§4.1气体分子的平均自由程
气体分子平均自由程
气体分子平均自由程气体分子平均自由程，又称为“气体分子平均运动距离”，是指一定条件下的气体的分子在一段时间内的平均随机运动距离。
它表明气体分子随机运动的平均距离，是预测和理解气体特性的重要参数之一。
气体的物理性质受到气体分子的大小和运动状态的影响，而气体分子的运动状态可以用气体分子平均自由程来表征。
气体分子的运动是由气体分子间的相互作用引起的，气体分子平均自由程反映了气体分子之间存在的相互作用。
气体分子平均自由程可以从宏观物理学的角度来理解，它表示在一定温度下，气体分子的平均随机运动量，并由此而决定气体特性，例如密度、扩散速度、粘度等。
具体而言，气体分子的平均自由程是指在一定温度和压强下，气体分子在某一时刻回归到原点，以及在一段时间内平均随机运动的距离。
气体分子平均自由程是由气体分子之间的相互作用来决定的，而不同的气体分子会有不同的相互作用，从而使它们具有不同的气体分子平均自由程。
比如，氢分子和氦分子的相互作用较弱，它们的气体分子平均自由程也就较大；而氧分子和氮分子的相互作用较强，它们的气体分子平均自由程也就较小。
气体分子平均自由程的大小受多种因素的影响。
首先，气体分子的大小会影响它们的平均自由程。
一般来说，气体分子越小，它们的平均自由程就越大。
其次，气体分子之间的相互作用也会影响气体分子平均自由程。
一般情况下，气体分子间的相互作用越强，气体分子平均自由程就越小。
最后，温度也会影响气体分子平均自由程，即温度越高，气体分子平均自由程就越大。
气体分子平均自由程是气体物理性质的重要参数，它可以用来预测和理解气体的性质。
它可以用来计算气体的密度、扩散速度、粘度等特性，也可以用来计算温度和压强的变化对气体的影响，以及气体的运动规律。
4-4 气体分子碰撞和平均自由程
单原子
i3
刚性双原子 i 5
刚性多原子 i 6
3.能均分定理
在温度为T 的平衡态下, 物质分子的每一个
自由度都具有相同的平均动能, 其大小为 1 kT. 2
4.每个分子的平均总动能
i kT
2 5.1mol 理想气体的热力学能
i
i
E0 N 0(2 kT ) 2 RT
6.质量为M 的理想气体的热力学能
所以
Z 2 d 2vn
上式表明
平均碰撞次数与分子数密度，分子平均速 率成正比，也是与分子的直径的平方成正比．
把 Z 2 d 2vn代入
得
上式表明
vt v Zt Z
1
2 d 2n
平均自由程与分子碰撞截面、分子数密度 成反比，而与分子平均速率无关。
因为 所以
p nkT
kT
2 d 2 p
上式表明
kT
2 d 2 p
当气体的温度给定时，气体的压强越大 （即气体越密集），分子的平均自由程越短； 反之，若气体压强越小（即气体越稀薄），分 子的平均自由程越长.
4.4.3 例题分析
例1 求在标准状态下,空气分子的平均自由程、 平均速率及平均碰撞次数.（已知空气的平均摩 尔质量为 2910-3kg·mol-1, 空气分子的有效直 径为3. 5 10-10m）.
上式表明
分子间碰撞越频繁，平均自由程越小。
(1) 假设分子中只有一个分子A以平均速 率 v 运动，其余分子都静止不动。 请看动画演示
这样,凡是中心与
A分子中心的距离小
于或等于有效直径d
A
dd
的分子,都要与A分子
相碰。
气体分子平均自由程
子间的引力，但考虑了分子斥力起作用时两个分子质心间的距离，即考虑了 分子的体积，而不象理想气体，忽略了分子本身的大小。
4
自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过 的路程 .
5
气体分子平均自由程（mean free path） 平均自由程λ 为分子在连续两次碰撞之间所自 由走过的路程的平均值。
dN K exp( Kx)dx N0
18
由分子自由程的概率分布可求平均自由程 dN K exp( Kx)dx N0
1 K exp( Kx) xdx K 0
dN Kdx N
N Kdx Ln N
0 0
x
N N 0 exp( Kx )
17
N N 0 exp( Kx )
表示从 x =0 处射出了刚被碰撞过的N0个分子，它们 行进到 x 处所残存的分子数 N 按指数衰减。 对上式之右式两边微分，得到
既然（-dN ）表示 N0 个分子中自由程为 x 到x + dx 的平均分子数，则（-dN /N0 ）是分子的自由程在 x 到 x + dx范围内的概率。这就是分子自由程的概率分布。 即分子按自由程分布的规律。
Z 2 π d vn
2
v 1 2 z 2π d n
当气体较稀薄时
p nkT
1 T 一定时 p
kT 2π d 2 p
p 一定时
T
11
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程 10 和碰撞频率。取分子的有效直径 d 3.5 10 m 已知空气的平均相对分子量为29。 解： 标准状态下
气体分子的平均自由程与碰撞频率
气体分子的平均自由程与碰撞频率气体分子在运动中会发生相互碰撞，这些碰撞对于气体的性质和行为有着重要的影响。
本文将探讨气体分子的平均自由程和碰撞频率以及它们在气体动力学中的意义。
1. 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程是指在单位时间内，分子在不受碰撞影响时所能走过的平均距离。
它与气体分子的碰撞次数、碰撞概率等因素密切相关。
计算平均自由程的方法是通过统计分子在一段时间内的位移，并将其平均值作为结果。
平均自由程与气体分子的直径和气体的密度有关。
当气体分子的直径较小时，分子之间的相互作用较小，平均自由程较大；而当气体分子的直径较大时，分子之间的相互作用较强，平均自由程较小。
此外，当气体的密度较小时，气体分子之间的碰撞次数较少，平均自由程较大；而当气体的密度较大时，气体分子之间的碰撞次数较多，平均自由程较小。
2. 气体分子的碰撞频率碰撞频率是指单位时间内气体分子发生碰撞的次数。
它与气体的温度、密度等因素息息相关。
碰撞频率的计算可以通过统计单位时间内发生的碰撞次数来实现。
碰撞频率与气体分子的速度和相对速度有关。
当气体的温度增加时，气体分子的速度增大，碰撞频率也增加；反之，当气体的温度降低时，气体分子的速度减小，碰撞频率也减小。
此外，当气体的密度增加时，气体分子之间的距离减小，碰撞频率也增加。
3. 平均自由程与碰撞频率的关系平均自由程和碰撞频率是气体分子运动的两个重要参数，它们之间存在着相互关系。
根据气体动力学理论，平均自由程与碰撞频率成反比关系。
当气体分子的平均自由程较大时，分子之间的相互作用较小，碰撞次数相对较少，碰撞频率较低；而当平均自由程较小时，分子之间的相互作用较强，碰撞次数相对较多，碰撞频率较高。
4. 平均自由程与碰撞频率的实际应用平均自由程和碰撞频率在气体动力学中有着广泛的应用。
例如，在研究气体扩散过程中，通过计算气体分子的平均自由程可以估算扩散的速率和距离；在研究气体传热过程中，通过计算气体分子的碰撞频率可以评估热传导的效率和速率。
在大气层外层的气体分子平均自由程
在大气层外层的气体分子平均自由程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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热学-第四章 课件
第四章气体内的输运过程§4.1气体分子的平均自由程§4.2输运过程的宏观规律§4.3输运过程的微观解释43个分子自由运动的平均路程其它分子碰撞的平均次数分子平均碰撞次数nd Z v 2π2=以红球的中心的运动轨迹为轴线，以分子的有效直径d 为半径做个曲折为半径做一个曲折的圆柱体，则凡是中心落在此圆柱体内的分子都会与红球相碰撞，故2dσπ=⋅nd Z v 2π2=nkT=p 平均自由程pkT2=λd π2例1、某种分子的平均自由程是10cm，在10000段自由程中，问：1、有多少段大于50cm？2、有多少段位于5~10cm之间？3、有多少段长度正好等于10cm？例2、显像管的灯丝到荧光屏的距离是20cm。
要使灯丝发射的电子有90%在途中不与空气分子相碰而直接打到荧光屏上，在途中不与空气分子相碰而直接打到荧光屏上问显像管至少要保持怎样的真空度？已知显像管的工作温度是320K，空气分子的有效直径为3.0×1010m。
空气分子的有效直径为30-10分子射线中的分布函数假设容器足够大，而器壁上开的孔足够小，则分子射线的逸出不会影响容器内部的平衡态。
分子射线中的分子速率分布函数为：2气体在非平衡态下的三种典型变化过程粘滞现象(Viscosity Phenomenon)•(Viscosity Phenomenon)——动量的传递•传热(Heat Transfer) ——热量的传递•扩散(Diffusion) ——质量的传递§4.2输运过程的宏观规律在许多实际问题中，气体常处于非平衡状态，气体内各部分的温度或压强不相等，或各气体层之间有相对运动等，这时气体内将有能量、质量或动量从一部分向另一部分定向迁移，这就是非平衡态下气体的部分向另部分定向迁移，这就是非平衡态下气体的迁移现象.y 1v2v 一粘滞现象气体中各层间有相,xz对运动时, 各层气体流动速度不同, 气体层间存在粘滞力的相互作用.为粘度（粘性系数）η气体粘滞现象的 微观本质是分子定向运动动量的迁移, 而 v +SΔ这种迁移是通过气体分子无规热运动来实现的.xΔdS′气体中的粘滞现象两侧相互作用的粘滞力定向流速在垂直于定向流动的z方向上的变化率成正比。
气体平均自由程
气体平均自由程
气体平均自由程是指气体分子在单位时间内在碰撞前直线路径上能够自由运动的平均距离。
它是描述气体分子运动的重要参数之一，与气体的密度、温度和分子直径等因素有关。
根据气体动理论，气体分子之间的碰撞是完全弹性碰撞，即在碰撞过程中没有能量损失。
在两个碰撞间隔期间，气体分子可以自由运动。
当气体分子之间的碰撞频率很高时，其平均自由程就很短。
相反，如果碰撞频率很低，其平均自由程就很长。
根据运动学原理，气体分子的平均自由程可以通过下式计算：
平均自由程 = 1 / (根号2 * 分子数密度* π * 分子直径^2)
分子数密度是单位体积中气体分子的数量，分子直径是气体分子的直径。
气体的平均自由程决定了气体的输运性质。
当气体分子的平均自由程远大于其他物体的尺度（如容器大小、障碍物等），气体可以被视为连续介质，可以使用流体力学的方法来描述气体的运动。
相反，当气体分子的平均自由程接近于容器或障碍物的尺度时，气体分子的运动会受到分子间相互作用和碰撞的影响，需要使用分子动力学的方法来描述。
气体分子的平均自由程
z0 0
df dS df’
u=u(z)
P
x
在流体内部z=z0处有一分界平面ds,ds上下相邻流 在流体内部z=z 处有一分界平面ds,ds上下相邻流 ds,ds 体层之间由于速度不同通过ds ds面互施大小相等方向 体层之间由于速度不同通过ds面互施大小相等方向 相反的作用力，称为内摩擦力或粘滞力。 相反的作用力，称为内摩擦力或粘滞力。 实验表明粘滞力的大小df与该处流速梯度及ds的大 实验表明粘滞力的大小df与该处流速梯度及ds的大 df与该处流速梯度及ds 小成正比。 小成正比。 du df = η ds 叫做流体的内摩擦系数或粘滞系数。 η 叫做流体的内摩擦系数或粘滞系数。 dz z0 微观机制（只讨论气体） 微观机制（只讨论气体） 气体的内摩擦现象在微观上是分子在热运动中输 运定向动量的过程。 运定向动量的过程。 1 根据分子运动论可导出 η = nmvλ 3
扩散 两种物质混合时，如果其中一种物质在各处的密度不均 两种物质混合时， 这种物质将从密度大的地方向密度小的地方散布， 匀，这种物质将从密度大的地方向密度小的地方散布， 这种现象叫扩散。 这种现象叫扩散。 宏观规律 只讨论最简单的单纯扩散 过程： 过程：混合气体的温度和 压强各处相同。 压强各处相同。两种组分 的化学性质相同如CO 气体。 的化学性质相同如CO2气体。 但一种有放射性如14C，另一 种无放射性如12C。
A
σ
Hale Waihona Puke 叫做分子的碰撞截面。 圆柱体的截面积为σ ，叫做分子的碰撞截面。 σ = πd2 在t 内，A所走过的路程为 u t， 相应圆柱体的 所走过的路程为 体积为 ， σut 设气体分子数密度为 。则 设气体分子数密度为n。 中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在 时间 中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在t时间 内与A相碰的分子数为 内与 相碰的分子数为 nσu t 。 平均碰撞频率为
气体分子的平均自由程输运过程的宏观规律输运过程的微观解释
一.热传导现象的宏观规律
热传导是热传递的三种方式(热传导.对流.热辐射)之一,它是当气体各处温度不均匀时 热量由温度高处向温度低处输运的过程.
1. dQ dS 2. dQ dt 3. dQ dT dz z0
2
2
在 T = 300K 时：
气体 J (10-46kgm2 )
2 kT
J
(s1)
H2 O2 N2 CO 2
0.0407 1.94 1.39 1.45
3.19× 1013 4.62 × 1012 5.45 × 1012
5.34× 1012
z 分子在碰撞中可视为球形
§2. 输运过程（transport process）
vt v 1
p nkT
Zt Z 2d 2n
二. 平均碰撞频率与平均自由程的关系
理想气体，在平衡态下，并假定：
kT
2d 2 p
（1）只有一种分子； （2）分子可视作直径为 d 的刚球； （3）被考虑的分子以平均相对速率 u 运动， 其余的分子静止。
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
3
dz z0
3
例5-2.实验测得标准状态下氢气的粘滞系数为 的平均自由程和氢气分子的有效直径.
8.5 .试10 求6 kg氢m气1s 1
解:根据
1 v 解出 ,并将, v的有关公式代入, 得
3
3 3 RT 3 RT 1.66107 (m)
气体的黏度随温度升高而增加，液体的黏度随温度升高而减少。
根据动量定理:dk=fdt,有:
dk du dSdt
dz z0
由于动量沿流速 减小的方向
分子运动的平均自由程
分子运动的平均自由程分子运动的平均自由程是指分子在气体、液体或固体中在碰撞之间所能运动的平均距离。
它是一个重要的物理参数，可以帮助我们理解分子在不同状态下的运动行为。
为了理解分子运动的平均自由程，我们首先需要了解分子运动的特点。
在气体中，分子具有高度自由的运动，不受相互作用力的限制。
在液体中，分子之间存在较强的相互作用力，但仍然能够以较高的速度运动。
在固体中，分子的运动受到最强的相互作用力的限制，只能在一个非常狭小的区域内振动。
分子运动的平均自由程与分子的平均自由时间密切相关。
平均自由时间是指分子在两次相互碰撞之间的平均时间间隔。
它可以通过分子的平均速度和分子之间的碰撞频率来计算。
分子的平均速度可以根据其运动能量和质量来计算，而分子之间的碰撞频率可以通过理想气体动力学理论中的碰撞模型来估算。
在气体中，分子的平均自由程可以用碰撞截面积与密度的比值来计算。
碰撞截面积是指分子在碰撞中所占据的面积，它可以通过假设分子为刚球模型，并通过计算分子之间的碰撞几率来估算。
密度是指单位体积内分子的数量，可以通过气体状态方程和理想气体动力学理论来计算。
在液体中，分子的平均自由程要考虑分子之间的相互作用力。
通常情况下，液体分子的运动路径受到相互作用力的限制，平均自由程较短。
然而，液体中存在一些自由的分子，可以运动一段距离而不受相互作用力的束缚，从而形成分子的平均自由程。
这可以通过在分子之间引入排斥作用力和引力作用力来计算。
在固体中，分子的平均自由程非常短。
由于固体分子之间的相互作用力非常强大，分子只能在一个非常小的区域内振动，不具备自由运动的能力。
因此，固体分子的平均自由程通常可以认为是分子的尺寸。
总结起来，分子运动的平均自由程是分子在气体、液体或固体中在碰撞之间所能运动的平均距离。
它与分子的平均自由时间、碰撞截面积、密度和相互作用力等因素有关。
对于不同状态的物质，平均自由程的计算方法也不同。
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dN KNdx
dN / N Kdx
N N 0e
Kx
位置坐标 时间坐标 分子数
既然（-dN ）表示 N0 个分子中自由 程为 x 到x + dx 的平均分子数，则分 子自由程的概率分布
P( x) dN K exp( Kx)dx N0
200 d
二、 分子按自由程的分布
导出分子自由程分布的一种方法是制备 N0 个分子所组成的分子束。分子束中的分子恰好 在同一地点（ x = 0处）刚被碰过一次，以后
都向 x 方向运动。
分子束在行进过程中不断受到背景气体分子
的碰撞，使分子数逐渐减少。 只要知道分子束
在 x 到 x + dx范围内所减少的分子数 dN 即 可得到自由程分布。
单位时间内平均碰撞次数： Z π d 2 u n
考虑其它分子 的运动 ：
u 2v
分子平均碰撞次数
Z 2 π d vn
2
平均自由程
p nk T
v 1 2 z 2π d n
1 T 一定时 p
kT 2 2π d p
p 一定时
T
刚性球的碰撞截面是以(d 1+d 可以从下面的图清楚地看到。
2
) /2 为半径的圆,
1 (d1 d 2 ) 2
红球和两个蓝球 恰好能相碰
两个蓝球和 红球都能相碰
两个蓝球和红 球都不能相碰
Z n d 2 v12
其中 n 是气体分子数密度，式中最后一个因子是 A 分子相对于其它分子运动的平均速率,称为相对运动平 均速率。 对于同种分子 v12
第四章 气体内的输运过程
§1. 气体分子的平均自由程 §2. 输运过程的宏观规律 §3. 输运过程的微观解释
前面已利用分子动理学理论讨论了处于平 衡态的理想气体的微观过程。 本章将讨论非平衡态气体的微观过程，特 别是那些在接近平衡时的非平衡态过程。 其典型例子是气体的黏性、热传导与扩散 现象，统称为输运现象。 首先应对这些输运现象宏观规律作较系统 介绍。
2v
平均碰撞频率为
其中
Z
2nv
d 2
8k T m
p nk T, v
Z
4p mk T
说明在温度不变时压强越大（或在压强不变时，温 度越低）分子间碰撞越频繁。
[例] 估计标准状况下空气分子平均碰撞频率。 [解]：标准状况下空气分子平均速率为446 m/s，洛施 密特常量为2.7×1025 /m3 。 设空气分子有效直径为 3.5×10-10 m，将它们代入，
§1. 气体分子平均自由程
气体分子运动过程中经历十分频繁的碰撞。气体的
输运过程来自分子的热运动。碰撞使分子不断改变运
动方向与速率大小，使分子行进了十分曲折的路程。
碰撞使分子间不断交换能量与动量。系统的平衡也 需借助频繁的碰撞才能达到。 本节将介绍一些描述气体分子间碰撞特征的物理量： 平均自由程，碰撞截面、平均碰撞频率
Z
2nv
Z 2nvd 2 6.5 10 9 s 1
说明标准状况下,分子在 1 秒内平均碰撞 109 的数 量级。
气体分子平均自由程
理想气体分子在两次碰撞之间可近似认为不受到其 它分子作用，因而是自由的。分子两次碰撞之间所 走过的路程称为自由程，以λ表示。 任一分子任一个自由程长短都有偶然性，自由程
平均值由气体的状态所唯一地确定。
一个以平均速率运动的分子，它在 t 秒内平均走 过的路程和平均经历的碰撞次数分别为
vt
vt v 平均两次碰撞之间走过的 距离即为平均自由程。 Zt Z
Zt
vt v Zt Z
Z 2nv
1 2 n
Байду номын сангаас平均自由程公式:
对于同种气体，平均自由程与n成反比，而与平均速 率无关。
kT 2p
同种气体在温度一定时，平均自由程与压强成反比。
[例] 试求标准状况下空气分子的平均自由程。
[解] 标准状况下空气分子的平均速率为446 m.s-1，平
均碰撞频率为,
Z 6.5 10 s
9 1
v 6.9 10 8 m z
空气分子有效直径 d = 3.5 10-10 m 。 可见标准状况下
K 0
ex Kx) xdx 1 / K p(
K
1
自由程 概论分布
dN 1 x P( x) exp( )dx N0
dN 1 x P( x) exp( )dx N0
分子自由程概率分布曲线
自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由 通 过的路程 .
分子平均自由程：每两次连续碰撞 之间，一个分子自由运动的平均路程. 分子平均碰撞次数：单位时间内 一个分子和其它分子碰撞的平均次数.
简化模型
(1) 分子为刚性小球 . (2) 分子有效直径为 d （分子间距平 均值）. (3) 其它分子皆静止，某分子以平均 速率 u 相对其它分子运动 .
在t = 0时刻，x = 0处恰好有刚碰撞过一次的， 向相同方向（x 轴方向）运动的 N0个分子。
将这一束分子放大后即如图所示。
位置坐标 时间坐标 分子数
在 t 时刻、 x 处 N 个分子，
t + dt 时刻，x + dx 处，被碰撞掉 dN 个分子, 自 由程为 x 到x + dx 的分子数为 –dN ，因为dN 是减 少了的分子数, dN ＜ 0，要加个负号。