2015年吉林省实验高三第三次模拟试题

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数2i1+i 的共轭复数为（A ）1+i（B ）1i -（C ）1+i -（D ）1i --（2）命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（A ）对任意x ∈R ，都有x 2＜0 （B ）不存在x ∈R ，使得x 2＜0（C ）存在x 0∈R ，使得x 20≥0 （D ）存在x 0∈R ，使得x 20＜0（3）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ）2（4）设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知38S =，67S =，则789a a a ++= （A ）578 （B ）558 （C ）18 （D ）18- （5）已知向量(sin 2)θ=-，a ，(1cos )θ=，b ，且⊥a b ，则2sin 2cos θθ+的值为 （A ）1（B ）2（C ）12（D ）3（6）如图，设区域{}()|0101D x y x y =，，≤≤≤≤，向区域内随机投{}3()|010≤≤≤≤M x y x y x =，，内的概率是（A ）14 （B ）13 （C ）25 （D ）27（7）设αβγ，，为平面，m n ，为直线，则m β⊥的一个充分条件是（A ）n m n αβαβ⊥⊥，，= （B ）m αγαγβγ⊥⊥，，= （C ）m αββγα⊥⊥⊥，， （D ）n n m αβα⊥⊥⊥，，（8）过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的 横坐标为3，|PQ |＝10，则抛物线方程是（A ）y 2＝4x （B ） y 2＝2x （C ） y 2＝8x （D ）y 2＝6x （9）已知两个实数()a b a b ≠，，满足a b ae be =．命题:ln ln p a a b b +=+；命题:(1)(1)0q a b ++>，则下列命题正确的是（A ）p 真q 假 （B ）p 假q 真 （C ）p 真q 真 （D ）p 假q 假3（10）已知E F ，分别是矩形ABCD 的边BC 与AD 的中点，且22BC AB ==，现沿EF 将平面ABEF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，则三棱锥A FEC -外接球的体积为 （A （B （C （D ）（11）若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间()62ππ，是减函数，则a 的取值范围是（A ）()2,4 （B ）(],2-∞ （C ）(],4-∞ （D ）[)4,+∞（12）设双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线l 交两条渐近线于A 、B 两点，l 与双曲线的一个交点为P ，设O 为坐标原点，若OP mOA nOB =+()m n ∈R ，，且29mn =，则该双曲线的离心率为（A （B （C （D ）89第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_______（结果用最简分数表示）． （14）在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为 （结果用数字表示）．（15）已知函数f (x )＝|x －3|＋1，g (x )＝ax ．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是 ．（16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S a ， ，n nS a （18,≤∈*n N n ）中最大的项是 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）已知()f x =⋅a b ，其中(2cos ,2)x x =a ，(cos ,1)x =b ，R x ∈． （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f A =-，a =且向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线，求边长b 和c 的值．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P —AB CD 中，底面A BC D 是矩形，PA ⊥底面A BC D ，PA ＝A B ＝1， AD F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．P（Ⅰ）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ； （Ⅱ）当BE 为何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小是45°？（19）（本小题满分12分）现有6名学生，按下列要求回答问题（列出算式，并计算出结果）：（Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数； （Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；（Ⅲ）把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数； （Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率．．．（20）（本小题满分12分）如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y 在点A ，B 处的切线垂直相交于点P ，直线AB 与椭圆C 2：22142x y +=相交于C ，D 两点． （Ⅰ）求抛物线C 1的焦点F 与椭圆C 2的左焦点F 1的距离；（Ⅱ）设点P 到直线AB 的距离为d ，是否存在直线AB ，使得|AB |，d ，|CD |成等比数列？若存在，求出直线AB（21）（本小题满分12分） 已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）设2()()(0)≥g x f x ax a =-，l 是曲线()y g x =的一条切线，证明：曲线()y g x = 上的任意一点都不可能在直线l 的上方；（Ⅲ）求证：12482(1)(1)(1)[1]e 233559(21)(21)nn n -+⋅+⋅++<⨯⨯⨯++（其中e 为自然对数的底数，n ∈N *）．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲已知△ABC 中，AB AC =，D 为△ABC 外接圆劣弧AC 上的点（不与点A 、C 重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．（Ⅰ）求证：CDF EDF∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB⋅⋅=⋅⋅．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为cos1sinx ty tαα=⎧⎨=+⎩（t为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρcos2θ＝4sinθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|＝8，求α的值．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()|1|||Rf x x x a a=-+-∈，．（Ⅰ）当4a=时，求不等式()5f x≥的解集；（Ⅱ）若()4f x≥对任意Rx∈恒成立，求a的取值范围．（Ⅱ）∵()12cos213f A Aπ⎛⎫=++=-⎪⎝⎭，∴cos213Aπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，又72333Aπππ<+<，∴23Aππ+=，即3Aπ=，∵a=()22222cos37a b c bc A b c bc=+-=+-=．因为向量(3,sin)B=m与(2,sin)C=n共线，所以2sin3sinB C=，由正弦定理得23b c=，∴3,2b c==．（18）解：（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，则11(0,0,1),(0,1,0),(0,,),22P B F D．设BE x=，则(,1,0)E x，所以11(,1,1)(0,,)022PE AF x⋅=-⋅=，即无论点E在边BC的何处，都有AF PE⊥．（Ⅱ）设BE x=，平面PDE的法向量为(,,1)p q=m，由PDPE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm得=-m而(0,0,1)AP=，依题意得PA与平面PDE所成的角为45°，所以sin45APAP⋅︒==mm，=，解得BE x==-或BE x==+（舍）（19）解：（Ⅰ）661A3602=（Ⅱ）421424A A C 192⋅⋅=（Ⅲ）22113111446421632144223223C C C C C C C C A A 1560A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=⋅ （Ⅳ）2324322525A A A 3A A 5P ⋅⋅==⋅于是点P (2k ，－1)到直线AB ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝2k 2＋21＋k2＝21＋k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －2＝0， 从而|CD |＝1＋k 2＝1＋k 2 8(1＋4k 2)1＋2k 2，同理，|AB |＝4(1＋k 2) ．若|AB |，d ，|CD |成等比数列，则d 2＝|AB |·|CD |，即(21＋k 2)2＝4(1＋k 2)·1＋k 28(1＋4k 2)1＋2k 2，化简整理，得28k 4＋36k 2＋7＝0，此方程无实根， 所以不存在直线AB ，使得|AB |，d ，|CD |成等比数列．（21）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(1,)-+∞，1()111xf x x x '=-=-++，令()0f x '=，得0x =． 当10x -<<时，()0f x '>，∴()f x 在(1,0)-上是增函数，当0x >时，()0f x '<，∴()f x 在(0,)+∞上是减函数， 故()f x 在0x =处取得最大值()0f x =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得2()ln(1)(0)≥g x x ax x a =+--，设00(,())M x g x 是曲线()g x 上的一点，则()y g x =在点M 处的切线方程为000()()()y g x g x x x '-=-，即00001(21)()()1y ax x x f x x =---++，令00001()()[(21)()()]1h x g x ax x x f x x =----++ 则0011()21(21)11h x ax ax x x '=-----++， ∵0()0h x '=，()h x '在(1,)-+∞上是减函数，∴()h x 在0x x =处取得最大值0()0h x =，即()0≤h x 恒成立， 故曲线()y g x =上的任意一点不可能在直线l 的上方．（Ⅲ）由（Ⅰ）知ln(1)≤x x +在(1,)-+∞上恒成立，当且仅当0x =时，等号成立，故当1x >-且0x ≠时，有ln(1)x x +<，又因为112112()(21)(21)2121n n n n n--=-++++，所以 12482ln{(1)(1)(1)[1]}233559(21)(21)nn n -++++⨯⨯⨯++12482ln(1)ln(1)ln(1)ln[1]233559(21)(21)nn n -=++++++++⨯⨯⨯++12482233559(21)(21)nn n -<++++⨯⨯⨯++ 1111111112[()()()()]2335592121n n-=-+-+-++-++ 1122()1122121n n =-=-<++所以12482(1)(1)(1)[1]233559(21)(21)nn n e -+++⋅⋅+<⨯⨯⨯++．∴12||||8AB t t =-==，∴cos α=，则4πα=或34π．（24）解：（Ⅰ）当4a =时，不等式()5f x ≥为|1||4|5x x -+-≥， 所以1255x x <⎧⎨-+⎩≥或1435x ⎧⎨⎩≤≤≥或4255x x >⎧⎨-⎩≥，解得0x ≤或5x ≥，故不等式()5f x ≥的解集为{x |x ≤0，或x ≥5}．（Ⅱ）因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =-+----=-≥（当1x =时等号成立），所以min ()|1|f x a =-，由题意得|1|4a -≥，解得3a -≤或5a ≥．。