高中数学竞赛专题之数列
数列经典题目(竞赛专题)
当an · an+1 为偶数时, 当an · an+1 为奇数时.
证明, 对每个 n ∈ N∗ , 都有 an ̸= 0. 13. (奥地利 − 波兰,1980) 设数列 {an } 满足 |ak+m − ak − am | p, q ∈ N∗ , 都有 ap aq 1 1 − < + . p q p q 14. (苏联莫斯科,1972) 将 0 和 1 之间所有分母不超过 n 的分数都写成既约形式, 再按递增顺序排成一 a c 列. 设 和 是其中任意两个相邻的既约分数, 证明 b d |bc − ad| = 1. 15. (波兰,1978) 对给定的 a1 ∈ R, 用下列方式定义数列 a1 , a2 , · · · : 对 n ∈ N∗ , ( ) 1 an − 1 , 当an ̸= 0时, an an+1 = 2 0, 当a ̸= 0时,
2), x1 = a, x2 = b, 记 Sn = x1 + x2 + · · · + xn , 则下列结 ) (B) x100 = −b, S100 = 2b − a; (D) x100 = −a, S100 = b − a . 1 时,xn+2 等于 xn xn+1 的个位数, 则 x1998 等于 . . . . ( (C) 6; (D) 8 . 2), 则数列的通项公式为 an = . )
的每一项都是整数, 其中 n ∈ N∗ . 并求所有使 an 被 3 整除的 n ∈ N∗ . 19. (捷克,1978) 证明, 数列 bn = ( √ )n ( √ )n 3+ 5 3− 5 − −2 2 2
的每一项都是自然数, 其中 n ∈ N∗ , 并且当 n 为偶数或奇数时分别具有 5m2 或 m2 的形式, 其中 m ∈ N∗ .
高中数学竞赛讲义(五)──数列
高中数学竞赛讲义（五）──数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。
其中a1叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n表示{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等比数列，q叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。
定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题摘要：一、高中数学竞赛数列专题简介1.高中数学竞赛背景2.数列专题在竞赛中的重要性3.数列专题的主要内容二、等差数列与等比数列1.等差数列的概念与性质2.等差数列的通项公式与求和公式3.等比数列的概念与性质4.等比数列的通项公式与求和公式三、常见的数列类型1.质数数列2.斐波那契数列3.几何数列4.调和数列四、数列的性质与应用1.数列的递推关系2.数列的极限与无穷数列3.数列在实际问题中的应用五、高中数学竞赛数列专题的备考策略1.掌握基础知识2.熟练运用公式与性质3.分析与解决问题的方法与技巧4.模拟试题与真题训练正文：高中数学竞赛数列专题涵盖了丰富的知识点，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
为了更好地应对数列专题的挑战，我们需要对这一专题有全面的了解，包括基本概念、公式、性质以及实际应用等方面。
首先，高中数学竞赛的背景为选拔优秀的学生参加各类数学竞赛，如全国青少年数学竞赛、国际奥林匹克数学竞赛等。
在这些竞赛中，数列专题具有很高的出现频率和重要性，因此，对这一专题的掌握程度对竞赛成绩有着直接影响。
数列专题的主要内容包括等差数列与等比数列、常见的数列类型、数列的性质与应用等方面。
等差数列与等比数列是数列的基本类型，它们在数学竞赛中占据重要地位。
等差数列具有以下性质：任意两项之差相等；等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，求和公式为Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。
等比数列具有以下性质：任意两项之比相等；等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，求和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
在高中数学竞赛中，还常遇到一些常见的数列类型，如质数数列、斐波那契数列、几何数列和调和数列等。
这些数列具有独特的性质和规律，需要我们熟练掌握其定义、公式和性质。
数列的性质与应用方面，我们需要了解数列的递推关系、极限与无穷数列，以及数列在实际问题中的应用。
递推关系是指数列的通项公式可以通过已知的前几项求得。
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题（实用版）目录1.高中数学竞赛数列专题的重要性2.数列的基本概念和分类3.数列的性质和特点4.数列的解题方法与技巧5.典型例题解析6.参加高中数学竞赛的建议正文【高中数学竞赛数列专题的重要性】高中数学竞赛数列专题作为数学竞赛中的一个重要组成部分，对于提高学生的数学素养、培养学生的逻辑思维能力和解题技巧具有重要意义。
数列是数学中一个基本的研究对象，它与函数、极限、微积分等领域有着密切的联系，因此，掌握数列相关的知识对于高中生来说是十分必要的。
【数列的基本概念和分类】数列是一组按照一定顺序排列的数，其中每一个数称为这个数列的项。
数列可以按照项之间的关系分类，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
等差数列是指数列中任意两项的差都相等的数列；等比数列是指数列中任意两项的比都相等的数列；斐波那契数列则是指数列的前两项为 1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。
【数列的性质和特点】数列具有许多重要的性质和特点，如公比、公差、首项、末项等。
这些性质和特点对于数列的求和、求通项、证明数学结论等方面有着重要的应用。
在解决数列问题时，我们需要灵活运用数列的性质和特点，以便快速准确地解决问题。
【数列的解题方法与技巧】解决数列问题有许多方法与技巧，如列举法、通项公式法、错位相减法、等比数列求和公式等。
在实际解题过程中，我们需要根据题目的特点选择合适的方法与技巧，以便迅速找到解题思路。
同时，我们还需要积累大量的解题经验，以便在遇到类似问题时迅速找到突破口。
【典型例题解析】例题：已知等差数列的前三项分别为 1, 3, 5，求该数列的第 10 项。
解：根据等差数列的性质，可知该数列的公差为 3-1=2。
利用等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d，其中 an 表示第 n 项，a1 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。
将已知条件代入公式，得到 a10=1+(10-1)×2=19。
因此，该数列的第 10 项为 19。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题摘要：一、引言1.高中数学竞赛的重要性2.数列专题在竞赛中的地位二、数列基本概念与性质1.等差数列2.等比数列3.斐波那契数列4.数列的极限与连续三、数列求和公式与应用1.等差数列求和公式2.等比数列求和公式3.求和公式的应用实例四、数列与函数的关系1.数列的通项公式与函数2.数列的前n项和与函数五、数列题型分类与解题策略1.判断数列性质题2.数列求和题3.数列递推式题4.数列与函数综合题5.解题策略总结六、高中数学竞赛数列真题解析1.真题举例2.解题过程与思路分析七、数列专题强化训练与建议1.推荐练习资料2.强化训练方法与时间安排3.提高数列能力的建议八、总结1.数列专题在高中数学竞赛中的重要性2.掌握数列基本概念与性质3.熟练运用求和公式和解题策略4.结合实际训练，提高数列水平正文：一、引言随着教育制度的不断发展，高中数学竞赛日益受到广泛关注。
在众多竞赛专题中，数列专题具有举足轻重的地位。
本文将从以下几个方面展开讨论，以帮助同学们更好地掌握数列知识，提高在数学竞赛中的竞争力。
二、数列基本概念与性质1.等差数列：等差数列是指一个数列，其中任意两个相邻的元素之差相等。
这一常量称为公差。
2.等比数列：等比数列是指一个数列，其中任意两个相邻的元素之比相等。
这一常量称为公比。
3.斐波那契数列：斐波那契数列是指这样一个数列：第一项和第二项均为1，从第三项开始，每一项等于前两项之和。
4.数列的极限与连续：数列极限是指当项数趋向无穷时，数列值的极限值。
数列连续性是指数列在某一区间内，任意两项之间的差值趋于0。
三、数列求和公式与应用1.等差数列求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为末项。
2.等比数列求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中n为项数，a1为首项，q为公比。
3.求和公式的应用实例：利用求和公式计算等差数列或等比数列的前n项和。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题数列是高中数学竞赛中常见的重要题型，掌握数列的性质及解题方法对于参加数学竞赛至关重要。
本文将围绕高中数学竞赛数列专题展开讨论，包括数列的定义与性质、常见数列的特征、递推公式的应用、数列的求和与极限等方面的内容。
一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一系列数，常用字母表示，如$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$。
数列的第一项记作$a_1$，第二项记作$a_2$，第$n$项记作$a_n$。
数列中的数字称为项，项之间的关系由递推关系式表示。
数列的性质包括有界性、单调性以及极限。
有界性是指数列的所有项都满足某个范围，可以是有上界、下界或者同时有上下界。
单调性是指数列的项按照一定的规律递增或递减。
而极限是指数列的项随着$n$的增大逐渐趋于某一个值。
二、常见数列的特征常见数列包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
等差数列是指数列的相邻项之间的差值相等，记作$a_n=a_1+(n-1)d$。
其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$d$表示公差。
等差数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式等。
等比数列是指数列的相邻项之间的比值相等，记作$a_n=a_1 \cdotq^{(n-1)}$。
其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$q$表示公比。
等比数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式以及无穷项和公式等。
斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列，记作$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
其中，$a_n$表示第$n$项，$a_{n-1}$表示前一项，$a_{n-2}$表示前两项。
斐波那契数列的性质包括：递推关系式、通项公式、性质应用等。
三、递推公式的应用递推公式是描述数列中项之间的关系的方程式。
通过解递推公式，可以确定数列中任意一项的值。
在数学竞赛中，递推公式的应用非常重要。
解递推公式可以使用递推法、代入法和特殊求和法等不同的方法。
高中数学竞赛专题之数列
高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：性质1：若 ,,,,21n a a a 是等差（等比）数列，那么 ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差（等比）数列。
性质2：若}{n a 为等差数列，且∑∑===kl lk l l ji 11，那么∑∑===kl j k l i llaa 11（脚标和相同则对应的项的和相同）；若}{n a 为等比数列，且∑∑===kl lkl lji 11，那么l l j kl i k l a a 11===ππ（脚标和相同则对应的项的积相同）。
性质3：若}{n a 为等差数列，记 ,,,,1)1(1211∑∑∑=-+=+====ki k m i m k i k i ki i a S a Sa S ，那么}{m S 仍为等差数列，}{n a 为等比数列，记 ,,,,)1(11211k m i kl m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ，那么}{m P 仍为等比数列。
性质4：若}{n a 为等比数列，公比为q ，且|q|〈1，则qa S n n -=∞→1lim 1。
例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若132+=n n T S n n ， 则=∞→nn n b a lim（ ）A.1 B. 36 C. 32 D.94例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（ ）A.130B. 170C. 210D.260例3、}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若331313++=n n T S n n （1）求2828a b 的值， （2）求使n na b 为整数的所有正整数n 。
例4、在等差数列}{n a 中，若010=a ，则有等式),19(,192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++- 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列}{n b 中，若19=b ，则有等式 成立。
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高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及容对照讨论如下：性质1：若K K ,,,,21n a a a 是等差（等比）数列，那么K K ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差（等比）数列。
性质2：若}{n a 为等差数列，且∑∑===kl lk l l ji 11，那么∑∑===kl j k l i llaa 11（脚标和相同则对应的项的和相同）；若}{n a 为等比数列，且∑∑===kl lkl lji 11，那么l l j kl i k l a a 11===ππ（脚标和相同则对应的项的积相同）。
性质3：若}{n a 为等差数列，记K K ,,,,1)1(1211∑∑∑=-+=+====ki k m i m k i k i ki i a S a Sa S ，那么}{m S 仍为等差数列，}{n a 为等比数列，记K K ,,,,)1(11211k m i kl m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ，那么}{m P 仍为等比数列。
性质4：若}{n a 为等比数列，公比为q ，且|q|〈1，则qa S n n -=∞→1lim 1。
例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若132+=n n T S n n ， 则=∞→nn n b a lim（ ）A.1 B. 36 C. 32 D.94例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（ ）A.130B. 170C. 210D.260例3、}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若331313++=n n T S n n （1）求2828a b 的值， （2）求使nna b 为整数的所有正整数n 。
例4、在等差数列}{n a 中，若010=a ，则有等式),19(,192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++-K K 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列}{n b 中，若19=b ，则有等式 成立。
例5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为 。
例6、设1,,2,110|.0{(21===n i n n a n i a a a a n M K K ，或只取位纯小数十进制）}，n T 是n M 的元素个数，n S 是所有元素的和，则=∞→nnn T S lim。
例7、设A={1,2,…n},n S 是A 的所有非空真子集元素的和，n B 表示A 的子集个数，求nn n B n S 2lim∞→的值。
例8、设数列}{n a 的前n 项和为),2,1(,12K =-=n a S n n ，数列}{n b 满足),2,1(,,311K =+==+k b a b b k k k ，求数列}{n b 的前n 项和。
方法：首先找出}{n a 的通项式，在找出}{n b 的通项式例9、设}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列，且)(,,,21233222211a a a b a b a b <===，又12)(lim 21+=+++∞→n n b b b K ，试求}{n a 的通项公式。
例10、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且)(),1(23N n a S n n ∈-=，数列}{n b 的通项式为34+=n b n ，（1）求数列}{n a 的通项公式，（2）若},,,{},,,{2121K K I K K n n b b b a a a d ∈，则称d 为数列}{n a 与}{n b 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列}{n d ，证明：}{n d 的通项公式为)(,312N n d n n ∈=+。
例11、)4(2≥n n 个正数排成n 行n 列：,11a ,12a ,13a K n a 1 ,21a ,22a 23a K n a 2K K K K K K,1n a ,2n a ,3n a K nn a其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知163,81,1434224===a a a ，求11a +22a ++33a K +nn a 的值。
作业：1、将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按n 组有(2n-1)个奇数进行分组：{1}、{3，5，7}、{9，11，13，15，17}….，则1991位于 组中。
2、在等差数列}{n a 中，公差0≠d ，412a a a 与是的等比中项，已知数列K K ,,,,,,2131kn k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项公式。
3、设正数数列}{n a 满足32,122++=+=n n n n n a a b a S ，（1）求数列}{n a 的通项公式，（2）设)(22222mn b a n m b a M n m n m +-+++=，试求M 的最小值。
二、数学归纳法数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：（1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力； （2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；（3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。
第一数学归纳法：设)(n T 是一个关于自然数n 的命题，满足以下条件：（1）)1(T 是成立的，（2）假设)(k T 成立能推出)1(+k T 成立，则命题对一切自然数n 都成立。
第二数学归纳法：设)(n T 是一个关于自然数n 的命题，满足以下条件：（1）)1(T 是成立的，（2）假设)1(T ，)2(T ，…)(k T 成立能推出)1(+k T 成立，则命题对一切自然数n 都成立。
解题思维过程：尝试——观察——归纳、猜想——证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。
解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。
例1、已知对任意自然数n ，有2113)(0∑∑===>nj j nj jn a aa 且，求证n a n = （1989年高中）例2、用n S 表示n2,3,2,1K 的各数的最大奇数因子之和，求证：)24(31+=nn S例3、设}{n a 是正数数列且满足)1(21nn n a a S +=，求数列}{n a 的通项公式。
方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明例4、已知数列}{n x 满足：11=x ，当1≥n 时，有))(1(32(413221123121+--++++=++++n n n n n n x x x x x x n x nx x x x x x x K K ），试求数列}{n x 的通项公式。
方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明例5、一个数列}{n V 定义如下：)1(,)2(,25,2121110≥--===-+n V V V V V V n n n ，证明：对于自然数n ，有])1(2[312][n nn V --=。
这里][n V 表示不超过n V 的最大整数。
（IMO18-6）方法：变化形式例6、设数列}{n a 满足：a a a a a nn +=+=+1,111，这里10<<a ，求证：对所有的自然数n ，有1>n a 。
（1977年加拿大数学奥林匹克）例7、已知n a a a K ,,21是n 个正数且满足121=n a a a K ，求证：nn a a a 322221≥++⋅+）（）（）（K例8、已知 a, b 是正实数，且满足111=+ba ，试证：对每一个自然数n ，有 1222)(+-≥--+n n n n nb a b a三、递推数列，热点问题是求递推数列的通项公式1、转化：最常见的转化为等差（等比）数列的通式和求和类型：（1）b aa a n n +=-1，化归成)(1λλ+=+-n n a a a 型；（2）n n n b d ca a ⋅+=+1，化归成)(11--+=+n n n n b a c b a λλ型；（3）r b d ca a n n n +⋅+=-1，化归成)(11u ba c ub a n n n n ++=++--λλ型； （4）d cn pa a n n ++=-1，化归成])1([1u n a p u n a n n +-+=++-λλ型； （5）c da ca a n n n +=--11，化归成cda a n n +=-111型； （6）21--+=n n n qa pa a 型例1、、已知数列}{n x 满足：11=x ， 2111)1(4,-+=>++-n n n n n n x x x x x x 且，试求数列}{n x 的通项公式。
方法：开方转化成等差数列的形式例2、设数列}{n a 满足：43,111+==+n n a a a ，求}{n a 的通项公式。
例3、设数列}{n a 满足：),2,1(,1,11221K =+===++n a a a a a n n n ，求2004a 。
例4、设数列}{n a 满足：n a a n a n n +=+=+11)1(,1，求2005a 。
2、变换（代换）：三角代换、代数代换 例1、已知11011,2---+==n n n a a a a ，求n a 。
方法：观察特点，联想到正切公式例2、数列}{n a 满足：)24141(161,111n n n a a a a +++==+，求n a 方法：含根式，通过代换转化为不含根式的递推式例3、设n a a a K ,,21满足关系式3,18)6)(301==+-+a a a n n 且（，则=∑=ni ia 01方法：倒数关系不易求解，通过代换转化为熟悉的形式例4、给定正整数n 和正数M ，对于满足条件：M a a n ≤++2121的所有等差数列n a a a K ,,21，试求1221++++++=n n n a a a S K 的最大值。
方法：根据特点，三角代换3、特征方程及特征根求解递推式对于二阶线性递推数列数列}{n x 满足：012=++++n n n bx ax x ..（1）其中b a ,为常数，若有等比数列}{nx 满足等式（1），则x 必满足相应的方程：0)(2=++=b ax x x f …….（2），称此方程（2）为（1）的特征方程。
数列}{n x 的通项公式与特征方程的根有如下关系：当042>-b a 时，方程（2）有两个不相同的实数根21,q q ，则数列}{1nq 、}{2nq 均是（1）的解，并且对任意常数21,c c 有}{2211nnq c q c +也是（1）的解（通解），21,c c 由初值确定。