高中数学竞赛典型题目(一)
高中数学奥林匹克竞赛试题及答案
高中数学奥林匹克竞赛试题及答案1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k ＋1）2得出k2＋2k不是平方数．3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km ＋dk2）d＝（m＋kd）2对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄．【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n?10a＋1．因此b＝n2100a2?20a＋1由此得 20a＋1＜100，所以a?4．经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n2－402?422－402＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412＝1681．6 求所有的素数p，使4p2＋1和6p2＋1也是素数．1964年波兰【解】当p≡±1（mod 5）时，5|4p2＋1．当p≡±2（mod 5）时，5|6p2＋1．所以本题只有一个解p＝5．7 证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n4＋a 都不是素数．1969德国．【证】对任意整数m＞1及自然数n，有n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2）而 n2＋2mn＋2m2＞n2－2mn＋2m2＝（n－m）2＋m2?m2＞1故n4＋4m4不是素数．取a＝4224，4234，…就得到无限多个符合要求的a．8 将某个17位数的数字的顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．1970年苏【证】假设和的数字都是奇数．在加法算式中，末一列数字的和d＋a 为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b＋c?9．于是将已知数的前两位数字a、b与末两位数字c、d去掉，所得的13位数仍具有性质：将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数．照此进行，每次去掉首末各两位数字．最后得到一位数，它与自身相加显然是偶数．矛盾！9 证明：如果p和p＋2都是大于3的素数，那么6是p＋1的因数．1973年加拿大【证】因p是奇数，2是p＋1的因数．因为p、p＋1、p＋2除以3余数不同，p、p＋2都不被3整除，所以p＋1被3整除．10 证明：三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项（不一定是连续的）．美国1973年【证】设p、q、r是不同素数．假如有自然数l、m、n和实数a、d，消去a，d，得化简得（m－n）3p＝（l－n）3q＋（m－l）3r＋3（l－n）（m11 设n为大于2的已知整数，并设V n为整数1＋kn的集合，k＝1，2，…．数m∈V n称为在V n中不可分解，如果不存在数p，q∈V n使得pq＝m．证明：存在一个数r∈V n可用多于一种方法表达成V n中不可分解的元素的乘积．1977年荷兰【证】设a＝n－1，b＝2n－1，则a2、b2、a2b2都属于V n．因为a2＜（n＋1）2，所以a2在V n中不可分解．式中不会出现a2．r＝a2b2有两种不同的分解方式：r＝a22b2＝a2…（直至b2分成不可分解的元素之积）与r＝ab2ab＝…（直至ab分成不可分解的元素之积），前者有因数a2，后者没有．12 证明在无限整数序列10001，100010001，1000100010001，…中没有素数．注意第一数（一万零一）后每一整数是由前一整数的数字连接0001而成．1979年英国【证】序列1，10001，100010001，…，可写成1，1＋104，1＋104＋108，…一个合数．即对n＞2，a n均可分解为两个大于1的整数的乘积，而a2＝10001＝137273．故对一切n?2，a n均为合数．13 如果一个自然数是素数，并且任意地交换它的数字，所得的数仍然是素数，那么这样的数叫绝对素数．求证：绝对素数的不同数字不能多于3个．1984年苏【证】若不同数字多于3个，则这些数字只能是1、3、7、9．不难验证1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139除以7，余数分别为0、1、2、3、4、5、6．因此对任意自然数M，1043M与上述7个四位数分别相加，所得的和中至少有一个被7整除，从而含数字1、3、7、9的数不是绝对素数．14正整数d不等于2、5、13．证在集合｛2，5，13，d｝中可找到两个不同元素a、b，使得ab－1不是完全平方数．1986年德【证】证明2d－1、5d－1、13d－1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可．用反证法，设5d－1＝x2 5d－1＝y2 13d －1＝z2 其中x、y、z是正整数．x是奇数，设x＝2n－1．代入有2d－1＝（2n－1）2即d＝2n2－2n＋1 说明d也是奇数．y、Z是偶数，设y＝2p，z＝2q，代入（2）、（3）相减后除以4有2d＝q2－p2＝（q＋p）（q－p）因2d是偶数，即q2－p2是偶数，所以p、q同为偶数或同为奇数，从而q＋p和q－p都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数．这与d是奇数相矛盾，故命题正确．15 .求出五个不同的正整数，使得它们两两互素，而任意n（n?5）个数的和为合数．1987年全苏【解】由n个数a i＝i2n！＋1，i＝1，2，…，n组成的集合满足要求．因为其中任意k个数之和为m2n！＋k（m∈N，2?k ?n）由于n！＝1222…2n是k的倍数，所以m2n！＋k是k的倍数，因而为合数．对任意两个数a i与a j（i＞j），如果它们有公共的质因数p，则p也是a i－a j＝（i－j）n！的质因数，因为0＜i－j＜n，所以p也是n！的质因数．但a i与n！互质，所以a i与a j不可能有公共质因数p，即a i、a j（i≠j）互素．令n＝5，便得满足条件的一组数：121，241，361，481，601．16 n?2，证：如果k2＋k＋n对于整数k素数．1987苏联（1）若m?p，则p|（m－p）2＋（m－p）＋n．又（m－p）2＋（m－p）＋n?n＞P，这与m是使k2＋k＋n为合数的最小正整数矛盾．（2）若m?p－1，则（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n＝（p－1－m）（p－m）＋n被p整除，且（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n?n＞p因为（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n为合数，所以p－1－m?m，p?2m＋1由得4m2＋4m＋1?m2＋m＋n即3m2＋3m＋1－n?0由此得17 正整数a与b使得ab＋1整除a2＋b2．求证：（a2＋b2）/（ab＋1）是某个正整数的平方．1988德国a2－kab＋b2＝k （1）显然（1）的解（a，b）满足ab?0（否则ab?－1，a2＋b2＝k（ab＋1）?0）．又由于k不是完全平方，故ab＞0．设（a，b）是（1）的解中适合a＞0（从而b＞0）并且使a＋b最小的那个解．不妨设a?b．固定k与b，把（1）看成a的二次方程，它有一根为a．设另一根为a′，则由韦达定理a′为整数，因而（a′，b）也是（1）的解．由于b＞0，所以a′＞0．但由（3）从而a′＋b＜a＋b，这与a＋b的最小性矛盾，所以k必为完全平方． 18 求证：对任何正整数n，存在n个相继的正整数，它们都不是素数的整数幂．1989年瑞典提供．【证】设a＝（n＋1）！，则a2＋k（2?k?n＋1），被k整除而不被k2整除（因为a2被k2整除而k不被k2整除）．如果a2＋k是质数的整数幂p l，则k＝p j（l、j都是正整数），但a2被p2j整除因而被p j＋1整除，所以a2＋k被p j整除而不被p j＋1整除，于是a2＋k＝p j＝k，矛盾．因此a2＋k（2?k?n＋1）这n个连续正整数都不是素数的整数幂． 19 n为怎样的自然数时，数32n＋1－22n＋1－6n是合数？1990年全苏解32n＋1－22n＋1－6n＝（3n－2n）（3n＋1＋2n＋1）当n＞l时，3n －2n＞1，3n＋1＋2n＋1＞1，原数是合数．当n＝1时，原数是13 20 设n是大于6的整数，且a1、a2、…、a k是所有小于n且与n互素的自然数，如果a2－a1＝a3－a2＝…＝a k－a k－1＞0求证：n或是素数或是2的某个正整数次方．1991年罗马尼亚．证由（n－1，n）＝1，得a k＝n－1．令d＝a2－a1＞0．当a2＝2时，d＝1，从而k＝n－1，n与所有小于n的自然数互素．由此可知n是素数．当a2＝3时，d＝2，从而n与所有小于n的奇数互素．故n是2的某个正整数次方．设a2＞3．a2是不能整除n的最小素数，所以2|n，3|n．由于n－1＝a k＝1＋（k－1）d，所以3d．又1＋d＝a2，于是31＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，则a3＝1＋2d，这时3|（a3，n）．矛盾．若1＋2d?n，则小于n且与n互素自然数的个数为2．设n＝2m（＞6）．若m为偶数，则m＋1与n互质，若m为奇数，则m＋2与m互质．即除去n－1与1外、还有小于n且与n互质的数．矛盾．综上所述，可知n或是素数或是2的某个正整数次方．21 试确定具有下述性质的最大正整数A：把从1001至2000所有正整数任作一个排列，都可从其中找出连续的10项，使这10项之和大于或等于A．1992年台北数学奥林匹克【解】设任一排列，总和都是1001＋1002＋…＋2000＝1500500，将它分为100段，每段10项，至少有一段的和?15005，所以A?15005另一方面，将1001～2000排列如下：2000 1001 1900 1101 18001201 1700 1301 1600 14011999 1002 1899 1102 17991202 1699 1302 1599 1402 ………………1901 1100 1801 1200 17011300 1601 1400 1501 1300并记上述排列为a1，a2，…，a2000（表中第i行第j列的数是这个数列的第10（i－1）＋j项，1?i?20，1?j?10）令S i＝a i＋a i＋1＋…＋a i＋9（i＝1，2，…，1901）则S1＝15005，S2＝15004．易知若i为奇数，则S i＝15005；若i为偶数，则S i＝15004．综上所述A＝15005．22 相继10个整数的平方和能否成为完全平方数？1992年友谊杯国际数学竞赛七年级【解】（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2＝10n2＋110n＋385＝5（2n2＋22n＋77）不难验证n≡0，1，－1，2，－2（mod 5）时，均有2n2＋22n＋77≡2（n2＋n＋1）0（mod 5）所以（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2不是平方数，23 是否存在完全平方数，其数字和为1993？1993年澳门数学奥林匹克第二轮【解】存在，取n＝221即可．24 能表示成连续9个自然数之和，连续10个自然数之和，连续11个自然数之和的最小自然数是多少？1993年美国数学邀请赛【解】答495．连续9个整数的和是第5个数的9倍；连续10个整数的和是第5项与第6项之和的5倍；连续11个整数的和是第6项的11倍，所以满足题目要求的自然数必能被9、5、11整除，这数至少是495．又495＝51＋52＋…＋59＝45＋46＋…＋54＝40＋41＋…＋5025 如果自然数n使得2n＋1和3n＋1都恰好是平方数，试问5n＋3能否是一个素数？1993年全俄数学奥林匹克【解】如果2n＋1＝k2，3n＋1＝m2，则5n＋3＝4（2n＋1）－（3n＋1）＝4k2－m2＝（2k＋m）（2k－m）．因为5n＋3＞（3n＋1）＋2＝m2＋2＞2m＋1，所以2k－m≠1（否则5n＋3＝2k＋m＝2m＋1）．从而5n＋3＝（2k ＋m）（2k－m）是合数．26 设n是正整数．证明：2n＋1和3n＋1都是平方数的充要条件是n＋1为两个相邻的平方数之和，并且为一平方数与相邻平方数2倍之和．1994年澳大利亚数学奥林匹克【证】若2n＋1及3n＋1是平方数，因为2（2n＋1），3（3n＋1），可设2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2，由此可得n＋1＝k2＋（k＋1）2，n＋1＝（t±1）2＋2t2反之，若n＋1＝k2＋（k＋1）2＝（t±1）2＋2t2，则2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2从而命题得证．27 设a、b、c、d为自然数，并且ab＝cd．试问a＋b＋c＋d能否为素数．1995年莫斯科数学奥林匹克九年级题【解】由题意知正整数，将它们分别记作k与l．由。
上海高一高中数学竞赛题目
上海高一高中数学竞赛题目上海高一高中数学竞赛一直是广大学生们备受关注的盛事。
每年都有无数的学生为了参加这场盛会而日夜苦学，奋发拼搏。
在竞赛中，学生们需要解答一系列高难度的数学题目，考验他们的数学思维能力和解题技巧。
今年的竞赛题目也不例外，以下是其中几道代表性的题目。
题目一：概率论某班级的学生进行了一次数学竞赛，共有60人参赛，其中45人擅长代数，30人擅长几何，18人既擅长代数又擅长几何。
随机选择一名参赛学生，请计算以下概率：a) 该学生至少擅长一门学科；b) 该学生只擅长代数或者只擅长几何；c) 该学生既不擅长代数也不擅长几何。
题目二：函数与方程已知函数 f(x) 的定义域为实数集，且满足 f(x+1) + f(x-1) = 3x + 2，其中 x 为实数。
请问：a) 函数 f(x) 的表达式是什么？b) 函数 f(x) 在定义域内的最大值是多少？题目三：三角函数已知正弦函数 f(x)=a*sin(kx+b)，其中 a>0，0<b<π，且 a、k、b 都是常数。
已知f(π/4) = 1 和f(π/6) = 1/2，请计算以下值：a) 常数 a 和 k 的值；b) 常数 b 的取值范围。
题目四：几何问题设 AB 和 CD 是平行线段，E 是 AB 上的一点，F 是 CD 上的一点，且 AE:EB = 2:1，CF:FD = 1:3。
连接 AF 和 BE，交于点 G。
请证明：AG=GB。
题目五：数列与级数已知数列 {an} 的通项公式为 an = n^2 + 3n，n∈N。
请计算以下级数的和：S = a1 + a2 + a3 + ... + a100以上是今年上海高一高中数学竞赛的一些典型题目。
这些题目涵盖了概率论、函数与方程、三角函数、几何问题以及数列与级数等多个数学知识点。
学生们需要在有限的时间内灵活运用各种解题方法，迅速找到解题思路，并给出准确的答案。
这不仅要求学生们有坚实的数学基础，还需要他们具备良好的逻辑思维和分析问题的能力。
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选(带答案)高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分，它不仅需要智力，还需要充分发挥数学能力和思维能力。
以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。
1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n)，求S(n+1)-S(n)的值。
解：S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-(x^n)=x^n(x-1)。
由于$a_n=x^n+5$，所以S(n)=a_0+a_1+...+a_n=（x^0+5）+（x^1+5）+...+（x^n+5）=（x^0+x^1+...+x^n）+5(n+1)，因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。
2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，0≤x≤π/2，求f(x)在[0,π/4]上的最小值。
解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，当0≤x≤π/4时，x+π/4≤π/2，sin(x+π/4)不小于0，因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。
sin(x+π/4)的最小值为-√2/2，因此f(x)的最小值为-1。
3. 已知正整数n，设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和，Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。
给定P(n)+Q(n)=n，求最小的n。
解：P(n)的范围是2到9×log_10n之间，因此可以枚举P(n)和Q(n)，判断它们之和是否等于n。
当P(n)取到最小值2时，Q(n)的最大值为9log_10n，因此n的最小值为11。
4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1，x∈[0,2π]，求f(x)的最小值。
解：由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2，因此f(x)的最小值为-1/2，且取到最小值的x为0或2π。
5. 已知正整数n，求使得3^n的末2位是9的最小正整数n。
高中数学竞赛资料-数论部分 (1)
初等数论简介绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。
1． 请看下面的例子：（1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。
(1894年首届匈牙利 数学竞赛第一题)（2） ①设n Z ∈，证明2131n-是168的倍数。
②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ⋅⋅⋅？（1956年上海首届数学竞赛第一题） （3） 证明：3231122n n n ++-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。
（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）（4） 证明：对任何自然数n ，分数214143n n ++不可约简。
（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）（5） 令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证：[][][][]()()()()22,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =⋅⋅（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。
2.再看以下统计数字：（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。
（2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。
这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。
如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。
3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：(1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ）A 、 0B 、1C 、3D 、无穷多（2007全国初中联赛5）（2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2102x abx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
高中数学竞赛一试试题
高中数学竞赛一试试题高中数学竞赛是一项旨在激发学生对数学的兴趣和提高数学能力的重要活动。
以下是一套模拟的高中数学竞赛一试试题，供参赛者练习使用。
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. πB. 0.33333...（无限循环）C. √2D. 1/32. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 5，求f(-1)的值。
A. 8B. 10C. 12D. 143. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 一个等差数列的首项为3，公差为2，第10项是多少？A. 23B. 25C. 27D. 29二、填空题（每题4分，共16分）1. 如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，那么这个三角形是________。
2. 已知一个二次方程x^2 + 4x + 4 = 0，求其判别式Δ。
3. 一个函数y = 3x - 2的斜率是________。
4. 圆心在(1,2)，半径为3的圆的标准方程是________。
三、解答题（共64分）1. （10分）证明：对于任意实数x，不等式\( e^x \geq x + 1 \)成立。
2. （12分）解不等式：\( |x - 1| + |x - 2| < 2 \)。
3. （16分）已知数列{an}的前n项和为S_n，且满足S_n = 2an - 1（n≥2），a1 = 1。
求数列{an}的通项公式。
4. （26分）一个圆与x轴相切于点A(1,0)，圆心在直线y = x上，且此圆经过点B(0,4)。
求这个圆的方程。
结束语：希望这份试题能够帮助参赛者更好地准备即将到来的高中数学竞赛。
通过练习这些题目，不仅可以检验自己的数学知识掌握程度，还能提高解题技巧和速度。
祝所有参赛者取得优异的成绩！。
高中数学竞赛试题汇总
高中数学竞赛模拟试题一一 试（考试时间：80分钟 满分100分）一、填空题（共8小题，5678=⨯分）1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是。
2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=。
记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =，则=)2010(2010f。
3、如图，正方体1111D C B A ABCD -中，二面角11A BD A --的度数是 。
4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。
5、若正数cb a ,,满足ba cc a b c b a +-+=+，则ca b +的最大值是 。
6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。
7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=ni ia 01的值是 。
8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x xx xx xx x++++=+++++++在(,)2x o π∈时的最小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++）9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n )求证：对于任何正整数n ，都有：n nn n a a 111+≥+10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。
高中数学竞赛试题
高中数学竞赛试题第一节：选择题1. 设函数$f(x)=3x^2-2x+1$，则$f(2)$的值是多少？A. 5B. 7C. 9D. 112. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为3，公差为4，求$a_{10}$的值是多少？3. 已知函数$g(x)=\frac{x-1}{x+2}$，则$g(0)$的值是多少？A. -1/2B. -1/3C. 0D. 1/24. 若数列$\{b_n\}$满足$b_1=2$，$b_2=4$，且$b_n=b_{n-1}+b_{n-2}$，则$b_3$的值是多少？5. 在等腰梯形$ABCD$中，底边$AB$平行于$CD$，且$AB=2CD$。
若$BC=3$，则$AD$的长度等于多少？第二节：计算题1. 计算$C(8,3)$的值。
2. 已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}$，求$f(-3)$的值。
3. 若$\triangle ABC$为等边三角形，且边长为2，求$\sin(A+B)$的值。
4. 已知函数$g(x)=\sqrt{x+1}$，求$g(3)-g(1)$的值。
5. 已知函数$h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$h(2)$的值。
第三节：证明题证明：一切直角三角形的斜边上的正弦值等于斜边长与直角边长之比。
提示：根据正弦定理，$\sin(\angle C)=\frac{AB}{AC}$，其中$\angle C$为直角的对角，$AB$为直角边，$AC$为斜边。
证明过程略。
第四节：解答题1. 解方程组：$\begin{cases}2x+y=5 \\3x-2y=12 \\\end{cases}$2. 解不等式$2x-3>5$。
3. 求函数$f(x)=2x^3-3x^2+1$的极值点。
4. 已知函数$g(x)=\sqrt{x}$，求满足条件$g(x)=3$的解。
5. 某球队进行了10场比赛，胜利了7场。
求这个球队的胜率。
第五节：填空题1. $2\times (3+4)=$ ________2. 若$a+b=7$，$a-b=3$，则$a$的值为_______，$b$的值为_______。
2024全国高中数学奥林匹克竞赛试题
1、设a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1，则1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值为多少？A. 1B. 3/2C. 2D. 5/2解析：本题主要考察不等式的应用及求解最值问题。
通过运用柯西不等式，我们可以推导出1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值。
经过计算，当且仅当a=b=c=1/3时，取得最小值1。
（答案）A2、在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=√3，b=3，且三角形ABC的面积为(3√3)/4，则c的值为多少？A. 1B. 2C. √7D. √13解析：本题主要考察三角形的面积公式及余弦定理。
根据三角形面积公式S=(1/2)absinC，我们可以求出sinC的值，再利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，结合sin²C+cos²C=1，可以求出c的值。
经过计算，c=√7。
（答案）C3、设正整数n满足：对于任意的正整数k(1≤k≤n)，n都能整除k⁵-k，则n的最大值为多少？A. 60B. 120C. 240D. 360解析：本题主要考察整除的性质及数论知识。
我们需要找到一个正整数n，使得对于任意的正整数k(1≤k≤n)，n都能整除k⁵-k。
通过分解k⁵-k，我们可以发现其包含因子2, 3, 4,5等，结合这些因子的性质，我们可以求出n的最大值。
经过推导，n的最大值为120。
（答案）B4、已知数列{an}满足a₁=1，且对于任意的n∈N*，都有aₙ₊₁=aₙ+n+1，则a₁₀的值为多少？A. 46B. 50C. 55D. 66解析：本题主要考察数列的递推关系及求和公式。
根据题目给出的递推关系aₙ₊₁=aₙ+n+1，我们可以逐步求出数列的项，或者通过求和的方式直接求出a₁₀。
经过计算，a₁₀=55。
（答案）C5、在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(0,1)，C(2,3)，则三角形ABC外接圆的圆心到原点O的距离为多少？A. √2/2B. √5/2C. √10/2D. √13/2解析：本题主要考察三角形外接圆的性质及距离公式。
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数学竞赛典型题目（一）1.(2004美国数学竞赛)设n a a a ,,,21 是整数列,并且他们的最大公因子是1.令S 是一个整数集,具有性质:（1）),,2,1(n i S a i =∈（2） }),,2,1{,(n j i S a a j i ∈∈-,其中j i ,可以相同（3）对于S y x ∈,，若S y x ∈+，则S y x ∈-证明：S 为全体整数的集合。
2．(2004美国数学竞赛)c b a ,,是正实数，证明：3252525)()3)(3)(3(c b a c c b b a a ++≥+-+-+-3．(2004加拿大数学竞赛)T 为1002004的所有正约数的集合，求集合T 的子集S 中的最大可能的元素个数。
其中S 中没有两个元素，一个是另一个的倍数。
4．(2004英国数学竞赛)证明：存在一个整数n 满足下列条件：（1）n 的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0；（2）2004能整除n .5．(2004英国数学竞赛)在0和1之间，用十进制表示为 21.0a a 的实数x 满足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，)20041(20031≤≤++k a a a k k k ，证明：x 是有理数。
6．(2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S ，满足：如果S n m ∈,，则S n m n m ∈+),( 7．(2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点，并且无三点共线，S 为通过任何两点的直线的集合。
证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S 中有奇数条直线分离这两点。
8．(2004亚太地区数学竞赛)证明：)()!1(*2N n n n n ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-是 偶数。
9．(2004亚太地区数学竞赛)z y x ,,是正实数，证明：)(9)2)(2)(2(222zx yz xy z y x ++≥+++10．（2003越南数学竞赛）函数f 满足)0(2sin 2cos )(cot π<<+=x x x x f ，令 )11)(1()()(≤≤--=x x f x f x g ，求)(x g 在区间]1,1[-的上最值。
11．（2003越南数学竞赛）定义17612)(,91524)(2323+-+=+--=x x x x q x x x x p ，证明：（1）每个多项式都有三个不同的实根；（2）令A 为)(x p 的最大实根，B 为)(x q 的最大实根，证明：4322=+B A12．（2003越南数学竞赛）令F 为所有满足++→R R f :且x x f f x f +≥)]2([)3(对任意+∈R x 成立的函数f 的集合。
求最大实数A 使得Ax x f ≥)(对所有+∈∈R x F f ,都成立。
13．（2003美国数学竞赛）证明：对于每个n ，我们可以找到一个n 位数，他的所有数字都是奇数，并且可以被n 5整除。
14．（2003美国数学竞赛）一个凸多边形的所有边和所有对角线都是有理数，连接所有的对角线将多边形分成若干的小凸边形，证明：所有小多边形的边长都是有理数。
15．（2003巴尔干数学竞赛）一个矩形ABCD 的边,,n AD m AB ==其中n m ,是互质的奇数。
矩形被分成了mn 个单位正方形，对角线AC 交单位正方形于点C A A A A A N ==,,,,321 ，证明：1223341(1)N N N AC A A A A A A A A mn--+-+-= 16．（2002美国数学竞赛）S 为含有2002个元素的集合，并且P 是Ｓ所有子集的集合，证明：对于任意)0(P n n ≤≤ ，我们可以将Ｐ的n 个元素染成白色，其余染成黑色，使得Ｐ的任何两个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。
17．（2002美国数学竞赛）求所有定义在实数集上的实值函数满足：)()()(22y yf x xf y x f -=-对于任意实数y x ,成立。
18．（2001美国数学竞赛）非负实数z y x ,,满足4222=+++xyz z y x ，证明：2+≤++≤xyz zx yz xy xyz19．（2002巴尔干数学竞赛）数列:}{n a 11213,30,20-+-===n n n a a a a a ，求所有n 使151++n n a a 是完全平方数。
20．（2002巴尔干数学竞赛）Ｎ为正整数的集合，求所有N N f →:使得2002220012)())((++=+n n n f n f f 或21．（2009年协作体）求证：存在无穷多个棱长都是整数的长方体，使其满足每个面的面积都是两个数的平方和，并且其体积等于对角线的平方。
22．（200１巴尔干数学竞赛）一个凸五边形的边长是有理数，并且５个角相等，证明：它是正五边形。
23．（200１巴尔干数学竞赛）正实数c b a ,,满足c b a abc ++≤，证明：abc c b a 3222≥++24．（200１加拿大数学竞赛）210,,A A A 位于半径为１的圆上，并且21A A 不是直径，点列}{n A 定义如下：n A 是321---∆n n n A A A 的外心，证明： 13951,,,A A A A 共线，并求所有的21,A A 使得2001100110011A A A A 是一个整数的５０次幂。
25．（2002年越南数学竞赛）n 为正整数，证明：方程21111211122=-++-+-x n x x 有唯一的解1>n x ，且∞→n 时，4→n x 26．（2001年越南）对于实数b a ,定义如下数列：.,,,210 x x x 由a x =0，n n n x b x x sin 1+=+确定（1）若.1=b 证明：对于任何a ，数列有极限;（2）若.2>b 证明：对于某些a ，数列没有极限.27．（2000年越南）定义一个正实数序列：.,,,210 x x x b x =0，.1n n x c c x +-=+求所有实数c ，使得对所有),0(c b ∈，数列存在极限.28．（2002波兰数学竞赛）k 是正整数，数列k ka a a k a a n n n n +-=+=+211,1:}{，证明：数列中的任两项互质。
29．（2001波兰数学竞赛）数列n n n n x x x b x a x x +===++1221,,:}{，一个数c 如果在数列中出现的次数超过１次，就称它是“重复的”，证明：我们可以选择b a ,使数列中有超过２０００个重复值，但没有无穷多个重复值。
30．（2001波兰数学竞赛）b a ,都是整数，使得b a n +2对所有非负整数n 都是完全平方数，证明：0=a31．（2001波兰数学竞赛）数列}{n a 定义如下：1a 和2a 为素数，n a 为200021++--n n a a 的最大素因子。
证明：数列}{n a 有界.32．（2001波兰数学竞赛）)(x p 是一个多项式，次数为奇次，满足1)()1(22-=-x p x p 对所有x 成立。
证明：x x p =)(33．（1978年国际数学竞赛）将集合}1978,,3,2,1{ =S 分成六个不同的集合)6,5,4,3,2,1(=i A i ，即621A A A S ⋃⋃⋃= 且Φ=⋂j i A A ，求证：在某个i A 中存在一个元素是其他两个元素的和或者一个元素是另一个元素的２倍。
34．（1999年国际数学竞赛）设n 是一个固定的正偶数.考虑一块n n ⨯的正方板，它被分成2n 个单位正方格.板上两个不同的正方格，如果有一条公共边，就称它们为相邻的.将板上N 个单位正方格作上标记，使得板上的任意正方格（作上标记的或者没有作上标记的）都与至少一个作上标记的正方格相邻.确定N 的最小值.35．一个99⨯方格能否被15个22⨯方格和6个Ｌ型方格（由3个小方格组成）和3个单位方格覆盖？36．已知边长为n 的正方形及其内部的2)1(+n 个点，其中无3点共线，证明：必存在3个点，以其为顶点的三角形的面积不大于21。
37．已知x 是循环节为p 的纯循环小数，y 是无限小数，其小数点后的第n 位与数x 小数点后的第n n 位的数字相同，问：y 是否是有理数？38．求所有的正整数b a ,使得1,122++++a a b b b a39．11106,3,1:}{-+-===n n n n x x x x x x ，证明：除第一项外，}{n x 中无完全平方数。
40．c bx ax x f ++=2)(是实系数多项式，且对于任何整数)(,00x f x 是完全平方数，证明：2)()(d ex x f +=，其中d e ,是整数。
41．能否找到含有1990个正整数的集合Ｓ，使（1）S 中任意两个数互质；（2）S 中任意)2(≥k k 个数的和是合数。
42．（1998年越南数学竞赛）是否存在)10(<<αα，使得有一个无穷的正数列}{n a 满足：,11n n n a n a a α+≤++),2,1( =n .43．一个整数有限序列n a a a ,,,10 称为一个二次序列，如果对于每个21},,,2,1{i a a n i i i =-∈- ；（1）证明：对于任何两个整数c b ,，都存在一个正整数n 和一个二次序列使c a b a n ==,0；（2）求满足下列条件的最小正整数n ，使1996,00==n a a44．z y x ,,是正实数，求证：49))(1)(1)(1)((222≥+++++++x z z y y x zx yz xy 45．用16个31⨯矩形和一个11⨯正方形拼成一个77⨯正方形，求证：11⨯正方形要么在大正方形中心，要么在大正方形边界上。
46．环形公路上有n 个加油站，每个加油站有汽油若干桶，n 个站的总存油量够一辆汽车行驶一周，证明：必存在一站，从该站起，汽车逆时针行驶（每到一站装上所有汽油）可回到原站。
47．正实数c b a ,,满足1=abc ，求证：23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a ＋])()()([41222a b a b c a c a c b b c b c a +-++-++- 48．),,2,1(n i R x i =∈+，证明：11222221121111n nx x x x x x x x +++≤++++++ 49．数列1,21:}{2211+-==+n n n n n a a a a a a ，证明：11<∑=n k k a 50．求方程y x y x =+!!的正整数解51．求所有三次多项式)(x p 使得对任意的非负实数y x ,有)()()(y p x p y x p +≥+52．},|2{22Z y x y x S ∈+=，对于整数a ，若S a ∈3，证明：S a ∈ 53．[]53,1:}{10n n n n x x x x x +==+，已知712,136,26,54321====x x x x ，求2007x 54．（波兰）数列}{n a 由)1(012,10110≥=++++-=-n n a n a a a a n n 确定，证明： )0(0>>n a n 55．非负实数z y x ,,满足1222=++z y x ，证明：21111≤+++++≤xyz zx y yz x 56．圆周上有7个点，将他们两两连线，求这些直线在圆内部交点个数的最小值。