吉林省实验中学 2020-2021 学年度高三年级第三次诊断考试数学(理科)答案

吉林省实验中学2020-2021学年度高三年级第三次诊断考试数学（理科）答案出题人：贾雪泓 审题人：高三数学备课组13．12- 14．52- 15． 22(1)4x y -+= 16三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，以(1,0)M -为圆心的圆与直线30x -=相切． （1）求圆M 的方程；（2）如果圆M 上存在两点关于直线:10l mx y ++=对称，求点(1,3)A -关于直线l 的对称点A '的坐标．【解析】（1）依题意，圆M 的半径r 等于圆心M (－1，0)到直线x －3y －3＝0的距离，即r ＝|－1－3|1＋3＝2． ∴圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4． ………………4分 （2）∵圆M 上存在两点关于直线l :mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线l :mx ＋y ＋1＝0必过圆心M (－1，0)．∴－m ＋1＝0，∴m ＝1．直线l 方程为x ＋y ＋1＝0． ………………8分 则A （1，－3）关于直线l 的对称点为A '（2，－2）． ………………10分18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4133n n S a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若1n b n =+，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【解析】（1）因为4133n n S a =-，所以1141(2)33n n S a n --=-≥，所以当2≥n 时，14433n n n a a a -=-，即14n n a a -=，当1n =时，114133S a =-，所以11a =．所以14n n a -=． ………………5分 （2）1(1)4n n n a b n -=+⨯，于是012212434444(1)4n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯++⨯①123142434444(1)4n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯② 由①-②，得1212232444(1)4433n n nn T n n -⎛⎫-=++++-+⨯=-+⨯ ⎪⎝⎭， 所以322499n n n T +=⨯-． ………………12分19．已知点,cos ,sin ）（）M N x x ，O 为坐标原点，函数()()f x OM ON OM =⋅-． （1）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间；（2）若A 为△ABC 的内角，()4f A =-，BC △ABC 周长的最大值． 【解析】()sin 42sin()43f x x x x π=+-=+-． ………………2分（1）单调递增区间是0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………………6分（2）因为()4-f A =，所以23A π=，又因为BC 2sin b B =，2sin c C =，所以周长2sin 2sin 2sin 2sin()32sin()3 L b c B C B B B ππ=+=++=+-+=++所以，当6B π=时，周长最大为2． ………………12分20．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为4的正方形，点E 在棱1AA 上，11A B EC ⊥．（1）证明：1A B ⊥平面11EB C（2）若1AE A E =，求二面角1B B E C --的余弦值． 【解析】（1）由已知，11B C ⊥平面111,ABB A A B ⊂平面11ABB A ， ∴111B C A B ⊥，又11A B EC ⊥，1111B C EC C =，∴1A B ⊥平面11EB C ． ………………6分 （2）由（1）可知1A B ⊥平面11EB C ，又1B E ⊂平面11B C E ，11A B B E ∴⊥，由几何关系得111AA B A B E ∠=∠，即111△∽△A AB A EB ．1111A B A AA E AB∴=，解得1A A =以A 点为原点，1、、AB AD AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则1(4,4,0)E B C，1=(0,4,42),=(4,CB CE ---， 设平面1EB C 法向量(,,)x y z =n100CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，有20220y y x ⎧-=⎪--=，令1z=有(2=n ， 易得平面1BB E 的法向量(0,1,0)=m ，cos ,<>===m n所以二面角1B EB C --的余弦值为7． ………………12分21．已知函数2()2ln f x ax x x =-+，a ∈R ．（1）当14a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若12,x x 是函数()f x 的两个不同的极值点，是否存在最小的整数δ，使得12()()f x f x δ+<恒成立？若存在，求出δ的值；若不存在，请说明理由．ABCD A 1B 1C 1D 1E解：（1）由题意可知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()22f x ax x'=-+， 当14a =时，21142()222x x f x x x x -+'=-+=，(0,)x ∈+∞，令2()42g x x x =-+，1680=->△，令()0g x =，解得12x =，22x =当(0,2)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(2x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当14a =时，函数函数()f x 的单调递增区间为(0,2和(2)+∞，单调递减区间为(2+． ………………6分 （2）由（1）可知，21221()22ax x f x ax x x-+'=-+=，令2()221m x ax x =-+，因为12,x x 是函数()f x 的两个不同的极值点，所以12,x x 是方程2()2210m x ax x =-+=的两个不同的正根，则102a <<，且121x x a +=，1212x x a=，22121112221()()2ln 2ln (0)2f x f x ax x x ax x x a +=-++-+<<22121212()2()ln a x x x x x x =+-++212121212()22()ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21111()2ln2a a a a a =--⨯+ 11ln 2a a =---令11()ln 21(0)2h a a a a =---<< ，22111()a h a a a a -'=-+=，因为102a <<，所以21()0ah a a -'=>恒成立，则1()()32h a h <=-，所以12()()3f x f x +<-，因此要使得12()()f x f x δ+<恒成立，则3δ-≥，所以存在最小的整数3δ=-．………………12分22． 已知圆222:((0)M x y r r +=>，若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为圆M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过原点的直线，使得该直线与椭圆C 分别交于,A B 两点，与圆M 分别交于,G H 两点，点G 在线段AB 上，且||||AG BH =，若存在，则求出圆M 半径r 的取值范围，若不存在，说明理由． （1）依题意，椭圆中a2c e a ==得 1c =， 所以2221b a c =-=，则椭圆C 的方程为 2212x y +=． ………………4分（2）如图所示，由BG 为公共线段，转化||||AG BH =，得||||AB GH =，即直线被圆222((0)x y r r +=>和椭圆2212x y +=所截得的弦长GH 与AB 相等．设点,A B 的坐标分别为x y x y 1122(,),(,)， 若k 存在，设直线为y kx =，联立直线y kx =与椭圆2212x y +=的方程得2212x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得22(21)20k x +-=，则1212220,21x x x x k -+==+．所以12|||AB x x =-==则直线y kx =与圆222((0)x y r r +=>相交所得弦长||GH ===， 得222222422222422(1)22[(1)(12)]2(1)121(12)(1)231k k k k k k r k k k k k k ++++=+==+++++++． 当0k =时，22r =； 当224110,212(1)33122k r k k ⎡⎤⎢⎥≠=+<+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦，又显然2241212312r k k ⎡⎤⎢⎥=+>⎢⎥⎢⎥++⎣⎦r 此时，圆M 的半径r范围是． 若k 不存在，半径r的范围是．综上，圆M 的半径r的取值范围是． ………………12分。