7 第七讲 平行四边形的判定

第七讲平行四边形的判定一、【基础知识精讲】1.平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④两组对角分别相等⑤对角线互相平分2.平行四边形性质的运用：①直接运用平行四边形性质解决某些问题，如求角的度数，线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等．②判别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．③先判别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．二、【例题精讲】例1．（1）根据下列条件，不能判别四边形是平行四边形的是( )A．一组对边平行且相等的四边形 B．两组对角分别相等的四边形C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形(2)下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB=CD，AD∥BC B．AB=CD，AB∥CDC．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC例2．已知：如图，□ABCD中，点E、F在对角线上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．例3．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC 的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．OC DB A三、【同步练习】 A 组1．如图，四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，若OA=OC,OB=OD, 则四边形ABCD 是 ,根据是 .2．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ）A ．88°，108°，88°B ．88°，104°，108°C ．88°，92°，92°D ．88°，92°，88°3.如图，过□ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的□AEMG 的面积1S 与□HCFM 的面积2S 的大小关系是（ ） A.1S ＞2S B..1S ＜2S C.1S =2S D.21S =2S 4．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，AF=CE ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．5.已知如图：在□ABCD 中，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE=DF ，则线段AC 与EF 是否互相平分？说明理由.6.如图，在□ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK=CM 、BL=DN ，求证：四边形KLMN 为平行四边形.7.如图，在□ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，并且OE=OF ． （1）OA 与OC ，OB 与OD 相等吗？ （2）四边形BFDE 是平行四边形吗？（3）若点E ，F 在OA ，OC 的中点上，你能解决上述问题吗？1S2SEFADCBB 组1.在□ABCD 中,∠ABC=750，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE=2AB ，则∠AED 等于（ ）A 、600B 、650C 、700D 、7502.如图，在□ABCD 中，AB=3，BC=5，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA 的取值范围是（ ） A.3＜OA ＜5 B.2＜OA ＜8 C.1＜OA ＜4 D.3＜OA ＜8C【解析】【解析】∵平行四边形ABCD 中，AB=3cm ，BC=5cm ，∴OA=OC=AC ，2cm ＜AC ＜8cm ，∴1cm ＜OA ＜4cm ． 故选C3.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 做BE 的 平行线与线段ED 的延长线交于点F ，连接AE ，CF. （1）求证：AF=CE（2）若AC=EF ，证明AF ⊥AE3、如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线一点，过点A 作BE 的平行线与线段ED 的延长线交于点F ，连接AE 、CF ． （1）求证：AF=CE ；（2）如果AC=EF ，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论．（1）证明：∵AF∥EC，∴∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，∵D是AC的中点，∴DA=DC，∴△DAF≌△DCE，∴AF=CE；（2）解：四边形AFCE是正方形．理由如下：∵AF∥EC，AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形，∴∠FCE=∠CFA=90°，而∠ACB=135°，∴∠FCA=135°-90°=45°，∴∠FAC=45°，∴FC=FA，∴矩形AFCE是正方形．已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段E D的延长线交于点F，连接AE，CF。

（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论。

解：（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD又∵D是AC的中点，∴AD=CD∵∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE∴AF=CE。

（2）若AC=EF，则四边形AFCE是矩形证明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形。

4.如图，□ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q，.四边形MQNP是平行四边形吗？为什么？解：四边形MQNP是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵M、N分别为AD、BC的中点，∴MD∥BN，MD=BN，AM=CN，AM∥CN，∴四边形BNDM与四边形ANCM是平行四边形，∴AN∥CM，BM∥DN，∴四边形MQNP是平行四边形．5.已知:如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO=DO.求证：四边形ABCD是平行四边形.5、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO．求证：四边形ABCD是平行四边形．先根据AB∥CD可知∠ABO=∠CDO，再由BO=DO，∠AOB=∠DOC即可得出△ABO≌△CDO，故可得出AB=CD，进而可得出结论．证明：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，在△ABO与△CDO中，∵，∴△ABO≌△CDO，∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．6.已知，如图，在□ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N,连接DM，BN.（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.分析（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明；（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BM DN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD，∴∠EAM=∠FCN，又∵AD∥BC，∴∠E=∠F．∵在△AEM与△CFN中，，∴△AEM≌△CFN（ASA）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD，又由（1）得AM=CN，∴BM DN，∴四边形BMDN是平行四边形．7.在□ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连接CE，CP，已知∠A=60°. （1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值；（2）是探究当△CPE≌△CPB时，□ABCD的两边AB与BC应满足什么关系?在ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．（2）试探究当△CPE≌△CPB时，ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？（1）AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是。

（2）当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC=AB。

【解析】分析：（1）延长PE交CD的延长线于F，设AP=x，△CPE的面积为y，由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到AB=DC，AD=BC，在直角三角形APE中，根据∠A的度数求出∠PEA的度数为30度，利用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AE与PE，由AD﹣AE表示出DE，再利用对顶角相等得到∠DEF为30度，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出DF，由两直线平行内错角相等得到∠F为直角，表示出三角形CPE的面积，得出y与x的函数解析式，利用二次函数的性质即可得到三角形CPE面积的最大值，以及此时AP的长。

（2）由△CPE≌△CPB，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到BC=CE，∠B=∠PEC=120°，进而得出∠ECD=∠CED，利用等角对等边得到ED=CD，即三角形ECD为等腰三角形，过D作DM垂直于CE，∠ECD=30°，利用锐角三角形函数定义表示出cos30°，得出CM与CD的关系，进而得出CE与CD的关系，即可确定出AB与BC满足的关系。

【解析】（1）延长PE交CD的延长线于F，设AP=x，△CPE的面积为y，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=DC=6，AD=BC=8，。

∵Rt△APE中，∠A=60°，∴∠PEA=30°。

∴AE=2x，PE=。

在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD﹣AE=8﹣2x，∴DF=DE=4﹣x。

∵AB∥CD，PF⊥AB，∴PF⊥CD。

∴S△CPE=PE•CF。

∴。

∵，∴当x=5时，y有最大值。

∴AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是。

（2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，∴∠CED=180°﹣∠AEP﹣∠PEC=30°。

∵∠ADC=120°，∴∠ECD=∠CED=180°﹣120°﹣30°=30°。

∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形。

过D作DM⊥CE于M，则CM=CE。

在Rt△CMD中，∠ECD=30°，∴。

∴CM= CD。

∴CE=CD。

∵BC=CE，AB=CD，∴BC=AB。