高中数学竞赛专题精讲27同余(含答案)
奥数讲义数论专题：余数及同余
华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学奥数培训资料之同余(可编辑修改word版)
兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）§27 同余1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作 a ≡b(mod m) ，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作a ≡b(mod m)，显然，a ≡b(mod m) ⇔a =km +b,(k ∈Z ) ⇔m | (a -b) ；每一个整数a 恰与1，2，……，m，这m 个数中的某一个同余；2.同余的性质：1).反身性：a ≡a(mod m) ；2).对称性：a ≡b(mod m) ⇔b ≡a(mod m) ；3).若a ≡b(mod m) ，b ≡c(mod m) 则a ≡c(mod m) ;4).若a1 ≡b1 (mod m) ，a2 ≡b2 (mod m) ，则 a1 ±a2 ≡b1 ±b2 (mod m)特别是a ≡b(mod m) ⇔a ±k ≡b ±k (mod m) ；5).若a1 ≡b1 (mod m) ，a2 ≡b2 (mod m) ，则 a1a2 ≡b1b2 (mod m) ；特别是 a ≡b(mod m), k ∈Z ⇔则ak ≡bk (mod m)a ≡b(mod m), n ∈N ⇔则a n≡b n(mod m) ；6).a(b +c) ≡ab +ac(mod m) ；7).若ac ≡bc(mod m),则当(c, m) = 1时，a ≡b(mod m)当(c, m) =d时，a ≡8).若a ≡b(mod m1 ) ，a ≡b(mod m2 )a ≡b(mod m3) b(modm)..特别地，ac ≡bc(mod mc) ⇔a ≡b(mod m) ；d………………a ≡b(mod mn ) ，且M = [m1, m2,⋯⋯mn]，则a ≡b(mod M )1 例题讲解1. 证明：完全平方数模 4 同余于 0 或 1；2．证明对于任何整数 k ≥ 0 , 26k +1 + 36k +1 + 56k + 1 能被 7 整除；3．试判断197126 + 197227 + 197328 能被 3 整除吗？4．能否把 1，2，……，1980 这 1980 个数分成四组，令每组数之和为 S 1，S 2，S 3，S 4 ， 且满足 S 2 - S 1，＝10，S 3 - S 2＝10，S 4 - S 3＝105．在已知数列 1，4，8，10，16，19，21，25，30，43 中，相邻若干数之和，能被 11 整除的数组共有多少组。
高中数学竞赛专题讲座---同余理论及其应用(一)
同余理论及其应用基础知识一. 定义定义1. 设m 为正整数，整数a 和b 之差可被m 整除时，称为a 和b 关于模m 同余，记作 ).(mod m b a ≡ 定义2. 被正整数m 除余数相等的所有整数的集合称为模m 的剩余类。
模m 的剩余类共有m 个。
定义3. 在模m 的m 个剩余类中各取一个整数作为代表，这些代表的集合称为模m 的完全剩余系。
定义4. 绝对值不超过]2[m 的模m 的完全剩余系称为模m 的绝对最小剩余系。
定义5. 当模m 的某一剩余类的所有整数均与m 互素时，则称此剩余类是模m 的简化类。
模m 的简化类共有)(m φ个。
定义6. 在模m 的)(m φ个简化类中各取一个整数作为代表，这些代表的集合称为模m 的简化剩余系。
定义7. 欧拉函数：设n 为正整数，从1到n 的整数中与n 互素的整数的个数用)(n φ表示，称)(n φ为欧拉函数。
当1212s s np p p ααα=时，有)11)...(11)(11()(21s p p p n n ---=φ 二. 定理定理1. ).(mod m b a ≡ 的必要充分条件是a 和b 被m 除的余数相等。
定理 2. I .);(mod m a a ≡II .若),(mod m b a ≡则);(mod m a b ≡III .若),(mod m b a ≡),(mod m c b ≡则).(mod m c a ≡定理3. 若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则I .)(m od 2121m b b a a +≡+；II .(mod 2121m b b a a -≡-2 )(m od 212m b b a -≡-；III .)(m od 2121m b b a a ≡.定理4. 如果),...,2,1)((m od n i m b a i i =≡，则I .)(m od ......2121m b b b a a a n n +++≡+++；II . ).(m od ......2121m b b b a a a n n ≡推论. 如果).(mod m b a ≡n 为任意正整数，则).(mod m b a nn ≡ 定理5. 如果).(mod m cb ca ≡则).),((modm c m b a ≡ 推论. 如果1),(=m c ，).(mod m cb ca ≡则).(mod m b a ≡ 定理6. 如果).(mod m b a ≡则).,(),(m b m a =定理7. a 和b 属于模m 的同一剩余类的充要条件是).(mod m b a ≡定理8. m 个整数m a a a ,...,,21是模m 的完全剩余系的充要条件是m a a a ,...,,21关于模m 两两互不同余。
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义-同余(练习题)
- 1 -
课后练习
1、证明：完全平方数模3同余于0或1；
证明：完全平方数模5同余于0、1或4；
证明：完全平方数模8同余于0、1或4；
证明：完全立方数模9同余于-1、0或1；
证明：整数的四次幂模16同余于0或1；
2、设的末两位数码；在十进制中，求，且)(1)10,(20
a a Z a =∈
3、求2999最后两位数码
整除；
可以被个数来，证明它们的和位数中随意挑出得到的这种方法所式重新排列，然后从按位数码以一切可能的方位的数，将它的有一个12012012012120.4
整除吗？能被的数：的两位数，问：所得到到连接写出198079801920218019.5
课后练习答案
- 2 - 1.略
01
)
100(mod 11
)4,25()4(mod 1)4(mod 1)
25(mod 11)10,(.22020202)25(20的末两位位又又为奇数
，解：a a a a a a a a ∴≡∴=≡⇒≡≡=∴∴= ϕ 3.解 考虑用100除2999
所得的余数. ∵∴ 又，∴ ∴
∴2999的最后两位数字为88.。
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全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
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全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
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27同余1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作，显然，；每一个整数a 恰与1，2，……，m ，这m 个数中的某一个同余；2.同余的性质：1).反身性：；2).对称性：；3).若，则;4).若，，则特别是；5).若，，则；特别是；6).；7).若； 8).若，………………，且例题讲解1．证明：完全平方数模4同余于0或1；2．证明对于任何整数,能被7整除；)(mod m b a ≡)(mod m b a ≡)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -⇔∈+=⇔≡)(mod m a a ≡)(mod )(mod m a b m b a ≡⇔≡)(mod m b a ≡)(mod m c b ≡)(mod m c a ≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ±≡±)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±⇔≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ≡)(m od ),(m od m bk ak Z k m b a ≡⇔∈≡则)(m od ),(m od m b a N n m b a n n ≡⇔∈≡则)(mod )(m ac ab c b a +≡+)(m od 1),(),(m od m b a m c m bc ac ≡=≡时，则当)(mod )(mod ).(mod),(m b a mc bc ac dm b a d m c ≡⇔≡≡=特别地，时，当)(m od 1m b a ≡)(m od 2m b a ≡)(mod 3m b a ≡)(mod n m b a ≡)(m od ],,[21M b a m m m M n ≡⋯⋯=，则0≥k 153261616+++++k k k3．试判断能被3整除吗？4．能否把1，2，……，1980这1980个数分成四组，令每组数之和为， 且满足5．在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和，能被11整除的数组共有多少组。
6．设是整系数多项式， 证明：若7．试求出一切可使被3整除的自然数；8．在每张卡片上各写出11111到99999的五位数，然后把这些卡片按任意顺序排成一列，证明所得到的444445位数不可能是2的幂；9．设是任意一个具有性质的正整数的无穷数列，求证可以把这个数列的无穷多个用适当的正整数 课后练习1、证明：完全平方数模3同余于0或1；282726197319721971++4321S S S S ，，，；＝，＝，，＝101010342312S S S S S S ---n n n n n a x a xa x a x a x f +++++=---1122110)( 没有整数根；整除，则都不能被)(1992)1992(,),1(),0(x f f f f 12+⋅nn n ,,,21n a a a )1(,1≥<+k a a k k m a )(,,q p a y a x a y x q p m ≠⋅+⋅=表示为证明：完全平方数模5同余于0、1或4；证明：完全平方数模8同余于0、1或4；证明：完全立方数模9同余于-1、0或1；证明：整数的四次幂模16同余于0或1；2、设3、求2999最后两位数码课后练习答案1.略的末两位数码；在十进制中，求，且)(1)10,(20a a Z a =∈整除；可以被个数来，证明它们的和位数中随意挑出得到的这种方法所式重新排列，然后从按位数码以一切可能的方位的数，将它的有一个12012012012120.4整除吗？能被的数：的两位数，问：所得到到连接写出198079801920218019.53.解 考虑用100除2999所得的余数. ∵∴又，∴∴∴2999的最后两位数字为88.01)100(mod 11)4,25()4(mod 1)4(mod 1)25(mod 11)10,(.22020202)25(20的末两位位又又为奇数，解：a a a a a a a a ∴≡∴=≡⇒≡≡=∴∴=ϕSA A A A A A A A A BA A A SB A A A |12010)(|1201)40,3(,|33,,10|4012010)(120108,,12120120.31081202112021120211081081202112021∴⋅+++⇒=+++∴+⋅+++ 又除时余数相同每个被，且考虑到＝个数的和为：，则这个数码组成了数而每一数的剩下的：个数码分别组成的数为位数的前个证：设这AAA A M AA k k k |19801)99,20(|99)99(mod 0)99(mod 9931)99)(mod 8079212019(80100791002010019)99(mod 1100199)199(100|207980192021.56061∴=∴≡⋅≡∴+++++≡+⋅++⋅+⋅=≡⇒+=+= 又又，显然＝解：设例题答案：1．证明：所以原命题成立；;,122Z k k n k n n ∈+==或者是任一整数，则设);4(m od 04222≡==k n k n 时，当);4(m od 1)121222≡+=+=k n k n （时，当1533221532.266661616++⋅+⋅=∴+++=++k k k k k k M M 证：令都能被7整除； 注：)7(mod 0)7)(mod 1132(1173732721)122327()11047(3)197(21156257293642=+++=++⋅++⋅⋅++⋅⋅=++⋅++⋅⋅++⋅⋅=++⋅+⋅=C B A k k k k k k ,,0Z k k ∈≥∀∴且对于153261616+++++k k k +∈≡⇒≡Z k b a b a k ),(m od 1)(m od 1整除；不能被又即：解：3197319721971)3(mod 2)21(),3(mod 142)3)(mod 21(197319721971)3)(mod 210(197319721971)3(mod 21973),3(mod 11972),3(mod 01971.328272628142828282726282726282726++∴≡+∴≡=+≡++++≡++∴≡≡≡ 不能这样分组；产生矛盾，又＝解：依题意可知：∴∴≡⋅=⋅=++++=≡+=∴+++++++++=)4(mod 219819902198119801980321)4(mod 0604302010.4111114321 T S T S S S S S S S S T 组：，则满足条件的数组有时，相邻项之和，且当是数列由于由此可得：、、、、、、、、、除的余数依次为：它们被、、、、、、、，、依次为，并记解：记数列各对应项为7313|11)11(mod }{)11(mod )11(mod ),11(mod ),11(mod )11(mod 125236125111177134104795839231351,,,10,2,1,.5973821041102121=++-≡-≡≡≡≡≡∴+++==j k j k i j k k k i S S S S a S S S S S S S S S S S S S a a a S i a 没有整数根产生矛盾，、、、、、、、、又则整除，不能被由题意，且有整数根证：假设)()()()(|1992321),1992(mod 0321),1992(mod )1992(mod )()()()()()()()(,0)(1992)(19920),1992(mod )(.611110x f r f m f r f ni r m ni r m r m m r a m r a m r a m f r f r f m f r f m f r f r r m m x f i i i i n n n n n ∴∴=-∴=≡-∴=≡∴≡-++-+-=-=-=<≤≡---整除；能被时，，由上可知当且仅当、、、时，当、、、时，当、、、时，当、、、时，当、、、时，当、、、时，当，则及考虑到，则解：若322616)3(mod 02)66(2)210(66)3(mod 1)13()160326(2)56(2)210(56)3(mod 1)13()6496(2)46(2)210(46)3(mod 02)36(2)210(36)3(mod 2)13()824(2)26(2)210(26)3(mod 2)13()212(2)16(2)210(162)3(mod 22n 12n |3.7665646362616n n n k n k k n k k n k n k k n k k n n n k k n k n k k n k k n k k n k k n k k n k n k k n k k n k k n k k n k k n n ⋅++=≡⋅+=⋅=+=≡+⋅+⋅=⋅+=⋅=+=≡+⋅+=⋅+=⋅=+=≡⋅+=⋅=+=≡+⋅+=⋅+=⋅=+=≡+⋅+=⋅+=⋅=+=≡⋅+⋅++++++ 的幂；不可能是即：又注意到＝、、、＝，则：排成的数为、、、证：记由2)11111(mod 0888895111118888929999911111999991111211111)11111(mod ),11111(mod 110)11111(mod 11010101010}999991111211111{,999991111211111.888889888882188889888882188889888882155888895888884444303444435244444018888921A A a a a a a a a a a a a a A Z k a a a a a A a a a a A A k i ∴≡∴⋅⋅=++++⋅+=+++=++++++++≡∴∈≡∴≡+⋅++⋅+⋅+⋅∴∈ 是无限多个是满足题意的要求，且，＝令属于该子数列，且，同时还有无限多个小的该子数列中必有一个最为严格递增的又现考虑这个无穷数列穷多项至少有一个子数列有无是有限多个为无限集，而子数列却若干个子数列为模的不同剩余类分成按证：将m m qp m q p m p m p m m p p n n n a a xa ya a a a y Zx xa a a a a a a a a a a a a a a a ∴+=⇒=∈+=⇒≡>>∴∴222221,)(mod ,}{}{}{.9。