江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学高中数学教案：《2.4.2抛物线的几何性质》(苏教版选修2-1)
教教案
科目 :数学主备人：备课日期：
课题第1课时计划上课日期：知识与技术掌握抛物线的几何性质，能应用抛物线的几何性质解决问题．教课目的
过程与方法
感情态度
与价值观
教课重难点抛物线的几何性质．
重点点拨
教课流程内容板书
加工润饰
一、复习回首
抛物线的标准方程有哪些？
二、自主研究
研究 1类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有如何的几何性质？
依据抛物线 y 2 2 px( p 0) 的图象研究抛物线的几何性质．
1．范围．
当 x 的值时，y也，这说明此抛物线向右上方和右下方无穷
延长．
2．对称性．
从图象上看：抛物线对于轴对称；
从方程上看：把y 换成y 方程不变，图象对于轴对称．
3．极点．
抛物线和它对称轴的交点叫抛物线的极点，即坐标原点．
4．离心率．
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率．由定
义知，抛物线 y2＝2px（p>0）的离心率为 e＝1．
5．抛物线的几何性质．
y2 = 2px 方程
（ p>0）
y
l
图形
O F 张口方向
焦点
准线
范围
极点
对称轴
离心率
三、例题评析
例 1 已知抛物线对于求它的标准方程．
y2= -2px x2 = 2py x2= -2py
（ p>0）（ p>0）（ p>0）
y y y
l
F
l
xF O x O x O x
l F
x 轴对称，它的极点在座标原点，而且经过点M(2, 2 2)，
变式极点在座标原点，对称轴是坐标轴，而且经过点M (2, 2 2) 的抛物线有几条？求出它们的标准方程．
例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知
灯口圆的直径为 60cm，灯深 40cm，求抛物线的标准方程和焦点地点．
?
四、讲堂练习
1．y 1
x2的焦点坐标是．4
2．求合适以下条件的抛物线的方程：
（1）极点在原点，焦点为（0，－ 5）．
（2）准线方程为 x 3 ，极点为原点．
（3）对称轴为 x轴，极点在原点，且过点（－3，4）．
3．极点在原点，对称轴为 y 轴，且焦点在直线x y 20 上的抛物线的标准方程是，焦点坐标是，准线方程是．
4 ．若 P（ x0， y0）是抛物线 y2＝－ 32x 上一点， F为抛物线的焦点，则 PF ＝．
5 ．已知圆x2y26x 7 0 与抛物线 y 22px ( p0) 的准线相切，则p =．
五、回首小结
y
1．抛物线 y2＝ 2px 的基本元素．
基本点：极点，焦点；
基本线：准线，对称轴；x
基本量： P（决定抛物线张口大小）．
2．抛物线的几何性质．
（1）范围：抛物线只位于半个坐标平面内，固然它也能够无穷延长，但没有渐近
线；
（2）对称性：抛物线只有一条对称轴，没有对称中
心．（3）极点：抛物线只有一个极点，一个焦点，一条准
线；（4）离心率：抛物线的离心率 e 为 1．
教课心得。
高二数学 教案 2.4.2 抛物线及其几何性质_苏教版_选修2-1
2.4.2 抛物线及其几何性质(2) 编写：陈为霞 审核：黄爱华一、知识要点1.了解抛物线过焦点弦的简单性质；2.在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。
二、典型例题例1.⑴设00(,)p x y 是抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为焦点，求PF 的长；⑵已知1122(,),(,)A x y B x y 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线的两个交点，求证：12AB x x p =++。
例2.已知定点(7,2)Q ，抛物线22y x =上的动点P 到焦点的距离为d ，求d PQ +的最小值，并确定取最小值时P 点的坐标。
例3.设过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为12,y y ，求证：212y y p =-。
例4.已知直线2y x =-为抛物线22y x =相交于点A B 、，求证：OA OB ⊥。
三、巩固练习1.已知动圆C 的圆心在抛物线28y x =上，且与抛物线的准线相切，求证：圆C 必经过定点，并求出这个定点。
2.若直线l 过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A B 、两点，且线段AB 中点的横坐标是2，求线段AB 的长。
3.已知抛物线的焦点在y 轴上，点(,3)M m -是抛物线上的一点，M 到焦点的距离是5，求m 的值及抛物线的标准方程、准线方程。
四、小结五、课后作业1.焦点为(0,1)-的抛物线的标准方程是 ；2.顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线上有一点(1,)P m -到焦点的距离为5，则m = ；3.已知抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是 ；4.已知抛物线24x y =的弦AB 垂直于y 轴，若AB =则焦点到直线AB 的距离为 ；5.斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于A B 、，求线段AB 的长。
6.已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 是抛物线22(0)y px p =>上三点，且它们到焦点F 的距离,,AF BF CF 成等差数列，求证：2222132y y y =+。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.4.2 抛物线的几何性质》9
抛物线复习教学设计一、教学目标分析1、知识与技能:通过根底知识梳理理清思路题组训练进行复习通过复习掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质会求抛物线的标准方程能解决直线与抛物线位置关系等问题。
通过问题解决的过程中培养学生观察问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
2、过程与方法:通过经历和体验问题解决的过程让学生体会过程的重要性并在解决问题的过程中学会自主学习、学会探究问题本课中学生通过应用抛物线定义解决问题、探究抛物线中焦点弦的有关问题去感受和理解分类讨论、化归与转化、函数与方程、数形结合等根本数学思想方法。
3、情感态度与价值观注重教学过程中师生间、生生间情感交流鼓励学生大胆尝试、发现问题、解决问题培养他们积极进取的探索精神增强解决问题的信心、树立学好数学的决心并获得成功的积极情感体验。
同时通过学习交流和反思活动让学生感受数学美的魅力共享同伴成长之乐趣。
二、教学重难点分析1、教学重点抛物线的定义、标准方程和几何性质。
2、教学难点应用抛物线定义和几何性质解决有关问题。
三、学情学法分析1、学生学习本课内容的根底本课是高三数学文第一轮复习抛物线第1课时设计难度不大。
学生在学习新课时已经初步掌握了抛物线的定义、几何图形、标准方程和几何性质、直线与抛物线位置关系等内容只是学生对知识点有所遗忘本课通过对根底知识点进行梳理设计题组训练进行复习对于大多数学生来说并不是太难。
2、学生学习本课内容的能力高三学生的自主学习能力较强好胜心、进取心强学习目的性明确具有一定的探究问题的意识与能力也熟悉分类讨论、数形结合、函数与方程等根本数学思想方法因此学生有能力通过本课复习进一步稳固抛物线定义、标准方程、几何性质并对问题进行延伸拓展和提高。
但同时由于个体认知水平、学习能力等方面的差异表现出不同的学习状态。
3、学法分析本课的教学设计通过根底知识梳理设计题组训练进行复习旨在搭设台阶降低坡度引导学生应用抛物线定义解决问题、探究抛物线中焦点弦的有关问题通过观察、分析、推理、运算来探究问题让学生在探究中学会学习、学会观察问题、分析问题和解决问题。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.4.2 抛物线的几何性质》
课题：抛物线的几何性质〔授课年级及课型：高二新授课〕1教材内容分析〔苏教版高中数学选修1-1第二章第四节〕本堂课是苏教版高中课程标准实验教科书选修1-1第二章圆锥曲线中的第章节的内容，是学生在学习了椭圆、双曲线的以及抛物线的定义之后对抛物线几何性质的探索与应用由于学生已经有了在椭圆、双曲线中探究其几何性质的探究根底和知识根底，因此，本节课可以主要通过类比椭圆、双曲线，探索研究抛物线的几何性质，培养和开展学生自主探究能力，提出和发现问题、分析和解决问题的能力2学情分析：本节课对抛物线几何性质的学习是学生在学习了椭圆、双曲线的概念以及几何性质的根底上，进一步对抛物线及其性质进行研究利用椭圆及双曲线几何性质中学生积累的探究经验，学生可以自行通过类比，明确抛物线需要探究的要素以及探究问题的方式，这是对本节课学习的有利因素抛物线作为一类特殊的圆锥曲线，其有处理的特殊方法和研究技巧，即利用到焦点和准线的距离相等，可以将焦半径或是焦点弦的计算转化为点到准线的距离，利用点的坐标进行表示，学生能否深刻理解抛物线的定义，发现和掌握这种处理方法是本节课教师需要着重引导的问题之一3教学目标〔1〕理解并掌握抛物线的简单几何性质，会根据性质处理简单问题；〔2〕能借助抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，从而解决有关焦半径、焦点弦的问题；〔3〕通过探究过程，培养学生分析、探究和解决问题的能力，进一步体会分类讨论、数形结合和转化的数学思想方法4教学重点与难点教学重点：探究抛物线的简单几何性质；教学难点：抛物线焦半径、焦点弦的计算；5教学方法与策略本节课采用启发式教学与探究式教学相结合，通过学生自主探究，培养和开展学生自主探究能力，提出和发现问题、分析和解决问题的能力，感受数学中研究问题中，例如：归纳、类比等思维方式，增强学生学好数学的自信6教学过程复习回忆，启发思考对于椭圆、双曲线我们研究了它们的哪些几何性质？是如何进行研究的？〔学生答复〕对称性、顶点、范围、离心率等所用的推理思想：图象、算术推理6.2以问题为导向，探究新知学生活动：探究抛物线的几何性质？（1）范围（2）对称性（3）顶点O（4）开口方向思考：结合图象，说说抛物线、、的几何性质？练习：抛物线的范围_______________,对称性__________,开口方向__________:抛物线的范围_______________,对称性__________,开口方向__________:6.3例题讲解，知识内化例1、求顶点在原点，焦点为F〔-4,0〕的抛物线方程〔学生答复〕解：设∵F〔-4,0〕∴∴练习：抛物线的准线为=-2，焦点坐标_________,焦点到准线的距离__________,标准方程__________例2、抛物线上有一点的横坐标为6，该点到焦点的距离为10，求顶点到准线的距离〔学生答复〕由抛物线定义知：∴∴小结：抛物线上的点到焦点的连线叫做抛物线的焦半径，在处理有关焦半径的问题时，我们根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转换为点到准线的距离对于抛物线，焦半径长。
高中数学_2.4.2 抛物线的几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
抛物线的几何性质教学设计1. 教学目标：(1)掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；(2)能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；（3）在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。
2. 过程与方法学会用类比的思想分析解决问题。
3. 情态与价值观学生通过和椭圆，双曲线和抛物线之间的简单几何性质类比，了解到事物之间的普遍联系性。
教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课教学方法：学导式，启发式教学过程设计：由抛物线y 2 =2px （p >0）有pyx 22=，又0>p 所以0≥x所以抛物线在y 轴的右侧。
当x 增大时， 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
所以y 的取值范围是R y ∈2．对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3.顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当时，因此抛物线的顶点就是坐标原点．4.离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知标准方程 范围 对称性顶点离心率y 2 = 2px （p >0） x ≥0 y ∈R x 轴(0,0)1y 2 = -2px （p >0） x ≤0 y ∈R x 2 = 2py （p >0） y ≥0 x ∈R y 轴x 2 = -2py （p >0）y ≤ 0 x ∈R由此及彼，本表格由学生独立完成，锻炼学生类比，独立自主的能力y3.三种圆锥曲 线的简单几 何性质比较学习新知识不忘老知识，比较着学习，总结归纳更容易让学生掌握本课内容。
4.经典例题例１：已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ()22,2-M ，求它的标准方程。
解:因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点()22,2-M 。
所以设方程为：y 2 = 2px （p >0），又因为点M 在抛物线上：()22222⨯=-p ，2=p 。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.4.2 抛物线的几何性质》0
抛物线的方程及其性质（1）
【教学目标】掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，以及它的简单几何性质．
【教学重点】能利用抛物线的定义、几何性质解决一些简单的数学问题．
【教学难点】抛物线标准方程的四种不同形式．
【教学过程】
一、知识梳理：
1．抛物线定义：平面内到一个定点F 和一条定直线（F ∉）的距离 的点的轨迹叫做抛物线；点F 叫做抛物线的 ，直线叫做抛物线的 ．
2．标准方程、焦点、准线、图形（其中0>p ，表示焦点F 到准线l 的距离） 标准方程 抛物线的图形 焦点坐标 准线方程 开口方向 焦半径 )0(22>=p px y
)0(22>-=p px y
)0(22>=p py x
)0(22>-=p py x
3．抛物线的几何性质：以)0(2>=p px y 为例：
（1）范围： ． （2）对称性： ． （3）顶点： ． （4）开口方向： ．
二、基础自测：
1．抛物线22＋＝0的焦点坐标是 ．
2．抛物线＝42的准线方程为 ．
3．已知抛物线2＝2，－2到焦点的距离为4，
则m 的值为________．
三、典型例题： 反思： 例1．根据下列条件求抛物线的标准方程．
（1）抛物线的焦点是双曲线162－92＝144的左顶点；
3．（2）过点到焦点的距离为6，则＝．
4．若点P到直线＝－1的距离比它到点0，3的距离小2，则点P的轨迹方程
是．。
江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学高中数学2.4.1抛物线的标准方程教案 苏教版选修2-1
五、小结
抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念．
六、课后作业
教学心得
三、讲解范例
例1已知抛物线标准方程，求它的焦点坐标和准线方程．
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
例2求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F（0，－3）
（2）经过点A（－3，2）
四、课堂练习
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．
（1）y2＝8x（2）x2＝4y（3）2y2＋3x＝0（4）
江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学高中数学教案：《2.4.1抛物线的标准方程》（苏教版选修2-1）
教学目标
知识与技能
1．掌握抛物线的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量；
2．掌握求抛物线的标准方程的基本方法；
过程与方法
情感态度
与价值观
教学重难点
能根据已知条件求抛物线的标准方程
教学流程\内容\板书
不同点：
（1）图形关于 轴对称时， 为一次项， 为二次项，方程右端为 、左端为 ；图形关于 轴对称时， 为二次项， 为一次项，方程右端为 ，左端为 ．
（2）开口方向在 轴（或轴）正向时，焦点在 轴（或 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在 轴（或 轴）负向时，焦点在 轴（或 轴）负半轴
时，方程右端取负号．
2．推导抛物线的标准方程：
如图所示，建立直角坐标系，设 （ ）,
那么焦点 的坐标为 ，准线 的方程为 ，
设抛物线上的点 ，则有
．
化简方程得 ．
方程 叫做抛物线的标准方程．
3．抛物线的标准方程：
图形
焦点
准线
标准方程
相同点：
高二数学 教案 2.4.2 抛物线的几何性质_苏教版_选修2-1 (3)
§2.4.2 抛物线的几何性质(1) 编写：陈为霞 审核：黄爱华一、知识要点1.抛物线的范围，对称性、顶点、开口方向等几何性质：2.通径：3.能根据抛物线的几何性质和通径的两个端点，可方便地画出反映抛物线基本特征的草图。
二、典型例题例1.画出下列抛物线的草图并写出焦点坐标、准线方程。
⑴2y x =-⑵28x y = ⑶2(0)y ax a =>例2.⑴求顶点在原点，焦点为(5,0)F 的抛物线的方程。
⑵已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程。
例3.汽车前灯的反光曲线与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm ，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm ，由抛物线的性质可知当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线，为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1mm)三、巩固练习1.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：⑴焦点为(0,5)-；⑵准线方程为3x =；⑶对称轴为坐标轴，且过点(3,4)-。
2.讨论抛物线22x y =的几何性质。
3.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，求水面的宽度。
四、小结五、课外作业1.抛物线216y x =-的顶点到准线的距离是 ；2.抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ；3.抛物线212y x =的内接正三角形，一个顶点恰好是抛物线顶点，则三角形面积为 ； 4.已知抛物线的顶点是双曲线22169144x y -=的中心，而焦点是双曲线的左顶点，则抛物线的方程为 ；5.已知抛物线22y px =的准线恰好是22670x y x +--=的切线，求p 的值及抛物线方程。
6.有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平面)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，若行车道 总宽度AB 为6m ，请计算车辆通过隧道时的限制高度(精确到0.1m)2m8m3m3m6m7.当a 为值时，直线(1)210a x y a --++=恒过定点P ，并求过P 点的抛物线的标准方程。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.4.2 抛物线的几何性质》
普通高中课程标准实验教科书数学选修2-12.4.2抛物线的切线问题如皋市第一中学祝存建【教学内容解析】1直线与圆锥曲线的位置关系是能综合表达解析几何的根本思想，也就是将几何问题代数化，用代数方法来研究几何问题，用代数推算代替几何推理的数学思想，特别是直线与抛物线的位置关系问题，由于可以应用导数去分析相切关系，因而形成了许多交汇问题，增强了问题的综合性，提高了问题的开放度，拓宽了问题探究的思路．2在近几年高考中，有些省份的解析几何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题，如江西，全国卷II，江苏，山东，浙江等试题中的解析几何题都以抛物线的切线形式出现，所以我们有必要研究抛物线的切线问题，希望通过研究它们来进一步提高我们对直线与抛物线的位置关系的认识，提高我们的解题能力3教学重点和难点：在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法〞解决直线与抛物线的位置关系问题【教学目标设置】1．掌握抛物线的切线方程的求法，稳固“坐标法〞在解决直线与抛物线线位置关系问题的应用培养学生的运算能力和思维能力2．通过对抛物线的切线研究，让学生参与探索，运用“坐标法〞解决解几何的直线与圆锥曲线的根本方法探究切线问题，在解题过程学会整体代换法，学会建立方程求解末知数深刻体验，函数思想、等价转化、数形结合等思想方法3．通过问题的探究，培养学生勇于探索的精神，使学生经历一个发现问题，研究问题，解决问题的思维过程，从中领悟其过程所蕴涵的数学思想，体验数学发现和创造的历程，培养学生的创新精神【学生学情分析】1 已有的知识储藏：①本节课的授课对象是如皋市第一中学高二年级的学生，他们在经历了高一一学年的数学学习后，已经根本了解高中数学的根本思想和研究方法，具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力。
②学生已经掌握了抛物线的图象特征和根本性质，掌握了导数的定义、导数的计算以及其几何意义，已经具备了用运用“坐标法〞研究抛物线的切线问题的知识储藏。
苏教版高中数学选修2-1第2章 2.4 2.4.2 抛物线的几何性质学案
2.4.2抛物线的几何性质1．抛物线的几何性质抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p，称为抛物线的通径．1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝±3yB ．y 2＝±6xC ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6yC [由题意知抛物线方程为x 2＝±2py ，且p 2＝3，即p ＝6，因此抛物线方程为x 2＝±12y .]2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4 B [|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]3．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．4 [易知线段AB 为抛物线的通径，所以AB ＝4.]4．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.2 [F (1,0)，由抛物线定义得A 点横坐标为1. ∴AF ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.]【例1】 (1)已知双曲线C 1：x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．(2)已知抛物线的焦点F 在x 轴正半轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若△OAB 的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________．(1)x 2＝16y (2)y 2＝42x [(1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴ca ＝a 2＋b 2a ＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)不妨设抛物线的方程为y 2＝2px ，如图所示，AB 是抛物线的通径，∴AB ＝2p ，又OF ＝12p ，∴S △OAB ＝12·AB ·OF ＝12·2p ·12p ＝12p 2＝4，故p ＝2 2.∴所求抛物线方程为y 2＝42x .]利用抛物线几何性质可以解决的问题1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题． 2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． 3．范围：解决与抛物线有关的最值问题． 4．焦点：解决焦点弦问题．1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋16y 2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为________．x 2＝12y 或x 2＝－12y [椭圆的方程可化为x 216＋y 29＝1，其短轴在y 轴上，∴抛物线的对称轴为y 轴，设抛物线的标准方程为x 2＝2py 或x 2＝－2py (p ＞0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .][思路探究] 本题的解法有两种：法一，设P (t ，－t 2)为抛物线上一点，点P 到直线的距离为d ＝|4t －3t 2－8|5，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x＋3y ＋m ＝0与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线相切，求出m 的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．[解] 法一：设P (t ，－t 2)为抛物线上的点， 它到直线4x ＋3y －8＝0的距离 d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8 ＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43. ∴当t ＝23时，d 有最小值43.法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0， ∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43. ∴最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.抛物线中最值的求解策略1．可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围．2．当条件中有关于抛物线上的点P 到焦点F 的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P 到F 的距离与点P 到准线距离的转化．2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．2 [因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标F (1，0)，准线方程为x ＝－1，所以设P 到准线的距离为PB ，则PB ＝PF ，P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离为P A ，所以P A ＋PB ＝P A ＋PF ≥FD ，其中FD 为焦点到直线4x －3y ＋6＝0的距离，所以FD ＝|4－0＋6|32＋42＝105＝2，所以距离之和最小值是2.][1．直线与抛物线有哪几种位置关系？ [提示] 相离，相切，相交 2．如何认识抛物线的焦点弦？[提示] 如图，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)AB ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2(焦点弦长与中点关系)；(3)AB ＝x 1＋x 2＋p ；(4)若直线AB 的倾斜角为α，则AB ＝2psin 2α；如当α＝90°时，AB 叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2； (6)1AF ＋1BF ＝2p .【例3】 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB ＝52p ，求AB 所在的直线方程．[思路探究] 求AB 所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k ，利用直线AB 过焦点F ，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p 求解．[解] 由题意可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 到抛物线准线的距离分别为d A ，d B . 由抛物线的定义，知AF ＝d A ＝x 1＋p 2，BF ＝d B ＝x 2＋p2， 于是AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，∴x 1＋x 2＝32p . 当x 1＝x 2＝p 2时，AB ＝2p <52p ， 故直线AB 与x 轴不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，∴x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，即p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2. 故直线AB 的方程为 y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.1．直线与抛物线交点问题的解题思路判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．2．抛物线的弦长求解思路当直线的斜率k存在且k≠0时，弦长公式为|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1 k2|y1－y2|；当直线的斜率k＝0时，只有抛物线的对称轴是y轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|；当直线的斜率k不存在时，只有抛物线的对称轴是x轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|y1－y2|.3．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．[解]由题意知抛物线焦点为F(1,0)，k AB＝1，所以AB的方程为y＝x－1，代入y2＝4x得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，Δ＝32＞0，∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，AB＝AF＋FB＝x1＋x2＋2＝8，∴线段AB的长为8.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线关于顶点对称．()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．()[答案](1)×(2)√(3)√2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝22，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A.12B.14C.16D.18A [线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.]3．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________．(4,2) [由⎩⎨⎧x －y ＝2y 2＝4x 得x 2－8x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4， 故线段AB 的中点坐标为(4,2)．]4．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35，求b 的值．[解] 由⎩⎨⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ＞0，得b ＜12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24.∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1－2b . ∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·1－2b ＝35，∴1－2b ＝9，即b ＝－4.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质
[解] 如图，设正三角形 OAB 的顶点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 y21＝2x1， y22＝2x2，由 OA＝OB，则 x21＋y21 ＝x22＋y22， ∴x21－x22＋2x1－2x2＝0，
即(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝0， ∵x1>0，x2>0， ∴x1＝x2，即 A、B 关于 x 轴对称．
焦点弦AB长 AB＝x1＋x2＋p AB＝p－x1－x2 AB＝y1＋y2＋p AB＝p－y1－y2
1．圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相 切的圆的方程是___(_x_－__12_)_2＋__(_y_±_1_)2_＝__1____． 2．抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线 段AB中点的横坐标是____2____．
线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则四种标准形式下的焦点弦、焦半径公式为：
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
焦半径PF PF＝x0＋p2 PF＝p2－x0 PF＝y0＋p2 PF＝p2－y0
抛物线的焦点弦问题
斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交 于两点A、B，求线段AB的长． (链接教材P46T6) [解] 法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线的焦 点坐标为F(1,0)，
所以直线 AB 的方程为 y＝x－1，① 将方程①代入抛物线方程 y2＝4x， 得(x－1)2＝4x. 化简பைடு நூலகம் x2－6x＋1＝0.
本题法一利用传统的基本方法求出A、B两点坐标，再利用两 点间距离公式求出AB的长； 法二充分利用抛物线的定义，把过焦点的这一特殊的弦分成 两个焦半径的和，转化为到准线的距离的和，这是思维产生 质的飞跃的表现．