a =-时，可以求出阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标，求出圆心到直线(2)y a x =-距离，这样可以判断出半圆与直线的关系，最后可以判断出直线(2)y a x =-与黑色阴影部分是否有公共点；③：当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，所以可以判断出本结论是否正确.【详解】①：因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故本结论是正确的； ②：当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为2204318143d ⨯+⨯-==+，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故本结论是正确的；③：当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故本结论是错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型，考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的对称性. 8.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+，记第n 个k 边形数为(,)N n k (3)k ≥，下面列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数211(,3)22N n n n =+， 正方形数2(,4)N n n =， 五边形数231(,5)22N n n n =-， 六边形数2(,6)2N n n n =-， 以此类推，下列结论错误的是（）A. (5,4)25N =B. (3,7)18N =C. (5,10)145N =D.(10,24)1000N =【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形数、正方形数、五边形数、六边形数中第n 个数的表达式，可以得到k 边形数中第n 个数的表达式，对四个选项依次判断即可.【详解】因为三角形数221132(,3)222432N n n n n n -+=-=+， 正方形数2244242(,4)2N n n n n --=+=， 五边形数223152(,5)222452N n n n n n -+=-=-， 六边形数2262(,6)22462N n n n n n -=-=-+， 所以可以类推得到：第n 个k 边形数为22(,)242k N n k kn n =-+-(3)k ≥， 于是有(5,4)25N =，(3,7)18N =，(5,10)85N =，(10,24)1000N =，因此选项C 是错误的，故本题选C.【点睛】本题考查了合情推理的归纳推理，考查了代数式恒等变形的能力，属于基础题. 9.在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点与O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为13．将角α沿逆时针方向旋转([,])2πββπ∈角后，得到角θ，则（）A. sin θ的最大值为13，sin θ的最小值为13-B. sin θ的最大值为23，sin θ的最小值为13C. cos θ的最大值为13-，cos θ的最小值为1- D. cos θ的最大值为13-，cos θ的最小值为22【答案】C【分析】根据题意，由三角函数的定义，可以求出锐角α的正弦，利用同角的三角函数关系式，可以求出锐角α的余弦值，结合正弦函数和余弦函数的单调性，求出sin θ、cos θ的最值，最后选出正确答案.【详解】由题意可知：1sin 3α=，(0,)6πα∈，所以有22cos 1sin 23αα=-=[,][,]22ππβπαβααπ∈∴+∈++Q ，即[,]2πθααπ∈++， 因为(0,)6πα∈，所以3[,][,]222πππααπ++⊆，因为sin y θ=在3[,]22ππ上单调递减， 所以sin y θ=的最大值为2sin()cos 223παα+==， sin y θ=的最小值为1sin()sin 3απα+=-=-；因为[,]2πθααπ∈++，所以当θπ=时，cos y θ=有最小值，最小值为1-，1cos()sin 23παα+=-=-，2cos()cos 23απα+=-=所以cos θ的最大值为13-，故本题选C.【点睛】本题考查了三角函数定义，考查了同角的三角函数关系式，考查了正弦函数、余弦函数的在闭区间上的最值.10.在平面直角坐标系xOy 中，设Ω为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合．从Ω中的任意点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为P M ，p N ．所有点P M 构成的集合为M ，M 中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为()x Ω；所有点P N 构成的集合为N ，N 中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为()y Ω．给出以下命题：①()x Ω2：②()()x y Ω+Ω的取值范围是[2,22]；③()()x y Ω-Ω恒等于0．其中所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D 【解析】根据新定义画图，通过正方形对角线的位置，数形结合可以选出正确的答案.【详解】由题意，根据正方形的对称性，设正方形的初始位置为正方形OABC ,画出图形，如下图所示：正方形的边长为12.当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时，可以发现当对角线OB 在横轴时，如图所示：()x Ω的2，故结论①正确；此时 ()2,()2x y Ω=Ω=()()22x y Ω+Ω= 当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时，当正方形有一边在横轴时，()x Ω，()y Ω有最小值为1，即()1,()1x y Ω=Ω=，所以()()x y Ω+Ω有最小值为2，所以有()()2x y Ω+Ω=，故结论②正确；由于()()x y Ω=Ω，所以()()x y Ω-Ω恒等于0，故结论③正确，综上所述：结论①②③都正确，故本题选D.【点睛】本题考查了新定义的理解与运用，考查了数学阅读能力，考查了分类思想、数形结合思想.第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）11.已知向量(1,2)m=-u r，(1,)nλ=r．若m n⊥u r r，则2m n+u r r与mu r的夹角为_________．【答案】4π【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合m n⊥u r r，可以求出λ的值，再根据平面向量夹角公式求出2m n+u r r与mu r的夹角.【详解】因为m n⊥u r r，所以1011202m nλλ⋅=⇒-⨯+=⇒=u r r，即(12)1,n=r，因此2(1,3)m n+=u r r，设2m n+u r r与mu r的夹角为θ，因此有(2)2cos21052mm nm mnθ+⋅===⨯+⋅u r ru u rr ru r，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.12.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为_______，最长棱长为_______．【答案】(1). 2(2). 3【解析】【分析】画出四棱锥的图形，由三视图求出几何元素的长度，求出体积和最长棱长即可，【详解】四棱锥P ABCD-如下图所示：底面是直角梯形，,//,2,1AD AB AD BC AD AB BC⊥===，PA⊥底面ABCD，且2PA=，所以四棱锥的体积为11(21)22232V=⨯⨯+⨯⨯=；2222PD PA AD=+=, 222PB PA AB=+=222223PC PA AC PA AB BC+=++=, 22(21)25DC=-+=所以最长棱长为3.【点睛】本题考查了四棱锥体积的求法，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力. 13.已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为_________． 【答案】3- 【解析】 【分析】设出切点坐标，对函数进行求导，求出该切点处的切线的斜率，结合直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切，可以求出a 的值.【详解】设直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切于点00(,)P x y ，'1ln()y x a y x a=-⇒=-，所以过点00(,)P x y 的切线的斜率为01k x a =-，因此有： 0000000110223ln()3x a y y x x a y x a a ⎧=⎪-=⎧⎪⎪⎪=+⇒=-∴=-⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎪⎩. 【点睛】本题考查了已知曲线切线求参数问题，设切点、求导是解题关键，考查了数学运算能力.14.若函数2log ,0()2,0xx x f x a x >⎧=⎨--≤⎩有且只有一个零点，则a 的取值范围是_______． 【答案】(,1)[0,)-∞-+∞U 【解析】【分析】先判断当0x >时，函数是否有且只有一个零点，如果有且只有一个零点，那么当0x ≤时函数就不存在零点；如果函数在0x >时，没有零点，那么函数在0x ≤时，有且只有一个零点，这样就可以求出a 的取值范围.【详解】当0x >时，函数2()log f x x =，显然函数单调递增，且(1)0f =，所以函数()f x 有且只有一个零点，要想函数()f x 在全体实数范围内，有且只有一个零点，只需当0x ≤时，20x a -->或20x a --<恒成立即可.当20x a -->在0x ≤恒成立时，min 202(2)1x x xa a a -->⇒<-⇒<-=-；当20x a --<在0x ≤恒成立时，202,0200x x xa a x a --<⇒>-≤∴-<⇒≥Q ， 综上所述：a 的取值范围是(,1)[0,)-∞-+∞U .【点睛】本题考查了已知分段函数的零点求参数问题，考查了不等式恒成立问题，考查了对数函数和指数函数的单调性应用.15.设函数()sin(2)3f x x π=+，若对于任意的1[,]44x ππ∈-，在区间[,]αβ上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，则||αβ-的最小值为________． 【答案】3π【解析】 【分析】 先求出当1[,]44x ππ∈-时，函数11()sin(2)3f x x π=+的值域，再根据12()()0f x f x +=，可以求出函数22()sin(2)3f x x π=+值域的子集，结合正弦型函数的单调性，可以求出||αβ-的最小值.详解】111121[,](2)[,]sin(2)[,1]4436332x x x ππππππ∈-∴+∈-∴+∈-Q ，即11()[,1]2f x ∈-，而12()()0f x f x +=，因此22()sin(2)3f x x π=+值域包含1[1,]2-，且2[,]x αβ∈，由题意可知在区间[,]αβ上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，因此有以下两种情形：（1）152636k k πππαππ+<+≤+且32()32k k Z πβππ+=+∈，此时2133παβπ-<-≤-，所以233παβπ≤-<，因此||αβ-的最小值为3π； （2）3232k παππ+=+且13172()636k k k Z πππβππ+≤+<+∈，此时2133παβπ-<-≤-，所以233παβπ≤-<，因此||αβ-的最小值为3π；综上所述：||αβ-的最小值为3π. 【点睛】本题考查了正弦型函数的值域问题，考查了已知正弦型函数在闭区间上值域求区间长度最小值问题，考查了数形结合思想.16.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则r 的值为________．10 【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB 44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos∠AOB＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos∠AOB＝2cos 2∠AOD－1＝－35，得cos 2∠AOD＝15.又圆心到直线的距离为OD 22=，所以cos 2∠AOD＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2＝10，r 10. 三、解答题（共6小題，共80分。
北京市朝阳区2020届高三上学期期中质量检测数学试卷
北京市朝阳区2020届高三上学期期中质量检测数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则A B =（ ） A.1{}-B.{1,2}-C.,0,1,2{1}-D.{2,1,0,1,2}--2.已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α=（ ）A.34 B.43 C.34- D.43-3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）A.3y x =-B.sin()y x =-C.2log y x =D.22x x y -=-4.关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减.其中，所有正确结论的序号是（ ） A.①②B.①③C.②③D.①②③5.已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（ ） A.若αβ⊥，则//m β B.若αβ⊥，则m β⊥ C.若//m β，则//αβD.若m β⊥，则αβ⊥6.已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A.1(0,)2B.1(,1)2 C.(1,2) D.(2,)+∞ 7.已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12MF F △为等腰三角形，则点M 的横坐标为（ ）A.32C. D.32-9.在ABC △中，90BAC ∠=，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是（ ）A.1(,1]2B.1[,1]2C. D. 10.已知集合A ，B 满足： （ⅰ）A B =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A.①③B.②③C.③④D.①④二、填空题11.已知向量(1,1)=-a ，(3,)m =b ，且//a b ，则=m ________．12.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的长度为________．13.已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．14.已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >. 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题____________________15.已知函数21,,(),ex a x x a f x x x a-⎧<⎪=⎨⎪⎩≥（a 为常数）．若1(1)2f -=，则a =________；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是________．16.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002t N N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈）三、解答题17.在ABC △中，AB =P 在BC 边上，且60APC ∠=，2BP =. （1）求AP 的值；（2）若1PC =，求sin ACP ∠的值.18.已知*{}()n a n ∈N 是各项均为正数的等比数列，116a =，323322a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ,CD AD ⊥，24BC CD AD ===，.（1）求证：//CE 平面PAB ； （2）求二面角E AC D --的余弦值；（3）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ?若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理CEDBAP由.20.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点P，(Q .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB FE ⋅的最大值. 21.已知函数ln ()xf x x a=+(0)a >． （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当1=a 时，证明：1()2x f x -≤； （3）判断)(x f 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．函数()f x 的定义域为)0(∞+，，2ln 1()()a x x f x x a -++'=+． （1）因为(1)0f =，1(1)1f a '=+， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10(1)1y x a -=-+， 即(1)10x a y -+-=．………4分()0h x ≤ （2）当1=a 时，ln ()1xf x x =+．欲证1()2x f x -≤， 即证ln 112x x x -+≤， 即证22ln 10x x -+≤． 令2()2ln 1h x x x =-+， 则22(1)(1)()2x x h x x x x--+'=-=． 当x 变化时，(),()h x h x '变化情况如下表：所以1()2x f x -≤．………9分 （3）函数)(x f 在定义域内不是单调函数．理由如下： 令，因为221()0a x ag x x x x+'=--=-<，所以)(x g 在(0,)+∞上单调递减． 注意到(1)+10g a =>． 且11111(e )ln e 1(1)0e e a a a a a g a ++++=-++=-<． 所以存在1(1,e )a m +∈，使得()0g m =．当(0,)x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)m 上单调递增； 当(,)x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(,)m +∞上单调递减． 故函数)(x f 在定义域内不是单调函数．22.已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：n *∀∈N ，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记max{||,||,||}n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（1）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （2）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（3）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．参考答案1.答案：C 解析：2.答案：B解析： 4.答案：B 解析： 5.答案：D 解析： 6.答案：B 解析： 7.答案：B 解析： 8.答案：D 解析： 9.答案：A 解析： 10.答案：B 解析： 11.答案：-3 解析：12.答案：16解析： 13.答案：解析：14.答案：若a b >，0b >，则11a b< 解析： 15.答案：12；(,0]-∞ 解析： 16.答案：12；4011 解析：17.答案：（1）因为60APC ∠=，所以120APB ∠=. 在ABP △中，，120APB ∠=，2=BP ， 由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-⋅∠， 得22240AP AP +-=. 所以4AP =.（2）在APC △中，4AP =，1PC =，60APC ∠=，由余弦定理2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅∠，得AC = 由正弦定理sin sin AP AC ACP APC =∠∠，得4sin ACP ∠，所以sin ACP ∠． 解析：18.答案：（1）设{}n a 的公比为q ，因为13216,2332a a a +==， 所以22203q q -=+． 解得2q =-（舍去）或12q =． 因此{}n a 的通项公式为15116()22n n n a --=⨯=．（2）由（Ⅰ）得23(5)log 2153n b n n =-=-， 当2n ≥时，13n n b b --=-，故{}n b 是首项为112b =，公差为3-的单调递减等差数列.AB =则21312(1)(3)(9)22n S n n n n n =+--=--.又50b =，所以数列{}n b 的前4项为正数，所以当4n =或5时，n S 取得最大值，且最大值为4530S S == 解析：19.答案：（1）如图，取PA 中点F ，连结,EF BF . 因为E 为PD 中点，4AD =， 所以//EF AD ，122EF AD ==. 又因为//BC AD ，2BC =， 所以//EF BC ，=EF BC ， 所以四边形EFBC 为平行四边形. 所以//CE BF .又因为CE ⊄平面PAB ,BF ⊂平面PAB ， 所以//CE 平面PAB .（2）取AD 中点O ，连结OP ，OB .因为PAD △为等边三角形，所以PO OD ⊥. 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD =AD ，所以PO ⊥平面ABCD . 因为//OD BC ，2OD BC ==， 所以四边形BCDO 为平行四边形. 因为CD AD ⊥，所以OB OD ⊥. 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,0,A B C E P -.所以(2,4,0),AC AE ==.设平面ACE 的一个法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即240,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩F PABDEC令2x =-，则1(2,1,=-n .显然，平面ACD 的一个法向量为2(0,0,1)=n ，所以121212cos ,⋅<>===n n n n n n . 由题知，二面角E AC D --为锐角， 所以二面角E AC D --（3）直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE .理由如下： 设AQ AB λ=.因为(2,2,0)AB =，(0,2,PA =--，所以(2,2,0)AQ AB λλλ==，(2,22,PQ PA AQ λλ=+=--． 因为PQ ⊄平面ACE ，所以//PQ 平面ACE 当且仅当10PQ ⋅=n .即(2,22,(2,1,0λλ--⋅-=，解得2λ=. 所以直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ，此时2AQAB=． 解析：20.答案：（1）因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点P，(Q ，所以22111,2a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由题易知直线22(2)210l t y ty ++-=的斜率不为0，设l ：1x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然0∆>. 设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12122221,22t y y y y t t --+==++.又12AB y =-.以FP为直径的圆的圆心坐标为，半径为r =， 故圆心到直线l的距离为d =.所以FE ===所以12AB FE y ⋅=-=== 因为211t +≥，所以221(1)21t t +++≥，即221114(1)21t t ++++≤．所以1AB FE ⋅≤．当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE ⋅=， 所以AB FE ⋅的最大值为1 解析：21.答案： 解析：()ln 1ag x x x=-++ 22.答案：（1）由211||||b c a =-，得1||12c -=，所以13c =±； 由322||||c a b =-，得2||23a -=，所以25a =±，又2111||||||33a b c b =-=--≥，故25a =，1||8b =，18b =±． 所以1b ，1c 的所有可能值为18b =，13c =；18b =，13c =-；18b =-，13c =；18b =-，13c =-．（2）若11a =，12b =，记1,c x =则2222||,||1,1a x b x c =-=-=-，22||,0||1,1,1||2,||1,||2,x x d x x x -<⎧⎪=<⎨⎪-⎩≤≤≥ 3|||1|1a x =--，31|2|||b x =--，3|2||||||1|c x x =---， 当0||1x <≤时，333||,||1,1a x b x c =-=-=，31d =，由32d d =，得||1x =，不符合；当1||2x <≤时，333||2,||1,32||a x b x c x =-=-=-，32||,1|| 1.5,||1,1.5||2,x x d x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤ 由32d d =，得||1x =，符合；当||2x ≥时，333||2,3||,1a x b x c =-=-=-，31,2||3,||2,||3,x d x x <⎧=⎨-⎩≤≥ 由32d d =，得||2x =，符合；综上，1c 的所有取值是2,1,1,2--.（3）先证明“存在正整数3k ≥，使,,k k k a b c 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数3k ≥，,,k k k a b c 都不为0， 由111,,a b c 是非零整数，且111||,||,||a b c 互不相等，得1d *∈N ，2d *∈N ． 若对任意3k ≥，,,k k k a b c 都不为0，则k d *∈N ， 即对任意1k ≥，k d *∈N ．当1k ≥时，{}1||||||||max ||,||,k k k k k k a b c b c d +=-<≤ 11||||||,||||||k k k k k k k k b c a d c a b d ++=-<=-<，所以，{}1111max ||,||,||k k k k k d a b c d ++++=<． 所以，{}k d 严格单调递减，由2d 为有限正整数， 所以，必存在正整数3m ≥，使得0m d ≤，矛盾．所以，存在正整数3k ≥，使,,k k k a b c 中至少有一个为0． 不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，，10k a -≠， 则11||||k k b c --=，且111||||||k k k b c a ---=≠， 否则，若111||||||k k k b c a ---==，因为1110k k k a b c ---++=，则必有1110k k k a b c ---===，矛盾． 于是，1111||||0,||||0k k k k k k b c a c a b ----=-≠=-≠，且k k b c =-， 所以，10k a +=，11||,||||k k k k k b c c b c ++==-=-， 依次递推，即有：对11,0,||,||n n k n k n k a b c c c ++∀===-≥，且||0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0． 综上，结论成立．解析：。
2019-2020学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷试题及答案
2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|4}A x Z x =∈<，{1B =-，2}，则(A B = )A ．{1}-B ．{1-，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0，1，2}2．已知(,)2παπ∈，且3sin 5α=，则tan (α= )A ．34B ．43 C ．34-D ．43-3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．3y x =-B ．sin()y x =-C ．2log ||y x =D ．22x x y -=-4．关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m β B ．若αβ⊥，则m β⊥ C ．若//m β，则//αβD ．若m β⊥，则αβ⊥6．已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞7．已知*{}()n a n N ∈为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设1F ，2F 为椭圆22:195x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△12MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为( )A ．32B C ． D ．32-9．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC +=，则||AP 的取值范围是( )A ．1(,1]2B ．1[,1]2C ．,1]D ．[] 10．已知集合A ，B 满足： （ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数． 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量(1,1)a =-，(3,)b m =，且//a b ，则m = ．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ，最长棱的长度为 ．13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ．14．已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题： ．15．已知函数21,,()(,x a x x a f x a x x a e -⎧<⎪=⎨⎪⎩…为常数）．若1(1)2f -=，则a = ；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是 ．16．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730002(t N N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到5730年之间．（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3)≈三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（13分）在ABC ∆中，AB =P 在BC 边上，且60APC ∠=︒，2BP =． （Ⅰ）求AP 的值；（Ⅱ）若1PC =，求sin ACP ∠的值．18．（13分）已知*{}()n a n N ∈是各项均为正数的等比数列，116a =，322332a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ，CD AD ⊥，2BC CD ==，4AD =． （Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．20．（13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点(1,)P ，(Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点)F ，求||||AB FE 的最大值．21．已知函数()(0)lnxf x a x a=>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：1()2x f x -…； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．22．（13分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：*n N ∀∈，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记{||n n d max a =，||n b ，||}({n c max x ，y ，}z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|4}A x Z x =∈<，{1B =-，2}，则(A B = )A ．{1}-B ．{1-，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0，1，2} 【解答】解：集合2{|4}{1A x Z x =∈<=-，0，1}，{1B =-，2}， {1AB ∴=-，0，1，2}．故选：C ．2．已知(,)2παπ∈，且3sin 5α=，则tan (α= )A ．34B ．43 C ．34-D ．43-【解答】解：已知3sin 5α=， 根据22sin cos 1αα+= 解得：4cos 5α=±由于：(,)2παπ∈所以：4cos 5α=-则sin 3tan cos 4ααα==- 故选：C ．3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．3y x =-B ．sin()y x =-C ．2log ||y x =D ．22x x y -=-【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3y x =-，是奇函数在区间(0,1)上单调递减，不符合题意；对于B ，sin()sin y x x =-=-，是奇函数在区间(0,1)上单调递减，不符合题意； 对于C ，2log ||y x =，有()()f x f x -=，是偶函数不是奇函数，不符合题意；对于D ，22x x y -=-，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增，符合题意； 故选：D ．4．关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：函数()sin cos )4f x x x x π=+=+，所以函数的周期为：2π，所以①正确；②不正确； 函数的单调减区间为：[24k ππ+，2]k ππ+，k Z ∈，所以函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．正确； 故选：B ．5．已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m β B ．若αβ⊥，则m β⊥ C ．若//m β，则//αβD ．若m β⊥，则αβ⊥【解答】解：对于选项A ：若αβ⊥，则//m β也可能m β⊥，故错误． 对于选项B ：若αβ⊥，则m β⊥也可能//m β，故错误． 对于选项C ：若//m β，则//αβ也可能α与β相交，故错误．对于选项D ，直线m α⊂，m β⊥，则αβ⊥是面面垂直的判定，故正确． 故选：D ．6．已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞【解答】解：令()0f x =得，1|2|kx x -=-， 设11y kx =-，2|2|y x =-，画出这两个函数的图象， 如右图，黑色曲线为1y 的图象，红线为2y 的图象，且12y 的图象恒过(0,1)-，要使()f x 有两个零点，则1y 和2y 的图象有两个交点， 当1k =时，1y x =（红线）与2y 图象的右侧(1)x >平行， 此时，两图象只有一个交点，12PA k =， 因此，要使1y 和2y 的图象有两个交点，则112k <<， 故选：B ．7．已知*{}()n a n N ∈为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：{}n a 为等比数列，由12a a >，不能说明{}n a 为递减数列，如数列：1，12-，14；反之，由{}n a 为递减数列，得12a a >．∴ “12a a >”是“{}n a 为递减数列”的必要而不充分条件．故选：B ．8．设1F ，2F 为椭圆22:195x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△12MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为( )A ．32B C ． D ．32-【解答】解：设(,)M m n ，0m <，0n >，椭圆22:195x y C +=中3a =，b =，2c =， 椭圆的左准线方程为：292a x c =-=-，23c e a ==， 由于M 为C 上一点且在第二象限，可得12||||MF MF <， △12MF F 为等腰三角形，可得2||24MF c ==，1||2MF =， 由椭圆的第二定义，可得292()32m =⨯+，解得32m =-， 故选：D ．9．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC +=，则||AP 的取值范围是( )A ．1(,1]2B ．1[,1]2C ．,1]D ．[] 【解答】解：以BC 的中点O 为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图直角坐标系则(1,0)B -，(1,0)C ，设(,0)P x ，(,)A a b ，||1x …，由1OA =，221a b +=， 则由()1AP AB AC +=，得(x a -，)(b a --，1)2b -=，化简12ax =， 所以2222222||()2AP x a b x ax a b x =-+=-++=， 由221a b +=，因为1a ≠±，所以||1a <，所以11|||2|2x a =>，所以||||AP x =的取值范围为1(2，1]，故选：A ．10．已知集合A ，B 满足：（ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数． 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【解答】解：：由（ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 可判断集合A 中的元素都小于集合B 中的元素，若集合A 的元素没有最大数，则必然存在一个数x ，使得1x A ∀∈，1x x <； 如果x 是有理数，则x B ∈，且1y B ∀∈，1y x …，则B 有最小数为x ； 如果x 是无理数，则x B ∉，且1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数； 故②正确；若集合A 的元素有最大数，则必然存在一个有理数x ，使得1x A ∀∈，1x x …； 1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数；故③正确； 故选：B ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量(1,1)a =-，(3,)b m =，且//a b ，则m = 3- ． 【解答】解：//a b ，30m ∴+=， 3m ∴=-．故答案为：3-．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为6，最长棱的长度为 ．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P ABC -，底面三角形ABC 为等腰直角三角形， 1AB BC ==，90ABC ∠=︒，高1PO =，则111111326P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=；最长棱长为PB ==故答案为：16． 13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为【解答】解：||||OA OB =；又AOB ∆为等腰直角三角形；所以2AB =，则三角形AOB 斜边上的高为1； 即圆心O 到直线的距离为1；∴1d ==，即||a =故答案为：a =；14．已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题： 若a b >，0b >，则a b<．（答案不唯一） ． 【解答】解：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：若a ，b 满足a b >，0b >，则11a b<，即由①④⇒②． （答案不唯一）．故答案为：由a ，b 满足：a b >，0b >，则11a b<． 15．已知函数21,,()(,x a x x a f x a x x a e -⎧<⎪=⎨⎪⎩…为常数）．若1(1)2f -=，则a = 2 ；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是 ． 【解答】解：（1）①1a >-时，1(1)2f a -==，12a ∴=， ②1a -…时，2211(1)2f e e ---==-≠， 12a ∴=． （2）111()x x xxe e ---'=， 1x x y e-∴=在(,1)-∞递增，在(1,)+∞递减；又0a >时2y ax =在(,0)-∞递减，()f x ∴不会存在最大值． 0a =时，()f x 的最大值即1x x y e -=的最大值； 0a <时，()f x 的最大值即1x x y e-=的最大值；故答案为：(-∞，0]．16．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730002(tN N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 2；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到5730年之间．（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3)≈【解答】解：生物体内碳14的量N 与死亡年数t 之间的函数关系式为：573002tN N -=；5730t =时，10022N N N -==； 所以每经过5730年衰减为原来的12； 由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35， ∴573013225t-剟； 两边同时取以2为底的对数，得： 221(log 3log 5)0.75730t---=-剟 40115730t ∴剟；故推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间． 故答案为：12，4011． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（13分）在ABC ∆中，AB =P 在BC 边上，且60APC ∠=︒，2BP =． （Ⅰ）求AP 的值；（Ⅱ）若1PC =，求sin ACP ∠的值．【解答】解：（Ⅰ）因为60APC ∠=︒，所以120APB ∠=︒．在ABP ∆中，AB =，120APB ∠=︒，2BP =，由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-∠，得22240AP AP +-=．所以4AP =．（Ⅱ）在APC ∆中，4AP =，1PC =，60APC ∠=︒，由余弦定理2222cos AC AP PC AP PC APC =+-∠，得AC =由正弦定理sin sin AP ACACP APC=∠∠，得4sin ACP =∠所以sin ACP ∠=． 18．（13分）已知*{}()n a n N ∈是各项均为正数的等比数列，116a =，322332a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为116a =，322332a a +=， 所以22320q q +-=． 解得2q =-（舍去）或12q =． 因此{}n a 的通项公式为15116()22n n n a --=⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得23(5)log 2153n b n n =-=-，当2n …时，13n n b b --=-， 故{}n b 是首项为112b =，公差为3-的单调递减等差数列． 则21312(1)(3)(9)22n S n n n n n =+--=--．又50b =，所以数列{}n b 的前4项为正数，所以当4n =或5时，n S 取得最大值，且最大值为4530S S ==．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ，CD AD ⊥，2BC CD ==，4AD =． （Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF，BF．因为E为PD中点，4AD=，所以//EF AD，122EF AD==．又因为//BC AD，2BC=，所以//EF BC，EF BC=，所以四边形EFBC为平行四边形．所以//CE BF．又因为CE⊂/平面PAB，BF⊂平面PAB，所以//CE平面PAB．（Ⅱ）取AD中点O，连结OP，OB．因为PAD∆为等边三角形，所以PO OD⊥．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD AD=，所以PO⊥平面ABCD．因为//OD BC，2OD BC==，所以四边形BCDO为平行四边形．因为CD AD⊥，所以OB OD⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz-，则(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0),A B C E P -．所以(2,4,0),AC AE ==．设平面ACE 的一个法向量为1(n x =，y ，)z ， 则110,0,n AC n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即240,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令2x =-，则1(2,1,n =-．显然，平面ACD 的一个法向量为2(0n =，0，1)，所以1212123cos ,||||2n n n n n n -<>===． 由题知，二面角E AC D --为锐角， 所以二面角E AC D --（Ⅲ）直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ．理由如下： 设AQ AB λ=．因为(2,2,0)AB =，(0,2,PA =--，所以(2,2,0)AQ AB λλλ==，(2,22,PQ PA AQ λλ=+=--． 因为PQ ⊂/平面ACE ，所以//PQ 平面ACE 当且仅当10PQ n =． 即(2,22,(2,1,3)0λλ----=，解得2λ=． 所以直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ，此时2AQAB=．20．（13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点(1,)P，(Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点)F ，求||||AB FE 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,)P，(Q ，所以22111,2a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=，（Ⅱ）由题易知直线l 的斜率不为0，设:1l x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然△0>． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则12122221,22t y y y y t t --+==++．又12|||AB y y =-． 以FP为直径的圆的圆心坐标为，半径为r =， 故圆心到直线l的距离为d ==．所以2||81FEt ===+所以122|||||AB FE y y =-=因为211t +…，所以221(1)21t t +++…，即221114(1)21t t ++++…． 所以||||21AB FE =…．当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且||||1AB FE =， 所以||||AB FE 的最大值为1． 21．已知函数()(0)lnxf x a x a=>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：1()2x f x -…； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【解答】解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()()a lnx x f x x a -++'=+． （Ⅰ）因为f （1）0=，1(1)1f a '=+， 所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为10(1)1y x a -=-+， 即(1)10x a y -+-=；（Ⅱ）证明：当1a =时，()1lnxf x x =+． 欲证1()2x f x -…， 即证112lnx x x -+…， 即证2210lnx x -+…． 令2()21h x lnx x =-+， 则22(1)(1)()2x x h x x x x--+'=-=． 当x 变化时，()h x '，()h x 变化情况如下表：所以函数()h x 的最大值为h （1）0=，故()0h x …． 所以1()2x f x -…； （Ⅲ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由如下： 令()1ag x lnx x=-++，因为221()0a x ag x x x x+'=--=-<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减． 注意到g （1）10a =+>． 且11111()1(1)0a a a a a g e lne a e e ++++=-++=-<．所以存在1(1,)a m e +∈，使得()0g m =．当(0,)x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)m 上单调递增； 当(,)x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(,)m +∞上单调递减． 故函数()f x 在定义域内不是单调函数．22．（13分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：*n N ∀∈，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记{||n n d max a =，||n b ，||}({n c max x ，y ，}z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0． 【解答】解：（Ⅰ）由211||||b c a =-，得1||12c -=，所以13c =±； 由322||||c a b =-，得2||23a -=，所以25a =±，又2111||||||33a b c b =-=--…，故25a =，1||8b =，18b =±．所以1b ，1c 的所有可能值为18b =，13c =；18b =，13c =-；18b =-，13c =；18b =-，13c =-． （Ⅱ）若11a =，12b =，记1c x =，则22||a x =-，2||1b x =-，21c =-，232||,0||1,1,1||2,|||1|1||1,||2,x x d x a x x x -<⎧⎪=<=--⎨⎪-⎩………，31|2|||b x =--，3|2||||||1|c x x =---，当0||1x <…时，3||a x =-，3||1b x =-，31c =，31d =，由32d d =，得||1x =，不符合；当1||2x <…时，3||2a x =-，3||1b x =-，332||c x =-，32||,1|| 1.5,||1,1.5||2,x x d x x -<⎧=⎨-<⎩……由32d d =，得||1x =，符合；当||2x …时，3||2a x =-，33||b x =-，31c =-，31,2||3,||2,||3,x d x x <⎧=⎨-⎩…… 由32d d =，得||2x =，符合；综上，1c 的所有取值是2-，1-，1，2．（Ⅲ）先证明“存在正整数3k …，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数3k …，k a ，k b ，k c 都不为0， 由1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，得*1d N ∈，*2d N ∈．若对任意3k …，k a ，k b ，k c 都不为0，则*k d N ∈， 即对任意1k …，*k d N ∈． 当1k …时，1||||||||{||k k k k a b c max b +=-<，||}k k c d …，1||||||||k k k k b c a d +=-<，1||||||||k k k k c a b d +=-<，所以，11{||k k d max a ++=，1||k b +，1||}k k c d +<． 所以，{}k d 严格单调递减， 由2d 为有限正整数，所以，必存在正整数3m …，使得0m d …，矛盾． 所以，存在正整数3k …，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0． 不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，⋯，10k a -≠， 则11||||k k b c --=，且111||||||k k k b c a ---=≠， 否则，若111||||||k k k b c a ---==，因为1110k k k a b c ---++=，则必有1110k k k a b c ---===，矛盾．于是，11||||0k k k b c a --=-≠，11||||0k k k c a b --=-≠，且k k b c =-， 所以，10k a +=，1||k k b c +=，1||||k k k c b c +=-=-，依次递推，即有：对n k ∀…，0n a =，1||n k b c +=，1||n k c c +=-，且||0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0． 综上，结论成立．。
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高2020届高三年级期中质量检测数学试题(word版,含答案)
高三数学试卷 第1页（共13页）北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 2019．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}-（B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =-（C ）2log y x =（D ）22x xy -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②（B ）①③ （C ）②③（D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β （B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ （D ）若m β⊥，则αβ⊥高三数学试卷 第2页（共13页）（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2（C ）(1,2) （D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为 （A ）32 （B（C） （D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =， 点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是 （A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C）2 （D）[2（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④ 若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④高三数学试卷 第3页（共13页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市朝阳区2020届高三数学上学期期中质量检测试题201911190335
北京市朝阳区2020届高三数学上学期期中质量检测试题（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}- （B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =- （C ）2log y x =（D ）22x x y -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减.其中，所有正确结论的序号是（A ）①② （B ）①③（C ）②③ （D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β（B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ（D ）若m β⊥，则αβ⊥（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F为等腰三角形，则点M 的横坐标为 （A ）32（B（C）（D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP的取值范围是（A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C）(2 （D）2（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅； （ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈；（ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数；② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷
2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A＝{x∈Z|x2<4}，B＝{−1, 2}，则A∪B＝（）A.{−1}B.{−1, 2}C.{−1, 0, 1, 2}D.{−2, −1, 0, 1, 2}【答案】C【考点】并集及其运算【解析】先求出集合A，再利用并集定义直接求解．【解答】∵集合A＝{x∈Z|x2<4}＝{−1, 0, 1}，B＝{−1, 2}，∴A∪B＝{−1, 0, 1, 2}．2. 已知α∈(π2,π)，且sinα=35，则tanα＝（）A.3 4B.43C.−34D.−43【答案】C【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】首先根据三角函数的恒等变换关系式sin2α+cos2α＝1，求出cosα，进一步利用角的范围和tanα=sinαcosα求出结果．【解答】已知sinα=35，根据sin2α+cos2α＝1解得：cosα=±45由于：α∈(π2,π)所以：cosα=−45则tanα=sinαcosα=−343. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0, 1)上单调递增的是（）A.y＝−x3B.y＝sin(−x)C.y＝log2|x|D.y＝2x−2−x【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝−x3，是奇函数在区间(0, 1)上单调递减，不符合题意；对于B，y＝sin(−x)＝−sinx，是奇函数在区间(0, 1)上单调递减，不符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f(−x)＝f(x)，是偶函数不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝2x−2−x，既是奇函数又在区间(0, 1)上单调递增，符合题意；4. 关于函数f(x)＝sinx+cosx有下述三个结论：①函数f(x)的最小正周期为2π；②函数f(x)的最大值为2；③函数f(x)在区间(π2,π)上单调递减．其中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期，最值以及判断函数的单调性，找出正确结论即可．【解答】函数f(x)＝sinx+cosx=√2sin(x+π4)，所以函数的周期为：2π，所以①正确；函数的最大值为：√2，所以②不正确；函数的单调减区间为：[2kπ+π4, 2kπ+π]，k∈Z，所以函数f(x)在区间(π2,π)上单调递减．正确；5. 已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A.若α⊥β，则m // βB.若α⊥β，则m⊥βC.若m // β，则α // βD.若m⊥β，则α⊥β【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．【解答】对于选项A：若α⊥β，则m // β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m // β，故错误．对于选项C：若m // β，则α // β也可能α与β相交，故错误．对于选项D ，直线m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．6. 已知函数f(x)＝|x −2|−kx +1恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.(0, 12) B.(12, 1)C.(1, 2)D.(2, +∞) 【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】先构造两函数y 1＝kx −1，y 2＝|x −2|，问题等价为y 1和y 2的图象有两个交点，再数形结合得出k 的范围． 【解答】令f(x)＝0得，kx −1＝|x −2|，设y 1＝kx −1，y 2＝|x −2|，画出这两个函数的图象， 如右图，黑色曲线为y 1的图象，红线为y 2的图象， 且y 12的图象恒过(0, −1)，要使f(x)有两个零点，则y 1和y 2的图象有两个交点， 当k ＝1时，y 1＝x （红线）与y 2图象的右侧(x >1)平行， 此时，两图象只有一个交点，k PA =12，因此，要使y 1和y 2的图象有两个交点，则12<k <1，7. 已知{a n }(n ∈N ∗)为等比数列，则“a 1>a 2”是“{a n }为递减数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】举例说明不充分，由递减数列的概念说明必要． 【解答】解：{a n }为等比数列，由a 1>a 2，不能说明{a n }为递减数列，如数列：1，−12，14； 反之，由{a n }为递减数列，得a 1>a 2．∴ “a 1>a 2”是“{a n }为递减数列”的必要而不充分条件． 故选B .8. 设F 1，F 2为椭圆C:x 29+y 25=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则点M 的横坐标为（ ） A.32 B.√152C.−√152D.−32【答案】D【考点】椭圆的离心率 【解析】设M(m, n)，m <0，n >0，求得椭圆的a ，b ，c ，e ，由于M 为C 上一点且在第二象限，可得|MF 1|<|MF 2|，△MF 1F 2为等腰三角形，|MF 1|＝2c ，运用椭圆的第二定义，可得所求点的横坐标． 【解答】设M(m, n)，m <0，n >0，椭圆C:x 29+y 25=1中a ＝3，b =√5，c ＝2，椭圆的左准线方程为：x =−a 2c=−92，e =ca =23，由于M 为C 上一点且在第二象限，可得|MF 1|<|MF 2|， △MF 1F 2为等腰三角形，可得|MF 2|＝2c ＝4，|MF 1|＝2， 由椭圆的第二定义，可得2=23×(92+m)，解得m =−32，9. 在△ABC 中，∠BAC ＝90∘，BC ＝2，点P 在BC 边上，且AP →⋅(AB →+AC →)=1，则|AP →|的取值范围是（ ） A.(12,1]B.[12,1]C.(√22,1]D.[√22,1]【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】以BC 的中点O 为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标法，求出ax =12，|AP →|=|x|，根据题意求出x 的范围，代入即可． 【解答】以BC 的中点O 为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图直角坐标系则B(−1, 0)，C(1, 0)，设P(x, 0)，A(a, b)，|x|≤1，由OA ＝1，a 2+b 2＝1， 则由AP →⋅(AB →+AC →)=1，得(x −a, −b)(−a, −b)=12，化简ax =12， 所以|AP →|2=(x −a)2+b 2＝x 2−2ax +a 2+b 2＝x 2，由a2+b2＝1，因为a≠±1，所以|a|<1，所以|x|=1|2a|>12，, 1]，所以|AP→|=|x|的取值范围为(1210. 已知集合A，B满足：(ⅰ)A∪B＝Q，A∩B＝⌀；(ⅱ)∀x1∈A，若x2∈Q且x2<x1，则x2∈A；(ⅲ)∀y1∈B，若y2∈Q且y2>y1，则y2∈B．给出以下命题：①若集合A中没有最大数，则集合B中有最小数；②若集合A中没有最大数，则集合B中可能没有最小数；③若集合A中有最大数，则集合B中没有最小数；④若集合A中有最大数，则集合B中可能有最小数．其中，所有正确结论的序号是（）A.①③B.②③C.③④D.①④【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据集合中元素的特点进行判断A，B的关系．【解答】：由(ⅰ)A∪B＝Q，A∩B＝⌀；(ⅱ)∀x1∈A，若x2∈Q且x2<x1，则x2∈A；(ⅲ)∀y1∈B，若y2∈Q且y2>y1，则y2∈B．可判断集合A中的元素都小于集合B中的元素，若集合A的元素没有最大数，则必然存在一个数x，使得∀x1∈A，x1<x；如果x是有理数，则x∈B，且∀y1∈B，y1≥x，则B有最小数为x；如果x是无理数，则x∉B，且∀y1∈B，y1>x，则B没有最小数；故②正确；若集合A的元素有最大数，则必然存在一个有理数x，使得∀x1∈A，x1≤x；∀y1∈B，y1>x，则B没有最小数；故③正确；二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．已知向量a→=(1, −1)，b→=(3, m)，且a→ // b→，则m＝________．【答案】−3【考点】平行向量（共线）【解析】根据a→∥b→即可得出m+3＝0，解出m即可．【解答】∵a→∥b→，∴m+3＝0，∴m＝−(3)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的长度为________．【答案】16,√3【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥P−ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，再由棱锥体积公式求体积，由勾股定理求最长棱长．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P−ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝1，∠ABC＝90∘，高PO＝1，则V P−ABC=13×12×1×1×1=16；最长棱长为PB=√12+12+12=√3．已知直线x−2y+a＝0与圆O:x2+y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为________±√5．【答案】a=±√5；【考点】直线与圆的位置关系【解析】△AOB为等腰直角三角形，则AB边上的高为1，即圆心O到直线的距离为1，用点到直线的距离公式可求a；【解答】∵|OA|=|OB|=√2；又△AOB为等腰直角三角形；所以AB＝2，则三角形AOB斜边上的高为1；即圆心O到直线的距离为1；∴d=√1+22=1，即|a|=√5；已知a，b是实数，给出下列四个论断：①a>b；②1a <1b；③a>0；④b>0．以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：________>________，________>0，则1a <1b．（答案不唯一）．【答案】若a,b,b【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的基本性质可得由①④⇒②．（答案不唯一）．【解答】①a>b；②1a <1b；③a>0；④b>(0)以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：若a，b满足a>b，b>0，则1a <1b，即由①④⇒②．（答案不唯一）．已知函数f(x)={ax2,x<a,xe x−1,x≥a（a为常数）．若f(−1)=12，则a＝________；若函数f(x)存在最大值，则a的取值范围是________．【答案】12,(−∞, 0]【考点】分段函数的应用【解析】本题（1）利用分段函数求值分类讨论a的取值后分别代入每一段函数中求值；（2）结合二次函数以及xe x−1的函数的图象特点分析求解．【解答】又∵a>0时y＝ax2在(−∞, 0)递减，∴f(x)不会存在最大值．a＝0时，f(x)的最大值即y=xe x−1的最大值（1）a<0时，f(x)的最大值即y=xe x−1的最大值（2）故答案为：(−∞, 0]．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N=N⋅2−t5730（N 0表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 12 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：log 23≈1.6，log 25≈2.3） 【答案】 4011 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】根据生物体内碳14的质量N 与死亡年数t 之间的函数关系式，t ＝5730代入，得N =N 02，故每经过5730年衰减为原来的一半；利用碳14的残余量约占原来的12至35，建立不等式，即可推算良渚古城的年代． 【解答】∵ 生物体内碳14的量N 与死亡年数t 之间的函数关系式为：N =N 0⋅2−t5730； t ＝5730时，N =N 0⋅2−1=N 02；所以每经过5730年衰减为原来的12；由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35， ∴ 12≤2−t5730≤35；两边同时取以2为底的对数，得： −1≤−t5730≤(log 23−log 25)＝−0.7∴ 4011≤t ≤5730；故推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．在△ABC 中，AB ＝2√7，点P 在BC 边上，且∠APC ＝60∘，BP ＝2． (Ⅰ)求AP 的值；(Ⅱ)若PC ＝1，求sin∠ACP 的值． 【答案】（1）因为∠APC ＝60∘，所以∠APB ＝120∘．在△ABP 中，AB ＝2√7，∠APB ＝120∘，BP ＝2，由余弦定理AB 2＝AP 2+BP 2−2AP ⋅BPcos∠APB ，得AP 2+2AP −24＝（0） 所以AP ＝（4）（2）在△APC 中，AP ＝4，PC ＝1，∠APC ＝60∘，由余弦定理AC 2＝AP 2+PC 2−2AP ⋅PCcos∠APC ，得AC =√13． 由正弦定理APsin∠ACP =ACsin∠APC ，得4sin∠ACP =√13sin60， 所以sin∠ACP =2√3913．【考点】余弦定理解三角形正弦定理【解析】(Ⅰ)在△ABP中，利用余弦定理转化求解AP的值；(Ⅱ)在△APC中，利用余弦定理求出AC，然后利用正弦定理求sin∠ACP的值．【解答】（1）因为∠APC＝60∘，所以∠APB＝120∘．在△ABP中，AB＝2√7，∠APB＝120∘，BP＝2，由余弦定理AB2＝AP2+BP2−2AP⋅BPcos∠APB，得AP2+2AP−24＝（0）所以AP＝（4）（2）在△APC中，AP＝4，PC＝1，∠APC＝60∘，由余弦定理AC2＝AP2+PC2−2AP⋅PCcos∠APC，得AC=√13．由正弦定理APsin∠ACP =ACsin∠APC，得4sin∠ACP=√13sin60，所以sin∠ACP=2√3913．已知{a n}(n∈N∗)是各项均为正数的等比数列，a1＝16，2a3+3a2＝32．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n＝3log2a n，求数列{b n}的前n项和S n，并求S n的最大值．【答案】（1）设{a n}的公比为q，因为a1＝16，2a3+3a2＝32，所以2q2+3q−2＝（0）解得q＝−2（舍去）或q=12．因此{a n}的通项公式为a n=16×(12)n−1=25−n．（2）由(Ⅰ)得b n＝3(5−n)log22＝15−3n，当n≥2时，b n−b n−1＝−3，故{b n}是首项为b1＝12，公差为−3的单调递减等差数列．则S n=12n+12n(n−1)(−3)=−32(n2−9n)．又b5＝0，所以数列{b n}的前4项为正数，所以当n＝4或5时，S n取得最大值，且最大值为S4＝S5＝3(0)【考点】数列的求和【解析】(Ⅰ)直接利用已知条件求出数列的通项公式．(Ⅱ)直接利用数列的通项公式求出数列的和，进一步利用关系式求出最值．【解答】（1）设{a n}的公比为q，因为a1＝16，2a3+3a2＝32，所以2q2+3q−2＝（0）解得q＝−2（舍去）或q=12．因此{a n}的通项公式为a n=16×(12)n−1=25−n．（2）由(Ⅰ)得b n＝3(5−n)log22＝15−3n，当n≥2时，b n−b n−1＝−3，故{b n}是首项为b1＝12，公差为−3的单调递减等差数列．则S n=12n+12n(n−1)(−3)=−32(n2−9n)．又b5＝0，所以数列{b n}的前4项为正数，所以当n＝4或5时，S n取得最大值，且最大值为S4＝S5＝3(0)如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E 为PD的中点，AD // BC，CD⊥AD，BC＝CD＝2，AD＝4．(Ⅰ)求证：CE // 平面PAB；(Ⅱ)求二面角E−AC−D的余弦值；(Ⅲ)直线AB上是否存在点Q，使得PQ // 平面ACE？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）如图，取PA中点F，连结EF，BF．因为E为PD中点，AD＝4，所以EF // AD，EF=12AD=2．又因为BC // AD，BC＝2，所以EF // BC，EF＝BC，所以四边形EFBC为平行四边形．所以CE // BF．又因为CE平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE // 平面PAB．（2）取AD中点O，连结OP，OB．因为△PAD为等边三角形，所以PO⊥OD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD．因为OD // BC，OD＝BC＝2，所以四边形BCDO为平行四边形．因为CD ⊥AD ，所以OB ⊥OD ． 如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(0,−2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,√3),P(0,0,2√3)． 所以AC →=(2,4,0),AE →=(0,3,√3)． 设平面ACE 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅AC →=0,n 1→⋅AE →=0, 即{2x +4y =0,3y +√3z =0. 令x ＝−2，则n 1→=(−2,1,−√3)．显然，平面ACD 的一个法向量为n 2→=(0, 0, 1)， 所以cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√322=−√64． 由题知，二面角E −AC −D 为锐角， 所以二面角E −AC −D 的余弦值为√64．(Ⅲ)直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ．理由如下： 设AQ →=λAB →．因为AB →=(2,2,0)，PA →=(0,−2,−2√3)，所以AQ →=λAB →=(2λ,2λ,0)，PQ →=PA →+AQ →=(2λ,2λ−2,−2√3)．因为PQ 平面ACE ，所以PQ // 平面ACE 当且仅当PQ →⋅n 1→=0． 即(2λ,2λ−2,−2√3)⋅(−2,1,−√3)=0，解得λ＝（2） 所以直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ，此时AQAB =2．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)取PA 中点F ，连结EF ，BF ．推出EF // AD ，证明CE // BF ．利用直线与平面平行的判断定理证明CE // 平面PAB ．(Ⅱ)取AD 中点O ，连结OP ，OB ．说明PO ⊥OD ．推出PO ⊥平面ABCD ．得到OB ⊥OD ．建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面ACE 的一个法向量，平面ACD 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角E −AC −D 的余弦值．(Ⅲ)直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ．设AQ →=λAB →．通过PQ // 平面ACE 当且仅当PQ →⋅n 1=0．转化求解即可． 【解答】（1）如图，取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 中点，AD ＝4， 所以EF // AD ，EF =12AD =2．又因为BC // AD ，BC ＝2， 所以EF // BC ，EF ＝BC ，所以四边形EFBC 为平行四边形． 所以CE // BF ．又因为CE 平面PAB ，BF ⊂平面PAB ， 所以CE // 平面PAB ．（2）取AD 中点O ，连结OP ，OB ．因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥OD ． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．因为OD // BC ，OD ＝BC ＝2， 所以四边形BCDO 为平行四边形． 因为CD ⊥AD ，所以OB ⊥OD ． 如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(0,−2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,√3),P(0,0,2√3)． 所以AC →=(2,4,0),AE →=(0,3,√3)． 设平面ACE 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅AC →=0,n 1→⋅AE →=0, 即{2x +4y =0,3y +√3z =0. 令x ＝−2，则n 1→=(−2,1,−√3)．显然，平面ACD 的一个法向量为n 2→=(0, 0, 1)， 所以cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√32√2=−√64． 由题知，二面角E −AC −D 为锐角， 所以二面角E −AC −D 的余弦值为√64．(Ⅲ)直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ．理由如下： 设AQ →=λAB →．因为AB →=(2,2,0)，PA →=(0,−2,−2√3)，所以AQ →=λAB →=(2λ,2λ,0)，PQ →=PA →+AQ →=(2λ,2λ−2,−2√3)．因为PQ 平面ACE ，所以PQ // 平面ACE 当且仅当PQ →⋅n 1→=0． 即(2λ,2λ−2,−2√3)⋅(−2,1,−√3)=0，解得λ＝（2） 所以直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ，此时AQAB =2．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过两点P(1,√22)，Q(−√2,0)． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求|AB|⋅|FE|的最大值． 【答案】 （1）因为椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(1,√22)，Q(−√2,0)，所以{a =√2,1a2+12b2=1,得{a =√2,b =1, 故椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1，（2）由题易知直线l 的斜率不为0，设l:x ＝ty +1， 由{x =ty +1,x 22+y 2=1, 得(t 2+2)y 2+2ty −1＝0，显然△>(0) 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则y 1+y 2=−2t t +2,y 1y 2=−1t +2． 又|AB|=√1+t 2|y 1−y 2|．以FP 为直径的圆的圆心坐标为(1,√24)，半径为r =√24，故圆心到直线l 的距离为d =|1−√24t−1|√1+t 2=|√24t|√1+t 2．所以|FE|=2√r 2−d 2=2√18−18⋅t 2t 2+1=√22√1t 2+1． 所以|AB|⋅|FE|=√22|y 1−y 2|=√22√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√22√4t 2(t 2+2)2+4t 2+2=√22√8t 2+8(t 2+2)2=2√t 2+1(t 2+2)2=2√1(t 2+1)+1t 2+1+2，因为t 2+1≥1，所以(t 2+1)+1t 2+1≥2，即1(t 2+1)+1t 2+1+2≤14．所以|AB|⋅|FE|≤2√14=1．当t ＝0时，直线与椭圆有交点，满足题意，且|AB|⋅|FE|＝1， 所以|AB|⋅|FE|的最大值为（1） 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)将两点的坐标代入求出a ，b 的值即可；(Ⅱ)设直线方程为x ＝ty +1，与椭圆方程联立，利用根与系数关系表示出|AB|，根据条件可以求出以FP 为直径的圆的圆心坐标为(1,√24)，半径为r =√24，故圆心到直线l 的距离为d =|1−√24t−1|√1+t2=|√24t|√1+t 2．进而表示出|EF|，因为|AB|⋅|FE|=√22|y 1−y 2|，结合基本不等式即可求出范围．【解答】 （1）因为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(1,√22)，Q(−√2,0)， 所以{a =√2,1a+12b=1, 得{a =√2,b =1, 故椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1，（2）由题易知直线l 的斜率不为0，设l:x ＝ty +1， 由{x =ty +1,x 22+y 2=1, 得(t 2+2)y 2+2ty −1＝0，显然△>(0) 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则y 1+y 2=−2t t 2+2,y 1y 2=−1t 2+2． 又|AB|=√1+t 2|y 1−y 2|．以FP 为直径的圆的圆心坐标为(1,√24)，半径为r =√24，故圆心到直线l 的距离为d =|1−√24t−1|2=|√24t|2．所以|FE|=2√r 2−d 2=2√18−18⋅t 2t +1=√22√1t +1． 所以|AB|⋅|FE|=√22|y 1−y 2|=√22√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√22√4t 2(t 2+2)2+4t 2+2=√22√8t 2+8(t 2+2)2=2√t 2+1(t 2+2)2=2√1(t 2+1)+1t 2+1+2，因为t 2+1≥1，所以(t 2+1)+1t 2+1≥2，即1(t 2+1)+1t 2+1+2≤14．所以|AB|⋅|FE|≤2√14=1．当t＝0时，直线与椭圆有交点，满足题意，且|AB|⋅|FE|＝1，所以|AB|⋅|FE|的最大值为（1）已知函数f(x)=lnxx+a(a>0)．(Ⅰ)求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)当a＝1时，证明：f(x)≤x−12；(Ⅲ)判断f(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【答案】函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=−lnx+ax+1(x+a)2．（1）因为f(1)＝0，f′(1)=1a+1，所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−0=1a+1(x−1)，即x−(a+1)y−1＝0；（2）证明：当a＝1时，f(x)=lnxx+1．欲证f(x)≤x−12，即证lnxx+1≤x−12，即证2lnx−x2+1≤(0)令ℎ(x)＝2lnx−x2+1，则ℎ(x)=2x −2x=−2(x−1)(x+1)x．当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝0，故ℎ(x)≤(0)所以f(x)≤x−12；(Ⅲ)函数f(x)在定义域内不是单调函数．理由如下：令g(x)=−lnx+ax+1，因为g′(x)=−1x −ax2=−x+ax2<0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递减．注意到g(1)＝a+1>(0)且g(e a+1)=−lne a+1+ae a+1+1=a(1e a+1−1)<0．所以存在m∈(1, e a+1)，使得g(m)＝（0）当x∈(0, m)时，g(x)>0，从而f′(x)>0，所以函数f(x)在(0, m)上单调递增；当x∈(m, +∞)时，g(x)<0，从而f′(x)<0，所以函数f(x)在(m, +∞)上单调递减．故函数f(x)在定义域内不是单调函数．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)代入a的值，问题转化为证明2lnx−x2+1≤(0)令ℎ(x)＝2lnx−x2+1，根据函数的单调性证明即可；(Ⅲ)令g(x)=−lnx+ax+1，求出函数的导数，判断函数是否单调即可．【解答】函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=−lnx+ax+1(x+a)2．（1）因为f(1)＝0，f′(1)=1a+1，所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−0=1a+1(x−1)，即x−(a+1)y−1＝0；（2）证明：当a＝1时，f(x)=lnxx+1．欲证f(x)≤x−12，即证lnxx+1≤x−12，即证2lnx−x2+1≤(0)令ℎ(x)＝2lnx−x2+1，则ℎ(x)=2x −2x=−2(x−1)(x+1)x．当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝0，故ℎ(x)≤(0)所以f(x)≤x−12；(Ⅲ)函数f(x)在定义域内不是单调函数．理由如下：令g(x)=−lnx+ax+1，因为g′(x)=−1x −ax2=−x+ax2<0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递减．注意到g(1)＝a+1>(0)且g(e a+1)=−lne a+1+ae a+1+1=a(1e a+1−1)<0．所以存在m ∈(1, e a+1)，使得g(m)＝（0）当x ∈(0, m)时，g(x)>0，从而f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0, m)上单调递增；当x ∈(m, +∞)时，g(x)<0，从而f ′(x)<0，所以函数f(x)在(m, +∞)上单调递减． 故函数f(x)在定义域内不是单调函数．已知无穷数列{a n }，{b n }，{c n }满足：∀n ∈N ∗，a n+1＝|b n |−|c n |，b n+1＝|c n |−|a n |，c n+1＝|a n |−|b n |．记d n ＝max{|a n |, |b n |, |c n |}（max{x, y, z}表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．(Ⅰ)若a 1＝1，b 2＝2，c 3＝3，求b 1，c 1的可能值； (Ⅱ)若a 1＝1，b 1＝2，求满足d 2＝d 3的c 1的所有值；(Ⅲ)设a 1，b 1，c 1是非零整数，且|a 1|，|b 1|，|c 1|互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{a n }，{b n }，{c n }中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0． 【答案】（1）由b 2＝|c 1|−|a 1|，得|c 1|−1＝2，所以c 1＝±3； 由c 3＝|a 2|−|b 2|，得|a 2|−2＝3，所以a 2＝±5，又a 2＝|b 1|−|c 1|＝|b 1|−3≥−3，故a 2＝5，|b 1|＝8，b 1＝±(8)所以b 1，c 1的所有可能值为b 1＝8，c 1＝3；b 1＝8，c 1＝−3；b 1＝−8，c 1＝3；b 1＝−8，c 1＝−(3)（2）若a 1＝1，b 1＝2，记c 1＝x ，则a 2＝2−|x|，b 2＝|x|−1，c 2＝−1，d 2={2−|x|,0≤|x|<1,1,1≤|x|<2,|x|−1,|x|≥2, a 3＝||x|−1|−1，b 3＝1−|2−|x||，c 3＝|2−|x||−||x|−1|，当0≤|x|<1时，a 3＝−|x|，b 3＝|x|−1，c 3＝1，d 3＝1，由d 3＝d 2，得|x|＝1，不符合；当1≤|x|<2时，a 3＝|x|−2，b 3＝|x|−1，c 3＝3−2|x|，d 3={2−|x|,1≤|x|<1.5,|x|−1,1.5≤|x|<2, 由d 3＝d 2，得|x|＝1，符合；当|x|≥2时，a 3＝|x|−2，b 3＝3−|x|，c 3＝−1，d 3={1,2≤|x|<3,|x|−2,|x|≥3,由d 3＝d 2，得|x|＝2，符合；综上，c 1的所有取值是−2，−1，1，（2）(Ⅲ)先证明“存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，由a 1，b 1，c 1是非零整数，且|a 1|，|b 1|，|c 1|互不相等，得d 1∈N ∗，d 2∈N ∗． 若对任意k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，则d k ∈N ∗， 即对任意k ≥1，d k ∈N ∗．当k ≥1时，|a k+1|＝||b k |−|c k ||<max{|b k |, |c k |}≤d k ，|b k+1|＝||c k |−|a k ||<d k ，|c k+1|＝||a k |−|b k ||<d k ，所以，d k+1＝max{|a k+1|, |b k+1|, |c k+1|}<d k ． 所以，{d k }严格单调递减， 由d 2为有限正整数，所以，必存在正整数m ≥3，使得d m ≤0，矛盾．所以，存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为（0） 不妨设a k ＝0，且a 1≠0，a 2≠0，…，a k−1≠0， 则|b k−1|＝|c k−1|，且|b k−1|＝|c k−1|≠|a k−1|，否则，若|b k−1|＝|c k−1|＝|a k−1|，因为a k−1+b k−1+c k−1＝0，则必有a k−1＝b k−1＝c k−1＝0，矛盾． 于是，b k ＝|c k−1|−|a k−1|≠0，c k ＝|a k−1|−|b k−1|≠0，且b k ＝−c k ， 所以，a k+1＝0，b k+1＝|c k |，c k+1＝−|b k |＝−|c k |，依次递推，即有：对∀n ≥k ，a n ＝0，b n+1＝|c k |，c n+1＝−|c k |，且|c k |≠0， 此时有且仅有一个数列{a n }自第k 项起各项均为（0） 综上，结论成立． 【考点】 数列的应用 【解析】（I ）由b 2＝|c 1|−|a 1|，c 3＝|a 2|−|b 2|，a 2＝|b 1|−|c 1|得出即可；(II)求出分段函数d 2，d 3，再分类讨论，求出c 1的所有值；(III)先证明存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为0，再得出对∀n ≥k ，a n ＝0，b n+1＝|c k |，c n+1＝−|c k |，且|c k |≠0，所以有且仅有一个数列{a n }自第k 项起各项均为（0） 【解答】（1）由b 2＝|c 1|−|a 1|，得|c 1|−1＝2，所以c 1＝±3； 由c 3＝|a 2|−|b 2|，得|a 2|−2＝3，所以a 2＝±5，又a 2＝|b 1|−|c 1|＝|b 1|−3≥−3，故a 2＝5，|b 1|＝8，b 1＝±(8)所以b 1，c 1的所有可能值为b 1＝8，c 1＝3；b 1＝8，c 1＝−3；b 1＝−8，c 1＝3；b 1＝−8，c 1＝−(3)（2）若a 1＝1，b 1＝2，记c 1＝x ，则a 2＝2−|x|，b 2＝|x|−1，c 2＝−1，d 2={2−|x|,0≤|x|<1,1,1≤|x|<2,|x|−1,|x|≥2, a 3＝||x|−1|−1，b 3＝1−|2−|x||，c 3＝|2−|x||−||x|−1|，当0≤|x|<1时，a 3＝−|x|，b 3＝|x|−1，c 3＝1，d 3＝1，由d 3＝d 2，得|x|＝1，不符合；当1≤|x|<2时，a 3＝|x|−2，b 3＝|x|−1，c 3＝3−2|x|，d 3={2−|x|,1≤|x|<1.5,|x|−1,1.5≤|x|<2, 由d 3＝d 2，得|x|＝1，符合；当|x|≥2时，a 3＝|x|−2，b 3＝3−|x|，c 3＝−1，d 3={1,2≤|x|<3,|x|−2,|x|≥3,由d 3＝d 2，得|x|＝2，符合；综上，c 1的所有取值是−2，−1，1，（2）(Ⅲ)先证明“存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，由a 1，b 1，c 1是非零整数，且|a 1|，|b 1|，|c 1|互不相等，得d 1∈N ∗，d 2∈N ∗． 若对任意k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，则d k ∈N ∗， 即对任意k ≥1，d k ∈N ∗．当k ≥1时，|a k+1|＝||b k |−|c k ||<max{|b k |, |c k |}≤d k ，|b k+1|＝||c k |−|a k ||<d k ，|c k+1|＝||a k |−|b k ||<d k ，所以，d k+1＝max{|a k+1|, |b k+1|, |c k+1|}<d k ． 所以，{d k }严格单调递减， 由d 2为有限正整数，所以，必存在正整数m ≥3，使得d m ≤0，矛盾．所以，存在正整数k≥3，使a k，b k，c k中至少有一个为（0）不妨设a k＝0，且a1≠0，a2≠0，…，a k−1≠0，则|b k−1|＝|c k−1|，且|b k−1|＝|c k−1|≠|a k−1|，否则，若|b k−1|＝|c k−1|＝|a k−1|，因为a k−1+b k−1+c k−1＝0，则必有a k−1＝b k−1＝c k−1＝0，矛盾．于是，b k＝|c k−1|−|a k−1|≠0，c k＝|a k−1|−|b k−1|≠0，且b k＝−c k，所以，a k+1＝0，b k+1＝|c k|，c k+1＝−|b k|＝−|c k|，依次递推，即有：对∀n≥k，a n＝0，b n+1＝|c k|，c n+1＝−|c k|，且|c k|≠0，此时有且仅有一个数列{a n}自第k项起各项均为（0）综上，结论成立．。
北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷含答案
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可逐一判断.
【详解】对于 A，函数 y 2x 为指数函数，不具备奇偶性，故 A 错误；
对于 B，函数 y ln | x | 的定义域为{x | x 0}，
由于 f (x) ln | x | ln | x | f (x) 为偶函数，故 B 错误；
所以 A B x 1 x 2 .
故选：A.
2. 若函数 f (x) x 4 (x 0) 在 x a 处取得最小值，则 a （ ） x
A. 1
B. 2
C. 2
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】因为 x 0 ，所以用基本不等式求得最小值，并找到最小值点为 x 2 ，得出结果 a 2 . 【详解】∵ x 0 ，∴ 4 0 ，
对于 C，函数 y tan x ，由正切函数的性质可知 y tan x 为奇函数，
且在
π 2
kπ,
π 2
kπ
,
k
Z
单调递增，故
C
错误；
对于 D，函数 y x 2 的定义域为{x | x 0}， x
由
f
(x)
x
2 x
x
2 x
(x
2) x
f
(x)
，故函数
y
x
2 x
为奇函数，
因为
f (x) 1
然后得出 u 的值.
【详解】如图，棱 OA ， OB ， OC 两两垂直， 可以 O 为坐标原点， AO 为 x 轴， OB 为 y 轴， OC 为 z 轴，建立空间直角坐标系.
b2 c2 1
设 P a,b, c ，由题意可得： a2 c2 4 ，∴ a2 b2 c2 9 ，
北京市朝阳区2023-2024学年高三上学期期中质量检测数学试题及答案
北京市朝阳区2023~2024学年度第一学期期中质量检测高三数学（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U =Z ，集合{}{}22,1,0,1,2A x x B =∈-<<=-∣Z ，则()U A B ⋂=ð（）A.{}1,2- B.{}1 C.{}0,1 D.{}2【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知{}1,0,1A =-，再由补集以及交集定义可得结果.【详解】由题可知{}{}221,0,1A x x =∈-<<=-∣Z，易知{}U A x x A =∈∉∣Zð，所以(){}U 2A B ⋂=ð.故选：D2.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.lg y x =B.3y x =C.1y x x=+D.22x xy -=+【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.【详解】对于A ：因为lg y x =的定义域为()0,∞+，所以不是奇函数，所以A 错误；对于B ：令()3f x x =，则()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，又在()0,∞+上单调递增，B 正确；对于C ：1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以C 错误；对于D ：因为()22xxf x -=+，()()22xx f x f x --=+=，所以是偶函数，所以D 错误，故选：B3.若sin θθ=，则tan 2θ=（）A.3-B.3C.2-D.2【答案】C 【解析】【分析】根据sin θθ=得到tan θ=，再利用二倍角公式得到答案.【详解】sin tan θθθ=∴=，22tan tan 21tan 42θθθ===---故选：C【点睛】本题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力.4.已知0.50.65log 0.5,5,0.5a b c ===，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.c<a<bD.b<c<a【答案】A 【解析】【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.【详解】由0.600.5055log 0.5log 100.55150.5a c b <==<=<<===，即a c b <<.故选：A5.函数π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是（）A.π6x =-B.0x = C.π6x =D.π2x =【答案】C 【解析】【分析】将各项对应自变量代入解析式求函数值，判断2y =±是否成立即可.【详解】π6x =-时π2sin 26π3y ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭-，不是对称轴；0x =时π2sin 260y ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，不是对称轴；π6x =时π2sin 2π36y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，是对称轴；π2x =时π2sin 26πy ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，不是对称轴；故选：C6.设x ∈R ，则“()10x x +>”是“01x <<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.【详解】解不等式()10x x +>可得0x >或1x <-；显然{}1|0x x <<是{0x x 或}1x <-的真子集，所以可得“()10x x +>”是“01x <<”的必要不充分条件.故选：B7.已知平面内四个不同的点,,,A B C D 满足22BA DB DC =-，则AC BC=（）A.23B.32C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】将条件22BA DB DC =-变形，得到,BC AC 的关系，进而可得AC BC的值.【详解】22BA DB DC =-,()22BC CA DC DC CB -∴=++ ,即3BC AC =,3BC AC ∴= 3AC BC∴= .故选：D.8.已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为8π3．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（）A.23B.1C.2D.4-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得圆锥的高与底面圆的半径为2，作出组合体的轴截面，结合1SO D SOA ∽，列出方程，即可求解.【详解】因为圆锥的高与其底面圆的半径相等，设圆锥的高为h ，底面圆的半径为r ，则r h =，又因为圆锥的体积为8π3，可得23118πππ333r h r ==，解得2r =，则2h =，设圆锥的顶点为S ，底面圆心为O ，则高为2SO =，SO 与正方体的上底面交点为1O ,在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，取其轴截面，如图所示，设正方体的棱长为a，可得CD =，由1SO D SOA ∽，可得11SO O D SO OA=，即22222a a -=，解得4a ==-所以该正方体的棱长为4-故选：D.9.已知函数211,(,0)(),()44ln(1),[0,)x x f x g x x x x x ∞∞⎧+-∈-==--⎨+∈+⎩，设R b ∈，若存在R a ∈，使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是（）A.[1,5]-B.(,1][5,)-∞-⋃+∞C.[1,)-+∞D.(,5]-∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得函数()f x 的值域为[1,)-+∞，结合题意转化为()1g b -≥-，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，作出函数()y f x =的图象，如图所示，所以，当(,0)x ∈-∞时，()()11f x f ≥-=-；当[0,)x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，可函数()f x 的值域为[1,)-+∞，设R b ∈，若存在R a ∈，使得()()0f a g b +=成立，即()()f a g b =-，只需()1g b -≥-，即对于R b ∈，满足2441b b -++≥-成立，即2450b b --≤，解得15b -≤≤，所以实数b 的取值范围为[1,5]-.故选：A.10.已知点集{}{}Λ(,)|Z,Z ,(,)Λ|15,15x y x y S a b a b =∈∈=∈≤≤≤≤．设非空点集ΛT ⊆，若对S 中任意一点P ，在T 中存在一点Q （Q 与P 不重合），使得线段PQ 上除了点,P Q 外没有Λ中的点，则T 中的元素个数最小值是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据整点(,),(,)a b c d 的连线内部没有其它整点，当且仅当a c -与b d -互为素数，讨论T 只有一个点(,)x y 得到矛盾，进而有T 中元素不止一个，取{(2,6),(3,6)}T =分析是否满足要求即可.【详解】对于整点(,),(,)a b c d 的连线内部没有其它整点，当且仅当a c -与b d -互为素数，若T 只有一个点(,)x y ，取S 的点(,)a b 使,a x 和,b y 分别同奇偶，,a x b y --有公因子2（或重合），不合题意，故T 中元素不止一个，令{(2,6),(3,6)}T =，对于S 的点(,)P a b ，当1a =或3时，取(2,6)Q ；当2a =或4时，取(3,6)Q ；由于P 、Q 横坐标之差为1±，故PQ 内部无整点；当5a =，{1,3,5}b ∈时，取(3,6)Q ，此时横坐标之差为2，纵坐标之差为奇数，二者互素；当5a =，{2,4}b ∈时，取(2,6)Q ，此时横坐标之差为3，纵坐标之差为4,2--，二者互素；综上，T 中的元素个数最小值是2.故选：B【点睛】关键点睛：根据题设分析出整点(,),(,)a b c d 的连线内部没有其它整点，当且仅当a c -与b d -互为素数为关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数()sin πcos πf x x x =+，则()f x 的最小正周期是__________．【答案】2【解析】【分析】化简函数为π())4f x x =+，结合最小正周期的计算公式，即可求解.【详解】由函数π()sin πcos π4f x x x x =+=+，所以()f x 的最小正周期为2π2πT ==.故答案为：2.12.已知单位向量a ，b 满足()22a a b ⋅+= ，则向量a与向量b 的夹角的大小为__________．【答案】3π【解析】【分析】根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为1，代值计算即可.【详解】因为a ，b均是单位向量，故可得1,1a b == ，故可得()222,2a a b a a b cos b ⋅+=+=，即2, 1cos a b = ，解得1, 2cos a b = ，又因为向量夹角的范围为[]0,π，故,a b的夹角为3π.故答案为：3π.【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.13.设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为()*N n S n ∈，能说明“若0d <，则数列{}nS 是递减数列”为假命题的一组1,a d 的值依次为__________．【答案】12a =，1d =-（答案不唯一）【解析】【分析】由等差数列前n 项和公式有21()22n d dS n a n =+-且0d <，结合二次函数性质找到一个满足{}n S 不是递减数列的1,a d 即可.【详解】由211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，其对称轴为112a n d=-，且0d <，结合二次函数性质，只需1113122a a d d-≥⇒≤-，即1a d ≥-，此时{}n S 不是递减数列，如12a =，1d =-，则21525()228n S n =--+，显然12S S <.故答案为：12a =，1d =-（答案不唯一）14.古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的160作为单位来度量弦长．将圆心角α所对的弦长记为crd α．如图，在圆O 中，60 的圆心角所对的弦长恰好等于圆O 的半径，因此60 的圆心角所对的弦长为60个单位，即crd 6060= ．若θ为圆心角，()1cos 01804θθ=<<，则crd θ=__________【答案】【解析】【分析】根据度量弦长的定义，利用余弦定理求出1cos 4θ=时圆心角θ所对应的弦长2l r =，结合60 的圆心角所对的弦长为60个单位即可求出结果.【详解】设圆的半径为r ，1cos 4θ=时圆心角θ所对应的弦长为l ，利用余弦定理可知2222232cos 2l r r r r θ=+-=，即可得2l r =又60 的圆心角所对的弦长恰好等于圆O 的半径，60 的圆心角所对的弦长为60个单位，即与半径等长的弦所对的圆弧长为60个单位，所以602l =⨯=故答案为：15.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为AD 的中点，点N 是侧面11DCC D 上（包括边界）的动点，且1B D MN ⊥，给出下列四个结论：①动点N 的轨迹是一段圆弧；②动点N 的轨迹与1CD 没有公共点；③三棱锥1N B BC -的体积的最小值为112；④平面BMN 截该正方体所得截面的面积的最大值为98．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】②③④【解析】【分析】作出与1B D 垂直的平面MPQ ，即可得动点N 的轨迹是两平面的交线在侧面内的线段PQ ，可知①错误；显然1//PQ CD ，即②正确；当N 点与P 点重合时到平面1B BC 的距离最小时，此时最小值为112，所以③正确；易知当N 点与Q 点重合时，截面为等腰梯形1BMQC ，此时面积最大为98.【详解】取1,CD DD 的中点分别为,P Q ，连接,,,MP MQ PQ BD ，如下图所示：由正方体性质可知1BB MP ⊥，又因为AC BD ⊥，//MP AC ，所以MP BD ⊥，又1BB BD B ⋂=，1,BB BD ⊂平面1BB D ，所以MP ⊥平面1BB D ；又1B D ⊂平面1BB D ，所以1MP B D ⊥；同理可得11,MQ B D QP B D ⊥⊥，因此1B D ⊥平面MPQ ，若1B D MN ⊥，所以N ∈平面MPQ ，又点N 是侧面11DCC D 上（包括边界）的动点；所以动点N 的轨迹是两平面的交线在侧面内的线段，即PQ ，可知①错误；由于,P Q 是1,CD DD 的中点，所以1//PQ CD ，即动点N 的轨迹与1CD 没有公共点；所以②正确；易知三棱锥1N B BC -的底面1B BC 的面积为定值，即1111122B BC S =⨯⨯= ，当N 点到平面1B BC 的距离最小时，即与P 点重合时，距离最小为12，此时体积值最小为111132212V =⨯⨯=，所以③正确；显然当N 点与Q 点重合时，截面面积最大，此时截面即为四边形1BMQC ，如下图所示：易知1//MQ BC ，且12BM QC ==，1,2MQ BC ==；即四边形1BMQC 为等腰梯形，易知其高为324h ==，所以其面积为192248⎛+⨯=⎝；即④正确.故答案为：②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知{}n a是递增的等比数列，其前n项和为()*nS n∈N，满足236,26a S==．（1）求{}n a的通项公式及n S；（2）若2024n nS a+>，求n的最小值．【答案】（1）123nna-=⨯；31nnS=-.（2）7【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式以及求和的定义，建立方程，求得公比，可得答案；（2）根据对数的性质，可得答案.【小问1详解】设等比数列{}n a的公比为q，由数列{}n a是递增数列，则1q>，由26a=，则216aaq q==，326a a q q==，由312366626S a a a qq=++=++=，整理可得231030q q-+=，则()()3130q q--=，解得3q=，易知22126323n n nna a q---==⨯=⨯，()()1121331113n nnna qSq-⨯-===---.【小问2详解】由（1）可得：1131235312024n n nn nS a--+=-+⨯=⨯->，整理可得1532025n-⨯>，13405n->，61713243405,3729405--==，故n的最小值为7.17.在ABC中，222b c a bc+-=．（1）求A∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求ABC的面积．条件①：11cos 14B =；条件②：12a b +=；条件③：12c =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）π3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意，若选择①②，求得sinB ，由正弦定理求得7,5a b ==，再由余弦定理求得8c =，结合面积公式，即可求解；若①③：先求得sin 14B =，由sin sin()14C A B =+=，利用正弦定理求得212a =，结合面积公式，即可求解；若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得0b =，不符合题意.【小问1详解】解：因为222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】解：由（1）知π3A =，若选①②：11cos 14B =，12a b +=，由11cos 14B =，可得53sin 14B ==，由正弦定理sin sin a b A B =，可得214=7a =，则125b a =-=，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得249255c c =+-，即25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍去），所以ABC的面积为11sin 58222S bc A ==⨯⨯⨯=.若选①③：11cos 14B =且12c =，由11cos 14B =，可得sin 14B ==，因为πA BC ++=，可得()111sin sin 2142147C A B =+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a c A C =，可得27=，解得212a =，所以ABC的面积为1121sin 12222142S ac b ==⨯⨯⨯=.若选：②③：12a b +=且12c =，因为222b c a bc +-=，可得22212(12)12b b b +--=，整理得2412b b =，解得0b =，不符合题意，（舍去）.18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面,2,ABC PA AC BC PB ====（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）求二面角A PB C --的大小；（3）求点C 到平面PAB 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）60︒；（3.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质判断异面直线垂直，再由勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直的判定证明即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求法向量，求出二面角；（3）应用等体积法求点到面的距离即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BA ⊂平面ABC ，所以,PA BC PA BA ⊥⊥，又,2PA PB ==，所以AB ==，又因为2AC BC ==，222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥，因为AC ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC ，且AC PA A ⊂=，所以BC ⊥平面PAC ；【小问2详解】过C 作CM //PA ，则CM ⊥平面ABC ，又由（1）知BC AC ⊥，所以以,,CA CB CM 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如下图，则()()()()2,0,0,2,0,2,0,2,0,0,0,0A P B C ，设平面APB 的法向量为()111,,m x y z = ，又()()0,0,2,2,2,0AP AB ==- ，所以1112002200z m AP x y m AB ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 令11x =，则11y =，则()1,1,0m =u r ，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z = ，又()()2,0,2,0,2,0CP CB == ，所以2222200200x z n CP y n CB ⎧+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ ，令21x =，则21z =-，则()1,0,1n =- ，令二面角A PB C --的平面角为θ，则1cos cos ,2m n m n m n θ⋅=== ，由图知此二面角为锐二面角，所以60θ=︒，故二面角A PB C --为60︒；【小问3详解】设点C 到平面PAB 的距离为h ，122ABC S AC BC =⨯⨯= ，所以1433P ABC ABC V PA S -=⨯⨯=△，又12PBC S PA AB =⨯⨯=△，所以13C PAB PBC P ABC V h S V --=⨯⨯==△，解得h =C 到平面PAB .19.已知函数2()e sin (R)x f x x ax a =--∈．（1）若0a =，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值；（2）若12a <，求证：()f x 在0x =处取得极小值．【答案】（1）最小值为(0)1f =，最大值为π2π()e 12f =-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数研究()e sin x f x x =-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可求最值；（2）由题设()e cos 2x f x x ax '=--，易得(0)0f '=，构造()e cos 2x g x x ax =--利用导数可得(0)0g '>，得到()f x '在0x =处有递增趋势，即可证结论.【小问1详解】由题设()e sin x f x x =-，则()e cos x f x x '=-，在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()e cos 0x f x x '=->，即()f x 递增，所以最小值为0(0)e sin 01f =-=，最大值为ππ22ππ()e sin e 122f =-=-.【小问2详解】由题意()e cos 2x f x x ax '=--，则0(0)e cos 000f '=--=，令()e cos 2x g x x ax =--，则()e sin 2x g x x a '=+-，且12a <.所以0(0)e sin 02120g a a '=+-=->，即()f x '在0x =处有递增趋势，综上，若0x ∆>且x ∆无限趋向于0，在(,0)x x ∈-∆上()0f x '<，()f x 递减，在(0,)x x ∈∆上()0f x '>，()f x 递增，所以()f x 在0x =处取得极小值．20.已知函数2()ln 1()f x mx x x m =-+∈R ．（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x ≤在区间[1,)+∞上恒成立，求m 的取值范围；（3）试比较ln 4的大小，并说明理由．【答案】（1）10x y +-=（2）(],2-∞（3）ln 4<【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）将()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，转化为1ln 0m x x x -+≤，令()1ln g x m x x x =-+，问题转化为()max 0g x ≤，利用导数求函数()max g x 即可得解；（3）由（2）知，2m =时，()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，取x =.【小问1详解】当1m =时，()2n 1l f x x x x -+=，()ln 12f x x x '∴=+-，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处切线的斜率()11k f '==-，又()10f =，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处切线的方程为()1y x =--即10x y +-=.【小问2详解】()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，即2ln 10mx x x -+≤，对[)1,x ∀∈+∞，即1ln 0m x x x -+≤，对[)1,x ∀∈+∞，令()1ln g x m x x x =-+，只需()max 0g x ≤，()222111m x mx g x x x x-+-'=--=，[)1,x ∞∈+，当0m ≤时，有0mx ≤，则()0g x '<，()g x ∴在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=符合题意，当0m >时，令()21h x x mx =-+-，其对应方程210x mx -+-=的判别式24m ∆=-，若0∆≤即02m <≤时，有()0h x ≤，即()0g x '≤，()g x ∴在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=符合题意，若0∆>即m>2时，()21h x x mx =-+-，对称轴12m x =>，又()120h m =->，方程210x mx -+-=的大于1的根为02m x -=，()01,x x ∴∈，()0h x >，即()0g x '>，()0,x x ∈+∞，()0h x <，即()0g x '<，所以函数()g x 在()01,x 上单调递增，()()10g x g ∴>=，不合题意.综上，()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，实数m 的取值范围为(],2-∞.【小问3详解】由（2）知，当2m =时，()0f x ≤，在区间[)1,+∞上恒成立，即22ln 1x x x ≤-，对[)1,x ∀∈+∞，取x =代入上式得1<，化简得ln 4<.21.已知1,11,21,2,12,22,,1,2,(2)m m m m m m m a a a a a a A m a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是2m 个正整数组成的m 行m 列的数表，当1,1i s m j t m ≤<≤≤<≤时，记(),,,,,,,i j s t i j s j s j s t d a a a a a a =-+-．设*n ∈N ，若m A 满足如下两个性质：①{},1,2,3;,(1,2,,;1,2,,)i j a n i m j m ∈== ；②对任意{}1,2,3,,k n ∈ ，存在{}{}1,2,,,1,2,,i m j m ∈∈ ，使得,i j a k =，则称m A 为Γn 数表．（1）判断3123231312A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否为3Γ数表，并求()()1,12,22,23,3,,d a a d a a +的值；（2）若2Γ数表4A 满足(),1,1,1(1,2,3;1,2,3)i j i j d a a i j ++===，求4A 中各数之和的最小值；（3）证明：对任意4Γ数表10A ，存在110,110i s j t ≤<≤≤<≤，使得(),,,0i j s t d a a =．【答案】（1）是；5（2）22（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；（2）根据条件讨论1,i j a +的值，根据(),,,,,,,i j s t i j s j s j s t d a a a a a a =-+-，得到相关的值，进行最小值求和即可；（3）当2i r ≥时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有1i r -条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.【小问1详解】3123231312A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是3Γ数表，()()1,12,22,23,3,,23 5.d a a d a a +=+=【小问2详解】由题可知(),,,,,,,1i j s t i j s j s j s t d a a a a a a =-+-=(1,2,3;1,2,3)i j ==.当1,1i j a +=时，有(),1,1,1,1,(1)(1)1i j i j i j i j d a a a a ++++=--=，所以,1,13i j i j a a +++=.当1,2i j a +=时，有(),1,1,1,1,(2)(2)1i j i j i j i j d a a a a ++++=--=，所以,1,13i j i j a a +++=.所以,1,13(1,2,3;1,2,3).i j i j a a i j +++===所以1,12,23,34,4336,a a a a +++=+=1,32,43,14,23, 3.a a a a +=+=1,22,33,4314a a a ++=+=或者1,22,33,4325a a a ++=+=，2,13,24,3314a a a ++=+=或者2,13,24,3325a a a ++=+=，1,41a =或1,42a =，4,11a =或4,12a =，故各数之和633441122≥++++++=，当41111122212111212A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭时，各数之和取得最小值22.【小问3详解】由于4Γ数表10A 中共100个数字，必然存在{}1,2,3,4k ∈，使得数表中k 的个数满足25.T ≥设第i 行中k 的个数为(1,2,,10).i r i =⋅⋅⋅当2i r ≥时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有1i r -条有向线段，所以横向有向线段的起点总数1210(1)(1)10.i i i i r R r r T =≥=∑-≥∑-=-设第j 列中k 的个数为(1,2,,10)j c j =⋅⋅⋅.当2j c ≥时，将纵向相邻两个k 用从上到下的有向线段连接，则该列有1j c -条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数1210(1)(1)10.j j j j c C c c T =≥=∑-≥∑-=-所以220R C T +≥-,因为25T ≥,所以220200R C T T T T +-≥--=->.所以必存在某个k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在110110,u v p q <<≤<<≤，使得,,,u p v p v q a a a k ===，所以(),,,,,,,0u p v q u p v p v p v q d a a a a a a =-+-=，则命题得证.。
北京市2020届高三数学上学期期中质量检测试题
高三数学上学期期中质量检测试题（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}- （B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =- （C ）2log y x =（D ）22x x y -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减.其中，所有正确结论的序号是（A ）①② （B ）①③（C ）②③ （D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β（B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ（D ）若m β⊥，则αβ⊥（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为（A ）32（B）2（C）2-（D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP的取值范围是（A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C） （D）（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅； （ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈；（ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数；② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。