二次函数的一般式化为顶点式(课堂PPT)
26.1_二次函数的一般式(3
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x顶 2 0.5 4
4 0.53 42
y顶
4 0.5
5
顶点坐标为4, 5
对称轴x 4
当x 4时，y最小值＝-5
2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直 角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？
y x2
8 6
4 2
－4 －2
y 2x2
y 1 x2 2
24
顶点式 y=a(x-h)2+k
顶点坐标(h , k) 对称轴 x=h 当a>0, x=h时,y有最小值为k 当a<0, x=h时,y有最大值为k x>h表示在对称轴的右侧 x<h表示在对称轴的左侧
当h=0时,顶点在y轴上； 当k=0时顶点在x轴上
配方可得 y 1 x2 6x 21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21 的顶点是（6，3），对称轴 2
是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
7.5 x
y 1 x2 6x 21 2
·· ·
··
3
45
5 3.5
6
3
7
3.5
8
9
·· ·
y
y
o
x
o
x
y
o y
x y
o
x
o
x
与y轴交点的求法：令x=0,得到y=c 即（0，c）
y
与y轴始终有一个交点（0，c）
C
x1 o
x2 x
二次函数的一般式化为顶点式
二次函数的一般式化为顶点式二次函数是数学中的一种常见函数形式，通常可以表示为一般式y = ax^2 + bx + c的形式。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
而将二次函数的一般式化为顶点式，则可以得到y = a(x - h)^2 + k的形式，其中(h, k)为二次函数的顶点坐标。
接下来，我们将详细介绍如何将二次函数的一般式化为顶点式，并解释其中的数学原理和几何意义。
我们来了解一下二次函数的一般式。
在一般式中，x为自变量，y为因变量。
a、b、c分别代表二次函数曲线的特征参数。
其中，a决定了二次函数的开口方向和曲线的陡峭程度，a大于0时开口向上，a 小于0时开口向下。
b决定了二次函数曲线在x轴方向的平移，正值向左平移，负值向右平移。
c则决定了二次函数曲线在y轴方向的平移，正值向上平移，负值向下平移。
接下来，我们来推导将二次函数的一般式化为顶点式的方法。
首先，我们将一般式中的x^2项提取出来，即写成y = a(x^2 + (b/a)x) + c的形式。
然后，我们将括号中的内容进行配方，即将(x^2 + (b/a)x)写成(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2的形式。
将这个结果代入一般式中，得到y = a(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c。
进一步化简，得到y = a(x + b/2a)^2 + (4ac - b^2)/(4a)。
将最后一个式子进行变形，得到y = a(x - (-b/2a))^2 + (4ac - b^2)/(4a)的形式。
从上述推导过程可以看出，我们将二次函数的一般式化为顶点式的关键步骤就是完成平方配方，并将平方项移到括号中。
通过这个变换，我们可以明显地看出顶点坐标为(-b/2a, (4ac - b^2)/(4a))，即h = -b/2a，k = (4ac - b^2)/(4a)。
因此，二次函数的顶点式可以表示为y = a(x - h)^2 + k的形式。
二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
一般式化为顶点式公式
一般式化为顶点式公式关键信息项：1、一般式的表达式2、顶点式的表达式3、转化的步骤和方法4、公式推导的原理5、应用实例及解析11 一般式与顶点式的定义111 一般式：形如＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（其中＄a ＼neq 0$）的二次函数表达式称为一般式。
112 顶点式：形如＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（其中＄a ＼neq 0$，＄（h, k)＄为顶点坐标）的二次函数表达式称为顶点式。
12 一般式化为顶点式的重要性121 顶点式能够直观地反映出二次函数的顶点坐标，有助于分析函数的最值和对称轴等重要性质。
122 在解决实际问题和数学计算中，有时需要将一般式转化为顶点式以更方便地进行分析和计算。
13 一般式化为顶点式的公式推导131 对一般式＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$ 进行配方：＄y ＝ a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x) ＋ c$＄y ＝ a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＋＼frac{b^2}｛4a^2} ＼frac{b^2}｛4a^2}）＋ c$＄y ＝ a(（x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＼frac{b^2}｛4a^2}）＋ c$＄y ＝ a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＼frac{b^2}｛4a} ＋ c$132 整理可得顶点式：＄y ＝ a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＋＼frac{4ac b^2}｛4a}＄14 转化步骤总结141 提出二次项系数＄a$。
142 在括号内对＄x$ 的一次项和二次项进行配方。
143 整理得到顶点式。
15 应用实例151 例 1：将一般式＄y ＝ 2x^2 ＋ 4x 1$ 化为顶点式。
首先，提出二次项系数 2：＄y ＝ 2(x^2 ＋ 2x) 1$然后，配方：＄y ＝ 2(x^2 ＋ 2x ＋ 1 1) 1 ＝ 2(（x ＋ 1)＾2 1) 1$整理得：＄y ＝ 2(x ＋ 1)＾2 3$152 例 2：已知二次函数的一般式为＄y ＝ x^2 ＋ 6x ＋ 5$，求其顶点坐标。
26.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质PPT课件(华师大版)
26.2 二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
学习目标
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-
h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. （重点）
导入新课
复习引入
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当x> b 时，y随x的增大而增大.
2a
O
x
(2) 如大果；a当<x0>,当 x2b<a 时2ba，时y随，xy的随增x的大增而大减而小增.
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减
小，则实数b的取值范围是（ ）
D
A．b≥－1
B．b≤－1
? ?
最值
最大值0 最大值-5 最大值0 最大值-4
最小值3 ? ?
讲授新课
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ y 1 x2 6x 21
2
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的情势？ 2
D
A.y轴 C. 直线x=2
B.直线x= 5
2
D.直线x= 3
2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
y
示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0； （4）当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 （2.）
二次函数的一般式化为顶点式
2020年3月26日星期四
5
将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到 y 3 x 22 5 的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
2020年3月26日星期四
2020年3月26日星期四
13
y=ax2+bx+c =a(x2+ b x)+c
a
=
a[x2+
b
a x+
( b )2]-
2a
( b )2a +c
2a
=a(x+ b )2+ 4ac b2
2a
4a
14
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
①y=2x2-5x+3②y=－ 1 x2+4x-9 ③y=(x-3)(x+2)
y 3 x 22 5 的图象？
2020年3月26日星期四
4
3．y 3 x 22 5 的顶点坐标是(－2，－5)，
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
像的特征吗？
2020年3月26日星期四
7
如何画出 y -2x2 8x-7 的图象呢?
我们知道,像y=a(x+h)2+k这样的函数, 容易确定相应抛物线的顶点为(-h,k), 二次 函数y -2x2 8x-7 也能化成这样的形式 吗?
2020年3月26日星期四
二次函数复习-完整版PPT课件
第二十二章 二次函数
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
课后训练
知识网络
二次函数的概念
定义 一般形式
y=a2bc
a,b,c是常数，a≠0
自变量的取值范围 全体实数
图象
一条抛物线
一般式
二
次 解析式形式 顶点式
函
数
交点式
y=a2bca≠0 y=a-h2 y=a-1-2
y=a2bc
1,2）；
y
C’
C
Q
B
OA x
图2
丙1,15
丁
0,1
4,1
1m
甲
2.5m
乙
1m
4m
解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物a线的b 解1析1式.5,为y=a2b1
点（1,15）、（4,1）在抛物线上，得 16a 4b 1 1,
解得：a ， 所1 ,b以抛2 物线解析式为
63
y1x22x1(1≤ x≤ 4） , 63
当=25时，y=1625所以丁同学的身高为1625米
应
用
二次函数的概念 及图象特征
用数形结合 的方法去研 究和运用
建立二次函数模型， 将实际问题数学化， 运用二次函数知识 解决实际问题
课后训练
=-2-523 ，下列说法正确的是（ ）
A
A开口向下，顶点坐标5,3 B开口向上，顶点坐标5,3
C开口向下，顶点坐标-5,3 D开口向上，顶点坐标-5,3
>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=a2bc的是 （ A）
a ≠ 0 性 质 六点、一轴、一方及增减性与最值
二次函数中一般式转化为顶点式
二次函数中一般式转化为顶点式在学习二次函数时，我们常常会遇到将一般式转化为顶点式的问题。
这一转化过程不仅是数学知识的重要应用，也为我们解决二次函数的相关问题提供了极大的便利。
二次函数的一般式为$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（其中$a ＼neq 0$），而顶点式为$y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$。
顶点式的优点在于能够直接看出函数的顶点坐标$（h, k)＄，这对于我们研究函数的最值、对称轴等性质非常有帮助。
那么，如何实现从一般式到顶点式的转化呢？这就需要用到配方法。
我们以一个具体的二次函数$y ＝ 2x^2 ＋ 4x 3$为例来进行讲解。
首先，提出二次项系数$2$，得到：＄y ＝ 2(x^2 ＋ 2x) 3$然后，在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个值，以保持等式不变。
一次项系数为$2$，一半是$1$，＄1$的平方是$1$，所以得到：＼＼begin{align}y&＝2(x^2 ＋ 2x ＋ 1 1) 3\＼＆＝2(（x ＋ 1)＾2 1) 3\＼＆＝2(x ＋ 1)＾2 2 3\＼＆＝2(x ＋ 1)＾2 5＼end{align}＼这样，我们就把一般式转化为了顶点式，顶点坐标为$（－1, －5)＄。
再来看一个例子，＄y ＝－3x^2 6x ＋ 1$同样先提出二次项系数$－3$，得到：＄y ＝－3(x^2 ＋ 2x) ＋ 1$然后，在括号内加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$2$，一半是$1$，＄1$的平方是$1$，得到：＼＼begin{align}y&＝－3(x^2 ＋ 2x ＋ 1 1) ＋ 1\＼＆＝－3(（x ＋ 1)＾2 1) ＋ 1\＼＆＝－3(x ＋ 1)＾2 ＋ 3 ＋ 1\＼＆＝－3(x ＋ 1)＾2 ＋ 4＼end{align}＼此时，顶点坐标为$（－1, 4)＄。
通过这两个例子，我们可以总结出一般的转化步骤：第一步，提出二次项系数，使得括号内的二次项系数为$1$。
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y
···
· ·0
x
··
·
·
如何画出
y
1x2 2
6x21的图象呢?
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数, 容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函 数 y1x2 6x21也能化成这样的形式吗
2
?
y=ax2+bx+c
b
=a(x2+ x)+c
a
= a[x2+
Hale Waihona Puke b ax+
(
b 2a
) 2 ]-
y3x212x7，那么如何将抛物线 y 3 x 2的图 像移动，得到的 y3x212x7 图像呢？
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
开口方 对称轴 顶点坐标 向
向上 直线x=–3 （－3，5）
向下 直线x=1 （1，－2）
向上 直线x=3 （3，7 ） 向下 直线x=2 （2，－6）
你能说出二次函数y=-2x 2－8x-7图 像的特征吗？
如何画出 y-2x28x-7 的图象呢?
我们知道,像y=a(x+h)2+k这样的函数, 容易确定相应抛物线的顶点为(-h,k), 二次 函数y-2x28x-7 也能化成这样的形式 吗?
(
b 2a
)2
a
+c
=a(x+ b )2+ 4 a c b 2
2a
4a
2020/7/10
14
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
①y=2x2-5x+3②y=－ 1 x2+4x-9 ③y=(x-3)(x+2)
2
请画出草图:
3
－9
－6
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在
A.第一象限
B.第二象限
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=-h ；
3.顶点坐标是 (-h,k)。
1．yax+h2k 的顶点坐标是_（__-_h_，__k_），
对称轴是__直__线__x_＝__-h_ 2．怎样把 y 3 x 2的图象移动，便可得到
y3x22 5的图象？
3．y3x22 5的顶点坐标是(－2，－5)，
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
将抛物线 y 3 x 2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到 y3x22 5的图 象，将 y3x22 5 化为一般式为
y-2x28x-7 你知道是怎样配
方的吗？
配
(1)“提”：提出二次项系数；
方
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
y=-2 (x+2)2 +1
归纳 二次函数 y=- 2x2 －8x -7图象的画法：
(1)“化” ：化成顶点式 ； (2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标； (3)“画”：列表、描点、连线。
y2x28x7
2 x 2 4x 7
2 x 2 4x 4 7 8
2 x 22 1
可见，函数图像的开口方向向下，顶点坐标（-2，1） 对称轴为x=-2
根据函数的对称性列表：
x
… -2 -1.5 -1 -0.5 0 ... ... …
y=-2(x+2)²+1
1 0.5 -1 -3.5 -7
二次函数y=ax²+bx+c的一般式化 为顶点式
y
o
x
y=ax²（a＞0)
－4 －2
24 -2 -4 -6
y=ax²（a＜0)
一般地，抛物线y=a(x+h)2 +k 与y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x+h2) +k 左加右减
抛物线y=a(x+h)2+k有如下特点:
C.第三象限
D.第四象限
（C ）
2.不论k 取任何实数，抛物线
y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在
（B ）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上
D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a
的值是
（A）
• A 4 B. -1
C. 3
D.4或-1