第一章_多项式
第一章多项式
第一章 多项式（第1讲）目标与要求理解数域、一元多项式的概念，掌握一元多项式的运算及基本性质．重点难点重点：一元多项式的概念、运算及基本性质．难点：一元多项式的定义．设计安排实际问题为出发点，引出数域的概念，通过教材P 2（例1）加深对概念的理解，最后指出：任何数域都包含有理数域作为它的一部分．给出一元多项式的有关概念，进而讨论其运算及基本性质，补充例题（幻灯片例2）加深对本段内容的理解．教学进程见幻灯片部分．（2课时）教学内容§1 数域定义 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域.全体有理数的全体组成一数域全体实数组成的集合、全体复数组成的集合也都是数域.上述三个数域常用字母Q 、R 、C 表示.注意：全体整数组成的集合就不是数域.数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.而代数所研究的问题主要涉及数的代数性质.例1 所有具有形式2b a 的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.例2 所有整组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于除法不封闭.所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.§2 一元多项式1 一元多项式定义 设n 是一非负整数，形式表达式0111a x a x a x a n n n n ++++-- ,其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式.i i x a 称为i 次项，i a 称为i 次项的系数.用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式. 同次项的系数全相等，那么)(x f 与)(x g 就称为相等，记为)()(x g x f =.系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.如果0≠n a ，那么nn x a 称为多项式的首项，n a 称为首项系数，n 称为多项式的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f 的次数记为))((x f ∂.2 多项式的运算设 0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=--是数域P 上两个多项式，即∑==n i i ix a x f 0)(，∑==m j j j x b x g 0)(在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ≥，为了方便起见，在)(x g 中令011====+-m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为∑=---+=++++++++=+n i i i i n n n n n n xb a b a x b a x b a x b a x g x f 00011111)()()()()()()(而)(x f 与)(x g 的乘积为001001111)()()()(b a x b a b a x b a b a x b a x g x f m n m n m n m n m n ++++++=-+--+其中s 次项的系数是∑=+--=++++s j i j i s s s s b a b a b a b a b a 011110所以)(x f )(x g 可表成 s mn s s j i j i x b a x g x f )()()(0∑∑+==+=.显然，)))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂.对于多项式的乘法，可以证明，若0)(,0)(≠≠x g x f ，则0)()(≠x g x f ，并且))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂多项式乘积的首项系数等于因子首项系数的乘积. 结果均可推广到多个多项式的情形. 运算法则：1. )()()()(x f x g x g x f +=+. （加法交换律）2. ))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++ （加法结合律）3. )()()()(x f x g x g x f = （乘法交换律）4. ))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f = （乘法结合律）5. )()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+ （乘法分配律）另外：若)()()()(x h x f x g x f =且0)(≠x f ，则)()(x h x g =.定义 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为][x P .备注提出如下问题：1．中学数学中的多项式与高等代数中的多项式有何区别？2．多项式相等与方程有无区别？3．次数公式∂（f +g ）≤max （∂（f ）,∂（g ））中何时取“=”号？作业布置课后相应习题第一章 多项式（第2讲）目标与要求理解整除的概念；掌握整除的基本性质和带余除法定理．重点难点重点：掌握整除的基本性质和带余除法定理．难点：整除的概念、性质．设计安排通过P[x]中多项式的运算，引出如何描述两个多项式的相除关系问题，进而讨论带余除法、整除问题．最后强调：P [x ]中的多项式不能做除法,整除性不是多项式的运算,它是P [x ]中元素间的一种关系,即任给f (x ) , g (x ) ∈P [x ]，可以判断 g (x ) | f (x ) 或 g (x ) | f (x ).教学进程见幻灯片部分．（2课时）教学内容§3 整除的概念1 整除的概念带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ，其中0)(≠x g ，一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在，使 )()()()(x r x g x q x f += 成立，其中))(())((x g x r ∂<∂或者0)(=x r ，并且这样的)(),(x r x q 是唯一决定的. 带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商，)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式. 定义 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ，如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式)()()(x h x g x f =成立.用“)(|)(x f x g ”表示)(x g 整除)(x f ，用“)(|)(x f x g /”表示)(x g 不能整除)(x f .当)(|)(x f x g 时，)(x g 就称为)(x f 的因式，)(x f 称为)(x g 的倍式.定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，其中0)(≠x g ，)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.当)(|)(x f x g 时，如0)(≠x g ，)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用)()(x g x f 来表示. 2 整除的几个常用性质 性质1. 若)(|)(),(|)(x f x g x g x f ，则)()(x cg x f =,其中c 为非零常数.性质2. 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ，则)(|)(x h x f （整除的传递性）.性质3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.性质4. 任一多项式)(x f 一定整除它自身.性质5. 任一多项式)(x f 都能整除零多项式0.称)()()()()()(2211x g x u x g x u x g x u r r +++ 为)(,),(),(21x g x g x g r 的一个组合. 于是，有若r i x g x f i ,,2,1),(|)( =，则))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r +++ .最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变. 即若)(x f ，)(x g 是][x P 中两个多项式，P 是包含P 的一个较大的数域.当然，)(x f ，)(x g 也可以看成是][x P 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把)(x f ，)(x g 看成是][x P 中或者是][x P 中的多项式，用)(x g 去除)(x f 所得的商式及余式都是一样的.因此，若在][x P 中)(x g 不能整除)(x f ，则在][x P 中，)(x g 也不能整除)(x f .备注整除的定义应注意：1．整除的定义与数域扩大（缩小）无关；2．由2211[]x x x x P x x x=⋅∈不能认为可以整除，因为。
第一章多项式(教案)
高等代数 北大三版第一章 多项式教学目的：1．了解多项式的概念，多项式的运算及运算律。
2．会求多项式的最大公因式及各数域上的因式分解。
3．了解多项式与对称多项式的概念。
教学重点与难点：1．整除理论。
2．有理数域上的因式分解。
§1． 数域代数性质：关于数的加减乘除等运算性质 引入：关于数的范围的讨论定义：设P 是一些复数组成的集合，其中包括0和1，如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P 中的数，那么称P 为一个数域。
另一说法： 如果包含0和1 的一个数集P ，对于加减乘除（除数不为0）运算都是封闭的，那么称P 为一个数域。
例： 1．Q R C Z W 2Z （前3个是，后3个不是） 2．R * C + }0{ +C （均不是）3．},|2{1Q b a b a P ∈+=＝)2(Q 是 证明封闭 }|2{2N n n P ∈= 不是4．},,|{, (31)10+++++∈∈=N m n Z a P j n mnn b i b b b a a a ππππ 是 重要结论： 最小数域为有理数域 （任何数域包含有理数域）§2．一元多项式一． 一元多项式的概念定义：设n 是一非负整数，x 是一个符号（文字），形式表达式：01111...a x a x a x a n n n n ++++-- 其中P n i a i ∈=)...0(。
称为系数在数域P 中的一元多项式。
（数域P 上的一元多项式）① 记 )(x f ＝01111...a x a x a x a n n n n ++++--＝i ni i x a ∑=0)(x g ＝01111...b x b x b x b m m m m ++++--＝j mj j x b ∑=0② 其中ini i xa ∑=0称为)(x f 的i 次项 i a 为i 次项系数。
③ 0≠n a ，则n n x a 为)(x f 的首项 n a 为首项系数，n 为)(x f 的次数。
第一章 多项式
第一章 多项式一. 内容概述1. 多项式的概念多项式有两种不同的定义。
设F 是一个域i a ∈F ，)(x f =n a ++--11n n nxa x +01a x a + （1）(1) 不定元的观点（形式表达式）把x 看作一个文字，形如表达式（1），)(x f 称为F 上的多项式。
若两个多项式的形式表达式完全一样，则称两个多项式相等。
即)(x f =n a ++--11n n nx a x +01a x a +,)(x g = n b 0111b x b x b x n n n++++--规定)(x f =)(x g ⇔i i b a =,i =1,2,……n 因此，每一个多项式的表达式是唯一的。
（2）函数观点把x 看作F 中的取值的自变量, )(x f 看成定义在F 上的一个函数,其值域是F 上的一个子集。
在这一观点下，两个多项式函数)(x f 与)(x g 相等。
记住)(x f ≡ )(x g 是指的对0x ∀∈F ，f (0x )=g (0x )有相等的函数值。
应当注意这时的函数表示法不一定是唯一的。
例如，二元域F ={0，1}上多项式函数)(x f =12+x ，)(x g =1+x 是相等的，但表示法不一样，而在无限域上多项式的表示法是唯一的。
即在有限域上)(x f =)(x g 不能推出)(x f ≡)(x g ； 在无限域上)(x f =)(x g ⇔)(x f ≡ )(x g 2．多项式的运算 （1）加法定义 ∀)(x f , )(x g ∈][x F ,在其中适当添上一些系数为零的项,总可设)(x f =i ni i x a ∑=0,)(x g =∑=ni ii x b 0,令)(x h =ii ni i x b a )(0+∑=,显然h(x)∈][x F ，称)(x h 为)(x f 与)(x g 的和，记为)(x f +)(x g =ii ni ix b a)(0+∑=。
高等代数第1章多项式
f(x)-g(x)q1(x)=f1(x) deg f1(x)n-1 f1(x)-g(x)q2(x)=f2(x) deg f2(x)n-2 fk(x)-g(x)qk+1(x)=fk+1(x) f1(x), f2(x),, fk(x)的次数渐减,直到小于g(x)的次数
上式可改写为 f(x) = f1(x) + g(x)q1(x) f1(x)= f2(x) +g(x)q2(x) +) fk(x)=fk+1(x)+g(x)qk+1(x) . f(x)=fk+1(x)+g(x)[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)] 于是,令q(x)=[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)], r(x)=fk+1(x), deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0. 唯一性 假设另有q1(x)和r1(x),满足 f(x) = q1(x)g(x) + r1(x) 其中deg(r1(x))<deg(g(x))或者r1(x)=0
四、综合除法
• 指用一次多项式除任一多项式的简便方法 • 1、理论根据
• • • • • • •
设 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 (an0) 则f(x)被x-c除所得商式是一个n-1次多项式, 设为 q(x)=bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0 所以 f(x)=(x-c)q(x)+r, 其中r为余数,即 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 =(x-c)(bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0)+r 比较两边系数,得
第一章 高等代数多项式ppt课件
定义3：若P是一个，且b≠0，有a/b ∈P，则称数集P是一个 数域。
例如：有理数集Q、实数集ppt精R选、版 复数集C都是数域。
9
多项式
§1 数环和数域
例 4 证明 Q (2 ) { a b2|a ,b Q }是一个数域。
例 5 设 P 1{ ab2|a,b Q }P 2 { ab3|a,b Q } P { a b 2 c3 d 6 |a ,b ,c ,d Q }
零多项式：系数全为0的多项式，即f (x)=0。对零多项式不
定义次数，因此，在使用次数符号时，总假定f (x)≠0。
首一多项式：首项系数为pp1t精的选版多项式。
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多项式
二、多项式的运算
§2 一元多项式的定义和运算
定义4：设
f(x)anxnan1xn1 a1xa0,
g(x)bmxmbm 1xm 1 b1xb0,
34多项式因式分解定理不可约多项式的性质性质1若px是不可约多项式则只有c性质2若px是不可约多项式则对任意的多项式f性质3若px是不可约多项式且对任意两个多项式f推论1若px是不可约多项式且px35多项式设px为数域p上的次数大于零的多项式
高等代数
高等代数
Higher Algebra
湖南大学数学与计量经济学院
性质2 对任意的f (x)，g(x)∈P [x]，若f (x) | g(x)，且g(x) | f (x) 那么f (x) = cg(x)和g(x) = df (x)，其中c，d为非零常数。
性质3 对任意的f (x)，g(x)，h(x)∈P [x]，若f (x) | g(x)，且 g(x) | h(x)，那么f (x) | h(x) 。(整除的传递性)
x2 2在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域
高代多项式
第一章 多项式多项式是高等代数的重要组成部分一、基本概念1、一元多项式定义 设n 是一非负整数，形式表达式()111n n n n 0f x a x a x a x a −−=++++", (1)其中全属于数域n a a a ,,,10"P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.P 在多项式（1）中，称为i 次项，称为次项的系数. 称为常数项. 如果，那么称为多项式的首项，称为首项系数，n 称为多项式的次数.多项式的次数记为.系数全为零的多项式称为零多项式. 零多项式是唯一不定义次数的多项式.i i x a i a i 0a 0≠n a n n x a n a )(x f ))((x f ∂2、整除 设(),()[]f x g x P x ∈,若存在()[]h x P x ∈，使)()()(x h x g x f =，则称整除.记，其中称为的因式.)(x g )(x f )(|)(x f x g )(x g )(x f 3、最大公因式 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈，若(i),即为与的一个公因式；()|(),()|()d x f x d x g x )(x d )(x f )(x g (ii)对与的任一公因式，都有，)(x f )(x g ()h x ()|()h x d x 则称为与的最大公因式.把首系数为1的最大公因式记作)(x d )(x f )(x g ()(),()f x g x .4、互素 设(),()[]f x g x P x ∈，若与除零次多项式外没有其它的公因式，则称与互素，记为())(x f )(x g )(x f )(x g (),()1f x g x =上述两个定义可推广到n 个多项式的情形.需要注意的是，个多项式(2n n >)12(),(),()n f x f x f x "互素时，它们不一定两两互素.5、不可约多项式 中次数大于零的多项式不能表示成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积，则称为数域上不可约多项式.换句话说，在中只有平凡因式.[]P x )(x p P )(x p )(x p P )(x p []P x 对此需注意两点，其一对零和零多项式不定义它们的可约性；其二多项式的可约性依赖于系数域.6、重因式 设是数域上的不可约多项式，且，但， )(x p P )(|)(x f x p k )(|)(1x f x p k /+则称是的重因式.特别地，当)(x p )(x f k 1k =时，称是的单因式.)(x p )(x f 7、多项式的微商 设1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x −−=++++∈"，规定它的微商(也称导数或一阶导数)是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++−+=′−−−"此定义不是用函数与极限概念给出的，而是借用于数学分析中函数的导数形式的定义.上述诸定义都是把多项式看作形式表达式给出的，并且定义2～7都限制在数域上一元多项式环中讨论.多项式的重要性在于它是最基本的函数，用它可去逼近一个比较复杂的函数，这对数学分析、微分方程等学科，在理论和实际求解上有重要意义.因此下面我们将从函数观点来讨论多项式.P []P x 8、多项式函数 设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−" (2)是中的多项式，][x P α是中的数，在(2)中用P α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++−−ααα"称为当)(x f α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.)(x f 9、本原多项式 系数互素的整系数多项式.二、基本理论1、次数定理：设(),()[]f x g x P x ∈(i) )))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂(ii) 若，则0)(,0)(≠≠x g x f 0)()(≠x g x f ，且))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂2、整除性质：(1) 任一多项式都能整除零多项式0.)(x f (2) ，,都有∀0c ≠∀()[]g x P x ∈|(),()|()c f x cf x f x(3) 若，则.(整除的传递性))(|)(),(|)(x h x g x g x f )(|)(x h x f (4) 若，则)(|)(),(|)(x f x g x g x f )()(x cg x f =,其中c 为非零常数.(5) 若，则()|(),()|()h x f x h x g x ()()|()()h x f x g x ±(6) 若，对，则()|()h x f x ∀()[]g x P x ∈()|()()h x f x g x (7) ，对都有()|()i h x f x ∀()[]i g x P x ∈()11()|()()()()r r h x f x g x f x g x ±±"，其中 1,2,,i r =".3、带余除法: 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使][x P )(x f )(x g 0)(≠x g ][x P )(),(x r x q )()()()(x r x g x q x f += (3)成立，其中或者))(())((x g x r ∂<∂0)(=x r ，并且这样的是唯一决定的. )(),(x r x q 多项式和称为除的商式和余式.)(x q )(x r )(x g )(x f 因此得到两个推论(1)()|()()0g x h x r x ⇔=(2) 多项式的整除性不因数域的扩大而改变.4、最大公因式存在唯一定理：中任意两个多项式与一定有最大公因式，除相差一个零次因式外，与的最大公因式是唯一的.][x P )(x f )(x g )(x f )(x g 需注意的是两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变，但它们的公因式却不然.5、倍式和定理: 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使][x P )(x f )(x g ][x P )(x d )(x d )(x f )(x g ][x P )(),(x v x u )()()()()(x g x v x f x u x d +=6、互素判别: 中两个多项式，互素][x P )(x f )(x g ⇔1))(),((=x g x f ⇔(),()[]u x v x P x ∃∈,使1)()()()(=+x g x v x f x u互素性质：(1) 如果，且,那么.1))(),((=x g x f )()(|)(x h x g x f )(|)(x h x f (2) 如果,1))(),((1=x g x f 1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f (3) 如果，且)(|)(),(|)(21x g x f x g x f 1))(),((21=x f x f ,那么. )(|)()(21x g x f x f 此性质可推广大有限多个多项式的情形.7、不可约多项式的判别：在上不可约的充要条件是在中任一分解式)(x f P )(x f ][x P 12()()()f x f x f x =中的因式1()f x 与2()f x 总有一个是零次的 不可约多项式的性质:(1) 若是不可约多项式，则)(x p )0)((≠c x cp 也是不可约多项式.即不可约多项式的相伴元仍是不可约的.(2) 若是不可约多项式，对)(x p ∀()[]f x P x ∈，则有或者或者)(|)(x f x p 1))(),((=x f x p (3) 若是不可约多项式，对于)(x p ∀(),()[]f x g x P x ∈，有，则或)()(|)(x g x f x p )(|)(x f x p )(|)(x g x p 8、多项式因式分解唯一定理：数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域P 1≥)(x f P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ""==,那么必有，并且适当排列因式的次序后有t s =s i x q c x p i i i ,,2,1,)()("==.其中是一些非零常数.),,2,1(s i c i "=一般地有(4))()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r "=其中其中c 是的首项系数，是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为的标准分解式或典型分解式.)(x f )(,),(),(21x p x p x p s "s r r r ,,,21")(x f9、重因式的判别：(1) 如果不可约多项式是的一个重因式,那么是的重因式.)(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f ′1−k (2) 如果不可约多项式是的一个重因式, 那么是，,…,)的因式,但不是的因式. )(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f )(x f ′()1(x f k −)()(x f k 特别，当时不是的因式.反之，若，且为的重因式，则是的重因式1k =)(x p )(x f ′()|()p x f x )(x p )(x f ′1k −)(x p )(x f )1(≥k k (3) 不可约多项式是的重因式的充要条件是是与的公因式)(x p )(x f )(x p )(x f )(x f ′(4) 无重因式)(x f 1))(),((=′⇔x f x f .由此可知无重因式不因数域扩大而改变.同时当形如(4)式，则)(x f )(x f ()12'()()()()()(),()s f x q x cp x p x p x f x f x ==" 即与有完全相同的不可约多项式，且都是单因式.()q x )(x f 10、余式定理：设()[]f x P x ∈，P α∈，用x α−除所得余式是常数)(x f ()f α11、因式定理：()()0x f x f αα−⇔=12、中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算. ][x P n )0(≥n P n 13、。
第一章 高等代数多项式
根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：
一、数环
定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、 减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b， a•b∈P，则称数集P是一个数环。 例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。 例 1 除了以上数环外，是否还有其他数环？有没有最小数环？ 例 2 一个数环是否一定包含0元？除零环外，是否还有只包含 有限个元素的数环？
《高等代数题解精粹》 钱吉林著
多项式
第一章
多项式
绪论与准备知识
一、复
◆
数
复数的概念
复数的实部与虚部；模与幅角 复数的三角表示，欧拉公式
◆
◆
◆
代数基本定理
◆
z 1
n
的根
准备知识
二、 数 域 的 概 念
1、数的认识过程
自然数 整数 有理数 实数 复数
N
Z
Q
R
C
2、数的范围对问题的影响
●
域内就可以分解。
加法结合律：
乘法交换律： 乘法结合律：
[f (x)+g(x)]+h(x)=f (x)+[g(x)+h(x)]
f (x)•g(x)=g(x)•f (x) [f (x)•g(x)]•h(x) = f (x)•[g(x)•h(x)] f (x)•[g(x)+h(x)]=f (x)•g(x)+f (x)•h(x)
例 1 用带余除法，求g(x)除 f (x)所得的商式和余式，其中
f ( x) x3 x 2 x, g ( x) x 1 2i
多项式
§3 整除的概念和性质
二、多项式的整除性
第一章 多项式
第一章 多项式§1多项式的整除一、含单位根多项式的整除问多项式12++x x 能否整除1717++x x? 若∑=++++305234)(|1i i ix x f x x x x ，则)(|1x f x i -，3,2,1,0=i设n 为非负整数，则1222)1(1++++++n n x xx x 122)1()(+++-=n n n x x x f ，证明1))(,1(2=++x f x x n设i a 为非负整数，问∑=++n i a i xx x 121的充要条件是什么？ 设m 为大于1的整数，∑-==10)(m i i x x f ，且c x f x f m +)(|)(，试求常数c 。
设∑-==10)(n i i x x g ，n n x x x g x f -+=2))(()(，则)(|)(x f x g（苏州大学2002）设,,,k m r s 都是非负整数。
设23()1,f x x x x =+++4414243()k m r s g x x x x x +++=+++。
证明：()f x 整除()g x 。
苏州大学（2000）设多项式)(),(),(x h x g x f 满足0)()2()()1()()1(4=-+-++x h x x g x x f x ，0)()2()()1()()1(4=+++++x h x x g x x f x证明：)(|14x g x +§2最大公因式与互素如果)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式，且)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个组合，那么)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。
如果1))(),((=x g x f ，证明1))()(),()((=+x g x f x g x f（南京大学2001）设1F ,2F 是数域,且1F F ⊆,f (x),g (x)F ∈[x].(1) 证明:如果在1F [x]中有g (x)| f (x),则在F [x],也有g (x)| f (x)(2) 证明: f (x)与g (x)在F [x]中互素当且仅当f (x) 与g (x)在1F [x]中互素.(3) 证明:设f (x)是数域F 的不可约多项式,则f (x)全是单根.证明n n n x g x f x g x f ))(),(())(),((=（大连理工2005 ）设)(x f ，)(x g 是数域P 上的多项式，若33)]([)]([x g x f ，证明)()(x g x f 。
高等代数第一章一元多项式
1第一章多项式21.1 数域3数是数学的一个最基本的概念，研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，按照所研究的问题不同，我们对数的范围界定也不一样。
例如22x 在有理数范围内不能分解，在实数范围内就可以分解。
210x 在实数范围内没有根，在复数范围内就有根。
自然数整数有理数实数复数NZQRC这是一个认识的渐进的过程。
在讨论多项式的因式分解、方程的根等问题时，都跟数的范围有关。
4在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加、减、乘、除四则运算以及经过四则运算后是否还在这个集合之中。
例如自然数集N 只对加法和乘法封闭，而整数集Z 对加、减、乘三种运算封闭，但对除法不封闭；而有理数集Q 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭，同样，实数集R 、复数集C 对加、减、乘、除四种运算都封闭。
定义( 运算封闭)：在一个数的集合P 中，如果集合中任意两个数做某种运算后的结果仍在P 中，则称数集P 对这种运算是封闭的(closed) 。
5定义1(数域)：设P 是一个由一些复数组成的数的集合，其中包含0和1。
如果P 中的任意两个数对加、减、乘、除（除数不为0）都是封闭的，则称P 是一个数域(number field )。
有理数集Q ，实数集R ，复数集C 都是数域，且是三个最重要的数域。
如果某个数集只对加、减、乘封闭，则称其为数环。
整数集是一个数环.任意一个数域P 都是复数域C 的子集，都包含有理数域Q 作为其子域，即满足.Q P C 在Q 和R 之间存在其它数域；但在R 与C 之间没有别的数域存在.61.2 一元多项式教学目的和要求1. 掌握一元多项式形式表达式的准确定义.2. 掌握一元多项式的加法、减法、乘法的运算和运算律.3. 掌握一元多项式经过运算后的次数，并会用相关结论解题.78一、基本概念设x 是一个符号(或称文字)，P 是一个数域，定义2：n 是一个非负整数，形式表达式其中,,,,,011P a a a a n n 称为系数在数域P 中的一元多项式(one variable polynomial )，或称为数域P 上的一元多项式。
第一章多项式
第一章 多项式基本内容及考点综述一、基本概念1．整除数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x g ，如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式)()()(x h x g x f = 成立，)()(x f x g 表示)(x g 整除)(x f2．最大公因式][],[)(),(x P x P x g x f ∈中多项式)(x d 称为)(x f 与)(x g 的一个最大公因式，如果它满足以下两个条件： (i) ()(),()()d x f x d x g x(ii) )(x f ，)(x g 的任意公因式全是)(x d 的因式。
3．互素][x P 中的两个多项式)(x f ，)(x g 称为互素的，如果.1))(),((=x g x f4．数域P 上的不可约多项式数域P 上次数≥1的多项式)(x P 称为数域P 上的不可约多项式，如果它不能表成数域P上的两个次数比)(x P 低的多项式的乘积。
5．K 重因式不可约多项式()p x 称为多项式)(x f 的K 重因式，如果()k p x 能整除()f x ，而1()k P x +不能整除()f x 。
如果0=k ,那么)(x P 不是)(x f 的因式,如果1=k ,那么)(x P 称为)(x f 的单因式，如果1,k >那么p(x)称为f(x)的重因式。
6.本原多项式如果一个非零的整系数多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--的系数011,,,,a a a a n n -互素,则称)(x f 是本原多项式.二、基本结论1.0)(][)(),(≠∈∀x g x P x g x f 且,一定有][)(),(x P x r x q ∈使)()()()(x r x g x q x f +=成立,其中(())g x ∂<∂（r(x)）或者()0,r x =并且这样的)(),(x r x q 是唯一决定的.2. 如果()(),()(),f x g x g x f x 那么()()f x cg x =.其中c 为非零常数.3. 如果),()(),()(x h x g x g x f 那么)()(x h x f .4. 如果r i x g x f i ,,2,1,)()( =.那么)()()(1x g x u x f i i r i =∑ 其中)(x u i 是数域P 上的任意多项式.5. ][)(),(x P x g x f ∈∀,在][x P 中存在一个最大公因式)(x d 且有][)(),(x P x v x u ∈使 ()()()()()d x f x u x g x v x =+6.][x P 中多项式)(),(x g x f 互素的充分必要条件是有][x P 中的多项式)(),(x v x u 使1)()()()(=+x v x g x u x f7.如果1))(),((=x g x f 且)()()(x h x g x f ,那么).()(x h x f8.如果)()(),()(21x g x f x g x f 且1))(),((21=x f x f ,那么)()()(21x g x f x f9.0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 是一个整系数多项式，sr 是)(x f 的一个有理根,其中s r ,互素,那么必有0,a r a s n ,特别地,如果,1=n a 那么)(x f 的有理根都是整数根.10.如果)(x P 是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式)(),(x g x f ,由)()()(x g x f x p 一定推出)()(x f x p 或者)()(x g x p .11.(因式分解及唯一性定理)数域P 上每一个次数≥1的多项式)(x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.12.如果不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式)1(≥k ,那么它是微商)(x f '的1-k 重因式.13.多项式)(x f 没有重因式的充分必要条件是)(x f 与)(x f '互素.14.在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.15.在实数域上不可约多项式只能是1次多项式或判别式小于零的2次多项式.16.在有理数域上存在任意次的不可约多项式.17.如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.18.(Eisenstein 判别法)设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--是整系数多项式,如果有一个素数p ,使(i)n p a 不能整除 (ii)1,,1,0,-=n i a p i(iii) 20p a 不能整除那么)(x f 在有理数域上不可约.三、基本方法1.关于最大公因式的证明,一般有以下几种方法:(1) 利用定义.(2) 证明等式两边能互相整除.(3) 如果0)()()()()(≠+=x g x r x g x q x f .那么))(),(())(),((x r x g x g x f =(4)如果),()(),()(x g x d x f x d 且有][)(),(x P x v x u ∈使)()()()()(x v x g x u x f x d +=则)(x d 是)(),(x g x f 的一个最大公因式.试题精选1.(上海交通大学,2004)假设)(1x f 与)(2x f 为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式,假设124++x x 整除)()(32431x f x x f +试求)(1x f 与)(2x f 的最大公因式.解 )1)(1()1(12222224+-++=-+=++x x x x x x x x ,它的4个根2121,,,εεωω,其中231,231,231,2312121i i i i-=+=--=+-=εεωω )()1()()(2432431x g x x x f x x f ++=+.于是有方程组⎩⎨⎧=---=---⎩⎨⎧=+=+0)1()1(0)1()1(0)1()1(0)1()1(221211221211f f f f f f f f εεωω 解方程组,1212(1)(1)0,(1)(1)0.f f f f ==-=-=于是,)()1)(1(,)()1)(1(21x f x x x f x x -+-+,而)(),(21x f x f 是互异的次数不超过3的多项式,所以212((),())1f x f x x =-.2.(兰州大学,2002)设)(x f 是整系数多项式,1)()(+=x f x g 至少有三个互不相等的整数根,证明)(x f 设有整数根.证明 假定)(x f 有整数根m ,则)()()(x h m x x f -=由m x -是本原多项式,所以)(x h 是整系数多项式,令321,,n n n 是)(x g 的3个互不相等的整数根,则)())()(()(321x p n x n x n x x g ---=，其中)(x p 是整系数多项式。
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8、一个数域必包含哪两个元素？ 高 问题： 等 9、最小的数域是什么？ 代 定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 数 证明：设F是一个数域，则 a F , a 0.
于是 a a 0 F , a a 1 F.
1 1 2,1 2 3,1 3 4,, N F
2016/5/25 高等代数
式
高则S是一个数环。 特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。 等 S 0，即只包含一个零组成的数 代 当a=0时， 数 环，这是最小的数环，称为零环。
问题：3、一个数环是否一定包含0元？ 4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的 数环？ 1
例2：证明 Z i a bi a, b Z , i 2 1 是一个数环。
多 项 式
2016/5/25
都不是多项式。
高等代数
高 等 代 数
定义2： f x , g x 是两个多项式， f x g x
最高次项， 亦称为首项。 除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。 多项式的表法唯一。 方程 a0 a1x an xn 0 是一个条件等式而不是 1 两个多项式相等。
f x 3, f x 0
零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。 零多项式：系数全为0的多项式。对零多项式不 定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这 个多项式不是零多项式。 首一多项式：首项系数为1的多项式。 二、多项式的运算 定义4： 设 f x a0 a1x an xn
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是 形式表达式。
1
后来又把多项式定义为R上的函数：
f x a0 a1x an x
n
多 项 式
但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中 并没有交代。
2016/5/25 高等代数
高 问题：1、高等代数中采用什么观点定义多项式？ 2、多项式的形式观点与多项式的函数观点 等 代 是否矛盾？ 常数项或 首项 数 定义1 零次项 ： 设x是一个文字（或符号），n是一个非负整数 a 0
ai bi xi 。当m<n时，取
i 0 n
bm1 bn 0。
n i 0
1
i f x g x f x g x a b x i i
f x 与 g x 的积为 定义5：设 f x , g x 如上，
2. 系数可以是任意数域。
2 3 是Q上多项式； f x 1 2 x 3 x 9 x 例1.2.1：
Байду номын сангаас
1
f x 3 2 x x2 是R上多项式；
f x 3 ix 5x2 是C上多项式。
3 1 x 3x 2 2 3 x , ax , x x 1
加法交换律： f x g x g x f x
加法结合律： f x g x h x f x g x h x
2016/5/25 高等代数
式
根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 高 等 数环和数域。 一、数环 代 定义1： 数 设S是由一些复数组成的一个非空集合，
如果对 a, b S ，总有 a b, a b, a b S 则称S是一个数环。 例如： 整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集 1 C都是数环。 问题： 1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？ 多 2、有没有最小的数环？ 项 例1：设a是一个确定的整数。令 S na n Z
2016/5/25 高等代数
高 等 代 数
§1.2 一元多项式的定义和运算
1
多 项 式
2016/5/25 高等代数
一、多项式的概念 高 中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减 等 代 法运算的整式）的代数和叫多项式。 数 例： 4a+3b，3x2 2 x 1, 3 y 1 .
2 5
若不是举出反例。 若 S1 和 S2 是数域情况又如何？
1 S1 S2不是数域,反例:S1 a b 2 a, b Q , S2 a b 3 a, b Q
多 项 式
两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。 （ F1 , F2 是数域，则F1 F2 是数域的充要条件是 F1 F2 或 F2 F1 ）。
k 相乘积的和作为 x 的系数。得：
1
k f x g x aib j x k 0 i j k 2 3 2 例1.2.3：设 f x 3x 4x 5, g x x 2x x 1
nm
多 项 式
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形式表达式
n
an 首项系数
n
n
a0 a1 x an x ai xi
1
i 0
—（2.1）
其中 a0 , a1 ,, an F ，称为数域F上的一元多项式。
ai 称为i次项系数。
多 项 式
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高等代数
高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方 高 等 面推广了中学的多项式定义： 代 1. 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。 数
多 项 式
本章的重点和难点
重点:一元多项式的因式分解理论. 难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多 项式等概念之间的联系与区别.
2016/5/25 高等代数
§1.1 数环和数域 高 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的 等 代 范围，学习数学也是如此。 数 比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、
且是三个最重要的数域。
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项 式
高问题：6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数 等 集是不是数域？ 代 7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？ 数 例3：证明 Q 2 a b 2 a, b Q是一个数域。
证明要点：先证 Q 2 有一个非零元 1 1 0 2 ， 对加、减、乘封闭。再证除法封闭：
g x b0 b1x bm xm
1
多 项 式
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是数域F上次数分别
高等代数
高 为n和m的两个多项式 m n ， 等 则 f x 与 g x 的和 f x g x 为： 代 m n a b a b x a b x a b x m m n n 数 0 0 1 1
在R与C之间不可能有别的数域。 设有数域F，使 R F C ，故
x F , x R, x C, 设x=a+bi，且 b 0
2016/5/25 高等代数
多 项 式
，矛盾）。 x a R （若 b=0 ，则 高
等 a, b R, a, b F , bi F , bi b i F 可见F=C。 12、设 S1 和 S2 是数环，试问 S1 S2 , S1 S2 代 问题： 数 是不是数环？若是，给出证明，
乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中 （即运算是否封闭）。 代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 A A 是指存在一个法则，它使 A 中任意两个元素 例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个 运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 都有A中一个元素与之对应。 1 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。 整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、 乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 多 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 项 都封闭。
多 项 式
1 设 cd 2 0cd 2 0 （否则当 d 0 c 0 矛盾； 当 d 0 2 c Q ，也矛盾）。于是 d
ab 2 cd 2 ab 2 a1 b1 2, a1 , b1 Q cd 2 cd 2 cd 2
2016/5/25 高等代数
高 等 代 数
第一章 多项式
学时：28学时 教学方法和手段
由于多项式与整数在许多方面有相似之处，因此在建 立多项式分解理论时要注意与整数理论作对比。
基本内容和教学目的
1
本章主要讨论一元多项式的概念和运算，建立多项式 因式分解理论，并讨论与之有密切关系的求根问题。 这是中学有关知识的加深和扩充。
f x g x x 5x 5x 6
3 2
f x g x 3x 4 6 x 5 8 3 x
5 4
高等代数
3
10 4 3 x 2 5 4 x 5
高 等 代 数
多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：
多 项 式
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f x g x c0 c1x cnm xnm
高等代数
ck a0bk a1bk 1 ak 1b1 ak b0 其中 高
等 代 数
k 0,1,, n m.
i j k
ab ,
i j
把 f x , g x 中两个系数下标之和为k的对应项
多 问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法？ 项 式
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定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充 高 等 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。 代 二、数域 数 定义2： 设F是一个含有不等零的数的数集，如果F