4.1 线段的比 课件7(北师大版八年级下)
第四章《成比例线段》 课件(共张ppt)22-23学年北师大版数学九年级上册 数学
思考1：如果a、b、c、d 四个数成比例，即 a c ，
bd
那么ad＝bc 吗？你是怎样思考的？
思考2：如果ad＝bc ，那么 a c 吗？你是怎样思考的？
bd
这时有什么样的条件限制吗？
ac bd
ad bc
跟进训练：
如果4x
10
y, 那么
x
5
__2___
y
注意：结果应是 最简比
例 如图，一块矩形草坪的长AB=a m,宽AD=4m，按照图中
第四章 图形的相似
4.1 成比例线段
加减乘除 谋算千秋伟业 点线面体 绘制宏伟蓝图
下面两张图片形状相同吗？ 大小相同吗？
图片欣赏
你发现这几组图 片形状相同吗？ 大小相同吗？
你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
你发现这些形状相同的图形有什么不同？
学习目标
1.了解线段的比和成比例线段.
2.若线段AB＝8cm，CD＝2dm，则 AB
CD
3
2。
2
5。
虽然两条线段的比要在单位统一 的前提下进行，但比值却是一个不带 单位的正数。
3.已知线段AB＝8cm，A'B'＝2cm，AB∶A'B'的比 为 4∶1 ，AB∶A'B'的比值为 4 ，AB＝ 4 A'B'.
4.五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同，
AB＝5cm，A'B'＝3cm，AB∶A'B'＝ 5∶3 .
A
A'
B
八年级数学 第四章第1-4 线段的比与黄金分割 北师大版知识精讲
初二数学 第四章第1－4 线段的比与黄金分割 北师大版【本讲教育信息】一．教学内容：线段的比与黄金分割（4.1—4.4）二．教学目标：1．了解线段的比、比例线段，理解并掌握比例线段的基本性质及简单应用． 2．了解黄金分割，体会其中的文化价值．3．认识形状相同的图形，了解相似多边形的含义．探索相似多边形的本质特征．4．发展从数学角度提出问题，分析问题和解决问题的能力，培养数学应用意识，体会数学与自然、数学与社会的密切联系．三．知识要点分析： 1．线段的比（1）如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ：CD=m ：n ，或写成AB CD =mn ．其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项．（2）在四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =cd ，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的性质①基本性质：如果a b =cd，那么ad =bc ．如果ad =bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么a b =cd．②合比性质：如果a b =c d ，那么a ±b b =c ±dd．③等比性质：如果a b =c d =…=mn （b ＋d ＋…＋n ≠0），那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n =a b ．2．黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB =BCAC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 3．相似多边形（1）所谓形状相同的图形，实际上就是形状相同、大小可以不同的图形．所谓形状相同，应和位置无关，和摆放角度无关，和摆放方向也无关．（2）各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．【典型例题】知识点1：线段的比 例1．已知线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2cm ，b =4cm ，c =5cm ，则d =（ ）A ．1cmB ．10cmC ．52cmD ．85cm题意分析：成比例的四条线段a ：b =c ：d ，其中d 是第四比例项．思路分析：把a =2cm ，b =4cm ，c =5cm 代入a ：b =c ：d ，便可求出d ． 解：因为a ：b =c ：d ，a =2cm 、b =4cm 、c =5cm ， 所以2：4=5：d ，即2d =20，解得d =10． 选B解题后的思考：关于线段的比要注意两点：一是所给线段的长度单位要统一；二是四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序列出．例2．已知3a ＋5b b =73，求ab的值．题意分析：本题可以看作是比例式的问题，也可以看作是分数或分式的问题． 思路分析：把3a ＋5b b =73进行变形，变得的等式中含有a b ，或用a 表示b ，再代入ab 求值．解：解法一：因为3a ＋5b b =73，所以3（3a ＋5b ）=7b ，所以9a =－8b ，所以a b =－89．解法二：因为3a ＋5b b =73，所以3a ＋5b 5b =715，所以3a ＋5b －5b 5b =7－1515，所以3a 5b =－815，所以a b =－815×53=－89．解法三：因为3a ＋5b b =73，所以3a b ＋5=73，所以3a b =73－5=－83，所以a b =－83×13=－89．解法四：设ab =k ，则a =bk ，因为3a ＋5b b =73，所以3bk ＋5b b =73，所以3k ＋5=73，所以k =－89，所以a b =－89．解题后的思考：本例从不同角度出发进行解答．解法一运用的是比例的基本性质；解法二主要是运用比例的合比性质；解法三是根据分式的特点，进行“拆分”；解法四是运用方程的思想解决问题．另外，需要注意比例式作为等式，可以运用等式的性质，比例式中的两个比作为分数或分式，可以运用分数或分式的基本性质．例3．如图所示，已知在△ABC 中，AB=12cm ，AE=6cm ，EC=4cm ，且AD BD =AEEC．（1）求AD 的长．（2）说明：BD AB =ECAC成立．BCD E题意分析：在△ABC 中，除已知条件外还可以看出AD ＋BD=AB ，AE ＋EC=AC ． 思路分析：图形中的计算题常用设未知数解方程的方法进行计算，若设AD=x ，则已知的比例式即是关于x 的方程，从而可以求出AD 的长，把线段的长代入BD AB 和EC AC ，来判断BDAB=EC AC 是否成立．对于BD AB =ECAC，也可以用比例的性质验证． 解：（1）设AD=x cm ，则BD=12－x ．因为AD BD =AE EC ，所以x 12－x =64，所以4x =6×（12－x ），所以x =365，即AD=365cm ．（2）因为AD BD =AEEC ，所以AD ＋BD BD =AE ＋EC EC ．所以AB BD =AC EC ，即BD AB =EC AC．解题后的思考：已知比例线段，求其中某条线段的长，通常转化成方程问题来解决． 小结：比例的基本性质有三个，但在实际运用时却是灵活多样的，注意结合分式的性质选择合适的解法．知识点2：黄金分割例4．人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618越给人以美感，遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美．某女士身高1.68m ，下半身长1.02m ，她应选择多高的高跟鞋使其看起来更漂亮？题意分析：穿上高跟鞋增加下半身的长度，使下半身与身高的比接近0.618． 思路分析：把她应选择的高跟鞋的高度设为x m ，下半身长变为1.02＋x ，身高变为1.68＋x ，二者之比约为0.618，依此可以求出x ．解：设她应选择的高跟鞋的高为x ，由题意，得1.02＋x1.68＋x ≈0.618，所以1.02＋x ≈0.618（1.68＋x ），解得x ≈0.048， 0.048m =4.8cm ．她应选择大约4.8cm 高的高跟鞋使其看起来更漂亮．解题后的思考：本题是黄金分割的实际应用问题，解题关键是找出比值0.618所对应的比例的前项和后项．例5．如图所示，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=55－5，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，试说明点D 是线段AC 的黄金分割点．BCD12题意分析：已知AB 、AC 、BC 三条线段的长度，根据其他已知条件，图中各角的度数都能求出来，问题就是判断CD AD =AD AC 是否成立？或AD AC =5－12是否成立？思路分析：本题应判断AD AC =5－12是否成立，因为AC 已知，只要求出AD 就可以了，步骤较少．解：因为AB=AC ，所以∠ABC=∠C ． 又因为∠ABC ＋∠C ＋∠A=180°，∠A=36°， 所以∠ABC=∠C=72°．因为∠1=∠2=12∠ABC ，所以∠1=∠2=36°．所以∠1=∠A ，所以AD=BD ． 因为∠2＋∠C ＋∠BDC=180°， 所以36°＋72°＋∠BDC=180°，所以∠BDC=72°， 所以∠BDC=∠C ，所以BD=BC ，所以BC=BD=AD ． 因为BC=55－5，所以AD=55－5．又因为AC=10，所以AD AC =5（5－1）10=5－12，所以点D 是线段AC 的黄金分割点．解题后的思考：只要确定出AD AC =5－12，即可说明点D 是AC 的黄金分割点，为此，需要求出AD 的长度．本例分析中的第一种方法学习了相似三角形之后比第二种方法更简单．小结：黄金分割是比例线段的特例，在实际生活中应用广泛．知识点3：相似多边形例6．①两个正方体；②两个半径不等的圆；③同一张底片冲洗出来的2寸照片和5寸照片；④圆柱与圆锥；⑤长与宽相同，但高不同的两个长方体；⑥横坐标相同，纵坐标成三倍关系的两个几何图形．形状相同的图形有哪些？请指出来．题意分析：所谓的形状相同是指形状一样，大小可以不同，不考虑其他的因素． 思路分析：通过想像或画草图进行判断． 解：形状相同的图形有①②③解题后的思考：所有的正方形、圆、等边三角形是形状相同的图形，其他的图形则形状不一定相同．例7．如图所示，矩形ABCD 的长、宽分别为10，8，矩形A’B’C’D’的长、宽分别为5、4，这两个矩形相似吗？为什么？两个矩形满足什么条件一定相似？A B C DA'B'C'D'题意分析：相似矩形是指两个矩形的对应角都相等，对应边成比例． 思路分析：任何一个矩形的四个角都是90°，所以两个矩形的对应角可以做到相等．再判断各边是否对应成比例就可以了．解：因为AD A ’D’=BC B ’C’=105=21，AB A ’B’=DC D ’C’=84=21，所以AD A ’D’=BC B ’C’=AB A ’B’=DC D ’C’．因为矩形四个角都是直角，所以∠A=∠B=∠C=∠D=∠A ’=∠B’=∠C’=∠D’=90°， 所以矩形ABCD ∽矩形A’B’C’D’．由上述说明过程知，两个矩形只要满足长与宽成比例就相似．解题后的思考：判断多边形相似容易失误，同学们一定要严格按定义来判断，不可投机取巧．如用一根宽为1cm 的木条钉成一个矩形镜框，外边缘长为10、宽为8，那么这个镜框的内外边缘两个矩形是否相似？例8．如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC ，EF 将梯形ABCD 分成两个相似梯形AEFD 和EBCF ，若AD=3，BC=4，求AE ：EB 的值．A BCD E F题意分析：所求的AE ：EB 是两个相似梯形AEFD 和EBCF 的相似比．思路分析：与已知条件有关的相似比还有AD ：EF 、EF ：BC ，设法求出它们的比值本题便可解决，这个问题的关键是求出EF 的长．解：因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ，所以AD EF =EFBC ，所以EF 2=AD·BC ．因为AD=3，BC=4，所以EF 2=3×4=12，所以EF=23． 因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ，所以AE ：EB=AD ：EF=3：23=3：2．解题后的思考：利用相似多边形的对应边成比例，可以求出EF 的长，进而求得相似比AE ：EB=AD ：EF ．小结：对相似多边形的理解一定要注意只有各角对应相等，各边对应成比例的多边形才是相似多边形，特别是各边对应成比例解题时一定要全部验证．总结：本讲要求了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．认识图形的相似、探索相似图形的性质等．各类考试中经常考查比例线段和黄金分割．【预习导学案】（相似三角形（4.5—4.6））一．预习前知1．什么是形状相同的图形，什么是相似多边形？2．判定两个三角形全等的条件有：__________；__________；__________；__________；__________．二．预习导学1．__________的三角形叫做相似三角形，两个相似三角形的相似比是1，这两个三角形的关系是__________． 2．如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成__________，并且__________相等，那么这两个三角形相似．简单地说：__________的两个三角形相似；三条边对应__________的两个三角形相似；两个角对应__________的两个三角形相似． 3．两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？ 反思：（1）你知道相似三角形与全等三角形的区别与联系吗？（2）如何判定两个三角形相似？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一．选择题1．如下图所示，有两个形状相同的星星图案，则x 的值为（ ） A ．15 B ．12 C ．10 D ．822．下列图形中不是形状相同的图形的是（ ） A ．用一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B ．用放大镜将一个细小物体的图案放大，原图形与放大后的图形C ．某人的侧身照与正面照D ．一棵树与它倒映在水中的像 3．下列图形相似的是（ ） A ．所有的三角形 B ．所有的矩形 C ．所有的菱形 D ．所有的正方形 4．下列说法中正确的是（ ） A ．两条线段的比总是整数 B ．两条线段的比总是正数 C ．两条线段的比可能是0 D ．两条线段的比与所采用的长度单位有关 5．点P 是线段MN 的黄金分割点，且MP ＞NP ，则NP=（ ）MP ．A ．5－12B ．5＋12C ．3－52D ．5－32*6．若x －2y 3y －x =23，则y x 的值为（ ）A ．512B ．125C ．712D ．－1257．在比例尺为1：8000的某地图上，如果矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸应为（ ）A ．80m ×160mB ．8m ×16mC ．800m ×160mD ．80m ×800m**8．若a b =c d =e f =12，则f 9d 6b 3e3c 2a +-+-的值为（ ）A ．12B ．13C ．15D ．16二．填空题1．如图所示，下列各组图形中，是相似图形的是__________．(1)(2)(3)(4)2．正方形的边长与对角线的比值为__________．3．如果一个三角形三边的比为3：4：5，那么这个三角形一定是__________三角形． 4．C 是线段AB 上一点，AB=2AC ，则BC ：AB=__________．5．已知一个多边形的最长边为27，最短边为9，另一个和它相似的多边形的最长边为9，则这个多边形的最短边为__________．6．已知1，2，2三个数，请你再添一个数，可写出一个比例式：__________．*7．x 2=y 3=z4，则x ＋y －z x ＋y ＋z =__________．*8．如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割．已知AB=10cm ，则AC 的长约为__________cm ．（结果精确到0.1cm ）三．解答题1．如图所示的三角形各顶点的纵坐标保持不变，横坐标均乘以－1，则所得三角形与原三角形形状相同吗？若让纵坐标不变，横坐标均增加2，则所得三角形与原三角形形状相同吗？2．如图所示，图①是一条鱼，它是由12个全等的等腰直角三角形拼成的；图②是正方形；图③是等腰直角三角形．请同学们认真观察图形再回答： （1）图①中与图②中形状相同的图形有多少个？ （2）图①中与图③中形状相同的图形有多少个？①②③*3．线段AB 是连接A 、B 两城市的高速公路，全长120km ，在A 、B 上建有两个收费站C 、D ．已知AC ：CB=1：5，AD ：BD=11：1，一辆汽车从C 到D 行驶了34h ，求这辆车的速度．**4．已知：a ，b ，c 为三角形三边长，（a －c ）：（c ＋b ）：（c －b ）=2：7：（－1），三角形周长为24．求三边长各为多少．【试题答案】一．选择题1．D 2．C 3．D 4．B5．A 【由题意得MP MN =NP MP =5－12，所以NP=5－12MP ．】6．A 【因为x －2y 3y －x =23，所以3（x －2y ）=2（3y －x ），即5x =12y ，所以y x =512】7．A 【比例尺是指图上距离和实际距离之比】8．D 【由a b =c d =e f =12可得a 3b =－2c －6d =3e 9f =16】二．填空题 1．（2）（4） 2．1： 23．直角【可设三边长分别为3k 、4k 、5k ，有（3k ）2＋（4k ）2=（5k ）2】 4．1：25．3【设这个多边形的最短边为x ，由题意得279=9x ，∴27x =81，∴x =3，∴最短边为3】6．1：2=2：2 27．19【设x 2=y 3=z4=k ，则x =2k 、y =3k 、z =4k ，x ＋y －z x ＋y ＋z =2k ＋3k －4k 2k ＋3k ＋4k =19】 8．6.2【因为点C 是线段AB 的黄金分割点，所以ACAB≈0.618，所以AC≈6.2】三．解答题1．纵坐标不变，横坐标均乘以－1，所得三角形与原三角形形状相同；纵坐标不变，横坐标均增加2，所得三角形与原三角形形状相同． 2．（1）图①中与图②中形状相同的图形有6个．（2）图①中与图③中形状相同的图形有17个．3．因为AB=120km ，由AC CB =15可得AC AB =16，AC=20km ；由AD BD =111可得BD AB =112，BD=10km ．所以CD=AB －AC －BD=90km ，所以这辆车的速度为90÷34=120（km /h ）．4．由（a －c ）：（c ＋b ）：（c －b ）=2：7：（－1），设a －c =2k ，c ＋b =7k ，c －b =－k ．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝2kc ＋b ＝7kc －b ＝－k a ＋b ＋c ＝24．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10b ＝8c ＝6 ．。
北师大版八年级数学下册全册教案第四章相似图形
第四章相像图形4.1 线段的比一、教学设计目标1.知道线段比的观点.2.会计算两条线段的比.3.熟记比率的基天性质，并能进行证明和运用.二、教学设计过程1.两条线段的比的观点两条线段的比就是两条线段长度的比.比方：线段 a 的长度为 3 厘 M ，线段 b 的长度为6M ，所以两线段a,b 的比为 3∶6=1 ∶2,对吗？不对，由于a、b 的长度单位不一致，所以不对.注意：在量线段时要采用同一个长度单位.2..例题在某市城区地图（比率尺 1∶ 9000）上，新安大街的图上长度与光彩大街的图上长度分别是 16 cm、 10 cm.（1）新安大街与光彩大街的实质长度各是多少M ？（2）新安大街与光彩大街的图上长度之比是多少？它们的实质长度之比呢？解：（ 1）依据题意，得新安大街的图上长度1新安大街的实质长谎9000光彩大街的图上长度1光彩大街的实质长度9000所以，新安大街的实质长度是16× 9000=144000（ cm） ,144000 cm=1440 m 。
光彩大街的实质长度是10× 9000=90000（ cm）90000 cm=900 m.（ 2）新安大街与光彩大街的图上长度之比是 16∶ 10=8∶ 5 新安大街的实质长度与光彩大街的实际长度之比是144000∶ 90000=8∶ 5由例 2 的结果能够发现：新安大街的图上长度光彩大街的图上长度新安大街的实质长度光彩大街的实质长度三、随堂练习1.在比率尺为1∶8000 的某学校地图上，矩形体育场的图上尺寸是 1 cm ×2 cm，矩形运动场的实质尺寸是多少？解：依据题意，得所以，矩形体育场的长是2× 8000=16000（ cm ） =160（m ） 矩形体育场的宽是1× 8000=8000 （ cm ） =80 （ m ）所以，矩形体育场的实质尺寸是长为160 m,宽为 80 m.四、活动与研究为了参加北京市申办2008 年奥运会的活动，假如有两边长分别为 1， a （此中 a ＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有节余），使每条彩旗的长和宽之比与 原绸布的长和宽之比同样，画出两种不一样裁剪方法的表示图，并写出相应的a 的值 .解：方案（ 1）：∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比同样，（* ）1∴1a3 a1解得： a= 3方案（ 2）： 由（ *）得1 x 12 a111a∴ x= 1,a= 2a方案（ 3）：由（ *）得1y ∴ y= 1a 1 2a2且1z∴ z= 1a 1a由1 1=a 得 a= 16a 2a 2方案（ 4）：由（ *）得1b1na1a11 a1a1a∴ b=1a m a12－ 1 n=1－2m=aa∵m+n=1 ∴ 1－1+a2－ 1=1 a2∴a= 2 2 5（负值舍去）24.2 黄金切割一、教学设计目标理解黄金切割二、教学设计过程如图：点 C 把线段 AB 分红两条线段AC 和 AB ，假如AC=BC那么称线段AB被点C黄金AB AC切割，点 C 叫做线段AB 的黄金切割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
4.1 线段的比 课件3(北师大版八年级下)
如何理解 两条线段的比
• 结论： 1.两条线段比与所选的长度单位无关. 2.求两条线段比时.如果单位不同.那 么必须先化成同一单位.再求它们比 3.两条线段的比就是长度的比，它是 一个数,它没有单位. 4.两条线段的比是有顺序的.
学以致用小试牛刀
1、小明身高1.65m,臂长60cm,则小明身高 11:4 与臂长的比值是___________ 2、 1：0.25的比值是 ，如果前项 4 乘 以4，要比值不变，后项应变成 1 。 3、已知线段AB=2cm，延长AB至点C， 使得BC=1cm，则AC：AB= 3:2 。
谈谈本节课的收获 课堂小结： 1、线段比的定义及表示；
.学.科.网.
2、学习线段比时应注意的问题；
.学.科.网.
3、比例尺的定义； 布置作业: 1、预习课本第104——107页的内容； 2、学习之友：
开启
智慧
这棵大树有多高？
• 小敏思考后,她只用一 根卷尺, 测出了大树影 子BC,自己的身高A1 B1及影子B1 C1三个数 据,然后通过计算,立刻 得出了树高AB.你能行 吗?这里需要什么知识?
请你欣赏
请你欣赏
天坛
请你欣赏
黄山松
请你欣赏
观察下列每组图形
（ 1）
பைடு நூலகம்
（ 2）
（ 3）
这些图形有什么共同的特点？
实践经验
什么叫做两条 线段的比呢
线段比的定义：如果选用 同一个长度单位量 得两条线段AB ,CD的长度分别为m ,n .那么 AB m 这两条线段的比AB:CD = 或 m：n = 其中AB,CD分别叫做这个线段比的 前项 和后项 。
CD n
kCD m AB 如果把 表示成比值k , 那么 = k, 或AB = n CD
【数学课件】比较线段的长短(北师大实验教材au)
另一方法是：用刻度尺去度量它们的 长度进行比较，此种方法可称之为 “度量法”。
线段的中点的概念及表示方法：
点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M
叫做线段AB的中点．这时AM＝BM＝1 AB． 2
A
M
B
例1 己知，如图，点C是线段AB上一点，点M是线段 AC 的 中 点 ， 点 N 是 线 段 BC 的 中 点 ， 如 果 AB=10cm ， AM=3cm，求CN的长。
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
4.2 比较线段的长短
提出问题(1)：你知道吗，小狗、 小猫为什么都选择直的路？
A
·
·
B
提出问题(2)：如图是连结A、B两点之间各 种形状的线绳，如果将它们都展直，你能 从中得到什么启发？
线段的性质： 两点之间的所有连线中，线段最短. 也可简述为：“两点之间，线段最短。 ” 两点间的距离： 两点之间线段的长度。
BN C
M
A
解：∵M为AC的中点，∴AC＝2AM．
又∵AM＝3cm，∴AC＝2×3＝6(cm) ．
∵AB＝10cm．
∴BC＝AB－AC＝10－6＝4(cm) ．
又∵N为BC的中点，
北师大版八年级(下)第四章 相似图形 第一节线段的比 第二课时
学情分析
教学内容分 析
教ห้องสมุดไป่ตู้目标
教学重难点 教学过程
复习导入
1、提出疑问，引起学生 的思考。
y
4 3 2 1
A C
4 5 6 7 8 9 10
B
1 2 3
O
0
-1 -2
D
x
E
学习研讨
如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数， 那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？ 下面图 1 中的鱼是将点 O（0，0） ，A（5，4） ，B(3，0)，C（5,1） ， D（5，-1） ，B（3，0） ，E（4，-2） ，O（0，0） ，用线段顺次连 接而成的，右图 2 中的鱼是将图 1 中的鱼上每个点的横坐标、 纵坐标都乘以 2 得到的。
y
4 3 2 1
A C
4 5 6 7 8 9 10
B
1 2 3
2、通过对图 1 的认识， 自然过渡到新课的学 习。
x
O
0
-1 -2
D
E
图1
9 8 7 6 5 4 3 2 O1 0 -1 -2
y
F
H G
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
L M 图2 3、问题（1） 、 （2）在小 组中充分讨论，达成共 识，并请小组成员上台 讲解和板演各条线段长 度的计算过程和比值计 算。
（b+d+„„+n≠0） ，
a c m a b d n b。 那么
课堂小结 本节课我们学习了比例的基本性质，合比性质，等比性质，比 例线段的知识将对我们今后的学习有重要的帮助。
教后反思
a c a c a c
2024年秋北师大七年级数学上册4.1.2 比较线段的长短(课件)
b. a
b
2a
b A 2a－b B
探究新知
知识点 4 线段的中点
A
MB
在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端 点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？
探究新知
A
MB
如图，点M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与BM， 点 M 叫做线段AB 的中点.类似地，还有线段的三等分点、 四等分点等.
相等的线段？
小提示：在可打开角度 的最大范围内，圆规可 截取任意长度，相当于 可以移动的“小木棍”.
探究新知
讨论 你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从 比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？
探究新知
比较两个同学高矮的方法：
①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的
数值进行比较.
——度量法.
想一想 如图：从A地到 C 地有四条道路，哪条路最 近？在图上标出.D NhomakorabeaE
F
A
C
B
探究新知
D
E
F
A
C
B
经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实： 两点之间的所有连线中，线段最短. 这一事实可以简述：两点之间，线段最短. 连接两点间的线段的长度，叫做 这两点的距离.
你能举出这条性质在生活中的应用吗？
探究新知
议一议 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程 改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何 设计线路？请在图中画出，并说明理由.
B. A.
两点之间线段最短.
探究新知 想一想 把原来弯曲的河道改直，A，B 两地间的河道长 度有什么变化？
A，B 两地间的河 道长度变短.
A
八下(实)第7讲：线段的比及黄金分割
1第九讲 相似三角形----比例性质【知识梳理】一、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。
二、成比例线段：1.比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果dc b a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2.比例中项：如果cb b a =（或ac b =2），则b 叫做a 、c 的比例中项。
三、比例的性质： 1.比例的基本性质：如果dc b a =，那么bc ad =。
2．更比性质：如果dc ba =，那么dbc a=。
3．反比性质：如果d c b a =，那么cd a b =。
4．合比性质：如果d c b a =，那么ddc b b a +=+。
5．分比性质：如果d c b a =，那么dd c b b a -=-。
6．等比性质：如果)0(≠+++===n d b nm d c b a ，那么b an d b mc a =++++++ 。
四、黄金分割：点c 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），如果ACBCAB AC =，那么点c 叫做线段AB 黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，618.0215≈-=ABAC 。
51(1) (2)-=较长全长35(2)...2-=较短全长(3)..,(52)=-一条线段有两个黄金分割点其距离全长【典例剖析】例1：（1）已知2a c a b c d b d b d --==，求和；（2）已知0,0,a c a b c da b c b b d a b c d++=-≠-≠=--，且求证：例2：已知a 、b 、c 是非零实数，且k cb a d da b c dc a b dc b a =++=++=++=++，求k 的值.变式1.已知一次函数y=kx-1中，比例系数k 满足c a b k a bb cc a===+++，试求直线y=kx-1与x轴的交点坐标.2y x B CE DA A CB变式2.若a b c 、、均为正数，a b c x b ca c a b===+++，则x 的值一定是（ ） A 、12B 、-1C 、12或-1 D 、32例3：（天府前沿）若,65432+==+c b a 且2132=+-c b a ，试求c b a ::的值。
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回顾 & 思考
☞
运用两条线段的比要注意
1.两条线段比是一个正数,它没有单位. 2.两条线段比与所选的长度单位无关. 3.求两条线段比时.如果单位不同.那么必须先化 成同一单位.再求它们的比 . 生活常识: 同一时刻物高与影长成比例. 图上长度与实际长度的比通常称为比例尺. 今天我们一起来学习成比例线段和比例 的基本性质.
它们相等吗？ 3、在图中，你还能找到比相等的其他线段吗？
想一想
y
4 3 2 1
y
8 7
F
A
6 5 4 3
C B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 1
H
1 2 3 4 5
O
0
x
-1 -2
O
0
G
6
7
8
9 10
x
D E
（图1）
-1 -2
L
（图2）
-3 -4
M
CD=2, HL=4;
OA= 41 , OF=2
y
4 3 2 1
y
8 7
F
A
6 5 4 3
C B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 1
H
1 2 3 4 5
O
0
x
-1 -2
D E
（图1）
O
0
G
6
7
8
9 10
x
-1 -2
L
（图2）
-3 -4
M
1、线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度各是多少？
2、线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的比各是多少？
41
;
BE= 5 , GM=2 5 . CD∶HL= 1∶2, 如:CD∶HL= OA∶OF. OA∶OF= 1∶2, BE∶GM=1∶2.
实践出真知
概念
应用
判断下列四条线段是否成比例． 不知你是 1.a 2, b 5 , c 15 , d 2 3; 否注意到: 2.a 2 , b 3, c 2, d 3; 比例与叙 述的顺序 3.a 4, b 6, c 5, d 10; 有关 4.a 12, b 8, c 15, d 10.
如果
ad=bc .
a c ，那么 b d
反之，如果 ad=bc（a，
b，c，d 都不为0），那么
a ,你还能 得到什么比例式？
自学指导2 例题 欣赏 自学课本95页例2,理 ab cd 解 解 : (2). 成立.理由是 : b d 例2.(1).如图4 3, 解题过程 a , c 并思考是否有 由 a c b d 已知 3, 其 b d ab a b a 1 ab cd b b b . b 自学后能 它的解题方法 求 和 ; cd c d c b d 1 类 d d d d a c (2).如果 k (k为常数 ), 因此 比解决“想一想”的（ 1） b d
理解成比例线段的概念,掌握比 例线段的基本性质及其简单应用.
变化的鱼
１. 观察P94图形坐标变化前后的 图形后求出有关线段的长度，并回 答书上所提出的问题，注意求线段 长度时所运用的知识点． 2.认真阅读Ｐ９５议一议上面的文 字，理解比例线段的概念，画出关 键词，自学后比谁能灵活应用概念.
想故 一知 想新 温
答: 1.成比例. 2.不成比例. 3.不成比例. 4. 成比例.
Z、xxk
议一议
两条线段的比实际上就是两
个数的比。如果a、b、c、d 四
a c 个数满足 ，那么 b d ad=bc 吗？
逆向思维
反之，如果 ad=bc（a，
b，c，d 都不为0），那么
a c 吗？为什么？ b d
ab cd 那么 成立吗 ? b d 为什么?
a c 1 1 b d ab cd 即 b d
积累就是知识
请用类比的方法得出结论
a c a b c d 如果 , 那么 成立吗?为什么? b d b d
合比性质(或合分比性质):
a c ab cd 如果 , 那么 . b d b d
选做题
小结
探究 & 学习
☞
AB BE 已知 : 如图, , AD EF AB 10cm, AD 2cm, BC 7.2cm, E是BC 中点,
拓展知识 我能行
B F E
求 : EF , BF 的长 ? D 解: E是BC 中点, C A 1 BE BC 3.6, BF BE EF 2 AB BE 3.6 0.72 2.88(cm). 又 , AD EF 10 3.6 即 , 你真棒 2 EF 3.6 2 EF 0.72;
§4.1 线段的比(2)
回顾 & 思考
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什么叫做两条 线段的比呢?
a∶b = m∶n 或a
如果选用一个长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为 m ,n .那么两条线段的比
m b n
其中a，b分别叫做这个线段比的前项和后项.
m a 如果把 表示成比值k , 那么 k , 或a k b. n b
请同学们谈谈这节课
你的收获!
请同学们观察P94图4-2变化的鱼
然后回答: 线段CD与HL,OA与 OF,BE与GM的长度 各是多少? 线段CD与HL,OA与 OF,BE与GM的比各 是多少?它们相等吗 ? 在图4-2中,你还能找 到比相等的线段吗?
CD=2, HL=4; OA= 41 , OF=2 41 ; BE= 5 , GM=2 5 . CD∶HL= 1∶2, OA∶OF= 1∶2, BE∶GM=1∶2. 如:CD∶HL= OA∶OF. 如:AB与FG,OE与OM, BD与GL.
当堂训练
主动学习 才是快乐的
1.已知a、b、c、d是成比例线段,且a=4cm,
6cm b=6cm,d=9cm,则c=____
x 2.如果2 x 5 y.那么 y
m p A. q n
3.把mn pq写成比例式.写错的是D
q n p n C. B. m p m q
m p D. n q