从一道竞赛题说起

从一道竞赛题说起诸暨市牌头中学 俞勇理摘要：在说题活动中如何说好一个好题，对促进教师的教研能力是有好处的。

在说题中要注意此题反映出来的考查热点：方程的根；数列求和方法；放缩法证明不等式；在知识交汇点出题等，并根据这一知识的特点而进行教学设计，能够让学生在教师分析了这一题后能够对这些热点问题的处理能力上有所提高。

在说题结束后更应该对这一问题所显示出来的专题能够进行整理，编写出相应的专题和相应的训练题组，促进教研组各个成员的成长和教研团体的资料库建设。

关键词：说题；三次方程的根；超越方程的根；数列求和；放缩法；知识结合点；大胆猜想，小心求证；专题报告；训练题组。

在数学教学中，我们经常会遇到习题讲解，在备考过程中，我们经常用过去考过的题目作为练习的素材，但如何在习题分析中既落实知识点，又能把解题技巧与考试热点等信息传递给学生，是教师在备课过程中要重视的一个重点。

因此，对典型问题进行说题是在数学教研活动中促进教师的教研能力的一个有效的活动。

下面是我们教研组就今年全国联赛题的11题的说题过程中的有关想法作一个小结。

一、说题说考查要点，就题说题，说解法。

（2010年全国数学联赛11题）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实根r ， 且存在唯一的严格递增正整数数列{}n a ，使得 +++=32152a a a r r r 。

分析：1、三次方程02523=-+x x 的根不需要求出来，只要证明有一个。

这是必修1第三章对函数的零点的存在性以及零点所在的区间的一个考试要求。

需要我们对三次函数252)(3-+=x x x f 的图象作一描述性的处理：由056)(2>+='x x f ，得函数在R 上是增函数，且2)0(-=f ，5)1(=f 。

所以02523=-+x x 只有一个根且在区间（0，1）内。

2、因为r 的具体值不知，所以对数列问题要注意一些数字特征。

又注意到方程02523=-+x x 可转化为：3152x x -=。

所以就可以猜想到等式右边的31x x -是一个无穷等比数列的所有项的和。

在完成了猜想后要小心地证明：+++=7452r r r ，{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列。

下面来证明唯一性：针对这里的要求，在第1点中要对的要求进行强化： 012516)52(>=f ，所以r ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈52,0，得到11<-r r 。

得到r rr r r r r ⋅-=+++>1432 。

所以在上面的数列中r 不可替代！同理，24321r rr r r r ⋅-=++> ，所以在上面的数列中也不能减去一些项后再加上项r 2，…………依次类推，上面的数列中的项不可替代，也不能加入。

在说解法时要注意思路分析，通过对知识点的联系进行适当的联想，从而发现解法，再在解的过程中能够落实知识点。

二、说题说考查热点，适当扩展，联想类似的题。

从这个题中我们可以发现在竞赛题甚至在高考题中有这样几个热点问题经常考查：（一） 函数的零点或方程的根（必修1的第三章）；作为在新教材中单独成章的一个新内容，特别强调了应用函数的图象直观来解决方程的根的存在性、方程的根的个数、特别的方程的根的应用。

在近几年的高考和竞赛题中屡有出现。

例如： 1、（2010年浙江省高考，9）设函数x x x f -+=)12sin(4)(，则在下列区间中函数不存在零点的是（ ）（A ）[-4，-2] （B ）[-2，0] （C ）[0，2] （D ）[2，4]2、（2009年重庆高考，10）已知函数)(x f 是以T=4为周期的周期函数，且在区间（-1，3]内的定义为(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-=3,1,211,1,1)(2x x x x m x f ，其中0>m 。

若方程3)(x f =x 恰有5个实数解，则m 的取值范围是_________。

3、（2008年全国联赛，13）已知函数x x f sin )(=的图象与)0(>=k kx y 有且仅有三个交点，其中交点横坐标的最大值为α。

求证：ααααα413sin sin cos 2+=+。

4、（2008年全国联赛，14）解不等式：()()11log 1353log 426810122++<++++x x x x x 。

从这些题目的解答中我们可以看出，高考对函数的零点的要求是能够利用函数图象的直观来得到零点的个数与零点所在的区间。

而在竞赛题的设计中还要求结合上面这一点后进一步对根作一些要求，如3中由图象得到是直线与曲线相切的切点横坐标后，再结合导数形成的方程进行三角化简。

而4中的不等式更是要对函数的零点进行估计后猜想出多项式因式分解中有一个因式为（124-+x x ）。

因此，在这一内容的整理过程中我们要求学生要重视这样几点：1、各种基本函数的图象以及图象的变换要熟练；2、在三次方程中要会用猜的方法得到一个根；3、数形结合中切线的用法。

（二）数列中的求和方法；数列求和以及数列求和为形式考查不等式思想在2008年以前的浙江省高考中通常用来作压轴题，近几年高考已不作要求，但作为基本的等差数列、等比数列以及以它们的衍生数列形成的求和方法如拆项相消法、错位相减法等也要加以足够的重视。

而在竞赛中结合递推关系、不等式的放缩法编制的题目还是比较常见，能够考查学生联想、猜想方面的能力。

1、（07年浙江省高考，21）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程()023232=⋅++-k k k x k x 的两个根，且212(123)k k a a k -= ≤，，，。

（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ；（II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅲ）记s i n 1()32s i n n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：15()624n T n ∈*N ≤≤． 2、（08年浙江省高考，22）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ， )(12121∙++∈=-+N n a a a n n n ，记n n a a a S +++= 21， )1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= 。

求证：当∙∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。

3、（08年安徽省高考，21）设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数。

（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈； （Ⅱ）设103c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈； （Ⅲ）设103c <<，证明：222*1221,13n a a a n n N c++>+-∈- 。

4、（08年江西省高考，19）数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =。

（1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++< 。

以上四题都充分利用等差数列或等比数列或用递推数列的方法给出数列后，构造一些求和问题，考查学生掌握的求和方法，在压轴部分又结合不等式中的放缩思想考查学生猜想的能力。

虽然在近年高考中已不再重视后者，但作为等差数列、等比数列的基本应用，以及基本的数列求和方法的考查还是要加以重视。

另外，在竞赛题的编制中对于这一内容却是一个考查热点，因此，以这几个题为引，可以训练学生这方面的能力，对数列这块内容的考查以及对学生思维能力的培养是很有好处的。

在这一热点的竞赛教学中要重视以下几条：1、等差、等比数列的基本运算；2、数列求和中的拆项相消法、错位相减法；3、递推数列的处理策略；4、数列中的不等式处理策略：数学归纳法、放缩法。

（三）在知识交汇点出题。

本题把函数的零点和数列的求和问题综合在一个题中，是高考命题的一个常用方法。

在下面的高考题中都采用这一方法：1、（2006年浙江省高考，20）已知函数f(x)=x 3+ x 2，数列{ x n } (x n ＞0)的第一项x n ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行。

求证：当n *N ∈时，(Ⅰ)x ;231212+++=+n n n n x x x （Ⅱ）21)21()21(--≤≤n n n x 。

2、（2008年全国高考卷一，22）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥．证明：1k a b +>． 第1题从函数的图象，曲线的切线，再转到递推数列，以及数列中的不等式，第2题从导数的应用，转到递推数列的处理——用数学归纳法来证明不等式。

这种命题方式能够综合考查学生对多个内容的知识掌握以及对知识综合运用的能力。

因此在教学中要注意这些问题中对各个知识的分解，以及学生在解题过程中如何综合运用这些知识的能力培养。

三、说题说命题设计意图，编写训练题组。

从本题的讲解中，我们注意到了高考或竞赛在这几个方面的考查方向，特别是对高考题的设计意图有所了解，因此，在说题后组织教师收集相应的模拟题进行编写专题报告和训练题组是后续工作，可以进一步促进教师的教研能力，并能在日常教学工作之余能够建立一些专题讲座和资料积累，更进一步地促进教研团体的建设。

参考文献：1、 陈爱华：值得商榷的“分析”——关于方程的解；中学数学教学参考2010年第1-2期；2、 解俊：高中数学新课程教学活动的思辨；中学数学教学参考，2009，9；3、 何建东：立足数学本质，解决教学疑难；中学数学教学参考2010年第1-2期。