(完整word版)高等代数作业第一章多项式答案
高等代数__课后答案__高等教育出版社

高等代数习题答案(一至四章)第一章 多项式 习题解答1、(1)由带余除法,得17(),39q x x =-262()99r x =--(2)2()1q x x x =+-,()57r x x =-+2、(1)2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ , (2)由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、(1)432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- (2)q (x )=22(52)x ix i --+,()98r x i =--4、(1)有综合除法:2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- (2)234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++(3)234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、(1)x+1 (2)1 (3)21x -- 6、(1)u (x )=-x-1 ,v (x )=x+2 (2)11()33u x x =-+,222()133v x x x =-- (3)u (x )=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路:根具定义证明证:易见d (x )是f (x )与g (x )的公因式。
另设()x ϕ是f (x )与g (x )的任意公因式,下证()()x d x ϕ。
由于d (x )是f (x )与g (x )的一个组合,这就是说存在多项式s (x )与t (x ),使 d (x )=s (x )f (x )+t (x )g (x )。
从而()()x f x ϕ,()()x g x ϕ,可得()()x d x ϕ。
高等代数多项式习题解答(供参考)

第一章 多项式习题解答1.用)(x g 除)(x f ,求商)(x q 与余式)(x r .1)123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f92926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2)2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q .2.q p m ,,适合什么条件时,有1)q px x mx x ++-+32|1当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时,用12-+mx x 去除q px x ++3,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323.因此有m q p m ==++,012.2)q px x mx x ++++242|1由带余除法可得当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ,即⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时,用12++mx x 去除q px x ++24,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r .1);3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f解:运用综合除法可得商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ,余式为.327)(-=x r2)i x x g x x x x f 21)(,)(23+-=--=.解:运用综合除法得:商为)25(22i ix x +--,余式为i 89+-.4.把)(x f 表成0x x -的方幂和,即表示成 +-+-+202010)()(x x c x x c c 的形式.1)1,)(05==x x x f ;2);2,32)(024-=+-=x x x x f3).1,73)1(2)(0234-=++-+-+=x i x x i ix x x f分析:假设)(x f 为n 次多项式,令0c 即为0x x -除)(x f 所得的余式,商为10021)()()(--++-+=n n x x c x x c c x q .类似可得1c 为0x x -除商)(x q 所得的余式,依次继续即可求得展开式的各项系数.解:1)解法一:应用综合除法得.5)(x x f =1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345+-+-+-+-+-=x x x x x .解法二:把x 表示成1)1(+-x ,然后用二项式展开2)仿上可得432)2()2(8)2(22)2(2411)(+++-+++-=x x x x x f .3)因为5.求)(x f 与)(x g 的最大公因式1)1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f解法一:利用因式分解因此最大公因式为1+x .解法二:运用辗转相除法得因此最大公因式为1+x .2)13)(,14)(2334+-=+-=x x x g x x x f .解:运用辗转相除法得(注意缺项系数补零)3).124624)(,110)(23424+++-=+-=x x x x x g x x x f)()()22(24)()(123x r x f x x x x f x g +=---=, 因此.122))(),((2--=x x x g x f6.求)(),(x v x u 使:))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+1);22)(,242)(234234---+=---+=x x x x x g x x x x x f解:运用辗转相除法得:因此2)())(),((22-==x x r x g x f .且有)()()()(11x r x q x g x f +=,),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=.2);452)(,951624)(23234+--=++--=x x x x g x x x x x f解:运用辗转相除法得:因此1)())(),((2-=-=x x r x g x f .且有)()()()(11x r x q x g x f +=,),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=.3).1)(,144)(2234--=++--=x x x g x x x x x f解:运用辗转相除法得:因此.1)())(),((2==x r x g x f 且有)()()()(11x r x q x g x f +=,),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=.7.设u tx x x g u x x t x x f ++=++++=323)(,22)1()(的最大公因式是一个二次多项式,求u t ,的值.解:运用带余除法有由题意可得,)(1x r 即为)(),(x g x f 的最大公因式.因此有01≠+t .进一步])1(21[)1()2()1()1()(22222t t u x t t t u t t x r +--++-++-+=. 要使)(1x r 为)(),(x g x f 的最大公因式的充要条件是.0)(2=x r 即解得8.证明:如果),(|)(),(|)(x g x d x f x d 且)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合,那么)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.证明:由)(|)(),(|)(x g x d x f x d 可知)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式.下证)(x f 与)(x g 的任意一个公因式是)(x d 的因式.由)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合可知,存在多项式)(),(x v x u ,使得)()()()()(x g x v x f x u x d +=.设)(x ϕ是)(x f 与)(x g 的任意一个公因式,则)(|)(),(|)(x g x x f x ϕϕ.故即).(|)(x d x ϕ因此)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.9.证明:)()(())(),(())()(),()((x h x h x g x f x h x g x h x f =的首项系数为1).证明:存在多项式)(),(x v x u ,使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.所以有)()()()()()()())(),((x h x g x v x h x f x u x h x g x f +=.即)())(),((x h x g x f 是)()(x h x f 与)()(x h x g 的一个组合.显然有)(|))(),((),(|))(),((x g x g x f x f x g x f .从而)()(|)())(),((),()(|)())(),((x h x g x h x g x f x h x f x h x g x f .由第8题结果)())(),((x h x g x f 是)()(x h x f 与)()(x h x g 的一个最大公因式.又)(x h 是首项系数为1的,因此).())(),(())()(),()((x h x g x f x h x g x h x f =10.如果)(x f ,)(x g 不全为零,证明1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 证明:由)(x f ,)(x g 不全为零可得其最大公因式不为零多项式,即.0))(),((≠x g x f 又存在多项式)(),(x v x u ,使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.于是))(),(()()())(),(()()(1x g x f x g x v x g x f x f x u +=. 因此1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 11.如果)(x f ,)(x g 不全为零,且))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+,那么1))(),((=x v x u .证明:由)(x f ,)(x g 不全为零可得.0))(),((≠x g x f 由有于是1))(),((=x v x u .12.证明:如果,1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 那么.1))()(),((=x h x g x f证法一、由条件1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 可得存在多项式)(),(11x v x u ; )(),(22x v x u 使得1)()()()(11=+x g x v x f x u ,1)()()()(22=+x h x v x f x u .两式相乘得1)()()()()()]()()()()()()()()([21211221=+++x h x g x v x v x f x h x v x u x g x v x u x f x u x u . 因此有.1))()(),((=x h x g x f证法二、反证法证明.显然.0))()(),((≠x h x g x f 若,1))()(),((≠x h x g x f 则存在不可约多项式)(x p ,使得)(x p 为)(x f 与)()(x h x g 的公因式.因此有)(|)(x f x p 且)()(|)(x h x g x p .由)(x p 的不可约性有)(|)(x g x p 或)(|)(x h x p .若)(|)(x g x p ,则)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式,与1))(),((=x g x f 相矛盾.若)(|)(x h x p ,则)(x p 为)(x f 与)(x h 的一个公因式,与1))(),((=x h x f 相矛盾.因此1))()(),((≠x h x g x f 不成立,即有.1))()(),((=x h x g x f13.设)(),(),(),(,),(),(2121x g x g x g x f x f x f n m 都是多项式,而且求证:1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .证明:由),,2,1(1))(),((1n j x g x f j ==,反复利用第12题结果可得1))()()(),((211=x g x g x g x f n .类似可得再反复利用12题结果可得1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .14.证明:如果,1))(),((=x g x f 那么.1))()(),()((=+x g x f x g x f证明:方法一.由,1))(),((=x g x f 存在多项式)(),(x v x u 使得1)()()()(=+x g x v x f x u .从而有,1)())()(())()()((,1))()()(()())()((111111=+-++=++-x g x v x u x g x f x u x g x f x v x f x v x u 因此有.1))()(),((,1))()(),((=+=+x g x f x g x g x f x f 由12题结果结论成立.方法二:用反证法.若.1))()(),()((≠+x g x f x g x f 则存在不可约多项式)(x p ,使得)(x p 为)()(x g x f 与)()(x g x f +的公因式.即)()(|)(x g x f x p 且)()(|)(x g x f x p +.由)(x p 的不可约性及)()(|)(x g x f x p ,有)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .若)(|)(x f x p ,又)()(|)(x g x f x p +,因此有)]())()([(|)(x f x g x f x p -+,即)(|)(x g x p ,也即)(x p为)(x f 与)(x g 的一个公因式,与1))(),((=x g x f 相矛盾.类似可得当)(|)(x g x p 时也与已知1))(),((=x g x f 矛盾.所以.1))()(),()((=+x g x f x g x f15.求下列多项式的公共根:解法一:利用因式分解可得因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 解法二:运用辗转相除法求出)(x f 与)(x g 的最大公因式,最大公因式的根即为所求的公共根.因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 16.判别下列多项式有无重因式:1);84275)(2345-+-+-=x x x x x x f解:,4421205)('234+-+-=x x x x x f运用辗转相除法可得.)2(44))('),((22-=+-=x x x x f x f 因此2-x 为)(x f 的三重因式.解法二:试根可得2为)(x f 的根)1()2()2()2()43)(2()(23232234++-=----=++--=x x x x x x x x x x x x f .因此2-x 为)(x f 的三重因式.2).344)(24--+=x x x x f解:).12(4484)('33-+=-+=x x x x x f 1))('),((=x f x f .故)(x f 无重因式.17.求t 值使13)(23-+-=tx x x x f 有重根.解法一:要使)(x f 有重根,则1))('),((≠x f x f ..63)('2t x x x f +-= 当,033=-t 即3=t 时 ),(|)(',)1(3363)('22x f x f x x x x f -=+-=2)1())('),((-=x x f x f ,因此1为)(x f 的三重根.当0415=+t ,即415-=t 时,21))('),((+=x x f x f ,21-为)(x f 的二重根. 解法二:设b a x ab a x b a x b x a x x f 22232)2()2()()()(-+++-=--=.因此有由第一个方程有a b 26-=,代人第三个方程有,0132,1)23(232=+-=-a a a a 即 0)12()1(2=+-a a .因此有⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,1t b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=.415,4,21t b a即当3=t 时1为)(x f 的三重根;当415-=t 时,21-为)(x f 的二重根. 18.求多项式q px x ++3有重根的条件.解:令q px x x f ++=3)(.显然当0==q p 时,0为)(x f 的三重根.当0≠p 时, p x x f +=23)(',q x p x xf q px x x f ++=++=32)('31)(3, )427()42729)(32()('222p q p p q x p q x p x f ++-+=. 要使)(x f 有重根,则1))('),((≠x f x f .即,042722=+pq p 即.027423=+q p 显然 0==q p 也满足.027423=+q p 因此)(x f 有重根的条件是.027423=+q p19.如果,1|)1(242++-Bx Ax x 求.,B A解法一:利用整除判定方法,1|)1(242++-Bx Ax x 的充要条件是用2)1(-x 除124++Bx Ax ,余式为零.)31()42()32()1(12224B A x A B A B Ax Ax x Bx Ax --++++++-=++.因此有0)31()42(=--++B A x A B ,即解法二:要使1|)1(242++-Bx Ax x 成立,则1至少是124++Bx Ax 的二重根.因此1既是124++Bx Ax 的根,也是其导数的根.而Bx Ax Bx Ax 24)'1(324+=++.故有解法三:利用待定系数法.令D x D C x D C A x A C Ax D Cx Ax x Bx Ax +-++-+-+=++-=++)2()2()2()()1(12342224因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=-.1,02,2,02D D C B D C A A C 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==.1,2,2,1D C B A 20.证明:!!212n x x x n++++ 不能有重根. 证明:令,!!21)(2n x x x x f n++++= 则 因此有,!)(')(n x x f x f n +=从而有)!),('())('),((n x x f x f x f n =.!n x n因式只有)0(≠c c 及)1,0(n k c cx k ≤≤≠.而)1,0(n k c cx k ≤≤≠显然不是)('x f 的因式.因此有1)!),('())('),((==n x x f x f x f n. 所以)(x f 没有重根.21.如果a 是)('''x f 的一个k 重根,证明a 是的一个3+k 重根.证明:显然有0)(")(')(===a g a g a g .由a 是)('''x f 的一个k 重根可得a 是)(''x g 的一个1+k 重根,设a 是)(x g 的s 重根,则3,12+=+=-k s k s .本题常见错误证法.错误证法一:由a 是)('''x f 的一个k 重根就得出a 是)(''x f 的一个1+k 重根,a 是)('x f 的一个2+k 重根,a 是)(x f 的一个3+k 重根,于是 从而a 是)(x g 的3+k 重根.事实上,由a 是)('''x f 的一个k 重根推不出a 是)(''x f 的一个1+k 重根,a 是)('x f 的一个2+k 重根,a 是)(x f 的一个3+k 重根.如3)()()()(23+-+-+-=+a x a x a x x f k ,则1)(2))(3()('2+-+-+=+a x a x k x f k , 2))(2)(3()(''1+-++=+k a x k k x f .a 既不是)(x f 的根,也不是)('x f 与)(''x f 的根.错误证法二:由得出a 是)(''x g 的1+k 重根,直接得出a 是)(x g 的3+k 重根,缺了a 是)(x g 与)('x g 的根验证.22.证明:0x 是)(x f 的k 重根的充分必要条件是,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k证明:必要性.设0x 是)(x f 的k 重根,从而0x x -是)(x f 的k 重因式,从而是)('x f 的1-k 重因式,是)(''x f 的2-k 重因式,...,是)()1(x f k -的单因式,而不是)()(x f k 的因式.因此0x 是)(x f ,)('x f ,)(''x f ,...,)()1(x f k -的根,而不是)()(x f k 的根.故有,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k充分性.由,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而0)(0)(≠x f k 可知0x 是)(x f ,)('x f ,)(''x f ,...,)()1(x f k -的根,而不是)()(x f k 的根.因此0x 是)()1(x f k -的单根,是)()2(x f k -二重根,依此类推,是)(x f 的k 重根.23.举例说明断语“如果α是)('x f 的m 重根,那么α是)(x f 的1+m 重根”是不对的.解:例如2)()(1+-=+m x x f α,m x m x f ))(1()('α-+=.α是)('x f 的m 重根,但α不是)(x f 的根.24.证明:如果),(|)1(n x f x -那么)(|)1(n n x f x -.证明:由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 因此有 ),()1()(x h x x f -=从而有).()1()(n n n x h x x f -=即)(|)1(n n x f x -.证法二:要证)(|)1(n n x f x -,只要证1-n x 在复数域上的各个根都是)(n x f 的根.1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos -=+=n k nk i n k x k ππ由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 从而0)1()(==f x f n k .即,2sin 2cos nk i n k x k ππ+= 1,,2,1,0-=n k 都是)(n x f 的根.因此有)(|)1(n n x f x -.25.证明:如果)()(|)1(32312x xf x f x x +++,那么证明:要证)(|)1(),(|)1(21x f x x f x --成立,只要证1是)(1x f 和)(2x f 的根. 12++x x 的两个根为231,23121i i --=+-=εε.由)()(|)1(32312x xf x f x x +++可得)()1()()(23231x g x x x xf x f ++=+.于是 即0)1(231)1(,0)1(231)1(2121=+-=--f i f f i f .故有.0)1()1(21==f f 所以 )(|)1(),(|)1(21x f x x f x --.26.求多项式1-n x 在复数范围内和在实数范围内的因式分解.解:1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos-=+=n k nk i n k k ππε故在复数范围内的分解式为)())()(1(112-----=-n n x x x x x εεε . 在实数范围内,因k n k -=εε,)0(n k <<.当n 为奇数时,1-n x 的根中一个为实根,其余为虚根,其分解式为 ]1)([]1)(][1)()[1(12121222212++-++-++--=-+---x x x x x x x x n n n n n εεεεεε .当n 为偶数时,1-n x 的根中二个为实根,即,1±其余为虚根,其分解式为27.求下列多项式的有理根.1);1415623-+-x x x解:多项式可能的有理根为.14,7,2,1±±±±由系数取值可知,x 取负数时,多项式的值均为负的,故该多项式没有负根.检验得2为其根,进一步运用综合除法可得即)74)(2(14156223+--=-+-x x x x x x ,显然742+-x x 没有有理根.因此1415623-+-x x x 仅有一个有理根2,且为单根.2);157424---x x x解:多项式可能的有理根为.41,21,1±±± 因此有)1()12()444()21(1574222224--+=--+=---x x x x x x x x x , 显然12--x x 没有有理根.因此21-为157424---x x x 的二重根. 3).3111462345----+x x x x x解:多项式可能的有理根为.3,1±±检验得1-为其根,进一步运用综合除法可得故)3()1()12)(3()1(3111464222345-+=++-+=----+x x x x x x x x x x x .即1-为其四重跟,3为单根.28.下列多项式在有理数域上是否可约?1);12+x解:显然12+x 无有理根,又为二次的,故在有理数域上不可约. 2);2128234++-x x x解:取素数2=p ,满足艾森斯坦判别法的条件,因此在有理数域上不可约.3);136++x x解:令,1+=y x).(3918211561)1()1(1)(234563636y g y y y y y y y y x x x f =++++++=++++=++=取素数,3=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件,因此在有理数域上不可约,从而)(x f 在有理数域上不可约.4)p px x p ,1++为奇素数;解:令1-=y x ,由p 为奇数可得由组合数定义)11(-≤≤p k C k p 均为整数,且12)1()1()1(⋅-+--= k k k p p p C k p ,分子中有因子p ,分母个各数均小于p ,又p 为素数,因此约分时p 不会被约去,因此有k pC p |,取素数为p ,)(y g 满足艾森斯坦判别式条件,因此)(y g 在有理数域上不可约,从而)(x f 在有理数域上不可约.5)k kx x ,144++为整数.解:令,1+=y x 则有取素数,2=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件,因此在有理数域上不可约,从而)(x f 在有理数域上不可约.。
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高等代数习题及答案(1)篇一:高等代数习题解答(第一章)高等代数习题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时,多项式f(x)?x?5与g(x)?a(x?2)2?b(x?1) ?c(x2?x?2)相等?6136提示:比较系数得a??,b??,c?. 555补充题2.设f(x),g(x),h(x)??[x],f2(x)?xg2(x)?x3h2(x),证明:f(x)?g(x)?h(x)?0.证明假设f(x)?g(x)?h(x)?0不成立.若f(x)?0,则?(f2(x))为偶数,又g2(x),h2(x)等于0或次数为偶数,由于g2(x),h2(x)??[x],首项系数(如果有的话)为正数,从而xg2(x)?x3h2(x)等于0或次数为奇数,矛盾.若g(x)?0或h(x)?0则?(xg2(x)?x3h2(x))为奇数,而f2(x)?0或?(f2(x))为偶数,矛盾.综上所证,f(x)?g(x)?h(x)?0.1.用g (x) 除 f (x),求商q (x)与余式r (x):1)f (x) = x3- 3x2 -x-1,g (x) =3x2 -2x+1;2)f (x) = x4 -2x+5,g (x) = x2 -x+2.1)解法一待定系数法.由于f (x)是首项系数为1的3次多项式,而g (x)是首项系数为3的2次多项式,1所以商q(x)必是首项系数为的1次多项式,而余式的次数小于 2.于是可设 31 q(x) =x+a , r(x) =bx+c 3根据 f (x) = q(x) g(x) + r(x),即1 x3-3x2 -x-1 = (x+a)( 3x2 -2x+1)+bx+c 3右边展开,合并同类项,再比较两边同次幂的系数,得21 ?3?3a?, ?1??2a??b, ?1?a?c 337262解得 a?? , b?? , c?? ,故得 99917262q(x)?x?, r(x)??x?.3999解法二带余除法.3-21 1 -3-1 -11 ???21 3374 ?-1 337147 ? 399262 ? 9917 ? 39?得17262q(x)?x?, r(x)??x?. 39992) q(x)?x2?x?1,r(x)??5x?7. r(x)??2.m,p,q适合什么条件时,有1)x2?mx?1x3?px?q;2)x2?mx?1x4?px2?q.?1除x3?px1)解 x2?mx得余式为: ?q262x?. 99 r(x)?(p?m2?1)x?(q?m),?p?m2?1?0;令r(x)?0,即 ? ?q?m?0.故x2?mx?1x3?px?q的充要条件是?m?q; ? 2p?m?1?0.??1除x4?px2?q得余式为: 2)解 x2?mxr(x)??m(p?m2?2)x?(q?p?m2?1),2???m(p?m?2)?0;令r(x)?0,即 ? 2??q?p?m?1?0. 解得x2?mx?1x4?px2?q的充要条件是?m?0; ? 或 p?q?1??q?1; ?2p?2?m.?3.求g(x)除f(x)的商q(x)与余式r(x):。
高等代数北大版(第三版)答案

令(x2+x+1)=0
得 ε1
=
−1+ 2
3i
,ε2
=
−1− 2
3i
∴f(x)与g(x)的公共根为 ε1,ε2 .
P45.16 判断有无重因式
① f (x) = x5 − 5 x4 + 7x3 + 2x2 + 4x − 8 ② f (x) = x4 + 4x2 − 4x − 3
解① f '(x) = 5x4 − 20x3 + 21x 2 − 4x + 4
设
f (x) d ( x)
=
f1 ( x),
g(x) d ( x)
=
g1 ( x),
及
d
(x)
=Байду номын сангаас
u(x)
f
(x)
+
v( x) g ( x).
所以 d (x) = u(x) f1(x)d (x) + v(x)g1(x)d (x).
消去 d (x) ≠ 0 得1 = u(x) f1(x) + v(x)g1(x)
P45.5
(1) g(x) = (x −1)(x2 + 2x +1) = (x −1)(x +1)2 f (x) = (x + 1)(x3 − 3x −1) ∴ ( f (x), g(x)) = x +1
(2) g(x) = x3 − 3x2 +1不可约 f (x) = x4 − 4x3 + 1不可约
3
u = − 1 [(t 2 + t + 3)(t 2 + 2t − 8) + 6t + 24] = −2(t + 4) ∴3
高等代数习题 北大第四版 答案一到四章

上式说明 ( f ( x), g( x)) h( x) 是 f (x)h(x) 与 g( x)h( x) 的一个组合。
另一方面,由 ( f (x), g( x)) | f ( x) 知 ( f (x), g(x))h(x) | f ( x)h( x) ,
同理可得 ( f ( x), g( x)) h( x) | g( x) h( x) ,
于是 u(x) = −q2 (x) = −x −1
。
v(x) = 1+ q1 (x )q2 (x ) = 1+1i(x + 1) = x + 2
2)仿上面方法,可得 ( f (x), g( x)) = x−1,且 u(x) = − 1 x + 1 ,v(x) = 2 x 2 − 2 x −1。
33
33
10.如果 f (x), g( x) 不全为零,证明:
⎛ ⎜ ⎝
(
f
f ( x) ( x), g( x))
, (
f(
g( x) x), g(
x))
⎞ ⎟ ⎠
=1。
证 存在 u(x), v( x) 使 ( f ( x), g( x)) = u( x) f ( x) + v( x) g( x) ,
又因为 f (x), g(x) 不全为0,所以 ( f (x), g(x)) ≠ 0 ,
39
99
2)同理可得 q(x) = x 2 + x −1, r( x) = −5x + 7 。
2. m, p, q 适合什么条件时,有
1) x 2 + mx −1 | x3 + px + q ,
2) x 2 + mx + 1| x4 + px2 + q 。
高等代数第三版王萼芳石生明著课后答案高等教育出版社.pdf

第1页共26页1高等代数习题答案(一至四章)第一章多项式习题解答1、(1)由带余除法,得17(),39q x x =−262()99r x =−−(2),2()1q x x x =+−()57r x x =−+2、(1),(2)由得或。
2100p m q m ⎧++=⎨−=⎩22(2)010m p m q p m ⎧−−=⎪⎨+−−=⎪⎩01m p q =⎧⎨=+⎩212q p m =⎧⎨+=⎩3、(1)432()261339109,q x x x x x =−+−+()327r x =−(2)q (x )=,22(52)x ix i −−+()98r x i=−−4、(1)有综合除法:2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+−+−+−+−+−(2)234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =−+++−+++(3)234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+−++−−+−+++5、(1)x+1(2)1(3)21x −−6、(1)u (x )=-x-1,v (x )=x+2(2),11()33u x x =−+222()133v x x x =−−(3)u (x )=-x-1,32()32v x x x x =+−−7、或02u t =⎧⎨=⎩23u t =−⎧⎨=⎩8、思路:根具定义证明证:易见d (x )是f (x )与g (x )的公因式。
另设是f (x )与g (x )的任意公因式,下证()x ϕ。
()()x d x ϕ由于d (x )是f (x )与g (x )的一个组合,这就是说存在多项式s (x )与t (x ),使d (x )=s (x )f (x )+t (x )g (x )。
从而,,可得。
即证。
()()x f x ϕ()()x g x ϕ()()x d x ϕ9、证:因为存在多项式u (x ),v (x )使(f (x ),g (x ))=u (x )f (x )+v (x )g (x ),所以(f (x ),g (x ))h (x )=u (x )f (x )h (x )+v (x )g (x )h (x ),上式说明(f (x ),g (x ))h (x )是f (x )h (x )与g (x )h (x )的一个组合。
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【最新整理,下载后即可编辑】高等代数习题解答第一章 多项式补充题1.当,,a b c取何值时,多项式()5f x x =-与2()(2)(1)g x a x b x =-++ 2(2)c x x +-+相等?提示:比较系数得6136,,555a b c =-=-=. 补充题2.设(),(),()[]f x g x h x x ∈,2232()()()f x xg x x h x =+,证明:()()()0f x g x h x ===.证明 假设()()()0f x g x h x ===不成立.若()0f x ≠,则2(())f x ∂为偶数,又22(),()g x h x 等于0或次数为偶数,由于22(),()[]g x h x x ∈,首项系数(如果有的话)为正数,从而232()()xg x x h x +等于0或次数为奇数,矛盾.若()0g x ≠或()0h x ≠则232(()())xg x x h x ∂+为奇数,而2()0f x =或2(())f x ∂为偶数,矛盾.综上所证,()()()0f x g x h x ===.1.用g (x ) 除 f (x ),求商q (x )与余式r (x ): 1)f (x ) = x 3- 3x 2 -x -1,g (x ) =3x 2 -2x +1; 2)f (x ) = x 4 -2x +5,g (x ) = x 2 -x +2. 1)解法一 待定系数法.由于f (x )是首项系数为1的3次多项式,而g (x )是首项系数为3的2次多项式,所以商q (x )必是首项系数为13的1次多项式,而余式的次数小于 2.于是可设q (x ) =13x +a , r (x ) =bx +c 根据 f (x ) = q (x ) g (x ) + r (x ),即x 3-3x 2 -x -1 = (13x +a )( 3x 2 -2x +1)+bx +c 右边展开,合并同类项,再比较两边同次幂的系数,得 2333a -=-,1123a b -=-++,1a c -=+解得79a =-,269b =-,29c =-,故得17(),39q x x =- 262().99r x x =--解法二 带余除法.3 -2 1 1 -3 -1 -1 1379-1 23- 1373-43- -173-14979- 269- 29-得17(),39q x x =- 262().99r x x =--2)2()1,()57.q x x x r x x =+-=-+ 262().99r x x =--2.,,m p q 适合什么条件时,有1)231;x mx x px q +-++ 2)2421.x mx x px q ++++ 1)解21x mx +-除3x px q++得余式为:2()(1)()r x p m x q m =+++-,令()0r x =,即210;0.p m q m ⎧++=⎨-=⎩故231x mx x px q +-++的充要条件是2;10.m q p m =⎧⎨++=⎩2)解21x mx ++除42x px q++得余式为:22()(2)(1)r x m p m x q p m =-+-+--+,令()0r x =,即22(2)0;10.m p m q p m ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩解得2421x mx x px q ++++的充要条件是0;1m p q =⎧⎨=+⎩ 或 21;2.q p m =⎧⎨=-⎩ 3.求()g x 除()f x 的商()q x 与余式()r x : 1)53()258,()3;f x x x x g x x =--=+2)32(),()12.f x x x x g x x i =--=-+1)解法一 用带余除法(略).解法二 用综合除法.写出按降幂排列的系数,缺项的系数为0: -3 2 0 -5 0 -8 0 + -6 18 -39 117 -3272 -6 13 -39 109 -327 所以432()261339109,()327.q x x x x x r x =-+-+=-2)解法一 用带余除法(略).解法二 用综合除法.写出按降幂排列的系数,缺项的系数为0:()f x1-2i 1 -1 -1 0 + 1-2i -4-2i -9+8i 1 -2i -5-2i -9+8i 所以2()2(52),()98.q x x ix i r x i =--+=-+4.把()f x 表成0x x -的方幂和,即表成 201020()()c c x x c x x +-+-+的形式:1)50(),1;f x x x == 2)420()23,2;f x x x x =-+=-3)4320()2(1)37,.f x x ix i x x i x i =--+-++=-注 设()f x 表成201020()()c c x x c x x +-+-+的形式,则0c 就是()f x 被x x -除所得的余数,1c 就是()f x 被x x -除所得的商式212030()()c c x x c x x +-+-+再被0x x -除所得的余数,逐次进行综合除法即可得到01,,,.n c c c1)解用综合除法进行计算1 1 0 0 0 0 0+ 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1+ 1 2 3 41 2 3 4 51 + 1 3 61 3 6 101 + 1 41 4 101 + 11 5所以5234515(1)10(1)10(1)5(1)(1).x x x x x x=+-+-+-+-+-2)3)略5.求()f x与()g x的最大公因式:1)43232()341,()1;f x x x x xg x x x x=+---=+--2)4332()41,()31;f x x xg x x x=-+=-+3)42432()101,()6 1.f x x xg x x x=-+=-+++1)解用辗转相除法()g x()f x2()q x12-141 1 -1 -1 1 1 -3 -4 -11 1 3212 1 1 -1 -112-32- -1 1()r x-2 -3 -13()q x834312- 34- 14- -2 -22()r x34-34--1 -1-1 -13()r x所以((),()) 1.f x g x x =+2)((),()) 1.f x g x = 3)2((),()) 1.f x g x x =--6.求(),()u x v x 使()()()()((),()):u x f x v x g x f x g x += 1)432432()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---; 2)43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+; 3)4322()441,()1f x x x x x g x x x =--++=--. 1)解 用辗转相除法()g x ()f x2()q x1 1 1 1 -1 -2 -2 1 2 -1 -4 -21 1 0 -2 0 1 1 -1 -2 -2 1 1 -2 -21()r x1 0 -2 03()q x1 01 0 -2 0 1 0 -22()r x1 0 -23()r x由以上计算得11()()()(),f x q x g x r x =+ 212()()()(),g x q x r x r x =+ 132()()(),r x q x r x =因此22((),())()2f x g x r x x ==-,且2((),())()f x g x r x =21()()()g x q x r x =-21()()[()()()]g x q x f x q x g x =-- 212()()[1()()]()q x f x q x q x g x =-++所以212()()1,()1()()2u x q x x v x q x q x x =-=--=+=+.2)((),())1f x g x x =-,21122(),()13333u x x v x x x =-+=--. 3)((),())1f x g x =,32()1,()32u x x v x x x x =--=+--.7.设323()(1)22,()f x x t x x u g x x tx u =++++=++的最大公因式是一个二次多项式,求,t u 的值.解 略.8.证明:如果()(),()()d x f x d x g x 且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合,那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式.证明 由于()(),()()d x f x d x g x ,所以()d x 为()f x 与()g x 的一个公因式.任取()f x 与()g x 的一个公因式()h x ,由已知()d x 为()f x 与()g x 的一个组合,所以()()h x d x .因此,()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式.9.证明:(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =,(()h x 的首项系数为 1). 证明 因为存在多项式()u x 和()v x 使 ((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+,所以((),())()()()()()()()f x g x h x u x f x h x v x g x h x =+,这表明((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个组合,又因为 ((),())(),((),())()f x g x f x f x g x g x , 从而((),())()()(),((),())()()()f x g x h x f x h x f x g x h x g x h x ,故由第8题结论,((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式.注意到((),())()f x g x h x 的首项系数为1,于是(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =.10.如果(),()f x g x 不全为零,证明:()()(,)1((),())((),())f xg x f x g x f x g x =.证明 存在多项式()u x 和()v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+,因为(),()f x g x 不全为零,所以((),())0f x g x ≠,故由消去律得()()1()()((),())((),())f xg x u x v x f x g x f x g x =+,所以()()(,)1((),())((),())f xg x f x g x f x g x =.11.证明:如果(),()f x g x 不全为零,且()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=,那么((),())1u x v x =.证明 因为(),()f x g x 不全为零,故 ((),())0f x g x ≠,从而由消去律得()()1()()((),())((),())f xg x u x v x f x g x f x g x =+,所以((),())1u x v x =.12.证明:如果((),())1f x g x = ,((),())1f x h x =,那么((),()())1f x g x h x =. 证法一 用反证法.假设()((),()())1d x f x g x h x =≠,则(())0d x ∂>,从而()d x 有不可约因式()p x ,于是()(),()()()p x f x p x g x h x ,但因为((),())1f x g x =,所以()p x 不整除()g x ,所以()()p x h x ,这与((),())1f x h x =矛盾.因此((),()())1f x g x h x =.证法二 由题设知,存在多项式1122(),(),(),()u x v x u x v x ,使得11()()()()1u x f x v x g x +=,22()()()()1u x f x v x h x +=,两式相乘得12121212[()()()()()()()()()]()[()()]()()1u x u x f x v x u x g x u x v x h x f x v x v x g x h x +++=,所以((),()())1f x g x h x =.13.设11(),,(),(),,()m n f x f x g x g x 都是多项式,而且((),())1(1,2,,;1,2,,).i j f x g x i m j n ===求证:1212(()()(),()()()) 1.m n f x f x f x g x g x g x =证法一 反复应用第12题的结果 证法二 反证法14.证明:如果((),())1f x g x =,那么(()(),()())1f x g x f x g x +=. 证明 由于((),())1f x g x =,所以存在多项式()u x 和()v x 使 ()()()()1u x f x v x g x +=,由此可得()()()()()()()()1,u x f x v x f x v x f x v x g x -++= ()()()()()()()()1,u x f x u x g x u x g x v x g x +-+=即[][]()()()()()()1,u x v x f x v x f x g x -++=[][]()()()()()()1,v x u x g x u x f x g x -++= 于是((),()())1f x f x g x +=,((),()())1g x f x g x +=,应用第12题的结论可得(()(),()())1f x g x f x g x +=.注 也可以用反证法.15.求下列多项式的公共根:32432()221;()22 1.f x x x x g x x x x x =+++=++++提示 用辗转相除法求出2((),()) 1.f x g x x x =++于是得两多项式的公共根为1.2-± 16.判别下列多项式有无重因式: 1)5432()57248f x x x x x x =-+-+-; 2)42()443f x x x x =+--1)解 由于432'()5202144f x x x x x =-+-+,用辗转相除法可求得2((),'())(2)f x f x x =-,故()f x 有重因式,且2x -是它的一个 3 重因式.2)解 由于3'()484f x x x =+-,用辗转相除法可求得((),'())1f x f x =,故()f x 无重因式.17.求t 值使32()31f x x x tx =-+-有重根. 解2'()36f x x x t =-+.先用'()f x 除()f x 得余式 1263()33t t r x x --=+.当3t =时,1()0r x =.此时'()()f x f x ,所以21((),'())'()(1)3f x f x f x x ==-,所以1是()f x 的3重根.当3t ≠时,1()0r x ≠.再用1()r x 除'()f x 得余式215()4r x t =+.故当154t =-时,2()0r x =.此时,121((),'())()92f x f x r x x =-=+,所以12-是()f x 的2重根.当3t ≠且154t ≠-时,2()0r x ≠,则((),'())1f x f x =,此时()f x 无重根.综上,当3t =时,()f x 有3重根1;当154t =-时,()f x 有2重根12-.18.求多项式3x px q ++有重根的条件. 解 略.19.如果242(1)1x Ax Bx -++ ,求,A B .解法一 设42()1f x Ax Bx =++,则3'()42f x Ax Bx =+.因为242(1)1x Ax Bx -++,所以1是()f x 的重根,从而1也是'()f x 的根.于是(1)0f =且'(1)0f =,即10;420.A B A B ++=⎧⎨+=⎩解得1,2A B ==-.解法二 用2(1)x -除421Ax Bx ++得余式为(42)(31)A B x A B ++--+,因为242(1)1x Ax Bx -++,所以(42)(31)0A B x A B ++--+=,故420;310.A B A B +=⎧⎨--+=⎩ 解得1,2A B ==-.20.证明:212!!nx x x n ++++没有重根.证法一 设2()12!!n x x f x x n =++++ ,则21'()12!(1)!n x x f x x n -=++++-. 因为()'()!nx f x f x n -=,所以((),'())((),)1!nx f x f x f x n ==.于是212!!nx x x n ++++没有重根. 证法二 设2()12!!n x x f x x n =++++ ,则21'()12!(1)!n x x f x x n -=++++-. 假设()f x 有重根α,则()0f α=且'()0f α=,从而0!nn α=,得0α=,但0α=不是()f x 的根,矛盾.所以212!!nx x x n ++++没有重根. 21.略. 22.证明:x 是()f x 的k 重根的充分必要条件是(1)000()'()()0k f x f x f x -====,而()0()0k f x ≠.证明 (必要性)设0x 是()f x 的k 重根,从而0x 是'()f x 的1k -重根,是''()f x 的2k -重根,…,是(1)()k f x -的单根,不是()()k f x 的根,于是(1)000()'()()0k f x f x f x -====,而()0()0k f x ≠.(充分性)设(1)000()'()()0k f x f x f x -====,而()0()0k f x ≠,则0x 是(1)()k f x -的单根,是(2)()k f x -的2重根,…,是()f x 的k 重根.23.举例说明断语“如果α是'()f x 的m 重根,那么α是()f x 的m +1重根”是不对的.解 取1()()1m f x x α+=-+,则()'()1()m f x m x α=+-.α是'()f x 的m 重根,但α不是()f x 的m +1重根.注:也可以取具体的,如0,1m α==.24.证明:如果(1)()n x f x -,那么(1)()n n x f x -. 证明 略.25.证明:如果23312(1)()()x x f x xf x +++,那么12(1)(),(1)()x f x x f x --.证明2121()()x x x x ωω++=--,其中12ωω==.由于23312(1)()()x x f x xf x +++,故存在多项式()h x 使得33212()()(1)()f x xf x x x h x +=++,因此112122(1)(1)0;(1)(1)0.f f f f ωω+=⎧⎨+=⎩ 解得12(1)(1)0f f ==,从而12(1)(),(1)()x f x x f x --.26.求多项式1n x -在复数范围内和实数范围内的因式分解. 解 多项式1n x -的n 个复根为 22cossin ,0,1,2,,1kk k i k n n nππω=+=-,所以1n x -在复数范围内的分解式为1211(1)()()()n n x x x x x ωωω--=----.在实数范围内,当n 为奇数时:222112211221(1)[()1][()1][()1]n n n n n x x x x x x x x ωωωωωω---+-=--++-++-++,当n 为偶数时:222112222221(1)(1)[()1][()1][()1]n n n n n x x x x x x x x x ωωωωωω---+-=-+-++-++-++.27.求下列多项式的有理根: 1)3261514x x x -+-; 2)424751x x x ---;3)5432614113x x x x x +----.1)解 多项式可能的有理根是1,2,7,14±±±±. (1)40f =-≠,(1)360f -=-≠.由于44444,,,,1(2)171(7)1141(14)-------------都不是整数,所以多项式可能的有理根只有2.用综合除法判别:2 1 -6 15 -14 + 2 -8 14 2 1 -4 7 0 + 2 -4 1 -2 3≠0 所以2是多项式的有理根(单根).注:一般要求指出有理根的重数.计算量较小的话,也可以直接计算,如本题可直接算得(2)0f =,说明2是()f x 的有理根,再由'(2)0f ≠知.2是单根.用综合除法一般比较简单.2)答12-(2重根).3)答 1-(4重根),3(单根). 28.下列多项式在有理数域上是否可约? 1)21x -;2)4328122x x x -++; 3)631x x ++;4)1p x px ++,p 为奇素数; 5)441x kx ++,k 为整数. 1)解21x -可能的有理根是1±,直接检验知,都不是它的根,故21x -不可约.2)解 用艾森斯坦判别法,取2p =. 3)解 令1x y =+,则原多项式变为6365432(1)(1)1615211893y y y y y y y y ++++=++++++,取3p =,则由艾森斯坦判别法知多项式65432615211893y y y y y y ++++++不可约,从而多项式631x x ++也不可约.4)提示:令1x y =-,取素数p . 5)提示:令1x y =+,取2p =.。
(完整版)高等代数多项式习题解答

第一章 多项式习题解答1.用)(x g 除)(x f ,求商)(x q 与余式)(x r .1)123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f9731929269791437134373132131232223232----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 92926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2)2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f17525422225200222223232342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q .2.q p m ,,适合什么条件时,有1)q px x mx x ++-+32|1m x m q x p m mx m x m qx p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+)()1()1(01222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时,用12-+mx x 去除q px x ++3,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323.因此有m q p m ==++,012.2)q px x mx x ++++242|1由带余除法可得)1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ,即⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时,用12++mx x 去除q px x ++24,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有)1)((2224++++=++mx x q ax x q px x.)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++=比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r .1);3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f解:运用综合除法可得327109391362327117083918605023---------商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ,余式为.327)(-=x r2)i x x g x x x x f 21)(,)(23+-=--=.解:运用综合除法得:ii ii i i i 892521892421011121+----+-------商为)25(22i ix x +--,余式为i 89+-. 4.把)(x f 表成0x x -的方幂和,即表示成 +-+-+202010)()(x x c x x c c 的形式.1)1,)(05==x x x f ;2);2,32)(024-=+-=x x x x f3).1,73)1(2)(0234-=++-+-+=x i x x i ix x x f分析:假设)(x f 为n 次多项式,令])()()[()()()()(10021000202010--++-+-+=-++-+-+=n n nn x x c x x c c x x c x x c x x c x x c c x f0c 即为0x x -除)(x f 所得的余式,商为10021)()()(--++-+=n n x x c x x c c x q .类似可得1c 为0x x -除商)(x q 所得的余式,依次继续即可求得展开式的各项系数.解:1)解法一:应用综合除法得.5110141110416311563143211143211111111111100000115)(x x f =1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345+-+-+-+-+-=x x x x x .解法二:把x 表示成1)1(+-x ,然后用二项式展开1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(]1)1[(234555+-+-+-+-+-=+-=x x x x x x x2)仿上可得812226122412210412112082422128442302012-----------------432)2()2(8)2(22)2(2411)(+++-+++-=x x x x x f . 3)因为i iii i i i i i i i i i ii ii i i 2111510157104141173121-----------+-------+---- .)()(2))(1()(5)57(73)1(2)(432234i x i x i i x i i x i ix x i ix x x f +++-++-+-+=++-+-+=5.求)(x f 与)(x g 的最大公因式1)1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f解法一:利用因式分解),13)(1(143)(3234--+=---+=x x x x x x x x f).1()1(1)(223-+=--+=x x x x x x g因此最大公因式为1+x .解法二:运用辗转相除法得)(3438)(01122132)(1434343)(41432112321212314121)(3122123423422223232x q x x q x x x x x x x x r x x x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q =+=---------=--+---+--=------++--++-= 因此最大公因式为1+x .2)13)(,14)(2334+-=+-=x x x g x x x f .解:运用辗转相除法得(注意缺项系数补零)2564411627)(125627)(2565391649216491633323)(10310031004911916)(920910310132310323110391031)(13221232323423422223232--=--=+-+-+-+--=-++-+-+-++-+++--=+--++--+++-+-=x x q x x r x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q .1))(),((=x g x f3).124624)(,110)(23424+++-=+-=x x x x x g x x x f)()()22(24)()(123x r x f x x x x f x g +=---=,),()22)((241)122()22)(22()(21223x r x x r x x x x x x x f ++-=---+--= ,)()122(22)(24122231x x r x x x x x x x r -=--=--=- 因此.122))(),((2--=x x x g x f6.求)(),(x v x u 使:))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+1);22)(,242)(234234---+=---+=x x x x x g x x x x x f解:运用辗转相除法得:)()(1022)(222422)(222221)(3133123423422323242342x q x x q x x xx x r x x x x x x x x x x r xx x x x x x x x x x x x q ==--=---+---+-=--+----++= 因此2)())(),((22-==x x r x g x f .且有 )()()()(11x r x q x g x f +=,),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=..2)()(1)(,1)()(212+=+=--=-=x x q x q x v x x q x u2);452)(,951624)(23234+--=++--=x x x x g x x x x x f解:运用辗转相除法得:)(96)(20999966936)(810249516241)(32422324523131)(3122123423422223232x q x x q x x x xx x x x r xx x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q =+=+-+-+-+--=+--++--+-=+--+---++--+-= 因此1)())(),((2-=-=x x r x g x f .且有)()()()(11x r x q x g x f +=,),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=..13232)3131(21)()(1)(,3131)()(2212--=+---=--=+-==x x x x x q x q x v x x q x u 3).1)(,144)(2234--=++--=x x x g x x x x x f解:运用辗转相除法得:)(32)(3331431441)(21211)(121222342342222x q x x x r x x x x x x x x x x x x r x x xx x x x x q =--=++-++---++--=-----+= 因此.1)())(),((2==x r x g x f 且有)()()()(11x r x q x g x f +=,),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=..23)1)(3(1)()(1)(,1)()(232212--+=+-+=+=--=-=x x x x x x q x q x v x x q x u7.设u tx x x g u x x t x x f ++=++++=323)(,22)1()(的最大公因式是一个二次多项式,求u t ,的值.解:运用带余除法有),()()2()1(1)(22)1()(12323x r x g u x t x t u tx x u x x t x x f +=+--++⋅++=++++= 由题意可得,)(1x r 即为)(),(x g x f 的最大公因式.因此有01≠+t .进一步),(])1(211)[()(221x r t t x t x r x g ++-++= ])1(21[)1()2()1()1()(22222t t u x t t t u t t x r +--++-++-+=. 要使)(1x r 为)(),(x g x f 的最大公因式的充要条件是.0)(2=x r 即⎩⎨⎧=--+=-++-+,0)]2()1[(,0)2()1()1(222t t u t t u t t 解得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧±==⎩⎨⎧-==.2111,117;2111,117;231,0;4,0i t i u i t i u i t u t u 8.证明:如果),(|)(),(|)(x g x d x f x d 且)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合,那么)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.证明:由)(|)(),(|)(x g x d x f x d 可知)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式.下证)(x f 与)(x g 的任意一个公因式是)(x d 的因式.由)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合可知,存在多项式)(),(x v x u ,使得)()()()()(x g x v x f x u x d +=.设)(x ϕ是)(x f 与)(x g 的任意一个公因式,则)(|)(),(|)(x g x x f x ϕϕ.故)()()()(|)(x g x v x f x u x +ϕ即).(|)(x d x ϕ因此)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.9.证明:)()(())(),(())()(),()((x h x h x g x f x h x g x h x f =的首项系数为1). 证明:存在多项式)(),(x v x u ,使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.所以有)()()()()()()())(),((x h x g x v x h x f x u x h x g x f +=.即)())(),((x h x g x f 是 )()(x h x f 与)()(x h x g 的一个组合.显然有)(|))(),((),(|))(),((x g x g x f x f x g x f .从而)()(|)())(),((),()(|)())(),((x h x g x h x g x f x h x f x h x g x f .由第8题结果)())(),((x h x g x f 是)()(x h x f 与)()(x h x g 的一个最大公因式.又)(x h 是首项系数为1的,因此).())(),(())()(),()((x h x g x f x h x g x h x f =10.如果)(x f ,)(x g 不全为零,证明1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 证明:由)(x f ,)(x g 不全为零可得其最大公因式不为零多项式,即.0))(),((≠x g x f 又存在多项式)(),(x v x u ,使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.于是))(),(()()())(),(()()(1x g x f x g x v x g x f x f x u +=. 因此1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 11.如果)(x f ,)(x g 不全为零,且))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+,那么1))(),((=x v x u .证明:由)(x f ,)(x g 不全为零可得.0))(),((≠x g x f 由))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+有.1))(),(()()())(),(()()(=+x g x f x g x v x g x f x f x u 于是1))(),((=x v x u .12.证明:如果,1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 那么.1))()(),((=x h x g x f 证法一、由条件1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 可得存在多项式)(),(11x v x u ; )(),(22x v x u 使得1)()()()(11=+x g x v x f x u ,1)()()()(22=+x h x v x f x u .两式相乘得1)()()()()()]()()()()()()()()([21211221=+++x h x g x v x v x f x h x v x u x g x v x u x f x u x u . 因此有.1))()(),((=x h x g x f证法二、反证法证明.显然.0))()(),((≠x h x g x f 若,1))()(),((≠x h x g x f 则存在不可约多项式)(x p ,使得)(x p 为)(x f 与)()(x h x g 的公因式.因此有)(|)(x f x p 且)()(|)(x h x g x p .由)(x p 的不可约性有)(|)(x g x p 或)(|)(x h x p .若)(|)(x g x p ,则)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式,与1))(),((=x g x f 相矛盾.若)(|)(x h x p ,则)(x p 为)(x f 与)(x h 的一个公因式,与1))(),((=x h x f 相矛盾.因此1))()(),((≠x h x g x f 不成立,即有.1))()(),((=x h x g x f13.设)(),(),(),(,),(),(2121x g x g x g x f x f x f n m 都是多项式,而且).,,2,1;,,2,1(,1))(),((n j m i x g x f j i ===求证:1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .证明:由),,2,1(1))(),((1n j x g x f j ==,反复利用第12题结果可得1))()()(),((211=x g x g x g x f n .类似可得.,,2,1))()()(),((21m i x g x g x g x f n i ==再反复利用12题结果可得1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .14.证明:如果,1))(),((=x g x f 那么.1))()(),()((=+x g x f x g x f 证明:方法一.由,1))(),((=x g x f 存在多项式)(),(x v x u 使得1)()()()(=+x g x v x f x u .从而有,1)())()(())()()((,1))()()(()())()((111111=+-++=++-x g x v x u x g x f x u x g x f x v x f x v x u 因此有.1))()(),((,1))()(),((=+=+x g x f x g x g x f x f 由12题结果结论成立.方法二:用反证法.若.1))()(),()((≠+x g x f x g x f 则存在不可约多项式)(x p ,使得)(x p 为)()(x g x f 与)()(x g x f +的公因式.即)()(|)(x g x f x p 且)()(|)(x g x f x p +.由)(x p 的不可约性及)()(|)(x g x f x p ,有)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .若)(|)(x f x p ,又)()(|)(x g x f x p +,因此有)]())()([(|)(x f x g x f x p -+,即)(|)(x g x p ,也即)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式,与1))(),((=x g x f 相矛盾.类似可得当)(|)(x g x p 时也与已知1))(),((=x g x f 矛盾.所以.1))()(),()((=+x g x f x g x f15.求下列多项式的公共根:.12)(;122)(23423++++=+++=x x x x x g x x x x f解法一:利用因式分解可得);1)(1(122)(223+++=+++=x x x x x x x f ).1)(1(12)(22234+++=++++=x x x x x x x x g因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 解法二:运用辗转相除法求出)(x f 与)(x g 的最大公因式,最大公因式的根即为所求的公共根.),1(2)1)(()(2++--=x x x x f x g ).1)(1()(2+++=x x x x f因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 16.判别下列多项式有无重因式: 1);84275)(2345-+-+-=x x x x x x f 解:,4421205)('234+-+-=x x x x x f运用辗转相除法可得.)2(44))('),((22-=+-=x x x x f x f 因此2-x 为)(x f 的三重因式.解法二:试根可得2为)(x f 的根)1()2()2()2()43)(2()(23232234++-=----=++--=x x x x x x x x x x x x f .因此2-x 为)(x f 的三重因式. 2).344)(24--+=x x x x f解:).12(4484)('33-+=-+=x x x x x f 1))('),((=x f x f .故)(x f 无重因式. 17.求t 值使13)(23-+-=tx x x x f 有重根.解法一:要使)(x f 有重根,则1))('),((≠x f x f ..63)('2t x x x f +-=),12(33)(')3131(13)(23+-+-=-+-=x t x f x tx x x x f .415)41523)(12(63)('2++-+=+-=t x x t x x x f当,033=-t 即3=t 时),(|)(',)1(3363)('22x f x f x x x x f -=+-=2)1())('),((-=x x f x f ,因此1为)(x f 的三重根. 当0415=+t ,即415-=t 时,21))('),((+=x x f x f ,21-为)(x f 的二重根.解法二:设b a x ab a x b a x b x a x x f 22232)2()2()()()(-+++-=--=. 因此有⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.1,2,3222b a t ab a b a 由第一个方程有a b 26-=,代人第三个方程有,0132,1)23(232=+-=-a a a a 即0)12()1(2=+-a a .因此有⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,1t b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=.415,4,21t b a即当3=t 时1为)(x f 的三重根;当415-=t 时,21-为)(x f 的二重根.18.求多项式q px x ++3有重根的条件.解:令q px x x f ++=3)(.显然当0==q p 时,0为)(x f 的三重根.当0≠p 时, p x x f +=23)(',q x px xf q px x x f ++=++=32)('31)(3,)427()42729)(32()('222p q p p q x p q x p x f ++-+=. 要使)(x f 有重根,则1))('),((≠x f x f .即,042722=+pq p 即.027423=+q p 显然 0==q p 也满足.027423=+q p 因此)(x f 有重根的条件是.027423=+q p19.如果,1|)1(242++-Bx Ax x 求.,B A解法一:利用整除判定方法,1|)1(242++-Bx Ax x 的充要条件是用2)1(-x 除124++Bx Ax ,余式为零.)31()42()32()1(12224B A x A B A B Ax Ax x Bx Ax --++++++-=++.因此有0)31()42(=--++B A x A B ,即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=--=+.2,1.031,042B A B A A B 解法二:要使1|)1(242++-Bx Ax x 成立,则1至少是124++Bx Ax 的二重根.因此1既是124++Bx Ax 的根,也是其导数的根.而Bx Ax Bx Ax 24)'1(324+=++.故有⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++.2,1.024,01B A B A B A 解法三:利用待定系数法.令Dx D C x D C A x A C Ax D Cx Ax x Bx Ax +-++-+-+=++-=++)2()2()2()()1(12342224因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=-.1,02,2,02D D C B D C A A C 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==.1,2,2,1D C B A 20.证明:!!212n x x x n++++ 不能有重根.证明:令,!!21)(2n x x x x f n++++= 则,)!1(!21)('12-++++=-n x x x x f n因此有,!)(')(n x x f x f n +=从而有)!),('())('),((n x x f x f x f n =.!n x n因式只有)0(≠c c 及)1,0(n k c cx k ≤≤≠.而)1,0(n k c cx k ≤≤≠显然不是)('x f 的因式.因此有1)!),('())('),((==n x x f x f x f n.所以)(x f 没有重根.21.如果a 是)('''x f 的一个k 重根,证明a 是)()()](')('[2)(a f x f a f x f ax x g +-+-=的一个3+k 重根. 证明:)],(')('[21)(''2)(')(''2)](')('[21)('a f x f x f a x x f x f a x a f x f x g ---=--++=).('''2)(''21)('''2)(''21)(''x f ax x f x f a x x f x g -=--+=显然有0)(")(')(===a g a g a g .由a 是)('''x f 的一个k 重根可得a 是)(''x g 的一个1+k 重根,设a 是)(x g 的s 重根,则3,12+=+=-k s k s .本题常见错误证法.错误证法一:由a 是)('''x f 的一个k 重根就得出a 是)(''x f 的一个1+k 重根,a 是)('x f 的一个2+k 重根,a 是)(x f 的一个3+k 重根,于是)(2)()()()](')('[2)(3x h a x a f x f a f x f a x x g k +-=+-+-=从而a 是)(x g 的3+k 重根.事实上,由a 是)('''x f 的一个k 重根推不出a 是)(''x f 的一个1+k 重根,a 是)('x f 的一个2+k 重根,a 是)(x f 的一个3+k 重根. 如3)()()()(23+-+-+-=+a x a x a x x f k ,则1)(2))(3()('2+-+-+=+a x a x k x f k ,2))(2)(3()(''1+-++=+k a x k k x f .a 既不是)(x f 的根,也不是)('x f 与)(''x f 的根.错误证法二:由)],(')('[21)(''2)(')(''2)](')('[21)('a f x f x f a x x f x f a x a f x f x g ---=--++=)('''2)(''21)('''2)(''21)(''x f ax x f x f a x x f x g -=--+=得出a 是)(''x g 的1+k 重根,直接得出a 是)(x g 的3+k 重根,缺了a 是)(x g 与)('x g 的根验证.22.证明:0x 是)(x f 的k 重根的充分必要条件是,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k证明:必要性.设0x 是)(x f 的k 重根,从而0x x -是)(x f 的k 重因式,从而是)('x f 的1-k 重因式,是)(''x f 的2-k 重因式,...,是)()1(x f k -的单因式,而不是)()(x f k 的因式.因此0x 是)(x f ,)('x f ,)(''x f ,...,)()1(x f k -的根,而不是)()(x f k 的根.故有,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k充分性.由,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而0)(0)(≠x f k 可知0x 是)(x f ,)('x f ,)(''x f ,...,)()1(x f k -的根,而不是)()(x f k 的根.因此0x 是)()1(x f k -的单根,是)()2(x f k -二重根,依此类推,是)(x f 的k 重根.23.举例说明断语“如果α是)('x f 的m 重根,那么α是)(x f 的1+m 重根”是不对的.解:例如2)()(1+-=+m x x f α,m x m x f ))(1()('α-+=.α是)('x f 的m 重根,但α不是)(x f 的根.24.证明:如果),(|)1(n x f x -那么)(|)1(n n x f x -.证明:由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 因此有),()1()(x h x x f -=从而有).()1()(n n n x h x x f -=即)(|)1(n n x f x -.证法二:要证)(|)1(n n x f x -,只要证1-n x 在复数域上的各个根都是)(n x f 的根.1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos-=+=n k nk i n k x k ππ由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 从而0)1()(==f x f nk .即,2sin 2cos nk i n k x k ππ+=1,,2,1,0-=n k 都是)(n x f 的根.因此有)(|)1(n n x f x -.25.证明:如果)()(|)1(32312x xf x f x x +++,那么).(|)1(),(|)1(21x f x x f x --证明:要证)(|)1(),(|)1(21x f x x f x --成立,只要证1是)(1x f 和)(2x f 的根.12++x x 的两个根为231,23121ii --=+-=εε.由)()(|)1(32312x xf x f x x +++可得)()1()()(23231x g x x x xf x f ++=+.于是,0)()1()()(,0)()1()()(2223222321112312131121=++=+=++=+εεεεεεεεεεεεg f f g f f即0)1(231)1(,0)1(231)1(2121=+-=--f if f i f .故有.0)1()1(21==f f 所以 )(|)1(),(|)1(21x f x x f x --.26.求多项式1-n x 在复数范围内和在实数范围内的因式分解. 解:1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos -=+=n k nk i n k k ππε故在复数范围内的分解式为)())()(1(112-----=-n n x x x x x εεε .在实数范围内,因k n k -=εε,)0(n k <<.当n 为奇数时,1-n x 的根中一个为实根,其余为虚根,其分解式为]1)([]1)(][1)()[1(12121222212++-++-++--=-+---x x x x x x x x n n n n nεεεεεε .当n 为偶数时,1-n x 的根中二个为实根,即,1±其余为虚根,其分解式为].1)([]1)(][1)()[1)(1(11212222212++-++-++-+-=-+---x x x x x x x x x n n n n nεεεεεε27.求下列多项式的有理根. 1);1415623-+-x x x解:多项式可能的有理根为.14,7,2,1±±±±由系数取值可知,x 取负数时,多项式的值均为负的,故该多项式没有负根.检验得2为其根,进一步运用综合除法可得074114821415612-----即)74)(2(14156223+--=-+-x x x x x x ,显然742+-x x 没有有理根.因此1415623-+-x x x 仅有一个有理根2,且为单根.2);157424---x x x解:多项式可能的有理根为.41,21,1±±±444222026242113121570421------------因此有)1()12()444()21(1574222224--+=--+=---x x x x x x x x x ,显然12--x x 没有有理根.因此21-为157424---x x x 的二重根.3).3111462345----+x x x x x解:多项式可能的有理根为.3,1±±检验得1-为其根,进一步运用综合除法可得1213630351133511038601138601311146111--------------故)3()1()12)(3()1(3111464222345-+=++-+=----+x x x x x x x x x x x .即1-为其四重跟,3为单根.28.下列多项式在有理数域上是否可约? 1);12+x解:显然12+x 无有理根,又为二次的,故在有理数域上不可约. 2);2128234++-x x x解:取素数2=p ,满足艾森斯坦判别法的条件,因此在有理数域上不可约. 3);136++x x 解:令,1+=y x).(3918211561)1()1(1)(234563636y g y y y y y y y y x x x f =++++++=++++=++=取素数,3=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件,因此在有理数域上不可约,从而)(x f 在有理数域上不可约.4)p px x p ,1++为奇素数;解:令1-=y x ,由p 为奇数可得1)1()1(1)(+-+-=++=y p y px x x f p p).()(1222211y g p y p C y C y C yC y p p p p p p p p p =-++--+-=---- 由组合数定义)11(-≤≤p k C kp 均为整数,且12)1()1()1(⋅-+--= k k k p p p C k p,分子中有因子p ,分母个各数均小于p ,又p 为素数,因此约分时p 不会被约去,因此有kpC p |,取素数为p ,)(y g 满足艾森斯坦判别式条件,因此)(y g 在有理数域上不可约,从而)(x f 在有理数域上不可约. 5)k kx x ,144++为整数. 解:令,1+=y x 则有).(2)1(4641)1(4)1(1423444y g y k y y y y k y kx x =+++++=++++=++取素数,2=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件,因此在有理数域上不可约,从而)(x f 在有理数域上不可约.。
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高等代数第一次作业第一章 多项式 §1—§3一、填空题1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ,则 。
()|()f x h x2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则 。
()|()f x h x3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ,则 。
()|()()/f x g x h x +二、判断题1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域( )√2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 ( )×3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) ×4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x ( )√5. 数集}{是有理数b a b a ,|2+是数域 ( )√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 ( )× 除法不封闭7. 若()|()()f x g x h x ,则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ,则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =,()()g x h x x ==时不成立9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -,则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √三、选择题1. 以下数集不是数域的是( )BA 、{是有理数b a bi a ,|+,21i =-}B 、{是整数b a bi a ,|+,21i =-}C 、{}是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数2. 关于多项式的整除,以下命题正确的是 ( )CA 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h xB 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f xC 、若()|()()f x g x h x +,且()|()f x g x ,则()|()f x h xD 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ,则()|()()/f x g x h x四、计算题数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1?解:由假设,所得余式为0,即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题试证用21x -除()f x 所得余式为2)1()1(2)1(1-++--f f x f f )(。
证明:设余式为ax b +,则有2()(1)()f x x q x ax b =-++(1),(1)f a b f a b =+-=-+求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业第一章 多项式 §4—§6一、填空题1. 当()p x 是 多项式时,由()|()()p x f x g x 可推出()|()p x f x 或()|()p x g x 。
不可约2. 当()f x 与()g x 时,由()|()()f x g x h x 可推出()|()f x h x 。
互素3. 设32()3f x x x ax b =+++用1x +除余数为3,用1x -除余数为5,那么a = b = 。
a=0,b=14. 如果((),())1f x g x =,((),())1h x g x =,则 。
(()(),())1f x h x g x =5. 设()p x 是不可约多项式,()|()()p x f x g x ,则 。
()|()p x f x 或()|()p x g x6. 设()p x 是不可约多项式,()f x 是任一多项式,则 。
()|()p x f x 或((),())1p x f x =7. 若()|()g x f x ,()|()h x f x ,且((),())1g x h x =,则 。
()()|()g x h x f x8. 若()|()()p x g x h x ,且 ,则()|()p x g x 或()|()p x h x 。
()p x 是不可约多项式二、判断题1. 若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x ( )×2. 若(()(),())1f x g x h x =,则((),())1f x h x =,((),())1g x h x = ( ) √3. 若()|()()f x g x h x ,且()|()f x g x ,则((),())1f x h x = ( ) ×4. 设()p x 是数域P 上不可约多项式,那么如果()p x 是()f x 的k 重因式,则()p x 是()f x '的1k -重因式。
( )√5. 若有()()()()()d x f x u x g x v x =+,则()d x 是()f x ,()g x 的最大公因式 ( )×6. 若()p x 是()f x '内的k 重因式,则()p x 是()f x 的1k +重因式( )× 如1()1k f x x +=+三、选择题1. 关于多项式的最大公因式,以下结论正确的是 ( )DA 、若()|()()f x g x h x 且()|()f x g x ,则((),())1f x h x =B 、若存在()u x ,()v x ,使得()()()()()f x u x g x v x d x +=,则()d x 是()f x 和()g x 的最大公因式C 、若()|()d x f x ,且有()()()()()f x u x g x v x d x +=,则()d x 是()f x 和()g x 的最大公因式D 、若(()(),())1f x g x h x =,则((),())1f x h x =且((),())1g x h x =2. 关于不可约多项式()p x ,以下结论不正确的是( )CA 、若()|()()p x f x g x ,则()|()p x f x 或()|()p x g xB 、若()q x 也是不可约多项式,则((),())1p x q x =或()(),0p x cq x c =≠C 、()p x 是任何数域上的不可约多项式D 、()p x 是有理数域上的不可约多项式3. 关于多项式的重因式,以下结论正确的是( )DA 、若不可约多项式()p x 是()f x '的k 重因式,则()p x 是()f x 的1k +重因式B 、若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式,则()p x 是()f x ,()f x '的最大公因式C 、若不可约多项式()p x 是()f x '的因式,则()p x 是()f x 的重因式D 、若不可约多项式()p x 是()f x 的重因式,则()p x 是))(),(()(x f x f x f '的单因式 四、计算题1.设,12)(,12)(3234+-=-+--=x x x g x x x x x f 求))(),((x g x f 以及),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+解:利用辗转相除法得2112122123()()()()()(1),()()()()()(1)1,()()()(1)().f xg x q x r x g x x x x g x r x q x r x x x x x r x r x q x x x =+=-+-=+=-+-+==-+-因此((),()) 1.f x g x x =-又21212212()()()()()(()()())()()()(1()()).r x g x r x q x g x f x g x q x q x q x f x q x q x =-=--=-++2212((),())()()()(1()())()f x g x r x q x f x q x q x g x =-=-+.所以2212()()1,()1()()1(1)(1).u x q x x v x q x q x x x x ==+=--=---+=-2.设234)(235+-+-=x x x x x f(1)判断)(x f 在R 上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数;(2)求)(x f 在R 上的标准分解式.解:(1)42()538 3.f x x x x '=-+-运用辗转相除法可得:2((),())1f x f x x x '=-+. 21x x -+为)(x f 在R 上二重因式.(2)由(1)可得)(x f 在R 上的标准分解式为22()(1)(2)f x x x x =-++.解法2: )(x f 的可能有理根为1,2±±,经检验2-为)(x f 的有理根,由综合除法可得210143224642123210--------因此有43222()(2321)(2)(1)(2)f x x x x x x x x x =-+-++=-++.21x x -+为)(x f 在R 上二重因式. )(x f 在R 上的标准分解式为22()(1)(2)f x x x x =-++.五、证明题1.设2≥k 为正整数,证明:()|()()|()k k f x g x f x g x ⇔.证明:当()|()f x g x 时,有()()(),g x f x q x =因此()()(),k k k g x f x q x =即有()|()k k f x g x . 反之设1212()()()()s r r r s f x p x p x p x =L1212()()()()s m m m s g x p x p x p x =L其中12(),(),,()s p x p x p x L 是互不相同的不可约多项式,0,0(1,2,,)i i r m i s ≥≥=L .由()|()k k f x g x 可得(1,2,,)i i k r k m i s ≤=L ,即(1,2,,)i i r m i s ≤=L .因此有()|()f x g x .2. 已知(),(),()f x g x h x 是数域P 上的多项式,,,,,0,0a b c P a b a c ∈≠≠≠,且22()()()()()()()()()()()()x a f x x b g x x c h x x a f x x b g x x c h x +++=+⎧⎨-+-=+⎩ 则22(),()x c f x x c g x ++.证明:两式相加得:22(()())2()()x f x g x x c g x +=+.由0c ≠得2(,)1x x c +=.因此有2()()x c f x g x ++.两式相减有2()2()0af x bg x +=,,因此有22()2()x c af x bg x ++.由2()()x c f x g x ++及22()2()x c af x bg x ++可得2(22)()x c a b f x +-.又a b ≠,因此有2()x c f x +.类似有2()x c g x +.高等代数第三次作业第一章 多项式 §7—§9一、填空题1. 设用1x -除()f x 余数为5,用1x +除()f x 余数为7,则用21x -除()f x 余数是 。