数列竞赛练习题汇编
竞赛数列训练题
竞赛数列专题训练（1）1．（2009年全国联赛）使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．2.正整数n 使得22005n +是完全平方数, 的个位数字是________． 3.（2008年全国联赛）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a =________．4.（2007年全国联赛）已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。
若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________．5.已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211 =+++=+n a a a n n n ，则n a =___ ．6.已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2013x =． 7.（2007年湖北竞赛改编）若数列{}n a 满足：112,3n n a a a +=-=，则=2010a ____． 8.（2009年全国联赛）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）9.设40122N =，求不超过1Nn =的最大整数10.（2007年全国联赛） 设∑=-+=nk n k n k a 1)1(1，求证：当正整数n ≥2时，a n +1<a n 。
11.（2007年四川竞赛）已知正整数列}{n a 满足条件：对于任意正整数n ，从集合},,,{21n a a a 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与n a a a ,,,21 一起恰好是1至n S 全体自然数组成的集合，其中n S 为数列}{n a 的前n 项和.（1）求21,a a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式.竞赛数列专题训练（1）参考答案1.2009 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．2. 解：设222005(0)n m m +=>,则()()2005120055401m n m n -+==⨯=⨯, 得12005m n m n -=⎧⎨+=⎩或5401m n m n -=⎧⎨+=⎩,解得10031002m n =⎧⎨=⎩或203198m n =⎧⎨=⎩, 由10024250210031003⨯+=,知它的个位数字是9, 由1984492203203⨯+=,知它的个位数字也是9．3. 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221 =)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ．令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)， 有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ． 4. 解：因为22111212121321232221114)2()(qq qb q b b d a d a a b b b a a a ++=++++++=++++，故由已知条件知道：1+q +q 2为m 14，其中m 为正整数。
数学奥赛的冲刺数列与级数练习题集
数学奥赛的冲刺数列与级数练习题集一、数列练习题1. 已知数列{an}满足递推关系an = 3an-1 + 4，其中a1 = 2。
求a5的值。
2. 数列{bn}满足递推关系bn = 2bn-1 - 3，其中b1 = 5。
求b6的值。
3. 设数列{cn}满足递推关系cn+1 = cn + 3，且c1 = 1，求c10的值。
4. 已知等差数列{dn}的前n项和为Sn = 2n^2 + 3n，求d5的值。
5. 数列{en}满足递推关系en+1 = en^2 + en，且e1 = 1，求e4的值。
二、级数练习题1. 判断级数∑(1/n^2)的敛散性，并说明理由。
2. 求级数∑(1/2^n)的和。
3. 判断级数∑(n!/n^n)的敛散性，并说明理由。
4. 求级数∑(1/(n(n+1)))的和。
5. 判断级数∑(sqrt(n)/n^2)的敛散性，并说明理由。
三、解题技巧与方法1. 数列的通项公式推导方法。
2. 求等差数列前n项和的方法。
3. 递推数列的求解方法。
4. 求级数部分和的方法。
四、挑战题1. 设数列{fn}满足递推关系fn+1 = fn^2 + 1，且f1 = 1。
求f10的值。
2. 求级数∑(n^3/(n^4 + 1))的和。
3. 设等差数列{gn}的前n项和为Sn = An^3 + Bn^2 + Cn，其中A、B、C为常数，求等差数列{gn}的通项公式。
4. 设级数∑(an)收敛，若bn = an + 1，判断级数∑(bn)的敛散性，并说明理由。
5. 证明级数∑(1/n^2)收敛。
以上是数学奥赛的冲刺数列与级数练习题集，希望能对你的数学能力提升有所帮助。
数列经典题目(竞赛专题)
当an · an+1 为偶数时, 当an · an+1 为奇数时.
证明, 对每个 n ∈ N∗ , 都有 an ̸= 0. 13. (奥地利 − 波兰,1980) 设数列 {an } 满足 |ak+m − ak − am | p, q ∈ N∗ , 都有 ap aq 1 1 − < + . p q p q 14. (苏联莫斯科,1972) 将 0 和 1 之间所有分母不超过 n 的分数都写成既约形式, 再按递增顺序排成一 a c 列. 设 和 是其中任意两个相邻的既约分数, 证明 b d |bc − ad| = 1. 15. (波兰,1978) 对给定的 a1 ∈ R, 用下列方式定义数列 a1 , a2 , · · · : 对 n ∈ N∗ , ( ) 1 an − 1 , 当an ̸= 0时, an an+1 = 2 0, 当a ̸= 0时,
2), x1 = a, x2 = b, 记 Sn = x1 + x2 + · · · + xn , 则下列结 ) (B) x100 = −b, S100 = 2b − a; (D) x100 = −a, S100 = b − a . 1 时,xn+2 等于 xn xn+1 的个位数, 则 x1998 等于 . . . . ( (C) 6; (D) 8 . 2), 则数列的通项公式为 an = . )
的每一项都是整数, 其中 n ∈ N∗ . 并求所有使 an 被 3 整除的 n ∈ N∗ . 19. (捷克,1978) 证明, 数列 bn = ( √ )n ( √ )n 3+ 5 3− 5 − −2 2 2
的每一项都是自然数, 其中 n ∈ N∗ , 并且当 n 为偶数或奇数时分别具有 5m2 或 m2 的形式, 其中 m ∈ N∗ .
数列专项训练试卷
数列专项训练试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 在等差数列{a_n}中，若a_1 = 2，a_3+a_5=10，则a_7=（）A. 5.B. 8.C. 10.D. 14.2. 等比数列{a_n}的公比q = 2，a_1+a_2+a_3=21，则a_3+a_4+a_5=（）A. 42.B. 84.C. 168.D. 336.3. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2-2n + 1，则a_n=（）A. 2n - 3，n≥slant2；0，n = 1B. 2n - 3，n≥slant1C. 2n - 1，n≥slant2；0，n = 1D. 2n - 1，n≥slant14. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_10=100，S_100=10，则S_110=（）A. - 90.B. 90.C. - 110.D. 110.5. 等比数列{a_n}中，a_3=9，a_5=1，则a_7=（）A. (1)/(9)B. (1)/(3)C. ±(1)/(3)D. (1)/(27)6. 数列{a_n}满足a_n + 1=a_n+2n，a_1=1，则a_n=（）A. n^2-n + 1B. n^2+n - 1C. n^2-1D. n^2+1二、填空题（每题5分，共20分）1. 等差数列{a_n}中，a_2=4，a_4+a_7=15，则a_n=______。
2. 等比数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则a_1^2+a_2^2+·s+a_n^2=______。
3. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n + 1=3a_n+1，则a_n=______。
4. 数列{a_n}的通项公式a_n=(n + 1)/(n)，则它的前n项和S_n=______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a_3=5，S_6=36。
求数列{a_n}的通项公式；设b_n=2^a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n。
数列的测试题
数列的测试题
1. 基础题：给定数列的前几项，找出数列的通项公式。
- 题目：数列的前5项为 2, 4, 8, 16, 32，求该数列的通项公式。
2. 中等题：使用等差数列和等比数列的性质解决问题。
- 题目：已知等差数列的第3项为10，第5项为18，求该数列的
首项和公差。
3. 提高题：数列的求和问题。
- 题目：给定等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和。
4. 应用题：将数列问题与实际问题结合起来。
- 题目：某公司每年的利润增长率为5%，如果第一年的利润为100
万元，求5年后的总利润。
5. 综合题：涉及到数列的极限问题。
- 题目：给定数列 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...，求该数列的极限。
6. 探索题：发现数列的规律并证明。
- 题目：观察数列 1, 11, 21, 1211, 111221，找出数列的规律并
证明。
7. 计算题：使用数列的性质进行复杂的计算。
- 题目：已知等比数列的首项为2，公比为3，求前6项的和。
8. 证明题：证明数列的性质或定理。
- 题目：证明等差数列中任意两项的等差中项等于这两项的算术平
均数。
9. 开放题：设计一个数列问题并解决。
- 题目：设计一个数列，使得它的前n项和为n^2，求该数列的通项公式。
10. 创新题：使用数列解决非传统问题。
- 题目：在数学竞赛中，每位参赛者需要解决一系列问题。
如果解决一个问题可以获得5分，未解决则扣2分。
如果参赛者想要获得至少20分，他至少需要解决多少个问题？。
竞赛_140331_数列训练题
1.等差数列{}n a 前前n 项和为n S ，已知254523335,25,S S a a ==则6543S a =____________. 2.若,[],{}a a a 依次组成等比数列，则正数a =_________.3.数列中，11126)2(2,1n n n a a n a a n n--==+-≥+，则此数列的通项公式n a =____________. 4.已知数列{}n a 满足*012210,1,,1(n )n n n n a a N a a a a +====∈+,则2013a =_____________.5.已知数列{}n a 满足*113,325n n n a n a a N +∈=+-，{}n a 中只取有穷个不同的数的充要条件是__________. 6.已知2,32n n n a b n ==+，则{}n a 与{}n b 相同的项按照从小到大的顺序组成新数列{}n c ，n c =__________.7.若()1121n n n a a n ++-=-，则60S =_____________.8.已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：220,n n n n n n a a S c a b +-==，(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若*111,202,()n n b b b n n N -≥=∈=-求数列{}n c 的前n 项和n T .(3)是否存在整数,m M ，使得n m T M <<对任意正整数n 成立，且4M m -= ？说明理由.9. 已知数列{}n a 满足*1(n )n n S a N ∈=-，其中n S 为{}n a 的前n 项.(1)试求{}n a 的通项公式；(2)设11111n n n C a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为n P ，求证：125n P n >-.10.已知数列{}n a 满足2*113,n ,()n n n a a a n N R a λλ+==+∈∈-. (1)若2n a n ≥恒成立，求λ的取值范围.(2)若2λ=-，求证211112222n a a a ++<--+-.11.已知数列{}n a 满足*11(21)21,()2n n nn a n a N a a n n ++=--∈++=，求{}n a 的通项公式.12.设数列{}n a 满足21122(1)1,()2,3n n n a a a a n a --+==≥= (1)求{}n a . (2)求证：对*N k ∀∈都是整数.13.在数列{}n x 中，13,,,1, 4.n n n x R q x p p q x +∈===(1)求证：21;n n n x x x ++=+(2)指出2013x 的末位数字，但不必证明.14.盒中装有红色和蓝色纸牌各100张，每色纸牌都含有标数为2991,3,3,,3的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为S ；对于给定的正整数n ，若能从盒中取出若干张牌，使其标数之和恰为n ，便成为一种取牌_n 方案，不同_n 方案的种数记为()f n ，求(1)(2)()f f n f +++.。
数列测试题及答案解析
数列测试题及答案解析一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，则a5的值为：A. 11B. 14C. 17D. 20答案：B2. 下列数列中，不是等比数列的是：A. 1, 2, 4, 8, ...B. 2, 4, 8, 16, ...C. 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...D. 3, 6, 12, 24, ...答案：D3. 数列{bn}的通项公式为bn=2n-1，该数列的前n项和Sn为：A. n^2B. n^2 - 1C. 2^(n+1) - 1D. 2^(n+1) - 2答案：C4. 等差数列{an}中，若a2+a4=10，则a3的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C5. 数列{cn}的前n项和为Tn，若Tn=n^2+n，则c1+c2+c3+...+c10的值为：A. 100B. 110C. 120D. 130答案：B6. 数列{dn}的前n项和为Sn，若Sn=n^2-n，则dn的通项公式为：A. 2n-1B. 2nC. n-1D. n答案：C7. 数列{en}中，e1=1，e2=2，且对于任意的n∈N*，有en+1/en=n+1，则e3的值为：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A8. 数列{fn}是等比数列，且f1=1，f3=8，则f2的值为：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B9. 数列{gn}中，g1=1，g2=3，且对于任意的n∈N*，有gn+1=2gn+1，则g3的值为：A. 7B. 9C. 11D. 13答案：A10. 数列{hn}的前n项和为Tn，若Tn=2^n-1，则hn的通项公式为：A. 2^(n-1)B. 2^nC. 2^(n-1) - 1D. 2^n - 1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 等差数列{an}中，若a1=3，d=2，则a10=________。
答案：1512. 数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn=n^2+2n，则bn的通项公式为bn=________。
数列大题训练50题-精选.
数列大题训练50题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++L . 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且Λ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。
4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++L 的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11K =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值； （II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。
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又，=15363()66－36>1，=1536()78－66<1．故选C．
1.设数列 满足 ，则 .
答案：8041.
由题意， ， ，且
∴ ， .
∴ ，
∴ .
1．设an是(3 的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则 )=________.
答案：1530.
推广到一般情形，设 个学生按题设方式排列的方法数为 ,
则 ， ， .
从而， .
∴ .
2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”,将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n=_______________. (王继忠供题)
解:设 为吉祥数,则x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得
2、设数列 满足: ,且对于其中任意三个连续项 ,都有:
.则通项 ．答案： ．
解：由条件得， ，所以，
，故 ，而 ；
；于是 ；
由此得， .
1．（本小题满分16分）若 是大于2的正整数，求
的最小值.
解：当 时，
假设 时,
则当 时，
因此，所求最小值为 .
9．已知数列 满足 ， （ ），求 的通项公式.
9．
(A)150(B)200
(C)150或200(D)50或400
解：首先q≠1，于是，(q10－1)=10，(q30－1)=70，∴q20+q10+1=7．q10=2．(－3舍)
∴S40=10(q40－1)=150．选A．
1．设等差数列{an}满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( )
16、解：（I） ，
当 时，由 知 或者 ，（5分）
当 时， ，又 ， ，故 ；
当 时， ，又 ， ，故 ；
当 时， ，
∵ 时， ； 时， ；
∴ 在 处取得最大值，即
综上所述， ．（10分）
（II）当 时，欲证 ，只需证明
∵
所以，当 时，都有 成立．（15分）
（III）当 时，结论显然成立；
当 时，由（II）知
(A)S10(B)S1பைடு நூலகம்(C)S20(D)S21
解：3(a+7d)=5(a+12d)，d=－a，令an=a－a(n－1)≥0，an+1=a－a n<0，得n=20．选C．
2．等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是( )
(A)π9(B)π11(C)π12(D)π13
令 ,则 ，即数列 是以 ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以 .------------------------------------------8分
所以 ,即 .------------------------------------------12分
于是，当 时,
，
因此, ------------------------------------------16分
．
所以，对任意正整数 ，都有 成立．（20分）
3．（本小题满分20分）数列 满足 ，当 时有 .证明：对所有整数 ，有 .
证法1：
证明：由已知得 ，在上式中以 代替 得到 ，
两式相减得 ，此式对所有整数 均成立.
设 ，则
由于 ，故 应在 与 之间.由于 ，故 .因此当 时，均有 ，故 ，证毕.
证法2：
.
9.（20分）设数列 满足 ， ， .求 的通项公式.
9.解：特征根法.又 ， ，…………（10分）
得 ，
于是 .………………（20分）
9．已知正项数列 满足 且 ， ，求 的通项公式．
解在已知等式两边同时除以 ，得 ，
所以 ．------------------------------------------4分
(A)5(B)6(C)7(D)8
解：(an+1－1)=－(an－1)，即{an－1}是以－为公比的等比数列，
∴an=8(－)n－1+1．∴Sn=8·+n=6+n－6(－)n，6·<，n≥7．选C．
3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1= ，则 =（）
A．1B．-1C．2+ D．-2+
3．xn+1= ，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+ ),∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+ , x3=-2- , x4=-1, x5=-2+ , x6=2- , x7=1，……，∴有 。故选A。
(x1-1)+x2+…+xm=4,所以, 为第 个吉祥数. 为第 个吉祥数.
由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共 个,三位吉祥数共 个,
因以1为首位的四位吉祥数共 个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:
2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.
3．各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于( )
由二项式定理知， ，因此
= =18.
11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是；
解：=+，令bn=+，得b0=，bn=2bn－1，bn=2n．即=，=(2n+2－n－3)．
3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的最小整数n是
证明：用归纳法证明加强命题：an≥n≥3．
1当n= 3, 4时，
a3= 1≥,a4=≥．
9.已知数列 满足 ，且 。
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为非零常数，若数列 是等差数列，记 ，求
11.设 为正实数，且 ，求证：
16、设函数 在 上的最大值为 （ ）．
（I）求数列 的通项公式；
（II）求证：对任何正整数 ，都有 成立；
（III）设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数 ，都有 成立．
7．椭圆 的短轴长等于 ．
【解】 故 ．从而 ．
4、设 ，则函数 的最大值是．
答案： ．
解：由 ，所以，
，即 ，当 ，即
时取得等号．
5、 ．答案： ．
解：
．
8.10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同.则满足要求的发帽子的方法共有种.