北师大版数学九年级下册二次函数与一元二次方程课件
2a
根x1=x2=
b 2a
没有实数根
二、例题
例1、已知抛物线y=x2+2x+m+1。 （1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，
求m的值。
例2. 已知二次函数 y x2 kx k - 2 （1）判别上述抛物线与X轴交点情况
（2）设抛物线与X轴交点之间距离 为2 5 ，求k的值
九年级数学(下) 第二章 二次函数
二次函数与一元二次方程
由上抛小球落地的时间想到
竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用
公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高
度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以20m/s 的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间 t(s)的关系如图所示,那么
联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是
x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交
点坐标分别是A（ y
x1，0），
B（x2，0 ）
x1 x2 OA B
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？
Y △＜0
△=0
△＞0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
(3).确定方程x2+2x-10=0的解; 由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
3、已知二次函数y=x 2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x 2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。
(2)k为何值时,二次函数y=x 2-kx-2+k与轴两 个交点A、B之间的距离最小？
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们 的关系如何?
一般地,当y取定值时,二次函数即为一元二次方程.
轴的正半轴相交于A，B两点，和y轴相交 于点C ∠ABC= ∠ACO 求证：a与c互为倒数
y
A o
C
B x
5、右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞
上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，
拱桥的跨度为10m，桥洞与水面ห้องสมุดไป่ตู้最大距离是5m，桥洞
两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截
(1).h和t的关系式是什么？ h=-5t2+20t
(2).
①球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ ②球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ ③球的飞行高度能否达到20.5m？如能，需要多少飞行时间？ ④小球经过多少秒后落地?
一、探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴 的交点A、B的坐标。
面图放在平面直角坐标系中（如下图）．
1、求抛物线
的解析式．
2、求两盏景观灯之 间的水平距离．
?
5
10
1
B
D? C
4
5m
A
10m
1m
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的 高度是60cm?你是如何知道的?
解:当h 60时,得 5t2 40t 60.
解得: x1 2, x2 6.
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、△＞0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有两个交点——相交。
2、△=0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个相等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。
3、△＜0 没有实数根
判别式
∆__＞____0 ∆__=____0 ∆__＜___0
∆= b2 4ac
二次函数
y
y
y
y ax2 bx c (a 0)
x1 x2 o
x
X1=x2 o x
ox
一元二次方程 有两个不相等 有两个相
ax2 bx c 0 的实数根
等的实数
(a 0)
x1,2=
b b2 4ac
一元二次方程的图象解法
例4 利用函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
(2).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与 x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分 别约为-4.3和2.3
练习：已知二次函数 y kx 2 6x 7 的
图像与X轴有两个不同的交点 （1） 求k的取值范围 （2） 当k为何值时，这两个交点横坐标 的平方和等于50
例3 设二次函数 y x2 (m 2)x 3(m 1) 的图像与X轴交于A，B两点，与y轴交于 C点，线段OA与OB的长的积等于6 （O是坐标原点） 求：m的值
解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线
y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。
因此，抛物线与一元二次方程是有密切
结论3、若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点
坐标分别是A（
则x1+x2=- b
x1，，x01x）2=，c
B（x2，0
），
a
a
二次函数 y ax2 bx c (a 0) 与X轴的交点
（X1，0），（X2，0） 与方程 ax2 bx c 0(a 0)
的两根X1，X2和∆的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
与x轴没有公共点——相离。
探究3、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根
是x1、x2c，则由韦达定理得：x1+x2=x1x2= a
b a
若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标
分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ），则 是否有同样的结论呢？
（3）设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC . 4、已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x 轴有两个交点A、B，其中A在x轴的正半轴， B在x轴的负半轴，
1）若OA=3OB，求m的值。
2）若3（OA-OB）=2OA·OB，求m的值。
例4 如图，抛物线 y ax2 bx c 和X
根x1=x2=
b 2a
没有实数根
二、例题
例1、已知抛物线y=x2+2x+m+1。 （1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，
求m的值。
例2. 已知二次函数 y x2 kx k - 2 （1）判别上述抛物线与X轴交点情况
（2）设抛物线与X轴交点之间距离 为2 5 ，求k的值
九年级数学(下) 第二章 二次函数
二次函数与一元二次方程
由上抛小球落地的时间想到
竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用
公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高
度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以20m/s 的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间 t(s)的关系如图所示,那么
联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是
x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交
点坐标分别是A（ y
x1，0），
B（x2，0 ）
x1 x2 OA B
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？
Y △＜0
△=0
△＞0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
(3).确定方程x2+2x-10=0的解; 由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
3、已知二次函数y=x 2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x 2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。
(2)k为何值时,二次函数y=x 2-kx-2+k与轴两 个交点A、B之间的距离最小？
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们 的关系如何?
一般地,当y取定值时,二次函数即为一元二次方程.
轴的正半轴相交于A，B两点，和y轴相交 于点C ∠ABC= ∠ACO 求证：a与c互为倒数
y
A o
C
B x
5、右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞
上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，
拱桥的跨度为10m，桥洞与水面ห้องสมุดไป่ตู้最大距离是5m，桥洞
两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截
(1).h和t的关系式是什么？ h=-5t2+20t
(2).
①球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ ②球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ ③球的飞行高度能否达到20.5m？如能，需要多少飞行时间？ ④小球经过多少秒后落地?
一、探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴 的交点A、B的坐标。
面图放在平面直角坐标系中（如下图）．
1、求抛物线
的解析式．
2、求两盏景观灯之 间的水平距离．
?
5
10
1
B
D? C
4
5m
A
10m
1m
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的 高度是60cm?你是如何知道的?
解:当h 60时,得 5t2 40t 60.
解得: x1 2, x2 6.
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、△＞0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有两个交点——相交。
2、△=0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个相等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。
3、△＜0 没有实数根
判别式
∆__＞____0 ∆__=____0 ∆__＜___0
∆= b2 4ac
二次函数
y
y
y
y ax2 bx c (a 0)
x1 x2 o
x
X1=x2 o x
ox
一元二次方程 有两个不相等 有两个相
ax2 bx c 0 的实数根
等的实数
(a 0)
x1,2=
b b2 4ac
一元二次方程的图象解法
例4 利用函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
(2).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与 x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分 别约为-4.3和2.3
练习：已知二次函数 y kx 2 6x 7 的
图像与X轴有两个不同的交点 （1） 求k的取值范围 （2） 当k为何值时，这两个交点横坐标 的平方和等于50
例3 设二次函数 y x2 (m 2)x 3(m 1) 的图像与X轴交于A，B两点，与y轴交于 C点，线段OA与OB的长的积等于6 （O是坐标原点） 求：m的值
解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线
y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。
因此，抛物线与一元二次方程是有密切
结论3、若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点
坐标分别是A（
则x1+x2=- b
x1，，x01x）2=，c
B（x2，0
），
a
a
二次函数 y ax2 bx c (a 0) 与X轴的交点
（X1，0），（X2，0） 与方程 ax2 bx c 0(a 0)
的两根X1，X2和∆的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
与x轴没有公共点——相离。
探究3、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根
是x1、x2c，则由韦达定理得：x1+x2=x1x2= a
b a
若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标
分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ），则 是否有同样的结论呢？
（3）设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC . 4、已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x 轴有两个交点A、B，其中A在x轴的正半轴， B在x轴的负半轴，
1）若OA=3OB，求m的值。
2）若3（OA-OB）=2OA·OB，求m的值。
例4 如图，抛物线 y ax2 bx c 和X
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数学北师大版九年级下册二次函数与一元二次方程的关系.5 二次函数与一元二次方程(第1课时) 演示文稿
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一 次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标 就是一元一次方程kx＋b＝0的根.
探究一：
1.函数y＝x2＋4x－5与x轴 的交点坐标 解： 2.函数y＝x2－2x－3的图象 与x轴的交点为 方程x2－2x－3 ＝0的两根是
巩固：
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的个交点坐标分别是 A（
X1，0 ），
B（
X2，0 ）
探究二
求二次函数y=x²+2x,y=x²-2x+1,y=x²-2x+2
与x轴的交点坐标。
观察判断下列图象哪个有可能是抛 2 x 2 x 3 的图象？ 物线 y
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程的关系
（第1课时）
温故知新
－2 ， 0 ） （1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（ 一元一次方程x＋2＝0的根为________ x= －2
0 （2)一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（2 ，） x= 2 一元一次方程－3x＋6＝0的根为________
y y
A.
O x
B.
O
x
y
y
C.
√
D.
x
O
x
O
议一议
2 二次函数 y ax bx c 的图象与x轴的交点有三种 情况：
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有三种情况：
有两个交点
有一个交点
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
北师大版九年级数学下册：.1二次函数和一元二次方程关系课件
例如，已知二次函数y = x2－4x的值为3，求自变量x的值， 可以解一元二次方程x2－4x=3（即x2－4x－3=0）．
反过来，解方程x2－4x－3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x－3 的值为0，求自变量x的值．
19
10
回课顾堂与练思习
(1)抛物线y=x2+3x+2与x轴的交点个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
的图象如下图，与同伴交流并回答问题.
19
5
二次函数y=x2+2x的图象 与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0 有几个根？
解：x(xHale Waihona Puke 2)=0 ∴ x1=-2，x2=0
与x轴有2个交点：
方程的根是-2和0
（-2，0）和（0，0）
19
6
二次函数y=x2-2x+1
一元二次方程x2-2x+1=0
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3； ③当x＞1时，y随x值的增大而减小；
④当y＞0时，-1＜x＜3．
其中正确的说法是
（）
A．①
y
B．①②
C．①②③ D．①②③④
－1 O
1
3
x
19
12
(5) 二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则
k的取值范围是（ ）
A. k>-1
B. k≥-1且k≠0
二次函数 与一元二
次方程
二次函数与 一元二次方 程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式Δ 的符号
一元二次方 程根的情况
19
19
(2)抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点， 则m的值是________.
反过来，解方程x2－4x－3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x－3 的值为0，求自变量x的值．
19
10
回课顾堂与练思习
(1)抛物线y=x2+3x+2与x轴的交点个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
的图象如下图，与同伴交流并回答问题.
19
5
二次函数y=x2+2x的图象 与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0 有几个根？
解：x(xHale Waihona Puke 2)=0 ∴ x1=-2，x2=0
与x轴有2个交点：
方程的根是-2和0
（-2，0）和（0，0）
19
6
二次函数y=x2-2x+1
一元二次方程x2-2x+1=0
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3； ③当x＞1时，y随x值的增大而减小；
④当y＞0时，-1＜x＜3．
其中正确的说法是
（）
A．①
y
B．①②
C．①②③ D．①②③④
－1 O
1
3
x
19
12
(5) 二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则
k的取值范围是（ ）
A. k>-1
B. k≥-1且k≠0
二次函数 与一元二
次方程
二次函数与 一元二次方 程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式Δ 的符号
一元二次方 程根的情况
19
19
(2)抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点， 则m的值是________.
新版北师大九年级下2.4二次函数的应用课件ppt
【解析】 （1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意 得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5 200， 整理得x2－45x＋350＝0， 解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意 ， 所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米， 则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为
4.02m2.
1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，
并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这
两个正方形面积之和的最小值是
cm2．
【答案】 12.5 或 25
2
2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所 示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其
4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常 数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE， 作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y． （1）求y关于x的函数关系式. （2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若 y 12 ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.
5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用 40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教 学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y． （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. （2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
解析：
由4 y 7 x x 15.
2-5 二次函数与一元二次方程-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
课堂基础练
试用二次函数的图象估计下列方程的近似根
1） 2 + 2 − 8 = 2 ，
2） 2 + 2 − 7 = 6
。
y x 2 2 x 10
课堂小结
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=h的近似根的一般
6.20
…
…
-0.03
-0.01
0.02
0.04
…
随堂测试
1．已知二次函数 = − 2 + 2 + 的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程
− 2 + 2 + = 0的根为________．
【详解】解：由函数图像可知,二次函数与x轴的交点为（-1,0）,
对称轴为直线x=1,
根据二次函数的对称性可知另一个交点为（3,0）,
∴抛物线与x轴交点为（2，0）．故选：B．
2．二次函数y＝x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（
A．b＝﹣3
B．b＝﹣2
C．b＝﹣1
【详解】解：令x2+bx+1＝0，则Δ＝b2﹣4，
∵二次函数图象与x轴由两个不同交点，
∴b2﹣4＞0，∴b2＞4，即b＜﹣2或b＞2．
故选：A．
D．b＝2
数学（北师大版）
九年级 下册
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
课前导入
学习目标
1）二次函数与一元二次方程之间的联系。
2）理解二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 。
课堂基础练
试用二次函数的图象估计下列方程的近似根
1） 2 + 2 − 8 = 2 ，
2） 2 + 2 − 7 = 6
。
y x 2 2 x 10
课堂小结
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=h的近似根的一般
6.20
…
…
-0.03
-0.01
0.02
0.04
…
随堂测试
1．已知二次函数 = − 2 + 2 + 的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程
− 2 + 2 + = 0的根为________．
【详解】解：由函数图像可知,二次函数与x轴的交点为（-1,0）,
对称轴为直线x=1,
根据二次函数的对称性可知另一个交点为（3,0）,
∴抛物线与x轴交点为（2，0）．故选：B．
2．二次函数y＝x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（
A．b＝﹣3
B．b＝﹣2
C．b＝﹣1
【详解】解：令x2+bx+1＝0，则Δ＝b2﹣4，
∵二次函数图象与x轴由两个不同交点，
∴b2﹣4＞0，∴b2＞4，即b＜﹣2或b＞2．
故选：A．
D．b＝2
数学（北师大版）
九年级 下册
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
课前导入
学习目标
1）二次函数与一元二次方程之间的联系。
2）理解二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 。
2.5++二次函数与一元二次方程第2课时+课件+++2023--2024学年北师大版九年级数学下册+
A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋ c≥－kx＋m的解集是( D )
A．x≤－3或x≥1
B．x≤－1或x≥3
C．－3≤x≤1
D．－1≤x≤3
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7 ． 【 数 形 结 合 】 已 知 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx － 1 的 图 象 过
A(2，0)，B(4，5)两点．
的解集？例如，如图①，y＝x2－2x－3的图象与x轴的
两个交点分别是A(－1，0)，B(3，0)．
此时x2－2x－3＝0有两个不相等的实数
根x1＝－1，x2＝3；
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观察图象可以知道：在x轴上方的图象所有点的纵坐标大于 0，此时对应的x的取值范围是x<－1或x>3；所以不等式x2－ 2x－3>0的解集为x<－1或x>3.类比上述内容，相信你一定能 够解决如下的问题： (1)x2－2x－3<0的解集是_－__1_<_x_<_3___．
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(4)进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2－2x|＝
1 2
有____4____个实数根；
②在(2)问的平面直角坐标系中画出直线y＝－x＋1，根
据 图 象 写 出 方 程 |x2 － 2x| ＝ － x ＋ 1 的 一 个 正 数 根 约 为
__0_._4____．(精确到0.1)
解：如图.
其0<x1<1，
∴ 2＋2 0<－2ba<2＋2 1，∴1<－2ba<32，当－2ba<32时，b>－3a，
当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝0，∴b＝－2a－
1 2
c，
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+2.5+二次函数与一元二次方程++课件++2023-2024学年+北师大版九年级数学下册+
与同伴交流并回答问题.
y
4 3 2 1
–3 –2 –1 O –1
1x
y
5 4 3 2 1
–1 O –1
123 x
y
6 5 4 3 2 1
–1 O –1
123 x
（1）
（2）
（3）
二次函数 y x2 2 x的
图象与x轴有几个交点？
y
4
3
2
两个交点
1
–3 –2 –1 O –1
1x
一元二次方程 x2 2x 0
h 4.9t2 19.6t 来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.
（1）画出函数 h 4.9t2 19.6t 的图象；
h/m
20
（2）当t =1，t =2时，足球距地面的高度
18 16
14
分别是多少？
12
10
当t=1时， h 4.9 19.6=14.7m
8 6
4
当t=2时， h 4.922 19.62=19.6m 2
5
x
归纳总结
利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法：
方法一 直接作出二次函数y=ax2+bx+c的图象；图象与
x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.
方法二 先将一元二次方程变形为 ax2+bx=－c，再在同
一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=－c；两图 象的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0 的根.
解：由题意得 －x2+3x+4=2x－1，即x2 － x － 5=0，
∵△=b2－4ac=1+20=21＞0，
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.5《二次函数与一元二次方程(第一课时)》课件
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
北师大版九年级下册数学：二次函数与根的判别式的关系 (共15张PPT)
独立 作业
知识的升华
P35 1---9题.
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
下课了!
结束寄语
•只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.
读书当将破万卷；求知不叫一疑存。读书之法，在循序而渐进，熟读而精思，喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。自得读书乐，不邀为善名。有时 间读书，有时间又有书读，这是幸福；没有时间读书，有时间又没书读，这是苦恼。不读书的人，思想就会停止。读书时要深思多问。只读而不想，就可能人云亦云，沦为 书本的奴隶；或者走马看花，所获甚微。为乐趣而读书。立身以立学为先，立学以读书为本读书而不能运用，则所读的书等于废纸。读书可以培养一个完人，谈话可以训练 一个敏捷的人，而写作则可造就一个准确的人。读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。养心莫若寡欲；至乐无如读书。身边永远要着铅笔和笔记本，读书和谈话 时碰到的一切美妙的地方和话语都把它记下来。凿壁偷光，聚萤作囊；在读书上，数量并不列于首要，重要的是书的品质与所引起的思索的程度。劳于读书，逸于作文。、 没有比读书更廉价的娱乐，更持久的满足了。从来没有人为了读书而读书，只有在书中读自己，在书中发现自己，或检查自己。不怕读得少，只怕记不牢。莫等闲，白了少 年头，空悲切！书籍是培育我们的良师，无需鞭答和根打，不用言语和训斥，不收学费，也不拘形式，对图书倾注的爱，就是对才智的爱。熟读唐诗三百首，不会作诗也会 吟。书到精绝潜心读；文穷情理放声吟读万卷书，行万里路。书犹药也，善读之可以医愚。如果把生活比喻为创作的意境，那么阅读就像阳光。书籍是少年的食物，它使老 年人快乐，也是繁荣的装饰和危难的避难所，慰人心灵。在家庭成为快乐的种子，在外也不致成为障碍物，但在旅行之际，却是夜间的伴侣。读书是在别人思想的帮助下， 建立起自己的思想。饭可以一日不吃，觉可以一日不睡，书不可以一日不读。、读过一本好书，像交了一个益友。读书有三到，谓心到，眼到，口到立身以立学为先，立学 以读书为本。读书而不思考，等于吃饭而不消化。为中华之崛起而读书。来书籍是在时代的波涛中航行的思想之船，它小心翼翼地把珍贵的货物运送给一代又一代。书籍是 最好的朋友。当生活中遇到任何困难的时候，你都可以向它求助，它永远不会背弃你。1、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。有些事情本身我们无法控制，只 好控制自己。挫折时，要像大树一样，被砍了，还能再长；也要像杂草一样，虽让人践踏，但还能勇敢地活下去。人的活动如果没有理想的鼓舞，就会变得空虚而渺小。莫 向不幸屈服，应该更大胆、更积极地向不幸挑战！一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。志在山顶的人，不会贪念山腰的风景。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是 个有价值的人。旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。强者向人们揭示的是确认人生的价值，弱者向人们揭示的却是对人生的怀疑。不要对挫折叹气，姑且把这一切看 成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。成功源于不懈的努力。积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。对的，坚持；错的，放弃！理想的路总是为有信心的 人预备着。这社会你改变不了就得适应，适应不了就得被淘汰！这叫适者生存！宁愿跑起来被拌倒无数次，也不愿规规矩矩走一辈子，就算跌倒也要豪迈的笑。没有伞的孩 子必须努力奔跑。你不勇敢，没人替你坚强。态度决定一切，实力捍卫尊严！人要经得起诱惑耐得住寂寞！虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但 这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥有一切宇宙智慧。成功者绝不放弃，放弃者绝不会成功。人生不售来回票，一旦动身，绝不能 复返。自己要先看得起自己，别人才会看得起你。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。1、人生的光荣，不在于永不言败，而在于能够屡扑屡起。——拿 破仑游手好闲的人最没有空闲不经风雨，长不成大树；不受百炼，难以成钢过去属于死神，未来属于你自己。人的一生，是很短的，短暂的岁月要求我好好领会生活的进 程……攀登顶峰，这种奋斗的本身就足以充实人的心。人们必须相信，垒山不止就是幸福。老骥伏枥，志在千里；烈士暮年，壮心不已。大鹏一日同风起，扶摇直上九万里。 不会宽容人的人，是不配受到别人的宽容的。不经过本身的努力，就永远达不到自己的目的，任何外来的帮助也不能代替本身的努力。子女中那种得不到遗产继承权的幼子， 常常会通过自身奋斗获得好的发展。而坐享其成者，却很少能成大业。明日复明日，明日何其多！日日待明日，万事成蹉跎。世人皆被明日累，明日无穷老将至。晨昏滚滚 水东流。今古悠悠日西坠。百年明日能几何？请君听我《明日歌》我希望你照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。百金买骏马，千金买美人； 万金买高爵，何处买青春除非一个人有大量的工作要做，否则他不可能从懒散空闲中得到乐趣。如果我们以为只有野心和爱情这类强烈的激情才能抑制其他情感，那就错了。 懒惰尽管柔弱似水，却常常把我们征服：它渗透进生活中一切目标和行为，时钟随着指针的移动滴答在响：“秒”是雄赳赳气昂昂列队行进的兵士，“分”是士官，“小时”是带 队冲锋陷阵的骁勇的军官。，所以当你百无聊赖，胡思乱想的时候，请记住你掌上有千军万马；你是他们的统帅。检阅他们时，你不妨问问自己——他们是否在战斗中发挥 了最大的作用。沧海可填山可移，男儿志气当如斯。从来便没有什么救世主，也不靠神仙皇帝，要创造人类的幸福，全靠我们自己。任何人都应该有自尊心自信心独立性， 不然就是奴才。但自尊不是轻人，自信不是自满，独立不是弧立。三更灯火五更鸡，正是男儿发愤时。黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。醉斩长鲸倚天剑，笑凌骇浪济川 舟。富贵不淫贫贱乐，男儿到此是豪雄。滴自己的汗，吃自己的饭。自己的事情自己干，靠人靠天靠祖上，不算是好汉。你要做一个勇敢的少年人，不可为一些芝麻小事在 那儿大惊小怪。你知道，弱者在这世界上是不好过日子的。真正的敏捷是一件很有价值的事。因为时间是衡量事业的标准，如金钱是衡量货物的标准时间是一位可爱的恋人， 对你是多么的爱慕倾心，每分每秒都在叮嘱；劳动创造别虚度了一生。与善人居，如入兰芷之室，久而不闻其香；与恶人居。如入鲍鱼之肆，久而不闻其。光勤劳是不够的， 蚂蚁也非常勤劳。你在勤劳些什么呢？有两种过错是基本的，其他一切过错都由此而生：急躁和懒惰。时间会刺破青春的华丽精致，会把平行线刻上美人的额角，会吃掉稀 世珍宝，天生丽质，什么都逃不过他横扫的镰刀。人，只要有一种信念，有所追求，什么艰苦都能忍受，什么环境也都能适应。我年轻时注意到，我每做十件事有九件不成 功，于是我就十倍地去努力干下去。滴自己的汗，吃自己的饭。自己的事情自己干，靠人靠天靠祖上，不算是好汉。”天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。 古今中外，凡成就事业，对人类有所作为的人，无一不是脚踏实地艰苦登攀的结
第二章 二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
ax2+c≥kx+m的解集是____．
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
九年级数学下册第二章二次函数8二次函数与一元二次方程习题课件北师大版20222220416
x
…
y
…
0.1 0.24
0.2
…
-0.44
…
x
…
y
…
1.8 -0.44
1.9
…
0.24
…
由图象可知方程的近似根是x1=0.1,x2=1.9.
第十五页，编辑于星期六：七点 十分。
【总结提升】求一元二次方程近似根的“四步法”
第十六页，编辑于星期六：七点 十分。
题组一:二次函数与一元二次方程的关系 1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是 ( )
第三十页，编辑于星期六：七点 十分。
3.对于二次函数y=x2+6x+1,当x=-5.8时,y=-0.16<0;当
x=-5.9时,y=0.41>0.那么方程x2+6x+1=0的一个根的近
似值是
.(精确到0.1)
【解析】因为y=x2+6x+1的对称轴是x=-3,且当x=-5.8时,
y=-0.16<0;当x=-5.9时,y=0.41>0.所以方程x2+6x+1=0的
=0(a≠0)的关系.
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
交点的个数
的根的情况
2
__两__个_不__等__实__数_根___
1
__两_个__相__等__实__数__根__
0
__无_实__数__根__
第三页，编辑于星期六：七点 十分。
2.一元二次方程的图象解法. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的____横__坐_标就 是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的___. 根