高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学 (35)

1、一曲线通过点()3,2它在两坐标轴的任意切线段均被切点平分，求此曲线方程。 解：1）建立微分方程，设曲线方程为()x f y =。在点()y x ,处的切线方程为：

()x X y y Y -'=-

切线方程化为截距式 1='

-'-+'-y x y y X x

y y Y 曲线满足的微分方程： ()⎩

⎨⎧=='-32y y x y 2）解微分方程： ⎰⎰-=dx x dy y 11

C x y +-=ln ln

x

C y = 有初值条件()32=y 得： 6=C

所以所求曲线方程为： x

y 6= 2、设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一与运动方向一致、大小与时间成正比例（比例系数为1k ）的力作用于它，还有一个与速度成正比例(比例系数为2k ）的阻力共同作用，求质点运动速度与时间的函数关系。

解：1）建立微分方程：设质点运动速度与时间的函数为()v v t =

()1200k t k v mv v '-=⎧⎪⎨=⎪⎩

2）解微分方程

2222222111222k k k

k k dt dt t t t m m m m m k m k m v e k te dt C e te e C k k -

-⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 由初值条件得：22

122

k m C k = 所求函数为：2222211122222k t m k m k m k m v t e k k k -=-+