概率论中几种概率模型方法总结

概率论中几种概率模型方法总结绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。

1 古典概型古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。

古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。

即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。

若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: A m P ( A ) ==Q n中的样本点数中的样本点数。

在计算m 和n 时,经常使用排列与组合计算公式。

在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。

关于古典概型的数学模型如下:1.1 袋中取球问题1.1.1 随机地同时从袋中取若干球问题随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。

概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。

事件1 一袋中有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从袋中取出k 个球( k ≤m + n) ,求其中恰好有l 个白球( l ≤n)的概率。

分析:随机地从袋中取出k 个球有km+n C 种可能的结果,其中“恰好有l 个白球”这一事件包含了l k-l n mC C 种结果,因此所求概率为lk - ln m k m + n C C P =C 这个结论可以作为一个公式来应用。

用它可以解决一些类似的问题。

1.1.2 随机地从袋中不放回地取球若干次随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。

这样的取球过程实际上是按顺序取的,所考虑的事件也会涉及到取球的顺序,所以要用排列数计算样本点数。

事件2 一袋中装有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从中每次取出一个球(不放回) ,求下列事件的概率:(1)第i 次取到的是白球;(2)第i 次才取到白球;(3)前i 次中能取到白球;(4)前i 次中恰好取到l 个白球( l ≤i ≤m + n, l ≤n) ;(5)到第i 次为止才取到l 个白球( l ≤i ≤m + n, l ≤n)。

分析:( 1)“第i 次取到的是白球”可以理解为“取球进行了i 次,第i 次取出白球”。

从m + n 个球中不放回地取球i 次,即是从m + n 个球中不放回地取出i 个球,一共有i m + n P 种不同的取法;其中“第i 次取到的是白球”有i - 11m+ n - 1n P C 种取法。

因此所求概率为:i - 11m + n - 1n 1i m + nP C P =P , 根据排列数公式计算得1n P =m + n 。

这个问题可以看成是抽签问题的数学模型,其结果表明:抽到好签的机会(概率)与抽签的顺序无关,即抽签具有公平性。

(2)“第i 次才取到白球”可以理解为“取球进行了i 次,前i - 1次取出的都是黑球,第i 次取出的是白球”,根据乘法原理可知应有i - 11m n P C 种取法;同(1)可得从m + n个球中不放回地取球i 次一共有i m + nP 种不同的取法,故有i - 11i - 1m n m 2i i m + n m + n P C nP P ==P P 。

(3)“前i 次中能取到白球”包含的情况比较复杂,因此先找它的对立事件“前i次取出的都是黑球”的概率。

“前i 次取出的都是黑球”的概率是:i im m i i m+ n m + nP C P = =P C ,所以前i 次中能取到白球的概率是im 3i m + nC P =1 -C 。

(4)“前i 次中恰好取到l 个白球”意味着“取出的i 个球中有l 个白球, i - l 个黑球”,根据乘法原理可知应有i - l l i m n iC C P 种取法, 所以i - l l i i - ll m b i m n 4i i m + n m + n C C P C C P ==P C 。

(5)“到第i 次为止才取到l 个白球”等价于“前i- 1次中恰好取到l - 1个白球且第i 次取到白球”。

故i - l l - 1i - 11i - ll - 1m n i - 1n - l + 1m n 5i i m + n m + nC C P C C C ( n - l + 1)P ==P iC 。

由此可见如果能深刻理解事件2这种数学模型,那么古典概型中的一些概率计算问题就可以归结为随机地从袋中不放回地取球若干次求某事件的概率问题。

1.1.3 随机地从袋中有放回地取球若干次随机地从袋中有放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后依然放回袋中,连续进行若干次。

这样的取球过程实际上也是按顺序取的,而且每个球都有被重复取出的可能,所考虑的事件依然会涉及到取球的顺序,所以要用重复排列数计算样本点数。

事件3 一袋中装有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从中每次取出一个球,取后放回,求下列事件的概率:( 1)第i 次取到的是白球;(2)第i 次才取到白球;( 3 )前i 次中能取到白球;(4)前i 次中恰好取到l 个白球( l ≤i ≤m + n, l ≤n);(5)到第i 次为止才取到l 个白球( l ≤i ≤m + n, l ≤n)。

分析: 因为每一个问题仅仅涉及了i 次取球,所以只考虑取球i 次的情形。

根据题中的取球要求可知每次取球都是从m + n 个球中取出1 个共取了i 次,据此应该i (m + n)种不同的取球方式。

(1)“第i 次取到的是白球”意味着“前i - 1次每次都是从m + n 个球中取出1个球(白球或黑球) ,然后第i 次是从n 个白球中取出1个白球”,根据乘法原理得“第i 次取到的是白球”应有i - 11n(m + n)C 种取法。

因此所求概率是i - 11n 1i (m + n)C n P = =(m + n)m + n 。

(2)“第i 次才取到白球”表示“前i - 1次每次都是从m 个黑球中取出1个黑球,然后第i 次是从n 个白球中取出1个白球”,一共有i - 1m n 种取法。

故事件“第i 次才取到白球”的概率是i - 12i m n P =(m + n)。

(3)“前i 次中能取到白球”的对立事件是“前i 次取出的都是黑球”,而“前i 次取出的都是黑球”是指“前i 次每次都是从m 个黑球中取出1个黑球”,有i m 种取法。

所以“前i 次中能取到白球”的概率是i3i m P =1 -(m + n)。

(4)“前i 次中恰好取到l 个白球”表明“取出的i 个球中有l 个白球, i - l 个黑球”,其中l 个白球中的任意一个可以是i 次取球中的任意一次取出的,同时也是每次从n 个白球中取出一个;欲得到i - l 个黑球须每次从m 个黑球中取出一个,取i - l 次。

根据乘法原理可知“前i 次中恰好取到l 个白球”应有l l i - 1i C n m 种取法,因此它的概率为l i i - li 4i C n m P =(m + n)。

(5)“到第i 次为止才取到l 个白球”意味着“前i- 1次中恰好取到l - 1个白球且第i 次取到的是白球”,由(4)可知前i - 1次中恰好取到l - 1个白球应有l - 1l - 1i - li - l C n m 种取法;又因第i 次取到的是白球有n 种取法,由乘法原理得“到第i 次为止才取到l 个白球”应有l - 1l - 1i - l l - 1l i - li - l i - l C n m n =C n m 种取法,从而所求概率是l - 1l i - l i - l 5i C n m P =(m + n)。

1.2 排序问题排序就是指把一些对象按照一定的顺序排成一列或一圈。

如果在排序的前提条件下计算某事件的概率,那么就要用排列数来计算样本点数。

事件4 将标号为1, 2, ⋯, n 的n 个球随意地排成一行。

求下列事件的概率:(1)标号是递增或递减的序列;(2)第1号球排在最左或最右;(3)第1号球与第2号球相邻;(4)第1号球在第2号球右边(但不一定相邻) ;(5)第1号球与第2号球之间恰有r 个球( r < n - 1) [ 2 ] 。

分析:将标号为1, 2, ⋯, n 的n 个球随意地排成一行有n! 种不同的排法。

(1)标号是递增或递减的序列只能是排成1, 2,⋯, n 或n, n - 1, ⋯, 2, 1 这两种形式,因此所求概率为2n!。

(2)先排1号球,再排其它球。

1号球排在最左或最右只有两种排法,其它的n - 1个球有( n - 1) !种排法,根据乘法原理满足条件的排列有2(n-1)!个,所以所求概率为2(n-1)!2=n!n。

(3)先把1号球和2号球看成一个整体与其它球进行排列,即n-1个球排成一列应有(n-1)! 种排法;再排1号球和2号球,有2! 种排法。

由乘法原理可知满足条件的排列有2!( n - 1)! 个,所以所求概率为2!(n-1)!2=n!n。

(4)对于每一种“1 号球在2 号球右边”的排法而言,如果对调1、2号球的位置就会得到一种“1号球在2号球左边”的排法,反之亦然。

即“1号球在2号球右边”与“1号球在2 号球左边”的排法总数相等,所以所求概率为12。

(5)先排1号球和2号球,有2种排法;因为1号球与2号球之间恰好有r 个球,而且这r 个球是剩下的n - 2个球中任意r 个,所以再从n - 2个球中任意选出r 个进行排列(排列时满足条件它们正好在1号球与2号球之间)有r n - 2C r!种不同的排法;最后把1号球、2号球以及选出的r 个球看成一个整体与其它球进行排列有(n-2-r+1) ! 种排法。

根据乘法原理可得“第1号球与第2号球之间恰有r 个球”一共有r n - 22C r!( n-2-r +1)!种排法,因此所求概rn - 22C r!(n-2-r+1)!!n 率为,亦即2(n-r-1)n(n-1)。

1.2.1 放球入箱问题放球入箱问题实际上就是古典概型的一个数学模型,其背景是把一些球随意地放入箱子里,要求不同放法也就不同。

样本点数的计算既会用到排列数,又会用到组合数。

事件5 将n 个球随意放入N 个箱子中,其中每个球可能放入任意一个箱子,求下列事件的概率:(1)指定n 的个箱子各放入一球(设N ≥n) ;(2)每个箱子最多放入一球;(3)第i 个箱子不空;(4)第i 个箱子恰好放入k ( k ≤n)个球。