非线性有限元及弹塑性力学讲解,哈工大版---1
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弹塑性力学第一章 弹塑性力学绪 论
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１．３ 基本假设及试验资料 １．３．１ 基本假设 弹塑性力学的基本理论假设有下面五个： １、均匀连续假设
假设介质均匀连续无间隙地充满于整个物体内。从 微观上讲，虽然介质是由不连续的粒子组成的，但 是，这些粒子间的距离与物体的宏观尺寸相比要小 得多，因此可以不考虑间隙。为了数学上的需要， 建立这一假设是必要的。并且，从这一假设出发进 行力学分析，得到的结论符合工程实际。
第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。 这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程 问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理， 并提出了许多有效的计算方法。 1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转 和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的 论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学 的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解 出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布； 1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时， 发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实 验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起 了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。
6
２．研究荷载作用下物体内任意一点的应力和变形
在荷载作用下，物体内会产生内力，因此通常 每一点都会发生位移，都存在应力和应变．研究由 荷载产生的应力和变形有助于了解材料的强度和刚 度，使材料得到更合理的使用。
7
１．２ 弹塑性力学的发展史 １．２．１ 弹性力学发展史
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比 如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是 不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究 弹性力学，是从17世纪开始的。
二、弹性与塑性
根据固体受力变形的特点，所谓弹性，是指固体 在去掉外力后恢复原来形状的性质；所谓塑性，是指 去掉外力后不能恢复原来形状的性质。弹性和塑性是 可变形固体的基本属性，两者的主要区别在于： 1）变形是否可恢复。 弹性变形是可以完全恢复的，即弹性变形过程是 一个可逆的过程；塑性变形是不可恢复的，是一个不 可逆过程。 2）应力和应变之间的关系是否一一对应。 在 弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单 值关系，而且通常还假设是线性关系；在塑性阶段， 应力和应变之间通常不存在一一对应的关系，而且是 4 非线性关系。
１．３ 基本假设及试验资料 １．３．１ 基本假设 弹塑性力学的基本理论假设有下面五个： １、均匀连续假设
假设介质均匀连续无间隙地充满于整个物体内。从 微观上讲，虽然介质是由不连续的粒子组成的，但 是，这些粒子间的距离与物体的宏观尺寸相比要小 得多，因此可以不考虑间隙。为了数学上的需要， 建立这一假设是必要的。并且，从这一假设出发进 行力学分析，得到的结论符合工程实际。
第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。 这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程 问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理， 并提出了许多有效的计算方法。 1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转 和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的 论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学 的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解 出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布； 1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时， 发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实 验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起 了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。
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２．研究荷载作用下物体内任意一点的应力和变形
在荷载作用下，物体内会产生内力，因此通常 每一点都会发生位移，都存在应力和应变．研究由 荷载产生的应力和变形有助于了解材料的强度和刚 度，使材料得到更合理的使用。
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１．２ 弹塑性力学的发展史 １．２．１ 弹性力学发展史
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比 如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是 不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究 弹性力学，是从17世纪开始的。
二、弹性与塑性
根据固体受力变形的特点，所谓弹性，是指固体 在去掉外力后恢复原来形状的性质；所谓塑性，是指 去掉外力后不能恢复原来形状的性质。弹性和塑性是 可变形固体的基本属性，两者的主要区别在于： 1）变形是否可恢复。 弹性变形是可以完全恢复的，即弹性变形过程是 一个可逆的过程；塑性变形是不可恢复的，是一个不 可逆过程。 2）应力和应变之间的关系是否一一对应。 在 弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单 值关系，而且通常还假设是线性关系；在塑性阶段， 应力和应变之间通常不存在一一对应的关系，而且是 4 非线性关系。
材料力学课件(哈工大)第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 应力1）理想弹塑性材料 ） 2）理想刚塑性材料 ） 3）线性强化材料 ）
Eε σ = ∗ E (ε − εs ) + σs
(ε ≤ εs ) (ε ≥ εs ) (14 - 5)
E ≠ E∗
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-2 应力-应变关系曲线的简化 应力1）理想弹塑性材料 ） 2）理想刚塑性材料 ） 3）线性强化材料 ） 4）幂函数强化材料 ）
F ≤ [Fu ]
式中
[Fu ] = Fu n
(14 -1)
(14 - 2)
n 为安全系数 采用式(14-1)来计算构件或结构发生塑性变形时的强度的方 法，称为极限载荷法 极限载荷法。 极限载荷法
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-2 应力-应变关系曲线的简化 应力1）理想弹塑性材料 ）
Eε σ = σ s
ρ2 ∫∫A τsρdA+ ∫∫A τs ρs dA = T
p e
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-4 圆轴的弹塑性扭转 1）极限扭矩
e
残余应力
ρ2 1 ∫∫A τSρdA + ∫∫A τs ρs dA = T 3 6T 3 ρs = 4R − 完成积分，解得 ρs
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 1）弹塑性变形 ） 材料进入塑性状态后，应力与应变之间不仅成非线性关系， 而且不一一对应。力对构件的作用效果不只取决于力的最终值， 而且还与力的作用历史以及作用的先后顺序有关。 以轴向拉压杆为例
先加 F 后加 F2 1 先加 F2 后加 F 1
ε σ = σs ε s
Eε σ = ∗ E (ε − εs ) + σs
(ε ≤ εs ) (ε ≥ εs ) (14 - 5)
E ≠ E∗
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-2 应力-应变关系曲线的简化 应力1）理想弹塑性材料 ） 2）理想刚塑性材料 ） 3）线性强化材料 ） 4）幂函数强化材料 ）
F ≤ [Fu ]
式中
[Fu ] = Fu n
(14 -1)
(14 - 2)
n 为安全系数 采用式(14-1)来计算构件或结构发生塑性变形时的强度的方 法，称为极限载荷法 极限载荷法。 极限载荷法
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-2 应力-应变关系曲线的简化 应力1）理想弹塑性材料 ）
Eε σ = σ s
ρ2 ∫∫A τsρdA+ ∫∫A τs ρs dA = T
p e
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-4 圆轴的弹塑性扭转 1）极限扭矩
e
残余应力
ρ2 1 ∫∫A τSρdA + ∫∫A τs ρs dA = T 3 6T 3 ρs = 4R − 完成积分，解得 ρs
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 1）弹塑性变形 ） 材料进入塑性状态后，应力与应变之间不仅成非线性关系， 而且不一一对应。力对构件的作用效果不只取决于力的最终值， 而且还与力的作用历史以及作用的先后顺序有关。 以轴向拉压杆为例
先加 F 后加 F2 1 先加 F2 后加 F 1
ε σ = σs ε s
弹塑性力学01ppt课件
第1章 绪论1-2
线性弹性力学的发展，出现了许多分支学科，
如薄壁构件力学、薄壳力学、热弹性力学、 粘弹性力学、各向异性弹性力学等。
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弹性力学解法也得到不断发展
数值解法 微分方程的差分解 [迈可斯(1932)] 有限单元法 [1946年]
第1章 绪论1-2
复变函数（20世纪30年代）萨文和穆斯赫利什维利 作了大量的研究工作，解决了许多孔口应力集中等 问题。
14
固体材料的弹塑性简单 说明（简单拉伸性能）
弹性极限（屈服 极限）
比例极限
弹性 阶段
塑性阶段（强化）
第1章 绪论
卸加载 （弹性）
弹性应变 塑性应变
低碳钢试件简单拉伸试 验应力—应变曲线图
弹性应变
15
第1章 绪论
• “完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
完全弹性使得物体变形成为一种理想模型。 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力 和应变之间一一对应的关系。 这种关系与时间无关，也与变形历史无关。
38
钱伟长
钱学森
胡海昌 徐芝伦
39
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
一、体力
分布在物体体积内的力（重力、惯性力） z
大小： 平均集度
体力
lim F f V 0 V
O
x
fz V
F f
fy
fx
P
y
图11a 40
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
方向 f的方向就是ΔF的极限方向
矢量f在坐标轴x、y、z上的投影fx、 f y、 fz ，称为
材料的应力和应变关系通常称为 本构关系
——物理关系或者物理方程
• 线性弹性体和非线性弹性体
非线性有限元及弹塑性力学讲解(哈工大 )
第一章非线性代数方程组的数值解法1.1 直接迭代法1.2 牛顿法和修正牛顿法1.3 拟牛顿法1.4 增量方法1.5 增量弧长法非线性问题可分为三类：材料非线性不管那类非线性问题，最终都归结为一组非线性方程Ψ(a )=0，a 为待求的未知量。
对许多问题，用某些方法可将Ψ(a )=0改造成Ψ(a ) =P (a )-R =K (a ) a -R =0的形式。
对非线性问题的方程Ψ(a )=0，一般只能用数值方法求近似解答。
、几何非线性和边界非线性。
我们只讨论前两类问题。
其实质是，用一系列线性方程组的解去逼近所讨论非线性方程组的解。
本章将简单介绍有限元分析中常见的各种求解非线性方程组的数值方法。
1.1 直接迭代法当用某些方法将Ψ(a )=0改造成迭代格式Ψ(a ) =P (a )-R =K (a ) a -R =0后a 1= K (a 0)-1R如果问题是收敛的，a 1将比a 0有所改善。
a n +1= K (a n )-1R Δa n =a n +1-an 当设范数为i n a a ∆∆max =或设范数为2/1T ])[(n n n a a a ∆∆∆=收敛条件则为10 <<≤αα∆n n a a ，设一初始未知量a 0，则由它可得如此反复迭代可得4如果考虑到每步迭代Ψ(a n ) =P (a n )-R =K (a n ) a n -R ≠0将Ψ(a n )视为不平衡力（或失衡力）并作为衡量收敛的标准应指出的是，对单变量情况，如讲义图示，直接迭代实质是“割线”法10 )( <<≤ββR a Ψn 1.1 直接迭代法1.2 牛顿法和修正牛顿法如果将非线性方程如果将非线性方程ΨΨ((a a ) =0) =0在在a an 附近展开，则又如果[Ψ’(a )]n 的逆存在，则Δa n 近似等于记K (a n )=[Ψ’(a )]n ，P n =Ψ(a n )Δa n ≈-[Ψ’(a )]n -1Ψ(a n )则Δa n ≈-K T (a n )-1 P n ，a n +1=a n +Δa n 切线矩阵不平衡力如此逐步计算，即可得到非线性方程的解答，这就是牛顿-拉夫森法。
弹塑性力学讲义 第一章绪论
i 1 j 1
3
每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢） ，称为二阶 张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 5.2 求和约定 在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量， 为了书写简捷，采用求和约定。 求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取 值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。如：
e1 e2 a2 b2 e3
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekij ek ， 则
c c k eijk ai b j ekij ai b j ， a b a1 b1
ij
自动消失。ij 也称为换标符号。
eijk ( i,j,k =1,2,3)
定义： eijk
共有 27 个元素。
1 若(i , j , k ) (1,2,3)或 ( 2,3,1)或 (3,1,2)时 正排列顺序 －1 若(i , j , k ) ( 2,1,3)或（1， 3， 2）或（3， 2， 1）时 逆排列顺序 0 若 i , j , k中任意两指标相同时
(i=1,2,3)，用 ri 表示矢径；
同样位移矢量 u，用 ui 表示位移，ij 表示应力
张量。
xi aij y j
i
x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 1 32 2 33 3 3
矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量
3
每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢） ，称为二阶 张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 5.2 求和约定 在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量， 为了书写简捷，采用求和约定。 求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取 值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。如：
e1 e2 a2 b2 e3
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekij ek ， 则
c c k eijk ai b j ekij ai b j ， a b a1 b1
ij
自动消失。ij 也称为换标符号。
eijk ( i,j,k =1,2,3)
定义： eijk
共有 27 个元素。
1 若(i , j , k ) (1,2,3)或 ( 2,3,1)或 (3,1,2)时 正排列顺序 －1 若(i , j , k ) ( 2,1,3)或（1， 3， 2）或（3， 2， 1）时 逆排列顺序 0 若 i , j , k中任意两指标相同时
(i=1,2,3)，用 ri 表示矢径；
同样位移矢量 u，用 ui 表示位移，ij 表示应力
张量。
xi aij y j
i
x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 1 32 2 33 3 3
矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量
弹塑性力学部分讲义
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
非线性有限元9弹塑性本构关系ppt课件
单轴试验下材料的弹塑性性态 （1/3）
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个： • 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个： • 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变
哈工大材料力学(完整版)第1-8讲
一点的总应力
△F N
△A
p τ FN dFN s lim A0 A dA 一点的正应力 σ＝pcosα α FS dFS t lim 一点的切应力 τ＝psinα σ A0 A dA
应力：就是受力物体内某一截面上某一点处的内力分布集度
第1章 绪论 15
§1.4 应力的概念
– 变形特点：沿轴线方向将发生伸长 或缩短变形,对应横截面尺寸减小或 增大。
F1
B
桁架中的杆件
A C
第1章 绪论
F1 F2 F2
26
F
§2.1 轴向拉伸和压缩
F m
沿m-m截开
F
2.1.3 轴力和轴力图
左端：∑X = 0, – F = 0 FN = F
F
m
﹜
FN
x F
右端： ∑X = 0, - FN + F = 0 FN = F
– 轴线：各横截面中点的连线
轴线
• 材料力学最主要的研究对
横截面
象是等截面的直杆
第1章 绪论
23
§1.6 构件变形的基本形式
外力：一对大小相等、方向相反、作 用线与杆轴线重合 外力：一对大小相等、距离很近， 方向相反的横向外力作用下
一对大小相等、方向相反、位于垂直杆 第1章 绪论 轴线的两平面内的力偶作用下
13
§1.4 应力的概念
1.应力的概念
– 平均应力：假设△A上的内力是均匀的
F pm A
FN sm A
△F
pm 称为平均应力
△A
K
平均正应力
△F △Fs △FN
FS tm A
第1章 绪论
平均切应力
△A
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2000.3 哈尔滨工业大学 王焕定教授制作 9
讲义上的内容比这里说明的多，但基本思路 是一样的。关于秩2的算法，请大家自己看。 讲义上的塞尔曼公式可用逆矩阵定义验证。 对秩1算法来说，实际使用的步骤为： 1.设(a)0求(KT)0 ； 2.求 (Δa)0=-[(KT)0]-1(Ψ)0；a1=a0+Δa0 3. 计算(ΔΨ)0； a0=a1 。 4. 计算 (ΔKT)0 = [(ΔΨ)0-(KT)0(Δa)0] (Δa0)T/(Δa0)T(Δa)0； 5.计算(KT)1=(KT)0+(ΔKT)0 ;(KT)0= (KT)1. 6.重复第2步，直到达到精度要求为止。 2000.3 哈尔滨工业大学 王焕定教授制作
j
1.2 牛顿法和修正牛顿法
牛顿法要每步都计算切线矩阵KT（也称刚度） 并解线性方程组，虽精度高，但工作量也大。 此外，在某些非线性问题(如理想塑性和软化 塑性问题)中用牛顿法，迭代过程中切线矩阵可 能是奇异的或病态的 ，为了克服这一现象，可 有多种处理方法，其一是按下式来求 n n 1 n ai (Ψi , j (ak ) ij ) Ψj (ak ) 其中μn的作用是改变切线矩阵KT的主对角元素， 使奇异性或病态得到改善。更多的改进方法可 参看沈聚敏《钢筋混凝土有限元与板壳极限分 析》等。 2000.3 6 哈尔滨工业大学 王焕定教授制作
1
设荷载增量因子λ分别取如下值
0 0 1 2 M 1
则荷载(R)可分成M级，第m级荷载为λm(R)，其 增量为(λm+1-λm)(R)=Δλm(R)。
由此可得 Δ(a)m=[KT((a)m,λm)]-1Δλm(R) (a)m+1=(a)m+Δ(a)m 但是，这样做的每一步都将产生误差，结果使 解答漂移。讲义上简单介绍了四种解决漂移的 方法，下面仅对混合法作简单说明，其他方法 请大家自行阅读。 2000.3 14 哈尔滨工业大学 王焕定教授制作n Pmຫໍສະໝຸດ n Ψ(am ,2000.3
哈尔滨工业大学 王焕定教授制作
15
1.5 增量弧长法
用迭代法或增量法进行极限分析时，在极值 点附近往往可能不收敛。这时可用增量弧长法 来解决。 增量弧长法的基本思想是：将λ作为独立变量， 在每个增量步进行自修正法平衡迭代，在迭代 过程中自动控制荷载因子λ的取值。也即 n n 1 n n am ( K Tm ) ( R m Pm ) 前步结果
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1.2 牛顿法和修正牛顿法
如果在计算的每一步内，矩阵KT都用初始近 似解KT0计算，在这种情况下，仅第一步迭代需 要完全求解一个线性方程组，如果将KT0三角分 解并存储起来，而以后各步迭代中采用公式
a ( K T (a )) Ψ(a ) n 则只需对上式右端项中的 Ψ(a ) 进行回代就行
n 0 1 n
了。这种方法称为修正的牛顿法。 为了提高修正牛顿法的收敛速度可采用某些 过量修正技术。讲义上作了简要介绍，请大家 自己看。
2000.3 哈尔滨工业大学 王焕定教授制作 7
1.3 拟牛顿法
拟牛顿法的主要思想是： 首先设(KT)n+1可写成如下修正形式 (KT)n+1=(KT)n+(ΔKT)n 式中(ΔKT)n称为修正矩阵。 接着设(KT)n+1必须满足如下所谓拟牛顿方程 K n1 (a n1 a n ) Ψ(a n1 ) Ψ(a n ) 由此可建立拟牛顿法迭代格式(略去了下标T)
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因此 i 1 i2 um am am u i i i u um1 um am1 u 由此可得 i i 1 i i r r r a m1 i a im 1 j R 由于弧长法引入了如下约束方程 i i 1 rm rm l 2
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将其代入约束方程，可得 i 1 2 i 1 a(m ) 2bm c 0 式中系数为 a 1 ( 1i 1 ) T ( 1i 1 ) i i 1 T i 1 i b m ( 1 ) [( 2 ) um ]
若λ+Δλ时的解答为(a)+Δ(a)，象牛顿法一 样，将(Ψ ((a)+Δ(a)),λ+Δλ) 按Taylor级数 展开，则可得
引入切线矩阵且略去高阶小量后可改写为
Ψ(a , ) Ψ,a Δ a Ψ, Δ 0
Δ a K T (a , ) R Δ
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u a
i m
i 1 m
am
由矢量代数和约束方程可得 i i i i r r r ( um ) 2 ( im ) 2 l 2
i 1 i i i i 2 r ( r r ) ( r r ) l
第一章 非线性代数方程组的数 值解法
1.1 直接迭代法 1.2 牛顿法和修正牛顿法 1.3 拟牛顿法 1.4 增量方法 1.5 增量弧长法
非线性问题可分为三类：材料非线性 、几何 非线性和边界非线性。我们只讨论前两类问题。 不管那类非线性问题，最终都归结为一组非 线性方程Ψ(a)=0，a为待求的未知量。 对许多问题，用某些方法可将Ψ(a)=0改造成 Ψ(a) =P(a)-R=K(a) a -R=0 的形式。 对非线性问题的方程Ψ(a)=0，一般只能用数 值方法求近似解答。其实质是，用一系列线性 方程组的解去逼近所讨论非线性方程组的解。 本章将简单介绍有限元分析中常见的各种求解 非线性方程组的数值方法。 2000.3 2 哈尔滨工业大学 王焕定教授制作
因此
i i i r (2r r ) 0 也即 i 1 i 1 i 1 i (am ia m j R ) [(am 2um )ia (2im im 1 ) j R )] 0 若记 i i i i 1 ( K Tm ) 1 R i2 ( K Tm ) 1 Pm 则 i 1 n in 1 n i 1 n i 1 1 aam ( Tm1) m Pm ) m K (R m 2
从上述公式可见，求 的工作量是很大的， i i 为此，可令 和 r 相互垂直，也即 r i i r r 0 这样做迭代的轨迹很接近圆弧，而计算工作量 可减少很多。
n n n am1 am am am u n 本步n次增量 为便于理解，以杆单向拉伸为例加以说明。
n Pm
n Ψ(am ,
n m)
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i i i 如图所示，矢径可表达为 r um i a m j R i 1 i 1 i 1 r um i a m j R 因为
i i i c ( 21 )T [( 21 ) 2um ] i 上述式子是从简单情况推出的，如果除 m 外 均理解为矩阵，即为一般情况的弧长法方程。 i i 一元二次方程有两个根，应取 r 和 r 间成 锐角的根。据此可建立判别条件，具体推导这 里从略了。 2000.3 19 哈尔滨工业大学 王焕定教授制作
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所谓混合法是指，在增量法每一增量步进行 自修正的迭代计算。其m增量步n次迭代的计算 公式为 自修正 n n 1 n 不平衡力 am ( K Tm ) ( R m Pm )
n n n am1 am am m ) 1 在实际计算中，对于 m＜M-1的各增量步的 计算，可以只进行少许几次(例如3次)迭代， 而对于m=M-1，即最后的一个荷载增量，需耍 使用较多次迭代，以使近似解更接近于真解。 用混合法求解时，所选取的荷载增量的步长 可以比普通增量算法的步长大一些。
1.1 直接迭代法
当用某些方法将Ψ(a)=0改造成迭代格式 Ψ(a) =P(a)-R=K(a) a -R=0 后，设一初始未知量a0 ，则由它可得 a1= K(a0)-1R 如果问题是收敛的， a1将比a0有所改善。 如此反 复迭代可得 an+1= K(an)-1R Δan=an+1- an n a max a i 当设范数为
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1.2 牛顿法和修正牛顿法
如果将非线性方程Ψ(a) =0在an 附近展开，则 Ψ(a) =Ψ(an)+ [Ψ’(a)]n Δan+。。。 =0 或用求和约定可写为 n n Ψi (a j ) Ψi (a ) Ψi , j (a )a j 0 (i, j 1,2, ) 又如果[Ψ’(a)]n的逆存在，则Δan 近似等于 切线矩阵 Δan≈-[Ψ’(a)]n-1Ψ(an) 不平衡力 记 KT(an)=[Ψ’(a)]n，Pn =Ψ(an) 则 Δan≈-KT(an)-1 Pn ， an+1=an+Δan 如此逐步计算，即可得到非线性方程的解答， 这就是牛顿-拉夫森法。王焕定教授制作 2000.3 5 哈尔滨工业大学
n n ain (Kij )1Ψj (ak )
ain1 ain ain
n n
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K ijn1 (an1 an ) Ψi (an1 ) Ψi (an ) j j k k
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K
n 1
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K K
要用拟牛顿法，还需给出修正矩阵的计算。 推导修正矩阵算式的思路是： 设 (ΔKT)n=(un)(vn)T (un)和(vn)是秩1（或秩2，讲义为秩2）的列向 量，将修正矩阵代入拟牛顿方程可得 [(KT)n +(un)(vn)T](Δa)n=(ΔΨ)n 假设(vn)T(Δa)n≠0，则有 (un)=[(vn)T(Δa)n]-1[(ΔΨ)n-(KT)n(Δa)n] 如果取(vn)=(Δa)n，则当(Δa)n≠(0)时 (ΔKT)n =[((Δa)n)T(Δa)n]-1[(ΔΨ)n(KT)n(Δa)n] (Δa n)T 当(Δa)n=(0)时，迭代已收敛，(ΔKT)n =(0)。
讲义上的内容比这里说明的多，但基本思路 是一样的。关于秩2的算法，请大家自己看。 讲义上的塞尔曼公式可用逆矩阵定义验证。 对秩1算法来说，实际使用的步骤为： 1.设(a)0求(KT)0 ； 2.求 (Δa)0=-[(KT)0]-1(Ψ)0；a1=a0+Δa0 3. 计算(ΔΨ)0； a0=a1 。 4. 计算 (ΔKT)0 = [(ΔΨ)0-(KT)0(Δa)0] (Δa0)T/(Δa0)T(Δa)0； 5.计算(KT)1=(KT)0+(ΔKT)0 ;(KT)0= (KT)1. 6.重复第2步，直到达到精度要求为止。 2000.3 哈尔滨工业大学 王焕定教授制作
j
1.2 牛顿法和修正牛顿法
牛顿法要每步都计算切线矩阵KT（也称刚度） 并解线性方程组，虽精度高，但工作量也大。 此外，在某些非线性问题(如理想塑性和软化 塑性问题)中用牛顿法，迭代过程中切线矩阵可 能是奇异的或病态的 ，为了克服这一现象，可 有多种处理方法，其一是按下式来求 n n 1 n ai (Ψi , j (ak ) ij ) Ψj (ak ) 其中μn的作用是改变切线矩阵KT的主对角元素， 使奇异性或病态得到改善。更多的改进方法可 参看沈聚敏《钢筋混凝土有限元与板壳极限分 析》等。 2000.3 6 哈尔滨工业大学 王焕定教授制作
1
设荷载增量因子λ分别取如下值
0 0 1 2 M 1
则荷载(R)可分成M级，第m级荷载为λm(R)，其 增量为(λm+1-λm)(R)=Δλm(R)。
由此可得 Δ(a)m=[KT((a)m,λm)]-1Δλm(R) (a)m+1=(a)m+Δ(a)m 但是，这样做的每一步都将产生误差，结果使 解答漂移。讲义上简单介绍了四种解决漂移的 方法，下面仅对混合法作简单说明，其他方法 请大家自行阅读。 2000.3 14 哈尔滨工业大学 王焕定教授制作n Pmຫໍສະໝຸດ n Ψ(am ,2000.3
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1.5 增量弧长法
用迭代法或增量法进行极限分析时，在极值 点附近往往可能不收敛。这时可用增量弧长法 来解决。 增量弧长法的基本思想是：将λ作为独立变量， 在每个增量步进行自修正法平衡迭代，在迭代 过程中自动控制荷载因子λ的取值。也即 n n 1 n n am ( K Tm ) ( R m Pm ) 前步结果
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1.2 牛顿法和修正牛顿法
如果在计算的每一步内，矩阵KT都用初始近 似解KT0计算，在这种情况下，仅第一步迭代需 要完全求解一个线性方程组，如果将KT0三角分 解并存储起来，而以后各步迭代中采用公式
a ( K T (a )) Ψ(a ) n 则只需对上式右端项中的 Ψ(a ) 进行回代就行
n 0 1 n
了。这种方法称为修正的牛顿法。 为了提高修正牛顿法的收敛速度可采用某些 过量修正技术。讲义上作了简要介绍，请大家 自己看。
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1.3 拟牛顿法
拟牛顿法的主要思想是： 首先设(KT)n+1可写成如下修正形式 (KT)n+1=(KT)n+(ΔKT)n 式中(ΔKT)n称为修正矩阵。 接着设(KT)n+1必须满足如下所谓拟牛顿方程 K n1 (a n1 a n ) Ψ(a n1 ) Ψ(a n ) 由此可建立拟牛顿法迭代格式(略去了下标T)
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因此 i 1 i2 um am am u i i i u um1 um am1 u 由此可得 i i 1 i i r r r a m1 i a im 1 j R 由于弧长法引入了如下约束方程 i i 1 rm rm l 2
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将其代入约束方程，可得 i 1 2 i 1 a(m ) 2bm c 0 式中系数为 a 1 ( 1i 1 ) T ( 1i 1 ) i i 1 T i 1 i b m ( 1 ) [( 2 ) um ]
若λ+Δλ时的解答为(a)+Δ(a)，象牛顿法一 样，将(Ψ ((a)+Δ(a)),λ+Δλ) 按Taylor级数 展开，则可得
引入切线矩阵且略去高阶小量后可改写为
Ψ(a , ) Ψ,a Δ a Ψ, Δ 0
Δ a K T (a , ) R Δ
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u a
i m
i 1 m
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由矢量代数和约束方程可得 i i i i r r r ( um ) 2 ( im ) 2 l 2
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第一章 非线性代数方程组的数 值解法
1.1 直接迭代法 1.2 牛顿法和修正牛顿法 1.3 拟牛顿法 1.4 增量方法 1.5 增量弧长法
非线性问题可分为三类：材料非线性 、几何 非线性和边界非线性。我们只讨论前两类问题。 不管那类非线性问题，最终都归结为一组非 线性方程Ψ(a)=0，a为待求的未知量。 对许多问题，用某些方法可将Ψ(a)=0改造成 Ψ(a) =P(a)-R=K(a) a -R=0 的形式。 对非线性问题的方程Ψ(a)=0，一般只能用数 值方法求近似解答。其实质是，用一系列线性 方程组的解去逼近所讨论非线性方程组的解。 本章将简单介绍有限元分析中常见的各种求解 非线性方程组的数值方法。 2000.3 2 哈尔滨工业大学 王焕定教授制作
因此
i i i r (2r r ) 0 也即 i 1 i 1 i 1 i (am ia m j R ) [(am 2um )ia (2im im 1 ) j R )] 0 若记 i i i i 1 ( K Tm ) 1 R i2 ( K Tm ) 1 Pm 则 i 1 n in 1 n i 1 n i 1 1 aam ( Tm1) m Pm ) m K (R m 2
从上述公式可见，求 的工作量是很大的， i i 为此，可令 和 r 相互垂直，也即 r i i r r 0 这样做迭代的轨迹很接近圆弧，而计算工作量 可减少很多。
n n n am1 am am am u n 本步n次增量 为便于理解，以杆单向拉伸为例加以说明。
n Pm
n Ψ(am ,
n m)
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i i i 如图所示，矢径可表达为 r um i a m j R i 1 i 1 i 1 r um i a m j R 因为
i i i c ( 21 )T [( 21 ) 2um ] i 上述式子是从简单情况推出的，如果除 m 外 均理解为矩阵，即为一般情况的弧长法方程。 i i 一元二次方程有两个根，应取 r 和 r 间成 锐角的根。据此可建立判别条件，具体推导这 里从略了。 2000.3 19 哈尔滨工业大学 王焕定教授制作
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所谓混合法是指，在增量法每一增量步进行 自修正的迭代计算。其m增量步n次迭代的计算 公式为 自修正 n n 1 n 不平衡力 am ( K Tm ) ( R m Pm )
n n n am1 am am m ) 1 在实际计算中，对于 m＜M-1的各增量步的 计算，可以只进行少许几次(例如3次)迭代， 而对于m=M-1，即最后的一个荷载增量，需耍 使用较多次迭代，以使近似解更接近于真解。 用混合法求解时，所选取的荷载增量的步长 可以比普通增量算法的步长大一些。
1.1 直接迭代法
当用某些方法将Ψ(a)=0改造成迭代格式 Ψ(a) =P(a)-R=K(a) a -R=0 后，设一初始未知量a0 ，则由它可得 a1= K(a0)-1R 如果问题是收敛的， a1将比a0有所改善。 如此反 复迭代可得 an+1= K(an)-1R Δan=an+1- an n a max a i 当设范数为
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1.2 牛顿法和修正牛顿法
如果将非线性方程Ψ(a) =0在an 附近展开，则 Ψ(a) =Ψ(an)+ [Ψ’(a)]n Δan+。。。 =0 或用求和约定可写为 n n Ψi (a j ) Ψi (a ) Ψi , j (a )a j 0 (i, j 1,2, ) 又如果[Ψ’(a)]n的逆存在，则Δan 近似等于 切线矩阵 Δan≈-[Ψ’(a)]n-1Ψ(an) 不平衡力 记 KT(an)=[Ψ’(a)]n，Pn =Ψ(an) 则 Δan≈-KT(an)-1 Pn ， an+1=an+Δan 如此逐步计算，即可得到非线性方程的解答， 这就是牛顿-拉夫森法。王焕定教授制作 2000.3 5 哈尔滨工业大学
n n ain (Kij )1Ψj (ak )
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要用拟牛顿法，还需给出修正矩阵的计算。 推导修正矩阵算式的思路是： 设 (ΔKT)n=(un)(vn)T (un)和(vn)是秩1（或秩2，讲义为秩2）的列向 量，将修正矩阵代入拟牛顿方程可得 [(KT)n +(un)(vn)T](Δa)n=(ΔΨ)n 假设(vn)T(Δa)n≠0，则有 (un)=[(vn)T(Δa)n]-1[(ΔΨ)n-(KT)n(Δa)n] 如果取(vn)=(Δa)n，则当(Δa)n≠(0)时 (ΔKT)n =[((Δa)n)T(Δa)n]-1[(ΔΨ)n(KT)n(Δa)n] (Δa n)T 当(Δa)n=(0)时，迭代已收敛，(ΔKT)n =(0)。