工程力学1-2-y1by2a

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注意
(1)角位移、角速度、角加速度都是刚体 的整体运动学量，与方位角是由哪根直 线定义的无关。
y
任意以AB,CD分别定义的
方位角与之间，有 (t)=(t)+ 为常量
D A (xA,yA)

B
C

x


O
(2)一个刚体在某个时刻对于某个参考空间而言，只有 唯一的角位移、角速度和角加速度；一个质点是无法定 义角速度的。 27
注意
(2)平面图形作平面运动时,角位移、角速度、 角加速度可用代数量+圆箭头表示。
若设 , , 各量的转向相同，


则其大小为：

若设 , , 各量的转向如图，



则其大小为：

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(3)工程中角速度常用单位：n ( 转/分, r/min , rpm)
(1.12) dr et ds
(1.13)
3. 密切面：过P点的切线PT，且与法平面垂直
4. 主法线PN：密切面与法平 面的交线，单位矢 en ，正 向为指向曲线曲率中心 5.副法线PB：垂直于PT与PN， 单位矢为 eb ， eb et en
(1.14)
6.从切面:
可视为切线 et 绕副法线 eb 的转角
1 dS k d
曲率半径
(1.16)
挠率----副法线方向改变的剧烈程度
eb et eb en et en

lim
可视为副法线 eb 绕切线 et 的转角
5
S 0
d S dS
(2.1)
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(t) = f3 (t)
2.平面图形的角位移、
角速度、角加速度
O
y B A (xA,yA)
x
角位移：= (t+t) - (t) 角速度： 角加速度：
d dt

d dt
单位：弧度(rad) 单位 ：rad/s (2.2)
单位：rad/s2 (2.3)
6
三、点的速度、加速度在自然轴系中的投影
点的运动方程 S=S(t)
点的速度
dr dr ds v set dt ds dt
(1.19)
O et eb M en et en
S
eb
点的速度在自然轴系中的投影：
vt s vn 0 vb 0
y
或
ut 2r
M O
v
a
A
u
x
vx ut tan tan tan vy 2r 2
C
( 为速度矢量与y轴夹角)
u2 a a a r
2 x 2 y
3）求加速度
u ut sin r r u2 ut a y v y cos r r ax vx
当ut = 0, 2 r即 0,2 时， = min= 0
当ut = r即 时， = max= 4r
轨迹的尖点
轨迹的最高点
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本章(§1 )重点、要点、难点
(1)基本概念(参考空间、运动方程和轨迹、约束、 自由度与广义坐标等)。
(2)矢量的表示方法、运算规则及矢量微分公式 不可矢量标量不分或矢量标量混用！
2 n /60
(4)角速度、角加速度的矢量表示法
右手螺旋法
y


x
k
k

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3.平面图形上任意一点的运动方程
y A (xA,yA) O
若已知

xA(t),yA(t), (t),任意一点B的运动方 程为
x
xB x A l cos yB y A l sin
eb en
et
3
et , en , eb 构成P点的自然轴系基矢
注意：自然轴系基矢量
et , en , eb大小不变，但方向随S变化
4
7. 曲率、挠率 曲率----曲线在P点处无限小弧段ds(位于密切面内)的弯 曲程度 d k lim (1.15) dS s 0 S
at s
点的加速度在自然
轴系中的投影：
an
s2


v2

(1.22)
ab 0
a 全加速度
位于该点 密切面内
a t 切向加速度
沿该点的 切线方向
an 法向加速度
沿该点主 法线方向
9
全加速度的大小 s2 2 2 2 2 a at an ( ) s

方向
at s t an 2 an s
为全加速度矢量
与主法向的夹角
若已知速度的大小 v(t) = s (t ) , 全加速度的大小 a(t) ,则：
s at v
四、其他坐标系
an a 2 at2
柱坐标、球坐标、极坐标（参见教科书）
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例1.3 同例1.2，试求小环的速度、加速度在自然轴 系中的投影。 已知 (1)t (2) A sin t
点的运动方程:
S(+)
S (1.11)
(1.12) S(-) O1

M
或 r r (s)
S=S( t )
r (s)
2
O
二、自然轴系的活动标架和基矢量 设空间曲线上任意一点P ：
r r (s)
1.切线PT: 单位矢 et ，正向为S正向
2. 法平面：过P点垂直于切线的平面
加速度
at v 0 s
方向如图 4R 2 2 an 4R 2 2 R a an 4R en
11
2)当A sin t S(t)=2R2RA sin t
y
an

O O1
v
a
M
at
M0
B x
v vt s 2 RA cost s at v 2 R 2 A sin t
7
(1.20)
det d et deb et den den d en det deb (1.18) deb d eb den
曲率半径
1 dS k d
（1.16）
工程力学（A）
(1-2)
榆林学院 范晓勇
45/III
§1.3 在自然轴系(弧坐标系)中研究点的运动
当点M在一条已知曲线上运动时，常选择该曲线作为 自然坐标轴描述M的运动。
一、自然轴系的建立，运动方程，运动轨迹
设已知点M的运动轨迹为空间曲线:
选择曲线上的弧长S为广义坐标：任选曲线 上一点O1为原点，规定O1一侧的弧长为正， 另一侧弧长为负。
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2.定轴转动 刚体内或延伸部分始终存在一根固定不动的直线，各 点(除转轴上各点外)的轨迹为大小不同的圆周。
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3.一般平面运动——本章的重点
既非平移也非定轴转动，各点轨迹为形状 不同的平面曲线。
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横梁(兰色)-平面曲线平移 竖杆(灰色)-平面直线平移 两根曲柄(咖啡色)-定轴转动
套筒(绿色)-平面直线平移
(1.17)
已知对单位矢量 a ：

da d a
d deb det
对自然轴系的活动标架，有：

et eb en et en

eb
det d et (deb det ) et den den d en (deb det ) en det deb (1.18) deb d eb (deb det ) eb den
轨迹：旋轮 线，摆线
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2)求速度： 由M点x,y坐标分别求导(本题u为常数)：
ut 2 ut v x xM u u cos 2u sin r 2r ut ut ut v y yM u sin 2u sin cos r 2r 2r
2 2 v v x v y 2u sin
刚体的平面运动
§2.1 刚体平面运动的概念与特征
刚体平面运动定义：刚体上任意一点到某固定平面的
距离始终不变，刚体上各点的运动轨迹均为平面曲线。
刚体平面运动的简化：简化为一个平面图形的运动。
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刚体平面运动的三种类型： 平面平移，定轴转动，一般平面运动 1.平面平移 刚体上任意一条直线在运动中始终平行。各点的轨 迹都相同(各点的速度、加速度都相同)。
y
v M

O O1
B a an
M0 x
解：小环相对于固定参考空 间的轨迹为大圆环，取t=0时 小环的位置M0为原点，逆时 针方向S为正。 (1)当t
速度
S(t)=M0M=2R= 2Rt vt v s 2R 方向如图 v 2Ret 运动方程
s2 v2
2
ax ut tan tan tan ay r
( 为加速度矢量与y轴夹角)
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4）求加速度在自然轴系中的投影
u2 ut at v cos r 2r u2 ut 2 2 an a at sin r 2r
an
v2

v2 ut 4r sin an 2r
点的加速度： dv d det det d ds a ( set ) et s s et s s dt dt dt d ds dt 1 s2 s et sen s et en at an s (1.21)