大学生数学(非数)竞赛经典题目

an +1 22.对于实数对 ( x, y ) ，定义数列 {an }= . a0 x,=
2 an + y2 = (n 0,1, 2 ⋅⋅⋅) .设区 2
域 D = {( x, y ) | 使得数列{an }收敛} ，求 D 的面积. 23.对于 m 个正数 a1 , a2 , a3 ...am ，证明：lim(
∫
2
ydx − xdy ( x + xy + y 2 ) 2 . x2 + y 2 = r2
∫
xn 存在. n 1, 2, ⋅⋅⋅) ，证明： lim = 13.设数列 {xn } 满足 | xn +1 − xn |≤ 2− n ( n →∞
14.求证：级数 ∑∑
1 2 收敛，并求和. = n 1= m 1 m n + 2mn + mn
f ''( x) − 5 f '( x) + 6 f ( x) ≥ 0 .证明： ∀x ≥ 0 时， f ( x) ≥ 3e 2 x − 2e3 x .
3.设函数 f ( x) 在 [0, +∞) 上连续且严格单调递增， f (0) = 0 ， a > 0, b > 0 ， 求证： ab ≤ ∫0 f ( x)dx + ∫0 g ( y )dy .其中 g ( y ) 是 f ( x) 的反函数. 4.已知 f (t ) 在区间 [a, x] 上连续，在点 a 处可导且 f ' (a) ≠ 0 。设 g ( x) 在区 间 [ a, x ] 连续且不变号，并且 g (a) ≠ 0 ，若
0
π
α I n = 0 ； (2)讨论 ∑ I n （1） lim 的收敛性. n →∞
n =0
∞
n 1 1 8.求和： s = ∑ ∑ n . = n 1= k 1k2
∞
思考题
1.已知 ∫0
+∞
−x +∞ e sin x π sin x dx = ，计算 I = ∫ dx . 0 x 2 x
2
∞
∞
pan + an +1 (n = 1, 2,3) 收敛，若 | p |< 1 ，证明： 15.设数列 {an } 使得数列 bn = {an } 收敛.
16. 设 f ( x) 在 (−∞, +∞) 上 连 续 ，
∫
+∞
−∞
f ( x)dx 存 在 ， 证 明 ：
∫
+∞
−∞
+∞ 1 f ( x − )dx = f ( x)dx . ∫ −∞ x
1
= ∫ f (t ) g (t )dt f (ξ） ∫ g (t )dt , ξ ∈ (a, b) ，则 lim
a a x x
a b
ξ −a
x−a
x→a
=?
5..已知函数 f ( x) 在 [0,1] 上三阶可导，且 f (0) = −1 ， f (1) = 0 ， f '(0) = 0 .证 存在 ξ ∈ (0,1) ， 使得 f ( x) =−1 + x 2 + 明： 对于任意的 x ∈ (0,1) ， 6.计算二重积分 I = ∫∫
xn . 求使得数列 {xn } 收敛的 x0 的值范围以及对应的 lim n →∞
1 3 ( x + 4 x 2 + 6 x − 6) . 5
= xn (2 − Axn ), = (n 0,1, 2 ⋅⋅⋅) ，其中 A > 0 .确定初始值 x0 ，使得 {xn } 收 21.设 x n +1
敛.
D
x 2 ( x − 1) f '''(ξ ) . 6
2 x − x2 − y 2 dxdy .其中 D 为 ( x − 1) 2 + y 2 = 1( y ≥ 0) ， 2 2 x + y − 2x + 2
y ≤ x − 1 与 y = 0 围成的区域.
7.设 I n = ∫ 2 sin n xdx ，证明：
2.计算积分 ∫0 x ln(sin x)dx .
(0) f= (1) 0 ，若 f ''( x) 在 (0,1) 内存在，且满 3.设 f ( x) 在 [0,1] 连续，满足 f=
π
足 f ''( x) + 2 f '( x) + f ( x) ≥ 0 .证明： ∀x ∈ [0,1] ，有 f ( x) ≤ 0 . 4. f ( x) 在 [0,1] 上连续，并且 f ( x) ≥ 0 ， f 2 ( x) ≤ 1 + 2∫0 f (t )dt ， x ∈ [0,1] .证明：
n →∞ n
a1 + n a2 + ... + n am n m ) = a1a2 ...am m
24.对于 m 个正数 a1 , a2 , a3 ...am ，证明：
a n + a2 n + a3n + ... + am n n = = lim 1 max{ ai }.(i 1, 2,3...m) n →∞ m
17. 设 f ( x) 在 (0, +∞) 上 连 续 ， 证 明 ： 对 于 ∀a ∈ R + ，
∫
a
1
1 a2 f ( x 2 + 2 )dx= x x
∫
a
1
1 a2 f ( x + )dx x x
18.设 f ( x) 在 (0, +∞) 上连续，证明：
∫
e2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
e2 e x ln x e x 1 f( + ) dx = f ( + ) dx ∫ 1 x e x x e x
x
y
n( 10.数列 {an } 为正数列，且 lim n →∞ a
∞
an
n +1
− 1) = λ ，证明：
∞
（1）若 λ < 1 ，则 ∑ an 发散. （2）若 λ > 1 ，则 ∑ an 收敛.
n =1 n =1
11.设 f (r , t ) = 12.求 lim r →∞
ydx − xdy lim f (r , t ) . ( x 2 + y 2 )t ，求极限 r →∞ x 2 + xy + y 2 = r2
2 + (1 − 2a ) xn + a 2 (= xn n 1, 2,3 ⋅⋅⋅) ，求 a 与 b 满足的条件，使 19.设 x1 = b ， xn += 1
xn . 得 {xn } 收敛，并求 lim n →∞
xn +1 f ( xn = )(n 0,1, 2 ⋅⋅⋅) ，其中 f ( x) = 20.定义数列： x0 ，=
1
1 b n n 25.设函数 f （x） 是区间[a,b]上的正值连续函数， 求 lim f ( x)dx ∫ n →∞ b − a a
1
26. 设 函 数 f(x,y) 是 区 间 D=[a,b]×[c,d] 上 的 正 值 连 续 函 数 , 求 ：
n 1 lim f n ( x, y )dxdy ∫∫ n →∞ (b − a )( d − c ) D
| g '( x) |≤| g ( x) | 试证： g ( x) ≡ 0 .
8.证明：积分方程 f ( x, y ) = 1 + ∫0 du ∫0 f (u, v)dv 在 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 中至多 有一个连续解.
x2 y 2 x2 y 2 = = D {( x, y ) | 2 + 2 ≤ π 2 } . 9. 计算 I ∫∫ sin 2 + 2 dxdy ，其中 a b a b D
f ( x) ≤ 1 + x .
x
5. f ( x) 在 [0,1] 上连续，求证： lim n →∞ ∫0
1
1
n π f ( x)dx = f (0) . 2 2 n x +1
2
n x n f ( x)dx . 6. f ( x) 在 [0,1] 上连续，求 lim n →∞ ∫0
7.设函数 g ( x) 的一介导数 g '( x) 连续， g (0) = 0 ，且对于任一的 x，
大学生数学(非数)竞赛经典题目
1.计算无穷积分： （1） I = ∫0
+∞ +∞ 1 − cos x − x ln x dx . e dx ； （2） I = ∫0 2 x + 3x + 9 x
2.设 f ( x) 是二次可微函数， 满足 f (0) = 1 ， f ' (0) = 0 .且对于任意的 x ≥ 0 有