解题-对一道竞赛试题的思考-杨广亮
对一道竞赛题的探究与拓展
对一道竞赛题的探究与拓展唐传胜（江苏省灌云县杨集中学，江苏灌云 ２２２２２１） 新课程下的竞赛题与课后习题都注重物理学与日常生活的融合，突出“一个好的习题，就是一个科学问题”的思想，重视此类试题的研究对提高学生科学思维能力，促进他们理论联系实际、树立学以致用的意识是非常有益的．下面是笔者对一道源于课本的竞赛题的探究与拓展． 图１题目．（第２８届全国中学生物理竞赛预赛试题，第１２题）某同学选用了一个倾角为θ的斜坡，他骑在自行车上刚好能在不踩踏板的情况下让自行车沿斜坡匀速向下行驶，现在他想估测沿此斜坡向上匀速行驶时的功率，为此他数出在上坡过程中某一只脚蹬踩踏板的圈数Ｎ（设不间断的匀速蹬），并测得所用的时间ｔ，再测得下列相关数据：自行车（如图１所示）和人的总质量ｍ，轮盘半径Ｒ１，飞轮半径Ｒ２，车后轮半径Ｒ３．试导出估测功率的表达式．已知上、下坡过程中斜坡及空气作用于自行车的阻力大小相等，不论是在上坡还是下坡过程中，车轮与坡面接触处都无滑动．不计自行车内部各部件之间因相对运动而消耗的能量．这道竞赛试题源于教材上的一道课后习题，现做探究和拓展如下：探究１．自行车的传动原理． 图２例１．如图２所示，自行车传动机构的示意图．假设脚踏板每２ｓ转１圈，要知道在这种情况下自行车前进的速度有多大，还需要测量哪些量？请在图中用字母标注出来，并用这些量推导出自行车前进的速度的表达式．解析：自行车是靠轮盘、飞轮和后轮实现传动的．轮盘、飞轮、后轮是相互关联的三个传动部件，自行车在正常行驶的情况下（不打滑）后轮的线速度大小即为自行车前进的速度．设轮盘、飞轮、后轮的角速度分别为ω１、ω２、ω３，半径分别为Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３，轮盘与飞轮通过皮带传动，它们轮缘的线速度相等，即ω１Ｒ１＝ω２Ｒ２；飞轮与后轮共轴，角速度相同，即ω２＝ω３．由上述关系可知自行车前进的速度（后轮的线速度）ｖ＝ω３Ｒ３＝ω１Ｒ１Ｒ３Ｒ２，由此可以看出在踏板转速一定的情况下要测定自行车的前进速度应分别测出轮盘的半径Ｒ１、飞轮半径Ｒ２、后轮半径Ｒ３．脚踏板每２ｓ转１圈，则ω１＝π，因此得自行车前进的速度ｖ＝πＲ１Ｒ３Ｒ２．这是新教材的一道课后习题，该题旨在引导学生在学习物理过程中要多观察、多思考、多探究，多关注与生活相关的物理问题．它要求学生能根据物理问题中的已知事实和条件，进行逻辑推理和论证，并能够把推理过程正确地表达出来．探究２．骑车上坡时的功率．例２．（第２８届全国中学生物理竞赛预赛试卷第１２题，题目略）解析：由功率的计算公式Ｐ＝Ｆｖ可知：欲求该同学骑车上坡时的功率，应分别求出该同学蹬车的力Ｆ和自行车上坡的速度ｖ．由“骑在自行车上刚好能在不踩踏板的情况下让自行车沿斜坡匀速向下行驶”知人骑车所受的阻力ｆ与重力沿斜面分量ｍｇｓｉｎθ相等，向上匀速行驶时蹬车的力Ｆ＝ｆ＋ｍｇｓｉｎθ，即Ｆ＝２ ｍｇｓｉｎθ．利用例１的探究结论可知上坡时的车速ｖ＝ω１Ｒ１Ｒ３Ｒ２．轮盘的角速度ω１＝２πＮｔ，即ｖ＝２πＮＲ１Ｒ３Ｒ２ｔ，由此可估算出该同学汽车上坡时的功率Ｐ＝４πＮｍｇＲ１Ｒ３ｓｉｎθＲ２ｔ．这道竞赛题以考生熟悉的自行车为背景，考查了考生分析、推理、建模等能力，要求考生能弄清“骑车同学”的物理状态和物理过程，结合学过的知识和获得的方法，建立匀速圆周运动和匀速直线运动的物理模型找到解决问题的方法．拓展１．（汽车）无级变速的原理． 图３例３．无级变速是在变速任意范围内连续地变换速度，性能优于传统的挡位变速器，很多高档汽车都应用了无级变速．如图３所示是截锥式无级变速模型示意图，两个锥轮之间有一个滚轮，主动轮、滚轮、从动轮之间靠着彼此间的摩擦力带动．当位于主动轮和从动轮之间的滚轮从左向右移动时，从动轮转速降低；滚轮从右向左移动时，从动轮转速增加．当滚轮位于主动轮直径Ｄ１、从动轮直径Ｄ２的位置时，主动轮转速ｎ１与从动轮转速ｎ２的关系是（Ａ）ｎ２ｎ１＝Ｄ１Ｄ２． （Ｂ）ｎ１ｎ２＝Ｄ１Ｄ２．（Ｃ）ｎ２ｎ１＝Ｄ１２Ｄ２２．（Ｄ）ｎ２ｎ１＝Ｄ１Ｄ槡２．解析：无级变速是通过主动轮和从动轮半径的连续变化实现传动比的任意改变，从而实现速度的连续变化．无级变速的传动原理与自行车相似，当主动轮转动时主动轮—２７—Ｖｏｌ．３３Ｎｏ．５（２０１２）物 理 教 师ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ第３３卷第５期２０１２年通过滚轮（相当于自行车链条）带动从动轮转动．主动轮边缘上的线速度ｖ１＝πｎ１Ｄ１，从动轮边缘线速度ｖ２＝πｎ２Ｄ２，主动轮与从动轮边缘上的线速度是相同的，即ｖ１＝ｖ２，则有ｎ２ｎ１＝Ｄ１Ｄ２．当滚轮从右向左移动时，主动轮的半径（连续）增大，从动轮的半径（连续）减小，从动轮的转速ｎ２将增大，促进车速连续提升．该题既有利于开阔学生的视野，又能增进他们学习科学，应用科学的热情，激发他们的创新意识．拓展２．车速的估算．例４．某品牌电动自行车的铭牌见表１．表１车型：２０英寸型（车轮直径：５０８ｍｍ）电池规格：３６Ｖ１２Ａｈ（蓄电池）整车质量：４０ｋｇ额定转速：２１０ｒ／ｍｉｎ（转／分）外形尺寸：Ｌ１８００ｍｍ×Ｗ６５０ｍｍ×Ｈ１１００ｍｍ充电时间：２－８ｈ电机：后轮驱动、直流永磁式电机额定工作电压／电流３６Ｖ／５Ａ 根据此铭牌中的有关数据，可知该车的额定时速约为（Ａ）１０ｋｍ／ｈ． （Ｂ）１５ｋｍ／ｈ．（Ｃ）２０ｋｍ／ｈ．（Ｄ）２５ｋｍ／ｈ．解析：由电动自行车的铭牌可知车轮直径Ｄ为５０８ｍｍ，后轮驱动的电机额定转速为２１０ｒ／ｍｉｎ，该电动自行车的额定时速ｖ＝２πｎＲ＝πｎＤ＝５．５８ｍ／ｓ≈２０ｋｍ／ｈ，应选（Ｃ）项．对各类产品铭牌（说明书）的识读既能培养学生信息收集与处理能力，又有利于引导他们在学习过程中将物理知识与日常生活相融合，用物理原理解决与生活相关的实际问题．教师在平时的教学中要加强对课后习题的研究，努力促使课后题与竞赛题的融合与渗透，鼓励学生用物理知识、物理原理和物理方法解决与生活相关的实际问题．这既利于学生对所学知识的透彻理解又利于学生科学思维发展和实践意识的增强．在练习设计时要多选择以真实物理现象为依据的问题，讲评时力求做到讲好一题，带活一片．这对提高学生的科学素养是大有裨益的．（收稿日期：２０１１－１２－０４）（上接第７１页）全新的物理情景或者在旧物理模型中经常变换过程情景，陈题面貌翻新；二是突出动态物理情景，体现学科特征．（４）物理与数学有着密切的关系．凡中学阶段学到的数学知识，例如几何、代数、解析几何、三角，甚至微积分都可成为求解物理竞赛试题的数学工具．在这种物理竞赛中，几乎所有的大题和难题都要涉及数学知识的应用，甚至不少的教师和学生说有的难题似乎在考察数学能力而非物理能力，因为这方面的难题涉及的数学问题比物理方面的问题要难得多．（５）实验能力对研究自然科学的重要性不言而喻，而竞赛中的实验题的难度要远远高于高考的难度．在竞赛考纲所规定的３４个物理实验中，有８０％左右的内容在中学没有涉及过，因此竞赛的实验要求可想而知，要想在竞赛实验中有所斩获，不但要有扎实的理论基础，还必须要有超强的动手能力和过硬的心理素质．物理竞赛从各个方面来说都是远高于高考层次的，对于考查学生的５种能力来说尤为如此．由于层次较高，特别是在复赛和决赛中，所有的试题几乎能考查学生的所有能力，若某一能力有所欠缺，要想在物理竞赛中有所成功，是相当难的．４ 对竞赛的几点想法（１）竞赛是讲究原则的．这里的原则是指是否合适参加物理竞赛，并不是所有人都合适参加．对于物理竞赛，应鼓励有兴趣和在物理学习方面有潜质的学生积极参与．以前有的学生为了能够高考加分和保送名校，带着功利性的目的参与，成功还好，一旦失败，不但弄得身心疲惫，而且似乎一无所获．这样来参加竞赛，是毫无意义的．因此对学生来说，都要慎对物理竞赛活动．（２）竞赛的工作要持之以恒．了解物理竞赛的教师都知道，要想参赛学生在物理竞赛中取得优异的成绩，对这些学生进行适时的专门培训是非常有必要的，而且是一项长期的工作，几乎是从高一到高三，不但要抽专门的时间，在平时的物理教学中也宜不时地渗透竞赛方面的知识，搞突击是没有多大效果的．（３）重视和加强竞赛实验培训．说到物理实验，不光是竞赛的问题，高考也是如此，不光是贵州地区如此，全国还是如此．物理竞赛把实验也搬到了考场上了，而且要求参赛考生在极短时间内把实验设计、实验原理图、操作过程、数据处理、分析报告等全部完成．这对于没有专门培训过的学生，能完成吗？可能连仪器的使用都弄不清楚．２０１０年贵州省物理竞赛有这样的例子，一学生在复赛中理论知识考了前６名，但实验却得了零分，而受训过的学生是几乎没有得零分的．这说明了若要想取得优异的竞赛成绩，实验部分也尤为重要．一般总的来说，实验考试比理论部分的考试完成起来要稍微容易一些．然而，目前在贵州省中学做一线培训的教师，几乎没有一个是去培训实验的．究其原因，一是自身业务水平的问题，但更为重要的是实验仪器的不足和对待竞赛的心态还有待于调整．参考文献：１ 中国中长期教育改革和发展规划纲要（２０１０－２０２０年）．２０１０．２ 全国中学生物理竞赛委员会办公室．全国中学生物理竞赛专辑．北京：北京大学出版社，２０１０．３ 全国中学生物理竞赛常委会组织．全国中学生物理竞赛实验指导书．北京：北京大学出版社，２００６．（收稿日期：２０１１－１０－０８）。
对一道典型试题的解法探讨
对一道典型试题的解法探讨
安徽邵同洋卢大亮
典型试题
图1是当地球运行到远日点附近时，某地在一天当中的太阳高度的变化情况。
求（1）该地的地理纬度；（2）该日太阳直射点的纬度。
评析：本题主要考查太阳高度角的变化及地球运动的相关知识，空间想象能力要求高，有一定难度。
不妨打破思维定势，变换视角，便会云开雾散，柳暗花明。
解题思路：由于图1中显性信息为太阳高度角的极值（正午12时最大和0时最小），但没有指明太阳直射点的纬度位置，所以不能直接用正午太阳高度角公式（，
其中为当地纬度，为太阳直射点所在的纬度）计算。
不过12时所在经线和0时所在经线在同一经线圈上（如图2），不防变换视角，把0时经线视为12时经线的延长线，同时令该地与极点的纬度差为a，这样便把该地0时和12时的太阳高度角转化为12时经线延长
线上b点（纬度）和12时经线上的a点（纬度）的正午太阳高度角，进而
再用正午太阳高度角公式计算两地“正午太阳高度角”之差（），便可巧妙地避开太阳直射点的纬度而把问题解决。
解析：由题意可推知时间为7月初，该地为极昼，所以该地为北极点附近，参照图2解题：
（1）其中，，从而可知，因此该地的纬度为。
（2）图2中c为切点，，与b点比较，解法同题（1），可得出c点的纬度为，即极昼范围为以北，所以太阳直射在纬线上。
回归条件本源 走出思维定式——一道教师解题能力大赛试题的解法探究
两 个 三角 形 虽 只 满 足 “边 边 角 ”的 条 件 ，但 由于 等 角 是
钝 角 ，所 以 可 以 进 一 步 证 得 全 等 ，只 是 还 需 添 加 新 的
辅 助 线 。如 此 思 考 ，虽 可 得 出 结 论 ，但 解 法 过 于 复 杂 ，
笔者不甚满意。
旋转A B C D 又会怎么样
位 线 的 添 加 却 颇 费 周 章 。若 直 接 取 A C 的 中 点 联
结 则 很 难 得 出 进 一 步 的 结 论 ；若 过 点 F 作
C E 的 平 行 线 ，又 不 能 保 证 经 过 A C 的 中 点 。于是笔
者 再 次 想 到 “同 一 法 ”。设 A C 和 A E 的 中 点 分 别 为 点 H 和 点 F '，
9 ) ，类似可得 A H E D S A B t D 和A A B F c/^A E H F ，
进 而 _ = ^ | = ^ = ^ 。第 （2 ) 问 和 第 （3 ) 问的
一道联赛试题的画法、解法及启示
因为 Ｖ Ｂ — Ａ Ｃ Ｄ ＝ Ｖ Ｄ — Ａ Ｂ Ｃ ，即 Ｓ Ａ Ａ Ｃ Ｄ．
＝
一
、
１ ．常 规 画 法
ｄ Ｓ Ａ Ａ Ｂ Ｃ ＂ 明所 以 三 ｜ ） ・ ４ ￣ ２ ｈ ＝ － １ Ｊ ． － １ ，
．
受 解 题 习惯 影 响， 画 出 了一 般 形 状 的 四
一
一
因为Ｖ Ｂ— Ａ Ｃ Ｄ＝ Ｖ Ａ ～ Ｂ Ｃ Ｄ，即
△ Ａ Ｇ Ｄ・
ｈ＝ ￣ Ｓ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ・ ＡＯ ｆ 设 点 Ｂ 到 平 面 ＡＣＤ 的 距
离为 ， 下 同） ， 所以 １
．
２ ＝ ． １
． ． ．
，
从 而 ｈ：
．
２ ．改 进 画 法 ， 再 用 等积 法 由题 目条 件 Ｚ ＡＢＣ ＝９ ０ 。 ， ＺＤＣＢ ＝ ９ ０ 。 ，
面体 的常规 图， 如图１ ，由条 件 平 面 Ｂ Ｄ 与 平 面 ＡＢＣ 成 ４ ５ 。的 二 面 角 ，自 然 想 到 过 点 作 （ ＝ ） ｊ 一 面 Ｂ Ｄ， 得 Ｂ０ ＝４ ５ 。 ，因 为 ＡＢ ＝ １ ，
．
从 而 ｈ：
所 以 ＯＢ ＝ ＯＡ＝
，由三 垂 线 定 理 逆 定 理 可
Ｄ
Ｃ
图５
评注： 此 画法 中虽然点 不在长方体 的顶
图３
点上， 但 其 点 Ｂ到平面 Ａ Ｄ 的距离 Ｊ Ｅ ｝ 日 容易
寻找 且 直 观 性 更 强 ， 也 是一 种 好 画 法 ． 二 、 一 点启 示
评 注 ：一 种 好 画 法 可 能 带 来 一 种 好 解 法 ，
许多未给 出图形的立几试题 ， 在 画法 的选 择上 显 得很 重要 ， 常 规 的画法 虽 然 也 能解 出答 案， 但耗时太长， 方法 的选择上也大打折扣 ．
化学竞赛试题命题思想、解题思路与试题分析
化学竞赛试题命题思想、解题思路与试题分析作者:北京师范大学化学系吴国庆全国化学竞赛的根本出发点是推动中学素质教育。
试题的基本命题思想主要是考察能力的试题。
―能力‖的内涵很丰富，跟―智力‖不太好分清。
有人认为智力包括观察力、记忆力、思维力和想象力四个主要表现形式。
有人认为智力可分成音乐智力、言语智力、逻辑-数学智力、身体运动智力、空间感受智力、人际交流智力、个人内在智力七种。
又有人将思维力分为逻辑能力与非逻辑能力。
逻辑能力包括判断、推理、比较、分类、综合、归纳、演绎等，非逻辑能力包括想象、联想、直觉、灵感、逆向思维、侧向思维、发散思维、集中思维、创造性思维等等。
化学竞赛属于智力竞赛，但不可能测试所有智力，也与电视台上的智力竞赛不同，主要不是测试应试者对知识记忆得多不多，牢不牢，遇到他人发问时从大脑中提取已有知识得快不快，而是考察应试者的观察力、思维力、想象力和创造力。
其策略是尽可能令应试者身处陌生情景，利用原有的知识基础，提取、加工、理解新情景显现的信息，提出解决问题的方案、战略和策略，形成知识、发展知识，达到考察应试者学、识、才三者统一的水平。
―学‖不仅包括对前人知识的掌握，还包括个人的经验；―识‖是见识、洞察力、是看清和把握方向，进行判断和抉择；―才‖是才能，是能力，包括认识能力和实践能力两个方面，特别是在认识和实践中的创造力。
我们化学竞赛的试题还强调考察应试者具有的对化学学科特有的分子三维立体结构的空间想象能力或者说空间感受能力，考察化学实验能力和科学表述能力（包括运用文字、图象、符号、公式等的能力）等；竞赛试题还要求应试者关注化学知识的前沿发展，化学发展与技术进展及其他学科发展的关系和科学与社会发展——人类进步、经济发展、生活质量提高、环境改善的关系以及社会舆论中与化学有关的热点问题的认识、态度、判断能力、价值取向等。
竞赛重点考察应试者如下思维品质：敏锐性、精确性和深刻性。
竞赛中应试人的心态也是测试的重要内容，要检测应试人的自信心、应变能力、勇于提出假定、勇于修正错误、百折不挠等心理品质。
解数学竞赛题的若干思想方法
解数学竞赛题的若干思想方法元济高级中学 张金良求解高水平的数学竞赛题通常不能直接套用现成的公式，需在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识进行探索与尝试，选 择与组合，这当种包括我们经常使用的待定系数法、换元法、配方法、数学归纳法等等，然而在解决某些数学竞赛题时高层次的解题技巧，本文试图介绍一些已有的数学竞赛解题思想与技巧。
一、构造法例1．已知f （）=2ab ，-1≤≤1，若|f （）|的最大值是M ．证明：M ≥21． 分析：构造等式① 例2．设、、, a 、b 、c 是正实数，且满足a=1,b=1,c=1，求证：cac ()1,0∈)2(1532,1211≥-+==-n n a a a n n n a 7000，则执行语句⑦，否则回语句②继续进行② ⑦打印③ ⑧程序终止④ 由语句⑦打印的数值是什么？例 10在很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成︒30角，,同时岸上有一人，从同一地点开始追赶赶小船，已知他在岸上跑的速度为4m/h,在水中游的速度为2m/h ，问此人能否追上小船；若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？ 五、配对例10．设,1)(22xx x f +=计算)21()19991()20001(f f f S +++= )2000()2()1(f f f ++++ 。
例11．设正整数m 的不同正同数的个数为8)24(=N ，试确定和)1996()2()1(N N N +++ 是奇数还是偶数例12． 计算和式∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100110123n n 六、赋值例13．在区间[]2,1内任意插入n 个分点，形成n1个子区间，子区间的两个端点分别是有理点、无理点称为好区间。
证明存在好区间且好区间的个数为奇数个。
例14． n 盒火柴摆成一圈，作如下调整：若连续相邻的4盒火柴根数之和为奇数，则从每盒中取出一根；否则每盒火柴加进一根火柴，如果每连续相邻4盒火柴均恰好作一次这样的调整后，n 盒火柴总根数不变，求证：n 是4的倍数。
拨开迷雾见阳光——一道联考试题结论的推广与本质
２ Ａ ２ ） 口 ｂ ， 两式相加化简得 ６ （ ＋Ａ １ ＋Ａ ２ ｃ ）
２
一
意到 Ｂ ｅ ＇＝
及 Ｅ Ｇ ＝Ａ ＋
由
ｃ
＝
ａ
ｙ Ｅ （ ｙ Ｅ＋Ａ ｌ ｙ 曾＋Ａ ２ ｙ ｃ ）＝（ １＋Ａ １＋Ａ ２ ） 口 ｂ ． 注 及 Ｅ Ｇ ＝Ａ ＋Ａ
组共线点： （ １ ） Ｆ ， Ｇ ， Ｊ ， Ｋ四点共线； （ ２ ） Ｅ ， Ｇ ， Ｌ ， Ｍ四
点共线； （ ３ ） Ｅ ， Ｆ ， 日， ，四点共线． 注： 由于定理 ４中的结果（ １ ） （ ２ ）文［ １ ］中已给
图３
线交 于 点 ， 则有 Ｅ， Ｆ， 日， Ｊ四
出部分 证 明 ， 不再 赘述． 限于篇 幅 ， 定 理 ４中 性 质 （ １ ） （ ２ ）可 否 用 类 似
Ｆ ， 日， ， 三点共线， 命题得证． 由定理 １ 、 ２ 、 ３得证 ， 可得 如 下定 理 ：
定理 ４ 圆锥 曲线 上 的 四点 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ构 成 了
一
口 ２ ） ， ｙ 。＝ ６ ２ ， 即点Ｅ满足方程 一
＝ｌ ， 易证
日， ， 在直线 一 百 Ｙ ａ Ｙ＝１ 上 则Ｅ ， Ｉ Ｉ ， ， 三点共线， 同
：，
意到Ｂ Ｇ ＇＝
由 ｃ＝
一 Ｇ 一
ｃ
１ ＋ Ａ１＋Ａ２
＝
’ 。 一
１ ＋Ａ１＋ Ａ ２
一 ｃ 一
Ａ１ Ｙ口 ＋ Ａ２ Ｙｃ １ ＋ Ａ１ ＋ Ａ２ ’ ｃ ＝ 一 １ ＋ Ａ１＋ Ａ２ Ａ１＋ Ａ２
可得 ） ， Ｇ Ｙ Ｅ＝ｐ （ ｘ ＋
，
理 Ｆ． 日பைடு நூலகம் ， 三 点共 线 ． 命题 得证．
一道物理竞赛试题的解法探析
一
ｆ ／ 可／ ｓ ≤８ ｓ ８ ≤ ｍ ｍ
，
ｌ ／ ≤ ≤ ２ ｓ 昔ｍ ｓ ｍ／
则导ｍ ｓ ／ ≤ ≤ ２ ｓ ｍ／
ｍ／ 。 一 辆 匀 速 向前 行 驶 的 自行 车 通 过 ｓ若
原 题 （ ２ 届 预 赛试 题 ） 一条笔 直 的公 第 ５ 在
路上依 次设置 三盏 交通 信 号 灯 Ｌ 、 ：和 ，Ｌ Ｌ ：
与 Ｌ 相距 为 ８ ｍ， ￣ Ｌ 相距 为 １ ０ 每盏信 ｌ ０ Ｌ与 ｌ ２ ｍ， 号灯显示 绿色 的时 间 间 隔都 是 ２ ｓ 显 示 红 色 的 ０， 时间间 隔都 是 ４ ｓＬ ０ ， 与 Ｌ 同时显 示绿 色时 ， 。 ３ Ｌ 则 在 Ｌ 显示 红色经 历 １ ｓ 开始 显示 绿色 。 。 ０时 规定
之美 。
…
ｊｍ６ ２ 、 锹 ｆ 一０ 属于自然数） １ （ ６ ｏ ｍ 属丁目 ０ ： ｏ ＼ ＜ ｆ
３ ０ ６ｍ ０ Ｉ ０ｎ一 ４ ６ ０ 、 ３
－ — —
。。 。 。
解 ｆ一 ｌ ３｛：３｛一３ 得｛ ２｛＝ 一 ５ １ｆ ２ｆ ４ ｆ一 ｎ 研 ， ， 扎 ，ｒ ， ： 一
一
Ｖｏ１２ Ｎｏ ３ ６ ． ８ ． ７
（） Ｓ ４ ０１ ．２ ０ ．３６ ．
物
理
教
学
探
讨
第２ ８卷 总 第 ３ ６ ７ 期
２１ ０ ０年 第 ４期 （ 半 月） 上
（０ ６ ｋ一 ４ ） 、 … ； ０ Ｓ…
“ 图”在物 理学 中有 着 十 分 重 要 的 地 位 ， 它 是 将抽 象 的 物 理 问题 直 观 化 、 象 化 的最 佳 工 形 具。 利用 图像来表 达和分 析 物理 问题是 一种 很 重
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对一道竞赛试题的思考
杨广亮
(高新区枫杨街 郑州外国语学校 河南 郑州 450001）
题目 设ABC ∆为锐角三角形，M ，N ，P 分别是ABC ∆的重心G 向边AB ，BC ，
CA 所作垂线的垂足. 证明：
4
1274≤<∆∆ABC MNP S S （第16届巴尔干地区数学奥林匹克）]1[ 我们知道，“重心”、“内心”“垂心”是三角形的三个比较特殊的点，在各类竞赛试题中对三心的考查也是屡见不鲜的，这里，笔者通过类比发现，将试题中的“重心”改为“内心”、“垂心”后，仍有类似的面积问题值得我们探究.同时我将给出在同一锐角三角形中，由三心向各边做垂线所形成的垂足三角形面积大小关系.
命题1 设ABC ∆为任意三角形，M ，N ，P 分别是ABC ∆的内心G 向边AB ，BC ，
CA 所作垂线的垂足. 证明：
4
1
≤∆∆ABC MNP S S 引理
]
2[ 若()x f y =是区间()b a ，上的上凸函数，1x ，2x ，…, ()b a x n ，∈,则
()()()⎪⎭
⎫
⎝⎛++≤++n x x x f n x f x f x f n n 2121
当且仅当n x x x ==21时上式等号成立.
证明：如图1，设BC ，CA ，AB 长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则r GP GN GM ===，记()c b a p ++=2
1
， ABC ∆的面积为S . 即有
()()()c p b p a p p r p S ---=⋅=…①，
而
A MGP ∠-=∠π，
B MGN ∠-=∠π，
C NGP ∠-=∠π，
…②
将①带入②有
图1
()C B A r C r r B r r A r r S S S S NGP MGN MGP MNP sin sin sin 2
1sin 2
1
sin 21sin 212
++⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=∆∆∆∆()()()a
A
p
c p b p a p S
S MNP
sin ⋅---=∆()()a A r c b a C B A r c b a r C B A r S
S MNP
sin sin sin sin 2
1sin sin sin 212
⋅
=++++⋅=++⋅⋅++⋅⋅=∆
由三角形和差化积公式和倍角公式化简得
又在ABC ∆中， 有
2A ，2B ，2C ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈20π， 从而 3
3
2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
++≤⋅⋅C B A C B A ， 当且仅当C B A ==时上式等号成立. 已知
2A ，2B ，2C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，，而()x x f sin =在⎪⎭
⎫
⎝⎛20π，上为上凸函数， 由引理知
2
13222sin 32sin 2sin 2sin
=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++≤++C B A C B A ， 此处也是当且仅当C B A ==时上式等号成立.
从而
上式两处等号同时成立的条件是当且仅当C B A ==时，即ABC ∆为等边三角形时.
命题2 设ABC ∆为锐角三角形，G 为ABC ∆的垂心，M ，N ，P 分别为AB ，BC ，
CA 边的垂足. 证明：
4
1
≤∆∆ABC MNP S S
证明:如图2，MNP ∆为ABC ∆垂足三角形，可证得
C B A S S ABC
MNP
cos cos cos 2=∆∆]
3[
后面求范围过程类似于命题2，可证明8
1
cos cos cos ≤C B A ，读者可试着证明.
()()()C B A A C B B C A C B A sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 21++-+-+-+=2
sin
2sin 2sin 2C
B A S S MNP ⋅⋅=∆4132sin 2sin 2sin 22sin 2sin 2sin 23
≤⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++⋅≤⋅⋅=∆C
B A
C B A S S MNP 图2
面积关系
在锐角三角形ABC ∆中，我们把由垂心，内心，重心向三边作垂线形成
的垂足三角形依次记为1S ，2S ，3S .则321S S S ≤≤
证明：已知]
4[21S S ≤ 下面仅证32S S ≤
在ABC ∆中 易证
2
sin 2sin 2sin
41cos cos cos C B A C B A ⋅⋅+=++ 由[1]知 ()
ABC S C
B A S ⋅++=
9
sin sin sin
222
3
， 又有 ABC S C B A S ⋅⋅⋅=2sin 2sin 2sin 22
从而只需证
()C
B A C
B A S
C B A S C B A S S ABC
ABC 22222232sin sin sin 2sin
2sin 2sin 189
sin sin sin 2sin 2sin 2sin
2++⋅⋅=⋅++⋅⋅⋅=
()
1cos cos cos 341cos cos cos 18222≤++-⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-++=C
B A
C B A 也即证
()()
15cos cos cos 2cos cos cos 9222≤+++++C B A C B A
此即转化为在条件π=++C B A ，且A ，B ，C ⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈20π，下，求函数
()()()
C B A C B A C B A F 222c o s c o s c o s 2c o s c o s c o s 9+++++=，，的最大值问题.
设
()()()
()
πλλ-++++++++=C B A C B A C B A C B A L 222cos cos cos 2cos cos cos 9，，，得方程组
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨
⎧=-++=∂∂=+--=∂∂=+--=∂∂=+--=∂∂.002sin 2sin 902sin 2sin 902sin 2sin 9πλ
λλλC B A L C C C L B B B
L A A A L
，，， 易知
C C B B A A 2sin 2sin 92sin 2sin 92sin 2sin 9+=+=+ …※
令()x x x g 2sin 2sin 9+=，
则()32209169cos 82cos 4cos 92
-
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=+=x x x x g ‘
，其中，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，x . 当16
9209cos 0-=
x 时，()00=x g ‘
，其中，230ππ<<x ，
在()00x x ，∈上，()00>x g ‘
，()x g 单调递增；在⎪⎭
⎫
⎝
⎛
∈20π，x x 上，()00<x g ‘，()x g 单
调递减.
从而若 ()()()321x g x g x g ==，则1x ，2x ，3x 中至少有两个相等. 由※知()()()C g B g A g ==，若只有两个相等，不妨设B A = 则 ()C B B A sin 2sin sin ==+
从而
C C B B 2sin 2sin 92sin 2sin 9+=+
92
sin 222sin 163=+-C
C ，
令2
sin C t =， ()t t t 22163+-=ϕ， 则()22482
'+-=t t ϕ
（ⅰ）当C B A <=时，知
2
3
π
π
<
<C ，故⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈2221，
t ， 当24110=t 时，()00'=t ϕ，易求得()⎪⎭
⎫
⎝⎛∈27,26629，t ϕ，从而与9
2sin 222sin 163=+-C C 矛盾.
（ⅱ）当B A C =<时，知3
0π
<<C ，故⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∈210，t ，
易求得()()90，∈t ϕ，也与92
sin 222sin
163
=+-C
C 矛盾. 从而由（ⅰ），（ⅱ）知，必有C B A ==.
也即通过解方程组我们得到唯一一个稳定点⎪⎭
⎫
⎝⎛333πππ，，，而这个稳定点处的值15即是我们所求()C B A F ，，的最大值，从而到此问题得证，有32S S ≤成立.
参考文献
[1]周沛耕 王博程. 数学奥林匹克标准教材[M].北京教育出版社文津出版社.P484 [2]魏大宽. 凸函数的性质及应用[J].零陵师专学报.1996
[3]曾仪. 垂足三角形周长和面积的简证[J].中学数学月刊.2007
[4]赵心敬 焦和平.三角形的内接三角形面积的不等式链[J].数学通报1996。