2019年上海市宝山区高一(下)期末数学试卷(含答案)
上海市高一下学期数学期末测试题
2019 年上海市高一下学期数学期末测试题 2019 年上海市高一下学期数学期末测试题【】有对于 2019 年上海市高一下学期数学期末测试题是查词典数学网专门为您会合的，查词典数学网编写将第一时间为您整理全国考试资讯信息，供大家参照 !一、选择题：本大题共 7 小题，每题 5 分，满分 35 分;在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1、已知过点和的直线与直线平行，则的值为 ( A )A. B. C. D.2、过点且垂直于直线的直线方程为( B )A.B.C. D.3、以下四个结论：⑴ 两条不一样的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵ 两条不一样的直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶ 两条不一样直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷ 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
此中正确的个数为 ( A )A. B. C. D.4、一个正方体的极点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是 ( B )A. B. C. D.5、圆上的点到点的距离的最小值是( B )A.1B.4C.5D.66、若为圆的弦的中点，则直线的方程是( D )A.B.C. D.7、把正方形沿对角线折起 ,当以四点为极点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为 ( C )A. B. C. D.二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，满分 30 分;把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 .8、在空间直角坐标系中，点与点的距离为.9、方程表示一个圆，则的取值范围是.10、如图，正方体中，，点为的中点，点在上，若，则线段的长度等于.11、直线恒经过定点，则点的坐标为12、一个底面为正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱，其三视图如下图，则这个棱柱的体积为 .【第 12 题图】【第 13 题图】13、如图，二面角的大小是 60，线段在平面 EFGH上，在 EF上，与 EF所成的角为 30，则与平面所成的角的正弦值是三.解答题：本大题共 3 小题，共 35 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .14、(满分 11 分)某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图(如图 )，此中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如下图 (单位 cm);(1)求出这个工件的体积 ;(2)工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆花费是每平方厘米 1 元，现要制作 10 个这样的工件，请计算喷漆总花费(精准到整数部分 ).【分析】 (1)由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4，母线长为3，.........................................2分设圆锥高为，则 ........................4分则...6 分(2)圆锥的侧面积， .........8 分则表面积 =侧面积 +底面积 =(平方厘米 )喷漆总花费 =元............... 11 分15、(满分 12 分)如图，在正方体中，(1)求证： ;(2)求直线与直线 BD 所成的角【分析】 (1)在正方体中，又，且 ,则,而在平面内，且订交故 ;...........................................6分(2)连结，由于 BD 平行，则即为所求的角，而三角形为正三角形，故，则直线与直线BD所成的角为 .......................................12分 16、(满分 12 分)已知圆 C=0(1)已知可是原点的直线与圆 C 相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程 ;(2)求经过原点且被圆 C 截得的线段长为 2 的直线方程。
2019级高一下学期数学期末考试试卷答案
a1q 2
1 2
，
3 2
，解得 q
1 2
， a1
2.
综上所述：
a1
1 2
或
a1
2
.
16.【答案】5.设 m (2x y)2 , n (x 2 y)2 , 则 4 9 1 ，且 m n 5x2 5 y2 , mn
∴
x2
y2
m
n
m
n
(
4
9)
13 （4n m
9m ） n
3.【答案】D.利用赋值法:令 a 1, b 0 排除 A,B,C,选 D.
合 肥六中卫星 联 校 专用A
4.【答案】C .
m 1
n 3
,
m n
1. 3
5.【答案】B.根据几何概型概率计算公式，即可求出结果.
6.【答案】B.根据茎叶图中数据的分布可得， A 班学生的分数多集中在 70,80 之间， B 班
2
BC
1
BA
AB ， AB
，所以选项
CE 0 ，所以选项
B 错误；
A
错误;
33
以 E 为原点，EA，EC 分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，
如图所示， E(0, 0), A(1, 0), B(1, 0),C(0, 3), D(1 , 2 3 ) ，
33
设 O(0, y), y (0,
综上所述，当 a 3时，不等式解集为 R ； 当 a 3时，不等式的解集为 (,3] [a, ) ； 当 a 3 时，不等式的解集为 (, a] [3, ) .…………………………………………12 分
3),
BO
(1,
y),
DO
2019-2020学年上海市宝山区高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年上海市宝山区高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分） 1.“a <−2”是“∃x 0∈R ，asinx 0+2<0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.二元一次方程{x −2y =13x +y =5的系数行列式的值是( )A. 2B. 5C. 7D. 113.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=12(|x −1|+|x −2|−3)，若∀x ∈R ，f(x −a)≤f(x)，则a 的取值范围是( )A. a ≥3B. −3≤a ≤3C. a ≥6D. −6≤a ≤64.若点P 在圆C ：x 2+y 2=4上，则P 到直线3x +4y −15=0的距离的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共11小题，共33.0分） 5.在函数f(x)=2sin(ωx +π3)(ω>0)的图象与x 轴的交点中，相邻两点间的距离为π6，则f(x)的周期为______． 6. 若f(x)为奇函数，当x <0时，f(x)=x 2+ax ，且f(3)=6，则实数a 的值为______ ．7. 若Z 1=a +2i,Z 2=∣∣∣12i 23∣∣∣，且z 1z 2为实数，则实数a 的值为______． 8. 已知tan(π+α)=2，则2sinα−cosα3sinα+2cosα的值为______ ．9.已知函数f(x)=sin2x −kcos2x 的图象关于直线x =π8对称，则k 的值是______．10. 华南虎是我国一级保护动物，为挽救频临物种，国家建立了华南虎繁殖基地，由于科学的人工培养，华南虎的数量y(只)与培养时间x(年)之间的关系可以近似符合y =alog 2(x +1)，若培养的第一年(2012年)华南虎有20只，则到2015年时，预测华南虎约有______ 只. 11. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(4,12)，则f(x)=______． 12. 已知正数a ，b ，c 满足的最大值为 ．13. 设sin=，则sin 2θ= ．14.函数f(x)=2x⋅|lnx|−1的零点个数为______．15.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1).若对任意的x∈(−∞,m]，都有f(x)≥−3，则m的取值范围是______．2三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）cos2x(x∈R)．16.已知函数f(x)=√3sinx⋅cosx−12(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别a、b、c，且c=√3，f(C)=1，求三角形ABC的外接圆面积．17.已知奇函数f(x)=m−g(x)的定义域为R，其中g(x)为指数函数且g(x)的反函数过点(9,2)．1+g(x)(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式；(Ⅱ)判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义证明．18.已知函数，其中．(1)求函数的定义域；(2)若对任意恒有，试确定的取值范围。
2018-2019学年上海市宝山区高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市宝山区高一下学期期末数学试题一、单选题1．“2a π=”是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又非必要 【答案】A【解析】根据充分必要条件的判定，即可得出结果. 【详解】当2a π=时，2x π=是函数cos y x =的对称轴，所以“2a π=”是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称”的充分条件，当函数cos y x =的图像关于直线x a =对称时，,x a k k Z π==∈,推不出2a π=， 所以“2a π=”是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称”的不必要条件， 综上选A . 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，余弦函数的对称轴，属于中档题.2．若线性方程组的增广矩阵是1251028b b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则21b b -的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意得134205102121b ⨯+=，23420282121b ⨯+=，解方程即可得到所求值. 【详解】 由题意得134205102121b ⨯+=，23420282121b ⨯+=， 解得1225b b ==，， 则213b b -=，故选C. 【点睛】本题主要考查了线性方程组的解法，以及增广矩阵的概念，考查运算能力，属于中档题. 3．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()5f x x x =--，则不等式()(1)0f x f x --<的解集为（ ）A ．(1,2)-B ．(1,3)-C ．(2,3)-D ．(2,4)-【答案】C【解析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，作出函数图象，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象中的递减区间，分析可得答案. 【详解】根据题意，设0x >，则0x -<， 所以2()5f x x x -=-+，因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以2()5()f x x x f x -=-+=-， 所以2()5f x x x =-，即0x ≥时，当0x <时，2()5f x x x =--， 则()f x 的图象如图：在区间55(,)22-上为减函数，若()(1)0f x f x --<，即(1)()f x f x ->，又由1x x -<，且(3)(2),(2)(3)f f f f -=-=，必有133x x ->-⎧⎨<⎩时，()(1)0f x f x --<，解得23x -<<，因此不等式的解集是(2,3)-，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，根据图象解不等式是本题的关键，属于难题. 4．若12()()()a f x f x bf x =(),a b ∈R ，则称1()f x 与2()f x 经过变换(,)T a b 生成函数()f x ，已知1221()(1220)g x x x =-+-，1222()(10)g x x x =-+，设1()g x 与2()g x 经过变换(,)T m n生成函数()g x，已知(4)g =，(6)2)g =，则()g x 的最大值为（ ） A ．1 B ．4C ．6D ．9【答案】B【解析】根据变换(,)T m n 可生成函数21()()()g x mg x ng x =-112222(10)(1220)m x x n x x =-+--+-，再根据(4)g =，(6)2)g =可求出,m n ，转化为求112222()(10)(1220)g x x x x x =-+--+-的最大值,化简()g x ==，利用单调性求解即可.【详解】由题意可知21()()()g x mg x ng x =-112222(10)(1220)m x x n x x =-+--+-,又(4)g =，(6)2)g = 解得1m n ==,所以112222()(10)(1220)g x x x x x =-+--+-又()g x ==，因为y =在[2,10]x ∈上单调递减且为正值，y =[2,10]x ∈上单调递减且为正值，所以()g x ==在[2,10]x ∈上单调递减，所以当2x =时函数有最大值(2)4g =.故选B. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用单调性求函数的最大值，涉及创设新情景及函数式的变形，属于难题二、填空题 5．函数tan(2)6y x π=+的最小正周期为__________．【答案】2π 【解析】函数tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π 故答案为：2π 6．设2()(4)2f x x m x =+-+为偶函数，则实数m 的值为________. 【答案】4【解析】根据偶函数的定义知()()f x f x -=，即可求解. 【详解】因为2()(4)2f x x m x =+-+为偶函数，所以22()(4)2()(4)2f x x m x f x x m x -=--+==+-+, 故(4)4m m --=-，解得4m =. 故填4. 【点睛】本题主要考查了偶函数的定义，利用定义求参数的取值，属于中档题.7．三阶行列式147258369中，元素4的代数余子式的值为________. 【答案】6【解析】利用代数余子式的定义直接求解. 【详解】三阶行列式147258369中，元素4的代数余子式的值为： 328(1)(1824)639-=--=.故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了三阶行列式中元素的代数余子式的求法，属于中档题. 8．已知cot m α=（02πα-<<），则cos α=________.（用m 表示）【答案】21m -+【解析】根据同角三角函数之间的关系，结合角所在的象限，即可求解. 【详解】因为cot m α=，02πα-<<所以cos sin m αα=，0m <故22222cos cos sin 1cos m αααα==-，解得2cos 1m α=±+， 又02πα-<<，0m <，所以2cos 1m α=-+.故填【点睛】本题主要考查了同角三角函数之间的关系，三角函数在各象限的符号，属于中档题. 9．若arcsin 3arccos x x π+=，则实数x 的值为_______.【答案】2【解析】由arcsin arccos 2x x π+=得arccos arcsin 2x x π=-，代入方程arcsin 3arccos x x π+=即可求解.【详解】arcsin arccos 2x x π+=,arccos arcsin 2x x π∴=-.arcsin 3arccos x x π+=,arcsin 3arcsin 2x x ππ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭,arcsin 4x π∴=,即2x =，故填2. 【点睛】本题主要考查了反三角函数的定义及运算性质，属于中档题.10．某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%，如果存款到期不取出继续留存于银行，银行自动将本金及80%的利息（利息须交纳20%利息税，由银行代交）自动转存一年期定期储蓄，某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，则5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和为________元.（精确到1元） 【答案】218660【解析】20万存款满一年到期后利息有200000 2.25%120%)⨯⨯-（，本息和共200000 2.25%120%)200000200000(1 2.25%80%)⨯⨯-+=+⨯（，再过一年本息和2200000(1 2.25%80%)+⨯，⋯ 经过5年共有本息5200000(1 2.25%80%)+⨯元，计算即可求出结果. 【详解】20万存款满一年到期后利息有200000 2.25%120%)⨯⨯-（，本息和共200000 2.25%120%)200000200000(1 2.25%80%)⨯⨯-+=+⨯（，再过一年本息和2200000(1 2.25%80%)+⨯，⋯ 经过5年共有本息5200000(1 2.25%80%)+⨯元, 5200000(1.018)218659.76218660⨯=≈元.故填218660. 【点睛】本题主要考查了银行存款的复利问题，由固定公式可用，本息和=本金1+⨯（利率(1)⨯-利息税)n ，利率是一年年利率，n 是存款年数，代入公式计算即可求出本息和，属于中档题.11．若1()(1)k f x k x +=-()k ∈R 为幂函数，则满足sin()sin k θθ=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的θ的值为________. 【答案】3π【解析】根据幂函数定义知2k =，又sin 2sin θθ=，由二倍角公式即可求解. 【详解】因为1()(1)k f x k x+=-()k ∈R 为幂函数，所以1=1k -，即2k =, 因为sin()sin k θθ=,所以sin 2sin θθ=，即2sin cos sin θθθ=， 因为02πθ<<，所以1cos 2θ=，=3πθ.故填3π. 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，正弦的二倍角公式，属于中档题. 12．设3549x =，若用含x 的形式表示5log 35，则5log 35=________. 【答案】22x- 【解析】两边取以5为底的对数，可得55log 35log 49x =，化简可得5log 72x x=-，根据对数运算即可求出结果. 【详解】 因为3549x =所以两边取以5为底的对数，可得55log 35log 49x =， 即555(log 5log 7)2log 7x +=， 所以5log 72xx=-， 552log 351log 7122x x x=+=+=--， 故填22x-. 【点睛】本题主要考查了对数的运算法则，属于中档题.13．在ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且22sin sin 22B C A BP c a ++=⋅+⋅， 若用含a 、b 、c ，且不含A 、B 、C 的式子表示P ，则P =_______ . 【答案】2a b c++ 【解析】利用诱导公式，二倍角公式，余弦定理化简即可得解. 【详解】22sin sin 22B C A BP c a ++=⋅+⋅ 22sin sin 2222A C c a ππ⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos cos 22A C c a =⋅+⋅ 1cos 1cos 22A Cc a ++=⋅+⋅2222221122222a c b c a a b c c a bc ab++-+-=+⋅+⋅2a b c++=. 故答案为2a b c++. 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角的三角函数公式，余弦定理，属于中档题. 14．已知常数(0,)2πθ∈，若函数()f x 在R 上恒有17(3)(3)22f x f x -+=+，且 422sin 11()log 13x x f x xx π-≤≤⎧=⎨<<⎩，则函数()cos 1y f x θ=--在区间[5,14]-上零点的个数是________. 【答案】15 【解析】根据17(3)(3)22f x f x -+=+可得函数周期，作出函数一个周期上的图象，利用数形结合即可求解. 【详解】函数()f x 在R 上恒有17(3)(3)22f x f x -+=+,1133422f x f x ⎛⎫⎛⎫∴-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴ 函数周期为4.常数(0,)2πθ∈,cos 1(1,2)θ∴+∈,∴ 函数()cos 1y f x θ=--在区间[5,14]-上零点,即函数()([5,14])y f x x =∈-与直线1y =及直线2y =之间的直线的交点个数.由422sin 11()log 13x x f x xx π-≤≤⎧=⎨<<⎩，可得函数()f x 一个周期内的图象，做草图如下：由图可知，在一个周期内，函数()cos 1y f x θ=--有3个零点， 故函数()cos 1y f x θ=--在区间[5,14]-上有15个零点. 故填15. 【点睛】本题主要考查了函数零点的个数判断，涉及数形结合思想在解题中的运用，属于难题. 15．若点P 关于直线的对称点在函数()f x 的图像上，则称点P 、直线l 及函数()f x 组成系统(,,)T P l f ，已知函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)，且第一象限内的点00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g ，则代数式000011()()22x y x y ++的最小值为________. 【答案】94【解析】根据函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)可求出m ,由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 可知00(,)M y x '在()g x 的图象上，4m =且0014x y +=， 代入000011()()22x y x y ++化简为20020049144x x x x -+--，换元2004,t x x =-则914t y t=+-，利用单调性求解. 【详解】 因为函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)， 所以(1)13g m =-=，即4m =，由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 知00(,)M y x '在()g x 上， 所以00140,0x x y y +=>>，， 代入000011()()22x y x y ++化简得0000000011114()()()()22242x x x y x y x x -++=++- 20020049144x x x x -=+--， 令2004,t x x =-由00140,0x x y y +=>>，知004x << ，故04t <≤ 则91361()144t y t t t=+-=+-在(0,4]t ∈上单调递减， 所以当4t =即02x =时，min 94y =，故填94.【点睛】本题主要考查了对称问题，反函数概念，根据条件求最值，函数的单调性，换元法，综合性大，难度大，属于难题.三、解答题16．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(,)m n ，0mn ≠，且cos()x βπ-=32ππβ⎛⎫<<⎪⎝⎭，求sin()αβ-（用含m 、n 、x 的形式表示）.【解析】由任意角的三角函数定义求得sin ,cos αα，再由诱导公式及同角的三角函数基本关系式求得cos ,sin ββ，再由两角差的正弦求sin()αβ-. 【详解】由题意，sin α=cos α=，又cos()x βπ-=，所以cos x β=-，32ππβ<<， ∴sin β=则sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-==【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数定义，同角三角函数的关系，两角和差的正弦，属于中档题.17．已知()2f x x k =+()k ∈R .（1）设1k =，求满足2()log (616)1xf x =-+的实数x 的值； （2）若()f x 为R 上的奇函数，试求函数()y x x f x =+的反函数.【答案】（1）12x =；（2）1010x y x ≥=-<⎪⎩. 【解析】（1）把1k =代入函数解析式，代入方程2()log (616)1xf x =-+即可求解. （2）由函数奇偶性得k ，然后求得()y x x f x =+的解析式，分段求解反函数即可.【详解】（1）当1k =时，()21f x x =+，由2()log (616)1xf x =-+，得()221log 6161xx +=-+，即()22log 616xx =-，解得12x =. （2）()f x 为R 上的奇函数，0k ∴=，则()2f x x =.∴ 222,0()22,0x x x y x x f x x x x x x x ⎧+=+=+=⎨-+<⎩…,由22y x x =+，0x ≥，得1x =，0y ≥;由22y x x =-+，0x <，得1x =0y <.∴ 函数()y x x f x =+的反函数为11,0()10x f x x -=<⎪⎩….【点睛】本题主要考查了函数的解析式及求法，考查了反函数的求法，属于中档题.18．设函数2()x mx af x x++=(),m a ∈R .（1）当2a =时，函数()f x 的图像经过点(1,1)a +，试求m 的值，并写出（不必证明）()f x 的单调递减区间；（2）设1a =-，()()0h x x f x +⋅=，()2cos()3g x x π=-，若对于任意的[1,2]s ∈，总存在[0,]t π∈，使得()()h s g t =，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）递减区间为[和；（2）[2,1]m ∈--.【解析】（1）将点(1,3)代入函数()f x 即可求出m ,根据函数的解析式写出单调递减区间即可（2）当1a =-时，写出函数()h x ，由题意知()h s 的值域是()g t 值域的子集,即可求出. 【详解】（1）因为函数()f x 的图像经过点(1,1)a +，且2a = 所以(1)123f m =++=，解得0m =.2()f x x x∴=+∴ ()f x的单调递减区间为[）和.（2）当1a =-时，1()f x x m x=-+， 2()1h x x mx ∴=--+()2cos()3g x x π=-∴ [0,]t π∈时，()[1,2]g t ∈-由对于任意的[1,2]s ∈，总存在[0,]t π∈，使得()()h s g t =知：()h s 的值域是()g t 值域的子集.因为2()1h x x mx =--+的对称轴为2m x =-, ①当12m-≤时，即2m ≥-时， 只需满足(1)2(2)321h m h m =-≤⎧⎨=--≥-⎩解得21m -≤≤-. ② 当122m<-<，即42m -<<-时， 因为(1)2h m =->，与()[1,2]h s ⊆-矛盾，故舍去. ③当22m-≥时，即4m ≤-时， (1)4h m =-≥与()[1,2]h s ⊆-矛盾，故舍去.综上，[2,1]m ∈--. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性，以及含参数二次函数值域的求法，涉及存在性问题，转化思想和分类讨论思想要求较高，属于难题. 19．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求ω与ϕ的值；（2）设ABC ∆的三个角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，如果5()1212A f π+=，且11113111aa=--，试求b c +的取值范围；（3）求函数131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++()x ∈R 的最大值.【答案】（1）2ω=，3πϕ=-；（2）(2,4]b c +∈；（3）154. 【解析】（1）由图象有3254412ππ⋅=，可得ω的值，然后根据五点法作图可得52122ππϕ⨯+=，进而求出ϕ（2）根据55()2sin[2()]2cos 12122123A A f A πππ+=+-==,可得A ,然后由行列式求出a ,再由正弦定理b c +转化为sin )6b c B C B π+==+，根据B 的范围求出b c +的范围（3）将131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++()x ∈R 化简到最简形式，然后逐步换元，转化为利用导数求值问题. 【详解】（1）由函数图象可得3254412ππ⋅=，解得2ω=，再根据五点法作图可得52122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=-，∴ ()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）55()2sin[2()]2cos 12122123A A f A πππ+=+-== 1cos ,2A ∴=(0,)A π∈3A π∴=11113111aa=--，2a ∴=由正弦定理知sin sin sin b c a B C A ===， ∴b B =，c C =， ∴33333b c B C B B ππ⎛⎫+=+=+-- ⎪⎝⎭4sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴ 5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴ 1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦∴ (2,4]b c +∈. （3）131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++ 1151sin 23sin 2sin 226322432243x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1sin 23sin sin 2124x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 23sin sin 212612123x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦令12t x π=+，因为x ∈R ，所以t R ∈，则1sin 23sin sin 263y t t t ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 23sin sin 232333t t t πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 令3t πθ=-，因为t R ∈，所以R θ∈,则15cos 2sin 22y θθθ=++令cos [1,1]m θ=∈-，则21()2y f m m ==，∴ 只需求出21()2f m m =的最大值，()2f m m '=，令()0f m '=，则2m =-，∴当1,m ⎛∈- ⎝⎭时，()0f m '>，此时()f m单调递增，当m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减，∴15()max 4f m f ⎛== ⎝⎭.∴ 函数131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++()x ∈R 的最大值为154.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的部分图象求解析式和三角函数的图象与性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于难题.20．对于三个实数a 、b 、k ，若22(1)(1)1a b k a b ab ++≥⋅-⋅-成立，则称a 、b 具有“性质k ”. （1）试问：①()x x ∈R ，0是否具有“性质2”；②tan y （124y ππ<<），0是否具有“性质4”；（2）若存在03[,2]4x ππ∈及01[,2]2t ∈，使得0001sin 22sin 0x x t m t ----≤成立，且0sin x ，1具有“性质2”，求实数m 的取值范围；（3）设1x ，2x ，⋅⋅⋅，2019x 为2019个互不相同的实数，点(,)m n x x （{},1,2,,2019m n ∈⋅⋅⋅）均不在函数1y x=的图象上，是否存在(),i j i j ≠，且{},1,2,,2019i j ∈⋅⋅⋅，使得i x 、j x具有“性质2018”，请说明理由.【答案】（1）①具有“性质2”，②不具有“性质4”；（2）52m ≥-；（3）存在. 【解析】（1）①根据题意需要判断212||x x +≥的真假即可② 根据题意判断21tan 4|tan |y y +≥是否成立即可得出结论；（2）根据具有性质2可求出0x 的范围，由存在性问题成立转化为00max (sin 22sin )x x -≤ 0max 01()t m t ++，根据函数的性质求最值即可求解.【详解】（1）①因为212x x +≥，212x x +≥-成立, 所以212||x x +≥，故()xx ∈R ，0具有“性质2”②因为124y ππ<<，设tan t y =1t <<设2()41f t t t =-+， 对称轴为2t =，所以函数2()41f t t t =-+在t ∈上单调递减，当1t →时，min ()20f t →-<，所以当124y ππ<<时，21tan 4tan 0y y +-≥不恒成立，即21tan 4|tan |y y +≥不成立， 故tan y （124y ππ<<），0不具有“性质4”.（2）因为0sin x ，1具有“性质2”所以22000(1sin )(1+12|sin 1||1sin |x x x +≥--）化简得2200(1sin )(1sin )x x +≥-解得034x ππ≤≤或02x π= . 因为存在03[,2]4x ππ∈及01[,2]2t ∈，使得00001sin 22sin 0x x t m t ----≤成立，所以存在03[,]4x ππ∈{2}π 及01[,2]2t ∈使00max (sin 22sin )x x -≤ 0max 01()t m t ++即可. 令00sin 22sin y x x =-，则200002cos 22cos 2(2cos cos 1)y x x x x '=-=--，当03[,]4x ππ∈时，0y '>，所以00sin 22sin y x x =-在03[,]4x ππ∈上是增函数， 所以0x π=时，0max 00(sin 22si )n x x =-，当02x π=时，00sin 22sin =0x x -， 故03[,]4x ππ∈{2}π时，0max 00(sin 22si )n x x =- 因为1y x m x=++在1[,1]2上单调递减，在[1,2] 上单调递增，所以0max 015()=2t m m t +++， 故只需满足502m ≤+即可，解得52m -≤. （3）假设具有“性质2018”，则22(1)(1)20181i j i j i j x x x x x x ++≥⋅-⋅-， 即证明在任意2019个互不相同的实数中，一定存在两个实数,i j x x ,满足：22(1)(1)20181i j i j i j x x x x x x ++≥⋅-⋅-.证明： 由()()()22111122222221111|111j j j j jj i i ji jijx x x x x x x x x x x x x x xx x x --+-⋅-==-++++++， 令tan i x α=，由万能公式知2111sin 2,1222i i x x α⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦， 将11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦等分成2018个小区间，则1220191i ,,11s n 2sin 2,sin 2222a a a 这2019个数必然有两个数落在同一个区间，令其为：11sin 2,sin 222ϕγ，即111sin 2sin 2222018ϕγ-≤， 也就是说，在1x ，2x ，⋅⋅⋅，2019x 这2019个数中，一定有两个数满足221112018i i i i x x x x -≤++， 即一定存在两个实数,i j x x ，满足22(1)(1)20181i j i j i j x x x x x x ++≥⋅-⋅-， 从而得证. 【点睛】本题主要考查了不等式的证明，根据存在性问题求参数的取值范围，三角函数的单调性，万能公式，考查了创新能力，属于难题.。
2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）（考试时间为120分钟，满分为150分）一、选择题：本大题共25小题，每小题3分，共75分．1．在ABC △中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC △的形状是（）．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定【答案】B【解析】由正弦定理：222a b c +<， 故为2220a b c +-<，又∵222cos 2a b c c ab+-=，∴cos 0c <， 又∵0πc <<， ∴ππ2c <<， 故B ．2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为1P ，2P ，3P ，则（）． A ．123P P P =< B ．231P P P =< C ．132P P P =< D ．123P P P ==【答案】D【解析】无论三种中哪一抽法都要求个体被抽概率相同． 选D ．3．若非零实数a ，b ，c 满足a b c >>，则一定成立的不等式是（）．A ．ac bc >B ．ab ac >C ．||||a c b c ->-D ．111a b c<< 【答案】C【解析】A ．a b >，c 不一定为正，错；B ．同A ，a 不一定为正，错；C ．||||a b a c b c >⇒->-正确；D ．反例：1a =，1b =-，2c =-，1111a b=>=-错误， 选C ．4．函数2()f x x =，定义数列{}n a 如下：1()n n a f a +=，*n ∈N ，若给定1a 的值，得到无穷数列{}n a 满足：对任意正整数n ，均有1n n a a +>，则1a 的取值范围是（）．A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(,0)(1,)-∞+∞C ．(1,)+∞D ．(1,0)-【答案】A【解析】由1n n a a +>，2n n a a >，∴(1)0n n a a ->， ∴1n a >或0n a <， 而[1,0]n a ∈-时， 1n n a a +>不对n 恒成立，选A ．5．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“0||1x <”的概率为（）． A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】()(1)050101x s x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩， ∴{}|1,15P x x x =≠-<<， ||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．6．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）．A ．120B ．240C ．280D ．60【答案】A【解析】选从5双中取1双，15C ， 丙从剩下4双任取两双，两双中各取1只， 24C 2224⨯⨯=，∴15C 24120N =⨯=． 选A ．7．设0a >，0b >，则下列不等式中不恒成立的是（）．A ．12a a+≥B ．222(1)a b a b ++-≥CD ．3322a b ab +≥【答案】D【解析】332222()()a b ab a b a ab b +=-+--，当a b <<有3322a b ab +<， 故D 项错误，其余恒成立． 选D ．8．总体由编号为01，02，，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数表选取4个个体．选取的方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）．A ．02B ．1429【答案】D【解析】从表第1行5列，6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号为： 08，02，14，29．∴第四个个体为29． 选D ．9．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）．A ．1B ．5C ．14D ．30【答案】C【解析】S K0 11 25 314 4⇒出14S =．选C ．10．如图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（）．（注：标准差s =x 为1x ，2x ，，n x 的平均数）3272010*******7632组1组A ．12x x <，12s s <B ．12x x <，12s s >C ．12x x >，12s s >D ．12x x >，12s s <【答案】A【解析】第1组7名同学体重为： 53，56，57，58，61，70，72，∴11(535672)61kg 7x =+++=， 222211[(5361)(7261)]43kg 7S =-++-=，第2组7名同学体重为：72，73，61，60，58，56，54，21(545673)62kg 7x =+++=，222221[(5462)(7362)]63kg 7S =-++-=，∴12x x <，2212S S <．故选A ．11．如图给出的是计算111112468100+++++的一个程序框图，则判断框内应填入关于i 的不等式为（）．A ．50i <B ．50i >C ．51i <D ．51i >【答案】B 【解析】11124100+++进行了50次， 第50次结束时，102n =，=51i ， 此时输出，因此50i >． 选B ．12．在()n x y +的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于（）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13【答案】D【解析】()n x y +的展开式第七项系数为6C n ，且最大， 可知此为展开式中间项， 当展开式为奇数项时：62n=，12n =， 当有偶数项时162n +=，11n =， 或172n +=，13n =， 故11n =，12，13． 选D ．13．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球，设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）．A ．25B ．35C ．23D ．910【答案】D【解析】从袋中5球随机摸3个， 有35C 10=，黑白都没有只有1种， 则抽到白或黑概率为1911010-=． 选D ．14．已知数列{}n a 的前n 项的乘积为2n n T c =-，其中c 为常数，*n ∈N ，若43a =，则c =（）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】44433232T ca T c-===-， ∴4c =． 选A ．15．组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司仪、司机思想不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这思想工作，则不同的选派方案共有（）．A ．36种B ．12种C ．18种D ．48种【答案】A【解析】若小张或小赵入选，有选法：113223C C C 24⋅⋅=种，若小张，小赵都入选，有：2323A A 12⋅=种，可知共有241236+=种． 选A ．16．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【答案】A【解析】令1x =，4014(2a a a +++=+，令1x =-，401234(2a a a a a -+-+=-+， 而2202413()()a a a a a ++-+024*******()()a a a a a a a a a a =++++-+-+444(2(2(34)1=-+=-=．选A ．17．有4个人同乘一列有10节车厢的火车，则至少有两人在同一车厢的概率为（）．A ．63125B ．62125C ．63250D ．31125【答案】B【解析】4个人乘10节车厢的火车， 有41010000=种方法，没有两人在一车厢中有410A 10987=⨯⨯⨯种， ∴至少有两人在同一车厢概率为：4104A 49606211010000125p =-==． 选B ．18．某车站，每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某人某天准备在该车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略；先放过第一辆车，如果第二辆车比第一辆车则上第二辆，否则上第三辆车，那么他乘上上等车的概率为（）．A ．14B ．12C ．23D ．13【答案】B【解析】设三车等次为：下、中、上， 它们先后次序为6种： 下 中 上 ×→没乘上上等 下 上 中 √→乘上上等 中 下 上 √ 中 上 下 √ 上 下 中 × 上 中 下 × 情况数为3，12p =． 选B ．19．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）．A ．151B ．168C ．1306D ．1408【答案】B【解析】共有318C 17163=⨯⨯种事件数， 选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-，11a =，由1、4、7、10、13、16，可得4种， 12a =，由2、5、8、11、14、17，可得4种，3n a =，由3、6、9、12、15、18，可得4种，4311716368p ⨯==⨯⨯．选B ．20．已知数列1:A a ，2a ，，12(0,3)n n a a a a n <<<≤≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：①数列0，2，4，6具有性质P ． ②若数列A 具有性质P ，则10a =．③数列1a ，2a ，3123(0)a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=， 其中，正确结论的个数是（）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】A【解析】①数列0，2，4，6，j i a a +，(13)j i a a j i j -≤≤≤， 两数中都是该数列中项， 432a a -=，①正确，若{}n a 有P 性质，去{}n a 中最大项n a ，n n a a +与n n a a -至少一个为{}n a 中一项，2n a 不是，又由120n a a a ≤≤≤，则0是，0n a =，②正确，③1a ，2a ，3a 有性质P ，1230a a a <<≤， 13a a +，31a a -，至少有一个为{}n a 中一项，1︒．13a a +是{}n a 项，133a a a +=，∴10a =，则23a a +，不是{}n a 中项， ∴322a a a -=⇒∴1322a a a +=．2︒．31a a -为{}n a 中一项，则311a a a -=或2a 或3a ，①若313a a a -=同1︒；②若312a a a -=，则32a a =与23a a <不符； ③311a a a -=，312a a =． 综上1322a a a +=，③正确， 选A ．21．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）．A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-【答案】D 【解析】观察选项有12，1-，1，2． 当2a =时，y ax z =+与22y x =+重合时，纵截距最大，符合， 1a =-时，y ax z =+与y x z =-+重合时，纵截距最大，符合， 12a -<<时，y ax z =+经过(0,2)B 时，纵截距最大，不符合，12，1舍去， 故2a =或1-， 选D ．12x 222．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（）．A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】当12k ≤时，20x k -≥，因此(2)0f x k k --<， 可化为2(2)0x k k --<， 即存在[1,]x ∈+∞，使22()440f x x kx k k =-+-<成立，由于22()44f x x kx k k =-+-的对称轴为 21x k =≤，所以22()44f x x kx k k =-+-，连[1,]x ∈+∞单调递增，因此只要(1)0g <， 即21440k k k -+-<，解得114k <<， 又因12k ≤，所以1142k <≤，当12k >时，2(2)0(2)0f x k k x k k --<⇔---<恒成立，综上，14k >． 选D ．23．设O 为坐标原点，点(4,3)A ，B 是x 正半轴上一点，则OAB △中OBOA的最大值为（）． A ．43B ．53C ．54D ．45【答案】见解析 【解析】(4,3)A ， 3sin 5AOB =∠，sin sin AB OBAOB A=∠，∴sin 5sin sin 3OB A A AB AOB ==∠， 由(0,π)A ∈得sin (0,1]A ∈， ∴当π2A =时55sin 33OB A AB ==， 为最大值：选B ．24．数列{}n a 的通项公式为*||()n a n c n =-∈N ，则“1c ≤”是“{}n a 为递增数列”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】见解析【解析】若{}n a 递增， 1|1|||0n n a a n c n c +-=+--->22(1)()n c n c +->-．∴有12c n <+， ∵1322n +>， ∴1c ≤为{}n a 递增充分不必要条件． 选A ．25．将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m ，则m 的最大值为（）．A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】1︒，5个1分在同列，5m =，2︒，5个1分在两列，则这两列出现最大数至多为3，故2515320m ⨯+⨯=≤，有10m ≤， 3︒，5个1在三列，3515253m ⨯+⨯+⨯≤，∴0m ≤，4︒，若5个1在至少四列中，其中某一列至少有一个数大于3，矛盾，∴1M ≤， 如图可取10． 故选C ．二、填空题：本大题共11小题，每小题3分，共33分．把答案填在题中横线上．26．执行如图所示的程序框图，若1M =，则输出的S =__________；若输出的14S =，则整数M = __________．【答案】见解析 【解析】n S 0 01 2 1M =时，2S =， 2 63 14 当3n =时出来，故3M =．27．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________． 【答案】见解析【解析】7245%74(145%)72.1⨯+⨯-=．28．在一个有三个孩子的家庭中，（1）已知其中一个是女孩，则至少有一个男孩的概率是__________． （2）已知年龄最小的孩子是女孩，则至少有一个男孩的概率是__________． 【答案】见解析【解析】共有2228⨯⨯=种，只有男孩1种除去，只有女孩有1种， ∴161817p =-=-．29．在AOB △的边OA 上有5个点，边OB 上有6个点，加上O 点共12个点，以这12个点为顶点的三角形有__________个． 【答案】见解析【解析】3331267C C C 16S --=，连12个点中任取3个点，除去同一直线上点．30．如图，在23⨯的矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有__________个．【答案】见解析【解析】直角边长为1时，2464=⨯个，7214⨯=个， 直角边长为2时，248⨯=个，时，4个， ∴总共有24148450+++=．31．从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a ，从{}2,4,6中随机选取一个数为b ，则b a >的概率是__________． 【答案】见解析【解析】共有5315⨯=种， b a >有共9种， ∴93155P ==．32．已知正方形ABCD ．（1）在A ，B ，C ，D 四点中任取两点连线，则余下的两点在此直线异侧的概率是__________．（2）向正方形ABCD 内任投一点P ，则PAB △的面积大于正方形ABCD 面积四分之一的概率是__________． 【答案】见解析【解析】（1）共有24C 6=种， 异侧2种， ∴2163P ==．（2）在CDFE 内，14ABC PAB D S S >⋅平行四边形△，【注意有文字】而12CEDF ABCD S S =⋅，∴12P =． OF E CB A D33．已知当实数x ，y 满足12121x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥≤时，1ax by +≤恒成立，给出以下命题：①点(,)P x y 所形成的平面区域的面积等于3． ②22x y +的最大值等于2．③以a ，b 为坐标的点(,)Q a b 所形成的平面区域的面积等于4.5． ④a b +的最大值等于2，最小值等于1-． 其中，所有正确命题的序号是__________． 【答案】见解析 【解析】①13322S ==≠，d =②当1x =-，1y =-时， 222x y +=取最大，②对；③1ax by +≤恒成立， 当且仅当111b a a b ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≤≤，③193322S =⨯⨯=，③对；④1a b ==时，2a b +=最大， 12a b ==-时，1a b +=-最小，④对． 综上②③④．34．设M 为不等式组40400x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥，所表示的平面区域，N 为不等式组04t x t y t -⎧⎨-⎩≤≤≤≤所表示的平面区域，其中[0,4]t ∈，在M 内随机取一点A ，记点A 在N 内的概率为P ．（ⅰ）若1t =，则P =__________． （ⅱ）P 的最大值是__________． 【答案】见解析【解析】①不等式组4040x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥0≥平面区域为M ，184162M S =⨯⨯=，不等式组(04)04t x tt y t-⎧⎨-⎩≤≤≤≤≤≤， 表示的面积为2(4)t t - 22(2)8t =--+． 1t =时，283168P -+==． ②2t =时，081162P +==， 且2(4)t t -最大，P 最大．35．若不等式*1111()1232a n n n n n++++>∈+++N 恒成立，则a 的范围__________．【答案】见解析 【解析】设11()12f n n n=+++ 111(1)2212(1)f n n n n +=++++++ 111(1)()212(1)1f n f n n n n +-=+-+++ 1102122n n =->++． ∴()f n 是关于n 递增数列(,2)n n ∈N ≥， ∴7()(2)12f n f =≥， ∴712a <．36．当[1,9]x ∈时，不等式22|3|32x x x kx -++≥恒成立，则k 的取值范围是__________． 【答案】见解析【解析】等价为22|3|32x x x k x -++≥， 设22|3|32()x x x f x x-++=，当13x ≤≤，32()3f x x=+，在[1,3]上单减， min 41(3)3f f ==，当39x <≤，32()2323f x x x =+-≥， 当且仅当322x x=，4x =成立， ∴()f x 最小值为13． ∴13k ≤．三、解答题：（本大题共6小题，每题7分，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）37．已知ABC △为锐角三角形，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 2sin c A =． （1）求角C ．（2）当c =ABC △面积的最大值． 【答案】见解析 【解析】（1）正弦定理：sin sin a cA c=，∵π02c <<，∴π3c =． （2）余弦定理是：2222cos c a b ab c =+-， ∴2212a b ab =+-， 又∵22a b ab ab +-≥， ∴12ab ≤，1sin 2ABC S ab c ==△≤当仅当a b =时取得∴max S =38．已知函数1()(2)a f x a x x a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0a ≠．（Ⅰ）若1a =，求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值． （Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x >． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1a =，2()(2)(1)1f x x x x =-=--，()22f x x '=-， ∴∴min (1)1f f ==-， max max[(3),(0)]f f f =，而(3)3(0)f f =>， ∴max 3f =． （Ⅱ）0a >时， 1(2)0a x x a -⎛⎫--> ⎪⎝⎭，∵1120a a a a-+-=>， ∴12a a-<， 此时()0f x >解集为：[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦，0a <时，1(2)0a x x a -⎛⎫--< ⎪⎝⎭．①10a -<<，则12a a-<， ()0f x >解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦．②1a =-，无解．③1a <-，解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦． 综上：0a >，[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦． 10a -<<，1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦1a =-，∅．1a <-，12a x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦．39．在参加某次社会实践的学生中随机选取40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中．a（Ⅰ）求a 的值及成绩在区间[80,90)内的学生人数．（Ⅱ）从成绩小于60分的学生中随机选2名学生，求最多有1名学生成绩在区间[50,60)内的概率． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）10.30.150.10.050.05a =----- 0.035=．（Ⅱ）[40,50)有0.00510402⨯⨯=人， [59,60)有0.0110404⨯⨯=人，两名学生都在[50,60)概率为： 2426C 62C 155P ===， ∴23155P =-=求．【注意有文字】40．已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，13(2)n n n b b a n -=+≤． （ⅰ）证明：数列13n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）11(31)(31)n n n n n a S S --=-=--- 123n -⋅，2n ≥，∴123(*)n n a n -=⋅∈N ，即11112323233n n n n n n n b b b b -----=+⋅⇔=+， ∴112233n n n n b b ----=， ∴13n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为2的等差数列． （Ⅱ）1nn i c T b ==∑，∴112(1)213nn b n n -=+-=-， ∴1(21)3n n b n -=-⋅， ∴11333(21)3n n T n -=⨯︒+⨯++-⋅ 231333(21)3n n T n =⨯+⨯++-⋅ ∴21212(333)(21)3n n n T n -=--++++-⋅(1)31n n T n =-⋅+，*n ∈N ．41．某大学调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：A 餐厅分数频率分布直方图频率分数B 餐厅分数频数分布表（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A （Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率．（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）(0.0030.0050.012)100.2P =++⨯=， 1000.220N =⨯=人．（Ⅱ）记A 指数比B 高为事件C ，A 评价指数为1为事件1A ，为2为事件2A ，B 评价指数数为0为事件0B ，为1为事件1B ．∴1()(0.020.02)100.4P A =+⨯=，2()0.4P A =，0235()0.1100P B ++==， 14015()0.55100P B +==， 102021()()P C P A B A B A B =++，()0.40.10.40.10.40.550.3P C =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）A ：0.4 1.2⨯=， ()00.10.55120.35 1.25E Y =⨯+⨯+⨯=，EX EY <．选B ．42．设m ∈R ，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>的解集记为集合P ． （Ⅰ）若{}|12P x x =-<<，求m 的值． （Ⅱ）当0m >时，求集合P ．（Ⅲ）若{}|32x x P -<<⊆，求m 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵{}|12P x x =-<<，∴1-，2为2(31)2(1)0mx m x m -+++=的两根， 1x =-代入得(31)2(1)0m m m ++++=，∴12m =-．（Ⅱ）(2)[(1)]0x mx m --+>， 当0m >时，112x =，21m x m+=． ①12m m+=时，1m =，2x ≠； ②12m m +>时，01m <<，2x <或1m x m+>；③12m m +<时，1m >，2x >或1m x m+<． 综上01m <<，1|2,m P x x x m +⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭，1m =，{}|72,2P x x x =∈≠， 1m >，1|,2m P x x x m +⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭． （Ⅲ）(3,2)x ∈-时，2(31)2(1)0mx m x m -+++>恒成立， 0m =时，20x -+>，{}|2P x x =<合题， 0m >时，由（I ）得01m <≤合题， 0m <时，1112m m m+=+<， ∴1|2m P x x m +⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， 此时13m m +-≤，解得104m -<≤， 综上，1,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．四、附加题43．已知数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅰ）证明：当01q <<时，{}n a 是递减数列．（Ⅱ）若对任意*k ∈N ，都有k a ，2k a +，1k a +成等差数列，求q 的值． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1n n a q -=， 111(1)n n n n n a a q q q q --+-=-=-，当01q <<时：有10n q ->，10q -<， ∴10n n a a +-<， ∴{}n a 为递减数列．（Ⅱ）∵k a ，2k a +，1k a +成等差数列， ∴112()0k k k q q q +--+=， 12(21)0k q q q -⋅--=，∵0q ≠， ∴2210q q --=，解得：1q =或12q =-．44．从某校高一年级随机抽取n 名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：频率（Ⅰ）求n 的值．（Ⅱ）若10a =，补全表中数据，并绘制频率分布直方图．（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，若上述数据的平均值为7.84，求a ，b 的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）2500.04n ==． （Ⅱ）组号 分组 频数 频率1 [5,6) 20.04 2[6,7) 10 0.20 3[7,8) 100.20 4[8,9) 20 0.40 5[9,10)80.16（Ⅲ）112 5.5+10 6.5+7.58.589.578450210950a b a b ⎧⨯⨯⨯+⨯+⨯=-⎪⎨⎪++++=⎩，1515a b =⎧⎨=⎩， ∴158230.465050P +===．频率睡眠时间45．已知关于x 的一元二次方程2220x ax b -+=，其中a ，b ∈R ．（Ⅰ）若a 随机选自集合{}0,1,2,3,4，b 随机选自集合{}0,1,2,3，求方程有实根的概率． （Ⅱ）若a 随机选自区间[0,4]，b 随机选自区间[0,3]，求方程有实根的概率． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）可能发生有4520⨯=个， 有14个符合题意， ∴1472010P ==， 22(2)40a b ∆=-->，∴a b ≥， 此时符合题意．（Ⅱ）[0,4]a ∈，[0,3]b ∈，∴区域{}Ω=()|04,03a b a b ⋅≤≤≤≤， 面积Ω=3412μ⨯=，事件A 为有实根， {}()|04,03,A a b a b a b =⋅≤≤≤≤≥，153433212A μ=⨯-⨯⨯=， ∴1552()Ω128M P A μμ===．46．经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于0与50之间（单位：分钟）．现从在校学生中随机抽取100人，按上学所学时间分组如下：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得打如图所示的频率分布直方图．(分钟)（Ⅰ）根据图中数据求a 的值．（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分成抽样的方法抽取6人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从这6人中随机抽取2人参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1人被抽中的概率．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）(0.0050.010.030.035)101a ++++⨯=， 0.02a =．（Ⅱ）第3组人数为1000.330⨯=人， 第4组人数为0.210020⨯=人， 第5组人数为0.110010⨯=人， ∴比例为3:2:1，∴第3组，4组，5组各抽3，2，1人． （Ⅲ）记3组人为1A ，2A ，3A ，4组人为1B ，2B ，5组人为1C ，共有28C 15=种， 符合有：11()A B 12()A B 21()A B 22()A B 31()A B 32()A B 12()B B 11(,)B C 21(,)B C 9种，∴93155P ==．47．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率．（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率． （Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列．（Ⅳ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）共有3666=⨯种， 和为6的共5种， ∴536P =． （Ⅱ）1526C 1C 3P ==为抽2个球，有6的概率，∴2232122C (1)3339P P -=⨯⨯=为所求． （Ⅲ）X 可取3，4，5，6， 3336C 1(3)C 20P x ===，2336C 3(4)C 20P x ===，2436C 63(5)C 2010P x ====，2336C 1(6)C 2P x ===．（Ⅳ）11(1)6216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，33321331117(2)C C 666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅+⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331121219(3)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331131337(4)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331141461(5)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32221331151591(6)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．48．在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数，现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题，测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，随机抽取了20（Ⅰ）根据题中数据，估计这240（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差，设i P '为第i 题的实测难度，请用i P 和i P '设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）55540.220R P N ===， ∴2400.248N =⨯=人． （Ⅱ）X 可取0，1，2，216220C 12(0)C 19P X ===，11164220C C 32(1)C 95P X ⋅===，24220C 3(2)C 95P X ===．X 0 1 201219959595EX =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）定义2121[()()]i i n n S P P P P n=-++-i P 为第i 题预估难度，且0.05S <，则合理222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=．∵0.0120.05S =<， ∴合理．49．已知数列{}n a 的通项公式为12(1)(1)n n a n n λ+=+-⋅+，其中λ是常数，*n ∈N ． （Ⅰ）当21a =-时，求λ的值．（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？证明你的结论． （Ⅲ）若对于任意*n ∈N ，都有0n a >，求λ的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2n =时2321a λ=-=-， ∴2λ=．（Ⅱ）13a λ=+，232a λ=-，373a λ=+，474a λ=-， 若存在入使{}n a 为等差数列 有：2132a a a =+， 2(32)(3)(73)λλλ-=+++ ∴12λ=-，21332a a λ-=-=，43172a a λ--=-=， 矛盾，∴不存在入使{}n a 为等差数列． （Ⅲ）∵0n a >，∴12(1)(1)0n n n λ++-⋅+>，即1(1)(1)2n nnλ+--⋅<+，n ∈N ．①当n 为正偶数：12nλ<-，随n 增大变大，13222λ<-=．②当n 为正奇数：12nλ<--，随n 变大而变大，2λ-≥． 综上：31,2λ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭．50．设a ∈R ，*n ∈N ，求和：231n a a a a +++++=__________．【答案】见解析【解析】当0a =时，211n a a a ++++=，当1a =时，11n a a n +++=+，当0a ≠，且1a ≠时1111n na a a a+-++=-，∴11,11,11n n a a a a++=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩．51．设数列{}n a 的通项公式为*3()n a n n =∈N ，数列{}n b 定义如下：对任意*m ∈N ，m b 是数列{}n a 中不大于23m 的项的个数，则3b =__________；数列{}m b 的前m 项和m S =__________． 【答案】见解析【解析】633n ≤，∴243n ≤， ∴3243b =， 由233m n ≤， ∴213m n -≤ ∴213m m b -=，3(19)3(91)198m mm S -==--，故243；3(91)8m-．52．已知函数2()(13)4f x mx m x =+--，m ∈R ．当0m <时，若存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0f x >，则m 的取值范围为__________． 【答案】见解析【解析】0m <，2(1)(13)4f mx m x =+--开口朝下， 13311222n m x m m-=-=->， 若0(1,)x ∃∈+∞使0()0f x >，则2(13)160m m -+>， 即291010m m ++>， ∴1m <-或109m -<<，综上：1(,1),09⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．53．设不等式组23034057200x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪--⎩≥≥≤，表面的平面区域是W ，则W 中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（）．A ．231B ．230C ．219D ．218【答案】见解析【解析】3405720x y x y -⎧⎨--⎩≥，8060x y =-⎧⎨=-⎩，∴(80,60)A -，23057200x y x y -=⎧⎨--=⎩，6040x y =⎧⎨=⎩， (60,40)B ，分别取80x =-，79-，60，求出y 值， 可知总数有231， 选A ．2x 3。
2018～2019学年上海市宝山区普通高中高一下学期期末考试数学试题(解析版)
绝密★启用前上海市宝山区普通高中2018～2019学年高一年级下学期期末教学质量监测数学试题(解析版)2019年7月一、填空题1.函数tan(2)6y x π=+的最小正周期为__________． 【答案】2π 【解析】 函数tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π 故答案为：2π2.设2()(4)2f x x m x =+-+为偶函数,则实数m 的值为________. 【答案】4【解析】【分析】根据偶函数的定义知()()f x f x -=,即可求解.【详解】因为2()(4)2f x x m x =+-+为偶函数,所以22()(4)2()(4)2f x x m x f x x m x -=--+==+-+,故(4)4m m --=-,解得4m =.故填4.【点睛】本题主要考查了偶函数的定义,利用定义求参数的取值,属于中档题.3.三阶行列式147258369中,元素4的代数余子式的值为________.【答案】6【解析】【分析】利用代数余子式的定义直接求解. 【详解】三阶行列式147258369中,元素4的代数余子式的值为：328(1)(1824)639-=--=.故答案为：6.【点睛】本题主要考查了三阶行列式中元素的代数余子式的求法,属于中档题.4.已知cot m α=（02πα-<<）,则cos α=________.（用m 表示）【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数之间的关系,结合角所在的象限,即可求解.【详解】因为cot m α=,02πα-<< 所以cos sin m αα=,0m < 故22222cos cos sin 1cos m αααα==-,解得cos α=, 又02πα-<<,0m <,所以cos α=.。
【精准解析】上海市上海中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题
上海中学高一下期末数学试卷一、填空题1.在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a =________． 【答案】32n - 【解析】 【分析】根据题意，先得数列{}n a 是公差为3的等差数列，进而可求出结果. 【详解】因为1133n na a +=+，即13n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为3的等差数列， 又11a =，所以()13132n a n n =+-=-. 故答案为：32n -.【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，熟记公式即可，属于基础题型. 2.在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项． 【答案】12 【解析】 【分析】先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算111213,,a a a ，简单判断可得结果.【详解】由题可知：等比数列的通项为11=2020()2-⨯n n a所以1112131.97,0.99,0.49≈≈≈a a a所以120.99≈a 与1最接近，所以最接近于1的项是第12项. 故答案为：12【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a =________． 【答案】6【解析】 【分析】根据等差数列求和公式得1151515()2a a S +=,再结合等差数列性质即可求结果. 【详解】因为等差数列{}n a 的前15项和为90，所以115158815()159062a a S a a +===∴= 故答案为：6【点睛】本题考查等差数列求和公式、等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 4.等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++=________．【答案】15 【解析】 【分析】根据等比数列性质求得8a ，再根据对数运算法则以及等比数列性质化简所求式子为1538log a ，最后代入8a 得结果. 【详解】78398827273a a a a a =∴=∴=731323331531231531158log log log log log ()log [()]a a a a a a a a a a a ∴++++=⋅⋅=2715388383log [()]log 15log 315a a a ==== 故答案为：15【点睛】本题考查等比数列性质、对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n =________． 【答案】6或7 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 的前n 项和二次函数性质确定最大值取法，即得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为10a >，49S S =，所以0d <2111(1)()222n d dna n n d n S a n =+-=+-为开口向下的二次函数，又49S S =所以对称轴为4913,22n n +==因为*n N ∈，所以当n =6或7时，n S 取最大值， 故答案：6或7【点睛】本题考查等差数列前n 项和、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.6.数列{}n a 由2,(),n n n n a n N a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第____项．【答案】1536 【解析】 【分析】根据递推关系式可得奇数项的项为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，通过前面的项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出第10个3在该数列中所占的位置.【详解】由题意可得：这个数列各项的值分别为1,1,,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,，即33a =，63a =，123a =，243a =，，即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列， 所以第10个3是该数列的第101321536-⨯=. 故答案为：1536【点睛】本题主要考查了递推数列、等比数列的通项公式，属于中档题. 7.已知方程cos 221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是________． 【答案】[0,1) 【解析】 【分析】采用数形结合的方法，转化为函数()cos22,1==+f x x x y k 的图象在区间[0,]2π内有两个交点，可得结果. 【详解】由题意可知：方程cos23sin21x x a+=+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，令()cos23sin2=+f x x x，1y k=+等价于两函数的图象在区间[0,]2π内有两个交点.由()cos23sin22sin26f x x x xπ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭如图所以11201≤+<⇒≤<k k故答案为：[0,1)【点睛】本题重点考查了数形结合的思想及函数与方程的思想，此外还考查了利用辅助角公式化成同一个角的三角函数的形式，是中档题.8.在数列{}n a中，11a=，1()1nnnaa na*+=∈+N，则na=________．【答案】1n【解析】【分析】先由11nnnaaa+=+，得到1111n na a，求出数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出结果.【详解】因为11nnnaaa+=+，所以11nn n na a aa+++=，则1111n na a，所以数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列，又11a =，所以11(1)n n n a =+-=，解得1n a n=. 故答案为：1n. 【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.9.111lim[]38(2)n n n →∞+++=+________．【答案】34【解析】 【分析】利用裂项求和，再求极限，可得结论． 【详解】解：11111111111111138(2)2322423522n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++ ()()1113233lim[]lim 38(2)42124n n n n n n n →∞→∞∴⎡⎤++++=-=⎢⎥+++⎣⎦ 故答案为:34． 【点睛】本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．10.数列{}n a 中，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nna =， 则这个数列的前2n项的和2n S =________ 【答案】21522n n n +++- 【解析】 【分析】当n 为奇数时，51n a n =+，奇数项为等差数列，当n 为偶数时，22nn a =，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前2n 项的和. 【详解】122122n n n a a a a S -=++⋅⋅⋅++1321242n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()2616104222n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+所以数列{}n a 的奇数项是首项为6公差为10的等差数列，数列{}n a 的偶数项首项为2公比为2的等比数列，∴()()1222121610522212nn nn n n Snn +⨯--=+⨯+=++--.故答案为：21522n n n +++-.【点睛】本题考查利用分组求和法求数列的前2n 项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差、等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.11.一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T =________．【答案】1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【解析】 【分析】根据计算第一次，第二次，第三次的生成的数，依此类推，利用不完全归纳法，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，简单计算，可得结果.【详解】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”；第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；… 可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…， 当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩．故答案为：1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【点睛】本题考查不完全归纳法以及等差数列的通项公式，关键在于对数据的分析，属基础题.12.若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N ，都有1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+111()3n nn nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为________． 【答案】1 【解析】 【分析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈,11n n a b ++=2n n a b ，12n n n a b -∴=，由此可得：23n nc =，再由等比数列求和公式可得解. 【详解】由题意，11)2(n n n n a b b a +++=+， ∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅， 可得12n n n a b -⋅=， 从而11112()333n n n n n n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅， 121,33c q ==，其所有项和为12311113c q ==--．故答案为：1.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力.属于中档题. 二、选择题13.用数学归纳法证明：“12213521n n n n nn n N”时，从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（） A. 21k +B.211k k ++ C.231k k ++ D.()221k +【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分别求出n k =和1n k =+时左边的式子，从而可求得由n k =到1n k =+时需要增乘的代数式.【详解】当n k =时，左边()()()12k k k k =++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左边()()()()()111211111k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅++-+++++， 所以由n k =到1n k =+时，等式左边应该增乘的代数式是()()()1112211k k k k k k +++++=++.故选：D【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.14.“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 既不充分也不必要 D. 充分必要【答案】B 【解析】举例说明充分性不成立，根据等比数列定义证必要性成立.【详解】0a b c ===时满足2b ac =，但,,a b c 不成等比数列，所以充分性不成立， 若,,a b c 依次成等比数列，则2c bb ac b a=∴=，即必要性成立. 故选：B【点睛】本题考查充要关系的判断、等比数列定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 15.等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（ ）A.17B. 17-C.12D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列与等比数列通项化简222123123a a ab b b ++++，再根据正整数性质逐一验证选项即可.【详解】因为1a d =，21b d =，公差d ，公比q所以222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，因为q 是小于1的正有理数，所以舍去B,D, 当17q =时，2141449157Z q q ⨯=∉++，舍去A ， 当12q =时，21481q q =++，符合， 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项、正整数概念，考查基本分析判断能力，属基础题.16.n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（ ） A. 任一项均不为0 B. 必有一项为0C. 至多有有限项为0D. 或无一项为0，或无穷多项为0【解析】 【分析】根据等比数列求和公式特征直接判断选择.【详解】因为11,1(1)0,11n n na q S a q q q q=⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，，所以当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；当1,0q q ≠-≠时，{}n S 无一项为0， 故选：D【点睛】本题考查等比数列求和公式，考查基本分析判断能力，属基础题. 三、解答题17.有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差数列，求,,a b c ． 【答案】1,4,16a b c ===或16,4,1a b c === 【解析】 【分析】本题由,,9a b c -成等差数列，可设公差为d ，所以,9a b d c b d =--=+，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可.【详解】由题意，可设,,9a b c -公差为d ， 则,9a b d c b d =--=+， 于是()()()()29219b d b b d b d b d b ⎧-++++=⎪⎨-++=⎪⎩ ，解得：43b d =⎧⎨=⎩或412b d =⎧⎨=-⎩ 所以1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===．【点睛】此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题. 18.解下列三角方程： （1）24cos 4cos 10x x -+=； （2）2sin 3sin cos 10x x x ++=； （3）sin 212(sin cos )120x x x --+=．【答案】（1）2()3x k k Z ππ=±∈；（2）1arctan 2x k π=-或()4x k k Z ππ=-∈；（3）22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈． 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程，再根据余弦函数性质解三角方程；（2）先利用1的代换转化为齐次方程，再根据弦化切转化解一元二次方程，最后根据正切函数性质解三角方程；（3）令sin cos t x x =-，将原方程转化为关于t 的一元二次方程，根据t 的范围解得t 的值，再利用辅助角公式以及正弦函数性质解三角方程. 【详解】（1）2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2()23x x x x x k k ππ-+=∴-=∴=∴=±∈Z ；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++= 222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x ∴+++=，显然cos 0x =不是方程的解，所以两边同除2cos x ，得22tan 3tan 10x x ++=， ∴1tan 2x =-或tan 1x =-， ∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴244x k πππ-=+或32()44x k k πππ-=+∈Z ， ∴22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈．【点睛】本题考查解简单三角方程、解一元二次方程、辅助角公式、弦化切，考查综合分析求解能力，属中档题.19.已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．【答案】（1）2n a n =-；（2）12n n-. 【解析】【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得11021210a d a d ⎧⎨⎩＋＝＋＝－，解得111a d ⎧⎨-⎩＝＝，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)设数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ， ∵1121212222n n n n n a n n －－－－－＝＝－， ∴S n ＝2211121222n ⎛⎫⋯ ⎪⎝⎭－＋＋＋＋＋－21231222n n ⎛⎫⋯ ⎪⎝⎭－＋＋＋＋ 记T n ＝21231222n n ⋯－＋＋＋＋，①则12T n ＝231232222n n ⋯＋＋＋＋，② ①－②得：12T n ＝1＋211112222n n n -⋯＋＋＋，∴12T n ＝112112n-－－2n n ，即T n ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－12n n -. ∴S n ＝1212112n ⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n - ＝4112n⎛⎫ ⎪⎝⎭－－4112n ⎛⎫⎪⎝⎭－＋12n n -＝12n n -.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值． 【答案】（1）1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，1311223n n S -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；（2）23． 【解析】 【分析】（1）先根据等差中项得46n n S a =+，再根据和项与通项关系求数列{}n a 的通项公式，最后代入46n n S a =+求n S ；（2）根据n 奇偶性分类讨论n S 取值范围，进而确定t s ，范围，即得t s -的最小值． 【详解】（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =， 又1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，又12a = ∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列， ∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭；（2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立， 此时，1322n S S <=≤； ②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立， 此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=．【点睛】本题考查等差中项、利用和项与通项关系求通项、数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.21.对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号x 表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1a a =，11,0,{0,0.n n nn a a a a +≠==其中1,2,3n =．（1）若2a =，求数列{}n a ；（2）当14a >时，对任意的*n N ∈，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设pa q=（p 是整数，q 是正整数，p q 、互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论． 【答案】（1）21n a =-；（2）15313,21,22⎧⎫-+-+⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（3）成立，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用新定义，可求数列{}n a 的通项公式；（2）分类讨论，利用n a a =，即可求符合要求的实数构成的集合；（3）由是有理数，可知对一切正整数，为或正有理数，可设nn np a q =（是非负整数，是正整数，且，互质），利用反证法可得结论．试题解析：（1）1221a ==，2111212121a a ==-，若21k a =，则112121k ka a +===，所以21n a =. （2）1a a a ==，所以114a <<，所以114a<<， ①当112a <<，即112a <<时，211111a a a a a ===-=，所以210a a +-=， 解15a -+=151(,1)2a --=，舍去）.②当1132a <≤，即123a≤<时，211112a a a a a ===-=，所以2210a a +-=， 解28212a -+==-（1121(,]32a =--∉，舍去）. ③当1143a <≤，即134a≤<时，211113a a a a a ===-=，所以2310a a +-=， 解得3132a -+=（31311(,]243a --=∉舍去）.综上15313,21,22⎧⎫-+-+⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）成立.由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设nn np a q =（n p 是非负整数，是正整数，且nnp q 既约）. ①由111p pa q q ==，可得10p q ≤<； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β≤<，α，β是非负整数），则n n nq p p βα=+，而由n n n p a q =得1nn n q a p =，11n n n n nq a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=,可得10n n p p +≤<. 若0n p =则10n p +=， 若123,,,,q a a a a 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ，但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾. 故123,,,,q a a a a 中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =.从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大于q 的自然数，都有0n a =. 考点：（1）新定义；（2）数列递推式.。
上海市宝山实验学校高一数学文期末试卷含解析
上海市宝山实验学校高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（3）=1，则f（x）=（）A．log3x B．C．log x D．3x﹣2参考答案：A考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：化指数式为对数式，得到f（x）=log a x，结合f（3）=1求得a的值得答案．解答：解：由y=a x（a＞0，且a≠1），得x=log a y（a＞0，且a≠1），x，y互换得，y=log a x，∴f（x）=log a x，又f（3）=1，∴log a3=1，得a=3．∴f（x）=log3x．故选：A．点评：本题考查了函数的反函数的求法，是基础题．2. 不等式＞1的解集是（）A．{x|x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|x∈R}参考答案：A【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】移项通分变形可化原不等式为＞0，即x+2＜0，易得答案．【解答】解：＞1可化为﹣1＞0，整理可得＞0，即x+2＜0，解得x＜﹣2，解集为{x|x＜﹣2}故选：A3. 已知集合，，则（）A．B．[0,+∞) C．D．参考答案：C，∴故选：C4. 下列有关函数性质的说法，不正确的是( )A．若f（x）为增函数，g（x）为增函数，则f（x）+g（x）为增函数B．若f（x）为减函数，g（x）为增函数，则f（x）﹣g（x）为减函数C．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则f（x）﹣g（x）为奇函数D．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则|f（x）|﹣g（x）为偶函数参考答案：C【考点】函数奇偶性的判断．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】本题考查的是函数单调性、奇偶性的判断和证明问题，在解答时应注意进行单调性、奇偶性的分析．【解答】解：若函数f（x），g（x）在R上是增函数，则由函数单调性的定义易知：f（x）+g（x）在R上也是增函数，即A正确；若f（x）为减函数，g（x）为增函数，则由函数单调性的定义易知：f（x）﹣g（x）为减函数，即B 正确；f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）≠﹣f（x）+g（x），∴C不正确；|f（﹣x）|﹣g（﹣x）=|f（x）|﹣g（x），∴|f（x）|﹣g（x）为偶函数，即D正确．故选：C．【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性的判断和证明问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性、奇偶性的定义．5. 如果集合，那么( )A． B． C． D．参考答案：D略6. 若sinαcosα＞0，cosαtanα＜0，则α的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：C【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】根据题意和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”进行判断α终边所在的位置．【解答】解：∵sinαcosα＞0，∴α是第一或第三象限角，∵cosαtanα＜0，∴α是第三或第四象限角，则角α的终边落在第三象限．故选：C．7. （3分）执行下面的程序框图，输出的S=（）A．25 B．9 C．17 D．20参考答案：C考点：程序框图．专题：图表型．分析：本题首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量T的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解答：按照程序框图依次执行为S=1，n=0，T=0；S=9，n=2，T=0+4=4；S=17，n=4，T=4+16=20＞S，退出循环，输出S=17．故选C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．8. 若在是减函数，则a的最大值是A. B. C. D.参考答案：A分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1). (2)周期(3)由求对称轴，(4)由求增区间;由求减区间.9. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：B【考点】二倍角的余弦；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．10. A，B，C为圆O上三点，且直线OC与直线AB交于圆外一点，若=m+n，则m+n的范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）参考答案：A【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可设直线OC与直线AB交于点D，这样画出图形，从而可得出，并得到k＞1，进而得出，由A，B，D三点共线即可得到km+kn=1，这样根据k的范围，即可求出m+n的范围．【解答】解：如图，设直线OC与直线AB交于D，则：，且k＞1；又；∴，且A，B，D三点共线；∴km+kn=1；∴，k＞1；∴0＜m+n＜1；即m+n的范围是（0，1）．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调递减区间为.参考答案：12. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，当取最大值时，角B的值为．参考答案：13. 求值：▲ ．参考答案：14. 已知sin(+)=，则cos(+)的值为 。
2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】(1)
2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________一、填空题1. 计算： ------- :—"~*亚4对+ 12. 已知数列；一「为等差数列，•―- ■-，贝V二3. 在等比数列，中，二y - m ,则—的值为4. 已知；；是等差数列，是其前*项和，•，则45. 函数 -■- 在上「一1」.的值域是6. 数列■:中，込一；，,一二，“；一，.一心“ ■-監,贝V ：的前2015项和= ----------------------- ----7. 在数列.「中，已知广二」..二1* ,且数列•化+菇是等比数列，则9.函数v = sin —+ cos —在f —hT-"\内的单调递增区间为J7争rr10. 在厶'、、、；、中，已知，贝「1, 的取值范围是11. 在等腰直角 中， ，-一 i ,形，如图所示，若正方形的面积依次为 -.八，则•’•‘12.已知数列｛nJ 满足q ・-1勺 ＞斫.匕灼-他卜严⑷「V*）,若数列 ；单调递减，数列；’ 单调递增，则数列罠「；■的通项公式为-=8. 执行右边的程序框图，若 「二、 ，则输出的X1BC 中排列着内接正方（从大到小），其中、选择题) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.A B.C 的对边分别为 门、氏匸.已知c =C,-EU11 A •C . 钝角三角形D .不能确定14.利用数学归纳法证明“ 1 +灯一小 4-L + /' =■|芒 1、 n e A ) ”,在验1 一证 -,成立时，等号左边是()A .B .C .D .1十亓+打】15.在等差数列打 中， 若且的前•项和有最小值， 则使得 |的最小 值 n 为(A .11B .19C .D16. 有穷数列, CT, ， …，- 中的每一项都是一 II , 0 ,1这三个数中的某一个数，若 灯1+ +…+ =425,且 i 一 1 r+・+'+…+■ = 3870 ,则有穷数列■- , ■ ■ ■ ■ ，：： ,中值为0的项数是()A ..■. C B .；门$.1010D . 1030三、 解答题)在 ^中，右，则一宀的形状是()锐角三角形________________ B .直角三角形13. A .(本题满分8分ZU2?C 中，内角 17.在 (1 )求.；，的大小；(2 )若-7.7 ，求 _；；的面积.18. (本题满分8分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.已知；[、：：|| . ^ ^ 一■； .■'|| — ，■，且函数’图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是—•(1 )求的值；(2)将函数= _■/-,,>>的图像向右平移— 个单位后，得到函数■ = 的图像,6 求函数•的解析式，并求 • 在——-上的最值.19. (本题满分10分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分已知数列；.：的首项.■ .「 「.(1 )求证：数列；—-J.为等比数列；•%」(2) 记「；-」--[* ，若| ,求最大正整数坏 %6本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分-公司开拓国际市场，基本形成了市场规模个月(20 14年1月为第一个月)产品的 内销量、出口量和销售总量(销售总量=内销量斗出口量)分别为人 、 和•. (单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：.-,■1 T 1Ifl匚-匚广；广叮(其中为常数，卄二严)，已知 一万件，• 一 万件，. -万件• (1 )求的值，并写出•-与满足的关系式；(2)证明：逐月递增且控制在2万件内•21. (本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分•设等比数列..’的前.项的和为 ，公比为，亩戏口 (1 )若 成等差数列，求证：.成等差数列；(2 )若 ..(-为互不相等的正整数)成等差数列，试问数列I 〕中是20. (本题满分12分)在上海自贸区的利好刺激下 自20 14年1月以来的第否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由； (3)若：.为大于的正整数•试问.:中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由.参考答案及解析第1题【答案】【解析】第2题【答案】【解析】试题分析;由等差数列求和公式£ =即吗十— d 0 = 3 5 ??+戈匕_ x (-2 )/_n = 362 2第3题【答案】 4【解析】--- —Z -- — 一 2 4阳一 1 2试题分析:试题分析：= 102+flj = 1024 =4第4题【答案】-1【解析】第5题【答案】［討］【解析】第6题【答案】1【解析】试题分析：由递推公式应-可得各项依次为12X-1-Z-1J.2,所決周期为d,前6项和 为°,所以电町二珂_込+气+丐+%二“第7题【答案】2 3^-re【解析】试题分折：数列⑺号对第二项込十2-6 ,第三项◎十3二1& ,等比数列公比対3/.心 十 M 二& 3,1~-二心 二 2 3：'-1- n第8题【答案】试题分析;- 1T-CCOE ； A试题分析;s n A【解析】H5：程序执行中的费据变怙尸〃士46 = 2”击.27®二丄十丄L 6<7J 7 = 7,J -—+ —+L +—7<7不成立,输岀 2x3 3><4 2«3 3 如 7«81 】q 丄1 1 1 3二； -- 十 ---- -T [ 十 ---- 二一一一二一 2凉 A4 7^8 2 8 S第9题【答案】【解析】Q r e （~2^r,2^） : 乂亡乂+ 乞214第10题【答案】试题分析：过A 作血）丄EC 于D 」B = 60". C = 2, B[1<1 = 1 0寸、mC 二1』当取=4时 试题分析：严 响吟+遇于三』5血-+ - 匕4丿（35e — /T, —/r I 4 4令三畀 2托714€72'2、增区间为卜寻&・所a sin c 的取值范围是[£i]At【解析】此A 寸=第11题【答案】92【解析】x3 —迸试题分析；设第一个正方形的边长为知贝恼相佩三角册可得= S产4再宙ffilU三角形可得卅丄比L构成4为首项，扌为公比的等比数列，S 4 9■■魚⑶+ S/L ^^)=^-=—=-9第12题【答案】E-L【解析】试题分析；采用列举法得刊=-g =1*理=-3心=5•码=—1血二21L 、然后从数字的变化上找规律，得％广碣二(T厂2” •「①=(外亠％JH為叫卄叽)+L卡@十的)=(—1丫05(Typr+L ±2U2T-1 (-2)^-1 | (-2?-1■■«■-J ■■ 电第13题【答案】【解析】试题分析:由正弦翹里可将迪Ur in诂“血C诗化为R > 丁/nf—十h】一F，7F _LcosC=——； ----- >OAC<-,由已知A，B角的范围不确定，因此形状不能确定2ab2第14题【答案】C【解析】试题分析：n = l时等号左恻卫的最高次数为為所以所边为"卄亍第15题【答案】C【解析】试题分析：M的前斤项和必有最小倩，所以豹列单调递增，且首项巧<o•:加—1二％<0^n>0 且％+知>0.兀二WSjqJ二旧％丸虽二沙匹）二10（佝旳,所以使得\>0的最小1削—--第16题【答案】【解析】试题分析！（巧十1）' +0 +1）]丰他寸1尸+'" + （%手+1）J=3E7OR开得佃+L +d■审”）+2&十碣*L +«；0]j ）+2015 = 3870 ”-&+卅4|_ +咗严E0S ・所以7 ,1共W1E硕，刪,值为0啊I页骚是血0天第17题【答案】（1）R = —（2）M 或需【解析】试题分析；⑴ 由关系式刘1^4$)*诚/_£) =wA・结合两角和差的正弦展开式化简可求得8汕的值，得到B角大小£⑵ 由B甬和方疋边利坪余弦定理可求得静边长，结合三角形面积公式S = —^c s-iii *求得面积2试题解析：（1）2&111.4^0£5= SAH A => eos5 -—或虹n 勺兰0（雋）f/. B28 = a2?良卩口' -6^ + S = 0 、二&二2站二4当（? = 2 时，S ——CC sin R 二3 迟；当/T= 4 B寸：S ——crc&in R — 6爲第18题【答案】⑴1⑵sM^ = n ,厭工)碍二运【解析】试题分析；⑴由对称轴的距蛊求得函数周期，进而得到血IB,代入7(0)-0可戒得倂角：从而确JT 7T 定函数解析式，将自变量“亍代入求解的值,⑵由平移规律得到函数y=^W的解析式h 4咖二岳inp■勻,由工的范围得到"■彳的范围，进而结合单调性求得函数最值试题解析：(1) /M=^2sin(^4^+-)_7 = ^ A，■*'- VFsmpx)…'/(彳)-JJsdil 二-14第19题【答案】详见解析(2)99【解析】试西并析：CD证明数列是等比数列需证明数列相邻两项的比值为常数，井且首项不为①本题中通过数列& ｝的递推公式入手将其变形1冋j⑵借助于(1)的结论求得数列S ｝的的通项公比进而得到数列］三］的通项公式」结合特点采用分组拥闻W比数列求和公式可得到爲的表达式，解不孝武可求得：值’T ⑴Q土中护亡-1说乜,且Q「“.右I"”⑵由⑴可求得于第20题【答案】（1）应二Lb二"g, g] =2屯档士/ C3详见解析A£【解析】试题分析；（1）依蛊意：口―】=■巾+】=吗+內+占如'；将諏1，2；构建方程组丿冃卩可求得S b的値，从而可得為巧芍町满足的关系式』⑵先证明3“為-如/"*6_2卄少2 , 于是供＜2 .再用作差法证明久亡弘,从而可得结论；试题解析：Ci）依ffiiS：口“二矗齐十£卄]二“％十口,，、 3 *.\ 0\ —皿】丄诃十5CT*,「*阿+1十H寸一“ ........ ① 又立* —+ t7r卄by jI r j ■■■■u Ji IA -£7+- + ^! -V=- .................. ②解①②得＜7=1,6 = -2 2 （2 丿8 2从而口m二2口厂十「（2）由于码T = 2珂厂+口；=一片（臥一2）】十2$2・但碍・1工2・否贝」可推得% =匹=2矛盾・故孝&偽・严2 ,于ftn, ＜ 2 .又旳〒1_码=_*V・2码-q =-斗码（码・2）:＞0 ,所決為勺卜仇，从而＜2 .第21题【答案】（1）详见解析（2）心+].dg.q.] （3）不存在【解析】试题分析：⑴ 根据％%爲成等差数列，q^l,可得2几=2 +耳,化简可得,进而可以证明如.％你成等差数列,（2）根据凡・片$ 51为互不相等的正整数）成等差数列、可得2S#二几4Sr ；化简可得2叩「4珂7‘ ；从而可得％“叶知成尊差数列，即可得出结论,<3）设存在一项①,使得丑・恰好可以表示/该数列中连续两项的和，设冷=6斗％] ）可得斤>"} q s'n =1+（?，从而可得结论试题解析：（1）若Z，咼成等差数列,则2S宀览,即2円（1一/；） _ 竹（1-/> | 呵（1-扌）\・q '■ q \-q+ ” …：靳二1 + / ,又2弧- （% +a u） = 2如7 -（a}q9 + qg"） = qg°（2/ T -『）=0|.・2<7|g = CT]。
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题含解析
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//αβ，则下列三个结论：①//a b 、②a b ⊥、③a β⊥．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】根据题意，a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，因此//a b ，a β⊥，不难判断.【详解】因为a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，所以//a b ，a β⊥，所以①正确，②不正确，③正确，则其中正确命题的个数为2.故选C【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间推理能力，属于简单题.2．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会. 方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( )A ．①Ⅰ，②ⅡB ．①Ⅲ，②ⅠC ．①Ⅱ，②ⅢD ．①Ⅲ，②Ⅱ 【答案】B【解析】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选B ．3．已知a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b >B ．a b <C ．22a b <D ．33a b <【答案】D【解析】【分析】利用排除法，取3a =-，2b =，可排除错误选项，再结合函数3y x =的单调性，可证明D 正确.【详解】取3a =-，2b =，可排除A ，B ，C ，由函数3y x =是R 上的增函数，又a b <，所以33a b <，即选项D 正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4．已知数列{}{},n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．64【答案】D【解析】 试题分析：依题意可知，1n n n a a b ++=，12n n n a a +⋅=，1122n n n a a +++⋅=，所以12212n n n n n na a a a a a ++++⋅==⋅.即22n n a a +=，故312a a =，53124a a a ==，75128a a a ==，971216a a a ==.11a =，所以916a =，又可知9910102512,32a a a ⋅==∴=.1010111121024,32a a a ⋅==∴=,故10101164b a a =+=.考点：函数的零点、数列的递推公式5．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min ，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D. 考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．6．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A ．1B ．5C ．9D ．4【答案】C【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4=b a ．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=． 考点：等差中项和等比中项．7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P = 故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】 由题意求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，解得182n ≤+，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得68726a a a +==，即73a =又由96789833S S a a a a -=++==，即81a =，所以等差数列的公差为872d a a =-=-，又由7116123a a d a =+=-=，解得115a =， 所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-，令1720n a n =-≥，解得182n ≤+， 所以使得n S 取得最大值时n 的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n 项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为( )A ．()()22215x y -+-=B ．()()22125x y ++-=C ．()()22125x y -++=D ．()()22215x y ++-= 【答案】D【解析】【分析】根据已知圆的方程可得其圆心()2,1-，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解.【详解】由圆()()22215x y -++=，则圆心为()2,1-，半径r =圆心为()2,1-关于原点对称点为()2,1-，所以圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为()()22215x y ++-=.故选：D【点睛】本题考查了根据圆心与半径求圆的标准方程，属于基础题.10．直线210x ay +-=与平行，则a 的值为( ) A ．12 B ．12或0 C ．0 D ．－2或0 【答案】A【解析】【分析】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解出a 值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【详解】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解得0a =或12a =, 又0a =时,直线10x -=与10x -+=表示同一条直线, 故12a =, 故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键. 11．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤ 【答案】D【解析】【分析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩或或或或 当022a ∆<⇒-<<综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】 本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．12．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下列命题正确是（ ）A ．m ∥n ，m ∥α⇒n ∥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ⊥nD ．α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β 【答案】D【解析】【分析】在A 中，n ∥α或n ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β． 【详解】由两条直线m ，n ，两个平面α，β，知：在A 中，m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α或n ⊂α，故A 错误； 在B 中，α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若53a =,392S =,则5S =______. 【答案】10【解析】【分析】将5a 和3S 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解5S .【详解】设该数列的公差为d ，由题可知： ()1143932a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故5151010S a d =+=.故答案为：10.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前n 项和，属基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式n a =__________．【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】分析：先根据和项与通项关系得当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，再检验，1n =时，1a 不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解： ∵已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，∴当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，222211[(1)1](1)21n n n a S S n n n n n -=-=----=--=-，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩． 点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.15．已知直线20ax y +-=平分圆22(1)()4x y a -+-=的周长，则实数a =________．【答案】1【解析】【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a ）在直线20ax y +-=上，所以20,1a a a +-=∴=.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．已知3sin()45πθ-=，则sin 2θ的值为______ 【答案】725 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式，化简3sin()cos 4225πθθθ-=-=，解出sin cos θθ-的值，再平方，即可求解.【详解】由题意，可知3sin()45πθθθ-=-=，sin cos θθ∴-=1812sin cos 25θθ-= 72sin cos 25θθ∴=则7sin 225θ=故答案为：725【点睛】本题考查三角函数常用公式()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-关系转换，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。