【配套K12】高三数学上学期期中试题 文 新人教A版

成都七中2013-2014学年上期 2014级半期考试数学试卷（文科）考试时间：120分钟 总分：150分一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．） 1．已知全集U=R ，集合A={}13>x x ，B={}0log 2>x x ，则A ∪B=（ ） A ．{}0>x xB ．{}1>x xC ．{}10<<x xD ．{}0<x x2．“函数2)(-=kx x f 在区间[]1,1-上存在零点”是“3≥k ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知1tan()2πα+=，则sin cos 2sin cos αααα-+=（ ） A ．41B ．21C ．41-D ．21-4．定义运算bc ad d c b a -=，则函数32cos 12sin )(xxx f =的最小正周期为（ ） A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 5．函数3)1()(2---=x a ax x f 在区间[)∞+-,1上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31,B ．(]0,∞-C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛31,D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,0 6．已知函数m x x x f +-=3)(3只有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,2- B ．{}2,2-C ．()2,2-D ．(]2,-∞-∪[)∞+,27．ΔABC 中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且ABb a cos cos =，A 、B 、C 成等差数列，则角C=（ ） A ．3π B ．6π C ．6π或2π D ．3π或2π8．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=-，)()4(x f x f -=-，且在区间[]2,0上是减函数．若方程k x f =)(在区间[]8,8-上有四个不同的根，则这四根之和为（ ） A ．±4B. ±8C ．±6D ．±29．若函数1)(2++=mx x x f 的值域为[)∞+，0，则m 的取值范围是( )A ．}{2,2-B ．{}22≤≤-m mC ．{}2,2≥-≤m m m 或D ．{}22<<-m m10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=)0()3()4()0()1()(2222x a x a a x x a k kx x f ，其中R a ∈，若对任意的非零的实数1x ，存在唯一的非零的实数)(122x x x ≠，使得)()(12x f x f =成立，则k 的最小值为（ ） A ．151-B ．5C ．6D ．8二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上。

）11．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点(3,4)P t t -(0)t <其中，则cos α=12．ΔABC 中，B=120º，AC=3，AB=3，则ΔABC 的面积为 ．13．曲线221ln )(x x x f -=在1=x 处的切线方程为 ． 14．已知()πα,0∈，1sin cos 5αα+=，则αtan = ．15．若a ，b 是任意非零的常数，对于函数)(x f y =有以下5个命题：①)(x f 是a T 2=的周期函数的充要条件是)()(a x f a x f -=+； ②)(x f 是a T 2=的周期函数的充要条件是)()(x f a x f -=+； ③若)(x f 是奇函数且是a T 2=的周期函数，则)(x f 的图形关于直线2ax = 对称； ④若)(x f 关于直线2ax =对称，且)()(x f a x f -=+，则)(x f 是奇函数； ⑤若)(x f 关于点()0,a 对称，关于直线b x =对称，则)(x f 是)(4b a T -=的周期函数．其中正确命题的序号为 ．三.解答题（16-19每小题12分，20题13分，21题14分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知函数a x x x f --=2)(2.（1）当0=a 时，画出函数)(x f 的简图，并指出)(x f 的单调递减区间； （2）若函数)(x f 有4个零点，求a 的取值范围． 17．已知向量212cos ,12xa ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,cos()3b x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0ω>，点A 、B 为函数b a x f⋅=)(的相邻两个零点，AB=π.（1）求ω的值； （2）若33)(=x f ，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，求x sin 的值；（3）求()()2g x f x x =-在区间[]0,2π上的单调递减区间. 18．已知m 为常数，函数2()12xxm f x m -=+⋅为奇函数. （1）求m 的值；（2）若0>m ，试判断)(x f 的单调性（不需证明）；（3）若0>m ，存在[]2,2x ∈-，使0)2()2(2≤+--f k x x f ，求实数k 的最大值． 19．ΔABC 中，)2sin(sin 3B A B +=，2tan 12tan 42AA -=. （1）求证：4π=+B A ;（2）若a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，2=a ，求c 和ΔABC 的面积. 20．已知函数x a a x a x x f )()12(2131)(223+++-=. （1）若函数xx f x h )()('=为奇函数，求a 的值；（2）若函数)(x f 在1=x 处取得极大值，求实数a 的值； （3）若0a ≥，求)(x f 在区间[]1,0上的最大值．21．设xe x xf ⋅=)(0，10211()(),()(),,()()(*)n n f x f x f x f x f x f x n N -'''===∈.x（1）请写出)(x f n 的表达式（不需证明）； （2）求)(x f n 的极小值；（3）设88)1(2)(2+-+--=n x n x x g n ，)(x g n 的最大值为a ，)(x f n 的最小值为b ，求b a -的最小值.成都七中2013-2014学年上期2014级半期考试数学（文科）试卷(参考答案) 命题人：张世永 审题人：杜利超一．选择题ABCCD BDBAD二、填空题 11. 35-13. 21-=y 14. 43-15. ① ④ ⑤三.解答题 16.解：（1）当=a 时222(1)1,(()2(1)1,(x x f x x x x x ⎧--≥⎪=-=⎨+-<⎪⎩,由图可知，)(x f 的单调递减区间为()1,-∞-和()1,0…………….6分（2）由0)(=x f ，得a x x =-22,∴曲线x x y 22-=与直线a y =有4个不同交点, ∴根据(1)中图像得01<<-a …………………12分17.解：（1）21()2cos1cos()cos cos 232xf x x x x x ωπωωωω=-++=+32cos 23x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,……………….3分 由T AB 21==π，得22T ππω==，则1ω=…………………..4分 （2）由（1）得33)32sin(3)(=+=πx x f ，则31)32sin(=+πx . 由⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，得322)32cos(-=+πx ，…………………6分 =-+=∴)3232sin(sin ππx x 32cos )32sin(ππ+x 32sin )32cos(ππ+-x 616223)322()21(31-=⨯---⨯=………………8分（3）2()32g x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,2()03g x x π⎛⎫'=+≤ ⎪⎝⎭, ∴21cos 32x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,………..10分 ∴2522333k x k πππππ+≤+≤+（k Z ∈）, 即223k x kx πππ-≤≤+ （k Z ∈）,又[]0,2x π∈,∴()g x 在区间[]0,2π上的单调递减区间为[]0,π，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦……12分18.解：（1）由0)()(=+-x f x f ，得0212212=⋅+-+⋅+---xxx x m m m m , ∴()()02212=+--x x m ，即12=m , ∴1±=m ……………4分（2）12122121)(-+=+-=xx x x f 在[]2,2-上单调递减…………7分 (3)由)2()2()2(2-=-≤--f f k x x f ，得222-≥--k x x ，….9分即222+-≤x x k .而()1122)(22+-=+-=x x x x g 在2-=x 时,最大值为10.∴10≤k ，从而10max =k …………..12分19.（1）证明：由2tan 12tan 42A A -=，得212tan 12tan2tan 2=-=A AA . 由)2sin(sin 3B A B +=，得()[]()[]A B A A B A ++=-+sin sin 3,∴()()()()A B A A B A A B A A B A sin cos cos sin sin cos 3cos sin 3+++=+-+, ∴()()A B A A B A sin cos 4cos sin 2+=+, ∴()1tan 2tan ==+A B A , ∴4π=+B A ……………..6分（2）解:由（1）得43π=C ，由21tan =A ，得55sin =A .由正弦定理得sin sin a Cc A==由()tan tan tan 11tan tan A B A B A B ++==-得31tan =B ，从而1010sin =B .∴1sin 21==∆B ac S ABC ……….12分 20.解：（1）因为)()12()(22a a x a x x f +++-='，所以22(21)()()x a x a a h x x-+++=.由二次函数奇偶性的定义，因为)(x h 为奇函数，所以)()12()(22a a x a x x f +++-='为偶函数，即012=+a ， 所以21-=a …………………..4分 （2）因为[]22()(21)()()(1)f x x a x a a x a x a '=-+++=--+,令0)(='x f ，得11x a =+，a x =2， 所以)(x f '，)(x f 随x 的变化情况如下表：x),(a -∞a)1,(+a a1+a),1(∞++a)(x f ' + 0 ― 0 + )(x f f↗极大值↘极小值↗所以1=a …………………4分 （3）因为1->a ，所以01>+a ， 当1≥a 时，0)(≥'x f 对[]1,0∈x 成立，所以当1=x 时，)(x f 取得最大值61)1(2-=a f ; 当10<<a 时，在),0(a x ∈，0)(>'x f ，)(x f 单调递增，在)1,(a x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，所以当a x =时，)(x f 取得最大值232131)(a a a f +=; 当0=a 时，在)1,0(∈x ，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，所以当0=x 时，)(x f 取得最大值0)0(=f ;综上所述, 当1≥a 时，)(x f 在1=x 取得最大值61)1(2-=a f ; 当01a ≤<时, )(x f 取得最大值232131)(a a a f +=………….13分 21.解：（1）根据1()(1)xf x x e=+⋅,2()(2)xf x x e =+⋅,3()(3)xf x x e =+⋅,猜测出)(x f n 的表达式*)()()(N n e n x x f xn ∈⋅+=.,…………..4分（2）要求n y ，即求)(x f n 的极小值点),(n n n y x P ，先求出x n e n x x f ⋅++=')1()(，因为)1(+->n x 时,0)(>'x f n ；当)1(+-<n x 时，0)(<'x f n . 所以，当)1(+-=n x 时，)(x f n 取得极小值(1)((1))n n f n e -+-+=-， 即*)()1(N n e y n n ∈-=+-………..8分（3）配方法可以求出2)3())1((-=+-=n n g a n ，又因为)1())1((+--=+-=n n e n f b ，所以)1(2)3(+-+-=-n e n b a ，问题转化为求)1(2)3(+-+-=n n e n c 的最小值 解法1（构造函数）：令2(1)()(3)(0)x h x x e x -+=-+≥，则)1()3(2)(+---='x e x x h ，又)(x h 在区间[)0,+∞上单调递增， 所以16)0()(---='≥'e h x h ． 又因为0)3(4<-='-eh ，02)4(5>-='-e h ，所以存在)4,3(0∈x 使得0)(0='x h ．又有)(x h '在区间[)0,+∞上单调递增，所以00x x <≤时，0)(0<'x h ； 当0x x >时，0)(0>'x h ，即)(x h 在区间[)∞+,0x 上单调递增，在区间[)0,0x 上单调递减， 所以)())((0min x h x h =．又由于4)3(-=e h ，51)4(-+=e h ，)3()4(h h >，所以当3=n 时，b a -取得最小值`4-e ．解法2（利用数列的单调性）： 因为1211152+++-+-=-n n n n e e n c c ，当3≥n 时，152≥-n ，012>+n e ，111<+n e ，所以0115212>-+-++n n een ，所以n n c c >+1．又因为2114e c +=，3211e c +=，431ec =，321c c c >>， 所以当3=n 时，b a -取得最小值4-e ．……………..14分。