概率论与数理统计PPT课件第一章习题
ABC AB P( ABC ) P( AB) 0
P( ABC ) 0
P(A B C) 1 1 1 0 1 1 0 1
444
88
2
4
5 已知 P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 求下列各事件的
概率：P( A B ), P( AB), P( A B), P( AB )
1 设事件A, B满足 P( AB) P( AB) ，且知
P(A) p,(0 p 1), 求P(B)
解： P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 (P( A) P(B) P( AB)) P( AB) P( A) P(B) 1
P(B) 1 P( A) 1 p
P(A)=P(B)=P(C)<1/2 ， 且 已 知 P(ABC)=9/16, 求P(A)
解：P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
P( A) P(B) P(C)
P( A)P(B) P(B)P(C) P( A)P(C)
P( A) P(B) P(C) 1
解： 因为事件AB发生, 则事件C一定发生。
AB C 即：P( AB) P(C) P( A) P(B) P(C) P( A) P(B) P( AB)
P(A B) 1
6
7 设 事 件 A ， B ， C 两 两 独 立 ， 且 ABC=,
解： P( A B ) P( A B) 1 P( AB) 1 r
P( AB) P(B A) q r
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1 p r
P(AB ) 1 P(A B) 1 p q r
5
6 已知事件AB发生, 则事件C一定发生。证明：
P( AB) P( A)P(B)
即A和B互相独立
14
12、设甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射击， 其命中率分别为p1和p2。甲先射，谁先命中谁获胜， 试分别求甲获胜的概率和乙获胜的概率。
P(A)
1 P( A)
b P( AB) c P( AB) b c(1 a) 1a
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
a b (b c(1 a))
a c ca
11
P( A | B) P( AB ) P( A) P( AB)
P(B )
1 P(B)
a b c(1 a) 1b
12
11 已知 0<P(A)<1, 0< P(B)<1,
P(A| B) P(A | B) 1
问A与B是否独立？ 解：
P( A | B) P( A | B ) P( AB) P( AB ) 1 P(B) P(B)
P( AB)P(B ) P( AB )P(B) P(B)P(B )
3P( A) 3(P( A))2 9
16
解得：P( A) 1 4
或 P( A) 3 舍掉 4
7
8 设事件A，B相互独立，且A和B都不发生的概
率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发
生的概率相等，求P(A)
解：由题意得
(1
P(AB) P( A))(1
1 P9( BP))( AB1
0.4 0.1 0.3
2
3 设A，B为两个事件，求证 P( AB) 1 P( A) P(B ) P( AB )
解： 1 P( A) P(B ) P( AB ) 1 P(A) P(B) P(A B) 1 P(A) P(B) 1 P(A B) P( A) P(B) P( A B) P( A) P(B) (P( A) P(B) P( AB)) P( AB)
3 3 3 27
9
2 P( A)P(B)P(C )
33 P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
1 2 33
10
10 已知 P( A) a, P(B) b, P(B | A) c
且a<1，b<1。求 P( A B), P( A | B)
解： P(B | A) P(BA) P(B) P( AB)
1
2 设随机事件A, B及其和事件AB的概率分别为 0.4,0.3和0.6，求 P( AB )
解： P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( AB) P( A) P(B) P( A B) 0.4 0.3 0.6 0.1
P( AB ) P( A) P
P( A)(1 P(B )) (1 P( A)P(B)
P( A) P(B)
(1 2P( A)) (P( A))2 1
9
解得： P( A) 2 3
或 P( A) 4 舍掉 3
8
9、设事件A，B，C相互独立，且 P(AB)=1/3, P(AC)=1/3，P(BC)=2/3，
P( AB)(1 P(B)) (1 P( A B))P(B)
P(B)(1 P(B))
13
P( AB) P( AB)P(B) (1 P( A) P(B) P( AB))P(B)
P(B) (P(B))2 P( AB) P( AB)P(B)
P(B) P(B)P( A) (P(B))2 P(B)P( AB) P(B) (P(B))2
求A，B，C三个事件至少发生一个的概率。
解：P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
P(A B) 1 P(A)P(B) 1 P(A)P(B) 2 3 3
同理
P( A)P(C ) 2
3
P(B )P(C ) 1 3
(P( A)P(B )P(C ))2 2 2 1 4
3
4、已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0,
P(AC)=P(BC)=1/8, 求事件A，B，C全不发生的概率
解：P( ABC ) P( A B C ) 1 P( A B C)
P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
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概率论与数理统计-绪论、第一章ppt课件
A B C
A B C A B C A B C AB C A BC A B C
B C A C A B
ABC
概率论与数理 A 6 “三人均未命中目标” : 统计课件
ABC
小
• 本节主要讲授： 1.随机现象； 2.随机试验和样本空间； 3.随机事件的概念；
结
成功在于专注并不懈努力
第一章 随机事件与概率
成功在于专注并不懈努力
• §1.1
随机事件
• §1.2
• §1.3 • §1.4
概率论与数理 统计课件
概率
条件概率 事件的独立性
§1.1 随机事件
成功在于专注并不懈努力
1.1.1 随机现象
现象按照必然性分为两类： 一类是确定性现象； 一类是随机现象。 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那 样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。
课程目标
成功在于专注并不懈努力
通过自学考试——以教材为基础，以考试大纲为中 心，达到考试要求，通过自学考试。 实际简单应用——在现实生活中简单应用概率论与 数理统计知识，学以致用，甚至研究学术问题。
概率论与数理 统计课件
目
录
成功在于专注并不懈努力
第一章 随机事件与概率(重点)
第二章 随机变量及其概率分布(重点)
解
(1) ABC
(4) A B C
——
(2) ABC
(3) ABC
概率论与数理 统计课件
( 5 ) A B CA B CA B C
成功在于专注并不懈努力
例1-5 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,
i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.
概率论与数理统计(浙大版)第一章课件
然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科.
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
8
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
4
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
察出现的点数.
5
实例4 从一批含有正品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
其结果可能为:
正品 、次品.
则 C A B AB 格”,Ｂ＝“直径合格”．
30
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
n
称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 积 事 件 ;
事件 A 发生 事件B 发生
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 A B
27
2.事件的相等
若两个事件 A 和B 相互包 含，则称这两个事件相等， 记为 A .B
A B A =B
A B且B A
A B
A 和 B 同时发生或者同时不发生
28
3.事件的和（并）
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
8
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
4
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
察出现的点数.
5
实例4 从一批含有正品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
其结果可能为:
正品 、次品.
则 C A B AB 格”,Ｂ＝“直径合格”．
30
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
n
称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 积 事 件 ;
事件 A 发生 事件B 发生
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 A B
27
2.事件的相等
若两个事件 A 和B 相互包 含，则称这两个事件相等， 记为 A .B
A B A =B
A B且B A
A B
A 和 B 同时发生或者同时不发生
28
3.事件的和（并）
概率论与数理统计第一章(A).ppt
解 由概率的加法公式 P( A B) P( A) P( B) P( AB), 得
P( AB) P( A) P( B) P( A B) 0.5 0.6 0.9 0.2 再由可分性P( A) P( AB) P( AB ), 得
P( AB ) P( A) P( AB) 0.5 0.2 0.3
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不相容的事件， 即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率.
二.概率的性质
(1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互不相容的事件 即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) (3)事件差 A B是两个事件,则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
【解答】
1 解 因A与B互不相容 , 故P( A B) P( A B) P( A) P( B)
从而得 P( B) P( A B) P( A) 0.6 0.4 0.2 2 解 由加法公式 P( A B) P( A) P( B) P( AB), 得 P( AB) P( A) P( B) P( A B) 0.4 0.3 0.6 0.1 再由可分性 P( A) P( AB) P( AB ),得 P( AB ) P( A) P( AB) 0.4 0.1 0.3
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 从一批产品中任意取10件样品,观测其中的次品数； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷两颗骰子，考虑可能出现的点数之和； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重. 随机现象从表面上看,由于人们事先不能知道会出现哪 一种结果,似乎是不可捉摸的,其实不然.如抛一枚均匀的硬 币我们知道出现哪一面的机会都是一样的(1/2);而掷一颗 均匀的骰子,则出现每一种点数的机会均等(1/6).这些结果 都是进行大量的重复试验(观察)得来的结果.
概率论与数理统计第一章(浙大第四版)ppt课件
ppt课件
9
例：
概率论
一枚硬币抛一次
记录一城市一日中发生交通事故次数
记录一批产品的寿命x
记录某地一昼夜最高温度x，最低温 度y
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10
概率论
S={正面，反面}； S={0,1,2,…}； S={ x|a≤x≤b }
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；
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111
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
在这n次试验中发生的频率。
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27
例：
概率论
中国男子国家足球队，“冲出亚洲”
共进行了n次，其中成功了一次，在
这n次试验中“冲出亚洲”这事件发
生的频率为 1 n；
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28
概率论
某人一共听了16次“概率统计”课，其 中有12次迟到，记A={听课迟到}，则
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33
(二) 概率
概率论
定义1：fn ( A) 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 P( A) 0
2。 P(S ) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红 球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一 红一黄}，求P(B)．
ppt课件
47
概率论
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}
P
A
3 8
(2)P(B)
C31C51
概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-随机事件与概率
AB
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有
公共样本点构成的集合。
n
▲ 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,L An 的积事件 k 1
I
k 1
Ak
为可列个事件
A1
,
A2
,L
L
的积事件
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A B 记作： A B x x A且x B
2
0.4
18 0.36
4
0.8
27 0.54
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
258 0.516
概率统计
从上述数据可得:
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
解： S1 ｛正面，反面｝
S2 0,1, 2, 3,
概率统计
S3 1, 2, 3, S4 0,1, 2, 3, ,10
S5 1, 2, 3,4,5,6
注
E3 ：射手射击一个目标， 直到射中为止，观 察 其射击的次数
E4：从一批产品中抽取十 件，观察其次品数。
E5：抛一颗骰子，观察其 出现的点数。
义上提供了一个理
H
想试验的模型：
(H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
T
在每次试验中必
有一个样本点出
H
现且仅有一个样
本点出现 .
T
概率统计
例4．若试验 E是测试某灯泡的寿命. 试写出该试验 E 的样本空间. 解：因为该试验的样本点是一非负数，
概率论与数理统计课件第1章.ppt
AB
记作 A B
BA
例如 抛掷两颗骰子，观察出现的点数
A={出现1点} B={出现奇数点}
A B
相等事件（Equal）
B A且 A B A=B
B A
事件A与事件B含有相同的样本点 例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”
与事件“出现2，4或6点”是相等事件。
和事件 Union
和事件A∪B发生
什么是概率论
确定性现象 Certainty phenomena
在101325Ｐa的大气压下，将纯净水加热到 100℃时必然沸腾
垂直上抛一重物，该重物会垂直下落
随机现象 Random phenomena
掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点 抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上
两种不同的结果 概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科
A =｛出现奇数点｝是由三个基本事件 “出现1 点”、“出现3点” 、 “出现5 点” 组合而成的随 机事件．
样本空间Ω的任一子集A称为随机事件
A
属于事件A的样本点出现，则称事件A发生。
特例—必然事件Certainty Events
必然事件 ——记作Ω
•样本空间Ω也是其自身的一个子集 •Ω也是一个“随机”事件 •每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现 •必然发生
随机试验
掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况 试验的样本点和基本事件
• H：“正面向上” • T ：“反面向上”
样本空间 Ω={H，T}．
随机事件
试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况 Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT} A=“正面出现两次” ={HHT,HTH,THH} B=“反面出现三次” ={TTT} C=“正反次数相等” = Φ D=“正反次数不等” =Ω
概率论与数理统计PPT课件第一章习题课
解： P ( A B ) P( A B)
1 P( AB) 1 r
P( A B) P ( B A) q r P( A B) P( A) P( B) P( AB) 1 p r
P( A B ) 1 P ( A B) 1 p q r
13
P ( AB) P ( AB) P( B) (1 P ( A) P ( B) P ( AB ))P ( B)
P( B) ( P( B))2
P ( AB) P ( AB) P( B)
P( B) P( B) P( A) ( P( B)) P( B) P( AB)
a c ca
11
P ( AB ) P ( A | B) P( B )
P ( A) P ( AB ) 1 P( B)
a b c(1 a ) 1 b
12
11 已知 0<P(A)<1, 0< P(B)<1,
P ( A | B) P ( A | B ) 1
解：设A表示任取一件产品是一等品。B表示任取一 件产品是合格品。 则易知
P ( B ) 0.96
P ( A | B ) 0.75
P ( A) P ( AB ) P ( B ) P ( A | B )
0.96 0.75 0.72
23
21、在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的 概率是0.2，若乙机未被击落，就进行回击，击落 甲机的概率是0.3。若甲机未被击落，则再次进攻 乙机，击落乙机的概率是0.4。求这几个回合中， 甲机被击落的概率及乙机被击落的概率
9
P ( A) P ( B ) P (C )
1 P( AB) 1 r
P( A B) P ( B A) q r P( A B) P( A) P( B) P( AB) 1 p r
P( A B ) 1 P ( A B) 1 p q r
13
P ( AB) P ( AB) P( B) (1 P ( A) P ( B) P ( AB ))P ( B)
P( B) ( P( B))2
P ( AB) P ( AB) P( B)
P( B) P( B) P( A) ( P( B)) P( B) P( AB)
a c ca
11
P ( AB ) P ( A | B) P( B )
P ( A) P ( AB ) 1 P( B)
a b c(1 a ) 1 b
12
11 已知 0<P(A)<1, 0< P(B)<1,
P ( A | B) P ( A | B ) 1
解：设A表示任取一件产品是一等品。B表示任取一 件产品是合格品。 则易知
P ( B ) 0.96
P ( A | B ) 0.75
P ( A) P ( AB ) P ( B ) P ( A | B )
0.96 0.75 0.72
23
21、在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的 概率是0.2，若乙机未被击落，就进行回击，击落 甲机的概率是0.3。若甲机未被击落，则再次进攻 乙机，击落乙机的概率是0.4。求这几个回合中， 甲机被击落的概率及乙机被击落的概率
9
P ( A) P ( B ) P (C )
概率论与数理统计第一章ppt课件
事件独立的例题：
P ( A 1 ) 1 / 5 , P ( A 2 ) 1 / 3 , P ( A 3 ) 1 / 4
P (A 1 A 2 A 3) 1P (A 1 A 2 A n)
3
1
1P(A1A2A3)
1P (A 1)P (A 2)P (A 3)
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
❖练习 某人从外地赶来参与紧急会议， 他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率 分别是0.3、0.2、0.1、0.4，假设他乘 飞机来就不会迟到；而乘火车、轮船或 汽车来迟到的概率分别为1/4、1/3、 1/12。
❖〔1〕求他迟到的概率；
❖〔2〕假设他迟到了，试推断他是怎样 来的，说说他的理由。
❖例4 据以往的临床记录，某种诊断 糖尿病的实验具有以下的效果：假设 一被诊断者患有糖尿病那么实验结果 呈阳性的概率为0.90；假设一被诊断 者未患糖尿病，那么实验结果呈阳性 的概率为0.06。又知受实验的人群患 糖尿病的概率为0.03。假设一被诊断 者其实验结果呈阳性，求此人患糖尿 病的条件概率。
这一节我们引见了
全概率公式
贝叶斯公式
它们是加法公式和乘法公式的综合运用, 同窗们可经过进一步的练习去掌握它们. 值得一提的是，后来的学者根据贝叶斯公 式的思想开展了一整套统计推断方法，叫 作“贝叶斯统计〞. 可见贝叶斯公式的影 响.
小结
全概率公式：由因遡果 贝叶斯公式：由果索因
Company
LOGO
❖例2 甲、乙两人独立地对同一目的射击 一次，其命中率分别是0.5和0.4。现知 目的被命中，那么它是乙射中的概率是 多少？
❖例3 设0<P(A)<1，且P(B|A)=P(B|A )， 试证：A、B相互独立.
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
概率论与数理统计ppt课件(完整版)
*
几何概型的概率的性质
对任一事件A ,有
三.统计定义:
(一) 频率
在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A).
频率的特性: 波动性和稳定性.
*
四.概率公理化定义:
定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件: 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） P(S)=1;（规范性) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间: 定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
*
(二) 乘法公式:
P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
*
B
A
S
2.和事件:
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
几何概型的概率的性质
对任一事件A ,有
三.统计定义:
(一) 频率
在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A).
频率的特性: 波动性和稳定性.
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四.概率公理化定义:
定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件: 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） P(S)=1;（规范性) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间: 定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
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(二) 乘法公式:
P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
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B
A
S
2.和事件:
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.