2014高三数学一轮复习课件--不等式、推理与证明
)
1 解析：取 a＝2，b＝1，排除 B 与 D；另外，函数 f(x)＝x－x 1 是(0，＋∞)上的增函数，但函数 g(x)＝x＋x在(0,1]上递减， 在[1，＋∞)上递增，所以，当 a＞b＞0 时，f(a)＞f(b)必定成 1 1 1 立，但 g(a)＞g(b)未必成立，可得，a－a＞b－b ⇒a＋b＞b 1 ＋a. 答案：A
的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该
命题为假命题．
2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 1 1 C．若a＜b＜0，则a＜b b a D．若a＜b＜0，则a＞b
(
)
解析：A 中，只有 a＞b＞0，c＞d＞0 时，才成立；B 中， 由 a＜b＜0，得 a2＞ab＞b2 成立；C，D 通过取 a＝－2， b＝－1 验证均不正确．
1 1 [巧思妙解] 因为a＜b＜0，故可取 a＝－1，b＝－2. 1 1 1 1 显然 ＝－ ，ab＝ ，此时①成立；因为|a|＋b＝1 3 2 a＋b 1 1 －2＝－1＜0，所以②错误；因为 a－a＝－1－ ＝0，b－ －1 1 1 3 ＝－2－ ＝－ ，所以③成立；因为 ln a2＝ln(－1)2＝0， b 2 －2 ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误．结合选项可知 C 正 确．
Hale Waihona Puke >b－d”的A．充分而不必要条件 C．充要条件
(
B．必要而不充分条件
)
D．既不充分也不必要条件
解析：若a－c>b－d，c>d，
则a>b.但c>d，a>b⇒/ a－c>b－d.
如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－3时，a－c<b－d. 答案： B
1 4. ________ 3＋1(填“>”或“<”)． 2－1
答案：B
[例 3]
已知函数 f(x)＝ax2＋bx，且 1≤f(－1)≤2，
2≤f(1)≤4.求 f(－2)的取值范围．
[自主解答]
f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.
f(－2)＝4a－2b. 设 m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.
m＋n＝4， 则 m－n＝－2， m＝1， 解得 n＝3.
3．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一
半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果
比较大小的常用方法 (1)作差法：
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其
中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把 差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时， 有时也可以先平方再作差．
(2)作商法：
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；
④结论． (3)特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解 答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10.即 f(－2)的取值范围为[5,10]．
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但
应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在
多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范 围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的 整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求 解范围．
1 解析： ＝ 2＋1＜ 3＋1. 2－1
答案：<
5．已知a，b，c∈R，有以下命题： ①若a>b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b； ③若a>b，则a·c>b·c. 2 2
其中正确的是_________(请把正确命题的序号都填上)．
解析： ①若 c＝0 则命题不成立． ②正确． ③中由 2c>0 知成立．
∴a(－c)＞(－b)(－d)，
a b ac＋bd ∴ac＋bd＜0，∴d＋ c＝ cd ＜0， 故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C.
[答案] (1)A
(2)C
2．不等式的基本性质
性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b⇔ b<a a>b，b>c⇒a>c a>b⇒ a＋c>b＋c a>b ⇒ ac>bc c>0 a>b ⇒ ac<bc c<0 注意 ⇔ ⇒ ⇒
可乘性
c的符号
性质 同向可加性 同向同正可 乘性 可乘方性
答案： D
2．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一
半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果 两人步行速度、跑步速度均相同，则 ( )
A．甲先到教室
C．两人同时到教室
B．乙先到教室
D．谁先到教室不确定
2．若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是(
1 1 A．a＋b＞b＋a 1 1 C．a－b＞b－a b b＋1 B.a＞ a＋1 2a＋b a D. ＞ a＋2b b
A．1 C．3
B．2 D．4
[自主解答] ①由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b；且 由a＞b不能得出a＞b＋1.因此，使a＞b成立的充分不必要 条件是a＞b＋1. (2)∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，
∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
[典例]
1 1 1 若 ＜ ＜0，则下列不等式： ① ＜ a b a＋b
1 1 1 ；②|a|＋b＞0；③a－ ＞b－ ；④ln a2＞ln b2中，正 ab a b 确的不等式是 ( )
A．①④ C．①③
B．②③ D．②④
1 1 [常规解法] 由 ＜ ＜0，可知b＜a＜0.①中，a＋b＜ a b 1 1 1 1 0，ab＞0成立，所以 ＜0， ＞0，故有 ＜ ，故 ab a＋b a＋b ab ①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0，故－b ＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，即0 1 1 1 1 ＞a＞b，又因为 ＜ ＜0，所以a－ ＞b－ ，故③正确； a b a b ④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为单调减函 数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域上为增函数，所以 ln b2＞ln a2，故④错误． [答案] C
针对训练
(2013· 晋城模拟)已知四个条件， ①b＞0＞a， ②0＞a＞b， 1 1 ③a＞0＞b，④a＞b＞0，不能推出a＜b成立的是( )
A．① C．③
B．③ D．④
1 1 解析：法一：由 a＞b，ab＞0，可得a＜b，即②、④ 1 1 1 1 能推出a＜b.又因为正数大于负数，①能推出a＜b，③不 1 1 能推出a＜b.故选 C.
－1≤α＋β ≤1， 3．若α，β满足 1≤α＋2β ≤3，
试求α＋3β的取值范围．
解：设 α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
x＋y＝1， 则 x＋2y＝3， x＝－1， 解得 y＝2.
∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得 1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β 的取值范围为[1,7]．
(
)
B．若 a2＞b2⇒a＞b D．若 a＜ b⇒a＜b
答案：D
2．若x＋y>0，a<0，ay>0，则x－y的值
A．大于0 C．小于0 B．等于0 D．不确定
(
)
解析：由 a<0，ay>0 知 y<0，又 x＋y>0，所以 x>0. 故 x－y>0.
答案：A
3．已知a，b，c，d均为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c
－q－1 S3 S5 ＜0，所以 ＜ . q4 a3 a5 S3 S5 综上可知 ＜ . a3 a5
若本例中“q＞0”改为“q＜0”,试比较它们的大小.
S3 S5 －q－1 解：由例题解法知当 q≠1 时， － ＝ . a3 a5 q4 S3 S5 S3 S5 当－1＜q＜0 时， － ＜0，即 ＜ ； a3 a5 a3 a5 S3 S5 S3 S5 当 q＝－1 时， － ＝0, 即 ＝ ； a3 a5 a3 a 5 S3 S5 S3 S5 当 q＜－1 时， － ＞0，即 ＞ . a3 a5 a3 a5
[例1]
已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项
S3 S5 和为Sn，试比较 与 的大小． a3 a5
[自主解答]
S3 S5 S3 S5 当q＝1时， ＝3， ＝5，所以 ＜ ； a3 a5 a3 a5
当q＞0且q≠1时，
3 a11－q5 q21－q3－1－q5 S3 S5 a11－q － ＝ － ＝ ＝ 4 a3 a5 a1q21－q a1q41－q q 1－q
2
1 2 3 －a＝a－2 ＋ >0，∴1＋a2>a. 4
∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a.
答案：A
[例 2]
(1)(2011· 大纲全国卷)下面四个条件中，使 ( )
a>b 成立的充分而不必要的条件是
A．a>b＋1 C．a2>b2
B．a>b－1 D．a3>b3
(2)(2012· 包头模拟)若 a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列 a b 结论：①ad＞bc；②d＋ c＜0；③a－c＞b－d；④a· (d－c)＞ b(d－c)中成立的个数是 ( )
利用不等式的性质判断不等关系是难点，又是考 生的易误点，其易误点两个：一是在一个不等式两边同 时乘以一个数或一个式子时，忽视正负号的判断导致出
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高三数学一轮复习 71不等式、推理与证明课件 北师大版
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第六章 数列
(4)由性质定理：a<b<0⇒1a>1b，为真命题．
(5)例如：－3<－2<0，23<32；命题是假命题．
－a>－b>0 a<b<0⇒1 1
a>b
－a>－b>0 ⇒－1b>－1a>0
，∴ab>ba.
(6)a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b，c>a>b>0⇒0<c－ a<c－b
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第六章 数列
[例1] (1)若x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x ＋y)的大小；
(2)设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小． [解析] (1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y) ∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0， ∴－2xy(x－y)>0， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)
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第六章 数列
1．单纯考查不等式的题有，但很少，多数是以函数、 方程、三角函数、数列、解析几何、向量、导数知识为载 体综合考查不等式，突出不等式的工具性．
高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.7 数学归纳法课件.ppt
7
3 点注意 运用数学归纳法应注意以下三点：①n＝n0 时成立，要弄清楚命题的含义。②由 假设 n＝k 成立证 n＝k＋1 时，要推导详实，并且一定要运用 n＝k 成立的结论。③要 注意 n＝k 到 n＝k＋1 时增加的项数。
8
1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验 n
1
第七节 数学归纳法
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
2
考 纲 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤。 导 学 2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析
问题、解决问题的能力。
3
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
4
1．归纳法
□ 由一系列有限的特殊事例得出 1 __一__般__结__论__的推理方法叫归纳法。根据推理过
□ □ 程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为
2
完全 ____________
归纳法和
3
____不__完__全______归纳法。
2．数学归纳法
(1)数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：①当 n 取第 1 个值 n0 时命题
成立；②假设当 n＝k，(k∈N＋，且 k≥n0 时，命题成立的前提下，推出当 n＝k＋1 时
解析：∵由 n＝k 成立推证 n＝k＋1 成立时必须用上归纳假设， ∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6。 答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
13
课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
14
考点一
用数学归纳法证明等式
【例 1】 已知 n∈N*，证明：1－21＋31－41＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋
3 点注意 运用数学归纳法应注意以下三点：①n＝n0 时成立，要弄清楚命题的含义。②由 假设 n＝k 成立证 n＝k＋1 时，要推导详实，并且一定要运用 n＝k 成立的结论。③要 注意 n＝k 到 n＝k＋1 时增加的项数。
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1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验 n
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第七节 数学归纳法
课前学案 基础诊断
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考 纲 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤。 导 学 2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析
问题、解决问题的能力。
3
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1．归纳法
□ 由一系列有限的特殊事例得出 1 __一__般__结__论__的推理方法叫归纳法。根据推理过
□ □ 程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为
2
完全 ____________
归纳法和
3
____不__完__全______归纳法。
2．数学归纳法
(1)数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：①当 n 取第 1 个值 n0 时命题
成立；②假设当 n＝k，(k∈N＋，且 k≥n0 时，命题成立的前提下，推出当 n＝k＋1 时
解析：∵由 n＝k 成立推证 n＝k＋1 成立时必须用上归纳假设， ∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6。 答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
13
课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
14
考点一
用数学归纳法证明等式
【例 1】 已知 n∈N*，证明：1－21＋31－41＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.6 数学归纳法(理)
__________都成立,上述证明方法叫做数学归纳法. 有正整数n
【特别提醒】 1.数学归纳法证题时,误把第一个值n0认为是1,如证明 多边形内角和定理(n-2)π时,初始值n0=3.
2.数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意: (1)必须利用归纳假设作基础. (2)证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法. (3)解题时要搞清从n=k到n=k+1增加了哪些项或减少了 哪些项.
(n∈N*).
2 3 4 2n1 2n
11
1
【n解题1导n引2】根据2n数学归纳法证明等式的步骤进行证
明.
【规范解答】(1)当n=1时,左边= 1 1 1 ，
右边=
1
1
左边=右边.
，
22
11 2
(2)假设n=k时等式成立，
即 1111 1 1 2 3 4 2k1 2k
则k当1n1=kk+11时2，21k,
求证:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N*).
【证明】(1)当n=2时,左边=f(1)=1,
右边= 左边=右2(1边,12等1式) 成1，立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时,结论成立, 即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1], 那么,当n=k+1时, f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k
【解析】用数学归纳法证明不等式
1 1 1 1 9(n∈N*且n>1)时,
第n 一1步n : 不2等n 式3 的左边3 是n10
【特别提醒】 1.数学归纳法证题时,误把第一个值n0认为是1,如证明 多边形内角和定理(n-2)π时,初始值n0=3.
2.数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意: (1)必须利用归纳假设作基础. (2)证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法. (3)解题时要搞清从n=k到n=k+1增加了哪些项或减少了 哪些项.
(n∈N*).
2 3 4 2n1 2n
11
1
【n解题1导n引2】根据2n数学归纳法证明等式的步骤进行证
明.
【规范解答】(1)当n=1时,左边= 1 1 1 ，
右边=
1
1
左边=右边.
，
22
11 2
(2)假设n=k时等式成立，
即 1111 1 1 2 3 4 2k1 2k
则k当1n1=kk+11时2，21k,
求证:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N*).
【证明】(1)当n=2时,左边=f(1)=1,
右边= 左边=右2(1边,12等1式) 成1，立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时,结论成立, 即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1], 那么,当n=k+1时, f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k
【解析】用数学归纳法证明不等式
1 1 1 1 9(n∈N*且n>1)时,
第n 一1步n : 不2等n 式3 的左边3 是n10
高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.5 数学归纳法
关闭
C
答案
-8-
知识梳理 双基自测
12345
3.已知
n
为正偶数,用数学归纳法证明
1-12
+
1 3
−
14+…-���1���=2
1 ������+2
+
������+1 4+…+21������
时,若已假设 n=k(k≥2,且 k 为偶数)时
命题为真,则还需要用归纳假设再证 ( )
A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立 C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立
关闭
B
答案
-9-
知识梳理 双基自测
12345
4.在用数学归纳法证明“平面内有n条(n≥2)直线,任何两条不平 行,任何三条不过同一个点的交点个数为 ������(���2���-1)” 时,第一步验证n0等 于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
因为平面内不平行的两条相交直线就有交点,所以验证n0=2. B
解析
关闭 关闭
答案
-10-
知识梳理 双基自测
12345
5.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=
������4
+ 2
������2
,当n=k+1时,左端应
在n=k的基础上增添的代数式是
.
关闭
∵当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左侧
=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,
《高三数学总复习》数学理新课标A版一轮总复习课件 第6章 不等式、推理与证明-5
六安市长安小学
ห้องสมุดไป่ตู้
(3)①分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图 知，一级分形图有 3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有 9＝(3×22 －3)条线段，三级分形图中有 21＝(3×23－3)条线段，按此规律 n 级分形图中的线段条数 an＝3×2n－3(n∈N*)．
＝logax＋logay 与 sin(α＋β)类比，则有 sin(α＋β)＝sinαsinβ； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 与(a＋b)2 类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b
＋b2.
其中结论正确的个数是( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：只有③正确．
答案：B
六安市长安小学
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解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和， 右边为项数的 2 倍减 1 的差除以项数，即 1＋212＋312＋412＋512＋…＋n12 <2n－n 1(n∈N*，n≥2)，
所以第五个不等式为 1＋212＋312＋412＋512＋612<161. 答案：1＋212＋312＋412＋512＋612<161
三角形数 N(n,3)＝12n2＋12n， 正方形数 N(n,4)＝n2，
六安市长安小学
五边形数 N(n,5)＝32n2－12n， 六边形数 N(n,6)＝2n2－n， …… …… 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)＝__________.
六安市长安小学
(3)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三 条线段，长度均为 1，两两夹角为 120°；二级分形图是在一级分形 图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条 线段与原线段两两夹角为 120°，…，依此规律得到 n 级分形图．
ห้องสมุดไป่ตู้
(3)①分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图 知，一级分形图有 3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有 9＝(3×22 －3)条线段，三级分形图中有 21＝(3×23－3)条线段，按此规律 n 级分形图中的线段条数 an＝3×2n－3(n∈N*)．
＝logax＋logay 与 sin(α＋β)类比，则有 sin(α＋β)＝sinαsinβ； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 与(a＋b)2 类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b
＋b2.
其中结论正确的个数是( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：只有③正确．
答案：B
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解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和， 右边为项数的 2 倍减 1 的差除以项数，即 1＋212＋312＋412＋512＋…＋n12 <2n－n 1(n∈N*，n≥2)，
所以第五个不等式为 1＋212＋312＋412＋512＋612<161. 答案：1＋212＋312＋412＋512＋612<161
三角形数 N(n,3)＝12n2＋12n， 正方形数 N(n,4)＝n2，
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五边形数 N(n,5)＝32n2－12n， 六边形数 N(n,6)＝2n2－n， …… …… 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)＝__________.
六安市长安小学
(3)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三 条线段，长度均为 1，两两夹角为 120°；二级分形图是在一级分形 图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条 线段与原线段两两夹角为 120°，…，依此规律得到 n 级分形图．
高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6.7数学归纳法课件理
第八页，共36页。
「基础小题练一练」
1．利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，n∈N*)”时，在
验证 n＝1 成立时，左边应该是( )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
解析：用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，n∈N*)”在验证
第十六页，共36页。
用数学归纳法证明等式应注意的 2 个问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成 规律，等式两边各有多少项，以及初始值 n0 的值． (2)由 n＝k 到 n＝k＋1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n＝k 时的式 子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
第二十七页，共36页。
因为
f(k
＋
1)
－
g(k
＋
1)<
3 2
－
1 2k2
＋
1 k＋13
－
32－2k＋1 12
＝
k＋3 2k＋13
－
1 2k2
＝
2－k＋3k1－31k2<0，
所以 f(k＋1)<g(k＋1)．
由①②可知，对一切 n∈N*，都有 f(n)≤g(n)成立.
第二十八页，共36页。
归纳(guīnà)—猜想—证明
第二十页，共36页。
用数学(shùxué)归纳法证明不等式
[典 例 导 引] 已知函数 f(x)＝x－23x2，设 0<a1<21，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an<n＋1 1. 【证明】 ①当 n＝1 时，0<a1<21，显然结论成立． 因为当 x∈0，12时，0<f(x)≤61， 所以 0<a2＝f(a1)≤61<31. 故 n＝2 时，原不等式也成立；
「基础小题练一练」
1．利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，n∈N*)”时，在
验证 n＝1 成立时，左边应该是( )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
解析：用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，n∈N*)”在验证
第十六页，共36页。
用数学归纳法证明等式应注意的 2 个问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成 规律，等式两边各有多少项，以及初始值 n0 的值． (2)由 n＝k 到 n＝k＋1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n＝k 时的式 子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
第二十七页，共36页。
因为
f(k
＋
1)
－
g(k
＋
1)<
3 2
－
1 2k2
＋
1 k＋13
－
32－2k＋1 12
＝
k＋3 2k＋13
－
1 2k2
＝
2－k＋3k1－31k2<0，
所以 f(k＋1)<g(k＋1)．
由①②可知，对一切 n∈N*，都有 f(n)≤g(n)成立.
第二十八页，共36页。
归纳(guīnà)—猜想—证明
第二十页，共36页。
用数学(shùxué)归纳法证明不等式
[典 例 导 引] 已知函数 f(x)＝x－23x2，设 0<a1<21，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an<n＋1 1. 【证明】 ①当 n＝1 时，0<a1<21，显然结论成立． 因为当 x∈0，12时，0<f(x)≤61， 所以 0<a2＝f(a1)≤61<31. 故 n＝2 时，原不等式也成立；
高中数学一轮复习课件：第七章 不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)7-4
2．数列 2,5,11,20，x,47，…中的 x 等于( ) A．28 B．32 C．33 D．27
[解析] 从第 2 项起每一项与前一项的差构成公差为 3 的等 差数列，所以 x＝20＋12＝32.故选 B.
[答案] B
3．(选修 1－2P30 练习 T1 改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式 是( )
[对点训练] 1．(2019·山东日照模拟)对于实数 x，[x]表示不超过 x 的最大 整数，观察下列等式： [ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3； [ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[ 7 ]＋[ 8 ]＝10； [ 9 ]＋[ 10 ]＋[ 11 ]＋[ 12 ]＋[ 13 ]＋[ 14 ]＋[ 15 ] ＝21； … 按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为________．
主干知识梳理 Z
主干梳理 精要归纳
1．合情推理
[知识梳理]
2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论， 我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到 特殊 的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知 1 个白圈分形为 2
个白圈 1 个黑圈，1 个黑圈分形为 1 个白圈 2 个黑圈，把题图(2)
中的树形图的第 1 行记为(1,0)，第 2 行记为(2,1)，第 3 行记为(5,4)，
第 4 行的白圈数为 2×5＋4＝14，黑圈数为 5＋2×4＝13，所以第
高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明1二元一次不等式与简单的线性规划问题课件新人教A版22
4.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目
标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得
最值.
-27考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2020 河北唐山二模)已知 x,y 满足约束条件
- + 2 ≥ 0,
-2 + 1 ≤ 0,则 z=x-y 的最大值为( B )
包括
标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应_____
实线
边界直线,则把边界直线画成
.
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都 相同
,所以只需在此直线的同
一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 符号 即
-1 ≤ 0,
- + 1 ≥ 0
为( D )
A.-5
B.1
C.2
D.3
(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示
+ -1 ≥ 0,
为 -2 + 2 ≥. 0
-17考点1
考点2
考点3
+ -1 ≥ 0,
解析: (1)不等式组 -1 ≤ 0,
所围成的平面区域如图所示.
3
3
7
A.1
B.
C.
D.
2
4
4
- ≥ 0,
2 + ≤ 2,
(2)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则
≥ 0,
+ ≤
a 的取值范围是( D )
标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得
最值.
-27考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2020 河北唐山二模)已知 x,y 满足约束条件
- + 2 ≥ 0,
-2 + 1 ≤ 0,则 z=x-y 的最大值为( B )
包括
标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应_____
实线
边界直线,则把边界直线画成
.
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都 相同
,所以只需在此直线的同
一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 符号 即
-1 ≤ 0,
- + 1 ≥ 0
为( D )
A.-5
B.1
C.2
D.3
(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示
+ -1 ≥ 0,
为 -2 + 2 ≥. 0
-17考点1
考点2
考点3
+ -1 ≥ 0,
解析: (1)不等式组 -1 ≤ 0,
所围成的平面区域如图所示.
3
3
7
A.1
B.
C.
D.
2
4
4
- ≥ 0,
2 + ≤ 2,
(2)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则
≥ 0,
+ ≤
a 的取值范围是( D )
高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.5不等式、推理与证明课件文
答案 1．(1)全部对象 (2)部分 整体 个别 一般 2．(1)这些特征 (2)特殊 特殊
1．判断正误 (1)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情 推理．( ) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比 对象较为合适．( ) (3)一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是 an ＝n(n∈N*)．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×
答案：1 8
知识点二 演绎推理 1．模式：三段论 (1)大前提——已知的________； (2)小前提——所研究的________； (3)结论——根据一般原理，对________做出的判断． 2．特点：演绎推理是由______到______的推理．
答案 1．(1)一般原理 (2)特殊情况 (3)特殊情况 2．一般 特殊
4．“因为指数函数 y＝ax 是增函数(大前提)，而 y＝13x 是指数 函数(小前提)，所以函数 y＝13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误 在于( )
A．大前提错误导致结论错 B．小前提错误导致结论错 C．推理形式错误导致结论错 D．大前提和小前提错误导致结论错
解析：当 a>1 时，y＝ax 为增函数；当 0<a<1 时，y＝ax 为减 函数．故大前提错误．
解析：(1)当第一行为 2 个数时，最后一行仅一个数，为 3＝3×1 ＝3×20；
当第一行为 3 个数时，最后一行仅一个数，为 8＝4×2＝4×21； 当第一行为 4 个数时，最后一行仅一个数，为 20＝5×4＝5×22； 当第一行为 5 个数时，最后一行仅一个数，为 48＝6×8＝6×23. 归纳推理得，当第一行为 2 016 个数时，最后一行仅一个数， 为 2 017×22 014，故选 B.
1．判断正误 (1)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情 推理．( ) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比 对象较为合适．( ) (3)一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是 an ＝n(n∈N*)．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×
答案：1 8
知识点二 演绎推理 1．模式：三段论 (1)大前提——已知的________； (2)小前提——所研究的________； (3)结论——根据一般原理，对________做出的判断． 2．特点：演绎推理是由______到______的推理．
答案 1．(1)一般原理 (2)特殊情况 (3)特殊情况 2．一般 特殊
4．“因为指数函数 y＝ax 是增函数(大前提)，而 y＝13x 是指数 函数(小前提)，所以函数 y＝13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误 在于( )
A．大前提错误导致结论错 B．小前提错误导致结论错 C．推理形式错误导致结论错 D．大前提和小前提错误导致结论错
解析：当 a>1 时，y＝ax 为增函数；当 0<a<1 时，y＝ax 为减 函数．故大前提错误．
解析：(1)当第一行为 2 个数时，最后一行仅一个数，为 3＝3×1 ＝3×20；
当第一行为 3 个数时，最后一行仅一个数，为 8＝4×2＝4×21； 当第一行为 4 个数时，最后一行仅一个数，为 20＝5×4＝5×22； 当第一行为 5 个数时，最后一行仅一个数，为 48＝6×8＝6×23. 归纳推理得，当第一行为 2 016 个数时，最后一行仅一个数， 为 2 017×22 014，故选 B.
高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.1 不等关系与不等式课件.ppt
6
□ 性质(5)：a＞b，c＞d⇒a＋c 12 _＞___b＋d(加法法则)。 □ 性质(6)：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac 13 _＞___bd(乘法法则)。 □ 性质(7)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒an 14 __＞____bn(乘方法则)。 □ 性质(8)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒n a 15 __＞____n b(开方法则)。 □ 性质(9)：ab＞0，a＞b⇒1a 16 ___＜___b1(倒数法则)。
9
1．下列命题正确的是( A．若 ac＞bc，则 a＞b C．若1a＞1b，则 a＜b
) B．若 a2＞b2，则 a＞b
D．若 a＜ b，则 a＜b
解析：若 a＜ b，则( a)2＜( b)2，即 a＜b，选 D。 答案：D
10
2．若 x＋y＞0，a＜0，ay＞0，则 x－y 的值( )
A．大于 0
14
课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
15
考点一
比较两个数(式)的大小
【例 1】 (1)设 x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；
解析：(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)。 ∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0。 ∴－2xy(x－y)＞0。 ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)。
18
通关特训 1 (1)已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前 n 项和为 Sn，比较aS33与Sa55 的大小。
解析：(1)当 q＝1 时，aS33＝3，Sa55＝5，故aS33＜Sa55；当 q＞0 且 q≠1 时，Sa33－Sa55＝aa11q21－1－q3q －aa11q41－1－q5q＝q21－qq431－－q1－q5＝q4q21－－1q＝－q＋q4 1＜0，故aS33＜Sa55。综上，Sa33＜Sa55。
□ 性质(5)：a＞b，c＞d⇒a＋c 12 _＞___b＋d(加法法则)。 □ 性质(6)：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac 13 _＞___bd(乘法法则)。 □ 性质(7)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒an 14 __＞____bn(乘方法则)。 □ 性质(8)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒n a 15 __＞____n b(开方法则)。 □ 性质(9)：ab＞0，a＞b⇒1a 16 ___＜___b1(倒数法则)。
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1．下列命题正确的是( A．若 ac＞bc，则 a＞b C．若1a＞1b，则 a＜b
) B．若 a2＞b2，则 a＞b
D．若 a＜ b，则 a＜b
解析：若 a＜ b，则( a)2＜( b)2，即 a＜b，选 D。 答案：D
10
2．若 x＋y＞0，a＜0，ay＞0，则 x－y 的值( )
A．大于 0
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课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
15
考点一
比较两个数(式)的大小
【例 1】 (1)设 x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；
解析：(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)。 ∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0。 ∴－2xy(x－y)＞0。 ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)。
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通关特训 1 (1)已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前 n 项和为 Sn，比较aS33与Sa55 的大小。
解析：(1)当 q＝1 时，aS33＝3，Sa55＝5，故aS33＜Sa55；当 q＞0 且 q≠1 时，Sa33－Sa55＝aa11q21－1－q3q －aa11q41－1－q5q＝q21－qq431－－q1－q5＝q4q21－－1q＝－q＋q4 1＜0，故aS33＜Sa55。综上，Sa33＜Sa55。