7.1多元函数的概念

上有界， 有| f ( x)|≤ M，则称 f ( x)在 X 上有界，
M称为 f ( x)在 X 上的一个界． 上的一个界．
图8-8
3．开集与闭集 ．
开集： 的内点， 为开集； 开集： 如果点集 E中的每一点都是 E的内点，则称 E为开集；
闭集： 为闭集． 闭集：如果点集 E的每个聚点都属于 E， 则称 E为闭集 ．
例如， 中的开集； 例如，{( x, y)|1 < x2 + y2 < 4}是 R2中的开集；
4．有界集与无界集 ．
{( x, y)| ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ }
邻域， 称为点 P 的δ 邻域，若将U(P ,δ )去掉中心点 P ，所得到的 0 0 0
区域称为 P 的去心邻域，记为U0(P ,δ )，即 0的去心邻域， 0
U0(P ,δ )＝{P |0 <| PP |< δ } 0 0
(3) 边界点：如果 P的任一邻域内既含有属于 E的点，又含有不属 边界点： 的点，
的点， 的边界点． 于 E的点，则称 P为 E的边界点．
E的边界点的全体称为 E的边界，记作 ∂E． 的边界，
之间除了上述三种关系外， 任一点 P与点集 E之间除了上述三种关系外，还有另一种关
系，这就是聚点． 这就是聚点．
称为自变量， 称为因变量， 变量 x1, x2 ,L, xn称为自变量， y称为因变量，集合 D称为函数的
0 0 0 定义域， 定义域，也可记为 D( f )．对于 ( x1 , x2 ,L, xn )∈ D，所对应的 y值记为
0 0 0 y0 = f ( x1 , x2 ,L, xn )
0 0 0 称为当( x1, x2 ,L, xn )=( x1 , x2 ,L, xn )时，函数 y = f ( x1, x2 ,L, xn )
若不需强调邻域的半径δ ，则用U(P )或U0(P )分别表示点 0 0
P 某个邻域或某个去心邻域． 0某个邻域或某个去心邻域．
2．内点，外点，边界点和聚点 ．内点，外点，
下面用邻域来描述平面上点与点集之间的关系． 下面用邻域来描述平面上点与点集之间的关系．
平面上的任一点， 平面上的一点集， 设 P为 xOy平面上的任一点，E为 xOy平面上的一点集，则 P与
2．二元函数的几何意义 ．
设 xOy平面上函数 z = f ( x, y)的定义域为 D⊂R2，对于任意取 ⊂ ，
定的点 P( x, y)∈ D， 对应的函数值为 z = f ( x, y)， 从而以 x为横坐标， 为横坐标，
y为纵坐标， z = f ( x, y)为竖坐标在空间 R3 中就确定一点 为纵坐标，
的内点， 的聚点； 一切点( x, y)都是 E的内点，也是 E的聚点；满足 x2 + y2=1 或
x2 + y2 = 4的一切点 ( x, y)都是 E的边界点，也是 E的聚点；但满足 的边界点， 的聚点；
x2 + y2=1 的边界点（也是聚点）却不属于 E． 的边界点（也是聚点）
根据点集所属点的特征，可定义一些重要的平面点集． 根据点集所属点的特征，可定义一些重要的平面点集．
则是无界集． 而集合{( x, y)| x2 + y2 ≥ 0}则是无界集．
5．连通集，区域与闭区域 ．连通集，
连通集： 内任何两点，都可用折线联结起来， 连通集：如果点集 E内任何两点，都可用折线联结起来，
为连通集； 且该折线上的点都属于 E，则称 E为连通集；
区域（或开区域） 连通的开集称为区域（或开区域） ：连通的开集称为区域 区域（或开区域） 连通的开集称为区域（或开区域） ： ；
一元函数的单调性，奇偶性， 一元函数的单调性，奇偶性，周期性等性质的定义在多元函数
中不再适用，但有如下有界性的定义： 中不再适用，但有如下有界性的定义：
设有 n元函数 y = f ( x)，其中
x＝( x1, x2 ,L, xn )，
其定义域 D( f )⊂R ，集合 X ⊂ D．
n
若存在正数 M，使对任一元素 x∈ X，
聚点： 聚点：如果对于任意给定的δ ＞0，点 P的去心邻域U0(P)内总 ，
中的点， 的聚点． 有 E中的点，则称 P是 E的聚点．
由聚点定义可知， E的聚点 P本身既可属于 E， 集 由聚点定义可知， 也可不属于 E．
例如， 对点集 E={( x, y)|1 < x2 + y2 ≤ 4}， 例如， 满足1 < x2 + y2 < 4的
的定义域（ 数 f ( x, y)的定义域（图 8-8） ） ．
一般地， 一般地 ，称 Rn+1中的子集 {( x1, x2 ,L, xn, y)| y = f ( x1, x2 ,L, xn ),( x1, x2 ,L, xn ) ∈ D}
为函数 y = f ( x1, x2 ,L, xn )在 D上的图形（或图象） 上的图形（或图象） ．
设集合 E ⊂ R2，若存在某正数 r ，使得对所有点 P( x, y)∈ E，
都有
| OP |= x2 + y2 ≤ r
是坐标原点， 中的有界集； 其中 O是坐标原点，则称 E是 R2中的有界集；
一个集合如果不是有界集，则称这个集合为无界集． 一个集合如果不是有界集，则称这个集合为无界集．
例如， 是有界集， 例如，集合{( x, y)|1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}是有界集，
１ ．多元函数的定义
定义 8.1 元有序数组的集合， 设 D为一个非空的 n元有序数组的集合，设 f 为序数组 ( x1, x2 ,L, xn )∈D，都有唯一确定的 与之对应， 元函数， 实数 y与之对应，则称对应规则 f 为定义在 D上的 n元函数，记为
y = f ( x1, x2 ,L, xn ) ( x1, x2 ,L, xn )∈D
y
解
y − x > 0 由 可解得 xln( y − x) > 0
x > 0 或 y > x +1
x < 0 x < y < x + 1
O
x
即函数的定义域为
图8-7
D = {( x, y)| x > 0, y > x + 1 x < 0, x < y < x + 1} 或
所示． 其图形如图 8-7 所示 ．
闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域． 闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域．
例如， 是有界闭区域， 例如，集合{( x, y)|1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}是有界闭区域，
是无界开区域． 集合{( x, y)| x + y > 0}是无界开区域．
二、多元函数的概念
y
y
O
x
O
x
图8-5
图8-6
函数 z =
2 2 2 的定义域 D( f )={( x, y)| x + y < R } R2 − x2 − y2
1
围成的有界开区域， 所示． 这是 xOy平面上由圆 x2 + y2 = R2围成的有界开区域，如图 8-6 所示．
例１
的定义域，并画出其图形． 求函数 z = ln[xln( y − x)]的定义域，并画出其图形．
M( x, y, z)．当 M( x, y)取遍 D上的一切点时，就得到一个 R3 中的空 上的一切点时，
间点集
{( x, y, z)| z = f ( x, y),( x, y)∈ D}
的图形， 这个点集称为二元函数 z = f ( x, y)的图形，它表示了空间中的
一张曲面．在直角坐标下， 一张曲面．在直角坐标下，这张曲面在 xOy坐标面上的投影就是函
以使这个解析式有意义的自变量组成的点集为这个多元函数的自
然定义域，对这类函数，它的定义域不再特别标出．例如， 然定义域，对这类函数，它的定义域不再特别标出．例如，函数
z = ln( x + y)的定义域为 D( f )＝{( x, y)| x + y > 0}， 这是 xOy平面上
的右上方确定的无界开区域， 所示． 由直线 x + y = 0的右上方确定的无界开区域，如图 8-5 所示．
E之间的关系必有以下三种关系中的一种： 之间的关系必有以下三种关系中的一种：
(1) 内点： 内点： 如果存在点 P的某个邻域U(P)使得U(P)⊂ E， 则称 P
为 E的内点； 的内点； (2) 外点：如果存在 P的某个邻域U(P)使得U(P) I E =φ，则称 外点：
P 为 E的外点； 的外点；
的函数值． 的函数值．全体函数值的集合
{ y | y = f ( x1, x2 ,L, xn ),( x1, x2 ,L, xn )∈ D}
称为函数的值域， 称为函数的值域，记为 f (D)．
与一元函数类似，一般在讨论用解析式表达的多元函数时， 与一元函数类似，一般在讨论用解析式表达的多元函数时，就
§7.1 多元函数的概念
一、平面点集 二、多元函数的概念
一、平面点集
1．邻域 ．
平面上的一定点， 设 P ( x0 , y0 )是 xOy平面上的一定点，δ > 0，以 P 为圆心，δ 为半 0 0为圆心，
径的圆的内部（即不含圆周） 径的圆的内部（即不含圆周）U(P ,δ )＝{P | | PP |< δ }＝ 0 0