江苏省苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研(一)数学试题
2014-2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应位置上．．．．．．
． 1． 已知集合A ＝{x |－1 < x < 1}，B ＝{x |x > 0}，则A ∩B ＝ ▲ ．
2． 若复数错误！未指定书签。
51-2m i
+ (i 为虚数单位)为纯虚数，则实数m ＝ ▲ ． 3． 双曲线2
2
12y x -=的离心率为 ▲ ． 4． 在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：
在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为
▲ ．
5． 函数()
2ln -2y x = 的定义域为 ▲ ．
6． 如图，四棱锥P A B C D -中，PA ⊥底面A B C D ，底面A B C D 是矩形，2,3,4A B A D P A ===，E 为棱CD 上一点，则三棱锥E PAB -的体积为
▲ ．
7． 右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为 ▲ ．
8． 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若242a a =，24516
a a +=，则5a = ▲ ． 9． 若曲线321:612C y ax x x =-+与曲线2:x C y e =在1x =处的两条切线互相垂直，
则实数a 的值为 ▲ ．
10． 设函数()sin())(0,)2f x x x π
ωϕωϕωϕ=++><的最小正周期为π，且
满足()()f x f x -=，则函数()f x 的单调增区间为 ▲ ．
11． 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点， AE 与BD 交于点E ，AB =AD =1，且16
MA MB ⋅=-u u u r u u u r ，则AB AD ⋅=uu u r uuu r ▲ ． 12． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(3)2C x y +-=，点A 是x 轴上的一
个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的取值范围是 ▲ ．
13． 已知直线y =kx +1与曲线f (x )= 11x x x x
+--恰有四个不同的交点，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14． 已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y ≤2，则
213x y x y ++-的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分14分） 已知向量(sin(),3),(1,4cos )6ααπ
=+=a b ，(0,)απ∈．
（1）若a ⊥b ，求tan α的值；（2）若a ∥b ，求α的值．
16. （本小题满分14分）
如图，四边形A A1 C1C为矩形，四边形CC1B1 B为菱形，且平面CC1B1 B⊥A A1 C1C，D，E分别是A1 B1和C1C的中点．
⊥平面AB1C；（2）DE∥平面AB1C．
求证：（1）BC
17. （本小题满分14分）
如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为米的
扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟
囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂
直，设OB与圆弧CD的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处
于同一水平面，在点C和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，
30°和60°．
（1）求烟囱AB的高度；
（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．
18. （本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>，的离心率为2，且经过点，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点（点M 与点A 在不重合），点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于点P ．
（1） 求椭圆C 的方程；（2） 求证：AP ⊥OM ；
（3） 试问OP OM ⋅是否为定值？若是定值，请求出该定值；若
不是，请说明理由．
19. （本小题满分16分） 已知函数2()e (0)x f x x a a =-≥.
（1）当1a =时，求函数()f x 的单调减区间；
（2）若方程f (x )=m 的恰好有一个正根和一个负根，求实数m 的最大值.
20. （本小题满分16分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设数列{}n b 满足*
112()()()n n n n n n b S S S n S S n N ++=--+∈． （1）若数列{}n a 为等差数列，且0n b =，求数列{}n a 的通项公式；
（2）若121,3a a ==，且数列{}21n a -的，{}2n a 都是以2为公比的等比数列，求满足不等式221n n b b -<
的所有正整数的n 集合．。
2015年江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学(一模)试题及答案
（第6题）EPDCBA2015年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题2015.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{}{}11,0A x x B x x =-<<=>，则A B = ▲ ．2．若复数512im +-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m = ▲ ． 3．双曲线2212y x -=的离心率为 ▲ ．4．在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为 ▲ ．5．函数2ln(2)y x =-的定义域为 ▲ ．6．如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，4PA =，点E 为棱CD 上一点，则三棱锥E －P AB 的体积为 ▲ ．7．右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为 ▲ ．8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若242a a =，24516a a +=，则5a9．若曲线321:612C y ax x x =-+与曲线2:e x C y =在1x =垂直，则实数a 的值为 ▲ ．10．设函数π()sin())(0,)2f x ωx φωx φωφ=++><且满足()()f x f x -=，则函数()f x 的单调增区间为 ▲ ．11．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点AB 1AD =，且16MA MB ⋅=-，则AB AD ⋅= ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段 PQ 长的取值范围为 ▲ ．（第7题）13．已知直线1y kx =+与曲线11()f x x x x x=+--恰有四个不同的交点，则实数k 的取值 范围为 ▲ ．14．已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +…，则213x y x y++-的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知向量πsin(),36α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a ，(1,4cos )a =b ，(0,π)α∈．（1）若a ⊥b ，求tan α的值；（2）若a ∥b ，求α的值．16．（本题满分14分）如图，四边形11AA C C 为矩形，四边形11CC B B 为菱形，且平面11CC B B ⊥平面11AA C C ，D ，E 分别为边11A B ，1C C 的中点．（1）求证：1BC ⊥平面1AB C ； （2）求证：DE ∥平面1AB C ．C 1B 1A 1（第16题）ECBAD17．（本题满分14分）如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB （不计B 离河岸的距离），且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧CD 的交点为E ．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45︒，30︒和60︒． （1）求烟囱AB 的高度；（2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>，过椭圆的左顶点A 作直线l x ⊥轴，点M 为直线l 上的动点，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于P ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：AP OM ⊥；（3）试问OP OM ⋅是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．（第17题）l19．（本题满分16分）已知函数2()e (0)x f x x a a =-…． （1）当1a =时，求()f x 的单调减区间；（2）若方程()f x m =恰好有一个正根和一个负根，求实数m 的最大值．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设数列{}n b 满足112()()()n n n n n n b S S S n S S n *++=--+∈N ． （1）若数列{}n a 为等差数列，且0n b =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若11a =，23a =，且数列{}21n a -，{}2n a 都是以2为公比的等比数列，求满足不等式221n n b b -<的所有正整数n 的集合．D（第21A 题）2014-2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学ⅠI （附加题）试题21．A ．如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 中点，过C 作圆O 的割线CED （E 在C ，D 之间）， 求证：∠CBE =∠BDE ．B ． 求曲线1x y +=在矩阵M 10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．C ．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin rq q =+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)，求直线l 被曲线C所截得的弦长．D ．求函数y =（第22题）22．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 60︒，PA =M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面P AD 所成的二面角的正弦值．23．若存在n 个不同的正整数12,,,n a a a ，对任意1i jn <剟，都有i j i ja a a a +∈-Z ，则称这n 个不同的正整数12,,,n a a a 为“n 个好数”． （1）请分别对2n =，3n =构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数(2)n n …，均存在“n 个好数”．苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案一、填空题1．{}01x x << 2．1- 3 4．0.3 5．((),2,-∞+∞6．4 7．16 8．1329．13e - 10．π[π,π],()2k k k -+∈Z11．34 12． 13．11{,0,}88- 14 二、解答题15．解：（1）因为a ⊥b ，所以πsin()12cos 06αα++=， ……………………………2分1cos 12cos 02ααα++=25cos 02αα+=， …………………4分又cos 0α≠，所以tan α=． ………………………………………………6分 （2）若a ∥b ，则π4cos sin()36αα+=， ……………………………………………8分即14cos cos )32ααα+=，2cos22αα+=， ………………………………………………………10分所以πsin(2)16α+=， ………………………………………………………………11分因为(0,π)α∈，所以ππ13π2(,)666α+∈， ………………………………………13分 所以ππ262α+=，即π6α=． ……………………………………………………14分 16．证明：（1）∵四边形11AA C C 为矩形，∴AC ⊥1C C ，………………………………2分 又平面11CC B B ⊥平面11AA C C ，平面11CC B B平面11AA C C =1CC ，∴AC ⊥平面11CC B B ， ……………………………………………………………3分 ∵1C B ⊂平面11CC B B ，∴AC ⊥1C B ， ……………………………………………4分 又四边形11CC B B 为菱形，∴11B C BC ⊥， …………………………………………5分 ∵1B CAC C =，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ，∴1BC ⊥平面1AB C ．…………………………………………………………………7分（2）取1AA 的中点F ，连DF ，EF ，∵四边形11AA C C 为矩形，E ，F 分别为1C C ，1AA 的中点， ∴EF ∥AC ，又EF ⊄平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ,∴EF ∥平面1AB C ， ………………………………………………………………10分 又∵D ，F 分别为边11A B ，1AA 的中点，∴DF ∥1AB ，又DF ⊄平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C , ∴DF ∥平面1AB C ，∵EFDF F =，EF ⊂平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ∥平面1AB C ，…………………………………………………………12分 ∵DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面1AB C ．…………………………………………14分 17．解：（1）设AB 的高度为h ，在△CAB 中，因为45ACB ∠=︒，所以CB h =， ………………………………1分 在△OAB 中，因为30AOB ∠=︒，60AEB ∠=︒， ………………………………2分所以OB =，EB =， ………………………………………………………4分-=15h =． ………………………………………6分 答：烟囱的高度为15米． ……………………………………………………………7分（2）在△OBC 中，222cos 2OC OB BC COB OC OB+-∠=⋅56==， …………………10分所以在△OCE 中，2222cos CE OC OE OC OE COE =+-⋅∠ 53003006001006=+-⨯=． …………………13分答：CE 的长为10米． ……………………………………………………………14分18．解：（1）∵椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>，∴222a c =，则222a b =，又椭圆C 过点，∴221312a b+=．…………2分∴24a =，22b =，则椭圆C 的方程22142x y +=． …………………………………………………4分（2）设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为(2)y k x =-，设11(,)P x y ，将(2)y k x =-代入椭圆C 的方程22142x y +=中并化简得：2222(21)4840k x k x k +-+-=，………………………………………………………6分解之得2124221k x k -=+，22x =，∴1124(2)21ky k x k -=-=+，从而222424(,)2121k k P k k --++．………………………………８分令2x =-，得4y k =-，∴(2,4)M k --，(2,4)OM k =--． ………………………9分又222424(2,)2121k k AP k k --=+++＝22284(,)2121k kk k -++， …………………………………11分∴2222161602121k k AP OM k k -⋅=+=++，∴AP OM ⊥． ………………………………………………………………………13分 （3）222424(,)(2,4)2121k k OP OM k k k --⋅=⋅--++ =2222284168442121k k k k k -+++==++．∴OP OM ⋅为定值4． …………………………………………………………16分19．解：（1）当1a =时，221,e (1),()1,e (1),x x x xf x x x ⎧>-⎪=⎨-⎪⎩… …………………………………1分 当1x >时，2()e (21)x f x x x '=+-，由()0f x '…，解得1x --，所以()f x 的单调减区间为[11]--， ………………………………………3分 当1x …时，2()e (21)x f x x x '=-+-，由()0f x '…，解得1x -…x -…所以()f x 的单调减区间为[-， ……………………………………………5分综上：()f x 的单调减区间为[-，[11]--． ………………………6分 （2） 当0a =时，2()e x f x x =⋅，则2()e 2e e (2)x x x f x x x x x '=⋅+⋅=+，令()0f x '=，得0x =或2x =-，所以()f x 有极大值24(2)e f -=，极小值(0)0f =，…………………………………7分当0a>时，22e(),()e(),xxxx af xa x x⎧>-⎪=⎨-⎪⎩…同（1）的讨论可得，()f x在(,1)-∞上增，在(1,上减，在(1)上增，在1上减，在)+∞上增，……………8分且函数()y f x=有两个极大值点，1(1)2e1)f==，…………………………9分11)1)f==，……………………………10分且当1x a=+时，12(1)e(1)1)af a a a++=++>>所以若方程()f x m=恰好有正根，则1)m f>（否则至少有二个正根）．……………………………………11分又方程()f x m=恰好有一个负根，则(1)m f=．………………………12分令()e(1),1xg x x x-=+…，则()e0xg x x-'=-<，所以()e(1)xg x x-=+在1x…时单调减，即2()(1)eg x g=…，………………………13分等号当且仅当1x=时取到．所以22(1)()ef…，等号当且仅当0a=时取到．且此时11)1)0f==，………………………………………14分即(1)f>1)f，…………………………………………………15分所以要使方程()f x m=恰好有一个正根和一个负根，m的最大值为24e．………16分20．解：（1）设等差数列{}n a的公差为d，所以11na a nd+=+，1(1)2nn nS na d-=+，…………………………………………1分由112()()()n n n n n nb S S S n S S n*++=--+∈N，得112(2)n n n n nb a S n S a++=-+，及由0nb=，又由0nb=，得[]1111(1)2()2(1)02n na nd na d n na n n d a nd-⎡⎤++-+-++=⎢⎥⎣⎦对一切n*∈N都成立，………………………………………………………………3分即()222211111(32)20d d n a d d a n a a d a-+--+--=对一切n*∈N都成立．令1n=，2n=，解之得10,0,da=⎧⎨=⎩或11,1,da=⎧⎨=⎩经检验，符合题意，所以{}n a 的通项公式为0n a =或n a n =． …………………………………………5分 （2）由题意得1212n n a --=，1232n n a -=⨯，2213(21)424n n n n S =-+-=⨯-，11212242432524n n n n n n S S a ---=-=⨯--⨯=⨯-．…………………………………6分 221222122(2)n n n n n b a S n S a ++=-+22(424)2(8282)n n n n n =⨯⨯⨯--⨯-+122(294)16n n n n ++=--+． ……………………………………………………7分 212212122(21)(2)n n n n n b a S n S a ---=--+111162(524)(21)(102832)n n n n n ----=⨯⨯⨯---⨯-+⨯112(3022611)168n n n n --=⨯--+-． ………………………………………8分12112212(294)16[2(3022611)168]n n n n n n b b n n n n ++----=--+-⨯--+-121552(25)8282(5)22n n n n n n --=--+=+-+． ………………………9分记215282)()2(5n n n f n -=+-+，即15()2[2(5)]228n n f n n =⨯-++， ……………10分记15()2(5)22n g n n =⨯-+，则111515(1)()2(5)252222n n g n g n n n ++-=⨯-+-⨯++1252n =⨯-，当1n =，2，3时，(1)()0g n g n +-<，当*n ∈N 时，4n ≥，(1)()g n g n +-12502n =⨯->， …………………………12分因为1n =时，13(1)02g =-<，所以(4)0g <；且1(6)02g =-<；53(7)02g =>． 所以15()2[2(5)]228n n f n n =⨯-++在7(*)n n ∈≥N 时也是单调递增， …………14分1n =时，(1)50f =-<； 2n =时，(2)340f =-<； 3n =时，(3)1000f =-<； 4n =时，(4)2240f =-<； 5n =时，(5)3600f =-<； 6n =时，(6)240f =-<； 7n =时，(7)34000f =>，所以满足条件的正整数n 的集合为｛1，2，3，4，5，6｝．………………………16分21、A ．证明：因为CA 为圆O 的切线，所以2CA CE CD =⋅， ………………………………………………………………3分 又CA CB =，所以2CB CE CD =⋅，即CB CDCE CB=， …………………………5分 又BCD BCD ∠=∠，所以BCE D ∽DCB D ， …………………………………8分 所以∠CBE =∠BDE ． ………………………………………………………………10分B ． 解：设点00(,)x y 为曲线1x y +=上的任一点，在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则由0010103x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………………………………3分得：00,1,3x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 即00,3,x x y y '=⎧⎨'=⎩ ………………………………………………………5分 所以曲线1x y +=在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线为31x y +=， ………………………………………………………………………………8分所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯=． …………………………………10分C ．解：曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，圆心为(1,1)…………………………………………………………3分0y -=， ………………………………………5分所以圆心到直线的距离为12d ==， ………………………………8分所以弦长== ………………………………………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解：因为22= 120(3332)(1)33x x -+++=≤， ……………………………………………3分所以y=．………………………………………………5分等号当且仅当3332113x x-+=，即712x=时成立．………………………………8分所以y…………………………………………………………10分22．解：（1）设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量OC，OD为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为z轴建立直角坐标系．………………………………………………1分则(1,0,0)A-，(1,0,0)C，(0,B，D，(P-，所以M，MD=，(1,PB=，……………………3分cos,0MD PAMD PAMD PA⋅<>===．…………………………………4分所以异面直线PB与MD所成的角为90︒．…………………………………………5分（2）设平面PCD的法向量为1111(,,)x y z=n，平面P AD的法向量为2222(,,)x y z=n，因为(CD=-，(1PD=，(0,0,PA=，由11111110,0,CD xPD x⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩nn令11y=，得1=n，……………………7分由22222260,0,PAPD x z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩nn令21y=-，得21,0)=-n，…………………8分所以121212cos,⋅<>===n nn nn n12sin,<>=n n10分23．解：（1）当2n=时，取数11a=，22a=，因为21312+=-∈-Z，…………………1分当3n=时，取数12a=，23a=，34a=，则12125a aa a+=-∈-Z，23237a aa a+=-∈-Z，13133a aa a+=-∈-Z，…………………………………………………3分即12a=，23a=，34a=可构成三个好数．………………………………………4分（2）证：①由（1）知当2,3n =时均存在，②假设命题当(2,)n k k k Z=≥∈时，存在k个不同的正整数12,,,ka a a，其中12ka a a<<<，使得对任意1i j k<剟，都有i ji ja aa a+∈-Z成立，…………………………………5分则当1n k=+时，构造1k+个数12,,,,kA A a A a A a+++，，（*）其中123k A a =⨯⨯⨯⨯，若在（*）中取到的是A 和()i A a i k +…，则21i i iA A a AA A a a ++=--∈--Z ，所以成立，若取到的是()i A a i k +…和()j A a j k +…，且i j <， 则2+i j i j i ji j i j A a A a a a AA a A a a a a a ++++=+----，由归纳假设得i j i ja a a a +∈-Z ，又j i k a a a -<，所以j i a a -是A 的一个因子，即2i jAa a ∈-Z ， 所以2+i j i j i ji j i jA a A a a a A A a A a a a a a ++++=∈+----Z ， ………………………………………8分 所以当1n k =+时也成立． ………………………………………………………9分 所以对任意正整数(2)n n …，均存在“n 个好数” ……………………………10分。
2014-2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)参考答案
苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案一、填空题1．{}01x x << 2．1- 3 4．0.3 5．((),2,-∞+∞6．4 7．16 8．1329．13e - 10．π[π,π],()2k k k -+∈Z11．34 12． 13．11{,0,}88- 14 二、解答题15．解：（1）因为a ⊥b ，所以πsin()12cos 06αα++=， ……………………………2分1cos 12cos 02ααα++=25cos 02αα+=， …………………4分又cos 0α≠，所以tan α=． ………………………………………………6分 （2）若a ∥b ，则π4cos sin()36αα+=， ……………………………………………8分即14cos cos )32ααα+=，2cos22αα+=， ………………………………………………………10分所以πsin(2)16α+=， ………………………………………………………………11分因为(0,π)α∈，所以ππ13π2(,)666α+∈， ………………………………………13分 所以ππ262α+=，即π6α=． ……………………………………………………14分 16．证明：（1）∵四边形11AA C C 为矩形，∴AC ⊥1C C ，………………………………2分 又平面11CC B B ⊥平面11AA C C ，平面11CC B B平面11AA C C =1CC ，∴AC ⊥平面11CC B B ， ……………………………………………………………3分 ∵1C B ⊂平面11CC B B ，∴AC ⊥1C B ， ……………………………………………4分 又四边形11CC B B 为菱形，∴11B C BC ⊥， …………………………………………5分∵1B C AC C =，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ，∴1BC ⊥平面1AB C ．…………………………………………………………………7分 （2）取1AA 的中点F ，连DF ，EF ，∵四边形11AA C C 为矩形，E ，F 分别为1C C ，1AA 的中点， ∴EF ∥AC ，又EF ⊄平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ,∴EF ∥平面1AB C ， ………………………………………………………………10分 又∵D ，F 分别为边11A B ，1AA 的中点，∴DF ∥1AB ，又DF ⊄平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C , ∴DF ∥平面1AB C ，∵EFDF F =，EF ⊂平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ∥平面1AB C ，…………………………………………………………12分 ∵DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面1AB C ．…………………………………………14分 17．解：（1）设AB 的高度为h ，在△CAB 中，因为45ACB ∠=︒，所以CB h =， ………………………………1分 在△OAB 中，因为30AOB ∠=︒，60AEB ∠=︒， ………………………………2分所以OB =，EB =， ………………………………………………………4分-=15h =． ………………………………………6分 答：烟囱的高度为15米． ……………………………………………………………7分（2）在△OBC 中，222cos 2OC OB BC COB OC OB+-∠=⋅56==， …………………10分所以在△OCE 中，2222cos CE OC OE OC OE COE =+-⋅∠ 53003006001006=+-⨯=． …………………13分答：CE 的长为10米． ……………………………………………………………14分18．解：（1）∵椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>，∴222a c =，则222a b =，又椭圆C 过点，∴221312a b+=．…………2分∴24a =，22b =，则椭圆C 的方程22142x y +=． …………………………………………………4分（2）设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为(2)y k x =-，设11(,)P x y ，将(2)y k x =-代入椭圆C 的方程22142x y +=中并化简得：2222(21)4840k x k x k +-+-=，………………………………………………………6分解之得2124221k x k -=+，22x =，∴1124(2)21ky k x k -=-=+，从而222424(,)2121k k P k k --++．………………………………８分令2x =-，得4y k =-，∴(2,4)M k --，(2,4)OM k =--． ………………………9分又222424(2,)2121k k AP k k --=+++＝22284(,)2121k kk k -++，…………………………………11分 ∴2222161602121k k AP OM k k -⋅=+=++，∴AP OM ⊥． ………………………………………………………………………13分 （3）222424(,)(2,4)2121k k OP OM k k k --⋅=⋅--++ =2222284168442121k k k k k -+++==++． ∴OP OM ⋅为定值4． …………………………………………………………16分19．解：（1）当1a =时，221,e (1),()1,e (1),x x x x f x x x ⎧>-⎪=⎨-⎪⎩… …………………………………1分 当1x >时，2()e (21)x f x x x '=+-，由()0f x '…，解得1x --，所以()f x 的单调减区间为[11]--， ………………………………………3分 当1x …时，2()e (21)x f x x x '=-+-，由()0f x '…，解得1x -…x -…所以()f x 的单调减区间为[-， ……………………………………………5分综上：()f x 的单调减区间为[-，[11]--． ………………………6分 （2） 当0a =时，2()e x f x x =⋅，则2()e 2e e (2)x x x f x x x x x '=⋅+⋅=+，令()0f x '=，得0x =或2x =-，所以()f x 有极大值24(2)e f -=，极小值(0)0f =，…………………………………7分当0a >时，22e (),()e (),x x x x af x a x x ⎧>-⎪=⎨-⎪⎩…同（1）的讨论可得，()f x 在(,1)-∞上增，在(1,上减，在(1)上增，在1上减，在)+∞上增，……………8分 且函数()y f x =有两个极大值点，1(1)2e 1)f ==，…………………………9分11)1)f ==，……………………………10分且当1x a =+时，12(1)e (1)1)a f a a a ++=++>>所以若方程()f x m =恰好有正根，则1)m f >（否则至少有二个正根）． ……………………………………11分又方程()f x m =恰好有一个负根，则(1)m f =． ………………………12分 令()e (1),1x g x x x -=+…，则()e 0x g x x -'=-<，所以()e (1)x g x x -=+在1x …时单调减，即2()(1)eg x g =…，………………………13分等号当且仅当1x =时取到．所以22(1)()ef …，等号当且仅当0a =时取到．且此时11)1)0f ==，………………………………………14分即(1)f>1)f ， …………………………………………………15分 所以要使方程()f x m =恰好有一个正根和一个负根，m 的最大值为24e ．………16分 20．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，所以11n a a nd +=+，1(1)2n n n S na d -=+， …………………………………………1分 由112()()()n n n n n n b S S S n S S n *++=--+∈N ，得112(2)n n n n n b a S n S a ++=-+，及由0n b =， 又由0n b =，得[]1111(1)2()2(1)02n n a nd na d n na n n d a nd -⎡⎤++-+-++=⎢⎥⎣⎦对一切n *∈N 都成立， ………………………………………………………………3分 即()222211111(32)20d d n a d d a n a a d a -+--+--=对一切n *∈N 都成立． 令1n =，2n =，解之得10,0,d a =⎧⎨=⎩或11,1,d a =⎧⎨=⎩ 经检验，符合题意，所以{}n a 的通项公式为0n a =或n a n =． …………………………………………5分 （2）由题意得1212n n a --=，1232n n a -=⨯，2213(21)424n n n n S =-+-=⨯-，11212242432524n n n n n n S S a ---=-=⨯--⨯=⨯-．…………………………………6分 221222122(2)n n n n n b a S n S a ++=-+22(424)2(8282)n n n n n =⨯⨯⨯--⨯-+122(294)16n n n n ++=--+． ……………………………………………………7分 212212122(21)(2)n n n n n b a S n S a ---=--+111162(524)(21)(102832)n n n n n ----=⨯⨯⨯---⨯-+⨯112(3022611)168n n n n --=⨯--+-． ………………………………………8分 12112212(294)16[2(3022611)168]n n n n n n b b n n n n ++----=--+-⨯--+-121552(25)8282(5)22n n n n n n --=--+=+-+． ………………………9分记215282)()2(5n n n f n -=+-+，即15()2[2(5)]228n n f n n =⨯-++， ……………10分记15()2(5)22n g n n =⨯-+，则111515(1)()2(5)252222n n g n g n n n ++-=⨯-+-⨯++1252n =⨯-，当1n =，2，3时，(1)()0g n g n +-<，当*n ∈N 时，4n ≥，(1)()g n g n +-12502n =⨯->， …………………………12分因为1n =时，13(1)02g =-<，所以(4)0g <；且1(6)02g =-<；53(7)02g =>． 所以15()2[2(5)]228n n f n n =⨯-++在7(*)n n ∈≥N 时也是单调递增， …………14分1n =时，(1)50f =-<； 2n =时，(2)340f =-<； 3n =时，(3)1000f =-<； 4n =时，(4)2240f =-<； 5n =时，(5)3600f =-<； 6n =时，(6)240f =-<； 7n =时，(7)34000f =>，所以满足条件的正整数n 的集合为｛1，2，3，4，5，6｝．………………………16分21、A ．证明：因为CA 为圆O 的切线，所以2CA CE CD =⋅， ………………………………………………………………3分 又CA CB =，所以2CB CE CD =⋅，即CB CDCE CB=， …………………………5分 又BCD BCD ∠=∠，所以BCE D ∽DCB D ， …………………………………8分 所以∠CBE =∠BDE ． ………………………………………………………………10分B ． 解：设点00(,)x y 为曲线1x y +=上的任一点，在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则由0010103x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………………………………3分得：00,1,3x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 即00,3,x x y y '=⎧⎨'=⎩ ………………………………………………………5分 所以曲线1x y +=在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线为31x y +=， ………………………………………………………………………………8分所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯=． …………………………………10分C ．解：曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，圆心为(1,1)…………………………………………………………3分0y -=， ………………………………………5分所以圆心到直线的距离为12d ==， ………………………………8分所以弦长== ………………………………………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解：因为22= 120(3332)(1)33x x -+++=≤， ……………………………………………3分所以y =． ………………………………………………5分 等号当且仅当3332113x x -+=，即712x =时成立． ………………………………8分所以y…………………………………………………………10分 22．解：（1）设AC 与BD 交于点O ，以O 为顶点，向量OC ，OD 为x ，y 轴，平行于AP 且方向向上的向量为z 轴建立直角坐标系．………………………………………………1分则(1,0,0)A -，(1,0,0)C，(0,B，D，(P -，所以M，MD =，(1,PB =， ……………………3分cos ,0MD PA MD PA MD PA⋅<>===．…………………………………4分所以异面直线PB 与MD 所成的角为90︒． …………………………………………5分 （2）设平面PCD 的法向量为1111(,,)x y z=n ，平面P AD 的法向量为2222(,,)x y z =n ，因为(CD =-，(1PD =，(0,0,PA =，由11111110,0,CD x PD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令11y =，得1=n ， ……………………7分 由22222260,0,PA PD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n 令21y =-，得21,0)=-n ， …………………8分 所以121212cos ,⋅<>===n n n n n n 12sin ,<>=n n 10分23．解：（1）当2n =时，取数11a =，22a =，因为21312+=-∈-Z ，…………………1分 当3n =时，取数12a =，23a =，34a =，则12125a a a a +=-∈-Z ， 23237a a a a +=-∈-Z ，13133a a a a +=-∈-Z ，…………………………………………………3分 即12a =，23a =，34a =可构成三个好数． ………………………………………4分 （2）证：①由（1）知当2,3n =时均存在，②假设命题当(2,)n k k k Z =≥∈时，存在k 个不同的正整数12,,,k a a a ，其中12k a a a <<<，使得对任意1i jk <剟，都有i j i ja a a a +∈-Z 成立， …………………………………5分则当1n k =+时，构造1k +个数12,,,,k A A a A a A a +++，，（*）其中123k A a =⨯⨯⨯⨯，若在（*）中取到的是A 和()i A a i k +…，则21i i iA A a AA A a a ++=--∈--Z ，所以成立，若取到的是()i A a i k +…和()j A a j k +…，且i j <， 则2+i j i j i ji j i j A a A a a a AA a A a a a a a ++++=+----，由归纳假设得i j i ja a a a +∈-Z ，又j i k a a a -<，所以j i a a -是A 的一个因子，即2i jAa a ∈-Z ， 所以2+i j i j i ji j i jA a A a a a A A a A a a a a a ++++=∈+----Z ， ………………………………………8分 所以当1n k =+时也成立． ………………………………………………………9分 所以对任意正整数(2)n n …，均存在“n 个好数” ……………………………10分。
江苏省2014—2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)word精校版
2014—2015学年度锡常镇四市高三教学情况调研(一)英语2015年3月注意：本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。
答案全部做在答题纸上。
总分为120分。
考试时间l20分钟。
第一卷(选择题，共85分)第一部分：听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。
听力录音部分结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。
第一节(共5小题；每小题l分，满分5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你有l0秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.Where does this conversation most probably take place?A. In the man’s home.B. In an office building.C. In a department store.2.What can we know about the man’s job from the conversation?A. He can’t sell many books.B. He has a promising career.C. He and his boss get along well.3.What are the two speakers most probably talking about?A. Paintings.B. Flowers.C. Clothes.4.Who may these two speakers be?A. Father and mother.B. Teacher and student.C. Mother and son.5.What happened at the convenience store last night?A. Somebody robbed the store.B. Too many people crowded in.C. The employees refused to work.第二节(共15小题；每小题l分，满分l5分)听下面5段对话或独白。
2015-2016学年苏锡常镇四市高三一模试卷及答案
2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）英语2016年3月第一卷（选择题，共85分）第一部分：听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。
听力录音部分结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What are the speakers going to do?A. Pay for the taxi.B. Drink water.C. Sing songs.2. What is the man looking for now?A. His own iPad.B. His wife’s mobil e phone.C. His mobile phone.3. When does the first flight arrive in Beijing?A. 5:38 am.B. 7:58 am.C. 8:00 am.4. What is the woman probably?A. A teacher.B. A job adviser.C. An officer.5. What is Mike doing now?A. He is meeting friends.B. He is coming here.C. Not clear.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题, 每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第六段对话，回答第6和第7两个小题。
苏锡常镇、宿迁市2015～2016学年度高三教学情况调研(一)(十四)
苏锡常镇、宿迁市2015～2016学年度高三教学情况调研(一)(十四)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x ＜3，x ∈R }，B ＝{x|x ＞1，x ∈R }，则A ∩B ＝____________．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足zi＋4＝3i ，则复数z 的模为____________．3. 一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n 的值为________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知方程x 24－m －y 22＋m＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为__________．5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是__________．6. 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为______________．(第6题)(第7题)7. 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱BB 1的中点，则四棱锥PAA 1C 1C 的体积为____________． 8. 设数列{a n }是首项为1，公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则数列{a n }的公差为__________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f(x)＝x 2＋4x(x ＞0)的图象上任意一点，过M 点向直线y ＝x 和y轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA →·MB →＝____________．10. 若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是____________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为____________．12. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，0≤x ＜4，log 2（x －2）＋2，4≤x ≤6，若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1＜4≤x 2≤6时，f(x 1)＝f(x 2)，则x 1f(x 2)的取值范围是____________．13. 已知函数f(x)＝2x －1＋a ，g(x)＝bf(1－x)，其中a ，b ∈R .若关于x 的不等式f(x)≥g(x)的解的最小值为2，则a 的取值范围是____________．14. 若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，xy的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．16.(本小题满分14分)如图，已知四棱锥PABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 的中点，N 是PC 的中点．(1) 求证：MN ∥平面PAB ；(2) 若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM ⊥AD.17. (本小题满分14分)如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k 为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为43k.设OA＝x，OB＝y.(1) 求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2) 求N－M的最大值及相应的x的值．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．① 若直线l 过椭圆C 的右焦点，记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值；② 若直线l 的斜率为32，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．19. (本小题满分16分)设函数f(x)＝x －2e x －k(x －2lnx)(k 为实常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1) 当k ＝1时，求函数f(x)的最小值；(2) 若函数f(x)在区间(0，4)内存在三个极值点，求k 的取值范围．20. (本小题满分16分)已知首项为1的正项数列{a n }满足a 2n ＋1＋a 2n＜52a n ＋1a n ，n ∈N *. (1) 若a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，求x 的取值范围；(2) 设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }前n 项的和．若12S n ＜S n ＋1＜2S n ，n ∈N *，求q 的取值范围；(3) 若a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k 的公差．1. (1，3) 解析：A ∩B ＝{x|1＜x ＜3，x ∈R }．本题考查了集合的交集的概念．本题属于容易题．2. 5 解析：z ＝－3－4i ，则复数z 的模为5. 本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 320 解析：由题意知40n ＝18，则n ＝320.本题考查了频数和频率的概念及计算公式．本题属于容易题．4. (－2，4) 解析：本题考查双曲线的标准方程的基础知识与一元二次不等式的解法．本题属于容易题．5. 25解析：在周一至周五的五天中随机选择2天共有10种情况，选择的2天恰好为连续2天的情况共有4种，则所求的概率为25.本题考查用列举法求古典概型的概率．本题属于容易题．6. 6 解析：由题设可知，循环体执行3次，第一次x 值为4，第二次x 值为5，第三次x 值为6，符合题意．本题考查了算法语句的基本概念．本题属于容易题．7. 13 解析：四棱锥PAA 1C 1C 的体积为13×22×2＝13.本题考查四棱锥的体积求法，棱长与体积的关系．本题属于容易题．8. 2 解析：S 1＝1，S 2＝2＋d ，S 4＝4＋6d 成等比数列，得(2＋d)2＝4＋6d ，d 不为零，得d ＝2.本题考查了等比数列前n 项和公式，考查了方程的思想．本题属于容易题．9. －2 解析：设M(x 0，y 0)，可求得A ⎝⎛⎭⎫x 0＋y 02，x 0＋y 02，B(0，y 0)，MA →＝⎝⎛⎭⎫－x 0＋y 02，x 0－y 02，MB →＝(－x 0，0)，MA →·MB →＝x 20－x 0y 02，而M(x 0，y 0)在f(x)＝x 2＋4x上，则x 0y 0＝x 20＋4，x 20－x 0y 0＝－4，则MA →·MB →＝－2. 本题考查了向量数量积的坐标运算、直线垂直和交点求法．本题属于中等题．10. (2，＋∞) 解析：设钝角三角形三内角C ，B ，A 成等差数列，则2B ＝A ＋C.因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.设钝角三角形的三内角为60°－α，60°，60°＋α，则90°＜60°＋α＜120°，即30°＜α＜60°，设60°＋α对应a 边，60°－α对应b 边，由正弦定理，得a b ＝sin （60°＋α）sin （60°－α）＝sin60°cos α＋cos60°sin αsin60°cos α－cos60°sin α＝m(分子分母同时除以cos α≠0)，∴ tan α＝3（m －1）m ＋1.∵ 30°＜α＜60°，∴33＜tan α＜3，∴ m ＞2，故m 的取值范围为(2，＋∞)．本题考查了等差中项的概念，正弦定理以及和差角公式，弦切互化．本题属于中等题．11. 364解析：∵ 圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，整理，得其标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴ 圆C 1的圆心坐标为(3，0)；设直线l 的方程为y ＝kx ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立(x －3)2＋y 2＝4，y ＝kx ，消去y 可得(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0，由题知x 1＝12x 2, y 1＝12y 2，由韦达定理化简可得k 2＝35，即k ＝±155，直线l 的方程为y ＝±155x ，由点到直线的距离公式知，所求的距离为364.本题考查了圆的标准方程，直线与圆，点到直线的距离公式．本题属于中等题．12. ⎣⎡⎦⎤3，25627 解析：函数f(x)的图象如图所示，因为存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1＜4≤x 2≤6，f(x 1)＝f(x 2)，所以1≤x 1≤3，故x 1f(x 2)＝x 1f(x 1)＝－x 31＋4x 21.令g(x 1)＝－x 31＋4x 21，x 1∈[1，3]，则g′(x 1)＝－3x 21＋8x 1.由g′(x 1)>0得x 1∈⎝⎛⎭⎫1，83，由g′(x 1)<0得x 1∈⎝⎛⎭⎫83，3，所以g(x 1)min ＝g(1)＝3，g(x 1)max ＝g ⎝⎛⎭⎫83＝25627.所以x 1f(x 2)的取值范围是⎣⎡⎦⎤3，25627.本题考查函数图象，以及导数在求最值中的运用．本题属于难题．13. (－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析：因为f(x)＝2x －1＋a ，所以g(x)＝bf(1－x)＝b(2－x ＋a)，由f(x)≥g(x)得，2x －1＋a ≥b(2－x ＋a)，所以22x ＋2a(1－b)2x －2b ≥0.令2x ＝t ，则t 2＋2a(1－b)t －2b ≥0.令h(t)＝t 2＋2a(1－b)t －2b ，因为f(x)≥g(x)的解的最小值为2，所以h(t)≥0的解的最小值为4，故⎩⎪⎨⎪⎧h （0）≤0，h （4）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ≤0，16＋8a （1－b ）－2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≥0，4a （1－b ）＝b －8， ① 当b ＝1时，显然不成立；② 当b ≠1时，4a ＝b －81－b ＝－1－71－b，因为b ≥0且b ≠1，所以4a ≤－8或4a ＞－1，即a ∈(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－14，＋∞.本题主要考查指数函数、二次函数的最值与不等式等内容综合运用．本题属于难题．14. 2 解析：(解法1)因为实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，所以(x ＋2y)2＋4x 2y 2－8xy ＝4，即(x ＋2y)2＋4(xy －1)2＝8，所以(x ＋2y)2＝8－4(xy －1)2，所以当(xy －1)2＝0时，即xy ＝1时，x ＋2y 取得最大值，此时x＝2，y ＝22，所以xy＝2.(解法2)因为实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，所以(x －2y)2＋4x 2y 2＝4，令x －2y ＝2cos θ，xy ＝sin θ，则(x ＋2y)2＝(x －2y)2＋8xy ＝4cos 2θ＋8sin θ，所以(x ＋2y)2＝－4sin 2θ＋8sin θ＋4，所以当sin θ＝1时，(x ＋2y)2取得最大值，此时xy ＝1，x －2y ＝0，所以xy＝2.本题考查了代数式的变形，方程的综合运用．本题属于难题．15. 解：(1) 由题意知f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos(2x ＋π3)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，(4分)所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(6分)当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f(x)单调递增，解得x ∈⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )．(8分)(2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3.(10分)当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f(x)取得最大值2；(12分)当2x ＋2π3＝4π3，即x ＝π3时，f(x)取得最小值－ 3.(14分)16. 证明：(1) 取PB 中点E ，连结EA ，EN ，在△PBC 中，EN ∥BC 且EN ＝12BC ，又AM ＝12AD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，(3分)∴ EN ∥AM 且EN ＝AM ，四边形ENMA 是平行四边形，(5分) ∴ MN ∥AE.∵ MN ⊄ 平面PAB ，AE ⊂平面PAB ， ∴ MN ∥平面PAB.(7分)(2) 过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，∵ 平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC ∩平面PAD ＝PM ，AH ⊥PM ，AH ⊂平面PAD ， ∴ AH ⊥平面PMC.∵ CM ⊂平面PMC ，∴ AH ⊥CM.(10分) ∵ PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥CM.(12分)∵ PA ∩AH ＝A ，PA ，AH ⊂平面PAD ， ∴ CM ⊥平面PAD.∵ AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥AD.(14分)17. 解：(1) 因为OA ＝x ，OB ＝y ，AB ＝y ＋1，由余弦定理，x 2＋y 2－2xycos120°＝(y ＋1)2，解得y ＝x 2－12－x，(3分)由x ＞0，y ＞0得1＜x ＜2.又x ＞y ，得x ＞x 2－12－x，解得1＜x ＜1＋32，(6分)所以OA 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋32.(7分)(2) M ＝kOB ＝ky ，N ＝43k ·S △AOC ＝3kx ，则N －M ＝k(3x －y)＝k ⎝⎛⎭⎪⎫3x －x 2－12－x ，(8分) 设2－x ＝t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，1，则N －M ＝k ⎣⎡⎦⎤3（2－t ）－（2－t ）2－1t＝k ⎣⎡⎦⎤10－⎝⎛⎭⎫4t ＋3t ≤k ⎝⎛⎭⎫10－24t·3t ＝(10－43)k.(11分)当且仅当4t ＝3t 即t ＝32∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，1取等号，此时x ＝2－32，(13分) 所以当x ＝2－32时，N －M 的最大值是(10－43)k.(14分)18. 解：(1) 由题意知1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2a ＝12，解得a 2＝4，b 2＝3.(2分)所以椭圆C ：x 24＋y 23＝1.(3分)(2) ① 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，化简得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 易知Δ＞0，(5分)所以y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，所以k AP ·k BP ＝y 1－32x 1－1·y 2－32x 2－1＝y 1－32my 1·y 2－32my 2＝1m 2·y 1y 2－32（y 1＋y 2）＋94y 1y 2＝－1m －34，(7分)所以t ＝k AB ·k AP ·k BP ＝－1m 2－34m ＝－⎝⎛⎭⎫1m ＋382＋964，(9分)所以当m ＝－83时，t 有最大值964.(10分)② 设直线l 的方程为y ＝32x ＋n ，直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，⎩⎨⎧y ＝32x ＋n ，x 24＋y 23＝1，得3x 2＋23nx ＋2n 2－6＝0，Δ＝(23n)2－4×3(2n 2－6)＞0，即－6＜n ＜ 6.x 1＋x 2＝－23n3，x 1x 2＝2n 2－63，(12分)OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 22)＝x 21＋x 22＋⎝⎛⎭⎫32x 1＋n 2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋n 2＝74(x 21＋x 22)＋3n(x 1＋x 2)＋2n 2 ＝74(x 1＋x 2)2－72x 1x 2＋3n(x 1＋x 2)＋2n 2(14分) ＝74⎝⎛⎭⎫－233n 2－72·2n 2－63＋3n ⎝⎛⎭⎫－233n ＋2n 2 ＝7.(16分)19. 解：(1) 由函数f(x)＝e xx 2－(x －2lnx)(x ＞0)，可得f′(x)＝（x －2）（e x－x 2）x 3.(2分)因为当x ＞0时，e x ＞x 2.理由如下：要使x ＞0时，e x ＞x 2，只要x ＞2lnx ，设φ(x)＝x －2lnx ，φ′(x)＝1－2x ＝x －2x，于是当0＜x ＜2时，φ′(x)＜0；当x ＞2时，φ′(x)＞0.即φ(x)＝x －2lnx 在x ＝2处取得最小值φ(2)＝2－2ln2＞0，即x ＞0时，x ＞2lnx ， 所以e x －x 2＞0.(5分)于是当0＜x ＜2时，f ′(x)＜0；当x ＞2时，f ′(x)＞0.所以函数f(x)在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．(6分)所以f(x)在x ＝2处取得最小值f(2)＝e 24－2＋2ln2.(7分)(2) 因为f′(x)＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝⎛⎭⎫e x x 2－k x， 当k ≤0时，e xx2－k ＞0，所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k ＞0.(8分)又f′(x)＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝⎛⎭⎫e x x 2－k x， 令g(x)＝e xx 2，得g′(x)＝e x ·（x －2）x 3，易知g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，则g(x)在x ＝2处取得极小值，得g(2)＝e 24，且g(4)＝e 416.(10分)于是可得y ＝k 与g(x)＝e x x 2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k ∈⎝⎛⎭⎫e 24，e 416.(12分)设y ＝k 与g(x)＝ex x2在(0，4)内有两个不同交点的横坐标分别为x 1，x 2，则有0＜x 1＜2＜x 2＜4，下面列表分析导函数f ′(x)及原函数f(x)：11在(2，x 2)上单调递减，在(x 2，4)上单调递增， 所以f(x)在区间(0，4)上存在三个极值点．(15分)即函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点的k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e 24，e 416.(16分) 20. 解：(1) 由题意得12a n ＜a n ＋1＜2a n ，(2分)∴ 34＜x ＜3，x2＜4＜2x ，解得x ∈(2，3)．(4分) (2) 由题意，∵ 12a n ＜a n ＋1＜2a n ，且数列{a n }是等比数列，a 1＝1，∴ 12q n －1＜q n ＜2q n －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧q n －1⎝⎛⎭⎫q －12＞0，q n －1（q －2）＜0，∴ q ∈⎝⎛⎭⎫12，2.(6分) ∵ 12S n ＜S n ＋1＜2S n ，而当q ＝1时，S 2＝2S 1不满足题意．(7分) 当q ≠1时，12·1－q n 1－q ＜1－qn ＋11－q ＜2·1－q n 1－q，∴ ① 当q ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）＞－1，q n （2q －1）＜1，⎩⎪⎨⎪⎧q 1（q －2）＞－1，q 1（2q －1）＜1，解得q ∈⎝⎛⎭⎫12，1；(9分) ② 当q ∈(1，2)时，⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）＜－1，q n （2q －1）＞1，⎩⎪⎨⎪⎧q 1（q －2）＜－1，q 1（2q －1）＞1，无解．∴ q ∈⎝⎛⎭⎫12，1.(11分) (3) ∵ 12a n ＜a n ＋1＜2a n ，且数列a 1，a 2，…，a k 成等差数列，a 1＝1，∴ 12[1＋(n －1)d]＜1＋nd ＜2[1＋(n －1)d]，n ＝1，2，…，k －1. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧d （n ＋1）＞－1，d （2－n ）＜1，∴ d ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1.(13分) ∵ a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，∴ S k ＝d 2k 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2k ＝d2k 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2k ＝120， ∴ d ＝240－2k k 2－k ，∴ 240－2k k 2－k ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1，解得k ∈(15，239)，k ∈N *，∴ k 的最小值为16，此时公差为d ＝1315.(16分)。
学 苏锡常镇四市高三教学情况调研 数学试题
2015-2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ 2016.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
1. 已知集合}3{R x x x A ∈<=，丨，}1{R x x x B ∈>=，丨，则=B A I .2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足i i z 34=+，则复数z 的模为 .3.一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n 的值为 . 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知方程12422=+--my m x 表示双曲线，则实数m 的取值范围为 .5. 为强化安全意识，某校模拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是 .6. 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为 .7.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是棱1BB 的中点，则四棱锥C C AA P 11-的体积为 .8. 设数列}{n a 是首项为1，公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则数列}{n a 的公差为 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数xx x f 4)(2+=)0(>x 的图像上的任意一点，过M 点向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则=⋅MB MA .10. 若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是 .11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆056:22=+-+x y x C 相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为 . 12. 已知函数⎩⎨⎧≤≤+-<≤+-=，，，，642)2(log 404)(22x x x x x x f 若存在R x x ∈21，，当64021≤≤<≤x x 时，)()(21x f x f =，则)(21x f x 的取值范围是 .13. 已知函数a x f x +=-12)(，)1()(x bf x g -=，其中R b a ∈，，若关于x 的不等式)()(x g x f ≥的解的最小值为2，则a 的取值范围是 .14. 若实数y x ，满足44442222=++-y x y xy x ，则当y x 2+取得最大值时，yx 的值为 . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15.（本小题满分14分） 已知函数)62sin(3)32sin()(ππ--+=x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）当]36[ππ，-∈x 时，试求)(x f 的最值，并写出取得最值时自变量x 的值. 16.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，ABCD PA 平面⊥,M 是AD 的中点，N是PC 的中点.（1）求证：PAB MN 平面∥；（2）若PAD PAB 平面平面⊥，求证AD CM ⊥.17.（本小题满分14分）如图是某设计师设计的Y 型饰品的平面图，其中支架OC OB OA ，，两两成︒120，1=OC ，OC OB AB +=，且OB OA >.现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M ，且M 与OB 长成正比，比例系数k （k 为正常数）；在AOC △区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N ，且N 与AOC △的面积成正比，比例系数为k 34.设x OA =，y OB =.（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）求M N -的最大值及相应的x 的值.18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)231(，P ，离心率为21. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.①若直线l 过椭圆C 的右焦点，记ABP △三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值； ②若直线l 的斜率为23，试探究22OB OA +是否为定值，若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由.19.（本小题满分16分）设函数)71828.2)(ln 2()(2是自然对数的底数为实常数，Λ=--=-e k x x k e x x f x .（1）当1=k 时，求函数)(x f 的最小值；（2）若函数)(x f 在区间)4 0(，内存在三个极值点，求k 的取值范围.20.（本小题满分16分）已知首项为1的正项数列}{n a 满足n n n n a a a a 122125++<+，*N n ∈.（1）若232=a ，x a =3，44=a ，求x 的取值范围； （2）设数列}{n a 是公比为q 的等比数列，n S 为数列}{n a 前n 项的和.若n n n S S S 2211<<+，求q 的取值范围； （3）若）（，，，321≥k a a a k Λ成等差数列，且12021=k a a a ，，，Λ，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列k a a a ，，，Λ21的公差.数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.A.选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 与圆O 相切于点B ，直线AO 交圆O 于D ，E 两点，DE BC ⊥，垂足为C ，且DC AD 3=，2=BC ，求圆O 的直径.B.选修4—2：矩阵与变换设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001M ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=10021N ，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下得到的曲线方程. C.选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(23,213为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρsin 32=.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标.D.选修4—5：不等式选讲 已知函数63)(+=x x f ，x x g -=14)(，若存在实数x 使a x g x f >+)()(成立，求实数a 的取值范围.【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分.22.（本小题满分10分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，221===AD AB AA ，E 为AB 中点，F为E D 1上的一点，FE F D 21=.（1）证明：平面⊥DFC 平面EC D 1；（2）求二面角C DF A --的大小.23.（本小题满分10分）在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如右图所示.（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为5:4:3?若存在，试求出是第几行，若不存在，请说明理由；（2）已知n ，r 为正整数，且3+≥r n .求证：任何四个相邻的组合数r n C ，1+r n C ，2+r n C ，3+r n C 不能构成等差数列.。
【解析版】2014～2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)DOC
2014～2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)生物本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分共120分，考试时间为100分钟。
第Ⅰ卷(选择题55分)一、单项选择题(本部分包括20题，每题2分，共计40分。
每题只有—个选项最符合题意。
)1. 下列有关不同细胞生命活动的叙述中，正确的是()A. 神经细胞、精细胞、根尖分生区细胞都有细胞周期B. 蓝藻细胞通过片层膜上的色素吸收光能进行光合作用C. 神经细胞在静息电位状态不进行葡萄糖的跨膜运输D. 形成层细胞中的DNA聚合酶通过协助扩散进入细胞核2. 下列关于细胞中化合物的叙述正确的是()A. 酶、激素、神经递质等都是微量高效物质，作用后即被分解B. 蛋白质遇高温变性时，肽键断裂空间结构破坏C. 磷脂既可以构成细胞膜又是细胞内良好的储能物质D. A TP、脱氧核苷酸共有的组成元素是C、H、O、N、P3. 右图表示人体细胞内某些代谢过程，下列叙述错误的是()A. ①过程发生在核糖体中，缩合产生的水中的氢只来自于氨基B. ②过程需要氧，发生场所是线粒体C. ③过程中产生ATP，在缺氧条件下能够进行D. ④过程发生在细胞质基质中，B物质是丙酮酸4. 下图表示CFTR蛋白在氯离子跨膜运输过程中的作用机理。
据图分析，下列有关叙述错误的是()A. 氯离子在CFTR蛋白协助下通过主动运输转运B. 氯离子跨膜运输是由膜上磷脂分子和CFTR蛋白决定的C. 编码CFTR蛋白的基因发生突变可能会影响氯离子的跨膜运输D. 水分子与氯离子在运输过程中的耗能差异是两者跨膜运输重要区别之一5. 下列关于人体细胞生命历程的叙述中，错误的是()A. 正常细胞中的一个基因发生多次突变是诱发细胞癌变的根本原因B. 被病原体感染的细胞清除是通过细胞凋亡来实现的C. 神经元保持的细胞形态体现了细胞分化状态的稳定性D. 造血干细胞和成骨细胞都以有丝分裂的方式进行细胞增殖6. 右图是显微镜观察根尖细胞有丝分裂过程中的一个视野，有关叙述错误．．的是()A. 若要看清分裂期的细胞，应先将装片右移B. 一般情况下，一个视野里难以找全细胞周期中各时期的细胞C. 给装片滴加0.3 g/mL的蔗糖溶液，可观察到质壁分离现象D. 该视野中有的细胞具有中央大液泡7. 下列有关正常人体内环境稳态的叙述中，正确的是()A. 无氧呼吸产生的乳酸释放到血浆中，血浆的pH值明显下降B. 胰高血糖素分泌增加时，血糖浓度总是高于正常水平C. 食物和饮水中缺碘时，血浆中促甲状腺激素的含量升高D. 大量流汗时，通过减少抗利尿激素的分泌调节水盐平衡8. 下列有关生物体内信息分子作用部位的叙述中，正确的是()A. 小肠黏膜产生促胰液素，通过体液的传送可作用于胰岛细胞B. 突触前膜释放神经递质，可以作用于肌肉和某些腺体C. 下丘脑产生的激素可作用于甲状腺，后者分泌的激素也可作用于下丘脑D. 胚芽鞘尖端产生的生长素，主要作用于尖端，也可作用于尖端下部细胞9. 右图表示某种类型的群落演替示意图，相关叙述正确的是()A. 该群落的演替属于次生演替，在自然条件下演替速度不随时间而变化B. 演替的方向和速度主要与气候、土壤等条件有关，与人类活动无关C. 从灌木阶段到森林阶段的演替过程中，乔木层完全取代了灌木层D. 在草本群落中既有垂直结构，也有水平结构10. 下列有关科学家及相关实验的叙述中，正确的是()A. 摩尔根通过假说—演绎法证明了果蝇白眼基因位于X染色体上B. 格里菲斯以小鼠和肺炎双球菌为材料证明了DNA是遗传物质C. 拜尔用燕麦胚芽鞘做实验，证明了生长素分布不均是弯曲生长的原因D. 蔡斯用含32P的噬菌体侵染细菌较长时间后离心，放射性主要集中在沉淀物中11. 下图是正常人体内糖代谢及调节示意图，相关叙述正确的是()A. 过程①、④分别是血糖上升和下降的主要原因B. 胰岛B细胞分泌的激素抑制①、②、③过程C. 胰岛A细胞分泌的激素可抑制④、⑤、⑥等过程D. 胰高血糖素和肾上腺素可促进肝脏、肌肉细胞进行②过程12. 下列关于双链DNA分子结构的叙述，正确的是()A. 某DNA分子有胸腺嘧啶312个，占总碱基比为26%，则该DNA上有鸟嘌呤288个B. 若质粒含有2 000个碱基，则该分子同时含有2个游离的磷酸基团C. 某DNA分子含有500个碱基，可能的排列方式有4500种D. 某DNA分子内胞嘧啶占25%，则每条单链上的胞嘧啶占25%～50%13. 下列图中，图甲示燕麦胚芽鞘的向光性实验，图乙示水平放置于地面的幼苗根与茎的生长情况；图丙示生长素浓度与根(或芽、茎)生长的关系。
江苏省四市2015届高三第一次调研考试（一模）数学试题及答案
徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则AB 中元素的个数为_______．2．设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______．3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为_______．5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_____．6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为______. 7. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f +的值为_____. 8. 在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______. 9. 若实数,x y 满足40x y +-³，则226210z x y x y =++-+的最小值为_____. 10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线2AB 与直线1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______. 11．将函数2sin()(0)4y x pw w =->的图象分别向左、向右各平移4p个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则w 的最小值为______．12．己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a +3b 的最小值为________. 13．已知函数22,0,()2,0x x f x x x x +ì-³ï=í<ïî，则不等式(())3f f x £的解集为______. 14．在△ABC 中，己知中，己知 3,45AC A =Ð=，点D 满足满足 2CD BD =，且，且 13AD =，则BC 的长为_______ ．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）分） 己知向量(1,(1,2sin 2sin ),(sin(),1)3a b p q q ==+，R q Î．(1)若a b ^，求tan q 的值：的值：(2)若//a b ，且(0,)2p qÎ，求q 的值．的值．16．（本小题满分14分）分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ^平面ABC ． (1)若AB ^BC ，CD ^PB ，求证：CP ^P A ：(2)若过点A 作直线上平面ABC ，求证：，求证： //平面PBC ．17.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，己知点(3,4),(9,0)A B -，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC =BD . （1）若AC =4，求直线CD 的方程; （2）证明：D OCD 的外接圈恒过定点(异于原点O ). 18.(本小题满分16分) 如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ，AD 为4 4 km.km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t (单位:km)，△BEF 的面积为S (单位: 2km ). (I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域; (2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过32km ?并说明理由. 19.(本小题满分16分) 在数列{}na中，已知12211,2,nn n a a aaa n N l *++==+=+Î，l 为常数. (1)证明: 14,5,a a a 成等差数列; (2)设22n na a n c +-=，求数列，求数列 的前n 项和项和 n S ；（3）当0l ¹时，数列数列 {}1n a -中是否存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由. 20.(本小题满分16分) 己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+Î(1)若(1)0f =，求函数，求函数 ()f x 的单调递减区间; (2)若关于x 的不等式()1f x ax £-恒成立，求整数恒成立，求整数 a 的最小值: (3)若 2a =-，正实数，正实数 12,x x 满足满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明: 12512x x -+³附加题部分21.【选做题】本题包括A, B, C, D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分) 如图，O 是△ABC 的外接圆，AB = A C AC ，延长BC 到点D ，使得CD = AC ，连结AD 交O 于点E .求证:BE 平分ÐABC .B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分) 已知,a b R Î，矩阵1 3a A b -éù=êúëû所对应的变换A T 将直线将直线 10x y --=变换为自身，求a ,b 的值。
2015-2016学年度苏锡常镇四市高三二模数学试卷
2015-2016学年度苏锡常镇四市高三二模数学试卷2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl p ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，…，nx 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中x =11ni i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UA B =U ð ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将开n ←x ←输Nn ≤Ycm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 ▲ ． 5．若双曲线221x my +=过点()22-，则该双曲线的虚轴长为▲ ． 6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等于 ▲ ．8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ． 9．若直线340x y m +-=与圆222440xy x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12SS的值为 ▲ ． 11．已知函数3()2f x xx=+，若1(1)(log3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a的取值范围是 ▲ ．12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若19m S-=-，0mS=，其中3m >，且*m ∈N ，则na =▲ ． 13．已知函数2()f x x xa=-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a的取值范围是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r≥对任意实数a b c d，，，都成立，则实数m 的最大值是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值；（2）若3c =△ABC 的面积15S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，12AA =，（第C B 1A 1PD CBAD是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =， 求证：AP ⊥平面1ACD ．17．（本小题满分14分）某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a b x =-（a ，b 为实常数）． （1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒（1）若椭圆C 6C 的方程； （2）若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P在第二象限，直线2PF交y轴于点Q﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F的位置关系，并说明理由﹒19．（本小题满分16分）已知数列{}na 的前n 项和为nS ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nnnab = ()n *∈N ﹒ （1）若3λ=，求数列{}nb 的通项公式； （2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}nc 是等比数列；（3）若对任意的正整数n ，都有3nb ≤，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数2()exf x a x bx=⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=L 是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围；（2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）命题单位：常州市教育科学研究院 2016．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4 —1：几何证明选讲 已知△ABC 内接于O e ，BE 是O e 的直径，AD是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A ，B ，C ，D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22，DEOBCA（第21-A题）B．选修4—2：矩阵与变换已知变换T把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T对应的矩阵M．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(12)M，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos=﹒若直线l与圆C相交于A B，两点，求MA MB Cρθ⋅的值．D．选修4—5：不等式选讲设x为实数，求证：()()2242≤﹒++++131x x x x【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．23．（本小题满分10分）设实数12na a a L ，，，满足120na a a +++=L ，且12||||||1na a a +++L ≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n =∈N ．求证：1211||22nb b b n+++-L ≤(*)n ∈N ．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{125}，， 2．1- 3．65 4．12 5．4 6．()()0,11,2U 7．1 8．17- 9． [010]， 10．32．()()0,13,+∞U 12．312n - 13．(1,5)- 14．51二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（1）∵∥m n，∴cos (4)cos c B a b C =-， (2)分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-， 化简，得sin()4sin cos B C A C+=﹒ …………4分∵A B C ++=p ，∴sin sin()A B C =+﹒又∵()0,A ∈p ，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分 （2）∵()0,C ∈p ， 1cos 4C =，∴2115sin 1cos 116C C =--．∵115sin 2S ab C ==，∴2ab =﹒① …………9分∵3c =22132a b ab =+-， ∴224a b +=，②…………12分 由①②，得42440a a -+=，从而22a=，2a =±（舍负），所以2b ，∴2a b =．…………14分16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C是矩形，∴O是1AC 的中点． …………2分 在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥．…………4分又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，∴1BC ∥平面1ACD ． …………6分（2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC，∴CD ⊥平面11AA B B﹒ …………8分 ∵AP ⊂平面11A B BA，∴CD AP⊥． …………9分∵12BB BA =，11BB AA = ，114BP BB =， ∴12BPAD BAAA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ，从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP=90︒，∴1AP A D⊥．…………12分又∵1CD A D D=I ，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD∴AP ⊥平面1ACD ．…………14分 17．解：（1）当20180x ≤≤时，由20601800a b a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，得9035a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，．…………2分故1260,020,1()9035,20180,0,180x x q x x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ …………4分（2）设总利润()()f x x q x =⋅， 由（1）得126000020,1()90003005201800180xx x f x x x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， …………6分当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增，所以当20x =时，()f x 有最大值120000． …………8分当20180x <≤时，()90003005f x x x x-＝()90005f x x'-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分 当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b +=，即0ax by ab +-=﹒由题设，得22ab aba b=+，化简，得221a b +=﹒① …………2分（1）∵6c e a ==22223a b a -=，即223ab =﹒②由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C的方程为224413x y +=﹒ …………6分 （2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+， 由222211x y ab y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分 则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k--=，所以，22211b k a-== ， ∵点P在第二象限，∴1k =﹒ …………10分把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--，令x =，得22b c y a c=+，所以点22(0,)+b c Q a c﹒ …………12分从而221=(,)F P a c b -+u u u r，212=(,)+b c FQ c a cu u u r ， …………13分从而42112()+b c F P FQ c a c a c⋅=-++u u u r u u u r22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==，又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=u u u r u u u r﹒ …………15分所以点1F 在以PQ为直径的圆上﹒ …………16分 19．解：∵113n n n SS λ++=+，n *∈N ，∴当2n ≥时，-13nnn SS λ=+，从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n SS λ++=+中，令1n =，可得12123aa λ=+⋅，满足上式，所以123nn n a a λ+=+⋅，n *∈N﹒ …………2分（1）当3λ=时， 1323nn na a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n na a ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}nb 是首项为1，公差为23的等差数列，所以213n n b +=．…………4分（2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n nn n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯--11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}nc 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列，13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分（3）在（2）中，若1λ=，则0nc =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n nc λλλ--=⋅-． 从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．…………9分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分当3λ≠时，112()333n nb λλλλ--=⨯---． 若3λ>时， 103λλ->-，1nn bb +<，n *∈N ，[1,)nb ∈+∞，不符合，舍去． …………11分若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1nn bb +>，n *∈N ，且0nb>．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分 若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1nn b b +<，n *∈N ， 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3nb ≤成立，只须233λ--≤即可．于是713λ<≤．…………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分 20．解：（1）当1a =-时，2()exf x x bx=-+-，∴()e2xf x x b'=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R恒成立﹒ …………1分由e20xx b -+-≤，得e2xb x+≥-，令()e2xF x x=+-，则()e2xF x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减，从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-， 所以2ln 22b -≥．…………3分（2）当0b =时，2()e xf x a x =+，由题意2e 0xa x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()e x xG x =，则(2)()e xx x G x -'=，令()0G x '=，得x =或2x =． …………5分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24e a <-，所以当0a =或24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分 （3）2()e2xf x a x x=+-，()e22xf x a x '=+-，假设存在，则有0()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-，00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )ex mx m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e e x m x m x m+-=-，不妨设00t x m =->，则2e e et t m m m t++-=﹒ 两边同除以em，得2e 1e t t t-=，即2e e 1t t t =-， …………12分令2()e e 1t tg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt tg t '=-+=--， 令2()e 12t th t =--，则22111()e (e 1)0222t t h t '=-=->， ∴()h t 在(0)+∞，上单调递增， 又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立，∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =， ∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ． ∵BE是Oe 的直径，∴90BAE ∠=︒． (2)分 ∴BAE ADC∠=∠．…………4分 又∵BEA ACD ∠=∠， ∴△BEA∽△ACD． …………7分∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD⋅=⋅． …………10分B ．选修4—2：矩阵与变换 解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，，…………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩.…………9分 即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ．…………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：直线l 的参数方程为112(32x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，为参数)， …………2分 圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程，得22(31)10t t +--=， …………6分设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分∴12==1MA MB t t ⋅⋅．…………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222xx x --+ …………2分=3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++…………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，…………8分所以，原不等式成立． …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分（2）由题意，得=0123，，，X ， 044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ，22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分X的分布列为………10分 23．证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤， ∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分（2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当12k a aa +++=L ，且12||||||1ka a a +++L ≤时，有1211||22k b b b k+++-L ≤．…………3分则当1n k =+时，由1210kk a a aa +++++=L ，且121||||||1k a a a++++L ≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++L L ≤≤，∴11||2k a +≤，…………5分又∵1211()0k k k a aa a a -++++++=L ，且1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++L L ≤≤，∴X 0123P8125627642712813256由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++-L ≤， …………7分 ∴1121121|||1k k kk k a a b b b bb b b k k ++-++++=++++++L L1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++L -)|≤-111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-，即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分。
江苏地区常州市2015年度高三第一学期期末调研检验数学试卷
常州市2015届高三第一学期期末调研测试 数学Ⅰ试题 2015年2月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 设集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2,3B =，则AB = _____________．2． 设复数3i1i m z m +=+（0m >，i 为虚数单位），若z z =，则m 的值为 ________．3． 已知双曲线2241ax y -=a 的值为 ___________． 4． 函数()22()log 6f x x =-的定义域为 _____________．5． 函数()cos sin 222x x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期为 _____________．6． 右图是一个算法流程图，则输出的a 的值是 _____________．7． 现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 _____________．8． 若实数,x y 满足约束条件22,1,1,x y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为 _____________．9． 曲线cos y x x =-在点22⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为 _____________．10．已知函数()22x f x =-()()1,2x ∈-，则函数(1)y f x =-的值域为 _____________．11．已知向量()1,1=a ，()1,1=-b ，设向量c 满足()()230-⋅-=a c b c ，则c 的最大值为 __________．12．设等比数列{}n a 的公比为q （01q <<），前n 项和为n S ，若1344a a a =，且6a 与434a 的等差中项为5a ，则6S = _____________．13．若不等式22()2cx y x x y --≤对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 _____．（第6题）14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1O ，圆2O 均与x 轴相切且圆心1O ，2O 与原点O 共线，1O ，2O 两点的横坐标之积为6，设圆1O 与圆2O 相交于P ，Q 两点，直线l ：280x y --=，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为 __________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知b c ，3A C +=． （1）求cos C 的值；（2）求sin B 的值；（3）若b =ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面 ABCD ， PB =PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M分别是BD ，PC 的中点，连结OM ．求证： （1）OM ∥平面PAD ； （2）OM ⊥平面PCD ．D17．（本小题满分14分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m为S（m2）．宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（m），三块种植植物的矩形区域的总面积．．．（1）求S关于x的函数关系式；（2）求S的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，直线:10()l x my m --=∈R 过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点5(,0)2D ，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线1l ，设直线1l 与直线BD 交于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线2l ，使得点P 恒在直线2l 上？若存在，请求出直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a （*N n ∈，146n ≤≤）满足1a a =， 1,115,1,1630,1,3145,n n d n a a n n d+⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤其中0d ≠，*N n ∈．（1）当1a =时，求46a 关于d 的表达式，并求46a 的取值范围； （2）设集合{|,,,,116}i j k M b b a a a i j k i j k *==++∈<<N ≤≤．①若13a =，14d =，求证：2M ∈；②是否存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ？若存在，请求出实数a ，d ；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分） 已知a b ，为实数，函数1()f x b x a=++，函数()ln g x x =． （1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题） 2015年2月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一 点，PC 是APB ∠的平分线，E 是下半圆的中点.求证：直线PC 经过点E .B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 满足：i i i =M αα，其中(1,2)i i =是互不相等的实常数，(1,2)i i =α是非零的平面列向量，11=，211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵M .（第21-A 题）CC．选修4—4：坐标系与参数方程已知两个动点P，Q分别在两条直线1:l y x=和2:l y x=-上运动，且它们的横坐标分别为角的正弦，余弦，[0,π]∈.记OM OP OQ=+，求动点M的轨迹的普通方程.D．选修4—5：不等式选讲已知0,0a b>>，证明：222222()(1)9a b ab ab a b a b++++≥.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,,,A B C D E五种商品有购买意向.已知该网民购买,A B两种商品的概率均为34，购买,C D两种商品的概率均为23，购买E种商品的概率为12.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望.23．（本小题满分10分） 设n 个正数12,,,n a a a 满足12n a a a ≤≤≤（*N n ∈且3n ≥）． （1）当3n =时，证明：233112123312a a a a a a a a a a a a ++++≥； （2）当4n =时，不等式2334124112343412a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++≥也成立，请你将其推广到n （*N n ∈且3n ≥）个正数12,,,n a a a 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．常州市教育学会学生学业水平监测参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．{}0,1 23．8 4．((),6,-∞+∞ 5．2 6．127 7．9108．1 9．202x y --= 10．[)0,2 11 12．63413．4 14二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）因为A B C ++=，3A C +=，所以2B C =． ………………………2分又由正弦定理，得sin sin b c B C =，sin sin b Bc C=， 2sin cos sin C C C =，化简得，cos C =………………………5分（2）因为()0,C ∈，所以sin C ===所以sin sin 22sin cos 2B C C C ====． ………………………8分 （3）因为2B C =，所以211cos cos22cos 12133B C C ==-=⨯-=-． ……………………10分因为A B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin 1()3A B C B C B C +-=++== ………………………12分因为b c =， b =92c =．所以△ABC 的面积119sin 2224S bc A ==⨯=． ………………………14分 16．证明：（1）连结AC ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点． ………………………2分 在△PAC 中，因为O ，M 分别是AC ，PC 的中点，所以OM ∥PA ． ………………………4分 因为OM ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以OM ∥平面PAD ． ………………………6分（2）连结PO ．因为O 是BD 的中点，PB =PD ， 所以PO ⊥BD ．又因为平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD =BD ，PO ⊂平面PBD所以PO ⊥平面ABCD ．从而PO ⊥CD ．……………………8分 又因为CD ⊥PC ，PC PO P =,PC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ．因为OM ⊂平面PAC ，所以CD ⊥OM ． ………………………10分 因为PA ⊥PC ，OM ∥PA ，所以OM ⊥PC ． ………………………12分 又因为CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，CDPC C =,所以OM ⊥平面PCD ． ………………………14分 17．解：（1）由题设，得()9007200822916S x x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭，()8,450x ∈． ………………………6分（2）因为8450x <<，所以72002240x x +=≥， ……………………8分 当且仅当60x =时等号成立． ………………………10分 从而676S ≤． ………………………12分答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m 2 ． ………………………14分18． 解：（1）由题设，得11,2c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12,c a =⎧⎨=⎩，从而2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ………………………4分（2）令0m =，则3(1)2A ，，3(1)2B -，或者3(1)2A -，，3(1)2B ，．当3(1)2A ，，3(1)2B -，时，3(4)2P ，；当3(1)2A -，，3(1)2B ，时，3(4)2P -，，所以，满足题意的定直线2l 只能是4x =． ………………………6分 下面证明点P 恒在直线4x =上．设11()A x y ，，22()B x y ，，由于PA 垂直于y 轴，所以点P 的纵坐标为1y ，从而只要证明1(4)P y ，在直线BD 上． ………………………8分 由2210143x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(43)690m y my ++-=，2144(1)0m =+>，122643m y y m -∴+=+，122943y y m -=+．① ………………………10分 ∵212212122233()002255533341()222222DB DPy y my y y y y k k x my my -----=-=-=--+-- 121222+332y y my y my -=-， ………………………13分 ①式代入上式，得0DB DP k k -=， 所以 =DB DP k k ． ………………………15分 ∴点1(4)P y ，恒在直线BD 上，从而直线1l 、直线BD 与直线2:4l x =三线恒过同一点P ， 所以存在一条定直线2l ：4x =使得点P 恒在直线2l 上． ………………16分 19．解：（1）当1a =时，16115a d =+，311615a d =+，4611615()a d d =++． ………………………2分因为0d ≠，21d d +≥，或21d d-+≤， 所以46(,14][46,)a ∈-∞-+∞． ………………………4分（2）①由题意1134n n a -=+，116n ≤≤，314i j k b ++-=+． ……………6分令3124i j k ++-+=，得7i j k ++=． 因为,,i j k *∈N ，116i j k <<≤≤，所以令1,2,4i j k ===，则2M ∈． ………………………8分②不存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ． ………………………9分假设存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ．(1)n a a n d =+-，∴3(3)b a i j k d =+++-，从而{|3,342,}M b b a md m m Z ==+∈≤≤． ………………………11分因为18，1，5340同时属于M ，所以存在三个不同的整数,,x y z （[],,3,42x y z ∈），使得13,831,533,40a xd a yd a zd ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩ 从而7(),86(),5y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则3548y x z x -=-． ………………………13分 因为35与48互质，且y x -与z x -为整数，所以||35,||48y x z x --≥≥，但||39z x -≤，矛盾．所以不存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ． ………………………16分20．解：（1）1()ln F x x x=+， 21()x F x x-'=，令()0F x '=，得1x =． ………………………1分 列表：所以()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值． ………………………4分 （2）当1a =-时，假设存在实数b 满足条件，则11()()ln 1G x b x x =+-≥在(0,1)(1,)x ∈+∞上恒成立． ………………………5分1）当(0,1)x ∈时， 1()()ln 11G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤， 令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；（*） 则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x-'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x +-'=． ①12b ≤时，因为11(1)1(1)121022b x x +-+-<⨯-=≤， 故()0Q x '<，所以函数()y Q x =在(0,1)x ∈时单调递减，()(1)0Q x Q >=，即()0H x '>，从而函数()y H x =在(0,1)x ∈时单调递增，故()(1)0H x H <=，所以（*） 成立，满足题意； ………………………7分②当12b >时，221[(1)](1)1()b x b x b Q x x x --+-'==， 因为12b >，所以111b -<，记1110,1I b =-（，）（），则当x I ∈时，1(1)0x b-->， 故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在x I ∈时单调递增，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在x I ∈时单调递减，所以()(1)0H x H >=，此时（*）不成立； 所以当(0,1)x ∈，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，12b ≤； ………………9分 2）当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥， 令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；（**） 则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x-'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x +-'=． ①12b ≥时，1(1)1212102b x b +->-⨯-=≥，故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，()(1)0Q x Q >=，即()0H x '>，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，所以()(1)0H x H >=，此时（**）成立；11分 ②当12b <时， ⅰ）若0b ≤，必有()0Q x '<，故函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞上单调递减，所以()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成立； ………………………13分ⅱ）若102b <<，则111b ->，所以当11,1x b∈-（）时， 221[(1)](1)1()0b x b x b Q x x x--+-'==<， 故函数()y Q x =在11,1x b ∈-（）上单调递减，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，所以函数()y H x =在11,1x b∈-（）时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成立； 所以当(1,)x ∈+∞，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，12b ≥； ………………15分 综上所述，当(0,1)(1,)x ∈+∞，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时， 12b =，从而实数b 的取值集合为1{}2． ………………………16分高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明： 连结,,AE EB OE ，则o 90AOE BOE ∠=∠=． ………………………2分 因为APE ∠是圆周角，AOE ∠同弧上的圆心角，所以o 1452APE AOE ∠=∠=． ………………………5分同理可得，o 45BPE ∠=，所以PE 是APB ∠的平分线． ………………………8分 又PC 也是APB ∠的平分线，APB ∠的平分线有且只有一条，所以PC 与PE 重合. 所以直线PC 经过点E . ………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换 解：由题意，1，2是方程2()0a f ab b-==-=-的两根．因为11=，所以1ab =．① ………………………2分又因为222=M αα，所以2011011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而22,.a b =⎧⎨=⎩ ………………………5分所以221ab ==．因为12≠，所以21=-．从而1a b ==-． ………………………8分故矩阵0110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：设(,)M x y ，则sin cos ,sin cos ,x y =+⎧⎨=-⎩………………………2分两式平方相加得222x y +=． ………………………5分又π),4x=+π),4y =-[0,π],∈所以x ⎡∈-⎣，y ⎡∈-⎣. ………………………8分所以动点M 轨迹的普通方程为222x y +=（,x y ⎡∈-⎣）．………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲 证明：因为0,0a b >>所以2230a b ab ab ++>≥， ………………………4分22130ab a b ab ++>≥， ………………………8分 所以222222()(1)9a b ab ab a b a b ++++≥. ………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）记“该网民购买i 种商品”为事件,4,5i A i =，则：5332211()443328P A =⨯⨯⨯⨯=,114223322133221223311()(1)(1)(1)4433244332334423P A C C =⨯⨯⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯=,……………2分 所以该网民至少购买4种商品的概率为 541111()()8324P A P A +=+=.答：该网民至少购买4种商品的概率为1124. ………………………3分（2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,5，332211(0)(1)(1)(1)(1)(1)44332288P ==-⨯-⨯-⨯-⨯-=,11223322122331(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4433233442P C C ==⨯-⨯-⨯-⨯-+⨯-⨯-⨯-⨯-+1332211(1)(1)(1)(1)24433288⨯-⨯-⨯-⨯-=, 3322122331(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4433233442P ==⨯⨯-⨯-⨯-+⨯⨯-⨯-⨯-+11222233133221(1)(1)(1)(1)(1)(1)3344244332C C -⨯⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯ 112233221(1)(1)(1)44332C C +⨯-⨯⨯-⨯-=47288, 1114711(3)1(0,1,2,4,5)128828828838P P ==-==-----=97288, 41(4)()3P P A ===,51(5)()8P P A ===. ………………………8分所以：随机变量的概率分布为：故11147971110012345288288288288383E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………10分 23．解：（1）证明：因为n a （*N n ∈且3n ≥）均为正实数，左—右=132323131212123231312111222222a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123111222222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=0，所以，原不等式231312123123a a a a a a a a a a a a ++++≥成立． ………………………4分 （2）归纳的不等式为：23211112123412n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++++++≥+（*N n ∈且3n ≥）．…5分 记()23211112123412n n n n n n n n a a a a a a a a a a a F a a a a a a a ---=++++-++++，当3n =（*N n ∈）时，由（1）知，不等式成立； 假设当n k =（*N k ∈且3k ≥）时，不等式成立，即 ()232111121234120k k k k k k k k a a a a a a a a a a a F a a a a a a a ---=++++-+++≥+．则当1n k =+时， ()2321111112112134112k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a F a a a a a a a a a ---+++++=+++++-+++++=111111111212k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a F a a a a a a -++-++++---+ …………………………7分 =()11111112111k k k k k k k k a a F a a a a a a a a a -+++⎛⎫⎛⎫+-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ ()21111111101k k k k k k k a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫+-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+=()11111k k k k k k k a a a a a a a a a +++⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭，因为1k k a a +≥，112k k a a a a +≥，111112k k k k k k a a a a a a +++++++=≤， 所以10k F +≥，所以当1n k =+，不等式成立． …………………………9分 综上所述，不等式23211112123412n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++++++≥+（*N n ∈且3n ≥）成立．…10分。