【浙教版】2022年九年级(上)数学期末复习核心考点专项训练(2)：二次函数的应用八大考点(原卷)

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2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第1章二次函数》期末综合复习训练(附答案)

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第1章二次函数》期末综合复习训练（附答案）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，则（）A．a＞0，b2﹣4ac＝0B．a＜0，b2﹣4ac＞0C．a＞0，b2﹣4ac＜0D．a＜0，b2﹣4ac＝02．已知抛物线C：y＝x2+3x﹣10，将抛物线C平移得到抛物线C′，若两条抛物线C和C′关于直线x＝1对称，则下列平移方法中，正确的是（）A．将抛物线C向右平移个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位3．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+24．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于05．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（）A．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＜0B．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＞0C．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＞0D．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＜07．在同一坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝bx2+ax的图象只可能是（）A．B．C．D．8．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b+c＞0；⑤关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣3之间，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（3，0）且对称轴为直线x＝1．有四个结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＝0；③a﹣b+c＝0；④若m＞n＞0，则x＝1﹣m时的函数值小于x＝1+n时的函数值，其中正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．11．把二次函数y＝﹣x2+3x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为．12．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣3，﹣2），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．13．已知函数y＝x2﹣2mx+2015（m为常数）的图象上有三点：A（x1，y1），B（x2，y2），C （x3，y3），其中x1＝m﹣，x2＝m+，x3＝m﹣1，则y1、y2、y3的大小关系是．14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为．16．对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，下列正确的说法是．①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时，y随x的增大而减小，则m＝1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1；④如果当x＝﹣2时的函数值与x＝2022时的函数值相等，则当x＝2020时的函数值为﹣3．17．已知抛物线y＝﹣x2+ax+b经过点A（1，0），B（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标．18．如图是某个二次函数的图象．（1）求该二次函数关系式；（2）补全函数图象；（3）若抛物线上点P（m，n）到y轴的距离不大于2，请根据图象直接写出n的取值范围．19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a≠0）的图象经过点A（4，﹣6），与y轴交于点B，顶点为C（m，n）．（1）求点B的坐标；（2）求证：4a+b＝0；（3）当a＞0时，判断n+6＜0是否成立？并说明理由．20．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．21．如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B 在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上存在一点P，使得△PBO的面积是△ABO面积的两倍，求P 点的坐标以及△ABP的面积．22．已知抛物线y＝x2+bx+a﹣1过点（2+a，m），（2﹣a，m），（a，n）．（1）求b的值；（2）当0＜a＜2时，请确定m，n的大小关系；（3）若当0＜a≤x≤2+a时，y有最小值3，求a的值．23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b＞0），交x轴于点A、B，交y轴于点C，已知A的横坐标为﹣1．（1）求点B的坐标．（用含b的代数式表示）（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，平移线段CB，使点C与D重合，此时点B恰好落在抛物线上，求b的值．参考答案1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，∴a＜0，＝0即b2﹣4ac＝0．故选：D．2．解：∵抛物线C：y＝x2+3x﹣10＝（x+）2﹣，∴抛物线对称轴为x＝﹣．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣10）．则与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移5个单位．故选：C．3．解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线C1的顶点为（1，2），∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，故选：A．4．解∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．故选：B．5．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，得2a+b＝0，故①正确；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②正确；该函数图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），∴点A（3，0），∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3，故④错误；故选：B．6．解：∵直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，∵点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，∴y1＝ax12﹣2ax1+c，y2＝ax22﹣2ax2+c，当x1＜x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，∴ax12﹣2ax1+c﹣（ax22﹣2ax2+c）＜0，整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，∵x1﹣x2＜0，∴a（x1+x2﹣2）＞0，故A，B不符合题意；当x1＞x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，∴ax12﹣2ax1+c﹣（ax22﹣2ax2+c）＜0，整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，∵x1﹣x2＞0，∴a（x1+x2﹣2）＜0，故C不符合题意，D符合题意；故选：D．7．解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y 轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b同号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确，故选：D．8．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴2a+b＝0，故①②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点（4，y）与（﹣2，y）关于直线x＝1对称，∵x＝4时，y＜0，∴x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），∴n＝a+b+c＞0，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，∴关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣1之间，故⑤错误；∴正确结论的有①②③④共4个，故选：D．9．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，故①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（3，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴横坐标是1﹣m的点的对称点的横坐标为1+m，∵若m＞n＞0，∴1+m＞1+n，∴x＝1﹣m时的函数值小于x＝1+n时的函数值，故④正确．故选：C．10．解：设y＝y2﹣y1，∵y1＝kx，y2＝ax2+bx+c，∴y＝ax2+（b﹣k）x+c，由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意；故选：B．11．解：y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x2﹣12x+36）+9+3＝﹣（x﹣6）2+12．故答案为y＝﹣（x﹣6）2+12．12．解：∵二次函数图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，∴这个点的坐标为（﹣1，0）或（1，0），设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，当该函数过原点、（﹣3，﹣2），（﹣1，0）时，，解得，，即该二次函数的解析式为y＝x2x；当该函数过原点、（﹣3，﹣2），（1，0）时，，解得，，即该二次函数的解析式为y＝x2+x；由上可得，该二次函数的解析式为y＝x2x或y＝x2+x，故答案为：y＝x2x或y＝x2+x．13．解：在二次函数y＝x2﹣2mx+2015，对称轴x＝m，在图象上的三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），|m﹣1﹣m|＜|m﹣﹣m|＜|m+﹣m|，则y1、y2、y3的大小关系为y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．14．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．15．解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．故答案为：6．16．解：①由于△＝4m2+12＞0，它的图象与x轴有两个公共点，故①符合题意；②由于对称轴是直线x＝m，抛物线开口方向向上，所以当x≤1时，y随x的增大而减小，此时m≤1，故②不符合题意；③如果将y＝x2﹣2mx﹣3＝（x﹣m）2﹣3﹣m2的图象向左平移3个单位后的抛物线解析式是：y＝（x﹣m+3）2﹣3﹣m2，将（0，0）代入，得到（0﹣m+3）2﹣3﹣m2＝0．解得m＝1，故③不符合题意；④如果当x＝﹣2时的函数值与x＝2022时的函数值相等，则该抛物线对称轴是直线x＝m＝1010，所以当x＝2020时，y＝x2﹣2mx﹣3＝20202﹣20202﹣3＝﹣3，即该函数的函数值为﹣3，故④符合题意．故答案是：①④．17．解：（1）根据题意得到：，解得，因而抛物线的解析式是：y＝﹣x2+5x﹣4．（2）∵y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的顶点坐标为（，）．18．解：（1）根据图象知，抛物线的顶点坐标为（1,4），∴设二次函数关系式为y＝a(x﹣1)²+4，又∵函数图象过（3,0），∴0＝4a+4，解得a＝﹣1，∴函数解析式为：y＝﹣(x﹣1)²+4；（2）由（1）函数解析式知，函数与y轴的交点为（0,3），函数与x轴的另一交点为（﹣1,0），∴图象补全如右图所示；（3）由图知，当x＝1时函数有最大值为4，∴n≤4，当x＝﹣2时P（m，n）到y轴的距离等于2，此时n有最小值，n＝﹣(﹣2﹣1)²+4＝﹣5，综上所述，n的取值为﹣5≤n≤4．19．解：（1）∵x＝0时，y＝﹣6∴点B坐标为（0，﹣6）（2）证明：∵二次函数的图象经过点A（4，﹣6）∴16a+4b﹣6＝﹣6∴4a+b＝0（3）当a＞0时，n+6＜0成立，理由如下：∵n＝∴n+6＝∵a＞0，4a+b＝0即b≠0∴b2＞0∴＜0∴n+6＜0成立20．解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点坐标为（3，4）；（2）∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵顶点坐标为（3，4），∴当x＝3时，y最大值＝4，∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，∴当x＝1时，y最小值＝0，∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，∴当x＝4时，y最小值＝3．∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m＝4，i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），③当t≥3时，y随着x的增大而减小，当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），综上所述，t＝3﹣或．21．解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，∴A（0，4），B（4，0），将A（0，4），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，可得，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）设P点坐标为（x，﹣x2+x+4），∵△PBO的面积是△ABO面积的两倍，∴×4×丨﹣x2+x+4丨＝2××4×4，解得：x1＝6，x2＝﹣4，又∵点P位于第三象限，∴x＝6舍去，当x＝﹣4时，y＝﹣x2+x+4＝﹣8，∴P点坐标为（﹣4，﹣8），设直线PB的解析式为y＝kx+b1，将P（﹣4，﹣8），B（4，0）代入，可得，解得：，∴直线PB的解析式为y＝x﹣4，在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴直线PB与y轴交于点（0，﹣4），如图，过点P作PM⊥y轴，连接PB交y轴于点N，连接AP，∴△ABP的面积＝AN•（PM+OB）＝×8×8＝32．22．解：（1）∵（2+a，m），（2﹣a，m）是抛物线上的两点，∴对称轴为直线x＝＝2，∴＝2，∴b＝﹣4；（2）如图，∵（2+a，m），（a，n）是抛物线上两点，∴当a＝1，2+a＝3时，m＝n，由图可知，①当0＜a≤1时，m≤n；②当1＜a＜2时，m＞n；（3）如图，①当0＜a≤2时，在x＝2时y取最小值，此时y最小值＝a﹣5，令a﹣5＝3，则a＝8（不合题意，舍），②当a＞2时，在x＝a时y取最小值，此时y＝x2+4x+a﹣1＝a2﹣4a+a﹣1＝a2﹣3a﹣1，令a2﹣3a﹣1＝3，解得：a＝4或a＝﹣1（舍去），综上所述：a＝4．23．（1）∵y＝﹣x2+bx+c，∴对称轴为直线，∴，∵A点横坐标为﹣1，∴B（b+1，0）．（2）对称轴直线x＝与x轴交点为（，0），把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：﹣1﹣b+c＝0，即c＝b+1，∵平移线段CB，使C与D重合点，∴B平移后得点，∵点B在抛物线上，∴，解得，∵b＞0，∴．。

浙教版九年级数学上册第一章二次函数专题复习二（含答案）

浙教版九年级数学上册第一章二次函数专题复习二（含答案）专题二二次函数的图象性质与系数的关系[见B本P10](教材P22作业题第1题)已知二次函数y＝－2x2＋4x＋6.(1)求函数图象的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图象；(2)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求函数的最大值或最小值．解：(1)y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x－1)2＋8.令y＝0，得x1＝－1，x2＝3.令x＝0，得y＝6，所以图象的顶点坐标是(1，8)，与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，6)，对称轴是直线x＝1，画图略．(2)当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小；当x＝1时，y有最大值8.【思想方法】(1)利用函数的增减性可以比较二次函数值的大小，也可以利用函数的图象比较大小．(2)根据函数的图象可以确定二次函数的各项系数或有关代数式的值．a的作用：||a的大小决定抛物线的开口大小.||a越大，抛物线的开口越小；||a越小，抛物线的开口越大．口诀：上(开口)＋(a的符号)，下(开口)－(a的符号)．b的作用：ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab>0时，对称轴在y轴左侧；当ab<0时，对称轴在y轴右侧．口决：左(对称轴在y轴左侧)同(a，b同号)右(对称轴在y轴右侧)异(a，b异号)．c的作用：c的大小决定抛物线与y轴的交点位置，c＝0时，抛物线过原点；c>0时，抛物线与y 轴交于正半轴；c<0时，抛物线与y轴交于负半轴．口诀：上(抛物线与y轴交于正半轴)“＋”(c＞0)下(抛物线与y轴交于负半轴)“－”(c＜0)．特殊值：当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c .若a ＋b ＋c >0，即x ＝1时，y >0；若a －b ＋c >0，即x ＝－1时，y >0.[2012·泰安]设点A (－2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( A )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2【解析】根据二次函数的图象的对称性，找出点A 的对称点A ′，再利用二次函数的增减性可判断y 值的大小．画出函数y ＝－(x ＋1)2 ＋a 的大致图象如图所示，∴抛物线的对称轴是x ＝－1，∴点A 关于对称轴的对称点A ′的坐标是(0，y 1)．∵点A ′，B ，C 都在对称轴的右边，在对称轴右边y 随x 的增大而减小，∴y 1＞y 2＞y 3.[2012· 贵阳]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)的图象如图1所示，当－5≤x ≤0时，下列说法正确的是( B )图1A ．有最小值－5，最大值0B ．有最小值－3，最大值6C ．有最小值0，最大值6D ．有最小值2，最大值6[2012·重庆]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2所示，对称轴为x ＝－12.下列结论中，正确的是( D )图2A ．abc >0B ．a ＋b ＝0C ．2b ＋c >0D ．4a ＋c <2b【解析】∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴－b 2a ＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故A 项错误；∵抛物线的对称轴为x ＝－b 2a ＝－12，∴a ＝b ，故B 项错误；当x ＝1时，a ＋b ＋c ＝2b ＋c ＜0，故C 项错误；∵抛物线的对称轴为x ＝－12，抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为x 1＞1，∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标的取值范围为x 2＜－2，∴当x ＝－2时，4a －2b ＋c ＜0，即4a ＋c ＜2b ，故D 项正确．故选D.[2013·长沙]二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是( D )A ．a >0B ．c >0C ．b 2－4ac >0 D ．a ＋b ＋c >0[2013·山西]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，则下列结论正确的是( B )A ．ac >0B ．方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是x 1＝－1，x 2＝3 C ．2a －b ＝0D ．当x >0时，y 随x 的增大而减小[2013·滨州]如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论∶①2a ＋b ＝0；②4a －2b ＋c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2.其中正确的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[2013·烟台]如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，其对称轴为x ＝－1，且过点(－3，0)．下列说法∶①abc ＜0；②2a －b ＝0；③4a ＋2b ＋c ＜0，④若(－5，y 1)，(52，y 2)是抛物线上两点，则y 1＞y 2.其中说法正确的是( C )A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④[2013·德州]函数y ＝x 2＋bx ＋c 与y ＝x 的图象如图所示，有以下结论∶①b 2－4c >0；②b ＋c ＋1＝0；③3b ＋c ＋6＝0；④当1<="" 2＋(b=""A ．1B ．2C ．3D ．4[2012·威海]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图9所示，下列结论中错误的是( D )图9A．abc>0 B．3a>2bC．m(am＋b)≤a－b(m为任意实数) D．4a－2b＋c<07、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。

浙教版九年级上数学专题复习二：二次函数图象与系数的关系(含答案)

专题复习二二次函数图象与系数的关系(1)系数a 决定抛物线的开口方向和大小，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.(2)对称轴在y 轴的左侧，a ，b 同号；对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号.(3)c>0时，图象与y 轴交点在x 轴上方；c=0时，图象过原点；c<0时，图象与y 轴交点在x 轴下方.(4)b 2-4ac 的符号决定抛物线与坐标轴的交点个数.1.已知二次函数y=ax 2+bx 的图象如图所示，那么a ，b 的符号为(C ).A.a ＞0，b ＞0B.a ＜0，b ＞0C.a ＞0，b ＜0D.a ＜0，b ＜0(第1题) (第2题) (第5题)2.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，对称轴是直线x=1，则下列结论错误的是(D ).A.c ＞0B.2a+b=0C.b 2-4ac ＞0D.a -b+c ＞03.二次函数y=ax 2-a 与反比例函数y=xa(a ≠0)在同一平面直角坐标系中可能的图象为(A ). A. B. C. D.4.二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点(D ).A.(-1，-1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)5.抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(-1，2)，与x 轴的一个交点A 在(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①b 2-4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c -a=2；④方程ax 2+bx+c -2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有(C ).A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M(a ，c)在第三象限.7.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为直线x=-1，给出以下结论：（第7题）①abc ＜0；②b 2-4ac ＞0；③4b+c ＜0；④若B （-25，y 1），C （-21，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2；⑤当-3≤x ≤1时，y ≥0.其中正确的结论有 ②③⑤ (填序号).8.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，顶点落在第二象限．(1)试确定a ，b ，b 2-4ac 的符号，并简述理由．(2)若此二次函数的图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为32，求抛物线的二次函数的表达式．【答案】(1)∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵顶点在第二象限，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-044022ab ac ab ，∴b ＜0，b 2-4ac ＞0.(2)由题意可得c=0，此时顶点坐标为（-a b 2，-a b 42）.∵顶点在直线x+y=0上，∴-a b 2-ab 42=0.∴b=-2.此时顶点坐标为（a 1，-a 1）.∴21a +21a =(32)2.∴a=-31或a=31(舍去).∴抛物线的函数表达式为y=-31x 2-2x. 9.已知函数y=x 2-2mx 的顶点为点D.(1)求点D 的坐标(用含m 的代数式表示).(2)求函数y=x 2-2mx 的图象与x 轴的交点坐标.(3)若函数y=x 2-2mx 的图象在直线y=m 的上方，求m 的取值范围.【答案】(1)y=x 2-2mx=(x -m)2-m 2，∴顶点D(m ，-m 2).(2)令y=0，得x 2-2mx=0，解得x 1=0，x 2=2m.∴函数的图象与x 轴的交点坐标为(0，0)，(2m ，0).(3)∵函数y=x 2-2mx 的图象在直线y=m 的上方，∴顶点D 在直线y=m 的上方.∴-m 2＞m ，即m 2+m ＜0.∴m 的取值范围是-1＜m ＜0.10.已知抛物线y=ax 2+3x+(a -2)，a 是常数且a ＜0，下列选项中，可能是它大致图象的是(B ).A. B. C. D.11.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①4ac -b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m(am+b)+b ＜a(m ≠-1).其中正确的结论有(B ).A.4个B.3个C.2个D.1个(第11题) (第12题) （第14题）(第15题)12.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，则下列结论：①b 2-4c ＜0；②c -b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+(b -1)x+c ＜0．其中正确结论的个数为(C ).A.1B.2C.3D.413.二次函数y=ax 2+bx+1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(-1，0).设t=a+b+1，则t 的取值范围是 0＜t ＜2 ．14.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则a b 的值为 -2 ，ac的取值范围是 -8＜ac＜-3 .【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=-a b 2=1，即ab=-2.由图象知当x=-2时，y ＞0，即4a -2b+c ＞0①，当x=-1时，y ＜0，即a -b+c ＜0②，将b=-2a 代入①②，得c ＞-8a ，c ＜-3a.又∵a ＞0，∴-8＜ca ＜-3.15.如图所示为抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，A ，B ，C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则a ，b 之间满足的关系式为 a -b+1=0 ．(第16题)16.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象.(1)判断a ，b ，c 及b 2-4ac 的符号．(2)若OA=OB ，求证：ac+b+1=0．【答案】(1)a>0,b<0,c<0,b 2-4ac>0.(2)∵OA=OB ，且OB=|c|=-c ，∴ax 2+bx+c=0有一根为x=c.∴ac 2+bc+c=0.∴ac+b+1=0.17.对于二次函数y=ax 2+bx+c ，如果当x 取任意整数时，函数值y 都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如：y=x 2+2x+2)．(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的函数表达式： y=21x 2+21x .(不必证明)(2)请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=21x 2+21x (2)假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线y=ax 2+bx+c ，当x=0时，y=c;当x=1时,y=a+b+c.由整点抛物线定义知：c 为整数，a+b+c 为整数，∴a+b 必为整数.又当x=2时，y=4a+2b+c=2a+2（a+b ）+c 是整数，∴2a 必为整数.∴|a|≥21.∴不存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线.（第18题）18.【攀枝花】二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列命题中，正确的是(D ).A.a ＞b ＞cB.一次函数y=ax+c 的图象不经过第四象限C.m(am+b)+b ＜a(m 是任意实数)D.3b+2c ＞0【解析】由二次函数的图象可知a ＞0，c ＜0；由x=-1得-ab2=-1，故b ＞0，b=2a ，则b ＞a ＞c ，故A 错误.∵a ＞0，c ＜0，∴一次函数y=ax+c 的图象经过第一、三、四象限，故B 错误.当x=-1时，y 最小，即a -b+c 最小，故a -b+c ＜am 2+bm+c ，即m(am+b)+b ＞a ，故C 错误.由图象可知当x=1时y ＞0,即a+b+c ＞0，∵b=2a ，∴a=21b.∴21b+b+c ＞0.∴3b+2c ＞0，故D 正确.故选D.19.【杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数y 1=(x+a)(x -a -1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1，-2)，求函数y 1的表达式.(2)若一次函数y 2=ax+b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的表达式.(3)已知点P(x 0，m)和点Q(1，n)在函数y 1的图象上，若m ＜n ，求x 0的取值范围.【答案】(1)函数y 1的图象经过点(1，-2)，得(a+1)(-a)=-2，解得a 1=-2，a 2=1.当a1=-2时，y1=(x -2)(x+2-1)=x 2-x -2；当a2=1时，y1=(x+1)(x -2)=x 2-x -2.综上所述，函数y1的表达式为y=x 2-x -2.(2)当y=0时，(x+a)(x -a -1)=0，解得x 1=-a ，x 2=a+1.∴y 1的图象与x 轴的交点是(-a ，0)，(a+1，0).当y2=ax+b 经过(-a ，0)时，-a 2+b=0，即b=a 2；当y2=ax+b 经过(a+1，0)时，a 2+a+b=0，即b=-a 2-a.(3)由题意知，函数y 1的对称轴为直线x=21.当点P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而减小，(1，n)与(0，n)关于对称轴对称，由m ＜n ，得0＜x 0≤21；当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得21＜x 0＜1.综上所述，m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1.20.如图所示，二次函数y=ax 2+2ax -3a(a ≠0)图象的顶点为H ，与x 轴交于A ，B 两点(点B在点A 右侧)，点H ，B 关于直线l:y=33x+3对称． (1)求A ，B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上.(2)求二次函数的表达式.(3)过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于点K,M,N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连结HN,NM,MK ，求HN+NM+MK 的最小值．(第20题)图1 图2（第20题答图）【答案】(1)由题意得ax 2+2ax -3a=0(a ≠0)，解得x 1=-3,x 2=1.∴点A 的坐标为(-3,0),点B 的坐标为(1,0).∵直线y=33x+3,当x=-3时,y=33×(-3)+ 3=0,∴点A 在直线l 上.(2)∵点H ，B 关于过点A 的直线y=33x+3对称,∴AH=AB=4.∵AH=BH ，∴△ABH 为正三角形.如答图1所示，过顶点H 作HC ⊥AB 于点C ，则AC=21AB=2,HC=23,∴顶点H(-1,23)，代入二次函数表达式,解得a=-23.∴二次函数表达式为y=-23x 2-3x+233.(3)易求得直线AH 的函数表达式为y=3x+33，直线BK 的函数表达式为y=3x -3.由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=33333x y x y ,解得⎩⎨⎧==323y x ,即K(3,23).∴BK=4.∵点H ，B 关于直线AK 对称,∴HN+MN 的最小值是MB.如答图2所示，过点K 作直线AH 的对称点Q,连结QK,交直线AH 于点E ，则QM=MK,QE=EK=KD=23,则QK=43,AE ⊥QK.∴BM+MK 的最小值是BQ,即BQ 的长是HN+NM+MK 的最小值.∵BK ∥AH,∴∠BKQ=∠HEQ=90°.由勾股定理可求得QB=8.∴HN+NM+MK 和的最小值为8.。

九年级数学二次函数复习2 浙教版

x 6 2 15.(负值舍去).
x 6 2 15 13.75
练一练:
1。如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水
平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少。
实际问题
数学问题
实际问题------求铅球所经过的路线。
y
6
B(6,5)
4 C
2 A(0,2
)
o2
46
8 10 12
x
解:(1)设函数解析式为:y=a(x-6)2 5
又由A(0, 2),得a 1 , 12
y 1 (x 6)2 5; y 1 x2 x 2
12
12
(2)当 1 x2 x 2 0时, 12
⑴ 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；
⑵ 求球被抛出多远；
⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离是多少m？源自y1510
5
10 20 30 40 50
x
练一练：
2.以墙为一边，
用篱笆围成长方形
场地，一边开2米
宽的门，并用平行于一边的篱笆隔开
A
D
（如图）。已知篱
笆总长58米，AB
B
C
Y
．
A(0,1.25)B(1,2.25 ）
O x
综合运用2.甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：
速度x（千米/小时） 0 刹车距离y（米） 0
5 10 15 20 25 …

九年级数学浙教版上册期末复习一二次函数

期末复习一二次函数要求知识与方法认识二次函数的意义 ||，联合情境、联系实质画二次函数的图象 ||，会用描点法理解用公式求抛物线极点 ||，张口方向 ||，对称轴求二次函数的表达式：剖析实质问题||，待定系数法二次函数的性质 ||，充足利用图象运用求图象与坐标轴的交点的横坐标用图象法求一元二次方程的近似解利用二次函数解应用题；会成立二次函数模型并求解二次函数的观点例 1 以下函数不属于二次函数的是 ()A． y＝(x －1)(x ＋2)1B． y＝ (x＋ 1)22C． y＝ 2(x＋ 3)2－2x2 D ．y＝ 1－ 3x2反省：判断二次函数先化一般式||，再依据定义判断||，注意二次项系数 a≠ 0.二次函数的表达式例 2 (1) 一个二次函数的图象极点坐标为(2||，1)||，形状与抛物线y＝－ 2x2同样 ||，试写出这个函数分析式______________；(2) 如图 ||，直角坐标系中一条抛物线经过网格点 A 、 B、 C||，此中 B 点坐标为 (4||， 4)||，则该抛物线的关系式为__________；(3)二次函数与 x 轴的交点为 (2||， 0)和 (－ 6||， 0)||，且经过点 (3||，9)||，求这个函数的关系式 ______________．反省：利用待定系数法求二次函数分析式||，假如已知三点坐标能够利用一般式求解；若已知对称轴或极点坐标利用极点式求解比较简单；若已知与x 轴的两个交点利用交点式求解比较简单．二次函数的图象与几何变换例 3 (1)①已知 ||，二次函数y＝－ 2(x－1) 2＋5 的抛物线向左平移 2 个单位 ||，再向下平移1个单位后得到的抛物线的解析式是；②对于 x 轴对称的抛物线的分析式是；③对于原点O(0||， 0)对称的抛物线的分析式是__________________ ；(2)如图 ||，抛物线 y＝ ax2＋bx(a＜ 0)的图象与 x 轴交于 A 、O 两点 ||，极点为 B||，将该抛物线的图象绕原点O 旋转 180°后 ||，与 x 轴交于点C||，极点为 D||，若此时四边形 ABCD 恰好为矩形 ||，则 b 的值为 ______．反省： (1) 二次函数的图象与几何变换||，①利用极点的变化确立抛物线分析式的变化更简易 ||，②利用对于x 轴对称的点的坐标规律||，③利用对于原点对称的点的坐标规律．(2)二次函数图象的几何变换||，依据矩形的性质和等边三角形的判断与性质获取△ ABO是等边三角形是解题的难点．二次函数的图象1的图象：例 4(1) 给出以下命题及函数y＝x||， y＝ x2和 y＝x111①假如a>a>a2||，那么 0<a<1；② 假如 a2>a>a||，那么 a>1；③ 假如a>a2>a||，那么－ 1<a<0；21④假如 a> >a 时 ||，那么 a<－ 1.a则正确的命题是________．(2)已知二次函数 y＝－ x2＋ 2x＋3.①求函数图象的极点坐标||，并画出这个函数的图象；②依据图象 ||，直接写出：a．当函数值y 为正数时 ||，自变量x 的取值范围；b．当－ 2＜x＜ 2 时 ||，函数值y 的取值范围．反省： (1)依据二次函数与不等式组的关系||，求出两交点的坐标||，并正确识图是解题的重点．(2)解题的重点是确立对称轴及极点坐标并作出图象．二次函数的性质例 5 (1) 对于抛物线y＝－ (x＋ 1)2＋ 3||，以下结论：① 抛物线的张口向下；② 对称轴为直线 x＝ 1；③极点坐标为 (－ 1||， 3)；④ x＞ 1 时 ||， y 随 x 的增大而减小．此中正确结论的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4(2)抛物线 y＝ax2＋ bx＋ c 上部分点的横坐标 x、纵坐标 y 的对应值以下表 ||，则以下说法中错误的选项是 ()x－ 4－ 3－ 2－ 101y－37－ 21－ 9－ 133A．当 x＞1 时 y 随 x 的增大而增大1B．抛物线的对称轴为 x＝2C．当 x＝ 2 时 y＝－ 1D ．方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 的一个负数解x1知足－ 1＜ x1＜ 012－ 3 与 y212＋ 1交于点 A(1|| ， 3)||，过点 A 作 x 轴的平行线 ||，分别交两条抛物线于点B||，C.则以下结论：①不论 x 取何值 ||，y2的值老是正数；2② a＝；③当 x＝0 时 ||， y)3－ y ＝6；④ AB ＋ AC ＝10.此中结论正确的选项是 (A．①②④B．① ③④C．②③④D．①②③④反省：(1) 主要利用了抛物线的张口方向、对称轴、极点坐标 ||，以及二次函数的增减性．(2)认真剖析图表数据 ||，判断出抛物线的对称轴是解题的重点. (3)依据题意利用数形联合进行解答是解答本题的重点||，同时要熟习二次函数图象上点的坐标特点．二次函数的图象与系数例 6 (1) 二次函数y＝ ax2＋ bx＋c(a ≠的0)图象以下图||，以下说法正确的个数是()① a＞ 0；② b＞0；③ c＜0；④ b2－4ac＞0.A．1B． 2C．3D． 4(2) 如图 ||，在边长为1 的正方形ABCD 中 ||，点 A 的坐标为 (1||，1)||，AD ∥x 轴 ||，动点 P 沿 B→ A→ D→ C→B运动 ||，以点 P 为极点的抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c(a ≠交0) x 轴于 M 、N 两点(点 M 在点 N 的左边 )||，当点 P 运动时 ||，该抛物线随之平移．若点M 的横坐标的最小值为－ 1||，则点 N 的横坐标的最大值为________．反省： (1)会判断 a||， b||，c||，的符号．(2)充足利用了数形联合的方法||，睁开议论 ||，加以解决．二次函数的图象与几何例 7如图||，抛物线y＝12x2－32x－ 2 与 x 轴交于 A、 B 两点 (点 A 在点 B 的左边 )||，与 y轴交于点C||， M 是直线 BC 下方的抛物线上一动点．(1) 求 A 、 B、 C 三点的坐标；(2) 连接 MO 、 MC||，并把△ MOC 沿 CO 翻折 ||，获取四边形MOM′C||，那么能否存在点M||，使四边形MOM′C为菱形？若存在||，求出此时点M 的坐标；若不存在||，说明原因；(3)当点 M 运动到什么地点时 ||，四边形 ABMC 的面积最大 ||，并求出此时 M 点的坐标和四边形 ABMC 的最大面积．反省：重点是数形联合的数学思想方法的应用||， (2)题中 ||，第一依据菱形的性质确立点M 的纵坐标是解题的重点所在||，当所求图形不规则时||，往常要将其变换为其余规则图形面积的和差关系来求解．二次函数的应用例 8为知足市场需求||，某商场在五月初五“端午节”到临前夜||，购进一种品牌粽子||，每盒进价是40 元．商场规定每盒售价不得少于45 元．依据过去销售经验发现：当售价定为每盒 45 元时 ||，每日能够卖出700 盒 ||，每盒售价每提升 1 元 ||，每日要少卖出20 盒．(1)试求出每日的销售量 y(盒) 与每盒售价 x(元 )之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时 ||，每日销售的收益 P(元)最大？最大收益是多少？(3) 为稳固物价 ||，相关管理部门限制：这类粽子的每盒售价不得高于58 元．假如商场想要每日获取不低于6000 元的收益 ||，那么商场每日起码销售粽子多少盒？反省：主要利用了收益＝ 1 盒粽子所获取的收益×销售量||，求函数的最值时||，注意自变量的取值范围．1． (新疆中考 )对于二次函数y＝ (x－ 1)2＋ 2 的图象 ||，以下说法正确的选项是 ( )A．张口向下B．对称轴是x＝－ 1C．极点坐标是(1||， 2) D ．与 x 轴有两个交点2．把抛物线y＝ x2＋ bx＋ c 的图象先向右平移 3 个单位 ||，再向下平移 3 个单位 ||，所得图象的函数分析式为y＝ (x－ 1)2－ 4||，则 b||， c 的值为 ( )A． b＝ 2||， c＝－ 3B．b＝ 4||， c＝ 3C． b＝－ 6||， c＝ 8D． b＝ 4||，c＝－ 73． (台州中考 )设二次函数y＝ (x－ 3)2－ 4 图象的对称轴为直线l.若点 M 在直线 l 上||，则点 M 的坐标可能是 ( )A． (1||， 0)B． (3||， 0)C． (－ 3||， 0)D． (0||，－ 4)4．(金华中考 )如图是二次函数y＝－ x2＋ 2x＋ 4 的图象 ||，使 y≤1成立的 x 的取值范围是( )第 4题图A．－ 1≤ x≤3B． x≤－ 1C． x≥1D ． x≤－ 1 或 x≥35． (杭州中考 )设直线 x＝ 1 是函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a||， b||， c 是实数 ||，且 a＜ 0)的图象的对称轴 ||， ( )A．若 m＞ 1||，则 (m－1)a＋b＞ 0B．若 m＞ 1||，则 (m－1)a＋b＜ 0C．若 m＜1||，则 (m－ 1)a＋ b＞ 0D ．若 m＜ 1||，则 (m－ 1)a＋ b＜ 06． (巴中中考 )已知二次函数y＝ ax2＋ bx＋c(a ≠的0)图象如图 ||，对称轴是直线x＝－ 1||，以下结论：第 6题图①abc＜ 0；② 2a＋ b＝ 0；③ a－ b＋c＞ 0；④4a－ 2b＋ c＜0.此中正确的选项是 ()A．①②B．只有①C．③④D．①④7．如图 ||，老师出示了小黑板上的题后||，小华说：“过点 (3||， 0)．”小彬说：“过点 (4||，3)．”小明说：“a＝ 1. ”小颖说：“抛物线被 x 轴截得的线段长为 2. ”你以为四个人的说法中||，正确的有 ( )第 7题图A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个8．(临沂中考 )定义：给定对于 x 的函数 y||，对于该函数图象上随意两点112 (x ||，y)||，(x ||，y2)||，当 x1＜x2时 ||，都有 y1＜ y2||，称该函数为增函数 ||，依据以上定义 ||，能够判断下边所给的函数中 ||，是增函数的有 ________(填上全部正确答案的序号 )．①y＝ 2x；② y＝－ x＋ 1；③ y＝ x2(x＞ 0)；④ y＝－1 x.9.如图 ||，已知二次函数12＋ bx＋ c(a ≠与0)一次函数 y2y ＝ ax＝ kx ＋ m(k ≠ 0)的图象订交于点A( － 2||，4)||， B(8||， 2)(以下图 )||，则能使y1>y 2成立的 x 的取值范围是 ____________．第9题图10． (包头中考 )如图 ||，在平面直角坐标系中||，已知抛物线y＝ ax2＋ bx－ 2(a ≠与0) x 轴交于 A(1|| ， 0)、 B(3||， 0)两点 ||，与 y 轴交于点 C||，其极点为点 D||，点 E 的坐标为 (0||，－ 1)||，该抛物线与 BE 交于另一点 F||，连接 BC.(1)求该抛物线的分析式 ||，并求出极点 D 的坐标；(2) 在 x 轴上方的抛物线上||，能否存在点P||，使得∠PBF 被 BA 均分？若存在 ||，求出点P 的坐标；若不存在||，请说明原因．第10题图11．( 桂林中考 )如图 ||，已知张口向下的抛物线12－2ax＋ 1过点 A(m|| ，1)||，与 y 轴y ＝ ax交于点 C||，极点为 B||，将抛物线y1绕点 C 旋转 180°后获取抛物线y2||，点 A||， B 的对应点分别为点 D||， E.第 11题图(1)直接写出点 A||， C||， D 的坐标；(2)当四边形 ABDE 是矩形时 ||，求 a 的值及抛物线 y2的分析式；12． (南京中考 )某公司生产并销售某种产品||，假定销售量与产量相等||，如图中的折线ABD|| ，线段 CD 分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元 )||，销售价y2( 单位：元 )与产量x(单位： kg) 之间的函数关系．(1)请解说图中点 D 的横坐标、纵坐标的实质意义；(2)求线段 AB 所表示的 y1与 x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时 ||，获取的收益最大？最大收益是多少？第12题图13． (温州中考 )如图 ||，过抛物线y＝14x2－ 2x 上一点 A 作 x 轴的平行线 ||，交抛物线于另一点 B||，交 y 轴于点 C||，已知点 A 的横坐标为－ 2.(1)求抛物线的对称轴和点 B 的坐标；(2)在 AB 上任取一点 P||，连接 OP||，作点 C 对于直线 OP 的对称点 D ；①连接 BD||，求 BD 的最小值；②当点 D 落在抛物线的对称轴上 ||，且在 x 轴上方时 ||，求直线 PD 的函数表达式．第13题图期末复习一二次函数【例题精析】例 1 C221222例 2(1)y ＝－ 2(x－2)＋ 1 或 y＝2(x － 2) ＋ 1(2)y ＝－6x ＋3x＋4 (3)y ＝ x＋ 4x－12例 3(1) ① y＝－ 2(x＋ 1)2＋ 4；②y＝ 2(x－ 1)2－ 5；③ y＝ 2(x＋ 1)2－ 5；(2)如图 ||，连接 AB 、 OB||，过点 B 作 BE ⊥ x 轴于点 E||，要使平行四边形ABCD 是矩形 ||，一定知足 AC ＝BD||，∴ OA ＝ OB.∵点 B 是抛物线的极点 ||，∴ AB ＝ OB||，∴△ ABO 是1b b等边三角形 ||，∠BAE ＝ 60°||，AE ＝2OA. ∵ y＝ ax2＋ bx＝ ax x＋a＝ 0||，y＝ ax2＋ bx＝ a x＋2a2b2b2－b2b b BE4a－4a||，∴ A －a， 0 ||， B－2a，－4a ||，∴ tan60°＝AE＝b＝ 3||，解得 b＝－ 2 3.2a例 4(1)易求 x＝ 1 时 ||，三个函数的函数值都是1||，所以 ||，交点坐标为 (1||， 1)||，依据11对称性 ||， y＝ x 和 y＝x在第三象限的交点坐标为 (－ 1||，－1)．①假如a>a>a2||，那么 0<a<1||，11故①正确；②假如 a2>a>a||，那么 a>1 或－ 1<a<0||，故②错误；③假如a>a2>a||，那么 a 值不21存在 ||，故③错误；④假如 a >a>a 时 ||，那么 a<－ 1||，故④正确．综上所述 ||，正确的命题是①④ ；(2)① y＝－ x2＋ 2x＋ 3＝－ (x2－ 2x＋ 1－4) ＝－ (x－ 1)2＋ 4||，对称轴为直线x＝ 1||，顶点坐标为 (1||， 4)．抛物线与x 轴交于 (－ 1||， 0)和 (3||， 0)||，与 y 轴交于点 (0||， 3)||，图象为：② a.当 y 为正数时 ||，－ 1<x<3 ；b．当－ 2<x<2 时 ||，－ 5<y ≤ 4.例5 (1)C (2)A (3)A例 6 (1) B (2)4例 7 (1) 令 y＝0||，则12x2－32x－ 2＝ 0||，解得： x1＝ 4||，x2＝－ 1||，∵点 A 在点 B 的左边||，∴ A( － 1||， 0)||， B(4||， 0)||，令 x＝0||，则 y＝－ 2||，∴ C(0||，－ 2) ；(2) 存在点 M|| ，使四边形 MOM′C是菱形 ||，如图 1 所示：设 M 点坐标为123x， x － x－ 222||，若四边形 MOM′C是菱形 ||，则 MM′垂直均分 OC||，∵ OC＝ 2||，∴ M 点的纵坐标为－ 1||，133＋ 173－ 17∴2x2－2x－ 2＝－ 1||，解得： x1＝2||， x2＝2(不合题意 ||，舍去 )||，∴ M 点的坐标为3＋17，－1 ； 2(3) 过点 M 作 y 轴的平行线与BC 交于点 Q||，与 OB 交于点 H||，连接 CM 、BM 、AC||，1如图 2 所示．设直线BC 的分析式为 y ＝ kx ＋b||，将 B(4||， 0)||， C(0||，－ 2) 代入得： k ＝2||，11 2 －3 1b ＝－ 2||，∴直线 BC 的分析式为y ＝ 2x － 2||，∴可设 M x ， 2x 2x － 2 ||， Q x ， 2x － 2 ||， 1 1 311 ∴ MQ ＝2 x － 2－ 2x 2－ 2x － 2 ＝－ 2x 2＋ 2x||，∴ S 四边形ABMC ＝ S △ ABC ＋ S △ CMQ ＋ S △BQM ＝2AB ·OC ＋ 1QM · OH ＋ 1QM · HB ＝ 1× 5× 2＋ 1QM ·(OH ＋ HB) ＝ 5＋ 1QM · OB ＝5＋ 12 2 2 22 2－12x 2＋ 2x ·4＝－ x 2＋ 4x ＋ 5＝－ (x － 2)2＋ 9||，∴当 x ＝ 2 时 ||，四边形 ABMC 的面积最大 ||，且最大面积为9||，当 x ＝2 时 ||， y ＝－ 3||，∴当 M 点的坐标为 (2||，－ 3)时 ||，四边形 A BMC的面积最大 ||，且最大面积为 9.例 8 (1) 由题意得 ||， y ＝700－ 20(x － 45)＝－ 20x ＋ 1600； (2)P ＝ (x － 40)(－ 20x ＋ 1600)＝－ 20x 2 ＋ 2400x － 64000＝－ 20(x － 60)2＋ 8000||，∵ x ≥ 45||， a ＝－ 20<0||，∴当x ＝ 60时 ||，P 最大值＝ 8000 元||，即当每盒售价定为 60 元时 ||，每日销售的收益 P(元 )最大 ||，最大收益是 8000 元；(3) 由题意 ||，得－ 20(x － 60)2＋ 8000＝6000||，解得 x 1 2∵＝ 50||，x ＝ 70.抛物线 P ＝－ 20(x － 60)2＋8000 的张口向下 ||，∴当 50 ≤ x ≤ 时70||，每日销售粽子的收益不低于 6000 元．又 ∵ x ≤ 58||，∴ 50≤ x ≤ 58.∵在 y ＝－ 20x ＋ 1600 中 ||，k ＝－ 20<0||，∴ y 随x 的增大而减小 ||，∴当 x ＝ 58 时 ||， y 最小值＝－ 20 ×58＋ 1600＝440||，即商场每日起码销售粽子 440 盒．【校内练习】1－ 5.CBBDC 6－ 7.DC8.x ＜－ 2 或 x ＞ 810.(1) ∵ 抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx － 2(a ≠ 0)与 x 轴交于 A(1|| ， 0)、 B(3|| ， 0)两点 ||， ∴2a ＋b － 2＝0，a ＝－ 3，y ＝－ 2 28 2 22 9a ＋ 3b － 2＝ 0，∴8∴抛物线分析式为3x ＋ 3x － 2＝－ 3(x － 2) ＋ 3||，∴b ＝3，2D(2|| ， 3)；第10题图(2) 存在点 P||，使 ∠PBF 被 BA 均分 ||，如图 ||，∴∠ PBO ＝ ∠ EBO|| ，∵ E(0||，－ 1)||，∴在 y 轴上取一点 N(0|| ，1)||，∵ B(3||， 0)||，∴直线 BN 的分析式为 y ＝－13x ＋ 1① ||，∵点 P 在3y ＝－ 2 28x ＝ 2，x ＝ 3，3 1抛物线 3x ＋ 3x － 2②上 ||，联立 ①② 得 ||，1 或y ＝ 0(舍 )||，∴ P(2||， 2)||，即：y ＝ 2在 x 轴上方的抛物线上 ||，存在点 P||，使得 ∠ PBF 被 BA 均分 ||， P(3||， 1)．2 211.(1) 由题意得：将 A(m|| ， 1)代入 y 1＝ ax 2－2ax ＋ 1 得： am 2－2am ＋ 1＝ 1||，解得： m 1＝2||，m ＝ 0(舍 )||，∴ A(2|| ，1)||，C(0||，1)||，D( － 2||， 1)．(2)由 (1)知： B(1||，1－ a)||，过点 B2作 BM ⊥ y 轴 ||，若四边形 ABDE 为矩形 ||，则 BC ＝CD||，∴ BM 2＋ CM 2＝ BC 2＝ CD 2||，∴ 12＋ (－ a)2＝ 22||，∴ a ＝± 3.∵ y 1 抛物线张口向下 ||，∴ a ＝－ 3||，∵ y 2 由 y 1 绕点 C 旋转 180°获取 ||，则极点 E(－ 1||，1－ 3)||，∴设 y 22＋ 1－ 3||，∵ a ＝ 3||，∴ y 2 2＋ 2 3 ＝ a(x ＋ 1) ＝ 3xx ＋ 1.12． (1)点 D 的横坐标、纵坐标的实质意义：当产量为130kg 时||，该产品每千克生产成本与销售价相等 ||，都为 42 元； (2) 设线段 AB 所表示的 y 1与 x11之间的函数关系式为 y ＝ k xb ＝ 60，k ＝－ 0.2，＋ b 11111 1 的图象过点 (0||，60)与 (90||，42)||，∴解得||，∵ y＝ kx ＋ b90k ＋b ＝ 42，b ＝ 60，1 11∴这个一次函数的表达式为y 12与 x 之间的函数关系式为y 2＝－ 0.2x ＋ 60(0 ≤ x ≤ 90)； (3)设 yb ＝ 120，＝ k 2x ＋ b(0||， 120) 与 (130||， 42)． ∴ 22 222 的图象过点解得x ＋ b ||，∵ y＝ k130k ＋b＝42，22k 2＝－ 0.6，y 2＝－ 0.6x ＋ 120(0 ≤ x ≤ 130)||，设产量为 xkg 时||，获b ＝ 120， ∴这个一次函数的表达式为2得的收益为 w 元 ||，当 0≤ x ≤ 时90||，w ＝x[( － 0.6x ＋ 120)－ (－ 0.2x ＋ 60)] ＝－ 0.4(x －75)2＋ 2250||，∴当 x ＝ 75 时 ||， w 的值最大 ||，最大值为 2250；当 90 ≤ x ≤ 130时||， w ＝ x[( － 0.6x ＋ 120)－42]＝－ 0.6(x － 65)2＋ 2535||，当 x ＝ 90 时 ||，w ＝－ 0.6(90－ 65)2＋ 2535＝ 2160||，由－ 0.6＜ 0 知||，当 x ＞ 65 时 ||， w 随 x 的增大而减小 ||，∴ 90≤x ≤ 130 时 ||， w ≤ 2160||，所以当该产品产量为75kg 时 ||，获取的收益最大 ||，最大收益为 2250 元．－ 213.(1) 由题意 A( － 2||，5)||，对称轴为直线 x ＝－＝ 4||，∵ A 、B 对于对称轴对称 ||，∴12×4B(10|| ，5)． (2)① 如图 1中 ||，由题意点 D 在以 O 为圆心 ||，OC 为半径的圆上 ||，∴当 O 、D 、B 共线时 ||， BD 的最小值＝ OB － OD ＝ 52＋ 102－ 5＝ 5 5－ 5.第13题图②如图 2中||，当点 D 在对称轴上时 ||，在 Rt△ ODE 中 ||，OD＝ OC＝ 5||，OE＝ 4||，∴ DE ＝OD 2－ OE2＝ 52－ 42＝ 3||，∴点 D 的坐标为 (4||， 3)．设 PC＝ PD＝ x||，在 Rt△ PDK 中 ||，55425.x2＝ (4－ x)2＋22||，∴ x＝2||，∴ P2， 5 ||，∴直线 PD 的分析式为y＝－3x＋ 3。

新浙教版数学九年级上册期末复习专题之二次函数

课题期末复习专题1例题1：如图，抛物线y=ax 2+2与y 轴交于点A ，抛物线上的一点P 在第四象限，连接AP 与x 轴交于点C ，AC CP =12 ，且S △AOC =1，过点P 作PB ⊥y 轴于点B ．（1）求BP 的长；（2）求抛物线与x 轴的交点坐标．例题2：如图，过抛物线y=14x 2﹣2x 上一点A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点B ，交y 轴于点C ，已知点A 的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B 的坐标；（2）在AB 上任取一点P ，连结OP ，作点C 关于直线OP 的对称点D ；①连结BD ，求BD 的最小值；②当点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方时，求直线PD 的函数表达式．例题3：如图, 在平面直角坐标系中,点A ，B 分别是y 轴正半轴, x 轴正半轴上两动点, 2OA k =，、23OB k =+，以AO ，BO 为邻边构造矩形AOBC ，抛物线2334y x x k =-++交y 轴于点D ，P 为顶点，PM ⊥x 轴于点M ．（1）求OD ，PM 的长(结果均用含k 的代数式表示)．（2）当PM BM =时,求该抛物线的表达式．（3）在点A 在整个运动过程中．①若存在ADP ∆是等腰三角形,请求出所有满足条件的k 的值．②当点A 关于直线DP 的对称点A '恰好落在抛物线2334y x x k =-++的图象上时，请直接写出k 的值．（第3题）yxOA BCDPM例题4：某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6 元.为按时完成任务，该企业招收了新工人.设新工人李明第X天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图形来刻画.若李明第x天创造的利润为w元，求w关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润时多少元？（利润=出厂价－成本）例题5：面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点D.(1)如图1，若该抛物线经过原点O，且a=.①求点D的坐标及该抛物线的解析式.②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由.(2)如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD 互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围.。

第1章二次函数复习二浙教版数学九年级上册

(1)当m＝－1时，求a和b的值；
(2)若二次函数的图象经过点A(n，3)且点A不在坐标轴上，当－2<m<－1
时，求n的取值范围；
(3)求证：b2＋4a＝0.
例题探究
解：（1）当 m＝－1 时，图象过点(1，0)和(－3，0)，
0＝a＋b＋3，
a＝－1，
∴
解得
0＝9a－3b＋3，
b＝－2.
（2）∵函数图象过点(－m，0)和(3m，0)，
∴函数图象的对称轴为直线x＝m.
易知图象过点(0，3)．
又∵图象过点(n，3)，∴根据图象的对称性得n＝2m.
∵－2<m<－1，∴－4<n<－2.
例题探究
（3）证明：∵图象过点(－m，0)和(3m，0)，
b
∴根据图象的对称性得－＝m.
2a
∴b＝－2am，顶点坐标为(m，am 2＋bm＋3)．
将点 ( － m ， 0) 和 (3m ， 0) 的坐标分别代入表达式，得
y
O
y=ax2+bx+c
x
新知学习
【2】一元二次方程与二次函数的关系
（1）一元二次方程
ax2+bx+c＝0
y
(a≠0)的解
y=ax2+bx+c
就是二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x
轴交点的横坐标.
（2）若一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的解为
x1和x2，则二次函数 y=ax2+bx+c的表达式可
则与x轴的交点为(－1,0)和(4,0)
与y轴的交点为(0, －4)

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【浙教版】2022年九年级（上）数学期末复习核心考点专项训练二次函数的应用八大考点【考点1】拱桥问题【例1】如图，隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成，矩形的长AB 为4m ，宽BC 为3m ，以DC 所在的直线为x 轴，线段CD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．y 轴是抛物线的对称轴，最高点E 到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．【变式1.1】如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，当水面宽增加(2√6−4)m 时，则水面应下降的高度是（）A ．2mB ．1mC ．√6mD ．(√6−2)m【变式1.2】我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米【变式1.3】．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OC 为8m ，宽OA 为2m ，隧道最高点P 位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：(1)求抛物线的解析式；(2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？(3)如果隧道内设双行道，两辆同样的上述货车相对而行，是否可以同时在隧道内顺利通过，为什么？【考点2】投球问题【例2】．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：ℎ=v0t−12gt2（ℎ是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上拋出．(1)球抛出后经多少秒回到起点？(2)几秒后球离起点的高度达到1.8m【变式2.1】如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=−112x2+23x+53，则该同学此次投掷实心球的成绩是（）A．2m B．6m C．8m D．10m【变式2.2】一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（）A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m(3)球离起点的高度能达到6m吗？请说明理由．【变式2.3】．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表：(1)根据表中数据预测足球落地时，s= m；(2)求h关于s的函数解析式；(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；①若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．【考点3】喷水问题【例3】如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为ℎ（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．(1)若ℎ=1.5，EF=0.5m；①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；①求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；①要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；(2)若EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出ℎ的最小值．【变式3.1】如图，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为20cm，如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s=√4ℎ(20−ℎ)．如果想通过垫高水桶，使射出水的最大射程增加10cm，则小孔离水面的距离是（）A．14cm B．15cm C．16cm D．18cm【变式3.2】同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研．洗究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图①位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a＝﹣118手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）cm．A．12√3B．12√2C．6√3D．6√2【变式3.3】如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB,AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地．(2)记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1−y2的最大值．(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？【考点4】销售问题【例4】某超市计划共进货50件饮料，其中A款饮料成本为每件20元；当B款饮料进货10件时，成本为每件48元，且每多进货1件，平均每件B款饮料成本降低2元．为保证饮料的多样性，规定A款饮料必须进货至少20件，设进货B款饮料x(x≥10)件．(1)根据信息填表：(2)设总成本为W元，写出W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)为了增加盈利，降低进货成本，该超市如何进货才能使得进货总成本最低，最低成本是多少元．【变式4.1】．某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（）A．(50−40+x)(500−x)=8000B．(40+x)(500−10x)=8000C．(50−40+x)(500−10x)=8000D．(50−x)(500−10x)=8000【变式4.2】某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元【变式4.3】戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒(1)若每盒售价降低x元，则日销量可表示为_______盒，每盒口罩的利润为______元．(2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．【考点5】面积问题【例5】为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，搭围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为AE）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在BC边上，两区通道在CD边上，出口通道在EF边上，通道宽均为1米．(1)若设AB=x，则BF可表示为______；(2)问所围成矩形ABFE的面积能否达到96平方米？如果能，求出AB的长；如果不能，说明理由；(3)检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，问现有的33米隔离带，能否围出147平方米的面积？如果能，请说明理由；如果不能，在搭围方法不变的情况下，则至少需要增加多少米隔离带，恰好能围成147平方米？【变式5.1】如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P在AC上，点NM分别在BC，AB上，记PM=x，PN=y，图中阴影部分的面积为S，若NP在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．反比例函数关系，一次函数关系B．二次函数关系，一次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．一次函数关系，二次函数关系【变式5.2】．如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（）A．最小值247B．最小值266C．最大值247D．最大值266【变式5.3】．如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成．已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若这个苗圃园的面积为S平方米，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大面积．【考点6】动态几何问题【例6】如图，在①ABC中，①B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，请求出①PBQ的面积S与出发时间t的函数解析式及t的取值范围．【变式6.1】如图1，等边①ABC中，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且①APD＝60°，PD交AB 于点D．设BP＝x，BD＝y，如图2是y关于x的函数图象，则等边①ABC的边长为（）A．2B．2√3C．4D．3√3【变式6.2】如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，连结EF，BC=6，点H是EF 上一动点，设FH的长为x，GH与BH长度的和为y．图2是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为（）A．(2,3+√13)B．(3,5+√13)C．(3,3√2+√10)D．(4,5+√13)【变式6.3】．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3．点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A重合时，将线段AP绕点P旋转使PA′∥AC（点A′在点P右侧），过点A′作A′M⊥AB交射线AB于点M，设点P运动的时间为t（秒）(t>0)．(1)AM的长为___________（用含t的代数式表示）(2)当A′落在∠ABC的角平分线上时，求此时t的值．(3)设△ABC与△PA′M重叠部分图形的面积为S（平方单位），求S关于t的函数关系式．并求当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？【考点7】增长率问题【变式7.1】据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝6(1+2x)B．y＝6(1﹣x)2C．y＝6(1+x)2D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)2【变式7.2】你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=1110B．x+2x=1110C．（1+x）2=109D．1+2x=109【变式7.3】小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（）A．y=500(x+1)2B．y=x2+500C．y=x2+500x D．y=x2+5x【考点8】其他问题【例8】．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（）A．4B．5C．7D．9【变式8.1】．小明发现鸡蛋的形状可以近似用抛物线与圆来刻画．于是他画了两只鸡蛋的示意图（如图，单位：cm），其中AB 和A'B'上方为两条开口大小相同的抛物线，下方为两个圆的一部分．若第一个鸡蛋的高度CD 为8.4 cm，则第二个鸡蛋的高度C'D'为（）A．7.29 cm B．7.34 cm C．7.39 cm D．7.44 cm【变式8.2】汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）的关系大致如下：S 甲=1100x 2+110，S 乙=1200x 2+120x ．由此可以推测（） A ．甲车超速 B ．乙车超速 C ．两车都超速D ．两车都未超速【变式8.3】如图，在坡比为1:5的斜坡上架设某种电缆，电缆两端挂起时下垂部分可近似看成抛物线y =1100x 2的形状已知距离左侧塔柱水平距离15米处，电缆最低点到坡面的铅锤高度为594米，则左侧塔柱电缆悬挂点A 到塔柱底部C 点的距离为（）A ．17米B ．714米C ．20米D ．814米【变式8.4】若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上①P 、Q 关于原点对称，则称点对(P,Q)是函数y 的一个“友好点对”（点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点对”）．已知函数y ={2x 2+4x +1, x ≤012x ,x >0 ，则函数y 的“友好点对”有（）个 A ．0B ．1C ．2D ．3。