2006年全国高中数学联赛江西省预赛试卷
2006年全国高中数学联赛江西省预赛试卷一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数()y f x =与()y g x =的定义域和值域都是R ，且都有反函数，则函数()()()11y f g f x --=的反函数是（ ）()()()1. A y f g f x -=()()()11. B y f g f x --= ()()()1. C y f g f x -=()()()11. D y f g f x --=2．集合M 由满足如下条件的函数()f x 组成：当[]12, 1, 1 x x ∈-时，有()()12124f x f x x x -≤-，对于两个函数()2125,f x x x =-+()2f x =，以下关系中成立的是（ ）12. ,;A f M f M ∈∈ 12. ,;B f M f M ∉∉ 12. ,;C f M f M ∉∈12. ,;D f M f M ∈∉.3. ABC ∆中，,,,BC a AC b AB c ===则比式()()()::b c a a c b a b c +-+-+-等于. sin:sin :sin . cos :cos :cos 222222A B C A B C A B . tan :tan :tan 222A B C C . cot :cot :cot 222A B C D4．抛物线22y x =上两点()()1122,, ,A x y B x y 关于直线y x m =+对称，若1221x x =-，则2m 的值是） . 3, . 4, . 5, . 6A B C D5．椭圆()2222 1 0x y a b a b+=>>的中心，右焦点，右顶点，右准线与x 轴的交点依次为,,,O F G H ，则FG OH的最大值为（ ）111., . , . , . 234A B C D 不能确定. 6．函数()f x =（ ）[]3. 1, . 1, C. 1, D. 1, 22A B ⎡⎤⎡⎡⎢⎥⎣⎣⎣⎦C二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．若21cos 14sin 2θθ-=+，则()()334cos 3sin θθ+⋅+= . 8．数列{}: 1,3,3,3,5,5,5,5,5,n x 由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数k 连续出现k 次，1,3,5,k =，如果这个数列的通项公式为n x a d =+，则a b c d +++=9．,x y 为实数，满足221x y +≤，则 222x xy y +-的最大值为 . 10．若集合A 中的每个元素都可表为1,2,,9中两个不同的数之积，则集A 中元素个数的最大值为 .11．作出正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有 个.12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可则不同的染色方法有 种.三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．设12,,,n a a a 为正数，证明：233n n n a a a a a a +++++++++≥14．三角形ABC 中，,AB AC =M 是BC 的中点，D 、E 、F 分别是,,BC CA AB 边上的点，且,AE AF =△AEF 的外接 圆 交 线 段AD 于,P 若点P 满足：2PD PE PF =⋅15．数列{}n a 满足：01,,1,2,3,n a a n ===，（其中[]x 表示x 的整数部分，,0,1,2,kk i i s a k ===∑），试求2006a 的值.2006年全国高中数学联赛江西省预赛试卷一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数()y f x =与()y g x =的定义域和值域都是R ，且都有反函数，则函数()()()11y f g f x --=的反函数是（ ）()()()1. A y f g f x -=()()()11. B y f g f x --= ()()()1. C y f g f x -=()()()11. D y f g f x --=答：C. 解：由()()()11y f g f x --=依次得()()()()()()1, ,f y g f x g f y f x -==()()()1fg f y x -=，互易,x y 得 ()()()1y f g f x -=.2．集合M 由满足如下条件的函数()f x 组成：当[]12, 1, 1 x x ∈-时，有()()12124f x f x x x -≤-，对于两个函数()2125,f x x x =-+()2f x =，以下关系中成立的是（ ）12. ,;A f M f M ∈∈ 12. ,;B f M f M ∉∉ 12. ,;C f M f M ∉∈12. ,;D f M f M ∈∉答：D.解：()()()2211121212121222f x f x x x x x x x x x -=---=-⋅+-124x x ≤-．()()2122f x f x -==，取1211, 9003600x x ==，则()()12212212203060x x f x f x x x --===-+124x x >-.3. ABC ∆中，,,,BC a AC b AB c ===则比式()()()::b c a a c b a b c +-+-+-等于. sin:sin :sin . cos :cos :cos 222222A B C A B C A B . tan :tan :tan 222A B C C . cot :cot :cot 222A B C D答：.D解：如图易知，22cot2A b c a AD r +-== 2cot 2B a c b r +-=，2cot 2Ca b c r +-=因此选D4．抛物线22y x =上两点()()1122,, ,A x y B x y 关于直线y x m =+对称，若1221x x =-，则2m 的值是（ ）. 3, . 4, . 5, . 6A B C D答：A ． 解：由12121212121, , 2122y y y y x x m x x x x -++=-=+=--以及2211222, 2y x y x ==得 ()222112121212,2x x y y x x x x -=-=-⇒+=-， ()()()221212121222m y y x x x x =+-+=++()2121211124223242x x x x =+-+=⋅++= 5．椭圆()2222 1 0x y a b a b+=>>的中心，右焦点，右顶点，右准线与x 轴的交点依次为,,,O F G H ，则FG OH的最大值为（ ）111., . , . , . 234A B C D 不能确定. 答：C ．解： ()()22211111411211FG a c e e a OH e e e e c---====≤-++-+-.（2e =时取等号） 6．函数()f x =（ ）[]3. 1, . 1, C. 1, D. 1, 22A B ⎡⎤⎡⎡⎢⎥⎣⎣⎣⎦ 答：D .解：()f x 的定义域为34,x ≤≤则031x ≤-≤，令23sin, 02x πθθ-=≤≤，则()f x =sin sin 2sin()3πθθθθ===+因5336πππθ≤+≤，则 1sin()1, 12sin()2233ππθθ≤+≤≤+≤.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7．若21cos 14sin 2θθ-=+，则()()334cos 3sin θθ+⋅+= . 答：9 .解：由条件得，()2222cos 4sin , cos 14, cos 1θθθθ-=+⇒-=⇒=- 则()()334cos 3sin θθ+⋅+=9.8．数列{}: 1,3,3,3,5,5,5,5,5,n x 由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数k 连续出现k 次，1,3,5,k =，如果这个数列的通项公式为n x a d =+，则a b c d +++= 答：3.解：由()22212121k k k x x x k +++====+，即当 ()2211k n k +≤≤+时，21n x k =+k =，所以 21n x =+，于是，()(),,,2,1,1,1,3a b c d a b c d =-+++= 9．,x y 为实数，满足221x y +≤，则 222x xy y +-的最大值为 ..解：设cos , sin , 01, x r y r r θθπθπ==≤≤-<≤，则222x xy y +-2222cos 2sin cos sin sin 2cos 2r r θθθθθθ=+-=+2sin(2)4πθ=+≤，（当1, 242r ππθ=+=±时取等号）. 10．若集合A 中的每个元素都可表为1,2,,9中两个不同的数之积，则集A 中元素个数的最大值为 .答：31 解：从1,2,,9中每次取一对作乘积，共得2936C =个值，但其中有重复，重复的情况为1623, 1824, 29=36, 2634, 3846⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯，共5种，因此集合A 中至多有29531C -= 个数 .11．作出正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有 个. 答：24个“线段对”.解：任取一条中位线AB 考虑，AB 所在的侧面没有与AB 异面的线段；含点A 的另一个侧面恰有一条中位线与AB 异面；含点B 的另一个侧面恰有一条中位线与AB 异面；不含,A B 的侧面恰有两条中位线与AB 异面；因此与AB 异面的中位线共有4条，即含有线段AB 的异面“线段对”共有4个，于是得异面“线段对”12448⨯=个，（其中有重复）.但每一个异面“线段对”中有两条线段，故恰被计算了两次，因此得48242=个异面“线段对”.12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色， 则不同的染色方法有 种. 答：1020种.解：将其转化为具有五个扇形格的 圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题。
设有k 个扇形格的圆盘染五色的方法数为k x ，则有1154k k k x x --+=⋅，于是()()()55443322x x x x x x x x =+-+++-=()432544441020-+-= 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．设12,,,n a a a 为正数，证明：233n n n a a a a a a +++++++++≥证：对n 归纳，1n =时显然成立等号；设n k =时结论对于任意k 个正数成立， 当1n k =+时，对于任意1k +个正数121,,,,k k a a a a +，据假设有2311234149k k k a a a a a a k a ++++++++≥++++，…5分所以2311k k a a a a ++++++++2234149k a a a k a +≥+++++2223112144(1)k k a a k a a a k a ++++++≥++++ … ①平方整理，只要证，22312341423k k a a k a a a a ka ++⋅+++≥++++ ...② (10)分由柯西不等式()()()()22222212312k k a a a k a ++⎡⎤⎡⎤+++⋅+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21k a +≥+⋅ ……………15分即 ()()222123123414(23)k k k a a a a k a a a a ka +++++⋅+++≥++++B所以()()2212123123414(23)k k k a a a a a k a a a a ka ++++++⋅+++≥++++即②成立，因此当1n k =+时结论成立.故由归纳法知，所证不等式成立. ……20分 14．三角形ABC 中，,AB AC =M 是BC 的中点，D 、E 、F 分别是,,BC CA AB 边上的点，且,AE AF =△AEF 的外接 圆 交 线 段AD 于,P 若点P 满足：2PD PE PF =⋅ 证明：BPM CPD ∠=∠ 证明：在圆AEF 中，由于弦,AE AF =故圆周角()011802APE APF A ABC ACB ∠=∠=-=∠=∠，因此，P 、D 、B 、F 与P 、D 、C 、E 分别共圆，于是 ,PDB PFA PEC ∠=∠=∠ …………………5分 设点P 在边,,BC CA AB 上的射影分别为1A 、1B 、1C ，则△1PDA ∽△1PEB ∽△1PFC ，故由2PD PE PF =⋅ 得，2111PA PB PC =⋅①设△ABC 的内心为,I 今证,,,B I P C 四点共圆： 连1111,,A B A C 因1111,PA BC PACB 分别共圆，则001111180180A PC ABC ACB A PB ∠=-∠=-∠=∠，又由①，1111PA PC PB PA =， 所以△11PB A ∽△11PA C 因此1111,PB A PAC ∠=∠而111111,,PB A PCA PAC PBC ∠=∠∠=∠所以11,PCA PBC ∠=∠因为1,PCA PCI ICB ∠=∠+∠1,,22C B PBC PBI IBA ICB IBA ∠=∠+∠∠===∠故得PCI PBI ∠=∠，因此B 、I 、P 、C 四点共圆，（图一）M(图二）1于是0090180,2ABPC BIC B ∠=∠=+=- …10分 延长AM 交ABC ∆的外接圆于,O 则AO 为该外接圆的直 径, 于是,,OB AB OC AC ⊥⊥且,OB OI OC ==因此, 点O 是BIPC 所在圆的圆心, 从而,AB AC 为⊙O 的切线. 延长AD 交⊙O 于T , 则ACP ∆∽ATC ∆,所以PCCTAP AC =, 又由ABP ∆∽ATB ∆, 得PB BT AP AB =, 因,AB AC =故PCCTPB BT =... ② ………………………15分延长PM 到G ,使GM PM =，则BPCG 为平行四边形,180o BTC BPC PBG ∠=-∠=∠ ... ③由② 得BT PB PBCT PC BG==... ④ 由 ③、④得 PBG ∆∽BTC ∆所以，BPG TBC TPC ∠=∠=∠, 即∠BPM =∠CPD . …………………20分15．数列{}n a 满足：01,,1,2,3,n a a n ===，（其中[]x 表示x 的整数部分，,0,1,2,kk i i s a k ===∑），试求2006a 的值.我们注意到，数列{}n a 严格单增，每个正整数1,2,3,，顺次在数列{}n a 中出现，并且除了首项01a =之外，每个形如()2,0,1,2,k k =的数连续出现三次，其它数各连续出现两次.…5 分一般地，我们可证明数列{}n a 的以下性质：（1）,k ∀∈N 若记121,k m k +=++，则212km m m a a a --===,（2）,k +∀∈N 若记02,k m k =+则当112k r -≤≤时，有 012122.k m r m r a a r -+-+==+…10分对k 归纳.据上面所列出的项可知，当2k ≤时结论成立.设性质()()1,2对于k n ≤成立，即在121n m n +=++时，212n m m m a a a --===，则()()012021232222232n n n n m s a =+++++++++=+⋅再对满足12n r ≤≤的r 归纳：当1r =时，由于()()222122nn m s +<<+，则121nm a +==+，因为()2211242122nn n m m m m s s s a ++<=+=+⋅+<+，则221n m a +==+ 设当r p ≤时，均有2122n m r m r a a r +-+==+，则当12nr p =+≤时，因为()()()21234212m p m m m m m m p m p s s a a a a a a ++++++-+=+++++++=()()()223222122222n n n n n p +⋅+++++++()()222321n n p p p =++⋅++…①则()()221210n n m p s p p +-++=-+≥，()22222340nn m p p s p +++-=++>即有()()2222122nnm p p s p +++≤<++，所以2121n m p a p ++==++ 由于()22221221222221n n m p m p m p m p s s s a p p p ++++++<=+=++⋅+++()222n p <++所以2221nm p a p ++==++故由归纳法，当121,12n n m n r +=++≤≤时，2122n m r m r a a r +-+==+特别是，当2nr =时，上式成为2212212n n n n n a a ++++++==②又由①，()()2222321,n n m r s r r r +=++⋅++当12,21nn r m n +==++，有()()22212232221n n n n n n s n +++=++⋅++=()2221122221n n n ++++⋅<+所以21222n n n a ++++==③由②③可知，对于121,k m k +=++当1k n =+时，亦有212k m m m a a a --===，从而性质()()1,2成立. …………………15分因为10112102006211+<<+，取10210m =+，则9k =，20064862mr -==， 因此9200622512486998m r a a r +==+=+=. …………………20分。
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷江西卷理
2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第一卷参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk k n n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合M ＝｛x|3x 0x 1≥（－）｝，N ＝｛y|y ＝3x 2＋1，x ∈R ｝，则M ⋂N ＝（ ）A ．∅ B. {x|x ≥1} C.｛x|x >1｝ D. {x| x ≥1或x <0}2、已知复数z＋3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A．32B. 34C. 32D.343、若a >0，b >0，则不等式－b <1x <a 等价于（ ）A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a4、设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA F A ∙＝－4则点A 的坐标是（ ）A ．（2，±） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，)5、对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ）A ． f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1）B ． f （0）＋f （2）≥2f （1） C. f （0）＋f （2）>2f （1）6、若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12〕成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0 B. -2 C.-52 D.-37、已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）A ．100 B. 101 C.200 D.2018、在（x）2006 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x时，S 等于（ ） A.23008 B.-23008 C.23009 D.-230099、P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）A. 6B.7C.8D.910、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a 、p 的值分别为（ ）A ． a=105 p=521 B.a=105 p=421 C.a=210 p=521 D.a=210 p=42111、如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A. S 1<S 2B. S 1>S 2C. S 1=S 2D. S 1，S 2的大小关系不能确定C12、某地一年的气温Q （t ）（单位：ºc ）与时间t （月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc ，令G （t ）表示时间段〔0,t 〕的平均气温，G （t ）与t 之间的函数关系用下列图像表示，则正确的应该是（ ）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。
2006年江西省南昌市高三第一次调研测试数学
2006年江西省南昌市高三第一次调研测试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，满分60分）1. D2. A3. B4. A5. （理）A （文）C6. D7. B 8. C 9. （理）C （文）B 10. D 11. C 12. B二、填空题（每小题4分，满分16分）13. （理）2 （文）1314. [)0，+∞15. －116. 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一三、解答题（本大题共6小题，共74分）17. 解：f x x x a ()cos sin =+++1232……………………3分 =+++2261sin()x a π…………………………5分（I ）f(x)的最小正周期T ==22ππ…………………………6分 （II ）由x x ∈-+∈-[][]πππππ6326656，知，……………………8分 ∴-≤+≤∴-≤+≤∴=++=-++∴+==1226112262102111233012sin()sin()()()max min x x f x a f x a a a ππ……………………分，，解得……………………分18. 解：（1）S 42=，需4次中有3次正面1次反面，设其概率为P 1则P C 14334121241214=⋅==()()…………………………6分 （2）（理）ξ∈{}0246，，，……………………7分 P C P C C P C C P C ()()()()()()()()()()()()()()ξξξξ=====+===+===⨯=0121251682121212121532941212121231610612213211633364246242655615666………………分………………分………………分………………分∴=⨯+⨯+⨯+⨯=E ()ξ05162153243166132158………………12分 （文）6次中前两次均出现正面，要使246≤≤S ，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面。
2006年全国高中数学联赛一、二试试题及答案[1]
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2006年全国高中数学联赛试题第一试（考试时间：上午8：00—9：20）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ） 2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ ） 3. 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ ） 4. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2B AC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1C C 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段A C 和A B 上的动点（不包括端点）. 若G D E F ⊥，则线段D F 的长度的取值范围为A. 1⎫⎪⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,⎡⎣D. 【答】 （ ） 5.设(32()log f x x x =++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
2006年高考数学试题(江西文)含答案
2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合⋃--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{（I ðB ）= （ ）A ．{1}B ．{1，2}C ．{2}D ．{0，1，2} 2．已知==ααcos ,32tan 则（ ）A ．54 B ．－54 C ．154 D ．－533．123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项 4．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ）A ．（1，2）∪（2，3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1，3）D ．[1，3] 5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为 （ ）A ．周期函数，最小正周期为32π B ．周期函数，最小正周期为3πC ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数6．已知向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--= （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 8．在△ABC 中，设命题,sin sin sin :Ac Cb Ba p ==命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件9．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ，则四面体ABCD的外接球的体积为 （ ）A ．π12125 B ．π9125C ．π6125D ．π312510．已知实数a 、b 满足等式,)31()21(ba =下列五个关系式：①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π12．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（ ）A ．0,27,78B ．0,27,83C ．2.7,78D ．2.7,83第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题卡上. 13．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a = .14．设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- .15．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=BC ，且2π=∠B A C ，则PA 与底面ABC 所成角为 .16．以下同个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-yxyx与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数bax xx f +=2)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.（1）求函数f (x )的解析式；（2）设k>1，解关于x 的不等式；xkx k x f --+<2)1()(.18．（本小题满分12分）已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ.求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间. 19．（本小题满分12分）A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率. 20．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D;（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC －D 的大小为4π.21．（本小题满分12分）如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程. 22．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3111()(3),1,2n n S --≥=且23,2S =-求数列{a n }的通项公式.2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学参考答案一、选择题1．D 2．B 3．B 4．A 5．A 6．C 7．A 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A 二、填空题 13．22 14．23 15．3π16．③④三、解答题17．解：（1）将0124,3221=+-+==x bax xx x 分别代入方程得).2(2)(,2184169392≠-=⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+x x xx f b a ba ba 所以解得 （2）不等式即为02)1(,2)1(222<-++---+<-xkx k x xkx k x x可化为即.0))(1)(2(>---k x x x①当1<k<2时，解集（1，k ）∪（2，+∞）；②当);,2()2,1(0)1()2(,22+∞⋃∈>--=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞⋃∈>k x k 解集为时当.18．解：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(πππ--++=⋅=x x x x b a x f12c o s 22c o s 2s i n 22t a n112t a n 2t a n 12t a n1)2c o s 222s i n 22(2c o s 222-+=+-⋅-+++=x x x x x x xx x xx x cos sin +==)4sin(2π+x .所以2)(的最大值为x f ，最小正周期为]4,0[)(,2ππ在x f 上单调增加，]4,0[π上单调减少.19．解：（1）设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=-715||ξξn m n m ，可得：.7,5:;7,6,11,6;5,5,00,5的取值为所以时或当时或当ξξξ==========n m n m n m n m.649645322)21(2)21(2)7()5()7(7155=+=+⨯==+==≤C P P P ξξξ20．解法（一）（1）证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴D 1E ⊥A 1D（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2，故.21,231==∆∆ACE CADS S 而.31,23121,3131111=∴⨯=⨯∴⋅=⋅=∴∆∆-h h h S DD S V C AD AEC AEC D（3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角. 设AE=x ，则BE=2－x,,,1,.1,4,211x EH DHE Rt x DE ADE Rt DH DHDDH D Rt =∆∴+=∆=∴=∠∆中在中在中在 π.4,32.32543.54,3122π的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=⇒+-=+∴+-=∆=∆解法（二）：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0）（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为即DA 1⊥D 1E. （2）因为E 为AB 的中点，则)0,2,1(),1,1,1(),0,1,1(1--=AC E D E 从而. ⎩⎨⎧=+-=+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=-=002,00),,,().1,0,1(111c a b a AD n AC n c b a n ACD AD 也即则的法向量为设平面, )2,1,2(,2=⎩⎨⎧==n ca ba 从而得，所以点E 到平面AD 1C 的距离为 .313212||=-+=⋅=n E D h（3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a n =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(02,0,01x b a c b CE n C D n 令b=1, ∴c=2,a =2－x ，∴).2,1,2(x n -= 依题意.225)2(2224cos 211=+-⇒==x π∴321+=x （不合，舍去），.322-=x∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为4π.21．解：（1）设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0) 则直线MF 的斜率为－k ，).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴xy y x k y y 2200)(由消0)1(002=-+-ky y y ky x 得 2200)1(,1kky x kky y F F -=∴-=解得).(2142)1()1(11022202200定值y kky kkky kky k ky k ky x x y y k FE F E EF -=-=+---+--=--=∴ 所以直线EF 的斜率为定值（2）,1,45,90==∠=∠k MAB EMF 所以时当).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线).1,)1((,0202200y y E xy y x y y --⎪⎩⎪⎨⎧=-=-得由同理可得)).1(,)1((020y y F +-+设重心G （x , y ），则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--+=++=+=++-+=++=33)1()1(33323)1()1(3000020202020y y y y x x x x y y y y x x x x F E M FE M).32(2729120>-=x x yy 得消去参数22．解：方法一：先考虑偶数项有：1212222)21(3)21(3---⋅-=-⋅=-n n n n S S 32324222)21(3)21(3----⋅-=-⋅=-n n n n S S……….)21(3)21(23324⋅-=-⋅=-S S).1()21(2])41(2121[4411)41(21213]21)21()21()21[(3])21()21()21[(312332123321222≥+-=⋅--=--⋅-=++++-=+++-=∴-----n S S n n nn n n n n同理考虑奇数项有：.)21(3)21(3221212nnn n S S ⋅=-=--- 22223212)21(3)21(3----⋅=-⋅=-n n n n S S……….)21(3)21(32213⋅=-⋅=-S S.1).1()21(34))21(2()21(2).1()21(34))21(2()21(2).1()21(2])21()21()21[(31112122122221222121222222112==≥⋅+-=--+-=-=≥⋅-=+---=-=∴≥-=++++=∴----++-+S a n S S a n S S a n S S n n n n n n nn n n n n nn n n综合可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=--.,)21(34,,)21(3411为偶数为奇数n n a n n n方法二：因为),3()21(31112≥-⋅=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以两边同乘以n)1(-，可得： .)21(3)21()1(3)1()1(1111----⋅-=-⋅-⋅=---n n nnn n na a令).3()21(3,)1(11≥-⋅-=-∴-=--n b b a b n n n n nn所以,)21(311---⋅-=-n n n b b,)21(3221----⋅-=-n n n b b………,)21(3223-⋅-=-b b211)21(41413])21()21()21[(3222212-⋅-⨯-=+++-=∴---n n n n b b b).3()21(32312≥⋅+-=-n b n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=⋅-⋅+--=-=∴≥⋅+-=⋅+--=∴-=-=-=-=∴-=--=-===-----.,)21(34,,)21(34)21()1(3)1(4)1().1()21(34)21(32325.25)1(,1)1(,25123,11311122211112211为偶数为奇数又n n b a n b a b a b S S a S a n n n nn n n n n n n。
2006年高考江西卷理科数学试题及参考答案
Unit 8 B卷I.词组英汉互译（10分）1.干家务________2.洗餐具______3.整理床铺__________4.打扫客厅__________5.一个重要会议__________6.Feed dogs and cats_________7.No walking dogs in the park. __________8.Work on English teaching_________9.Stay out late_____________10.have an English test tomorrow __________ II.选择填空（15分）( )1 Could you please ________ your classroom every day?A. to cleanB. cleaningC. cleanD. cleaned( ) 2. Could you please ________-- to music in class?A. No listenB. not listenC. don't listenD. No listening( ) 3. __________ times do you eat junk food a week?A. How oftenB. how manyC. how longD. how much( )4. I often help grandpa _______ the birds and animals.A. FeedingB. feedsC. to feedD. fed( )5.So _____ homework really make the students ______ tired.much: feel B. many feel C. much feeling D. many feels( )6-Dave! Your mom is too busy! You shouldn't throw your waste things everywhere!---Oh. I am sorry. I am going to_____________ and put them in the waste box.A. tale out the trashB. make the desk cleanC. fold my clothesD. do some shopping( ) 7. -Could you please go skating with me this afternoon?--Oh. I'd love to. But my sister is ill in bed and I have to _________her.A. take careB. take a walk withC. take care ofD. take out of( )8. ________ some money from himbut I will _________my bike to him in a few days.A. borrow, returnB. lend, borrowC. borrow, lendD. lend, keep( )9.Don't forget _________ when you leave.A. putting it onB. to put it onC. put on itD. to put on it( )10-Could I please use your pen? ---______________.A. with pleasureB. No, y ou can'tC. You shouldn't say thatD. You're polite( )11（2005年浙江丽水中考题）--Can you stay here for lunch? -Sorry, _________, I have to see my parents.A. can'tB. shouldn'tC. I mustn'tD. I won't( )12.（2005年山东泰安市中考题）--Can I get you a cup of tea? --__________.A. It's very nice of youB.With pleasureC. You can, pleaseD.That's all right( )13.（2005年广州市中考题）A neighbour helped to keep our dog. It _________while we were on holiday.A. was taken careB. took care ofC. is taken care ofD. was taken care of( )14.（2005年安徽省中考题）--Excuse me, could you help me carry the heavy box? ---____.A. Yes, I couldB. It doesn't matterC. With pleasureD.Don't mention it ( )15.（2005年福州市中考题）--I like the party so much, but I _______go home. It's too late.--What a pity!A. mustn'tB. have toC. mayD. can'tIII. 以所给词的正确形式填空（10分）1.Good food and exercise help me study__________(well) And practice __________(speak) English is good for my study.2.How often does Katrina___________( do )homework ? -Very often. She ialways has a lot of homework ___________(do)3.Who is the __________(good) English student?4.How about ___________(go ) to the sports camp next week?5.What did you_________(do) an hour ago? I ___________(feed) my dogs.6.They __________ (enjoy)________(them) at the English party yesterday.7.Listen. Can you hear the birds __________(sing) in the tree?8.It's good for your health__________(eat) a lot of fruit and vegetables. VI.翻译下列句子（15分）1.我不喜欢倒垃圾。
全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答 一、填空题（共8题，每题10分，计80分）1、2011是这样的一个四位数，它的各位数字之和为4；像这样各位数字之和为4的四位数总共有 个．答案：20． 解：这种四位数1234x x x x 的个数，就是不定方程12344x x x x +++=满足条件11x ≥，234,,0x x x ≥的整解的个数；即12343y x x x +++=的非负整解个数，其中111y x =-，易知这种解有413341620C C -+-==个，即总共有20个这样的四位数．2、设数列{}n a 满足:121,2a a ==,且对于其中任意三个连续项11,,n n n a a a -+,都有: 11(1)(1)2n n n n a n a a n -+-++=.则通项n a = ．答案：23n-． 解：由条件得，112(1)(1)n n n na n a n a -+=-++，所以，11(1)()(1)()n n n n n a a n a a +-+-=--，故1111n n n n a a n a a n +---=-+，而211a a -=； 1132121112211231()1113n n n n n n n n n n a a a a a a n n n a a a a a a a a a a n n n +-+----------=⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅---+-L L 2(1)n n =+；于是12112()(1)1n n a a n n n n--==---； 由此得，11221112()()()2(1)13n n n n n a a a a a a a a n n---=-+-++-+=-+=-L . 3、以抛物线2y x =上的一点()1,1M 为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形MAB ∆与MCD ∆，则线段AB 与CD 的交点E 的坐标为 ．答案：(1,2)-． 解：设221122(,),(,)A x x B x x ，则22121212111,111MA MB x x k x k x x x --==+==+--， 22121212AB x x k x x x x -==+-，直线AB 方程为21121()()y x x x x x -=+-，即 1212()y x x x x x =+-，因为MA MB ⊥，则12(1)(1)1x x ++=-，即12122()x x x x -=++， 代人方程得122()(1)y x x x -=++，于是点(1,2)-在直线AB 上；同理，若设223344(,),(,)C x x D x x ，则CD 方程为342()(1)y x x x -=++，即点(1,2)-也在直线CD 上，因此交点E 的坐标为(1,2)E -．4、设,,,1x y z R x y z +∈++=，则函数23(,,)f x y z xy z =的最大值是 ． 答案：1432．解：由122333y y z z z x y z x =++=+++++≥，所以，623114276xy z ⎛⎫≤ ⎪⋅⎝⎭，即23431123432xy z ≤=⋅，当1236y z x ===，即 111,,632x y z ===时取得等号． 5、sin 6sin 42sin 66sin 78︒︒︒︒= ．答案：116． 解： cos 6sin 6cos 48cos 24cos12sin 6cos 48cos 24cos12cos 6︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒= sin12cos12cos 24cos 48sin 24cos 24cos 48sin 48cos 482cos 64cos 68cos 6︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=== sin 96116cos 616︒︒==． 6、满足2272011x y +=的一组正整数(,)x y = ．答案：(38,9)．解：由于2011是43N +形状的数，所以y 必为奇数，而x 为偶数， 设2x m =， 21y n =+，代人得2428(1)2004m n n ++=，即27(1)501m n n ++= ……①．而(1)n n +为偶数，则2m 为奇数，设21m k =+，则24(1)1m k k =++， 由①得，(1)(1)71254n n k k +++⋅= ……②，则(1)4n n +为奇数，且,1n n +中恰有一个是4的倍数，当4n r =，为使(1)77(41)4n n r r +⋅=+为奇数，且7(41)125r r +<，只有 1r =，②成为(1)35125k k ++=，即(1)90k k +=，于是4,9,38,9n k x y ====；若14n r +=，为使(1)77(41)4n n r r +⋅=-为奇数，且7(41)125r r -<，只有1r =， ②成为(1)21125k k ++=，即(1)104k k +=，它无整解；于是(,)(38,9)x y =是唯一解：2238792011+⋅=．（另外，也可由x 为偶数出发，使22220112009(2)7287(2)x x x -=--=⨯--为7的倍数，那么22x -是7的倍数，故x 是73k ±形状的偶数，依次取1,3,5k =，检验相应的六个数即可．）7、正三棱锥D ABC -的底面边长为4，侧棱长为8，过点A 作与侧棱,DB DC 都相交的截面AEF ∆，那么，AEF ∆周长的最小值是 ．答案：11．解1：作三棱锥侧面展开图，当1,,,A E F A 共线且EF ∥BC 时，AEF ∆周长最小，于是等腰DEF AEB ∆∆:，4AE AB ==， 12BE AB AB DA ==，即2BE =，6DE =， 6384EF DE BC DB ===，所以3EF =， A 1F E FE D C B AD C B A由14A F AE ==，则1111AA AE EF FA =++=．解2：作三棱锥侧面展开图，易知当1,,,A E F A 共线时，AEF ∆周长最小，设ADB θ∠=,则2228847cos .2888θ+-==⋅⋅37cos34cos 3cos ,128θθθ∴=-= 2221788288121,128AA ∴=+-⋅⋅⋅=111.AA ∴= 8、用()S n 表示正整数n 的各位数字之和，则20111()n S n ==∑ ．答案：28072． 解：添加自然数0，这样并不改变问题性质；先考虑由0到999这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集{}000,001,,999M =L ，易知对于每个{}0,1,,9a ∈L ，首位为a 的“三位数”恰有100个：00,01,,99a a a L ，这样，所有三位数的首位数字和为100(019)45100⋅+++=⋅L ；再将M 中的每个数abc 的前两位数字互换，成为bac ，得到的一千个数的集合仍是M ，又将M 中的每个数abc 的首末两位数字互换，成为cba ，得到的一千个数的集合也是M ，由此知，99999910()()30045n n S n S n ====⋅∑∑．今考虑四位数：在1000,1001,,1999L 中，首位（千位）上，共有一千个1，而在 0000,0001,,0999L 中，首位（千位）上，共有一千个0，因此，19991999999100()()10002()10006004528000n n n S n S n S n =====+=+⋅=∑∑∑； 其次，易算出，20112000()72n S n ==∑。
2006年江西省数学试卷及答案(课标)(word文档良心出品)
江西省2006年中等学校招生考试数学试卷（课标卷）说明：本卷共有六个大题，25个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．计算：23______-=．2．若m n ，互为相反数，则_______m n +=．3．在ABC △中，8060A B ==oo∠，∠，则_____C =∠． 4．方程260x x -=的根是 ．5．近视眼镜的度数()y 度与镜片焦距(m)x 成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m ，则y 与x 的函数关系式为 ．6．在校园歌手大赛中，七位评委对某位歌手的打分如下： 9.7 9.5 9.7 9.8 9.5 9.5 9.6则这组数据的中位数是 ，众数是 ． 7．二次函数223y x x =--的最小值是 ．8．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为 米． 9．请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出一个．．所有顶点均在格点上，且至少．．有一条边为无理数的等腰三角形． 10．用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 张； （2）第n 个图案中有白色纸片 张．二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项，请把正确选项的代号填在题后的括号内． 11．下列运算正确的是（ ） Ａ．22a a a += Ｂ．232a a a =gＣ．()22ab ab -=Ｄ．()224a a a ÷=（第9题）第1个 第2个 第3个 …12．右图是某几何体的三种视图，则该几何体是（ ） Ａ．正方体 Ｂ．圆锥体 Ｃ．圆柱体 Ｄ．球体 13．计算123-的结果是（） Ａ．3Ｂ．3Ｃ．33Ｄ．914．某运动场的面积为2300m ，则它的万分之一的面积大约相当于（ ）Ａ．课本封面的面积 Ｂ．课桌桌面的面积 Ｃ．黑板表面的面积 Ｄ．教室地面的面积 15．下列图案都是由字母“m ”经过变形、组合而成的，其中不是．．中心对称图形的是（ ）16．如图，在ABC △中，90C =o∠，50B =o∠，10AB =，则BC 的长为（ ）Ａ．10tan 50oＢ．10cos50oＣ．10sin 50oＤ．10cos50o三、（本大题共3小题，第17小题6分，第18，19小题各7分，共20分） 17．计算：()()()2x y x y x y --+-．18．解方程：211x x x-=-．19． 把一副普通扑克牌中的4张：黑桃2、红心3、梅花4、黑桃5，洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少？Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．主视图 俯视图左视图（第12题）CBA（第16题）（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．如图，AB 是O e 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交»BC于D ． （1）请写出四个不同类型．．．．的正确结论； （2）若82BC ED ==，，求O e 的半径．21．如图，已知直线1l 经过点(10)A -，与点(23)B ，，另一条直线2l 经过点B ，且与x 轴相交于点(0)P m ，．（1）求直线1l 的解析式；（2）若APB △的面积为3，求m 的值．五、（本大题共2小题，第22小题8分，第23小题9分，共17分）22．某文具店销售的水笔只有A ，B ，C 三种型号，下面表格和统计图分别给出了上月这三种型号水笔每支的利润和销售量．x（1）分别计算该店上月这三种型号水笔的利润，并将利润分布情况用扇形统计图表示； （2）若该店计划下月共进这三种型号水笔600支，结合上月销售情况，你认为A ，B ，C 三种型号的水笔各进多少支总利润较高？此时所获得的总利润是多少？23．如图，在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '． （1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明．六、（本大题共2小题，第24小题9分，第25小题10分，共19分）24．小杰到学校食堂买饭，看到A B ，两窗口前面排队的人一样多（设为a 人，8a >），就站到A 窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人． （1）此时．．，若小杰继续在A 窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含a 的代数式表示）？A C ' D C EB A ，B ，C 三种水笔销售量统计图（2）此时．．，若小杰迅速从A 窗口队伍转移到B 窗口队伍后面重新排队，且到达B 窗口所花的时间比继续在A 窗口排队到达A 窗口所花的时间少，求a 的取值范围（不考虑其它因素）．25．问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： ①如图1，在正三角形ABC 中，M N ，分别是AC AB ，上的点，BM 与CN 相交于点O ，若60BON =o∠，则BM CN =；②如图2，在正方形ABCD 中，M N ，分别是CD AD ，上的点，BM 与CN 相交于点O ，若90BON =o∠，则BM CN =．然后运用类比的思想提出了如下命题： ③如图3，在正五边形ABCDE 中，M N ，分别是CD DE ，上的点，BM 与CN 相交于点O ，若108BON =o∠，则BM CN =． 任务要求（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个．．．．进行证明； （说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分） （2）请你继续完成下面的探索：①如图4，在正(3)n n ≥边形ABCDEF L 中，M N ，分别是CD DE ，上的点，BM 与CN 相交于点O ，问当BON ∠等于多少度时，结论BM CN =成立？（不要求证明）②如图5，在正五边形ABCDE 中，M N ，分别是DE AE ，上的点，BM 与CN 相交于点O ，若108BON =o ∠时，请问结论BM CN =是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （1）我选 ． 证明：图4图1图2A CD图3图4ABCDE OMNF江西省2006年中等学校招生考试数学试题参考答案及评分意见（课标卷）说明：1．如果考生的解答与本参考答案不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应的评分细则后评卷．2．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅；当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度，则可视影响的程度决定后面部分的给分；但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．1- 2．0 3．40o4．1206x x ==， 5．100y x=6．9.69.5， 7．4- 8．4.89．本题答案不惟一，只要符合题意即可得满分，下面画法供参考：10．（1）13；（2）31n +．说明：1．第6小题只填对1空给2分，填对2空给3分； 2．第10小题第（1）问1分，第（2）问2分．二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． D 12．C 13．A 14．A 15．B 16．B 三、（本大题共3小题，第17小题6分，第18、19小题各7分，共20分）17．解：原式2222(2)()x xy y x y =-+-- ························································· 2分 22222x xy y x y =-+-+ ······························································ 4分 222y xy =-． ············································································ 6分 18．解：去分母，得22(1)(1)x x x x --=-． ······················································ 2分 去括号，得2222x x x x -+=-． ······························································· 3分 移项合并，得2x -=-． ············································································ 5分 系数化为1，得2x =． ············································································· 6分 经检验2x =是原方程的根．∴原方程的根为2x =． ············································································ 7分 说明：没有检验的扣1分．19．解：（1）从中随机抽取一张牌是黑桃的概率为12． ·········································· 2分······························ 4分也可用树状图表示如下：先抽取的牌牌面数字后抽取的牌牌面数字 所有可能出现的结果(23)，(24)，(25)，(32)，(34)，(35)，(42)，(43)，(45)，(52)，(53)，(54)， ················································ 6分 由表格（或树状图）可以看出，抽取的两张牌可能出现的结果有12种，它们出现的可能性相等，而两张牌牌面数字之和大于7的结果有4种，所以抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为13． ································································································ 7分 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 20．（1）不同类型的正确结论有：①BE CE =；②»»BDCD =；③90BED =o∠；④BOD A =∠∠；⑤AC OD ∥； ⑥AC BC ⊥；⑦222OE BE OB +=；⑧ABC S BC OE =g △；⑨BOD △是等腰三角形；⑩BOE BAC △∽△；等等．说明：1．每写对一条给1分，但最多只给4分； 2．结论与辅助线有关且正确的，也相应给分．（2）解：OD BC ⊥Q ，142BE CE BC ∴===． ······································· 5分 设O e 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-． ·········································· 6分开始3 4 5 2 3 4 52 4 52 3 52 3 4在Rt OEB △中，由勾股定理得222OE BE OB +=，即222(2)4R R -+=． ················································· 7分解得5R =．O ∴e 的半径为5． ·················································································· 8分 21．解：（1）设直线1l 的解析式为y kx b =+，由题意，得 023k b k b -+=⎧⎨+=⎩，．··························································································· 2分解得11k b =⎧⎨=⎩，．····························································································· 3分 所以，直线1l 的解析式为1y x =+． ···························································· 4分 （2）当点P 在点A 的右侧时，(1)1AP m m =--=+，有1(1)332APC S m =⨯+⨯=△，解得1m =，此时点P 的坐标为(10)，； ························································· 6分 当点P 在点A 的左侧时，1AP m =--，有1(1)332APC S m =⨯--⨯=△， 解得3m =-，此时，点P 的坐标为(30)-，．综上所述，m 的值为1或3-． ···································································· 8分 说明：其他解法参照给分． 五、（本大题共2小题，第22小题8分，第23小题9分，共17分） 22．解：（1）A 型水笔的利润为0.6300180⨯=（元）；…………1分 B 型水笔的利润为0.5600300⨯=（元）；…………2分 C 型水笔的利润为1.2100120⨯=（元）； …………3分扇形统计图如图所示：…………………………………5分（2）进A 型水笔300支，B 型水笔200支，C 型水笔100支， 总利润最高． ································································································· 7分 此时所获得的总利润为3000.602000.5100 1.2400⨯+⨯+⨯=（元）． ··············· 8分 说明：1．若回答按比例3:6:1进货，即进A 型水笔180支，B 型水笔360支，C 型水笔60支，并算出此时所获得的总利润为360元的给2分；2．按某种方案进货，其总利润大于或等于360元且小于400元的给2分．如：进C 型水笔100支，A 型200支，B 型300支，并算出总利润为390元； 3．按某方案进货，其总利润小于360元的不给分． 23．（1）证明：根据题意可知： CD C D C DE CDE CE C E '''===，，∠∠．……2分AD BC Q ∥，C DE CED '∴=∠∠．CDE CED ∴=∠∠．CD CE ∴=．…………………3分 CD C D C E CE ''∴===．……………………………4分∴四边形CDC E '为菱形．………………………………5分A C 'D CEB（2）答：当BC CD AD =+时，四边形ABED 为平行四边形． ······················· 6分 证明：由（1）知CE CD =． ····································································· 7分 BC CD AD =+Q ，AD BE ∴=． ···························································· 8分 又AD BE Q ∥，∴四边形ABED 为平行四边形． ·········································· 9分 六、（本大题共2小题，第24小题9分，第25小题10分，共19分） 24．解：（1）他继续在A 窗口排队所花的时间为42844a a -⨯-=（分）． ··········································································· 3分 （2）由题意，得42625246a a -⨯-⨯+⨯>， ····································································· 6分 解得20a >．所以，a 的取值范围为20a >． ·································································· 9分25．（1）选命题①．证明：在图1中，601260BON =∴+=o oQ ，∠∠∠． ··································· 1分 326013+=∴=oQ ，∠∠∠∠． ································································· 2分 又60BC CABCM CAN ===oQ ，∠∠， BCM CAN ∴△≌△． ············································································· 3分 BM CN ∴=． ························································································ 4分选命题②．证明：在图2中，901290BON =∴+=o oQ ，∠∠∠． 239013+=∴=oQ ，∠∠∠∠． ·································································· 1分又90BC CD BCM CDN ===oQ ，∠∠，BCM CDN ∴△≌△．············································································· 2分 BM CN ∴=． ························································································ 3分选命题③．证明：在图3中，10812108BON =∴+=o oQ ，∠∠∠． ································· 1分 2318013+=∴=oQ ，∠∠∠∠． ································································· 2分图1图2A又108BC CD BCM CDN ===oQ ，∠∠， ················································· 3分 BCM CDN ∴△≌△． ············································································· 4分 BM CN ∴=． ························································································ 5分（2）①当(2)180n BON n-=o ∠时，结论BM CN =成立． ····························· 2分②BM CN =成立．证明：如图5，连结BD CE ，． 在BCD △和CDE △中，108BC CD BCD CDE CD DE ====o Q ，，∠∠，BCD CDE ∴△≌△．BD CE BDC CED DBC ECD ∴===，，∠∠∠∠． ··································· 1分 108CDE DEA ==o Q ∠∠，BDM CEN ∴=∠∠．108108OBC OCB OCB OCD MBC NCD +=+=∴=o o Q ，，∠∠∠∠∠∠．又36DBC ECD ==oQ ∠∠，DBM ECN ∴=∠∠． ···································· 2分 BDM CEN BM CN ∴∴=．△≌△． ··························································· 3分 说明：第（2）小题第②问只回答BM CN =成立，但未证明的，不给分．．．．图3图5AB CDEOMN。
2006年全国高中数学联赛试题及解答
2006年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准说 明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 一定为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．答案不确定 答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC 2,令t ＝→BA · →BC ||→BC2，代入上式，得||→BA 2－2||→BA 2cos 2α＋||→BA 2cos 2α≥||→AC 2，即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为A ．12＜x ＜1B ．x ＞12且x ≠1 C ． x ＞1 D ． 0＜x ＜1答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1． 所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1．3．已知集合A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为A ．20B ．25C ．30D ．42 答C ．解：5x －a ≤0x ≤a5；6x －b ＞0x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b )共有C 61C 51＝30个． 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为A ．[15，1)B ．[15，2)C ．[1，2)D ．[15，2)答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F (t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E (0，1，12)，G (12，0，1)，D (0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的A . 充分必要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件 答A ．解：显然f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0． 反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b ),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为A ．12(102006＋82006)B ．12(102006－82006) C ．102006＋82006 D ．102006－82006答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于 (9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k(－1)k 92006－k 从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(102006－82006)． 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是 ．填[0，98]．解：f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f (x )＝g (t )＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g (t )＝g (1)＝0，－1≤t ≤1max g (t )＝g (－12)＝98． 故，f (x )∈[0，98]．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ．填[－55，55]．解：依题意，得|z |≤2(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤42a (cos θ－2sin θ)≤3－5a 2． －25a sin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． 25|a |≤3－5a 2|a |≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]． 9．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上. 当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为 ．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A (－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP ||AF 2|⑴ 又由圆幂定理，|AP |2＝|AF 1|·|AF 2| ⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A (－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43． 代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3． 填(13＋22)π． 解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。
2006年高考江西卷(理科数学)
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（江西卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合3{0}(1)xM xx =≥-，2{31,}N x y x x R ==+∈，则M N =A ．∅ B.{1}x x ≥ C.{1}x x > D.{01}x x x <≥或2.已知复数z 满足3)3i z i =，则z =A ．322- B.344i - C.322i + D.344+ 3.若0a >，0b >，则不等式1b a x-<<等价于 A.10x b -<<或10x a << B.11x a b-<<C.1x a <-或1x b >D.1x b <-或1x a>4.设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上一点，若OA AF ⋅4=-，则点A 的坐标是A ．(2,± B.(1,2)± C.(1,2) D.(2, 5.对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有 A.(0)(2)2(1)f f f +< B.(0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ C.(0)(2)2(1)f f f +>6.若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是A ．0 B.2- C.52- D.3-7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线（该直线不过原点O ），则200S =A ．100 B.101 C.200 D.2018.在2006(x -的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x =S 等于A.23008B.23008-C.23009D.23009-9.P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和 22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为A.6B.7C.8D.910.将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a 、p 的值分别为A.105a =，521p =B.105a =，421p =C.210a =，521p =D.210a =，421p =11.如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A BEFD -与三棱锥A EFC -的表面积分别是1S ，2S ，则必有A.12S S <B.12S S >C.12S S =D.1S ，2S 的大小关系不能确定12.某地一年的气温()Q t （单位：C ）与时间t （月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10C ，令()G t 表示时间段[0,]t 的平均气温，()G t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是10C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.数列21{}41n -的前n 项和为n S ，则n lim n S →∞= .14.设3()log (6)f x x =+的反函数为1()f x -，若11[()6][()6]27f m f n --++=，则()f m n += .15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，90ACB ∠=，6AC =，1BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值是 .16.已知圆M ：22(cos )(sin )1x y θθ++-=， 直线l ：y kx =，下面四个命题：A.对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；10C10C10CC(G t ABCPA 1B 1C 1B.对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；C.对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切D.对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切 其中真命题的代号是 .（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值.（Ⅰ）求a 、b 的值与函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围. 18.（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元.现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令ξ表示甲，乙摸球后获得的奖金总额.求： （Ⅰ）ξ的分布列； （Ⅱ）ξ的的数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，已知ABC ∆是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN 经过ABC ∆的中心G ，设MGA α∠=（233ππα≤≤）.（Ⅰ）试将AGM ∆、AGN ∆的面积（分别记为1S 与2S ），表示为α的函数； （Ⅱ）求221211y S S =＋的最大值与最小值.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD =1BD CD ==，另一个侧面是正三角形AB CDMNα（Ⅰ）求证：AD BC ⊥； （Ⅱ）求二面角B AC D --的大小（Ⅲ）在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30角？若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由.21.（本大题满分12分）如图，椭圆Q ：22221x y a b=＋（0a b >>）的右焦点(,0)F c ，过点F 的一动直线m绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点. （Ⅰ）求点P 的轨迹H 的方程.（Ⅱ）在Q 的方程中，令21cos sin a θθ=++，2sin b θ=（02πθ<<），确定θ的值，使原点距椭圆的右准线l 最远，此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么位置时，三角形ABD 的面积最大？22、（本大题满分14已知数列{}n a 满足：132a =，且11321n n n na a a n --=+-，2n ≥，n N *∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：对于一切正整数n ，不等式122!n a a a n ⋅⋅<⋅.ABCD。
2010-2019历年全国高中数学联赛江西省预赛试题汇总含答案
2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题(每小题7分，共56分)1.集全{1,2,...,19}中每两互异的数作乘积，所有这种乘积的各为.2.公差为d ,各项均为正整数的等差数列{}n a ,11919,1949,2019m n a a a ===,则正整数m n +的最小值是.3.设220,7,x x x ->+=则55x x -+的值为.4.三角形ABC 的垂心恰是抛物线24y x =的焦点,其中O 是原点,A,B 在抛物线上,则三角形OAB 的面积是.5.,,a b c 是互异的正整数,使得222{,,}{,(1),(2)}a b a c b c n n n +++=++其中n 是正整数,则222a b c ++的最小值是.6.已知P 是正四棱锥V ABCD -的高VH 的中点,若P 到侧面的距离为3,到底面的距离是5,则重心,则正四棱锥V ABCD -的体积是.7.三角形ABC 中满足39A B C ==.则cos cos cos cos cos cos A B B C C A ++=.8.数列{}n a满足02112,[]{}n n n a a a a a +===+(其中[],{}n n a a 分别代表实数n a 的整数部分与小数部分),则2019a =.9、(14分)设椭圆C 的两焦点为12,F F ，两准线为12,l l ，过椭圆上的一点P ，作平行于12F F 的直线，分别交12,l l 于12,M M ，直线11M F 与22M F 交于点Q .证明：12,,,P F Q F 四点共圆．10、(15分)将正整数数列1,2,3 中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的数按自小到大的顺序排成数列123,,a a a 再将数列{}n a 中，凡是下标被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的项按自小到大的顺序排成数列123,,b b b 证明：每个大于1的奇平方数，都是数列{}n b 中的两个相邻项的和．2010-2019历年全国高中数学联赛江西省预赛试题汇总含答案11.(15分)试求所有由互异正奇数构成的三元集{},,a b c ，使其满足：2222019a b c ++=．12.(20分),BE CF 分别是锐角三角形ABC ∆的两条高(如右图)，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点,M N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点,P Q .证明：,,,M N P Q 四点共圆．2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答1.答案：16815．解：所求的和为()()()222211121912193610024701681522⎡⎤+++-+++=-=⎣⎦ 2.答案：15．解：设公差为d ，则()194919191m d =+-，()201919191n d =+-，显然有1,1m n >>，301d m =-，以及1001d n =-，消去d 得,1037m n -=，其通解为13110m t n t =+⎧⎨=+⎩，为使1,1m n >>且d 为正整数，则正整数t 只能在{}1,2,5,10中取值，当1t =时，4,11m n ==为最小，此时15m n +=．3.答案：123．解：2221129x x x x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，13x x +=，由2242411492x x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则44147x x +=，所以551x x +42421111x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()34771123=-+=4.答案：．解：抛物线的焦点为()1,0F ，因F 为OAB ∆的垂心，则OF AB ⊥，故可设,A B 的坐标为()2,2A a a ，()2,2B a a -，0a >；于是OA 的方程为2ay x =，2OA K a=，BF 的斜率221BF aK a -=-，据1OA BF K K =- ，得5a =，因此AB =，25H a ==，所以OAB S ∆= 5.答案：1297．解：设a b c >>，由于()()()()2a b b c c a a b c +++++=++为偶数，所以三个连续平方数()(){}222,1,2n n n ++中有两个奇平方数，一个偶平方数，于是n 为奇数，而1b c +>，则1n >；若3n =，则()(){}{}222222,1,2=3,4,5n n n ++，且因22250345=++()2a b c =++，则25a b c ++=，另一方面，最大平方数25a b +=，导致0c =，不合；若5n =，据()(){}{}222222,1,2=5,6,7n n n ++，解得30,19,6a b c ===，因此．222222301961297a b c ++=++=.6.答案：750．解：如图，PF VBC ⊥平面，5,10,VP VH ==4VF ===,而PHMFPHMF 共圆，,VP VH VF VM =所以2515,22VM HM ===;则15AB =，所以棱锥体积217503V VH AB == ．7.答案：14-．,3,9,39,,13C B A πθθθθθθπθ===++==解：设由得9339cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos131313131313S A B B C C A ππππππ=++=++112642108cos cos cos cos cos cos 2131313131313ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦注意括号中的诸角度构成公差为213π的等差数列，两边通乘4sin 13π，得到246810124sin 2sin cos cos cos cos cos cos 1313131313131313S ππππππππ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭ 3537597sin sin sin sin sin sin sin sin 1313131313131313ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1191311sin sin sin sin sin 1313131313πππππ⎛⎫⎛⎫+-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以14S =-.8.答案：3130292-+．解：()0131,a =+-113112,231a -=+=+-()22233431,31a =+=+=+--313145.231a -=+=+-归纳易得()23131,k a k =++-213132,2k a k +-=++因此20193130292a -=+.9.证：设椭圆方程为()22221,0x ya b a b+=>>，据对称性知，点Q在Y轴上（如图）；记12,QF QF m ==1122,,PF r PF r ==PQ t=,12,MF MF k ==则有：1121,2,PF e r r a PM =+=为证12,,,P F Q F 四点共圆，据托勒密定理，只要证，1212,mr mr t F F += 22,m c m a t c e t a=== 即也即……………①由1111,QF OF QM HM =即222,m c c e a m k a c⎛⎫=== ⎪+⎝⎭所以21,k e m k=-+在1PM Q ∆中，由斯特瓦特定理，22211m kPF PM PQ mk m k m k=+-++…………………………②即()()22222211211m e r r e t e me e -⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭………………………③因为210e -≠，由③得，222,,m me e t t==即故①成立，因此12,,,P F Q F 四点共圆．（也可不用托勒密定理证：由②得()2PQ m m k =+，则11PQF M QP ∆∆ ，于是11221QPF M M QF F ∠=∠=∠=∠，因此12,,,P F Q F 四点共圆．）10.证：易知2142n a n -=-,241n a n =-,1,2,3n = ，因此，41,82,n n N a n +∀∈=+42434483,86,87n n n a n a n a n +++=+=+=+；在将{}n a 中的项4n a 及41n a +删去之后，所得到的数列{}n b ，其通项为：212283,86n n b n b n ++=+=+,1,2,3n = ；即数列{}n b 的项为：3,6,11,14,19,22,27,32,35,38,43 ，观察易知，222212346710113,5,7,9,b b b b b b b b =+=+=+=+……；若记()12k k k r +=，我们来证明，一般地有：()2121k k r r k b b ++=+,1,2,3k = .由于2222441424382,861,8103,8146;m m m m r m m r m m r m m r m m +++=+=++=++=++所以()()4444122111241,2411,m m m m r r r r b b m b b m +++++=++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()42424343221112421,2431,m m m m r r r r b b m b b m ++++++++=+++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦合并以上四式得，对于每个正整数k ,()2121k k r r b b k ++=+．其中()12k k k r +=．11.解：据对称性，不妨设a b c <<，由于奇平方数的末位数字只具有1,5,9形式，于是222,,a b c 的末位数字，要么是5,5,9形式，要么是1,9,9形式；又知，如果正整数n 是3的倍数，那么2n 必是9的倍数；如果n 不是3的倍数，那么2n 被3除余1．由于2019是3的倍数，但不是9的倍数，因此奇数,,a b c 皆不是3的倍数．注意201944c ⎡⎤≤=⎣⎦，即奇数43c ≤，而222232019c a b c >++=，即2667c >，且c 不是3的倍数，故奇数29c ≥．因此奇数{}29,31,35,37,41,43c ∈；注意如下事实：如果奇数22=N x y +为两个正整数的平方和，那么偶数2N 必可表为两个互异正奇数的平方和．这是由于，()()()222222N x yx y x y =+=-++；若43c =，方程化为：()()222222170285267229a b +==⨯=+=+，因此：2222170113711=+=+．于是得两解：{}{},,1,13,43a b c =，以及{}{},,7,11,43a b c =；若41c =，方程化为：()22222223382132512717a b +==⨯=+=+，由此得：{}{},,7,17,41a b c =；若37c =，方程化为：()()2222222650213522334a b +==⨯⨯=++()()()2222222118261721015=+=+=+因此：22222265017191123525=+=+=+．得到三个解：{}{}{}{},,17,19,37,11,23,37,5,25,37a b c =.若35c =，方程化为：227942397a b +==⨯,而397是一个41N +形状的质数，它可唯一地表为两平方和：22397619=+，所以()22222226191325a b +=+=+，得到一个解：{}{},,13,25,35a b c =.若31c =，方程化为：2211582529a b +==⨯，而23是41N -形状的质数，它不能表为两个正整数的平方和；若29c =，方程化为：22117821931a b +==⨯⨯，而23是41N -形状的质数，它不能表为两个正整数的平方和；综合以上讨论，本题共有七个满足条件的解{},,a b c ，即为：{}{}{}{}{}{}{}1,13,43,7,11,43,13,25,35,5,25,37,11,23,37,17,19,37,7,17,41.12.证：如图设三角形ABC ∆的垂心为H ，则()()MH HN MF HF NF HF =-+ ()()()22222MF HF MF HF MF HF AF FB AH AF AF AB AH =-+=-=--=- 同理有，2PH HQ AE AC AH =- 因BCEF 四点共圆，知AF AB AE AC = ，故由以上两式得MH HN PH HQ = ，所以,,,M N P Q 四点共圆．2018年全国高中数学联赛江西省预赛试题1.a b 、为正整数，满足112018a b-=，则所有正整数对(),a b 的个数为．2.若双曲线L 的两个焦点恰是椭圆22:1169x y T +=的两个顶点，而双曲线L 的两个顶点恰是椭圆T 的两个焦点，则双曲线L 的方程为．3.函数y =+．4.若三个角,,x y z 成等差数列，公差为3π，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=．5.设,,x y z R *∈，满足x y z xyz++=，则函数()()2,,1f x y z x yz =-()()2211y zx z xy +-+-的最小值是．6.正整数数列{}n a 满足32n a n =+,{}n b 满足53n b n =+,n N ∈.在{}1,2,,2018M = 中两数列的公共项的个数是.7.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是一个顶角为60 的菱形，每个侧面与底面的夹角都是60 ，棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为．8.对于正整数n ，将其各位数字之和记为()s n ，各为数字之积记为()p n .若()()s n p n n +=成立，就称为“巧合数”。