小学人教版三年级上册数学奥数(数阵图进阶课件)
三年级奥数数阵图与幻方
数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
三年级奥数教程第12讲三阶幻方
三年级奥数教程第12讲三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3(三行三列)的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图．例1、将1～9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．图12-1分析与解 1+2+…+8+9＝45．所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(＝45÷3)．从1到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1，8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3．6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心．在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示．816357492图12-2说明除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．随堂练习1 用0到8这9个数构造一个三阶幻方．例2、将1，3，5，7，…17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．分析与解将图12—2中的1，2，3，…，9分别用1，3，5，…，17代替，得到图12—3．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27．1511159137173图12-3随堂练习2 将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．例3、如果l、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?分析与解总和是1+4+7+…+25＝(1+25)×9÷2＝117．由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3＝39．。
每一列、每一条对角线的和也是39．两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍．所以中央的那个数是(39×3—39 × 2)÷3＝13．随堂练习3 如果2、6、10、1 l、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?例4、图12—4是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数．62815图12-4分析与解首先注意在例3中实际上已经得出每一行(每一列、每条对角线)的和是中央那个数的3倍．因此，现在每一行的和是15×3＝45．这样，就可以得出第三行第一个数是45—6—28＝11．第三行第三个数是45—6—15＝24．第三行第二个数是45—11—24＝10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图12—5．6201928152111024图12-5随堂练习4图1 2—6是一个三阶幻方，请填出其他的数．15423图12-6例5、已知图12—7中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．11263图12-7分析及解每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12。
2020人教北师大版奥数教材提高二年级三年级数学数阵图解题技巧综合上课PPT教学课件
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找数字最多的线 例3：在正方形中填上合适的数，使横行、竖行、斜行上 的三个数相加都等于18.
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找数字最多的线 练1：在下图中填上合适的数，使横行、竖行、斜行三个 数的和都等于27。
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找数字最多的线 练2：在下图中填上合适的数，使横行、竖行、斜行三个 数的和都等于21。
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勇闯迷魂阵
类型②：填和、 未知的数阵
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数排序，头中尾填中间 练2：将1、2、3、4、5、6、7填入下图中，使每条线上 的三个数的和都等于10。
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通关技巧
数阵图的秘密(笔记）
1.和已知，找数字出现最多的线，用加减法去算；
2.和未知，先确定中间值
技巧：数排序，头中尾任选、一个填中间，大小大小手拉手；
3.九宫格：中间数×3=和
数排序，头中尾填中间 挑战：把1～9这九个数填入下图中，使横行、竖行、斜 行三个数的和都相等。
数阵图的秘密
**老师
勇闯迷魂阵：
认识数、 阵图
数阵图
数阵图的秘密(笔记）
特点：每条线每条边上的数相加的和都相等
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数阵图类型 1.发射型：
数阵图的秘密(笔记）
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数阵图类型 1.封闭型：
数阵图的秘密(笔记）
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数阵图
数阵图的秘密(笔记）
要求：在空格里填数，每条线每条边上的数相加和都相等
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数排序，头中尾填中间 练2：把2、3、4、5、6、7、8这七个数填入下面的圆中， 使每条线上的三个数和都相等.
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数排序，头中尾填中间 例2：把1、2、3、4、5这五个数填入图中的方格中，使 横行、竖行三个数的和都相等10.
三年级3数教程 数阵图2
三年级奥数教程 数阵图
例1、在圆圈内填入2、3、4、5、6数，使每条直线上的三个数和相等（有三种填法）。
例2
、把1、2、3、4、5、6、7这七个数字填入下图的七个圆圈内，使每个顶点上的数的和都
等与12。
例3、把
1~6六个数字分别填入图中的六个圆内，使得每个正方形顶点上的数的和都为13。
例4、将
1~6这六个数填入下图，使三角形每条边上的和都等与9。
例5、将2~9这八个数填入下图，使每条边上的和都等与15。
练习题
1、将1-9填入下图中，使横行□中所有数的和等于竖行□中所有数的和：
2、将1-8这8个数字分别填入下图中的小圆圈内，使每个五边形上的五个数字的和都等于21。
3、将1、3、5、7、9、11填入下图，，使三角形每条边上的和都等与17。
4、将1~8这八个数填入下图，使每条边上的和都等与13。
5、把1-7这7个数字分别填到下图中的圆圈里，使每条线上三个数的和与每个圆上三个数的和都等于12。
三年级奥数：数阵图(一)动态解析
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将1、2、3、4、5 这五个数字分别填入圆圈内，使两条直线上 的三个数字之和都相等（每个数字只能用一次）。
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将1、2、3、4、5 这五个数字分别填入圆圈内，使两条直线上 的三个数字之和都相等（每个数字只能用一次）。
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பைடு நூலகம்
将1、2、3、4、5、6 分别填入六个圆圈内，使得每条边上的三 个数字之和都相等（每个数字只能用一次）。
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将1、2、3、4、5、6 分别填入六个圆圈内，使得每条边上的三 个数字之和都相等（每个数字只能用一次）。
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将1、2、3、4、5、6 分别填入六个圆圈内，使得每条边上的三 个数字之和都相等（每个数字只能用一次）。
三年级奥数1-数阵图
课题数阵图教授教养目的1：懂得两种类型数阵图概念;2：能按照题中具体请求填数阵图重点填图三步调：1.算出1个（或几个）重叠数的值（或和）2.经由过程重叠数的值（或和）找出重叠数3.把数阵图填写完全难点经由过程找到重叠数填数阵图专题1：数阵图在平庸的数学王国中,有一类异常有味的数学问题,它变更多端,惹人入胜,奥妙无限.它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对爱好探讨数字纪律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连个中,用平生的精神来研讨它的变更,就连大数学家欧拉对它都有着浓重的兴致.那么,到底什么是数阵呢？我们先不雅察下面两个图：上面两个图就是数阵图.精确地说,数阵图是将一些数按照必定请求分列而成的某种图形,有时简称数阵.一.辐射型数阵图先从几个简略的例子开端.把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等.1.2 把1～5这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9.练一练：将1～9这九个数分离填入右上图中的○里(个中9已填好),使每条直线上的三个数之和都相等.还有其他填法吗？例2将1～7这七个天然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10.假如把例2中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”,其他不变,那么模仿例1,重叠数可能等于几？如何填？练一练：将 10～20填入左下图的○内,使得每条边上的三个数字之和都相等.二、关闭性数阵例3将1～8这八个数分离填入右图的○中,使两个大圆上的五个数之和都等于21.练一练：把1～8填入下页左上图的八个○里,使每个圆圈上的五个数之和都等于20.例4 将1～6这六个天然数分离填入右图的六个○内,使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.将2～9这八个数分离填入右图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18.附加：把1～7分离填入左下图中的七个空块里,使每个圆圈里的四个数之和都等于13.你学会了吗1.将3～9这七个数分离填入下图的○里,使每条直线上的三个数之和等于20.2.将1～11这十一个数分离填入图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,并且尽可能大.3.把5.6.7.8.9.10.11.12.12.14填入下图,使每个大圆圈中六个数的和是554.将1～8填入左下图的八个○中,使得每条边上的三个数之和都等于15.功课：1.将1～9这九个数分离填入右图的小方格里,使横行和竖列上五个数之和相等.(有若干种填法？)2.把1～6这六个数填入右上图的○里,使每个圆圈上的四个数之和都相等.3.将4.5.6.7.8.9六个数填鄙人图,使每条边上得三个数之和都相等,并且和为最大,和为最小呢？4.把1——7这7个数,分离填入途中,使直线和大圆上的数之和相等生涯趣题：小猫要把15条鱼分成数目不相等的4堆,问最多的一堆中最多可放几条鱼？。
三年级数阵图
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1.将1~7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？
9
（第1题）（第2题）
2.将1~9这九个数分别填入右上图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。
如果中心数是5，那么又该如何填？
3将1~9这九个数分别填入右图中的小方格里，
使横行和竖列上五个数之和相等。
（至少找出两
种本质上不同的填法）
4.将3~9这七个数分别填入左下图的○里，使（第3题）
每条直线上的三个数之和等于20。
（第4题）（第5题）
5.将1~11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
6.将1~7这七个数分别填入右图的○里，
使得每条直线上三个数之和与每个圆圈
上的三个数之和都相等。
三年级奥数教程第13讲 数阵图
三年级奥数教程第13讲数阵图例1、把1～6这六个数字分别填入图13一l的六个圈内，使得每个正方形顶点上的数的和都为13．分析从1到6这六个数的和是21．而两个正方形8个顶点上的数之和是26(＝13×2)，比六个数的总和大5．这是因为中间两个圈内的数，都被算了两次，所以，多出来的5就是中间两个圈内的数的和．解在1到6六个数中，两个数的和为5，只可能是1+4、2+3．当中间两个圈内填1与4时，剩下的四个数，3与5、2与6配对即可以满足条件．当中间两个圈内填2与3时，剩下的四个数无法组成和相等的两对，因而无法满足条件．所以，得到如图13—2的填法．随堂练习1将3、4、6这三个数填入图13—3的三个圆圈内，使得每条边上的三个数的和等于11．例2、将2到7这六个数，填入图13—4的圈中，使得每条线上的三个数的和相等．分析与解将三条线上的三个数都相加，中间的1被加了3次，所以三条线上三个数的和为1+2+…+6+7+1+1＝30．从而每条线上的和是10(＝30÷3)，即每条线上剩余两个圆圈内数的和是9(＝10—1)．由 2+7＝4+5＝3+6＝9．可以得到如图13—5的解．随堂练习2 将1到7这七个数填入图13—6，使得每条线上的三个数的和相等．例3、将1到9这九个数填入图13—7，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等．分析与解先来确定中心的数．设这个数为a，则4条线上12个数(中心的数出现4次，其余的数各出现一次)的和1+2+…+9+a+a+a是4的倍数，即45+3×a是4的倍数．所以a只可能是1、5、9．(1)当a＝1时，2与9、4与7、8与3、5与6两两搭配填入同一条线的两个圈内即可．(2)当a＝5时，l与9、2与8、3与7、4与6搭配．(3)当a＝9时，1与8、2与7、3与6、4与5搭配．这样得到如图13—8所示的三个解．随堂练习3 将1～8填入图13—9，使两个正方形顶点上的数的和相等，并且用斜线连接的4对数的和也都相等．例4、将1到5这五个数填入图13-10，使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等．分析与解设处于中心圈内的数是a，因为竖线上的三个数的和等于圆周上的四个数的和，所以a等于它左、右两个数的和．同理，a等于它上、下两个数的和．从而a是最大的数5．其余四个数，2与3搭配，1与4搭配，写在同一条线上．得到的解如图13—11所示．随堂练习4 在图13一12中圆圈内填上7、8、10、12，使得每个圆内的四个数的和相等．例5、将1～6这六个数填入图13～13的六个圆圈内，使得每条边上的三个数的和相等．分析与解用字母a、b、c表示三个顶点上的数．如果l、6都在边上，那么a、b、c中有两个数的差是5(＝6—1)．这不可能．所以可设以a＝1或6．如果a＝1，那么由2+6＝3+5．3+6＝4+5．可得图13—14的(1)，(2)．如果a＝6，同样可得图13—14的 (3)，(4)．随堂练习5 将l到16填入图13—15，使得每条线段上四个数的和相等，两个八边形八个顶点上的数的和也相等．例6、将1～16填入图13—16的正方形，使每行、每列、每条对角线的和都相等．图13—16分析与解本题也就是造一个四阶幻方．四阶幻方的造法很多，解也不惟一．下面介绍一种最简的做法，可以称为调整法．先将1～16依照次序先左后右，先上后下逐一填入图13—17(1)中得1234114154115144 567896712126799101112510118810115 13141516132316133216⑴⑵⑶图13—17四阶幻方中每行和、每列和、每条对角线的和都是 (1+2+…+16)÷4＝(1+16)×16÷2÷4＝34．现在图13—17(1)的两条对角线的和都已经是34，合乎要求．所以对角线上的数不要再动．先来调整行．将第一行的2、3分别与第四行的14、15对调，第二行的5、8分别与第三行的9、12对调，得图13—17(2)，这个图中，不但每条对角线的和是34，每一行的和也都是34．再调整列．将图13—17(2)第一列的9、5分别与第四列的12、8对调，第二列的14、2分别与15、3对调，得图13—17(3)，这个图就是一个合乎要求的幻方．随堂练习6 比较例6所得的幻方与随堂练习5的答案．有何联系?读一读……………………………………………………可能与必然上节末，说到一个游戏“数独”．数独怎么填呢?比如先看第一行，在上节末的图中，有6个空格，应填1、2、4、7、8、9这6个数字．每个空格填的数有6种可能，难以确定．如果看第二列，只有2个空格，应填2、7，每个空格有2种可能，但还不能惟一确定．可能性太多，需要逐个枚举讨论，比较麻烦．所以应先考虑可能较小的方格．最好能发现一些方格，只有一种填法，也就是说这些方格填什么数是必然的．将这些方格先填好，对填其他方格会有帮助．同时考虑几个方面的要求，可以得到必然的填法．比如中间的3×3的正方形，只有3个空格，应填2、6、8．再结合第四行已经有8，第六行也已经有8，所以8必须填在中央．接下去，因为第四行已经有6，所以6必须填在第六行，2填在第四行．现在再看第四行，只剩2个空格，应填9与3．第九列有9，所以第四行的9只能(必然)在第三列，3在第九列．同样，右中3×3的正方形中，9必然在第六行．第六行第一列必填2．左中3×3的正方形中，5必在第一列，7在第三列．第八列3必填在第九行，9必填在第二行．右上3×3的正方形中，7必填在第七列．右下3×3的正方形中，5必在第八行第七列，2必在第八行，1在第九列第七行，6在第七行第七列．右中3×3的正方形中，6在第九列，2在第七列．左下3×3的正方形中，2、3、8、6的填法都是必然的．左上3×3的正方形中，按行依次填2、1、4、7、6．右上3×3的正方形中，填4、8．中上3×3的正方形中填8、9、6、2、7、4．中下3×3的正方形中填9、3、6、4、1、7．填法都是必然的。
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例5、把 1，5，9，10，16，21 这 6 个 数分别填入图中的○里，使每一个大圆上的 四个数之和都等于 36．
将 5，6，9，11，14，15 这 6 个数分别 填入图中的圆圈里，使两个大圆上 4 个数 的和都等于40．
把 1，3，4，5，6，8，11，15 这 8 个数 分别填入图中的圆圈里，使得每个大圆上 5 个数的和都等于 33．
把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.
例3、把 2，3，4，5，6，7，8 这七 个数分别填入图中的圆圈中，使两个 正方形中四个数之和都等于 19．
例4、 把1——8八个数分别填入下图的○内，使 每个大圆上五个○内数的和是20。
将1——10这十个数填入下图小圆中，使每 个大圆上六个数的和是30。
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第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知 数，计算这些关键点与相关点的数量关系， 得到关键点上 所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对 所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对 数学方法的综合 运用．
例1、把 1，2，4，5，6，8，10 这 7 个数分别填入图中的圆圈中，使得 每条直线上 4 个数的和都等于 20．
通关小诀窍：确定中间值
把 8，9，10，11，12，14，16 这 7 个数分 别填入图中的圆圈中，使得每条直线上 4 个数 的和都等于 46．
例2 、将 5，9，13，14，17，21，25 这 7 个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线 上 3 个数的和都等于 44．
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一、数阵图定义及分类：
定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种 各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻方演变而来的数字图. 数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数 阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合 型数阵图.
二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再 到局部的方法入手：
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